Untersuchung an Zylinderprojektionen und die Berechnung des ...

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Untersuchung an Zylinderprojektionen und die Berechnung des ...

Vorwort

„Das Schälen einer Orange“ – auch diesen Titel hätte ich meiner Maturaarbeit geben können.

Die Orange demonstriert nämlich das Problem, mit welchem ich mich zwischen März 2008

und Januar 2009 befasst habe, vorzüglich. Haben Sie auch schon versucht, die Schale einer

Orange oder einer Mandarine nach dem genüsslichen Verzehr des Fruchtfleisches flach auf

einen Tisch zu drücken? Wenn ja, dann haben Sie sicherlich festgestellt, dass dies ein unmög-

liches Vorhaben ist. Genau dasselbe Problem tritt auf, wenn ein Geograph eine Karte der Er-

de erstellen möchte.

In den Geographielektionen an der Kantonsschule Sargans erfuhr ich in stark vereinfachter

Form, welche Möglichkeiten bestehen um dieses Problem zu lösen. Da ein wesentlicher An-

teil der Problemlösung aus Anwendungen der Vektorgeometrie, welche mir aus dem Schwer-

punktfach Mathematik bekannt waren, besteht, entschied ich mich im Februar 2008, meine

Maturaarbeit über dieses Thema zu schreiben. Nun, elf Monate und viele faszinierende Mo-

mente später, darf ich Ihnen, lieber Leser, die Resultate meiner geografisch-mathematischen

Untersuchungen präsentieren.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Inhaltsverzeichnis

1 Zusammenfassung ............................................................................ 5

2 Zielsetzung........................................................................................6

3 Grundlagen der Kartographie ........................................................... 7

3.1 Kurzer Rückblick in die Geschichte der Kartographie............................................... 7

3.2 Die Wahl der Bezugsfläche......................................................................................... 8

3.2.1 Die Bezugs- oder Ersatzfläche ...............................................................................................8

3.2.2 Das Geoid.................................................................................................................................8

3.2.3 Das Erdellipsoid......................................................................................................................9

3.2.4 Die Kugel ............................................................................................................................... 10

3.2.5 Fazit: Die Wahl der Bezugsfläche........................................................................................ 10

3.2.6 Von der Erdoberfläche auf die Bezugsfläche.......................................................................11

3.3 Koordinatensysteme ................................................................................................. 11

3.3.1 Das kartesische Koordinatensystem ....................................................................................11

3.3.2 Das geographische Koordinatensystem ..............................................................................11

3.4 Die Umwandlung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten .....................12

3.5 Abbildungsverzerrungen.......................................................................................... 14

3.6 Die Orthodrome und die Loxodrome........................................................................15

4 Arbeitsgrundlagen .......................................................................... 16

4.1 Die Statistik-Software „R“........................................................................................ 16

4.2 Die Form der Datensätze ......................................................................................... 16

4.3 Drehmatrizen ............................................................................................................17

5 Kartographische Abbildungen......................................................... 19

5.1 Azimutaler Kartennetzentwurf ................................................................................ 19

5.1.1 Der Zusammenhang zwischen der polaren, der transversalen und der allgemeinen

Lage des azimutalen Kartennetzentwurfs........................................................................................20

5.1.2 Orthographische Azimutalprojektion .................................................................................22

5.1.3 Gnomonische Azimutalprojektion .......................................................................................24

5.1.4 Stereographische Projektion................................................................................................26

5.1.5 Eigenschaften der drei vorgestellten Azimutalprojektionen.............................................30

5.1.6 Fazit „Kartographische Abbildungen“ Teil 1: Azimutale Kartennetzentwürfe................ 31

5.2 Zylinderentwurf ....................................................................................................... 32

5.2.1 Das Aufrollen des Zylinders.................................................................................................33

5.2.2 Orthogonale Zylinderprojektion .........................................................................................34

5.2.3 Zylinderprojektion mit dem Erdmittelpunkt als Projektionszentrum .............................36

5.2.4 Zylinderprojektionen mit Schnittzylinder ..........................................................................38

5.2.5 Mercator-Projektion.............................................................................................................40

Seite 3 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.2.6 Das Universale Transversale Mercator System ................................................................ 41

5.2.7 Fazit „Kartographische Abbildungen“ Teil 2: Zylinderentwürfe......................................42

5.3 Kegelentwurf ............................................................................................................ 43

5.3.1 Zentrale Kegelprojektion vom Erdmittelpunkt aus ...........................................................43

5.3.2 Fazit „Kartographische Abbildungen“ Teil 3: Kegelentwürfe...........................................50

5.4 Fazit „Kartographische Abbildungen“ ......................................................................51

6 Die Berechnung des Schwerpunktes eines Landes........................... 52

6.1 Der Flächenschwerpunkt ......................................................................................... 52

6.1.1 Der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks ............................................................................52

6.1.2 Der Flächenschwerpunkt eines Polygons ...........................................................................52

6.1.3 Die Berechnung einer Polygonfläche mit dem Vektorprodukt .........................................53

6.1.4 Die Berechnung des Flächenschwerpunkts einer Polygonfläche......................................56

6.1.5 Die Berechnung weiterer Schwerpunkte eines Landes...................................................... 57

6.2 Fazit „Schwerpunktsberechnungen“........................................................................ 59

7 Quellenverzeichnisse ......................................................................60

7.1 Literatur ...................................................................................................................60

7.2 Internet.....................................................................................................................60

7.3 Datensätze................................................................................................................60

7.4 Programme............................................................................................................... 61

7.5 Abbildungen ............................................................................................................. 61

7.6 Tabellen.................................................................................................................... 61

8 Dank ............................................................................................... 62

9 Deklaration der Eigenständigkeit.................................................... 62

Seite 4 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

1 Zusammenfassung

Das Prinzip von kartographischen Abbildungen besteht darin, einen Kegel um die

Erde zu legen. Besitzt dieser Kegel einen Öffnungswinkel von 0°, so ist dies eine Zy-

linderprojektion, ein Öffnungswinkel von 180° entspricht einer Azimutalprojektion.

Ich untersuchte insgesamt drei Azimutalprojektionen. Die orthographische Azimu-

talprojektion zeichnet sich durch längentreue Abbildung der Breitenkreise aus. Zu-

dem ist ihr Abbildungsmechanismus sehr einfach. Deshalb ist diese Projektion in po-

larer Lage für Abbildungen um den Pol bis etwa zum 60. Breitengrad zu empfehlen.

Die gnomonische Azimutalprojektion ist grundsätzlich als Kartenprojektion ungeeig-

net, da sehr grosse Verzerrungen auftreten. Einziger Vorteil ist die Abbildung der Or-

thodromen auf eine Gerade. Die stereographische Azimutalprojektion ist eine winkel-

treue Projektion.

Bei den Zylinderentwürfen wird die Erde zuerst auf einen Zylindermantel projiziert,

den man anschliessend aufrollt. Für die Abbildung der gesamten Welt bietet sich

nach meiner Meinung die orthogonale Zylinderprojektion an, da die Kartenfläche

hier beschränkt ist. Zudem ist die Form der Karte wie bei allen anderen Zylinderpro-

jektionen ein Rechteck.

Die Zylinderprojektion mit dem Projektionszentrum im Erdmittelpunkt ist nur für

Gebiete um den Berührungskreis Zylinder-Kugel sinnvoll. Da entlang des Berüh-

rungskreises die Verzerrungen am geringsten sind, kann man diese Eigenschaft aus-

nutzen, in dem man den Zylinderradius gegenüber dem Erdradius verkleinert, womit

der fast verzerrungsfreie Korridor erheblich vergrössert wird.

Eine neuartige Projektion, der die Erde fast verzerrungsfrei abbildet, ist die UTM-

Projektion, die aus sechzig Schnittzylinderprojektionen konstruiert werden kann. Die

Grundlage der UTM-Projektion ist die winkeltreue transversale Mercator-Projektion.

Die Kegelprojektion mit allgemeinem Öffnungswinkel eignet sich insbesondere, wenn

man eine ganze Hemisphäre abbilden möchte.

Den Schwerpunkt der Schweiz konnte ich mit grossem Erfolg berechnen. Dabei be-

trachtete ich die Schweiz als ebenes Polygon. Von je zwei nebeneinander liegenden

Eckpunkten bildete ich zusammen mit dem Ursprung ein Dreieck, von dem ich die

Fläche und den Schwerpunkt bestimmte. Damit konnte ich mit der allgemeinen For-

mel für Schwerpunktsberechnungen den Mittelpunkt der Schweiz bestimmen.

Seite 5 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

2 Zielsetzung

Meine Untersuchungen habe ich in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil eignete ich mir die für

das Verständnis der Kartographie nötigen Grundkenntnisse an. Neben einem kurzen Rück-

blick in die Geschichte der Kartographie und einer Repetition der elementaren Vorgänge der

Vektorgeometrie befasste ich mich insbesondere mit der Frage, welche Form die Erde besitzt.

Dabei betrachtete ich das Geoid, das Erdellipsoid und die Kugel als mögliche Bezugsflächen.

Im Anschluss an diese Einführung ging ich zum zweiten Teil über. Hier wollte ich mir zuerst

einen Überblick über die geläufigsten Projektionsarten machen und wählte davon schliesslich

neun Vertreter aus (drei Azimutalprojektionen, fünf Zylinderprojektionen und eine Kegelpro-

jektion). Von diesen leitete ich jeweils nicht nur die Abbildungsgleichung her, sondern unter-

suchte sie auch auf Eigenschaften wie Flächen-, Winkel- oder Geradentreue. Dieser Teil be-

inhaltete zudem die Erstellung einzelner Karten. Bei den Zylinderprojektionen wollte ich

zudem noch den Fall betrachten, wo der Zylinderradius kleiner als der Erdradius ist (ergibt

einen Schnittzylinder).

Der dritte und letzte Teil beschäftigte sich sehr stark mit Vektorgeometrie. Das Ziel war es,

den Flächen- sowie den Bevölkerungsschwerpunkt der Schweiz zu berechnen.

Als Arbeitsgrundlage verwendete ich jeweils die Statistik-Software „R“.

Seite 6 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

3 Grundlagen der Kartographie

3.1 Kurzer Rückblick in die Geschichte der Kartographie

Bereits in der Altsteinzeit versuchten Höhlenmenschen ihren Lebensraum durch Höhlenma-

lereien wiederzugeben. Diese Skizzen, die sich oft nur auf Symbole beschränkten, können als

erste Landkarten verstanden werden, welche bereits damals als Orientierungsstütze in der

Wildnis geschätzt wurden. Selbstverständlich handelte es sich dabei natürlich nur um sehr

kleine Gebiete; der Anspruch, die gesamte Erde zu beschreiben, kam erst in der Antike ab

circa 500 v. Chr. auf.

Bereits den antiken Griechen war bekannt, dass es sich bei der

Form der Erde um eine Kugelgestalt handelt. Als einer der

ersten Wissenschaftler konnte der Mathematiker Eudoxos

dieses neuartige Weltbild, welches die Vorstellung der Erde als

Scheibe ablöste, mittels astronomischen Beobachtungen be-

weisen. Damit wurde es nun aber auch nötig, ein Verfahren für

die Abbildung einer Kugel auf ein Blatt Papier zu entwickeln.

Ein erster geeigneter Abbildungsmechanismus konnte um 150

n. Chr. Claudius Ptolemäus von Alexandrien präsentieren.

Sein Lösungsansatz war eine flächentreue Kegelprojektion,

dank dem er als eigentlicher Begründer der Kartenprojektions-

lehre gilt.

Mit dem Zerfall des Römischen Reiches gerieten die Erkenntnisse aus den verschiedenen

Wissenschaften in Vergessenheit und wurden nicht weiter verfolgt; die Erde wird nun gemäss

den kirchlichen Vorschriften sogar wieder als Scheibe betrachtet.

Erst mit den grossen Entdeckungsfahrten von Magellan und Kolumbus wurde die Kartogra-

phie wieder entdeckt. Dank neuartigen Hilfsmitteln wie Kompass und Astrolabium 1 entstan-

den immer genauere Karten. So entwickelte der Nürnberger Martin Behaim bereits 1492 den

„Erdapfel“ und damit den ersten Globus. Bis heute einer der grössten Kartographen ist der

Deutsche Gerhard Kremer, besser bekannt unter dem lateinischen Decknamen Gerhard Mer-

cator, der Mitte des 16. Jahrhunderts die nach ihm benannte „Mercator-Projektion“ entwi-

ckelte. Dabei handelt es sich um eine winkeltreue Projektion, die vor allem für die Seefahrt

sehr bedeutungsvoll ist.

1 Astronomisches Winkelmessgerät.

Abb. 1: Gilt als Begründer

der Kartographie:

Claudius Ptolemäus.

Seite 7 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Die Grundidee der Kartographie – die Projizierung der Kugeloberfläche auf einen geometri-

schen Körper – ist bis heute die gleiche geblieben. Einzig verändert haben sich die Vermes-

sungsmethoden, die es heute erlauben, die Erdoberfläche äusserst exakt im Zweidimensiona-

len zu dokumentieren.

3.2 Die Wahl der Bezugsfläche

3.2.1 Die Bezugs- oder Ersatzfläche

Die Erde ist leider nicht einfach eine Kugel, sondern ist mit ihren Bergketten und Tälern ein

unregelmässig geformtes Objekt, welches zudem wegen äusseren Einflüssen wie Wind und

Regen auch eine sich ständig veränderbare Oberfläche besitzt. Für ein kartographisches Ab-

bildungsverfahren ist es nun aber wünschenswert, die Erde als geometrischen Körper be-

trachten zu können, da von diesem die Abbildungseigenschaften bekannt sind. Gesucht ist

nun also eine Ersatz- oder Bezugsfläche für die Form der Erde. In den folgenden Unterkapi-

teln sollen deshalb verschiedene Bezugsflächen kurz beschrieben werden.

3.2.2 Das Geoid

Als beste Annäherung für die Form der Erde gilt

zurzeit das Geoid. Die meisten topographischen

Institute verwenden es heute als Bezugssystem

für die Erstellung ihrer Landkarten. Das Geoid ist

Abb.3: Circa 15’000-fach

überhöhtes 3D-Modell des

WGS84-Geoids.

eine komplizierte

Näherung der

Erdoberfläche,

wo die grossen

Gebirge (Alpen, Himalaja, …) gestaucht und die tiefen Grä-

ben der Ozeane aufgefüllt werden. Dadurch entsteht ein Ob-

jekt, das der Form eines Ellipsoids zwar gleicht, von diesem

aber um maximal 110 m abweicht 2 . Aufgrund dieser geringen

Abweichung vom Ellipsoid (alle Halbachsen besitzen einen

Wert von über 6'300 km) soll dieses als neue Bezugsfläche

geprüft werden.

2 Kohlstock, Peter: Kartographie. Eine Einführung. Seite 21.

Geoid

Erdoberfläche

Abb. 2: Das Geoid: Unebenheiten der

Erdoberfläche werden geglättet, aber

nicht vernachlässigt.

Seite 8 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

3.2.3 Das Erdellipsoid

Das die Erde beschreibende Ellipsoid (Erdellipsoid) hat eine ganz spezielle Form: Zwei der

drei Halbachsen, die zur Definition des Ellipsoids notwendig sind, haben die gleiche Länge.

