Numerische Mathematik II

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK
Prof. Dr. Gerhard Starke
Dipl.-Math. Steffen Münzenmaier
Numerische Mathematik II
Sommersemester 2oo9
7. Aufgabenblatt — 14. Mai 2oo9
Aufgabe 7.1 (Verschiedene Anfangswertprobleme)
Man löse jeweils das Anfangswertproblem. Anschließend überprüfe man die Fortsetzbarkeit (vgl.
Bemerkung nach Satz 8.1), indem zwischen ewigen Lösungen (Typ (i)), ’blow-up’-Lösungen (Typ
(ii)) und kollabierenden Lösungen (Typ (iii)) unterschieden wird.
(a) y ′ = 2ty 2 , y(0) ∈ IR>0, Ω = IR>0 × IR
(b) y ′ = 3
2
t 2
y , y(0) ∈ (0, √ 3], Ω1 = IR>0 × IR>0, Ω2 = (0, 1) × (0, 2)
(c) y ′ = 3
2 3√ y, y(0) ∈ (0, 1], Ω1 = IR × IR>0, Ω2 = (0, 1) × (0, √ 8)
(d) (y1, y2) ′ = (y2, −y1), y1(0) = 0, y2(0) = 1, Ω = IR × IR 2
(e) (y1, y2) ′ = (y2, y1), y1(0) = 0, y2(0) = 1, Ω = IR × IR 2
Aufgabe 7.2 (Beispiel)
Ein Tank in Form eines geraden Kreiszylinders der Höhe H und des Radius R ist bis zur Höhe
h0 mit Wasser gefüllt. Am Boden wird zum Zeitpunkt t = 0 ein kreisförmiges Loch mit Radius
r 0).
h ′ = −c √ h h(0) = h0
(b) Man gebe unter der Voraussetzung h0 > 0 einen erweiterten Phasenraum an, zeige, dass eine
eindeutige bis an den Rand des erweiterten Phasenraums fortgesetzte Lösung gibt und gebe
diese an.
(c) Man setze diese Lösung -falls möglich- auf den Rand des erweiterten Phasenraumes fort.
(d) Man diskutiere den Fall der Fortsetzbarkeit (in die Zukunft) [(i) ” ewig“, (ii) ” explosiv“, (iii)
” kollabierend“]
(e) Man überlege sich eine entsprechende Typisierung der Fortsetzbarkeit ” in die Vergangenheit“;
welcher Fall liegt hier vor?
(f) Man gebe die Lösung(en) für h0 = 0 an.

Aufgabe 7.3
Zu einer beliebigen Funktion φ ∈ C 2 (IR, IR) betrachte man die Differentialgleichung
Zeigen Sie:
y ′ = − dφ
(y), t ≥ 0. (1)
dy
(a) Ist y ∗ eine Nullstelle von dφ
dy , dann stellt V (y) = φ(y) − φ(y∗ ) eine Lyapunov-Funktion für y ∗
dar.
(b) Existiert zusätzlich eine Umgebung B von y ∗ , so dass φ(y) > φ(y ∗ ) für alle y ∈ B \{y ∗ } (dann
heißt y ∗ ein strenges lokales Minimum von φ), so ist y ∗ ein asymptotisch stabiler Fixpunkt von
(1).
Aufgabe 7.4
Mit Hilfe der Lyapunov-Funktion kann man auch Instabilität von Fixpunkten zeigen. Aus der Theorie
der Differentialgleichungen ist nämlich Folgendes bekannt: Ist y ∗ asymptotisch stabiler Fixpunkt der
Differentialgleichung y ′ = − dφ
dy (y), t ≤ 0, so ist y∗ ein instabiler Fixpunkt von (1).
Mit anderen Worten: Setzt man z(t) := y(−t), dann ist
z ′ (t) = −y ′ (−t) = dφ dφ
(y(−t)) =
dy dy (z(t)).
Findet man nun einen asymptotisch stabilen Fixpunkt y ∗ von
so ist y ∗ ein instabiler Fixpunkt von (1).
Zeigen Sie: Die Differentialgleichung
z ′ = dφ
(z), t ≥ 0,
dy
y ′ = y 2 − 1, t ≥ 0
besitzt 1 als instabilen Fixpunkt und −1 als asymptotisch stabilen Fixpunkt.
Besprechung der Aufgaben in den Übungen der folgenden Woche