Kettenbrüche

KAPITEL 3
Kettenbrüche
Gegenstand dieses Abschnitts ist das klassische Problem der Approximation
reeller Zahlen durch rationale Zahlen, wobei wir uns auf die Analyse einer bestimmten
Methode konzentrieren. Diese wird zunächst vorgestellt und dann, nach
einer kurzen Exkursion zur Bescha↵ung eines Hilfsmittels, als ergodisches MDS
identifiziert. Dies wiederum kann man verwenden, um Aussagen zur Asymptotik
der approximierenden Folge zu erhalten.
3.1. Elementare Eigenschaften
Als (regulären) Kettenbruch bezeichnet man einen Ausdruck der Form
a 0 +
a 1 +
a 2 +
1
1
a 3 + ···
1
1
a n 1 + 1
a n
mit a 0 2 N 0 und a 1 ,...,a n 2 N. Als (dringend nötige) kompaktere Schreibweise
hierfür verwenden wir [a 0 ; a 1 ,...,a n ]undsetzen[a 1 ,...,a n ] := [0; a 1 ,...,a n ]. Solche
Brüche liefern eine rationale Zahl p n /q n ;für diese Zähler und Nenner gibt es
eine sehr nützliche ‘kumulative’ Darstellung.
Lemma 3.1. Es seien a 0 2 N 0 und a n 2 N für alle n 2 N. Weiter seien, für
alle n 2 N 0 , p n 2 N 0 und q n 2 N teilerfremde Zahlen mit
p n
q n
=[a 0 ; a 1 ,...,a n ] für alle n 2 N 0 .
Dann gilt p 0 = a 0 , q 0 =1und, mit p 1 := 1 und q 1 := 0,
✓ ◆ ✓ ◆✓ ◆ ✓ ◆
pn p n 1 a0 1 a1 1 an 1
=
···
für alle n 2 N
q n q n 1 1 0 1 0 1 0
0 .
Beweis. Für n = 0 ist die Aussage eine unmittelbare Folge der Definitionen.
Im Schritt von n auf n + 1 verwenden wir die Darstellung für [a 1 ; a 2 ...,a n+1 ]: Mit
✓ ◆ ✓ ◆✓ ◆ ✓ ◆
r s a1 1 a2 1 an+1 1 r
:=
···
,
u v 1 0 1 0 1 0 u =[a 1; a 2 ,...,a n ],
und ✓ ◆✓
a0 1 r
1 0 u
◆ s
v
=
✓
a0 r + u
r
◆
a 0 s + v
s
23

24 3. KETTENBRÜCHE
erhalten wir
a 0 r + u
r
= a 0 +
1
[a 1 ; a 2 ...,a n+1 ]
=[a 0 ; a 1 ...,a n+1 ]= p n+1
q n+1
.
Dieselbe Argumentation liefert auch (a 0 s+v)/s = p n /q n , was den Induktionsschritt
komplettiert.
Es bleibt zu zeigen, dass p n und q n teilerfremd sind: Geht man in der Matrixdarstellung
zu den Determinanten über, so erhält man p n q n 1 p n 1 q n =( 1) n+1 .
Ein gemeinsamer Teiler von p n und q n wäre damit auch ein Teiler von ( 1) n+1 . ⇤
Wir notieren einige Konsequenzen im folgenden Lemma. Eine von diesen haben
wir bereits verwendet; der Beweis der übrigen ist Gegenstand von Aufgabe 3.1.
Lemma 3.2. Es seien a n ,p n ,q n wie in Lemma 3.1. Dann gilt für alle n 2 N 0 :
(a) p n+1 = a n+1 p n + p n 1 , q n+1 = a n+1 q n + q n 1 ,
(b) q n+1

3.1. ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 25
Beispiel 3.3. Welches x ergibt sich zu [1; 1, 1, 1,...], also wenn man a n =1für
alle n 2 N 0 hat? Die Produktformel in Lemma 3.1 führt auf Potenzen einer festen
Matrix mit Diagonaldarstellung
✓ 1 1
1 0
◆
✓ p
1 5
= A 1 diag
2
, 1+p ◆
5
A, mit A :=
2
Aus dieser Darstellung folgt
✓ ◆ n
✓ 1 1
⇣1 p
5
⌘ n, ⇣ p
1+ 5
⌘ ◆ n
= A 1 diag
A,
1 0
2 2
✓ p p ◆
1+ 5 1 5
.
2 2
womit sich explizite Formeln für p n und q n erhalten lassen. Verwendet man die
Rekursionen
p n+1 = p n + p n 1 , mit p 1 = p 0 =1,
q n+1 = q n + q n 1 , mit q 1 =0,q 0 =1.
aus Lemma 3.2 (a), so ergibt sich ein Zusammenhang zu der wohl berühmtesten
Folge natürlicher Zahlen, den Fibonacci-Zahlen F n ,diemitF 1 = F 2 = 1 beginnen,
und bei der sich das nächste Element als Summe der beiden vorangegangen ergibt;
die ersten 11 Werte sind
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
(Oft wird noch F 0 := 0 hinzugenommen.) Diese haben die explizite Darstellung
F n = p 1 ✓ ⇣1+ p
5
⌘ n ⇣ p
1 5
⌘ ◆ n
,
5 2
2
die Formel von de Moivre und Binet (de Moivre ist Stochastikern im Zusammenhang
mit einem wichtigen Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes bekannt), die
man beispielsweise mit dem oben erwähnten Matrix-Argument beweisen kann. Wir
haben p n = F n+2 , q n = F n+1 , erhalten also also für die approximierenden Brüche
die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, und damit
F n+2
x = lim = 1+p 5
.
n!1 F n+1 2
Die gesuchte Zahl ist also der (ebenfalls berühmte) ‘goldene Schnitt’. Man kann
auch wie folgt argumentieren: Mit (KR) auf S. 24 erhält man für x die Gleichung
x =1+1/x. Diesführt auf eine quadratische Gleichung, als Lösung ergibt sich
wieder der oben hergeleiteten Wert.
Die Approximation durch Brüche hat hier bei n = 4 die Form
p 8
= 55
q 8 34 =1.61764 ··· < 1+p 5
=1.61803 ··· < p 9
= 89 =1.618181 ··· .
2
q 9 55
Die Kettenbruchapproximation liefert also einen Bruch mit zweistelligem Zähler
und Nenner, der sich vom goldenen Schnitt bei der Dezimaldarstellung erst in der
vierten Nachkommastelle unterscheidet. /
Gibt es umgekehrt zu x > 0 eine Kettenbruchentwicklung, also eine Folge
(a n ) n2N0 ,diediesesx als Grenzwert hat? O↵ensichtlich kann man sich auf den Fall
a 0 =0zurückziehen; x ist dann im o↵enen Einheitsintervall (0, 1). Formal geht es
um die Umkehrbarkeit der Abbildung
:N N ! (0, 1), (a k ) k2N 7! [a 1 ,a 2 ,...].