Die dritte Halbachse ist

kürzer als die anderen bei-

den. Ein solches Ellipsoid

entsteht immer dann, wenn

eine Kugel um die eigene

Achse rotiert. Durch diese

Tätigkeit wird eine Abplat-

tung an den Polen bezie-

hungsweise eine Ausdeh-

nung des Äquatorradius

hervorgerufen. Ein durch diesen Vorgang entstandenes Ellipsoid nennt sich Rotationsel-

lipsoid. Es wird meistens durch eine Halbachse, oft dem Äquatorradius a, und die Abplattung

f definiert. Für die Abplattung f gilt 3 :

a − b

f = , a: Äquatorradius, b: Polradius.

b

Natürlich kann das Rotationsellipsoid auch durch den Äquatorradius a und den Polradius b

definiert werden.

Heute existieren sehr viele verschiedene Rotationsellipsoide, weil ein Rotationsellipsoid je-

weils nur für einen bestimmten Teil der Erde besonders gut passt (vergleiche die Abweichung

des Geoids vom Ellipsoid). Deshalb hat vielfach jedes Land sein eigenes Erdellipsoid. Zwei

besonders oft verwendete Bezugssysteme sind das Bessel-Ellipsoid aus dem Jahre 1841, auf

dem unter anderem auch das Schweiz Kartenbezugssystem basiert, und das Erd-Ellipsoid

WGS 84.

Ellipsoid a b 1/f

Bessel-Ellipsoid 1841 6'377'397.155 m 6'356'078.963 m 299.15281

WGS 84 6'378'137.000 m 6'356'752.314 m 298.25722

Tabelle 1: Daten zu ausgewählten Rotationsellipsoiden.

r

r

Abb. 4: Die Entstehung eines Rotationsellipsoids aus einer Kugel. Es

gilt: a > r > b.

3 http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm; 7. Dezember 2008; Abschnitt Referenzellipsoide.

r

Seite 9 von 64 Jan Aeschlimann

a

b

a

.


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3.2.4 Die Kugel

Vergleicht man die Länge der Halb-

achse b mit derjenigen der Halbach-

se a, so stellt man fest, dass sie sich

um nur 21'318 m (Bessel-Ellipsoid

1841) unterscheidet. Dieser Wert

entspricht gerade mal 0.34% der

gesamten Länge von b. Angesichts

dieser geringen Abweichung können

für Abbildungen grosser Erdteile die

beiden Halbachsen als gleich lang

betrachtet werden. Damit wurde die

für Erdabbildungen wohl einfachste

Bezugsfläche gefunden: eine Kugel

mit Radius rE=6371 km (mittlerer

Erdradius).

3.2.5 Fazit: Die Wahl der Bezugsfläche

Die für Kartenprojektionen geläufigsten Bezugsflächen lauten also Geoid, Erdellipsoid und

Kugel. Doch welche Bezugsfläche soll nun verwendet werden? Grundsätzlich kann gesagt

werden: Je kleiner und damit detaillierter das abzubildende Gebiet, desto genauer soll auch

das Bezugssystem gewählt werden. Der Kartograph Peter Kohlstock präzisiert zudem in sei-

nem Buch „Kartographie“ 4 :

„Für Kartenabbildungen im Massstab M < 1:1 Mill. findet eine […] Kugel mit ei-

nem Radius von R=6371km Anwendung als Bezugsfläche.“

Dabei gibt der Massstab M das Verkleinerungsverhältnis zwischen Bild und Urbild an. In der

Kartographie entspricht dies also dem Verhältnis zwischen Kartenstrecke sK und Naturstre-

cke sN 5 .

s

M =

K

s

N

6371 km

Wegen der eben genannten Faustregel werde ich für die Erstellung nachfolgender Karten die

oben beschriebene Kugel als Bezugsfläche verwenden.

4 Kohlstock, Peter: Kartographie. Eine Einführung. Seite 22.

5 Kohlstock, Peter: Kartographie. Eine Einführung. Seite 15.

6356 km

6377 km

Kugel

Erdellipsoid

Geoid

15 km

0.11 km

Abb. 5: Ein Vergleich zwischen den drei Bezugsflächen

Kugel (Radius rE = 6371 km), Erdellipsoid (Halbachsen

a = 6377 km und b = 6356 km) und Geoid. Die Skizze

ist nicht proportionalitätsgetreu.

Seite 10 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

3.2.6 Von der Erdoberfläche auf die Bezugsfläche

Im vorherigen Abschnitt ist die Kugel als Bezugsfläche gefunden worden. Nun muss die Erd-

oberfläche aber noch auf die Kugeloberfläche projiziert werden. Dazu bietet sich eine Ortho-

gonalprojektion mit dem Kugelmittelpunkt als Projektionszentrum an.

P

Q’

P’

Q

3.3 Koordinatensysteme

Z

Kugel

Erdoberfläche

3.3.1 Das kartesische Koordinatensystem

Für die Beschreibung von Datenpunkten wird ein Koordi-

x

z

P(x/y/z)

Abb. 7: Das kartesische Koordinatensystem.

y

natensystem benötigt. Das wahrscheinlich bekannteste Ko-

ordinatensystem ist das kartesische Koordinatensystem. Es

besteht aus den drei Achsen x, y und z. Damit kann jeder

Punkt durch die Angabe der x-, der y- und der z-Koordinate

beschrieben werden.

Abb. 6: Funktionsweise der Orthogonalprojektion:

Die Erdoberfläche

wird auf diejenige der Kugel projiziert.

3.3.2 Das geographische Koordinatensystem

Weil das Bezugssystem nun aber eine Kugel ist, sind kartesische Koordinaten zur Angabe der

Erdoberfläche ungeeignet. Der Grund liegt darin, dass die Punkte auf der Erde mit dem kar-

tesischen Koordinatensystem nicht sofort abgelesen werden können, sondern zuerst noch

berechnet werden müssen. Das Resultat sind dann oft unhandliche Dezimalzahlen. Als Alter-

Seite 11 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

native bietet sich die Angabe der Punkte durch Winkel an. Diese sind sehr einfach an-

zugeben, da sich eine Kugel sehr leicht in Breiten- oder Parallelkreise (Kreise parallel zum

Äquator) und in Meridiane beziehungsweise Längenkreise (Verbindung des Nords- mit dem

Südpol) aufteilen lässt. Diese Art des Koordinaten-

systems nennt sich geographisches Koordinatensys-

tem. Die einzelnen Daten werden in den so genann-

ten Kugelkoordinaten angegeben. Ein Punkt kann

so mit zwei Winkeln beschrieben werden. Typi-

scherweise sind dies die Winkel λ und φ. Die geo-

graphische Länge λ beschreibt den Winkel zwischen

dem 0°-Meridian (Greenwich-Meridian) und dem

Längenkreis des Punktes, der Winkel φ derjenige

zwischen der Äquatorebene und des Breitenkreises.

Aus der Skizze wird ersichtlich, dass λ und φ fol-

gende Werte annehmen können:

• λ: 0° - 180° östliche Länge von Greenwich (w. L. v. Gr.)

0° - 180° westliche Länge von Greenwich (ö. L. v. Gr.)

• φ: 0° - 90° nördliche Breite (n. B.)

0° - 90° südliche Breite (s. B.)

Bei einer Kugel als Ersatzfläche muss zusätzlich zu den zwei Winkeln noch der Kugelradius r

angegeben werden. Wäre ein Rotationsellipsoid die Bezugsfläche, so könnten die Punkte

auch hier mit zwei Winkeln angegeben werden, zusätzlich müssen aber noch anstatt dem

Kugelradius die beiden Ellipsoid-Halbachsen a und b bekannt sein.

3.4 Die Umwandlung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten

Zur Erstellung von Karten muss der Datensatzvektor (vergleiche Kapitel 4.2) in kartesische

Koordinaten umgewandelt werden. Dazu benötigt man eine Transformationsgleichung, die

bei gegebenen Winkeln sowie dem Kugelradius die x-, die y- und die z-Koordinate wieder-

gibt. Diese soll nun hergeleitet werden. Die Abbildung 8 soll als Gedankenstütze dienen. Die

Winkel werden im Bogenmass angegeben. Zudem werden in der Herleitung Drehmatrizen

verwendet. Diese sind im Abschnitt 4.3 näher beschrieben.

1. Ausgangslage: Eine Kugel habe den Radius r=1. Daraus lassen sich die Koordinaten

von Nordpol und Erdmittelpunkt ablesen.

X

0°−Meridian

Abb. 8: Das kartesische und das

geographische Koordinatensystem.

Seite 12 von 64 Jan Aeschlimann

Z

M

ϕ

λ

y

Äquator

z

P

x

Nordpol

Y

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Nordpol: N(0/0/1)

Erdmittelpunkt: O(0/0/0)

π

2. Idee: Zwei Drehungen, zuerst eine um die y-Achse mit dem Winkel ϑ = − ϕ und

2

dann eine um die z-Achse mit dem Winkel λ , führen den Punkt N(0/0/1) in den

Punkt P(x/y/z) über.

π

3. Drehung um die y-Achse: N(0/0/1) wird mit dem Winkel ϑ = − ϕ um die y-

2

Achse gedreht.

⎛ cos


⎜ 0


⎝−

sin

( ϑ)

0 sin(

ϑ)

1

0

( ϑ)

0 cos(

ϑ)

⎞ ⎛0⎞

⎛ sin

⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⋅ ⎜0⎟

= ⎜ 0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝cos

( ϑ)


( ) ⎟⎟⎟

ϑ


4. Drehung um die z-Achse: Man dreht den in [3.] gefundenen Punkt mit dem Win-

kel ϕ um die z-Achse.

⎛cos


⎜ sin


⎝ 0

( ϕ)

− sin(

ϕ)

( ϕ)

cos(

ϕ)

0

0⎞

⎛ sin

⎟ ⎜

0⎟

⋅ ⎜ 0

1

⎟ ⎜

⎠ ⎝cos

( ϑ)

( ϑ)

⎞ ⎛sin

⎟ ⎜

⎟ = ⎜ sin

⎟ ⎜

⎠ ⎝

( ϑ)

⋅ cos(

ϕ)

( ϑ)

⋅ sin(

ϕ)

cos(

ϑ)

5. Streckung: Abschliessend streckt man den in [4.] gefundene Vektor um den Faktor

r , damit die Transformationsgleichung für jede beliebige Kugel gilt.

⎛sin


r ⋅⎜

sin



( ϑ)

⋅ cos(

λ)

( ϑ)

⋅ sin(

λ)

cos(

ϑ)

⎞ ⎛r

⋅ sin

⎟ ⎜

⎟ = ⎜ r ⋅ sin

⎟ ⎜

⎠ ⎝ r ⋅

( ϑ)

⋅ cos(

λ)

( ϑ)

⋅ sin(

λ)

cos(

ϑ)

Damit ist die Transformationsgleichung gefunden. Sie lautet folgendermassen:

⎛ ⎛ π ⎞

⎜r

⋅sin⎜

− ϕ⎟

⋅cos

⎛ x ⎞ ⎜ ⎝ 2 ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎛ π ⎞

⎜ y⎟

⇔ ⎜ r ⋅sin⎜

− ϕ⎟

⋅sin

⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠

⎝ z ⎠ ⎜ ⎛ π ⎞

⎜ r ⋅cos⎜

− ϕ⎟

⎝ ⎝ 2 ⎠

( λ)

( λ)

Die Gleichungen für die Rücktransformation erhält man durch Umformen.

⎧ ⎛ ⎞

⎪ ⎜ x

arccos


⎪ ⎜ 2 2 ⎟

⎪ ⎝ x + y

λ =





⎜ x

⎪2⋅

π − arccos

⎜ 2

⎪⎩

⎝ x + y

2





⎟ .





für y



⎟ für y



⎟ ⎟⎟


≥ 0

< 0


⎟ ⎟⎟


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.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

ϕ =


arctan




x

2

z

+ y

2





3.5 Abbildungsverzerrungen

Beim Erstellen einer Abbildung spricht man von Bild und Urbild, wobei das Bild jeweils die

Projektion des Urbilds darstellt. Das Bild besitzt spezielle geometrische Eigenschaften ge-

genüber ihrem Urbild. Diese sind:

• Längentreue: Die Länge einer Strecke im Urbild entspricht derjenigen im Bild.

• Flächentreue: Die Fläche eines Gebietes im Urbild entspricht derjenigen im Bild.

• Winkeltreue: Alle Winkel im Urbild entsprechen jenen im Bild.

Treffen alle drei Eigenschaften auf eine Abbildung zu, so sind Bild und Urbild kongruent.

Unterscheiden sich Bild und Urbild nur in ihrem Verhältnis (Vergrösserung bzw. Verkleine-

rung), so sind sie ähnlich.

Im Beispiel des Vorworts habe ich erläutert, dass es unmöglich ist, eine Orangenschale ohne

Deformation flach auf einen Tisch drücken zu können. Dies bedeutet aber gleichzeitig, dass

sich die Erde als Kugel nicht verzerrungsfrei auf einer Ebene darstellen lässt. Die einzige ähn-

liche Abbildung der Erde ist somit einzig der Globus, Karten haben dagegen immer eine Ver-

zerrung.

Zur Beurteilung von Verzerrungen habe ich ein Kartennetz, bestehend aus 24 Meridianen

(von -180° bis 180° alle 15°) und elf Breitenkreisen (von -75° bis 75° ebenfalls alle 15°), ver-

wendet, mit dem die charakteristischen Eigenschaften des Bildes sehr gut zum Tragen kom-

men.

Seite 14 von 64 Jan Aeschlimann

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Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

3.6 Die Orthodrome und die Loxodrome

Zwei ganz spezielle Linien sind die Orthodrome

und die Loxodrome. Hat man zwei Punkte A und B

auf der Erdoberfläche, so beschreibt die Orthodro-

me oder geradlaufende Linie die kürzeste Verbin-

dung zwischen A und B auf der Kugel. Die Berech-

nung der Orthodrome ist allerdings nicht ganz ein-

fach, da sie die Meridiane ständig neu schneidet

und damit immer wieder neu berechnet werden

muss. Die Orthodrome besitzt die Eigenschaft, dass

sie zusammen mit dem Kugelmittelpunkt in einer

Ebene liegt.

Anders ist dies bei der Loxodromen oder schief

laufenden Linie: Sie schneidet die Meridiane stets

mit demselben Winkel, ist dadurch aber auch länger als die Orthodrome. Als Ausnahme

müssen hier zwei Situationen noch aufgeführt werden, wo die Orthodrome gerade gleich der

Loxodrome ist. Dies ist bei folgenden zwei Situationen der Fall:

• Die Punkte A und B liegen beide auf dem Äquator.

• Die Punkte A und B liegen beide auf demselben Meridian.

Bei einem winkeltreuen Kartennetzentwurf wird die Loxodrome jeweils als Gerade abgebil-

det.

Orthodrome

A

α

α

Loxodrome

Seite 15 von 64 Jan Aeschlimann

α

Abb. 9: Darstellung der Orthodromen

und der Loxodromen.

B

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

4 Arbeitsgrundlagen

4.1 Die Statistik-Software „R“

Die Berechnungen und

Karten habe ich mit der

Statistik-Software „R“

durchgeführt beziehungs-

weise erstellt. „R“ ist kos-

tenlos und kann unter an-

derem über die Seite der

ETH Zürich herunter gela-

den werden 6 . Das „R“ ist

primär als grosser Ta-

schenrechner zu verstehen,

der zudem auch fähig ist,

Graphiken zu erzeugen.

