Klassische Mechanik

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Damit erhalten wir also P = N i=1 mi ˙ ri = M d N 1 miri dt M i=1 R Der Gesamtimpuls ist identisch mit dem Schwerpunktimpuls. Mit (1.15) folgt der Schwerpunktsatz P = M ˙ R . (1.16) ˙P = M ¨ R = F (ex) . (1.17) Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereint wäre und alle äußeren Kräfte an ihm wirken würden. 1.5.2 Drehimpulssatz Den Drehimpulssatz leiten wir ausgehend von der Formel für den Gesamtdrehimpuls L der N Teilchen her. Unter Verwendung von (1.2) ergibt sich N N L = Li = ri × pi . (1.18) Das äußere Gesamtdrehmoment N (ex) ist die Summe der einzelnen Momente (1.3): i=1 N (ex) = Damit ist die Zeitableitung des Drehimpulses d L dt = = = N i=1 d dt (ri × pi) = N i=1 N i=1 i=1 ri × F (ex) i . (1.19) d ri × mi dt ˙ ri N mi ˙ ri × ˙ ri +miri × =0 ¨ ⎛ ⎞ N N ri = ri × ⎝F (ex) i + Fij⎠ i=1 j=1 N N + (ri − rj) × Fij. (1.20) i=1 i=1 ri × F (ex) i i
wobei ri ′ die Darstellung des Ortsvektors in K ′ ist: ri ′ = Die Geschwindigkeiten transformieren sich gemäß und wir erhalten den Gesamtdrehimpuls L = i=1 i ri ′ ei ′ . (1.23) vi = V + vi ′ , V = ˙ R (1.24) N N ri × pi = R + ri ′ × V + vi ′ mi i=1 = R × N V M + miri ′ × N V + i=1 =0 i=1 mi (ri ′ × vi ′ ) + R × d N miri dt i=1 ′ . (1.25) =0 Da sich alle Vektoren ri ′ auf den Schwerpunkt beziehen, verschwindet N i=1 miri ′ (wegen N i=1 miri = M R + N i=1 miri ′ = M R), und wir erhalten L = L (Bahn) + L (Eigen) = R × P + N i=1 ri ′ × pi ′ (1.26) Der Gesamtdrehimpuls setzt sich also zusammen aus dem Drehimpuls des im Schwerpunkt konzentrierten Systems (Bahndrehimpuls) und dem Drehimpuls der Bewegung bezüglich des Massenzentrums (innerer oder Eigendrehimpuls). Wir schließen daraus, dass der Gesamtdrehimpuls vom Koordinatenursprung abhängt. 1.5.3 Energiesatz Für zentrale Zweiteilchenkräfte können wir die Bewegungsgleichung des i-ten Teilchens schreiben als mi ¨ ri = − ∇i Vij + F (ex) i . (1.27) j mit j=i Das Symbol ∇i bedeutet hierbei den Gradienten bzgl. des Ortsvektors von Teilchen i. Multipliziert man die Gleichung skalar mit ˙ ri, so erhält man nach Summation über i N mi ˙ ri · ¨ ri = 1 d 2 dt i=1 = − Mit d dt V (r(t)) = ∇V · ˙ r ergibt sich 1 d 2 dt N i=1 N i=1 i
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Dieses Gesetz folgt direkt aus der
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ist mit ganzen Zahlen m und n, d.h.
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2) E3 < E = E2 < 0 ⇒ 0 < ε < 1,
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mindestens den Winkel θ0 gestreut
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u. Im Laborsystem geben wir allen O
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Kapitel 9 Starrer Körper In diesem
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Hauptträgheitsachsensystem: Da der
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L Die Winkelgeschwindigkeit um die
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Wenn J diagonal ist, lauten die Eul
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eine Erhaltungsgröße. Der Ausdruc
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Kapitel 10 Schwingungen In diesem v
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10.1.2 Periodisch getriebener gedä
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10.2 Schwingungen mit mehreren Frei
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d.h. die Matrix A diagonalisiert si
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Der erste Faktor auf der rechten Se
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5. Bestimmen der Hamiltonschen Bewe
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Fixpunkte Fixpunkte x ∗ sind Glei
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entfernen sich benachbarte Trajekto
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Der Integrationsweg ist innerhalb d
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