Klassische Mechanik

ist.
Durch Vergleich mit (5.2) erkennen wir, dass
k
λiaij = Zj , j = 1, . . . , 3N (5.7)
i=1
Die Gebrauchsanweisung für Lagrange-Gleichungen erster Art ist die folgende:
(i) Wähle 3N Koordinaten und stelle die Zwangsbedingungen in differenzieller Form auf.
(ii) Schreibe L = T − V als Funktion der 6N Variablen qj, ˙qj.
(iii) Stelle die 3N Lagrange-I-Gleichungen auf und löse sie zusammen mit den Zwangsbedingungen.
Bemerkung: In der Praxis verwendet man auch gerne eine Variante mit weniger Koordinaten. Die eben
durchgeführte Herleitung der Lagrange-I-Gleichungen kann auch mit n < 3N generalisierten Koordinaten
durchgeführt werden, wobei n > 3N − k ist. Die Zahl der Lagrange-Parameter in (5.4) reduziert sich
hierbei auf k + n − 3N. In der Gleichung (5.6) ist dann i nur bis k + n − 3N zu summieren, und j läuft
von 1 bis n.
5.3 Beispiele
5.3.1 Teilchen im Kreiskegel
x
z
ϕ
r
g
y
Wir wählen als Koordinaten die Zylinderkoordinaten z, r, ϕ. Die Zwangsbedingung ist f(z, r, ϕ) =
r − z tan α = 0, bzw. in differenzieller Form:
Die Lagrange-Funktion ist
Die Lagrange-I-Gleichungen sind also
∂f ∂f
dz + dr = − tan α dz + dr = 0 .
∂z ∂r
L = T − V = m
2 ( ˙z2 + ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgz .
d ∂L ∂L
− = λ∂f ⇒ m¨z + mg = −λ tan α
dt ∂ ˙z ∂z ∂z
d ∂L ∂L
− = λ∂f
dt ∂ ˙r ∂r ∂r ⇒ m¨r − mr ˙ϕ2 = λ
d ∂L ∂L ∂f
− = λ
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⇒ mr2 ¨ϕ + 2mr ˙r ˙ϕ = 0 .
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