Weiter ist es mit seinem

einfachen Aufbau der Befehle sehr benutzerfreundlich und bei Problemen gibt es eine sehr

ausführliche Hilfe. Diese Eigenschaften sind Ursache dafür, dass das „R“ vor allem für die

Auswertung von Statistiken sehr geschätzt wird.

4.2 Die Form der Datensätze

Im Kapitel 3.3 habe ich mich entschieden, die Daten in Kugelkoordinaten anzugeben. Damit

ist ein Punkt durch die Winkel λ und φ gegeben. Alle Punkte fasse ich in einer Matrix zu-

sammen, und zwar in nachfolgender Form:

⎛ λ


⎜ λ


λ


⎜ M



λ


⎝ λ

1

2

3

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

n−1 n−1

n

M

ϕ

1

2

3

n





⎟ .





Für die Daten des Umrisses der Schweiz wäre diese Matrix beispielsweise 1'341 Zeilen lang.

6 http://stat.ethz.ch/CRAN/; 2. März 2008.

Abb. 10: Die Benutzeroberfläche von „R“.

Seite 16 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

⎛8.

693100°


⎜ 8.

721282°


M


⎜ 7.

794233°


⎜ M


⎝ 8.

721282°

47.

702969°



47.

693481°


M



45.

929951°



M ⎟

47.

693481°



Diese „Datensatz-Matrizen“ stellen das Ausgangsmaterial für die Berechnungen der karto-

graphischen Abbildungen dar. Es bleibt allerdings noch darauf hinzuweisen, dass das „R“

nicht im Winkel- sondern im Bogenmass rechnet. Deshalb müssen die Werte der Matrix zu-

erst unbedingt noch umgerechnet werden:

⎛ λ


⎜ λ


λ


⎜ M



λ


⎝ λ

1

2

3

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎞ ⎛ Μ 1 Γ1


⎟ ⎜


⎟ ⎜ Μ 2 Γ2


⎟ ⎜

Μ Γ



π

⎜ 3 3

⋅ =

⎟ .

⎟ 180° ⎜ M M ⎟

⎟ ⎜


⎟ ⎜

Μ n−1

Γn−


⎟ ⎜


⎠ ⎝ Μ n Γn


n−1 n−1

1

n

M

1

2

3

n

4.3 Drehmatrizen

In der Kartenherstellung muss man die Erde oft drehen, damit sie gut in einen geometri-

schen Hilfskörper, zum Beispiel einen Zylinder, hineinpasst. Der Grund dafür liegt auf der

Hand: Die Erde kann man sehr einfach drehen, da die Punkte bekannt sind. Beim geometri-

schen Hilfskörper würde sich dieser Vorgang um einiges schwieriger gestalten, da man ja

noch nicht weiss, wo auf dem Hilfskörper die projizierten Punkte liegen werden.

Ein Punkt, gegeben durch den Ortsvektor

Winkel α gedreht werden:

⎛ x ⎞

⎜ ⎟

⎜ y⎟

, kann durch folgende Drehmatrizen mit dem

⎜ ⎟

⎝ z ⎠

• Drehung des Punktes um die x-Achse: ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟

⎜0

cos α − sin α


0 sin α cos α

• Drehung des Punktes um die y-Achse:

⎛ 1



⎛ cos


⎜ 0


⎝−

sin

0


.

Seite 17 von 64 Jan Aeschlimann

0

( α)

0 sin(

α)

1

0



.

( ) ( ) ⎟⎟⎟

α 0 cos α


.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

• Drehung des Punktes um die z-Achse:

⎛cos


⎜ sin


⎝ 0

( α)

− sin(

α)

( α)

cos(

α)

Eine Drehmatrix A besitzt immer die Determinante det ( A ) = 1 . Die Determinante einer Mat-

rix in der Form von

0

0⎞


0⎟

.

1



⎛ a1

b1

c1




A = ⎜a2

b2

c2

⎟ lässt sich folgendermassen berechnen:



⎝a

3 b3

c3


( A) a1

⋅ b2

⋅ c3

+ a2

⋅b3

⋅ c1

+ a3

⋅ b1

⋅ c2

− a3

⋅b2

⋅ c1

− a1

⋅ b3

⋅ c2

− a2

⋅b1

⋅ 3

det = c .

Eine Kontrolle zeigt, dass die oben angegeben Drehmatrizen alle die Determinante 1 besitzen.

Seite 18 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5 Kartographische Abbildungen

Das Prinzip von kartographischen Abbildungen ist immer gleich: Die Kugel projiziert man

auf eine geometrische Abbildungsfläche, die dann ohne weitere Verzerrungen auf die Ebene

abgewickelt werden kann. Als Abbildungsfläche bietet sich der Kegel an, wobei dieser durch

einen Öffnungswinkel α charakterisiert ist. Dadurch sind drei verschiedene Situationen

denkbar.

α = 0° 0° < α < 180° α = 180°

Zylinderentwurf Kegelentwurf Azimutaler Entwurf

Ein Zylinder als Abbildungsfläche.

α

Äquator

Äquator projiziert

Ein Kegel als Abbildungsfläche.

Abb. 11 - 13: Die drei kegeligen Kartennetzentwürfe in der Übersicht.

Äquator

Eine Ebene als Abbildungsfläche.

Um die im Kapitel 2 formulierten Ziele zu erreichen, habe ich die Abbildungsgleichungen von

einer Auswahl kegeliger Abbildungen hergeleitet. Daraus konnte ich mit dem „R“ Karten

erstellen, mit denen ich die Abbildungseigenschaften der einzelnen Projektionen untersucht

habe.

5.1 Azimutaler Kartennetzentwurf

Der azimutale Kartennetzentwurf ist die einfachste Entwurfsart. Als Abbildungsfläche dient

nämlich eine Ebene, womit das mühsame Aufklappen, wie dies bei einem Kegel oder Zylinder

der Fall wäre, entfällt. Der azimutale Kartennetzentwurf zählt ebenfalls zu den Kegelentwür-

fen, da die Ebene gewissermassen ein Kegel mit Öffnungswinkel α = 180°

ist.

Es gibt drei Fälle, wo die Ebene die Kugel berühren kann:

• Polare Lage: Die Ebene berührt die Kugel an einem der beiden Pole, normalerweise

am Nordpol.

Seite 19 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

• Transversale Lage: Die Ebene berührt die Kugel an einem Punkt auf dem Äquator.

• Allgemeine Lage: Berührt die Ebene die Kugel an keinem der oben genannten

Punkte, so spricht man von der allgemeinen Lage.

Zudem ist noch entscheidend, wo das Projektions-

zentrum Z liegt. Von den wichtigsten azimutalen Kar-

tennetzentwürfen werde ich nachfolgen vorstellen:

• Orthographische Projektion: Das Projek-

tionszentrum Z liegt im Unendlichen.

• Gnomonische Projektion (orthodromi-

sche Projektion): Das Projektionszentrum

Z liegt im Kugelmittelpunkt.

• Stereographische Projektion: Das Pro-

jektionszentrum Z liegt auf der Kugeloberflä-

che, und zwar im Gegenpunkt des Berührungspunktes Kugel–Ebene (das heisst der

Abstand zwischen dem Berührungspunkt Kugel–Ebene und dem Projektionszentrum

beträgt zweimal den Erdradius (2 rE)).

5.1.1 Der Zusammenhang zwischen der polaren, der transversalen und der

allgemeinen Lage des azimutalen Kartennetzentwurfs

Jeder Azimutalentwurf besitzt genau einen

X

0°−Meridian

B’

N

Z

ϕ

M

ϕ

λ

Äquator

Kugel–Ebene auch hier wieder am Nordpol liegt.

B

Nordpol

Berührungspunkt

Abb. 15: Der Berührungspunkt wird zuerst um

die z-Achse, anschliessend um die y-Achse

gedreht.

Y

Abb. 14: Azimutalprojektion.

Berührungspunkt Kugel–Ebene. Beim pola-

ren Kartennetzentwurf ist dies gerade der

Nordpol. Dieser besitzt die kartesischen Ko-

ordinaten N(0/0/6371) beziehungsweise die

geografischen N(0°/90°), wobei der Erdra-

dius 6371 km beträgt. Da der polare azimuta-

le Kartennetzentwurf der wichtigste Entwurf

dieser Art ist und zudem die Abbildungsebe-

ne in dieser Situation parallel zur x- und y-

Achse ist (sehr günstige Situation, wie sich

später zeigen wird), definiere ich diese Lage

als „Ausgangslage“. Alle anderen Entwürfe

muss man deshalb vor der Projektion zuerst

noch drehen, damit der Berührungspunkt

Seite 20 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Sei der Berührungspunkt B(λB/φB) in geografischen Koordinaten gegeben. So muss dieser

Punkt nun so gedreht werden, dass er schlussendlich mit dem Nordpol zusammenfällt. Dies

kann in nur zwei Drehungen geschafft werden.

1. Drehung um die z-Achse mit dem Winkel B λ − . Damit entsteht ein Punkt B’, der

auf dem 0°-Meridian liegt.

2. Drehung um die y-Achse mit dem Winkel B ϕ −

π

. Der Punkt B’ fällt nun mit dem

2

Nordpol N zusammen.

Nun müssen, wie vorher der Berührungspunkt, auch alle anderen abzubildenden Punkte zu-

erst mit dem Winkel λB um die z-Achse und anschliessend mit dem Winkel φB um die y-Achse

gedreht werden. Allgemein lässt sich dieser Vorgang folgendermassen darstellen:

1. Ausgangslage: Alle Punkte P(x/y/z) sind in kartesische Koordinaten umgewandelt

worden (Umwandlung vergleiche Abschnitt 3.4). Zudem ist ein Berührungspunkt

B(λB/φB) gegeben.

2. Drehung um die z-Achse: P(x/y/z) dreht man mit dem Winkel B λ − um die z-

Achse.

⎛ x'⎞

⎛cos

⎜ ⎟ ⎜

⎜ y'⎟

= ⎜ sin

⎜ ⎟ ⎜

⎝ z'

⎠ ⎝ 0

( − λ B ) − sin(

− λ B )

( − λ ) cos(

− λ )

B

0

B

0⎞

⎛ x ⎞

⎟ ⎜ ⎟

0⎟

⋅ ⎜ y⎟

1

⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝ z ⎠

3. Drehung um die y-Achse: P’(x’/y’/z’) dreht man mit dem Winkel B ϕ −

π

um die z-

2

Achse.

⎛ ⎛ π


⎛ x''


cos⎜

− ϕ

⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2

⎜ y''⎟

= ⎜ 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎛ π

⎝ z''



⎜−

sin⎜

− ϕ

⎝ ⎝ 2

B




B




0

1

0

⎛ π

sin⎜

− ϕ

⎝ 2

0

⎛ π

cos⎜

− ϕ

⎝ 2

B

B

⎞ ⎞

⎟ ⎟

⎠ ⎟

⎛ x'⎞

⎜ ⎟

⎟ ⋅ ⎜ y'⎟

⎞⎟

⎜ ⎟

⎟ ⎝ ⎠

⎟ z'

⎠⎠

Zusammenfassend lassen sich also die Punkte P(x/y/z) bei gegebenem Berührungspunkt

B(λB/φB) mit folgender Formel in die „Ausgangslage“ für Azimutalprojektionen, angegeben in

P’’(x’’/y’’/z’’), bugsieren:

( λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) sin(

λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) cos(

ϕ B )

− sin(

λ ) cos(

λ ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟⎟

⎛ x''

⎞ ⎛ cos

⎞ ⎛ x ⎞

⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⎜

⎜ y''⎟

= ⎜

B

B

⎟ ⋅ ⎜ y .

⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⎜

⎝ z''

⎠ ⎝−

cos λ B ⋅ cos ϕ B − sin λ B ⋅ cos ϕ B sin ϕ B ⎠ ⎝ z ⎠

Seite 21 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.1.2 Orthographische Azimutalprojektion

Die orthographische Azimutalprojektion ist die einfachste

tet bei gegebenem Berührungspunkt B(λB/φB):

kartographische Projektion überhaupt. Das Projektions-

zentrum der orthographischen Projektion liegt nämlich

im Unendlichen. Dies bedeutet, dass die Projektionsstrah-

len parallel zur z-Achse einfallen. Die Abbildungsebene

liegt zudem parallel zur x-y-Ebene. Deshalb erweist sich

die Projektion als sehr einfach: Die gedrehten Punkte

P’’(x’’/y’’/z’’) haben nach der Projektion auf die Ebene die

Koordinaten P’’’(x’’’/y’’’/6371). Damit ist die z-Koordinate

konstant, womit die Erde also in den zweidimensionalen

Raum abgebildet worden ist.

Die Abbildungsgleichung für die Pojektion der abzubil-

denden Punkte Pn(xn/yn/zn) auf die Kartenebene, die neu

per Definition durch die x- und die y-Achse gegeben ist,

unter Anwendung einer orthographischen Projektion lau-

( λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) sin(

λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) cos(

ϕB

)

− sin(

λ ) cos(

λ ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟⎟

⎛ x n '⎞

⎛ cos

⎞ ⎛ x n ⎞ ⎛0⎞

⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎜ yn

'⎟

= ⎜

B

B

⎟ ⋅ ⎜ yn

⎟ − ⎜0

.

⎜ ⎟ ⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ zn

'⎠

⎝−

cos λ B ⋅ cos ϕB

− sin λ B ⋅ cos ϕB

sin ϕ B ⎠ ⎝ zn

⎠ ⎝ r ⎠

Zusammenfassung:

n

y

( λ )

P ϕ

n

n

z

Projektionszentrum

Ebene

Abb. 16: Die Funktion der orthographischenAzimutalprojektion.

Abbildung

x

⎛ π ⎞

x n ' = rE

⋅ sin⎜

− ϕn

⎟ ⋅ cos λ

⎝ 2 ⎠

( )

⎛ π ⎞

yn ' = rE

⋅ sin⎜

− ϕn

⎟ ⋅ sin λ

⎝ 2 ⎠

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

Seite 22 von 64 Jan Aeschlimann

n

( )

n

.


Kartenabbildungen:

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Zur Illustration der Verzerrungen habe ich für diese und alle nachfolgenden Projektionen das

Kartennetz der Erde abgebildet. Dabei ist die Kugel innen hohl. Dies hat den Vorteil, dass der

Betrachter den Verlauf der Meridiane beziehungsweise der Breitenkreise besser analysieren

kann.

Breitenkreise:

Meridiane:

Polare Lage. Transversale Lage.

konzentrische

Kreise um den Pol

Geradenbündel

durch den Pol

Breitenkreise: parallele Geraden

Abb. 17 - 19

Abb. 20: Die Schweiz in allgemeiner Azimutalprojektion. Als Berührungspunkt

wurde Bern gewählt.

Allgemeine Lage.

Berührungspunkt B(45°/45°)

Seite 23 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.1.3 Gnomonische Azimutalprojektion

Das Projektionszentrum Z liegt bei der gnomonischen Pro-

y

Z

Die Abbildung 22 zeigt, dass

der Ortsvektor

⎛ x''


⎜ ⎟

⎜ y''⎟

⎜ ⎟

⎝ z''


des

jektion, die auch unter dem Namen orthodromische Projek-

tion bekannt ist, im Kugelmittelpunkt. Damit hat das Pro-

jektionszentrum die kartesische Koordinate Z(0/0/0).

