Untersuchung an Zylinderprojektionen und die Berechnung des ...

Zylinderprojektionen / Geografischer Mittelpunkt
Setzt man in die obere Rechnung anstatt den Betrag
des Kreuzprodukts das Kreuzprodukt selbst ein, so
kann man den Flächeninhalt geometrisch interpretie-
ren. Dabei stellt man fest, dass wegen der Rechten-
Hand-Regel diejenigen Vektoren (im Beispiel violett
und gelb), welche als Fläche abgezählt werden müs-
sen, unter die x-y-Ebene zeigen und diejenigen (blau,
rot und grün), die positiv sein müssen, dementspre-
chend über der x-y-Ebene liegen. Dies bedeutet, dass
die Fläche des Polygons der Summe der Kreuzpro-
dukte aller Dreiecke entspricht.
F ABCDE
OA × OB OB×
OC OC×
OD OD×
OE OE×
OA
= + + + +
2 2 2 2 2
Allgemein lässt sich der Flächeninhalt eines Polygons, das durch die Eckpunkte ( ) y x P /
gegeben ist, mit der unten als zweites genannten Formel berechnen. Dabei entspricht der
Vektor OP n dem Ortsvektor. Für die Berechnung des Vektorprodukts kann man den folgen-
den Zusammenhang aufstellen:
⎛ a1
⎞ ⎛ b1
⎞ ⎛a2
⋅ b3
− a3
⋅ b2
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜a2
⎟ x ⎜b2
⎟ = ⎜ a3
⋅ b1
− a1
⋅ b3
⎟ .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝a
3 ⎠ ⎝b3
⎠ ⎝ a1
⋅ b2
− a2
⋅ b1
⎠
F
F
F
ABCDE
ABCDE
ABCDE
=
=
=
OP × OP × OP OP × OP
1 OP2
2 3 3 4 OP
+ + + ... +
2 2 2
n
∑
n=
1
n
∑
n=
1
1
⋅OPn
2
1
2
⋅
× OP
n+
1
=
∑
n=
1
( x n ⋅ yn+
1 − yn
⋅ x n+
1 ) = ∑
n
1
⋅ OPn
2
n
× OP
n+
1
1 ⎛ x
⋅det
⎜
2 ⎝ y
=
∑
n=
1
n−2
n+
1
n= 1 n n+
1
n
n
x
y
× OP
⎛
1 ⎜
⋅ ⎜
2 ⎜
⎝ x
⎞
⎟
⎠
n−1
⋅ y
n+
1
OP
+
− y
n−1
⋅ x
× OP
Als Anwendungsbeispiel dieser Formel berechnete ich die Fläche der Schweiz mit Hilfe des
„R“.
15 Bundesamt für Statistik.
Fläche der Schweiz mit „R“ 41'240 km 2
Offizielle Fläche der Schweiz 15 41'285 km 2
E
D
2
n+
1
Seite 55 von 64 Jan Aeschlimann
n
A
Abb. 77: Die geometrische
Interpretation des Flächeninhalts.
0
0
C
n
2
B
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
n
n
n
.