MATHEMATIK F¨UR PHYSIKER I Anhang : Mengen, Relationen ...

Mathematik für Physiker I - Anhang 9
Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen
Auf der Menge M sei eine Äquivalenzrelation ∼ gegeben.
Zu jedem x ∈ M nennt man die Menge aller zu x äquivalenten Elemente die
Äquivalenzklasse von x
Mx := {y : y ∼ x} .
Die Äquivalenzklassen zu zwei Elementen x1, x2 sind entweder disjunkt oder
gleich. Das letztere ist genau dann der Fall, wenn x1 ∼ x2; in diesem Falle
nennt man x1 und x2 Repräsentanten derselben Äuivalenzklasse.
Sprechweisen
Eine Menge von Teilmengen der Grundmenge Ω heißt eine Partition der
Grundmenge Ω, wenn diese Teilmengen paarweise disjunkt sind.
Es versteht sich von selbst, was es heißt, eine Partition sei feiner als eine
andere Partition. Die ” Feinheit“ ist eine Ordnungsrelation auf der Menge aller
Partitionen von Ω.
Wenn {Ai : i ∈ I} eine Partition von Ω ist, dann schreiben wir Ω = Ai
und sagen, Ω sei die disjunkte Vereinigung der Ai. Die Partition Ω = Bj
ist genau dann feiner als die Partition Ω = Ai, wenn jedes Bj in einem der Ai
enthalten ist. Die nichtleeren Ai in einer Partition Ω = Ai heißen die Atome
der Partition. Die Gesamtheit aller Partitionen von Ω ist ein Verband.
Offenbar entsprechen die Partitionen von Ω den Äquivalenzrelationen über
Ω; die Atome der Partition sind die Äquivalenzklassen der entsprechenden Äquivalenzrelation.
Die zur Äquivalenzrelation ≈ gehörende Partition ist genau dann
feiner als die zur Äquivalenzrelation ∼ gehörende, wenn sie eine striktere Forderung
an die Äquivalenz stellt; d.h. wenn gilt
∀ω1, ω2 ω1 ≈ ω2 ⇒ ω1 ∼ ω2 .
Man sagt in diesem Falle, dass ≈ eine feinere Äquivalenz ist als ∼, oder dass ∼
gröber ist als ≈. Die ∼-Äquivalenzklassen zerfallen in ≈-Äquivalenzklassen.
Beispiele
1) Zu einer natürlichen Zahl m definiert man auf Z die ” Äquivalenz modulo m“
x ∼ y (mod m) ⇐⇒ (x − y) ist ein Vielfaches m. Wenn m ′ |m, dann ist die
” Äquivalenz modulo m′ “ gröber als die ” Äquivalenz modulo m“.
Als Repräsentanten der Äquivalenzklassen modulo m nimmt man gerne die Zahlen
0, 1, 2, . . . , m − 1. (Die Zahl m ist äquivalent zur 0).
2) Sei ϕ eine beliebige Abbildung Ω → N. Man gewinnt dazu eine Äquivalenzrelation
ω1 ∼ ω2 (mod ϕ) ⇐⇒
def ϕ (ω1) = ϕ (ω2) .
Die Atome der dazugehörenden Partition entsprenden den Punkten des Bilds
ϕ(Ω) ⊆ N. Seien ϕ1 : Ω → N1 und ϕ2 : Ω → N2 Abbildungen. Die Partition
zu (ϕ1, ϕ2) : Ω → N1 × N2 ist eine Verfeinerung der Partitionen zu ϕ1 und
zu ϕ2. Sie ist in der Tat die gröbste gemeinsame Verfeinerung dieser beiden
Partitionen.