Für die Abbildungsgleichung dienen wie bei der orthogra-

phischen Projektion die gedrehten Punkte P’’(x’’/y’’/z’’) als

Ausgangslage (Drehung ableitbar vom Berührungspunkt

B(λB/φB)). Zudem muss vom Punkt P’’ auch der Winkel φ’’

berechnet werden.

Punktes P’’ um einen Faktor t multipliziert den

⎛ x'

''⎞

⎜ ⎟

Vektor ⎜ y''

'⎟

⎜ ⎟

⎝ z'

''


z

Ebene

Abb. 21: Die gnomonische Azimutalprojektion

mit ihrem

Projektionszentrum Z.

des Punktes P’’’ ergibt. Als Ansatz zur

Herleitung der Abbildungsgleichung wird deshalb folgender Term gewählt:

⎛ x''

'⎞

⎛ x''


⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ y''

'⎟

= t ⋅ ⎜ y''⎟

.

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ z''

'⎠

⎝ z''


x

Abb. 22

(rechts): Herleitung

der Abbildungsgleichung

der gnomonischenAzimutalprojektion.

Für die Berechnung des Wertes t betrachte man nun das rechtwinklige Dreieck ∆AZP’’’ in der

Skizze. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich einen Zusammenhang zwischen dem

Winkel ϕ , der Strecke E r AP = ' ' ' und der Strecke ' ' ' ' ' ZP t ZP = ⋅ aufstellen:

AP'

''

rE

rE

rE

1

sin ( ϕ ) = = = = = .

ZP'

''

t ⋅ ZP'

' ⎛ x''

⎞ t ⋅rE

t

⎜ ⎟

t ⋅ ⎜ y''⎟


z'

'


⎝ ⎠

y

A

P’’’

Ebene

Seite 24 von 64 Jan Aeschlimann

λ

P’’

ϕ

Z

z

x

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Nun löst man nach t auf. Zudem drückt man den Winkel φ durch die gegebenen Koordinaten

x’’, y’’ und z’’ aus.

t =

1

sin

1

=

=


z''



sin arctan


⎟⎟

⎜ ⎜ 2 2 ⎟

x'

' y''


⎝ ⎝ + ⎠⎠

( ϕ)


⎞ z''

z''

z''

2

1

2

2

x''

+ y''

+ z''

Seite 25 von 64 Jan Aeschlimann

=

2

2

x'

' + y''

+ z'

' r

=

Der projizierte Punkt lässt sich also bei gegebenem Punkt P’’(x’’/y’’/z’’) folgendermassen be-

rechnen:

⎛ x'

''⎞

⎛ x'

'⎞

⎜ ⎟ r ⎜ ⎟

E

⎜ y''

'⎟

= ⋅⎜

y''⎟

⎜ ⎟ z'

' ⎜ ⎟

⎝ z'

''

⎠ ⎝ z''


Für die Koordinate z’’’ lässt sich wie bei der orthographischen Situation wieder die Konstante

rE, den Erdradius, berechnen:

r

' rE

.

z''

E

z ''

= ⋅ z'

'=

Zusammenfassend kann als Abbildungsgleichung für die Projektion der abzubildenden Punk-

te Pn(xn/yn/zn) (Pn ist noch nicht in die Ausgangssituation gedreht worden) auf die Karten-

ebene, die wiederum durch die x-y-Ebene gegeben ist, unter Anwendung einer gnomonischen

Projektion bei gegebenem Berührungspunkt B(λB/φB) folgender Term angegeben werden:

⎛ x n '⎞

⎜ ⎟ rE

⎜ yn

'⎟

=

⎜ zn

z


⎝ n '⎠

z * = − cos

Zusammenfassung:

n

( λ )

P ϕ

n

n

n

⎛ cos(

λ B ) ⋅ sin(

ϕB

) sin(

λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) cos(

ϕ B ) ⎞



⋅ ⎜ − sin(

λ B ) cos(

λ B ) 0 ⎟

* ⎜ ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ⎟

⎝−

cos λ ⋅ cos ϕ − sin λ ⋅ cos ϕ sin ϕ ⎠

( λ B ) ⋅ cos(

ϕ B ) ⋅ x n − sin(

λ B ) ⋅ cos(

ϕB

) ⋅ yn

+ sin(

ϕB

) ⋅ z n

Abbildung

⎛ π ⎞

x n ' = rE

⋅ tan

− ϕn

⎟⋅

cos λ

⎝ 2 ⎠

⎛ π ⎞

yn ' = rE

⋅ tan

− ϕn

⎟⋅

sin λ

⎝ 2 ⎠

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

( )

n

( )

n

⎛ x


⋅ ⎜ y


⎝ z

n

n

n

2

⎞ ⎛0⎞

⎟ ⎜ ⎟

⎟ − ⎜0⎟,

⎟ ⎜

r

⎟ .

⎠ ⎝ ⎠

E

.


Kartenabbildungen:

Polare Lage.

Berührungspunkt B(0°/90°)

Breitenkreise:

Längenkreise:

konzentrische

Kreise

Geradenbündel

durch den Pol

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Transversale Lage.

Berührungspunkt B(0°/0°)

Allgemeine Lage.

Berührungspunkt B(50°/50°)

Breitenkreise: Hyperbeln Breitenkreise: Kegelschnitte

Längenkreise: parallele Geraden Längenkreise:

Bemerkung: Die Geraden durch

den Ursprung sind Darstellungsfehler

des R.

Abb. 23 - 25

5.1.4 Stereographische Projektion

Bei der stereographischen Projektion liegt das Projektionszentrum

im Gegenpunkt des Berührungspunktes Kugel-Ebene. Der Abstand

Projektionszentrum-Berührungspunkt beträgt somit E r ⋅ 2 .

y

Z

Abb. 26: Die stereographische

Azimutalprojektion.

z

Ebene

x

y

P’’’

P’’

ϕ

λ

Abb. 27: Die Situation.

z

M

Z

Ebene

x

Geradenbündel

durch den Pol

Bemerkung: Die Geraden im

unteren Bildrand sind Darstellungsfehler

des R.

P’’’(x’’’/y’’’/r)

Abb. 28: Das Schema:

M ist der Kugelmittelpunkt,

Z das Projektionszentrum,

P’’

der abzubildende

Punkt und P’’’ der

projizierte Punkt.

Seite 26 von 64 Jan Aeschlimann

r

r

A’’’ A’’

P’’(x’’/y’’/z’’)

r

ϕ

M(0/0/0)

Z(0/0/−r)

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Aus der Abbildung 26 ist die Koordinate des Projektionszentrums Z ersichtlich: Z(0/0/-rE).

Wie schon bei den vorherigen Azimutalprojektionen möchte ich auch hier eine Abbildungs-

gleichung für die Punkte P’’(x’’/y’’/z’’) herleiten.

Als Ansatz wähle ich

⎛ x''

'⎞

⎛ x'

'

⎜ ⎟


⎜ y''

'⎟

= t ⋅ ZP = t ⋅ ⎜ y''

⎜ ⎟


⎝ z''

'⎠

⎝ z''+

r

E



⎟ .



Zu bestimmen gilt es nun den Faktor t. Dazu betrachte ich das Schema in Abbildung 28, wo-

bei im Besonderen die Dreiecke ∆P’’’A’’’Z und ∆P’’A’’Z zu beachten sind. Dabei handelt es sich

nämlich um ähnliche Dreiecke. Deshalb kann der Zusammenhang zwischen diesen beiden

Dreiecken mit dem Strahlensatz beschrieben werden.

A''

'

P

''

'

A''

P'

'

ZP'

''

=

ZP'

'

Drei der vier Strecken sind bereits bekannt:

A' ''

P'

''

= 2⋅

r

E

A'' P'

' rE

z'

' + =

2 2

⎛ x'

' ⎞

⎜ ⎟

ZP '' = ⎜ y''

⎟ = x'

' + y''

+ + E


z'

' r


⎝ + E ⎠

Damit gilt für die Strecke ZP ''

' :

t lautet somit:

A''

' P'

''

⋅ ZP'

' 2⋅

rE


ZP'

''

=

=

A''

P'

'

2⋅

r

=

E


r

2

E

r

E

+ 2⋅

r z''+

r

+ z''

2

E

2

2

E

2

( ) 2

z''

r

2

2

2

x'

' + y''

+ z''

+ 2⋅

r z''+

r

2

r

E

+ z'

'

2⋅

rE

⋅ x'

' + y''

+ z'

' + 2⋅

rE

z''+

rE

1

2⋅

rE

t = ⋅

= .

r + z'

'

E

E

2

E

2 2 2

2

( x''

+ y''

+ z''

+ 2⋅

r z''+

r ) rE

+ z''

Seite 27 von 64 Jan Aeschlimann

.

E

E

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

⎛ x'

'⎞

⎜ ⎟

Ein projizierter Punkt lässt sich also bei gegebenem Ortsvektor von P’’, ⎜ y''⎟

, folgendermas-

⎜ ⎟

⎝ z'

'⎠

sen berechnen:

⎛ x''

'⎞

⎛ x''

⎜ ⎟ 2 ⋅ r ⎜ E

⎜ y''

'⎟

= ⋅ ⎜ y''

⎜ ⎟ rE

+ z''


⎝ z''

'⎠

⎝ z''+

rE

⎞ ⎛ 0 ⎞

⎟ ⎜ ⎟

⎟ − ⎜ 0 ⎟ .

⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝rE


Für die Koordinate z’’’ lässt sich wie bei allen anderen Azimutalprojektionen die Konstante rE

berechnen:

2 ⋅ r

' ( z'

+ rE

) − rE

rE

.

r + z''

E

z ''

= ⋅ ' =

E

Zusammenfassend kann als Abbildungsgleichung für die Projektion der abzubildenden Punk-

te Pn(xn/yn/zn) (Pn ist noch nicht in die Ausgangssituation gedreht worden) auf die Karten-

ebene, die durch die x-y-Ebene gegeben ist, unter Anwendung einer gnomonischen Projekti-

on bei gegebenem Berührungspunkt B(λB/φB) folgender Term angegeben werden:

⎛ x n '⎞

⎜ ⎟ 2

⎜ yn

'⎟

=

⎜ rE

z


⎝ n '⎠

z

n

* = − cos

⎡⎛

cos(

λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) sin(

λ B ) ⋅ sin(

ϕ B ) cos(

ϕ B )

⋅ rE

⎢⎜


( B ) ( B )

z

⎢⎜

− sin λ

cos λ

0

+ n *

⎢⎜

⎣⎝−

cos(

λ B ) ⋅ cos(

ϕ B ) − sin(

λ B ) ⋅ cos(

ϕB

) sin(

ϕ B )

( λ B ) ⋅ cos(

ϕB

) ⋅ xn

− sin(

λ B ) ⋅ cos(

ϕB

) ⋅ yn

+ sin(

ϕ B ) ⋅ zn

Zusammenfassung:

n

( λ )

P ϕ

n

n

Abbildung

⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞⎤

⎛ 0 ⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥

⎜ ⎟

⎟ ⋅ ⎜ y⎟

+ ⎜ 0 ⎟⎥

− ⎜ 0 ⎟,

⎟ ⎜

z

⎟ ⎜

r

⎟⎥


E r

⎟ .

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

⎝ E ⎠

2

⎛ π ⎞

xn '= ⋅ rE

⋅ sin⎜

−ϕ

n ⎟ ⋅ cos λn

⎛ π ⎞ 2

1+

cos ϕ

⎝ ⎠

⎜ − n ⎟

⎝ 2 ⎠

( )

2

⎛ π ⎞

yn '= ⋅ rE

⋅sin⎜

−ϕ

n ⎟ ⋅sin

λn

⎛ π ⎞ 2

1+

cos ϕ

⎝ ⎠

⎜ − n ⎟

⎝ 2 ⎠

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

( )

Seite 28 von 64 Jan Aeschlimann

.


Kartenabbildungen:

Polare Lage.

Berührungspunkt B(0°/90°)

Breitenkreise:

Längenkreise:

konzentrische

Kreise um den Pol

Geradenbündel

durch den Pol

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Transversale Lage.

Berührungspunkt B(0°/0°)

Abb. 29 - 31

Abb. 32: Die Schweiz in polarer stereographischer Azimutalprojektion.

Allgemeine Lage.

Berührungspunkt B(50°/50°)

Seite 29 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.1.5 Eigenschaften der drei vorgestellten Azimutalprojektionen

Abschliessend des Kapitels „Azimutaler Kartennetzentwurf“ möchte ich die Unterschiede der

drei Azimutalprojektionen mit den Tabellen 2 -5 aufzeigen. Dabei ist zu erwähnen, dass die

Angaben nur gelten, sofern als Bezugsfläche die Kugel verwendet wurde.

Übersicht

Orthographische Projektion

Gnomonische Projektion

Projektionszentrum liegt im Unendlichen liegt im Kugelmittelpunkt

Längentreu Breitenkreise nein nein

Flächentreu nein nein

Winkeltreu nein nein ja

Stereographische

Projektion

Orthodrome 7 - Gerade 8 gekrümmt

Spezielles -

Anwendung Mondkarten

sehr starke Verzerrungen

vom Berührungspunkt

weg

Navigationskarte in der

Luft- und Seefahrt

liegt im Gegenpunkt des

Berührungspunktes

nein, nimmt vom Berührungspunkt

weg stark zu

Seite 30 von 64 Jan Aeschlimann

-

Sternkarten

Tabelle 2: Übersicht über die Eigenschaften der orthographischen, der gnomonischen und

der stereographischen Projektion.

Orthographische Projektion

Längenkreise

Breitenkreise

Nicht abbildbare Gebiete

Polare Lage Transversale Lage Allgemeine Lage

Geradenbündel durch den

Pol

konzentrische Kreise um

den Pol

keine

- -

parallele Geraden -

Tabelle 3: Eigenschaften der Längen- und Breitenkreis bei der orthographischen Projektion

in verschiedenen Lagen.

7 Zur Orthodrome vergleiche Abschnitt 3.6.

8 Begründung: Die (krumme) Linie der Orthodromen liegt in der gleichen Ebene wie der Kugelmittelpunkt

und damit dem Projektionszentrum.

.


Gnomonische Projektion

Längenkreise

Breitenkreise

Nicht abbildbare Gebiete

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Polare Lage Transversale Lage Allgemeine Lage

Geradenbündel durch den

Pol

konzentrische Kreise um

den Pol

Äquator

parallele Geraden

Geradenbündel durch den

Pol

Hyperbel Kegelschnitte

Tabelle 4: Eigenschaften der Längen- und Breitenkreis bei der gnomonischen Projektion in

verschiedenen Lagen.

Stereographische

Projektion

Längenkreise

Breitenkreise

Nicht abbildbare Gebiete

Polare Lage Transversale Lage Allgemeine Lage

Geradenbündel durch den

Nordpol

konzentrische Kreise um

den Pol

Projektionszentrum

- -

- -

Tabelle 5: Eigenschaften der Längen- und Breitenkreis bei der stereographischen Projektion

in verschiedenen Lagen.

5.1.6 Fazit „Kartographische Abbildungen“ Teil 1: Azimutale Kartennetzentwürfe

Jede der drei vorgestellten Azimutalprojektionen hat ihre Vor- und Nachteile. So ist die ste-

reographische Projektion beispielsweise winkeltreu und weist damit eine sehr spezielle Ei-

genschaft auf. Zwangsläufig werden dafür die Längen- und Breitenkreise in komplizierten

Kurven abgebildet, die von Hand mit Zirkel und Lineal nur schwer zu konstruieren wären.

