6 Mechanische Schwingungen - FOS und BOS

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Zur Erinnerung: 0 y(t) ω = 2π 2 π ⋅ f = ⇔ f = T 1 T Experiment: Messung von T für Faden- und Federpendel (mind. 10 Vollschwingungen) 6.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung Aus der Ortskoordinate y( t) = A ⋅ sin( ωt + ϕ) ergibt sich die Momentangeschwindigkeit v als Ableitung: ∆y v( t) = lim = y" ( t) = ( A ⋅ sin( ωt + ϕ) ) " ⇒ v( t) = A ⋅ ω ⋅ cos( ωt + ϕ) ∆t→0 ∆t Für die Momentanbeschleunigung a folgt: ∆v 2 2 a( t) = lim = v" ( t) = ( A ⋅ ω⋅ cos( ωt + ϕ) " ) ⇒ a( t) = −A ⋅ ω ⋅ sin( ωt + ϕ) ⇒ a( t) = −ω ⋅ y( t) ∆t→0 ∆t Die Beschleunigung ist also stets zur Auslenkung y entgegengesetzt gerichtet; sie zeigt somit immer zur Nulllage hin. Die verursachende Kraft F( t) = m ⋅ a( t) heißt daher rücktreibende Kraft. 2 2 Es gilt F( t) = −m ⋅ ω ⋅ y( t) . Da k : = m ⋅ ω konstant ist, gilt zu jedem Zeitpunkt t F ( t) ~ y( t) . Umgekehrt: Ist bei einer Schwingung die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung y, so ist die Schwingung harmonisch. Begründung: Die Differenzialgleichung m ⋅ a( t) = −k ⋅ y( t) ⇔ m ⋅ " y" ( t) = −k ⋅ y( t) mit k > 0 besitzt als Lösungen nur Sinusfunktionen (vgl. 6.2). 6.1.3 Aufgaben T S.114/1 (Hammer); TR auf RAD! 10s Geg.: m = 50g; T = = 1, 25s; A = 9, 0cm (! ) 8 a) 2π 2π y ( t) = A ⋅ sin ωt ⇒ y( t) = 9, 0cm ⋅ sin( ⋅ t) ⇒ y( 8s) = 9, 0cm ⋅ sin( ⋅ 8s) = 5, 3cm 1, 25s 1, 25s Zusatz: Zu welchen Zeitpunkten befindet sich der Körper 4,0cm unterhalb der Nulllage? y y = A ⋅ sin ωt ⇔ sin ωt = A y ⇔ ωt = arcsin A 1 y T y ⇔ t = ⋅ arcsin ⇔ t = ⋅ arcsin ω A 2π A 1, 25s −4 t = ⋅ arcsin = −0, 092s (Hilfswert) 2π 9 Aus Graphen der Sinusfunktion: - 32 - t
) t 1 T = + 0, 092s = 0, 72s (abwärts) 2 t 2 = T − 0, 092s = 1, 16s (aufwärts) = T + t = 1, 97s = T + t = 2, 41s t3 1 - 33 - t 4 2 Allgemein: T T t 2k− 1 = ( 2k −1) ⋅ − t t 2 k = 2k ⋅ + t 2 2 2π 2π cm m v( 8s) = 9cm ⋅ ⋅ cos( ⋅8s) = −37 = −0, 37 1, 25s 1, 25s s s 2 2π 2 4π cm −2 m a( 8s) = −( ) ⋅ y( 8s) = − ⋅ 5, 3cm = −1, 33 = −1, 3⋅10 2 2 2 1, 25s ( 1, 25s) s s c) m v max = A ⋅ ω ⇒ vmax = 0, 45 ; s 2 m a max = A ⋅ ω ⇒ a max = 2, 3 2 s d) v = vmax , falls T cosωt = 1 ⇔ t = k ⋅ ( mit k ∈N 0) (Durchgang durch Nulllage) 2 e) T a = a max, falls sin ωt = 1 ⇔ t = ( 2k + 1) ⋅ ( mit k ∈N 0) (an den Umkehrpunkten) 4 −2 FR ( 8s) = m ⋅ a( 8s) ⇒ FR = −6, 7 ⋅10 N F ist maximal, wenn a maximal ist: = m ⋅ a ⇒ F = 0, 11N f) R 6.2 Beispiele harmonischer Schwingungen 6.2.1 Federpendel Fmax max max An einer Hookschen Schraubenfeder der Federkonstanten D hängt ein Körper der Masse m. Dessen Gewichtskraft bestimmt zunächst die Nulllage. Nach Auslenken von m nach unten führt der Körper eine Schwingung durch mit der rücktreibenden Kraft = −D ⋅ y (Hooksches Gesetz). Da D konstant ist, ist die Schwingung wegen FR ~ y harmonisch. Es gilt also: m ⋅ a( t) = −D ⋅ y( t) . Mit a ( t) = " y" ( t) ergibt sich die Differenzialgleichung m ⋅ " y" ( t) = −D ⋅ y( t) . Eine Lösung hiervon ist der Ansatz y( t) = A ⋅ sin( ωt + ϕ) . Einsetzen in die Differenzial- gleichung ergibt einen Zusammenhang zwischen m, D und ω : y( t) 2 F R = A ⋅ sin( ωt + ϕ) ⇒ " y" ( t) = −A ⋅ ω sin( ωt + ϕ) ⇒ m ⋅ ( −A ⋅ ω sin( ωt + ϕ)) = −D ⋅ A ⋅ sin( ωt + ϕ) m D D m 1 f 2 D m T 2 m D 2 ⇒ ⋅ ω = ⇔ ω = ⇒ = ⋅ π ⇒ = π ⋅ Insbesondere: Frequenz f und Schwingungsdauer T sind unabhängig von der Amplitude (Experiment!). Anmerkungen: 1. Im folgenden wird s ( t) : = y( t) gesetzt. 2. Obiges Ergebnis erhält man immer, wenn FR = −D ⋅ s ist. D heißt die Richtgröße des schwingenden Systems. Es gilt damit: harmonische Schwingung ⇔ FR ~ −s ⇔ f unabhängig von Amplitude A. 3. Die Federmasse muss gegenüber m vernachlässigbar sein, da auch ein Teil der Federmasse mitschwingt. 4. Ein schwingungsfähiges System heißt Oszillator. 2 0 y Feder (D) Masse m
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