Untersuchung an Zylinderprojektionen und die Berechnung des ...

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Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt 5.1.3 Gnomonische Azimutalprojektion Das Projektionszentrum Z liegt bei der gnomonischen Pro- y Z Die Abbildung 22 zeigt, dass der Ortsvektor ⎛ x'' ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y''⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z'' ⎠ des jektion, die auch unter dem Namen orthodromische Projek- tion bekannt ist, im Kugelmittelpunkt. Damit hat das Pro- jektionszentrum die kartesische Koordinate Z(0/0/0). Für die Abbildungsgleichung dienen wie bei der orthographischen Projektion die gedrehten Punkte P’’(x’’/y’’/z’’) als Ausgangslage (Drehung ableitbar vom Berührungspunkt B(λB/φB)). Zudem muss vom Punkt P’’ auch der Winkel φ’’ berechnet werden. Punktes P’’ um einen Faktor t multipliziert den ⎛ x' ''⎞ ⎜ ⎟ Vektor ⎜ y'' '⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z' '' ⎠ z Ebene Abb. 21: Die gnomonische Azimutalprojektion mit ihrem Projektionszentrum Z. des Punktes P’’’ ergibt. Als Ansatz zur Herleitung der Abbildungsgleichung wird deshalb folgender Term gewählt: ⎛ x'' '⎞ ⎛ x'' ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y'' '⎟ = t ⋅ ⎜ y''⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z'' '⎠ ⎝ z'' ⎠ x Abb. 22 (rechts): Herleitung der Abbildungsgleichung der gnomonischenAzimutalprojektion. Für die Berechnung des Wertes t betrachte man nun das rechtwinklige Dreieck ∆AZP’’’ in der Skizze. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich einen Zusammenhang zwischen dem Winkel ϕ , der Strecke E r AP = ' ' ' und der Strecke ' ' ' ' ' ZP t ZP = ⋅ aufstellen: AP' '' rE rE rE 1 sin ( ϕ ) = = = = = . ZP' '' t ⋅ ZP' ' ⎛ x'' ⎞ t ⋅rE t ⎜ ⎟ t ⋅ ⎜ y''⎟ ⎜ z' ' ⎟ ⎝ ⎠ y A P’’’ Ebene Seite 24 von 64 Jan Aeschlimann λ P’’ ϕ Z z x .
Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt Nun löst man nach t auf. Zudem drückt man den Winkel φ durch die gegebenen Koordinaten x’’, y’’ und z’’ aus. t = 1 sin 1 = = ⎛ z'' ⎞ ⎜ sin arctan ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ 2 2 ⎟ x' ' y'' ⎟ ⎝ ⎝ + ⎠⎠ ( ϕ) ⎛ ⎞ z'' z'' z'' 2 1 2 2 x'' + y'' + z'' Seite 25 von 64 Jan Aeschlimann = 2 2 x' ' + y'' + z' ' r = Der projizierte Punkt lässt sich also bei gegebenem Punkt P’’(x’’/y’’/z’’) folgendermassen berechnen: ⎛ x' ''⎞ ⎛ x' '⎞ ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ E ⎜ y'' '⎟ = ⋅⎜ y''⎟ ⎜ ⎟ z' ' ⎜ ⎟ ⎝ z' '' ⎠ ⎝ z'' ⎠ Für die Koordinate z’’’ lässt sich wie bei der orthographischen Situation wieder die Konstante rE, den Erdradius, berechnen: r ' rE . z'' E z '' = ⋅ z' '= Zusammenfassend kann als Abbildungsgleichung für die Projektion der abzubildenden Punk- te Pn(xn/yn/zn) (Pn ist noch nicht in die Ausgangssituation gedreht worden) auf die Karten- ebene, die wiederum durch die x-y-Ebene gegeben ist, unter Anwendung einer gnomonischen Projektion bei gegebenem Berührungspunkt B(λB/φB) folgender Term angegeben werden: ⎛ x n '⎞ ⎜ ⎟ rE ⎜ yn '⎟ = ⎜ zn z ⎟ ⎝ n '⎠ z * = − cos Zusammenfassung: n ( λ ) P ϕ n n n ⎛ cos( λ B ) ⋅ sin( ϕB ) sin( λ B ) ⋅ sin( ϕ B ) cos( ϕ B ) ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − sin( λ B ) cos( λ B ) 0 ⎟ * ⎜ ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ⎟ ⎝− cos λ ⋅ cos ϕ − sin λ ⋅ cos ϕ sin ϕ ⎠ ( λ B ) ⋅ cos( ϕ B ) ⋅ x n − sin( λ B ) ⋅ cos( ϕB ) ⋅ yn + sin( ϕB ) ⋅ z n Abbildung ⎛ π ⎞ x n ' = rE ⋅ tan⎜ − ϕn ⎟⋅ cos λ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ yn ' = rE ⋅ tan⎜ − ϕn ⎟⋅ sin λ ⎝ 2 ⎠ Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage. ( ) n ( ) n ⎛ x ⎜ ⋅ ⎜ y ⎜ ⎝ z n n n 2 ⎞ ⎛0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ − ⎜0⎟, ⎟ ⎜ r ⎟ . ⎠ ⎝ ⎠ E .
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