Als Vorteil zu deklarieren ist allerdings, dass sich mit Ausnahme des Projektionszentrums die

gesamte Erdoberfläche abbilden lässt.

Die gnomonische Azimutalprojektion bildet die Orthogonale als Gerade ab, weshalb sie in der

Luft- und Schifffahrt Verwendung findet. Ihr grosser Nachteil ist die enorme Flächenverzer-

rung, die mit zunehmender Distanz zum Berührungspunkt enorm zunimmt. Die Breitenkrei-

se weisen zudem in transversaler und allgemeiner Lage spezielle mathematische Charakter-

eigenschaften auf: Sie können im Zweidimensionalen als Hyperbeln beziehungsweise Kegel-

schnitte wahrgenommen werden.

Seite 31 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Die orthographische Azimutalprojektion zeichnet sich durch Geradentreue zumindest ent-

lang der Breitenkreise aus. Da diese Projektion relativ einfach zu konstruieren ist und sich

die Flächenverzerrung bei der Projektion in polarer Lage mit dem Berührungspunkt am

Nordpol in Grenzen hält, wird diese Projektion zur Abbildung des Nordpols sehr geschätzt.

Aus der Literatur habe ich eine qualitative Angabe über die Grösse des abzubilden Gebiets

rund um den Nordpol gefunden:

In polarer Lage „sind Azimutalabbildungen wegen der vom Pol aus rasch zu-

nehmenden Verzerrungen nur für die Polgebiete bis etwa 60° nördlicher bzw.

südlicher Breite geeignet.“ 9

5.2 Zylinderentwurf

Unter einer Zylinderabbildung versteht man die Abbildung

der Erdoberfläche oder zumindest eines Teils davon in die

Ebene mit Hilfe eines Zylinders, auf dessen Mantel man

die Erdoberfläche projiziert. Charakteristischerweise kann

man Zylinderentwürfe in zwei Schritten erstellen:

1. Abbildung der Erdoberfläche auf einen Zylinder.

2. Aufklappen des Zylinders in eine Ebene (erfolgt

verzerrungsfrei).

Der Zylinder kann entweder den gleichen Radius wie die

Erde haben (6'371 km) oder aber einen kleineren. Im zwei-

ten Fall schneidet der Zylinder die Erde, im ersten berührt

die Erde den Zylinder entlang eines Kreises.

Zuerst betrachte ich den Fall, wo der Zylinder den gleichen

Radius wie die Erde hat. Dabei berührt der Zylinder die

Kugel entlang eines Kreises. Wie beim azimutalen Karten-

netzentwurf kann sich die Erde auch hier in polarer, trans-

versaler oder allgemeiner Lage befinden. In der polaren

Lage fällt die Zylinderachse mit der Erdeachse (Verbin-

dung Nordpol-Südpol) zusammen und der Berührungs-

kreis ist gerade der Äquator, in der transversalen Lage schneiden sich die beiden Achsen mit

90° und der Berührungskreis ist ein Meridian. In der allgemeinen Lage schneiden sich die

beiden Achsen mit einem beliebigen Winkel.

9 Kohlstock, Peter: Kartographie. Eine Einführung. Seite 31.

Abb. 33: Eine polare Zylinderprojektion:

Der Zylinder

hat den gleichen Radius wie

die Erde und die Zylinderachse

fällt mit der Erdachse

zusammen.

Seite 32 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

In den Berechnungen ist jeweils die Abbildungsgleichung für den Kartennetzentwurf in pola-

rer Lage angegeben. Es muss allerdings erwähnt werden, dass jede beliebige Lage durch Dre-

hung der Kugel erreicht werden kann (verlgeiche Kapitel 5.1.1).

5.2.1 Das Aufrollen des Zylinders

Egal mit welcher Projektion ein Punkt P(x/y/z) von der Erdoberfläche auf den Zylinderman-

tel projiziert wird (dieser Vorgang ergibt P’), der Zylinder muss anschliessend immer noch

aufgerollt werden. Der Zylinder wird, wie in Abbildung 34 gezeigt, so aufgeklappt, dass die

Kartenebene parallel zur y-z-Ebene liegt und von der besagten Ebene einen Abstand zur y-

Achse aufweist, der dem Zylinderradius rz entspricht. Da die Zylinderachse parallel zur z-

Achse ist, verändert sich der Wert der z’-Koordinate nicht. Für x’’ und z’’ gelten damit

x ' = r und z '' = z'

.

Z

Der Wert von y’’ ist davon abhängig, wie weit P’ von der Berührungsgeraden b, die zugleich

auf der Ebene wie auf dem Zylinder liegt, entfernt ist.

−πr

z

λ

Pb = y'

'=

2 ⋅ π ⋅ rZ

⋅ = rZ

2 ⋅ π

Zylinderumfang

−0.5π

rz

(0/−r/z’)

P’’(x’’/y’’/z’’)

Abb. 34: Vorgang des Aufklappens vom Zylinders; der Beobachtungspunkt

liegt auf der z-Achse.

r

⋅ λ

z

λ

z

x

P’(x’/y’/z’)

b

(−r/0/z’)

y

Zylindermantel

Ebene

Seite 33 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zusammenfassung:

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Zylinder Ebene

x '

Z r x = ' '

'

r y ⋅ λ = ' ' '

Aufklappen

y Z

z '

z '' = z'

5.2.2 Orthogonale Zylinderprojektion

Die Orthogonale Zylinderprojektion ist die einfachste Zylinderprojektion: Die Erdoberfläche

wird senkrecht zur Zylinderachse auf den Zylindermantel projiziert, den man anschliessend

aufklappt. Gegeben sei ein Punkt P(λ/φ) in Kugelkoordinaten, gesucht das Abbild P’’(y’’/z’’)

auf der zweidimensionalen Kartenebene.

Berechnung des Wertes von y’’:

Aus dem Punkt P’(λ’/φ’), der auf dem Zylindermantel liegt, lässt sich auf y’’ schliessen:

y' '=

λ'⋅r

.

Z

Die einzige Unbekannte in dieser Gleichung ist also λ’. Aus den Abbildungen 35 und 36 kann

herausgelesen werden, dass

λ '= λ''

gilt, da PP ' und MP in

der gleichen Ebene EMPP’

liegen. Damit kann von

P(λ/φ) auf y’’ geschlossen

werden:

y' '=

λ ⋅ r .

Z

P’

P

ϕ

λ

Zylinderachse

A

M

Q Q’

P’

Seite 34 von 64 Jan Aeschlimann

P

λ

Die Funktionsweise der orthogonalenZylinderprojektion.

Abb. 35 (links): Illustration

der Situation aus frontaler

Sicht.

Abb. 36 (oben): Sicht von

oben her.

.


Berechnung des Wertes von z’’:

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Da die Projektionsstrahlen parallel zur x-y-Ebene verlaufen und sich auch beim Aufklappen

die z-Koordinate nicht ändert, gilt für die Berechnung von z’’:

⎛ π ⎞

'' = = E ⋅ cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠

r z z .

Zusammenfassung:

n

( λ )

P ϕ

n

n

y ' ' = λ ⋅r

z

n

n

n

Z

⎛ π

⋅ cos⎜

− ϕ

⎝ 2

= rE

n

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

Kartenabbildungen:

Abbildung

Polare Lage. Transversale Lage.

Breitenkreise: parellele Geraden

Längenkreise: parallele Geraden

' '




Allgemeine Lage.

Drehung mit λ=-45° und φ=45°

Bemerkung: Die (zahlreichen)

waagrechten Geraden im Bild sind

Darstellungsfehler des R.

Eigenschaften: Die orthogonale Zylinderprojektion ist nicht flächen-, geraden- und auch nicht winkeltreu.

Abb. 37 - 39

Seite 35 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.2.3 Zylinderprojektion mit dem Erdmittelpunkt als Projektionszentrum

In dieser Art von Zylinderprojektion gibt es ein punktförmiges Projektionszentrum, das im

Erdmittelpunkt M(0/0/0) lokalisiert ist, von wo die Erd-

oberfläche auf einen Zylindermantel projiziert wird. Die-

ser wird anschliessend, wie bei allen Zylinderprojektio-

nen, in eine Ebene aufgerollt.

Gegeben sei wiederum ein Punkt P(λ/φ) auf der Erdober-

fläche, gesucht das Abbild von P, P’’(y’’/z’’), auf der Kar-

tenebene.

Berechnung des Wertes von y’’:

Für den Wert von y’’ gilt die gleiche Formel wie bei der

orthogonalen Zylinderprojektion, da P auf der Geraden

MP ' liegt.

y' '=

λ ⋅

rZ

Berechnung des Wertes von z’’:

Zur Berechnung von z’ (auf der Zylinderoberfläche) be-

trachte man das Dreieck ∆AMP’ in Abbildung 41. Daraus

lässt sich mit Hilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck folgende Formel für AP '

herauslesen:

( ) ( ) Z r

MA ϕ = ⋅ ϕ

AP z ⋅

= = tan

tan ' '

Da das Aufrollen des Zylinders so festgelegt ist, dass sich die z-Koordinate nicht mehr ändert,

gilt:

( ) Z r ϕ

z = tan ⋅ ' '

P’

A

P

Zylinderachse

Abb. 40: Die Abbildung der

Erdoberfläche auf den Zylinder

mit dem Erdmittelpunkt

als Projektionszentrum.

Seite 36 von 64 Jan Aeschlimann

ϕ

λ

M

Q

Q’

.


P’

A

P

ϕ

Abb. 41: Frontalansicht

der Ebene EAMP’.

Zylinderachse

M

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Zusammenfassung:

n

( λ )

P ϕ

n

n

Abbildung

x ' '=

λ ⋅r

Seite 37 von 64 Jan Aeschlimann

n

n

Z

n

Z

( )

z ' ' = r ⋅ tan ϕ

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

Abb. 42: Die Schweiz in polarer zentraler Zylinderprojektion.

n

.


Kartenabbildungen:

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Polare Lage. Transversale Lage.

Breitenkreise: parellele Geraden

Längenkreise: parallele Geraden

Allgemeine Lage.

Drehung mit λ=-45° und φ=45°

Kritik: Die waagrechten Geraden

im Bild sind Darstellungsfehler des

R.

Eigenschaften: Die Zylinderprojektion mit dem Projektionzenrtum im Erdmittelpunkt ist nicht flächen-, geraden-

und auch nicht winkeltreu.

Abb. 43 - 45

5.2.4 Zylinderprojektionen mit Schnittzylinder

Beide vorgestellten Zylinderprojektionen weisen sehr grosse

(Flächen-)Verzerrungen in den Bereichen der Pole auf, insbe-

sondere die als zweites vorgestellte Zylinderprojektion (mit dem

Projektionszentrum im Erdmittelpunkt). Es fällt aber auch auf,

dass bei beiden Projektionen die Verzerrungen entlang des Be-

rührungskreises am geringsten sind, da dieser geradentreu ab-

gebildet wird. Deshalb greift man nun zu einem Trick: Der Zy-

linderradius wird gegenüber demjenigen der Erde verkleinert, so

dass der Zylinder die Erde nun in zwei Kreisen schneidet. Damit

wird der Gebietskorridor mit geringen Verzerrungen vergrössert.

Der Zylinderradius sollte aber gegenüber dem Erdradius nicht

zu stark verkleinert werden, denn je grösser die Abweichung des

Zylinderradius vom Erdradius, desto grösser werden auch die

Verzerrungen am Äquator.

Abb. 46: Zylinderprojektion

mit Schnittkegel.

Seite 38 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

In der Folge werden sechs transversale Abbildungen der Längen- und Breitenkreise gezeigt,

welche mit jener Zylinderprojektion produziert wurden, wo das Projektionszentrum im Erd-

mittelpunkt lokalisiert ist. Die Zylinderradien haben unterschiedliche Längen.

Einfluss des Schnittzylinders

Abb. 47 -51 (oberste Zeile und linke Spalte): Transversale Zylinderprojektion mit dem

Erdmittelpunkt als Projektionszentrum. Zylinderradien: 6371 km; 5371 km; 4371 km;

3371 km; 2371 km.

Abb. 52 (rechts unten): Transversale orthogonale Zylinderprojektion mit Zylinderradius

6371 km (linke Kartenhälfte) bzw. 3185 km (rechte Kartenhälfte). Die eingefärbten Me-

ridiane und Breitenkreise demonstrieren die Verzerrungsänderungen. Die Abbildung ist

entlang der z-Achse gestaucht.

Seite 39 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.2.5 Mercator-Projektion

Als dritte Zylinderprojektion werde ich die äusserst bekannte Mercator-Projektion vorstellen,

da sie einerseits vom Bundesamt für Landestopographie für die Erstellung der Schweizer

Landeskarte verwendet wird und andererseits die Grundlage des Universalen Transversalen

Mercatorentwurfs ist.

Das Projektionszentrum der Mercator-Projektion liegt im Erdmittelpunkt; von dort wird die

Erdoberfläche auf einen Zylinder projiziert (wie in der bereits im Abschnitt 5.2.3 vorgestell-

ten Zylinderprojektion). Der Zylinderradius ist in der Projektion nach Mercator gleich gross

wie derjenige der Erde. Die bisher betrachteten Zylinderprojektionen erfüllten keine der

wünschenswerten Eigenschaften wie Winkel-, Flächen- oder Geradentreue. Deshalb wird bei

der Mercator-Projektion der Zylinder vor dem Aufrollen noch so gestaucht, dass die zweidi-

mensionale Karte nach dem Aufrollen winkeltreu ist. Der Stauchungsfaktor ist nicht einfach

herzuleiten, da dazu die Kenntnis der so genannten Verzerrungstheorie notwendig ist. Diese

ist die mathematische Theorie zur Berechnung von Verzerrungen, welche bei der Abbildung

eines Ellipsoids bzw. einer Kugel in die Ebene auftreten 10 . Da die Aneignung dieser Theorie

den Umfang dieser Arbeit sprengen würde, entnimmt man den Zerrungsfaktor aus dem Le-

xikon der Kartographie und Geomatik 11 und stellt damit die Abbildungsgleichung auf.

Zusammenfassung:

n

( λ )

P ϕ

n

n

Abbildung

x ' '=

r ⋅λ

n

Z

n

⎡ ⎛ 1 π ⎞⎤

y n '' = rZ

⋅ ln⎢tan

⋅ ϕn

+ ⎟⎥

⎣ ⎝ 2 4 ⎠⎦

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

10 Lexikon der Kartographie und Geomatik:

http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/5163; 5. Januar 2009.

11 Lexikon der Kartographie und Geomatik:

http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/5439; 21. November 2008.

Seite 40 von 64 Jan Aeschlimann

.


Kartenabbildungen:

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Polare Lage. Transversale Lage.

Breitenkreise: parellele Geraden

Längenkreise: parallele Geraden

Eigenschaft: Die Mercatorprojektion ist winkeltreu.

Abb. 53 - 55

5.2.6 Das Universale Transversale Mercator System

Das UTM 12 -System ist eine erweiterte Form

der Mercatorprojektion. Es wird heute sehr

oft von kartographischen Instituten ange-

wendet. Der Projektionszylinder liegt bei

dieser Projektion, im Gegensatz zur ur-

sprünglichen Mercator-Projektion, quer

(transversal) zur Erdachse und zudem

schneidet er die Erde. Der Zylinderradius

beträgt nach der Bayerischen Vermessungs-

verwaltung 13

r = 0.

