MATHEMATIK F¨UR PHYSIKER I Anhang : Mengen, Relationen ...

Mathematik für Physiker I - Anhang 7
Definition
(M, ≤) sei eine partiellgeordnete Menge.
Man sagt, c sei das Minimum von a und b und notiert c = min{a, b} oder auch
c = a ∧ b, wenn gilt
(i) c ≤ a, c ≤ b
(ii) ∀d : (d ≤ a, d ≤ b) ⇒ d ≤ c .
Man sagt, e sei das Maximum von a, b und notiert e = max{a, b} oder auch
e = a ∨ b, wenn gilt
(i) a ≤ e, b ≤ e
(ii) ∀d : (a ≤ d, b ≤ d) ⇒ e ≤ d .
Bemerke :
Wenn zu einem Paar a, b das Minimum (bzw. das Maximum) existiert, dann ist
es eindeutig bestimmt. Es können nicht zwei verschiedene Elemente als Minimum
(Maximum) qualifizieren.
Größte untere Schranken nennt man auch Infima, kleinste obere Schranken heißen
Suprema.
Definition
Eine partiell geordnete Menge (M, ≥) heißt ein Verband (engl. ” lattice“), wenn
zu jedem Paar a, b das Minimum und das Maximum existiert.
Beispiel 4
a) (K, ⊆) sei die Menge aller konvexen Teilmengen des d-dimensionalen
Anschauungsraums, geordnet durch die Inklusion. (K, ⊆) ist ein Verband.
Das Minimum ist der mengentheoretische Durchschnitt; das Maximum ist die
konvexe Hülle der Vereinigungsmenge.
b) (K a , ⊆) sei die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen des d-dimensionalen
Anschauungsraums. (K a , ⊆) ist ein Verband. Das Maximum zweier Elemente ist
die abgeschlossene konvexe Hülle der Vereinigungsmenge. (K a , ⊆) ist als geordnete
Menge in (K, ⊆) enthalten, nicht aber als Verband. Es gibt abgeschlossene
konvexe Mengen, für welche die konvexe Hülle der Vereinigungsmenge nicht
abgeschlossen ist.
Allgemeine Relationen und Abbildungsgraphen
Ein Teilmenge R von M1 × . . . × Mn interpretiert man manchmal als eine
n-stellige Relation. Beispielsweise interpretiert man die Lösungsmenge der Gleichung
x 2 + y 2 + z 2 = 1 als die Relation im Raum der Tripel (x, y, z), die darin
besteht, dass sich die Quadrate zu 1 ergänzen. Unter den Begriff der Relation
kann man viele geläufige Begriffe subsumieren. Besonders wichtige Relationen
sind durch Abbildungen gegeben.