Untersuchung an Zylinderprojektionen und die Berechnung des ...
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<strong>Zylinderprojektionen</strong> / Geografischer Mittelpunkt<br />
⎛ x'<br />
'⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Ein projizierter Punkt lässt sich also bei gegebenem Ortsvektor von P’’, ⎜ y''⎟<br />
, folgendermas-<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z'<br />
'⎠<br />
sen berechnen:<br />
⎛ x''<br />
'⎞<br />
⎛ x''<br />
⎜ ⎟ 2 ⋅ r ⎜ E<br />
⎜ y''<br />
'⎟<br />
= ⋅ ⎜ y''<br />
⎜ ⎟ rE<br />
+ z''<br />
⎜<br />
⎝ z''<br />
'⎠<br />
⎝ z''+<br />
rE<br />
⎞ ⎛ 0 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ − ⎜ 0 ⎟ .<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝rE<br />
⎠<br />
Für <strong>die</strong> Koordinate z’’’ lässt sich wie bei allen <strong>an</strong>deren Azimutalprojektionen <strong>die</strong> Konst<strong>an</strong>te rE<br />
berechnen:<br />
2 ⋅ r<br />
' ( z'<br />
+ rE<br />
) − rE<br />
rE<br />
.<br />
r + z''<br />
E<br />
z ''<br />
= ⋅ ' =<br />
E<br />
Zusammenfassend k<strong>an</strong>n als Abbildungsgleichung für <strong>die</strong> Projektion der abzubildenden Punk-<br />
te Pn(xn/yn/zn) (Pn ist noch nicht in <strong>die</strong> Ausg<strong>an</strong>gssituation gedreht worden) auf <strong>die</strong> Karten-<br />
ebene, <strong>die</strong> durch <strong>die</strong> x-y-Ebene gegeben ist, unter Anwendung einer gnomonischen Projekti-<br />
on bei gegebenem Berührungspunkt B(λB/φB) folgender Term <strong>an</strong>gegeben werden:<br />
⎛ x n '⎞<br />
⎜ ⎟ 2<br />
⎜ yn<br />
'⎟<br />
=<br />
⎜ rE<br />
z<br />
⎟<br />
⎝ n '⎠<br />
z<br />
n<br />
* = − cos<br />
⎡⎛<br />
cos(<br />
λ B ) ⋅ sin(<br />
ϕ B ) sin(<br />
λ B ) ⋅ sin(<br />
ϕ B ) cos(<br />
ϕ B )<br />
⋅ rE<br />
⎢⎜<br />
⋅<br />
( B ) ( B )<br />
z<br />
⎢⎜<br />
− sin λ<br />
cos λ<br />
0<br />
+ n *<br />
⎢⎜<br />
⎣⎝−<br />
cos(<br />
λ B ) ⋅ cos(<br />
ϕ B ) − sin(<br />
λ B ) ⋅ cos(<br />
ϕB<br />
) sin(<br />
ϕ B )<br />
( λ B ) ⋅ cos(<br />
ϕB<br />
) ⋅ xn<br />
− sin(<br />
λ B ) ⋅ cos(<br />
ϕB<br />
) ⋅ yn<br />
+ sin(<br />
ϕ B ) ⋅ zn<br />
Zusammenfassung:<br />
n<br />
( λ )<br />
P ϕ<br />
n<br />
n<br />
Abbildung<br />
⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞⎤<br />
⎛ 0 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥<br />
⎜ ⎟<br />
⎟ ⋅ ⎜ y⎟<br />
+ ⎜ 0 ⎟⎥<br />
− ⎜ 0 ⎟,<br />
⎟ ⎜<br />
z<br />
⎟ ⎜<br />
r<br />
⎟⎥<br />
⎜<br />
E r<br />
⎟ .<br />
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦<br />
⎝ E ⎠<br />
2<br />
⎛ π ⎞<br />
xn '= ⋅ rE<br />
⋅ sin⎜<br />
−ϕ<br />
n ⎟ ⋅ cos λn<br />
⎛ π ⎞ 2<br />
1+<br />
cos ϕ<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ − n ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
( )<br />
2<br />
⎛ π ⎞<br />
yn '= ⋅ rE<br />
⋅sin⎜<br />
−ϕ<br />
n ⎟ ⋅sin<br />
λn<br />
⎛ π ⎞ 2<br />
1+<br />
cos ϕ<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ − n ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Abbildungsgleichung für Kartennetzentwurf in polarer Lage.<br />
( )<br />
Seite 28 von 64 J<strong>an</strong> Aeschlim<strong>an</strong>n<br />
.
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