9996⋅r

Z

E

Allgemeine Lage.

Drehung mit λ=-45° und φ=45°

Bemerkung: Die waagrechten

Geraden im Bild sind Darstellungsfehler

des R.

12 UTM: Abkürzung für Universal Transverse Mercator

13 PDF-File zur UTM-Abbildung:

http://www.geodaten.bayern.de/bvv_web/downloads/UTM-AbbildungenundKoordinaten.pdf


Abb. 56: Veranschaulichung des UTM-

Systems.

Seite 41 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Die Abbildung funktioniert nach folgendem Schema:

1. Die Erde wird in sechzig Meridianstreifen (Zonen) mit einer Grösse von Δλ = 6 ° auf-

geteilt. Jeder dieser Meridianstreifen besitzt einen Mittelmeridian. Die erste Zone be-

sitzt den Mittelmeridian λ1 = 177°

, der sechzigste den Mittelmeridian λ 60 = −177°

. Al-

le sechzig Meridianstreifen werden einzeln in die Ebene abgebildet.

2. Der Zylinder wird nun so durch die Erde gelegt, dass die beiden Schnittkreise parallel

zum Mittelmeridian liegen.

3. Der betreffende Meridianstreifen wird auf den Zylinder mit der Abbildungsgleichung

der transversalen Mercatorprojektion in die Ebene abgebildet.

4. Anschliessend wird der Zylinder mit 6° um die Erdachse gedreht und der nächste Me-

ridianstreifen wird nach bewährtem Schema abgebildet.

Das UTM-System hat mit der Drehung des Zylinders ein neues Element, mit dem man die

Problematik der Verzerrungen umgehen kann: Durch das Drehen kann man die Erdoberflä-

che immer in den beinahe verzerrungsfreien Zylinderdurchstosskreise abbilden. Der grosse

Nachteil liegt dagegen darin, dass man den Zylinder nicht nur sechzig Mal drehen muss, son-

dern die sechzig Zonen anschliessend auch wieder zu einer Karte zusammensetzen muss. Aus

diesen Gründen verzichte ich auf die Erstellung einer Karte in UTM-Projektion.

5.2.7 Fazit „Kartographische Abbildungen“ Teil 2: Zylinderentwürfe

Der orthogonale Zylinderentwurf ist von den restlichen Zylinderentwürfen abzugrenzen, da

dieser eine Parallelprojektion ist. Dadurch ist die Kartenfläche begrenzt; sie beträgt immer

r A ⋅ ⋅ π ⋅ = 4 . Die polnahen Gebiete sind sehr stark gestaucht.

Z E r

Bei allen anderen Zylinderprojektionen, welche vorgestellt wurden, handelt es sich um eine

Form der Zentralprojektion. Eigenschaften wie Flächen-, Winkel- oder Geradentreue können

nur durch Anwendung der Verzerrungstheorie erreicht werden, mit welcher man einen Stau-

chungsfaktor errechnen kann. Ohne Stauchung sind Zylinderprojektionen nicht flächen,

winkel- oder geradentreu (mit Ausnahme des Berührungskreises).

Bei einer Zylinderprojektion mit r E = rZ

sind die Verzerrungen entlang des Berührkreises

sehr gering, nehmen aber mit zunehmender Distanz vom Berührkreis sehr stark zu, bis die

polnahen Gebiete schlussendlich nicht mehr abgebildet werden können (Projektion vom Ku-

gelmittelpunkt aus). Beim Fall r E > rZ

entstehen zwei Berührkreise, womit das Gebiet mit

geringen Verzerrungen vergrössert wird. Um wie viel man den Zylinderradius verkleinern

darf ist davon abhängig, welche Gebiete man abbilden möchte. Grundsätzlich ist von sehr

kleinen Zylinderradien abzuraten, da ansonsten die Verzerrungen am Äquator zu stark zu-

Seite 42 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

nähmen. Im Falle der orthogonalen Zylinderprojektion macht eine Verkeinerung des Zylin-

ders für mich keinen Sinn.

Mit der UTM-Projektion kann man die Erde mit nur sehr geringen Verzerrungen abbilden,

ist dafür aber auch dementsprechend kompliziert in der Herstellung.

Meine Untersuchungen haben gezeigt, dass sich Zylinderentwürfe für die Abbildung aller

Erdteile bis circa 50° nördlicher beziehungsweise südlicher Breite sehr gut eignen. Ein weite-

rer Vorteil aller Zylinderprojektionen ist zudem, dass die Erde als Rechteck wiedergegeben

wird.

5.3 Kegelentwurf

Der Vollständigkeit halber stelle ich in diesem Abschnitt die dritte keglige Entwurfsart, der

eigentliche Kegelentwurf, vor. Bei diesem Abbildungsmechanismus legt man um die Erde

einen Kegel, welcher diese entlang eines Berührkreises berührt (theoretisch kann man den

Kegel auch mit der Erde schneiden, dies ist aber nicht mehr Bestandteil meiner Arbeit). Der

Kegel ist durch den Öffnungswinkel α definiert.

5.3.1 Zentrale Kegelprojektion vom Erdmittelpunkt aus

Auch hier bildet man die Erdoberfläche zuerst auf einen Kegel ab, der dann verzerrungsfrei

aufgeklappt werden kann.

A

γ

r

P’ P

Abb. 57: Kegelquerschnitt.

ε

ϕ

S

α

B

M(0/0/0)

γ

r

A

Abb. 58: Kegel.

S

α

M(0/0/0)

Seite 43 von 64 Jan Aeschlimann

.


1. Eigenschaften des Kegels

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Der Kegel wird so um die Erde gelegt, dass er diese entlang eines Kreises berührt, aber nicht schnei-

det. Er ist durch den Öffnungswinkel α definiert und in ihm gelten folgende Zusammenhänge:

Höhe des Kegels:

Radius des Kegels:

rE

MS = hKegel

= .

⎛ α ⎞

sin⎜


⎝ 2 ⎠

⎛ α ⎞ rE

rE

MA = rKegel

= tan

⎟ ⋅ = .

⎝ 2 ⎠ ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞

sin⎜

⎟ cos⎜


⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

2 rE

SA Kegel

=

.

⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞

sin⎜

⎟ ⋅ cos⎜


⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

2

Mantellänge des Kegels: = s = ( MS)

+ ( MA)

2. Abbildung der Erdoberfläche auf den Kegelmantel

Ein Punkt P(x/y/z) soll durch Zentralprojektion mit dem Projektionszentrum im Erdmittel-

punkt M(0/0/0) auf den Kegelmantel projiziert werden. Dazu verwende man den Ansatz

⎛ x'⎞

⎛ x ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

MP'

= ⎜ y'⎟

= t ⋅⎜

y⎟

.

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ z'⎠

⎝ z ⎠

Die Länge von MP ' lässt sich mittels Anwendung des Sinussatzes im Δ AMP'

berechnen.

MP'

sin

=

rKegel

( γ) sin(

π − ϕ − γ)

MP'

= sin

( γ)

r


sin

Kegel

( π − ϕ − γ)

rE

⎛ α ⎞

cos⎜


⎛ π α ⎞ ⎝ 2 ⎠

= sin⎜

− ⎟ ⋅

⎝ 2 2 ⎠ ⎛ ⎛ π α ⎞ ⎞

sin ⎜

⎜π

− ⎜ − ⎟ − ϕ ⎟

⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠

rE

=

⎛ α ⎞

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠

Seite 44 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Den Wert von t erhält man durch Umformen des Ansatzes. Für die Vektoren sind dessen Be-

träge zu verwenden.

MP'

rE

1 1

t = =

⋅ =

.

⎛ x ⎞ ⎛ α ⎞ rE

⎛ α ⎞

⎜ ⎟ cos⎜

− ϕ⎟

cos⎜

− ϕ⎟

⎜ y⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎜ ⎟

⎝ z ⎠

Ein Punkt auf der Erdoberfläche lässt sich somit durch Anwendung folgender Gleichung auf

einen Kegelmantel abbilden:

⎛ x'⎞

⎜ ⎟

⎜ y'⎟

=

⎜ ⎟

⎝ z'⎠

⎛ x ⎞

1 ⎜ ⎟

⋅ ⎜ y⎟

⎛ α ⎞

cos⎜

− ϕ⎟

⎜ ⎟

⎝ z ⎠

⎝ 2 ⎠

π α π

sofern − + < ϕ ≤ .

2 2 2

Hinweis: Erfüllt ϕ oben genannte Bedingung nicht, kann der Punkt nicht abgebildet werden.

3. Aufklappen des Kegelmantels

Der Kegelmantel wird so aufgeklappt, dass der ganze Mantel schlussendlich die gleiche Höhe

wie die Spitze S des Kegels hat. Der Mantel ist somit parallel zur x-y-Ebene.

Da der Mantel nur ein Kreissegment ist (nur im Fall α=180° entspricht die Mantelfläche ei-

nem vollen Kreis), ist es sehr kompliziert, den Kegelmantel aufzuklappen. Als Idee soll fol-

gendermassen vorgegangen werden: Der Mantel wird zuerst fiktiv so weit hinaufgezogen,

dass alle Punkte P’ die Höhe der Spitze S haben. Die dabei entstehenden Verzerrungen wer-

den nachher in einem zweiten Schritt wieder ausgeglichen. 14

3. a) Hinaufziehen des Ke-

gelmantels

Abbildung 59 demonstriert den

Aufziehmechanismus: P’ wird so

auf die Höhe der Kegelspitze S

gehoben, dass folgende zwei Be-

dingungen stimmen:

1. SP ' = SP * .

2. P* liegt in der Ebene ESMP’.

A*

Abb. 59: Das Aufziehen des Kegels.

14 Hinweis: Die Terme sind jeweils mit Hilfe des TI-89 gekürzt um lange Rechnungstherme zu verhindern.

A

P*

λ

P’

S

α

Β

M(0/0/0)

λ

Seite 45 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

P* wird man schlussendlich in der Form P*(x*/y*) angeben können, da die z*-Koordinate

konstant ist. Für die Werte von x* und y* berechne man als erstes die Strecke BP ' .

BP ' =

x'

+ y'

=

1


⎛ α ⎞

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠

+ y

=

cos

( ϕ)

⋅r

2 2

2 2

E

x

⎛ α ⎞

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠

Nun interessiert man sich für den Radius SP * des fiktiven Kreises mit dem Mittelpunkt S ,

einem Rand, der durch P*(x*/y*/z*) hindurchführt und der zudem parallel zur x-y-Ebene

steht. Der Radius dieses Kreises berechnet man durch Betrachtung der beiden ähnlichen

Dreiecke ∆AMS und ∆P’BS.

SP '

=

BP'

SA

MA

SP'

= SP * =

( ϕ)

⋅r

⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞

sin⎜

⎟⋅

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

( ϕ)

SA ⋅ BP'

⎛ ⎛ α ⎞⎞

cos

SP'

= SP * = = sign ⎜

⎜cos⎜

⎟ ⎟

⎟⋅

⋅rE

MA ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠

⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞

sin⎜

⎟⋅

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

cos

E

Da neben der Länge von SP * auch der Winkel λ , der SP * mit der x-Achse einschliesst,

bekannt ist, kann man damit den Punkt P*(x*/y*) angeben.

( λ)

( λ)

( ) ( )

( ) ⎟⎟

ϕ ⋅r

⎛cos

λ ⎞

⋅ ⎜

⎛ α ⎞ sin λ

⎛ x * ⎞ ⎛cos

⎞ cos E


⎟ = SP'⋅


⎟ =

⎝ y * ⎠ ⎝ sin ⎠ ⎛ α ⎞

sin⎜

⎟⋅

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

3. b) Die Umwandlung in ein Kreissegment

Um ein unverzerrtes Aufklappen des Kegelmantels zu erreichen, muss der in 3 a) gefundene

Kreis in ein Kreissegment „geschoben“ werden, das die gleiche Fläche hat wie der Kegelman-

tel des geraden Kegels mit der Kreisfläche um B und Radius BP ' sowie der Spitze S.

Als erstes sucht man den Winkel β, indem man das Verhältnis zwischen dem Umfang U* des

grünen Kreises und dem Umfang U’ des blauen Kreissegments (ohne Radien) berechnet.



Seite 46 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

( ϕ)

cos ⋅rE

U ' = 2⋅

π⋅

BP'

= 2⋅

π⋅

⎛ α ⎞

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠

( ϕ)

cos ⋅rE

U * = 2⋅

π⋅

SP * = 2⋅

π⋅

⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞

sin⎜

⎟⋅

cos⎜

− ϕ⎟

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

β berechnet sich mittels folgendem Verhältnis:

β 2 ⋅ π

=

U'

U *

U'

⎛ α ⎞

β = 2 ⋅ π ⋅ = 2 ⋅ π ⋅ sin⎜


U * ⎝ 2 ⎠

3. c) Die Überführung von P* nach P’’

Bereits in Abbildung 60 wurde angetönt, wie sich der Punkt P*(x*/y*/z*) nach P’’(x’’/y’’/z’’)

(wobei z’’ konstant ist) überführen lässt: Durch eine Drehung um S mit dem Winkel δ. Dieser

berechnet sich auf folgende Weise.

δ = −

⎛ α ⎞

2 ⋅ π − 2 ⋅ π ⋅ sin⎜


2 ⋅ π − β ⎛⎧

λ für λ ≥0


⎝ 2 ⎠ ⎛⎧

λ für λ ≥0


⋅⎜

⎟ = −

⋅ ⎜


⎜⎨


⎜⎨

2 ⋅ π

⋅ π


⎝⎩2

⋅ π + λ für λ < 0⎠

2 ⎝⎩2

⋅ π + λ für λ < 0⎠

⎛ ⎞ ⎛⎧

λ λ ≥ ⎞


⎛ α ⎞

für 0

δ =

⎟ ⎜



sin⎜

⎟ − 1



⎜⎨


⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎩2

⋅ π + λ für λ < 0⎠

Für die Überführung wendet man eine Drehmatrix an.

( δ)

− sin(

δ)

( ) ( ) ⎟ ⎛ x''

⎞ ⎛cos

⎞ ⎛ x * ⎞


⎟ = ⎜

⎟ ⋅ ⎜

⎝ y''⎠

⎝ sin δ cos δ ⎠ ⎝ y * ⎠

Damit konnte die Abbildungsgleichung der Kegelprojektion mit dem Projektionszentrum im

Erdmittelpunkt gefunden werden.

P*

Abb. 60: Der Vergleich

zwischen dem Kreissegment

und dem fiktiv aufgeklappten

Kreis.

Seite 47 von 64 Jan Aeschlimann

P’’

δ

β

U’

U*

.


Zusammenfassung:

n

( λ )

P ϕ

n

n

δ =

⎛ ⎞ ⎛⎧

λ


⎛ α ⎞

n ⎟ ⋅ ⎜


sin⎜

⎟ − 1

⎟ ⎜⎨

⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎩2

⋅ π + λ

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

n

n

( δ)

⋅cos(

λ n ) ⋅r

fiktiv − sin(

δ)

⋅ ( λ n ) rfiktiv

x ' '=

cos

sin ⋅

n

( δ)

⋅ cos(

λ n ) ⋅ rfiktiv

+ cos(

δ)

⋅ ( λ n ) rfiktiv

y ' '=

sin

sin ⋅

für λ n ≥0



λ < 0⎟

und r

für n ⎠

fiktiv

=

cos

( ϕ )

⋅ r

⎛ α ⎞ ⎛ α

sin⎜

⎟ ⋅ cos⎜

− ϕ

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2

π α π

Hinweis: Die Abbildungsgleichung gilt nur, wenn − + < ϕn

≤ gilt.

