Klassische Mechanik

löst die n Differenzialgleichungen (10.24), wie wir gleich sehen werden. Dabei ist C ein zweckmäßiger
Skalenfaktor. Einsetzen ergibt
n
j=1
In Matrix-Schreibweise lautet (10.26)
(Vij − ω 2 Tij)aj = 0 , i = 1, ..., n. (10.26)
(V − ω 2 T )a = 0, (10.27)
wobei V und T die (n × n)-Matrizen mit den Einträgen Vij bzw. Tij sind.
Das lineare System (10.26) bzw. (10.27) hat nur dann nichttriviale Lösungen, d.h. aj = 0 für mindestens
ein j, wenn die Determinante verschwindet:
det(V − ω 2 T ) = 0 . (10.28)
Diese Bedingung legt die möglichen Werte von ω 2 fest. Sie ist eine charakteristische Gleichung in Form
eines Polynoms vom Grad n in der Variablen ω 2 . V , T sind beide reell, symmetrisch und positiv definit,
d.h.alle n Lösungen ω 2 sind positiv,
ω 2 1, ω 2 2, ..., ω 2 n > 0. (10.29)
(Einige der Lösungen können gleich sein. Diese so genannten Entartungen betrachten wir nicht.)
Seien ar die Eigenvektoren des verallgemeinerten Eigenwertproblems (10.27), deren Normierung wir
etwas weiter unten festlegen. Wir benutzen diese Eigenvektoren für einen Wechsel des Koordinatensystems,
ähnlich wie bei der Hauptachsentransfomationin Kapitel 9). Die ar sind definiert durch die
Bedingung
V ar = ω 2 rTar, r = 1, ..., n. (10.30)
Ähnlich wie bei gewöhnlichen Eigenwertproblemen mit symmetrischen Matrizen können wir für die ar eine
Art Orthogonalitätsbeziehung erhalten. Wir betrachten zwei Eigenvektoren a1 und a2 zu den Eigenwerten
ω 2 1 und ω 2 2. Weil die Matrizen T und V symmetrisch sind, gelten die folgenden Beziehungen:
V a1 = ω 2 1Ta1 ;
a t 2V a1 = ω 2 1a t 2Ta1 und analog mit der Vertauschung von 1 und 2;
a t 2V a1 = a t 1V a2 = ω 2 2a t 1Ta2 = ω 2 2a t 2Ta1 .
Die zweite und dritte Zeile sind nur dann miteinander verträglich, wenn a t 2Ta1 = 0 ist, wenn die Eigenvektoren
a1 und a2 verschieden sind. Dies führt uns mit einer entsprechend gewählten Normierung der
ar und mit der Definition
A = (a1,a2, ...,an)
auf die Beziehung
Unter Verwendung von (10.30) folgt daraus
⎛
A t ⎛
1
⎜
T A = ⎜
⎝
1
. ..
⎞
0
⎟ ≡ 1.
⎠
(10.31)
0 1
A t ⎜
V A = ⎜
⎝
ω 2 1
ω 2 2
. ..
0
0 ω 2 n
88
⎞
⎟
⎠ ≡ Ω2 , (10.32)