Klassische Mechanik

ist mit ganzen Zahlen m und n, d.h. wenn n Radialzyklen m Umläufe ergeben, so dass sich die Kurve
nach m Umfäufen schließt.
Sonst ist die Bahn offen. Nur der harmonische Oszillator, V = f
2 r2 , und das Keplerpotenzial, V = − α
r ,
haben finite geschlossene Bahnen für alle Anfangsbedingungen.
7.5 Kepler-Potenzial
Das wichtigste Zentralkraftpotenzial, das Kepler-Potenzial
V (r) = −G m1m2
r
≡ −α
r
(7.19)
der Planetenbewegung, wird im Folgenden ausführlich behandelt. Das effektive Potenzial für Bewegungen
im Gravitationsfeld ist nach (7.17)
Veff(r) = − α
r + p2ϕ .
2mr2 Damit ist
E = Veff(r) + 1
2 m ˙r2 ,
was genau derselbe Ausdruck ist, den man in einem eindimensionalen System hätte, in dem das Potenzial
dem Veff entspricht.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
1) E = E1 ≥ 0: Da das effektive Potenzial für r → 0 gegen +∞ geht, gibt es einen minimalen Abstand
r1 der Masse m vom Kraftzentrum. Dieser ist durch die Bedingung Veff(r1) = E1 festgelegt. Da Veff
für genügend große r negativ ist, gibt es keinen äußeren Umkehrpunkt. Die Bahn ist infinit und
beschreibt einen Streuvorgang, d.h. ein aus dem Unendlichen ankommendes Teilchen wird aufgrund
des Zentrifugalpotenzials zurückgestoßen und wandert wieder ins Unendliche. Nur für pϕ = 0 stürzt
das Teilchen ins Kraftzentrum. Wir werden später herausfinden, dass für pϕ = 0 und E1 > 0 eine
Hyperbelbahn und für E1 = 0 eine Parabelbahn vorliegt.
2) Wenn E negativ ist, ist die Bewegung gebunden, weil Veff für r → ∞ gegen Null geht, also für
genügend große r über dem Wert von E liegt. Es gibt also zwei Umkehrpunkte, diese seien bei den
Radien r2 (innen) und r3 (außen). Wir bezeichnen mit E2 die Energie Veff(r2) und mit E3 den
minimalen Wert von Veff. Wenn E3 < E = E2 < 0 ist, ist die Bahn finit und beschreibt einen
gebundenen Zustand. Das Teilchen läuft zwischen den Umkehrpunkten r2 und r3 hin und her.
3) Die Energie entspricht dem Minimum von Veff. Die Bahn bildet einen Kreis mit Radius
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