2 2 2

Kartenabbildungen:

Polare Lage.

grosser Massstab / α = 90°

Breitenkreise:

Längenkreise:

Abbildung

Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.

konzentrische

Kreise um den Pol Breitenkreise:

Geradenbündel

durch den Pol

Polare Lage.

kleiner Massstab / α = 90°

Längenkreise:

konzentrische

Kreise um den Pol

Geradenbündel

durch den Pol

Seite 48 von 64 Jan Aeschlimann

n

E

n




Transversale Lage.

α = 90°

Pole sind gut sichtbar.

Bemerkung: Wegen Darstellungsfehler des R sind sehr viele Linien ungewollt dargestellt. Aus diesem Grund

wurde auf die Abbildung einer allgemeinen Kegelprojektion verzichtet, da das Kartennetz zu unübersichtlich

dargestellt worden wäre.

Eigenschaften: Die vorgestellte Kegelprojektion ist nicht flächen-, geraden- und auch nicht winkeltreu.

Abb. 61 – 63

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Der Einfluss des Öffnungswinkels α

Abb. 64 - 66 (oberste Zeile): Polare Kegelprojektion mit

den Öffnungswinkeln α = 0°, α = 30° und α = 60°.

Abb. 67 - 69 (mittlere Zeile): Polare Kegelprojektion mit

den Öffnungswinkeln α = 90°, α = 120° und α = 150°.

Abb. 70 (rechts): Polare Kegelprojektion mit dem Öff-

nungswinkel α = 180°.

Hinweis: Wegen Darstellungsfehlern des „R“ sind die Rän-

der der einzelnen Kreissektoren miteinander verbunden.

Die Abbildung 70 zeigt, dass die (gnomonische) Azimutalprojektion eine spezielle Kegelpro-

jektion ist, die den Öffnungswinkel α=180° besitzt. Weiter zeigt Abbildung 65 (α=0°) keinen

Kreissektor, sondern eine weisse Fläche mit einer (fiktiven) Gerade, welche die Ausgangssi-

tuation für die Zylinderprojektionen ist.

Seite 49 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.3.2 Fazit „Kartographische Abbildungen“ Teil 3: Kegelentwürfe

Entlang des Berührungskreises sind die Verzerrungen am geringsten; mit zunehmender Ent-

fernung davon nehmen diese stark zu. Diese Eigenschaft kann auch beim Kegelentwurf aus-

genutzt werden, um Verzerrungen zu minimieren, in dem man den Kegel mit der Erde

schneidet und so einen Schnittkegel produziert.

Der Einfluss des Öffnungswinkel α ist ebenfalls für die Grösse der Verzerrungen verantwort-

lich: Ein kleiner Öffnungswinkel ergibt entlang des Berührungskreises auf einem relativ brei-

ten Korridor sehr geringe Verzerrungen, dafür werden die polnahen Gebiete extrem stark

verzerrt.

Nachteile der Kegelprojektion sind die aufwändige Herleitung der Abbildungsgleichung und

die Form der Karte als Kreissektor.

Abb. 71: Die Schweiz in polarer Kegelprojektion (Öffnungswinkel

α = 120°)

Ich denke, dass die Kegelprojektion eine gute Ergänzung zur Azimutal- und zur Zylinderpro-

jektion ist, da sie bei geeignetem Öffnungswinkel für die Abbildung einer ganzen Hemisphäre

für ein sehr grosses Gebiet sehr gute Resultate liefert.

Seite 50 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

5.4 Fazit „Kartographische Abbildungen“

Für jeden Teilbereich der Erde gibt es verschiedene Kartennetzentwürfe, die für die Abbil-

dung in Frage kommen. Ist man beispielsweise daran interessiert, die polnahen Gebiete ab-

zubilden, so empfehle ich eine orthogonale Azimutalprojektion. Für Gebiete um den Äquator

drängt sich eine Zylinderprojektion auf. Möchte man für Gebiete in mittleren Breitengraden

eine Karte erstellen, so dürfte die Wahl auf eine Kegelprojektion fallen. Für die Abbildung der

gesamten Erdoberfläche eignet sich besonders der orthogonale Zylinderentwurf.

Die Herleitung von Kartenprojektionen mit bestimmten charakteristischen Eigenschaften

wie Flächen-, Geraden- oder Winkeltreue ist sehr schnell nur noch durch Anwendung der

Verzerrungstheorie möglich, mit der ich nicht gearbeitet habe.

Ich bin mit den Resultaten sehr zufrieden. Die Kartennetzentwürfe sind mit wenigen Aus-

nahmen sehr aussagekräftig. Probleme gab es einzig bei der allgemeinen Kegelprojektion

sowie all jenen Abbildungen, wo Geraden ins Unendliche abgebildet wurden, da dort ein

„paar Geraden zuviel“ gezeichnet worden sind. Leider fand ich keine Lösung, diese Missstän-

de software-technisch zu beheben.

Die mir gesetzten Ziele wurden grundsätzlich erreicht: Ich denke, mir gelang es einen aus-

führlichen Überblick über die verschiedenen Projektionen zu geben. Zudem fand ich auch

einige wenige Projektionsarten mit sehr speziellen Abbildungseigenschaften wie Gera-

dentreue zum Beispiel entlang der Breitenkreise oder Winkeltreue.

Die Untersuchung an den Zylinderprojektionen mit einem Schnittzylinder ergab sehr aussa-

gekräftige Kartennetzabbildungen, welche die Veränderungen sehr deutlich aufzeigten.

Seite 51 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

6 Die Berechnung des Schwerpunktes eines Landes

Im zweiten Teil meiner Maturaarbeit habe ich herausfinden wollen, wie sich der Schwer-

punkt eines Landes berechnen lässt. Zuerst suchte ich den Flächenschwerpunkt der Schweiz.

Anschliessend versuchte ich auch den Bevölkerungsschwerpunkt der Schweiz zu berechnen.

Unter Schwerpunkt verstehe ich jeweils den geometrischen Schwerpunkt. Dies ist derjenige

Punkt, bei dem eine Nadel angesetzt werden müsste, um die Fläche im Gleichgewicht halten

zu können. Bei den Berechnungen betrachte ich die Fläche eines Landes als Ebene, das heisst

die Wölbung der Erdoberfläche vernachlässige ich.

6.1 Der Flächenschwerpunkt

6.1.1 Der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks

Mit drei Punkten kann man ein Dreieck bil-

den. In diesem kann man sehr einfach speziel-

le geometrische Orte berechnen, so auch der

Schwerpunkt. Dieser liegt im Schnittpunkt

aller drei Seitenhalbierenden (Schwerelinien)

s. Eine Seitenhalbierende verbindet einen

Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt

der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Stre-

cke. Zudem gilt für die Schwerelinien folgen-

des Verhältnis:

SM BC AC AB

SA

SM

=

SB

SM

=

SC

1

=

2

.

6.1.2 Der Flächenschwerpunkt eines Polygons

Normalerweise sucht man nicht den Schwerpunkt von

A 1

A

2

A

3

Abb. 73: Das allgemeine Vieleck

wird in Dreiecke unterteilt.

A

M AC

Abb. 72: Der Schwerpunkt S als Schnittpunkt

der Seitenhalbierenden.

einem Dreieck, sondern denjenigen eines unregelmässi-

gen Vielecks (Polygon), wie es beispielsweise Abbildung

73 zeigt. Für ein solches kann man den Schwerpunkt

leider nicht mehr so einfach angeben. Deshalb unterteilt

man das Vieleck in Dreiecke (im Beispiel in 1 A , A 2 und

A 3 ), von denen man ja den Schwerpunkt durch

Seite 52 von 64 Jan Aeschlimann

C

S

M

AB

MBC

B

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Schneiden der Schwerelinien bestimmen kann (ergibt im Beispiel 1 ( x S1

/ yS

1 )

S ( x y ) und ( x y )

2 S2

/ S2

3 S 3 / S 3

Seite 53 von 64 Jan Aeschlimann

.

S ,

S ). Den Schwerpunkt des Vielecks erhält man dann, indem

man die einzelnen Schwerpunkte, nachdem man sie mit der dazugehörenden Fläche gewich-

tet hat, zusammenzählt. Dabei behandelt man die x- und die y-Koordinate separat. Für das

Beispiel ergibt dies nachstehende Rechnung.

x

y

S

S

x

=

y

=

S1

S1

⋅ A + x

1

⋅ A

1

1

S2

⋅ A

2

2

+ x

A + A + A

+ y

A

1

S2

+ A

⋅ A

2

2

3

+ A

3

S 3

+ y

S 3

⋅ A

3

⋅ A

Allgemein berechnet sich der Schwerpunkt ( ) y x

Formeln.

x

y

S

S

=

A ⋅ x

1

S1

A1

⋅ y

=

S1

+ A

2

+ A

2

⋅ x

S2

+ A

⋅ x

S 3

3

S / eines Vielecks mittels untenstehenden

S

+ ... + A

A + A + A + ... + A

1

⋅ y

A

1

S2

2

+ A

3

+ A

2

3

3

⋅ y

+ A

S 3

3

n−1

+ ... + A

S

n−1

+ ... + A

n−1

⋅ x

+ A

n−1

Sn−1

n

⋅ y

+ A

Sn−1

n

+ A

n

+ A

⋅ x

n

Sn

⋅ y

=

Sn

n


i

i=

1

n

=

A ⋅ x


i=

1

n


A


i

i

i=

1

n

i=

1

Si

A ⋅ y

6.1.3 Die Berechnung einer Polygonfläche mit dem Vektorprodukt

Für die Berechnung des Flächenschwerpunkts muss man die Fläche von Dreiecken berech-

nen. Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich mit der Formel

A

Grundlinie⋅ Höhe

. Für ein

2

einzelnes Dreieck kann man diese Formel ohne Probleme anwenden, für ein Polygon mit

sehr vielen Dreiecken kann dies allerdings äusserst mühsam werden, da man ja nicht genau

weiss, wo der Höhenpunkt liegt. Deshalb benützt man zur Dreiecksflächenberechnung ein

Erzeugnis der Vektorgeometrie: das Vektor- oder Kreuzprodukt.

i

Si


a x b

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Das Vektorprodukt von zwei Vektoren

a und b ist ein Vektor, der senkrecht

zu der von a und b aufgespannten

Ebene steht. Über die Orientierung von

a× b entscheidet die Rechte-Hand-

Regel (Anwendung mit der rechten

Hand: a ist der Daumen, b der Zeige-

finger und a× b der Mittelfinger). Mit

dieser Regel kann man bestimmen, ob a× b ober- oder unterhalb der Ebene mit den beiden

Ausgangsvektoren liegen.

Betrachtet man den Betrag von a× b , also

a× b , entspricht dieser gerade dem Flächen-

inhalt I des Parallelogramms mit den Seiten-

längen a und b . Mit dieser Eigenschaft von

a× b lässt sich nun sehr einfach den Flächeninhalt

eines Dreiecks berechnen. Seien zwei der drei Drei-

ecksseiten die Vektoren a und b , so ist der Flächen-

inhalt des Dreiecks

a

A =


b

2

.

In einem Polygon, das auf der x-y-Ebene liegt, lässt

sich diese Erkenntnis nach folgendem Schema an-

wenden: Vom Ursprung O wird mit je zwei Eckpunk-

ten des Polygons ein Dreieck gebildet. Damit kann

man den Flächeninhalt des Polygons berechnen. Für das Fünfeck in Abbildung 76 lautet der

Flächeninhalt

F

ABCDE

b b

a x b

Abb. 74: Die Richtung des Vektorprodukts; ermittelt

mit der Rechten-Hand-Regel.

= AOAB

+ AOBC

+ AOCD

− AODE

− AOEA

OA × OB OB×

OC OC × OD OD×

OE OE×

OA .

=

2

+

2

+

2


2


2

a

α

b

Abb. 75: Das Parallelgramm | a× b |.

E

D

Seite 54 von 64 Jan Aeschlimann

I

a

Abb. 76: Ein Fünfeck aufgeteilt in

Dreiecke.

A

C

B

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Setzt man in die obere Rechnung anstatt den Betrag

des Kreuzprodukts das Kreuzprodukt selbst ein, so

kann man den Flächeninhalt geometrisch interpretie-

ren. Dabei stellt man fest, dass wegen der Rechten-

Hand-Regel diejenigen Vektoren (im Beispiel violett

und gelb), welche als Fläche abgezählt werden müs-

sen, unter die x-y-Ebene zeigen und diejenigen (blau,

rot und grün), die positiv sein müssen, dementspre-

chend über der x-y-Ebene liegen. Dies bedeutet, dass

die Fläche des Polygons der Summe der Kreuzpro-

dukte aller Dreiecke entspricht.

F ABCDE

OA × OB OB×

OC OC×

OD OD×

OE OE×

OA

= + + + +

2 2 2 2 2

Allgemein lässt sich der Flächeninhalt eines Polygons, das durch die Eckpunkte ( ) y x P /

gegeben ist, mit der unten als zweites genannten Formel berechnen. Dabei entspricht der

Vektor OP n dem Ortsvektor. Für die Berechnung des Vektorprodukts kann man den folgen-

den Zusammenhang aufstellen:

⎛ a1

⎞ ⎛ b1

⎞ ⎛a2

⋅ b3

− a3

⋅ b2


⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜


⎜a2

⎟ x ⎜b2

⎟ = ⎜ a3

⋅ b1

− a1

⋅ b3

⎟ .

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜


⎝a

3 ⎠ ⎝b3

⎠ ⎝ a1

⋅ b2

− a2

⋅ b1


F

F

F

ABCDE

ABCDE

ABCDE

=

=

=

OP × OP × OP OP × OP

1 OP2

2 3 3 4 OP

+ + + ... +

2 2 2

n


n=

1

n


n=

1

1

⋅OPn

2

1

2


× OP

n+

1

=


n=

1

( x n ⋅ yn+

1 − yn

⋅ x n+

1 ) = ∑

n

1

⋅ OPn

2

n

× OP

n+

1

1 ⎛ x

⋅det


2 ⎝ y

=


n=

1

n−2

n+

1

n= 1 n n+

1

n

n

x

y

× OP


1 ⎜

⋅ ⎜

2 ⎜

⎝ x




n−1

⋅ y

n+

1

OP

+

− y

n−1

⋅ x

× OP

Als Anwendungsbeispiel dieser Formel berechnete ich die Fläche der Schweiz mit Hilfe des

„R“.

15 Bundesamt für Statistik.

Fläche der Schweiz mit „R“ 41'240 km 2

Offizielle Fläche der Schweiz 15 41'285 km 2

E

D

2

n+

1

Seite 55 von 64 Jan Aeschlimann

n

A

Abb. 77: Die geometrische

Interpretation des Flächeninhalts.

