6 Mechanische Schwingungen - FOS und BOS

6.3 Energie bei Schwingungsvorgängen
Während einer mechanischen Schwingung ändern sich ständig kinetische und potentielle Energie des
schwingenden Körpers. Im folgenden sollen kinetische Energie E k (t) und potentielle Energie E(t) p bei
einer harmonischen Schwingung berechnet werden:
m 2 m 2 2 2
Kinetische Energie: E(t) k = ⋅ (v(t)) = ⋅A⋅ω ⋅cos( ω t +ϕ )
2 2
D 2 D
2
Potentielle Energie: E p (t) = ⋅ (s(t)) = ⋅A⋅sin ( ω t +ϕ )
2 2
Gesamte Schwingungsenergie:
m 2 m 2 2 2 D
2
E(t) = E k(t) + E p(t)
= ⋅ (v(t)) = ⋅A⋅ω ⋅cos ( ω t +ϕ ) + ⋅A⋅sin ( ω t +ϕ )
2 2 2
2
mit D =ω ⋅ m ergibt sich:
m 2 m 2 2 2 m 2 2
E(t) = ⋅ (v(t)) = ⋅A⋅ω ⋅cos ( ω t +ϕ ) + ⋅ω ⋅A⋅sin ( ω t +ϕ ) =
2 2 2
m 2 2 2 2 m 2 2 2 2
= ⋅A ⋅ω ⋅(cos ( ω t +ϕ ) + sin ( ω t +ϕ )) = ⋅A ⋅ω , denn cos ( ω t +ϕ ) + sin ( ω t +ϕ ) = 1
2 2
Damit ist E zeitlich konstant, wenn A konstant bleibt (keine Dämpfung)
Graphische Darstellung:
Ek(t), Ep(t), E(t)
Aufgabe: S. 119/1
Hausaufgaben: S.119/2d,e
Übungsblatt 6,9
T
6.4 Gedämpfte Schwingungen
Aufgrund unvermeidlicher Reibung nimmt die Energie einer harmonischen Schwingung allmählich ab.
Man unterscheidet zweierlei Arten von Dämpfung:
Einfluß konstanter Reibungskraft
(z.B. waagrechte Schwingung eines Holzblocks auf rauher Oberfläche)
Die Amplituden der Schwingung nehmen um jeweils festen Betrag ab (abnehmende arithmetische Folge).
Schließlich ist in der Nähe der Nullage die rücktreibende Kraft nicht mehr größer als die Reibungskraft.
Der Stillstand erfolgt daher (i.a.) außerhalb der Nullage.
Einfluß geschwindigkeitsabhängiger Reibungskraft
(z.B. Luftreibung, innere Reibung, Wirbelstromdämpfung)
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t