0

0

C

n

2

B






n

n

n

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

6.1.4 Die Berechnung des Flächenschwerpunkts einer Polygonfläche

In Kapitel 6.1.2 sind die Formeln für die Flä-

mit der Gleichung

⎛ x


⎝ y

S

S

⎞ 1 ⎛ x

⎟ = ⋅ ⎜

⎠ 2 ⎝ y

n

n


⎞ 1

⎜ x

+ ⋅ ⎜


⎠ 3 ⎜

y


n+

1

n+

1



1

⋅ x

2

1

⋅ y

2

n

n

chenschwerpunktsberechnung angegeben. Diese

setzen voraus, dass das Polygon in Dreiecke un-

terteilt werden kann, von denen der Schwer-

punkt und die Fläche bekannt sind. Im vorheri-

gen Kapitel wurde das allgemeine Vieleck bereits

in Dreiecke eingeteilt, von denen die Fläche be-

rechnet werden kann. Nun muss man von jedem

der Dreiecke noch den Schwerpunkt berechnen.

Weil sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis

2:1 schneiden, berechnet sich der Schwerpunkt

( )


( ) ⎟ ⎟⎟

⎞ ⎛ 1


⎟ ⎜ ⋅ x n + x n+

1

⎟ = ⎜ 3

.

⎟ ⎜ 1

⎟ ⎜ ⋅ yn

+ yn+

1

⎠ ⎝ 3


Damit sind alle Grössen bekannt, um den Schwerpunkt eines Polygons berechnen zu können.

Berechnung des Schwerpunktes eines Polygons:

x

y

O

S

S

Abb. 78: Der Schwerpunkt eines Polygondreiecks.

=

=

n


i

i=

1

n

n


A ⋅ x


i=

1

i

i=

1

n


i=

1

A

i

i

Si

A ⋅ y

A

Si

=

=

n


i=

1

n


i=

1

S

P

n

P

n+1

1 ⎛ xi

⋅det


2 ⎝ yi

x n+

1 ⎞ 1


⎟⋅


yn+

1 ⎠ 3

n

1 ⎛ x i

∑ ⋅det


2 ⎝ y

x

y

i= 1 i i+

1

( x + x )

i+

1

1 ⎛ x i

⋅det


2 ⎝ yi

x i+

1 ⎞ 1


⎟⋅


yi

+ 1 ⎠ 3

n

1 ⎛ x i

∑ ⋅det


2 ⎝ y

x

y

i= 1 i i+

1

i




i+

1

( y + y )

i+

1

i




i+

1

S(xn/yn)

Seite 56 von 64 Jan Aeschlimann

.


Mit den angegeben Formeln lässt sich nun

der Schwerpunkt von Ländern berechnen.

So berechnete ich als Beispiel den

Schwerpunkt der Schweiz. Verblüffender-

weise gelang es mir, den Schwerpunkt auf

Hundertstel genau zu berechnen. Den

Mittelpunkt der Schweiz lokalisierte ich

auf der Älggialp, die auf dem Boden der

Gemeinde Sachseln (Kanton Obwalden)

liegt. Da der wahre Schwerpunkt der

Schweiz in einer Felswand liegt, platzierte

man die Triangulationspyramide als Sym-

bol des Mittelpunkts rund 500 Meter

daneben.

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Schwerpunkt der Schweiz mit „R“ S(8.2265° ö. L. /46.8063° n. B.)

Offizielle Schwerpunkt der Schweiz 16 S(8.2267° ö. L. /46.8011° n. B.)

6.1.5 Die Berechnung weiterer Schwerpunkte eines Landes

In diesem Unterkapitel möchte anhand des Bevölkerungsschwerpunkts der Schweiz aufzei-

gen, wie man Schwerpunkte berechnen kann, die statistischen Daten zugrunde liegen. Diese

Schwerpunktsberechnung ist eigentlich genau gleich aufgebaut wie diejenige der Flächen-

schwerpunktsberechnung. Der einzige Unterschied liegt in der Form der Daten: Waren es bei

der Flächenschwerpunktsberechnung noch Dreiecke mit einem Eckpunkt im Ursprung, so

sind es jetzt einzelne Koordinaten, wo jede einzelne einer gewissen Anzahl Einheiten (zum

Beispiel Menschen) entspricht.

Der Bevölkerungsschwerpunkt der Schweiz

Für die Berechnung des schweizerischen Bevölkerungsschwerpunkts verwende ich jeweils die

Schwerpunkte der einzelnen Kantone sowie der dazugehörende Bevölkerungsstand. Alle Da-

ten stammen vom Bundesamt für Statistik (Bevölkerungsentwicklung) beziehungsweise vom

Bundesamt für Landestopographie swisstopo (Schwerpunkte der Kantone).

Anstatt mit dem Flächeninhalt gewichte ich nun die einzelnen Punkte mit der Bevölkerung.

Ansonsten bleibt die Formel gleich.

16 Bundesamt für Landestopographie swisstopo.

Abb. 79: Eine Triangulationspyramide symbolisiert

den geografischen Mittelpunkt der Schweiz

auf der Ällgialp.

Seite 57 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Bevölkerungsschwerpunkt der Schweiz (errechnet mit „R)

Jahr: 2007 S(7.9807° ö. L. /47.0066° n. B.)

Jahr: 2006 S(7.9814° ö. L. /47.0069° n. B.)

Jahr: 2005 S(7.9822° ö. L. /47.0075° n. B.)

Jahr: 2004 S(7.9832° ö. L. /47.0081° n. B.)

Jahr: 2003 S(7.9844° ö. L. /47.0088° n. B.)

Jahr: 1999 S(7.9856° ö. L. /47.0094° n. B.)

Jahr: 1995 S(7.9854° ö. L. /47.0096° n. B.)

Jahr: 1991 S(7.9825° ö. L. /47.0102° n. B.)

Interpretation: Der Schweizer Bevölkerungsschwerpunkt lag 2007 im Entlebuch bei Ro-

moos und damit nordwestlich des geografischen Mittelpunktes der Schweiz. Dies ist darauf

zurückzuführen, dass die Alpenkette nur sehr spärlich besiedelt ist. Zudem kann man fest-

stellen, dass der Bevölkerungsschwerpunkt in den letzten sechzehn Jahren nach Süden ge-

wandert ist.

Abb. 80: Der Bevölkerungsschwerpunkt (oben) und der Flächenschwerpunkt

(unten)

Seite 58 von 64 Jan Aeschlimann

.


Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

6.2 Fazit „Schwerpunktsberechnungen“

Den Schwerpunkt der Schweiz konnte ich bis auf Hundertstel Grad genau bestimmen. Die

kleine Abweichung vom offiziellen Schwerpunkt der Schweiz geht einerseits sicherlich auf die

berechnete Fläche der Schweiz zurück, die ich nur auf 0.0024% genau berechnen konnte,

und andererseits auf die Dichte des verwendeten Datensatzes, der nur 1341 Punkte enthielt.

Die Berechnung des Bevölkerungsschwerpunkts ist sicherlich nicht allzu genau, da ich nicht

sehr detaillierte Datensätze benutzt habe. Mit grösseren Datensätzen wäre sicherlich eine

noch genauere Lokalisation des Schwerpunkts möglich gewesen.

Mit dem Resultat der Schwerpunktsberechnungen bin ich aber trotzdem in doppelter Hin-

sicht sehr zufrieden: Ich habe einerseits den Lösungsansatz für die Schwerpunktsberechnun-

gen aufgezeigt und andererseits den Flächenschwerpunkt äusserst exakt berechnet.

Seite 59 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

7 Quellenverzeichnisse

7.1 Literatur

• Pantenburg, Vitalis: Das Porträt der Erde. Geschichte der Kartographie. Band: 266.

Stuttgart: Kosmos-Bibliothek 1970.

• Kohlstock, Peter: Kartographie. Eine Einführung. UTB. Paderborn: Ferdinand

Schöningh Verlag 2004.

• Handl, Andreas: Einführung in die Statistik mit R. Download:

http://www.mathematik.uni-kassel.de/~cmueller/Lehre/Biometrie/Rman.pdf; 26.

August 2008.

• Robert Bosch GmbH: Sicherheits- und Komfortsysteme. Funktion, Regelung und

Komponenten. Mit Kommunikationssystemen. 3. Auflage. Wiesbaden: Friedr. Vieweg

& Sohn Verlag / GWV Fachverlage GmbH 2004.

Verwendet: Seite 319, Abschnitt Koordinatensysteme.

7.2 Internet

• http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm; 7. Dezember 2008.

• http://www-m8.ma.tum.de/hm/archiv/ei1/ws0304/folien/folie34.pdf; 20. August

2008.

• Lexikon der Kartographie und Geomatik:

- http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/373; 21. November 2008.

- http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/1636; 21. November 2008.

- http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/2792; 5. Januar 2009.

- http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/5439; 21. November 2008.

- http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/5163; 5. Januar 2009.

- http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/karto/2633; 5. Januar 2009.

• http://www.geodaten.bayern.de/bvv_web/downloads/UTM-AbbildungenundKoordinaten.pdf;

18. Januar 2009.

• http://www.swisstopo.admin.ch/internet/swisstopo/de/home/topics/knowledge/center_ch.html;

24. Januar 2009.

7.3 Datensätze

• http://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/de/index/themen/01/22/lexi.Document.20547.xls;

25. Januar 2009.

Seite 60 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

• http://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/de/index/themen/01/02/blank/dos/result.htm;

25. Januar 2009.

• http://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/de/index/themen/01/22/lexi.Document.20547.xls;

25. Januar 2009.

• http://www.swisstopo.admin.ch/internet/swisstopo/de/home/topics/knowledge/center_ch.html;

25. Januar 2009.

7.4 Programme

• R Statistic Software 2.6.2

Benutzung: Berechnungen und Erstellung der Karten.

Download unter http://stat.ethz.ch/CRAN/; 2. März 2008.

• WinFIG

Benutzung: Erstellung der Skizzen.

• Adobe Photoshop Elements

Benutzung: Erstellung der Titelseite

7.5 Abbildungen

• Titelblatt: Satellitenbild: Google Earth; Januar 2009. Bearbeitung mit Adobe Photo-

shop Elements.

• Abb. 1: http://www.geowissenschaften.de/redaktion/aws/bild/ptolemaiosm.jpg; 17.

Januar 2009.

• Abb. 2: http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm; 7. Dezember 2008.

• Abb. 3 – Abb. 78: Eigenproduktion.

• Abb. 79: http://sachseln.ch/de/images/4148a6fc8f8f9.jpg; 26. Januar 2009.

• Abb. 80: Google Earth; Januar 2009.

7.6 Tabellen

• Tabelle 1: http://www.swisstopo.admin.ch/internet/swisstopo/de/home/topics/sur-

vey/sys/refsys/switzerland.parsysrelated1.24280.downloadList.37977.DownloadFile.tmp/swissprojectionde.pdf;

7. Dezember 2008.

• Tabelle 2: Kohlstock, Peter: Kartographie. Eine Einführung. UTB. Paderborn:

Ferdinand Schöningh Verlag 2004.

• Tabelle 3 - 5: Eigenproduktion.

Seite 61 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

8 Dank

• Ich möchte mich sehr herzlich bei Prof. Josef Vogt, Mathematiklehrer an der Kan-

tonsschule Sargans, bedanken, der mich jederzeit unterstützt hat und mich bei Fragen

stets kompetent beraten hat.

• Zudem gilt mein Dank auch meinen Eltern, Marianne und Ruedi Aeschlimann, die

ebenfalls zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

• Weiter bedanke ich mich auch bei all jenen, die in irgendeiner anderen Form zum Re-

sultat dieser Arbeit beigetragen haben.

9 Deklaration der Eigenständigkeit

„Ich habe die vorliegende Abschlussarbeit unter Benützung der angeführten Quellen selb-

ständig entworfen, gestaltet und geschrieben.“

________, den __________________ _____________________

Seite 62 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

Anhang

I. Abkürzungsverzeichnis

Abkürzung Bedeutung Wert Bemerkung

r E

r Erdradius 6371 km teilweise in Skizzen

R

r Z

Zylinderradius verschieden -

Kartennetz

zeigt alle: - Meridiane mit Teiler 15

- Breitenkreise mit Teiler 15

-

-

-180°, -165°, …, -15°, 0°, 15°, …, 165°, 180°

-90°, -75°, …, -15°, 0°, 15°, …, 75°, 90°

II. Umrechnung von den Schweizer Projektionskoordinaten in ellipsoidische

WGS-84 Koordinaten

Da die Kantonsschwerpunkte in Schweizer Projektionskoordinaten angegeben sind, müssen

diese zuerst in Kugelkoordinaten umgewandelt werden. Für die Umwandlung seien die folgenden

Terme angegeben.

Auszug aus:

Formeln und Konstanten für die Berechnung der Schweizerischen schiefachsigen

Zylinderprojektion und der Transformation zwischen Koordinatensystemen;

Bundesamt für Landestopographie swisstopo; Oktober 2008

Quelle:

http://www.swisstopo.admin.ch/internet/swisstopo/de/home/topics/survey/sys/refsys/swit

zerland.parsysrelated1.24280.downloadList.37977.DownloadFile.tmp/swissprojectionde.pdf;

25. Januar 2008

Näherungsformeln für die direkte Umrechnung von: Schweizer Projektionskoordinaten

(y, x, h') ⇒ ellipsoidische WGS84-Koordinaten (λ, φ, h)

(Genauigkeit im 0.1"-Bereich)

Es handelt sich dabei um eine Herleitung von U. Marti vom Mai 1999, basierend auf den Formeln aus [Bolliger, 1967]

1. Die Projektionskoordinaten y (Rechtswert) und x (Hochwert) sind ins zivile System (Bern = 0 / 0)

und in die Einheit [1000 km] umzuwandeln:

y' = (y – 600000 m)/1000000

x' = (x – 200000 m)/1000000

Seite 63 von 64 Jan Aeschlimann

.


Maturaarbeit 2009 Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt

2. Länge und Breite in der Einheit [10000"] berechnen:

λ' = 2.6779094

+ 4.728982 * y'

+ 0.791484 * y' * x'

+ 0.1306 * y' * x' 2

- 0.0436 * y'3

φ' = 16.9023892

+ 3.238272 * x'

- 0.270978 * y' 2

- 0.002528 * x' 2

- 0.0447 * y' 2 * x'

- 0.0140 * x' 3

h [m] = h' + 49.55

- 12.60 * y'

- 22.64 * x'

3. Umrechnen der Länge und Breite in die Einheit [°]

λ = λ' * 100 / 36

φ = φ' *100 / 36

4. Zahlenbeispiel

gegeben: y = 700 000 m x = 100 000 m h' = 600 m

⇒ y' = 0.1 x' = -0.1

⇒ λ' = 3.14297976 φ' = 16.57588564 h = 650.55 m

⇒ λ = 8° 43' 49.80" φ = 46° 02' 38.86"

aus NAVREF: λ = 8° 43' 49.79" φ = 46° 02' 38.87" h = 650.60 m

Diese Näherungen sind für die ganze Schweiz besser als 0.12" in der Länge, 0.08" in der Breite und

0.5 Meter in der Höhe.

Bemerkung zu den Höhen: In diesen Formeln wird davon ausgegangen, dass mit ellipsoidischen

Höhen gearbeitet wird, wie sie z.B. mit GPS-Messungen erhalten werden. Wird mit 'Höhen über

Meer' gearbeitet, so sind die Höhen im Meterbereich in beiden Systemen gleich. Sie müssen also

in diesem Fall nicht umgerechnet werden.

III. CD

Im Anhang befindet sich zudem eine CD mit einer digitalen Version dieses Dokuments, allen

Abbildungen sowie dem Quellcode des „R“ für einzelne Abbildungen.

Seite 64 von 64 Jan Aeschlimann

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