26 3. KETTENBRÜCHE
Eine fundamentale Rolle spielt hier und auch bei der Verbindung zur Ergodentheorie
die Gauß-Abbildung
n 1
T :(0, 1) ! (0, 1), T(x) := .
xo
Für irrationale x 2 (0, 1) ist auch T (x) irrational und in (0, 1), also ist
j
:(0, 1) \ Q c ! N N 1
k
, x 7! (a k ) k2N mit a k :=
T k 1 für alle k 2 N
(x)
wohldefiniert. Wir stellen einige Eigenschaften dieser Abbildungen zusammen.
Lemma 3.4. Es sei x 2 (0, 1) irrational, a := (x). Weiter seien p n ,q n 2 N
teilerfremd mit p n /q n =[a 1 ,...,a n ],für alle n 2 N. Dann gilt:
(a) (T n (x)) = (a n+k ) k2N für alle n 2 N.
(b) x = p n + T n (x) p n 1
q n + T n (x) q n 1
für alle n 2 N.
(c) (a) =x.
(d) (ã) = (a) ) ã = a; ist also injektiv.
Beweis. (a) Für alle k 2 N gilt
j
(T n 1
k j
1
k
(x)) k =
T k 1 (T n =
(x)) T n+k 1 = (x) n+k .
(x)
(b) Wir lassen temporär in der letzten Stelle eines endlichen Kettenbruchs eine
beliebige positive reelle Zahl zu und behaupten, dass
[a 1 ,...,a n 1 ,a n + t] = p n + tp n 1
q n + tq n 1
für alle t 0, n2 N
gilt. Bei n =1läuft dies auf eine simple Überprüfung unter Verwendung der Startwerte
für die p- undq-Folge hinaus. Im Schritt von n auf n + 1 erhalten wir
h
1
i
[a 1 ,...,a n ,a n+1 + t] = a 1 ,...,a n +
a n+1 + t
1
p n +
a
=
n+1 + t p n 1
1
q n +
a n+1 + t q n 1
= a n+1p n + p n 1 + tp n
a n+1 q n + q n 1 + tq n
= p n+1 + tp n
q n+1 + tq n
,
wobei wir im letzten Schritt Lemma 3.2 (a) verwendet haben. Nach Konstruktion
von gilt x =[a 1 + T (x)] sowie
h
[a 1 ,...,a n ,a n+1 +T n+1 1
i
(x)] = a 1 ,...,a n +
a n+1 + T n+1 =[a 1 ,...,a n +T n (x)]
(x)
für alle n 2 N, also x =[a 1 ,...,a n + T n (x)]. Insgesamt liefert dies (b).
(c) Mit (b) und Lemma 3.2 (d) erhält man
p n
x = p n + T n (x)p n 1 p n
q n q n + T n = T n (x) p n 1 q n p n q n 1
(x)q n 1 q n qn 2 + T n < 1
(x)q n 1 q n qn
2 ,
da T n (x) 2 (0, 1). Die gewünschte Aussage folgt aus q n !1.

3.1. ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 27
(d) Hat man (ã) =x, so gilt 1/x 2 (ã 1 , ã 1 + 1), wegen ã 1 2 N also ã 1 = a 1 .
Wegen (a) und (b) lässt sich dies iterieren.
⇤
Teil (a) zeigt, dass T in der gleichen Weise zum Links-Shift auf dem Folgenraum
korrespondiert wie die Verdoppelung modulo 1 im Bernoulli-Shift in der Situation
von Abschnitt 1.2.5. Aus Teil (c) folgt, dass jede irrationale Zahl eine Kettenbruchentwicklung
hat; diese ist nach Teil (d) eindeutig.
Kettenbrüche liefern in einem präzisierbaren Sinn die besten Approximationen
irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen. Natürlich ist dies bei ⇡ ‘das Beispiel
schlechthin’; die folgende Tabelle zeigt die ersten fünf Schritte.
⇡
n 0 1 2 3 4
a n 3 7 15 1 292
p n 1 3 22 333 355 103 993
q n 0 1 7 106 113 33 102
p n
q n
⇡ 0.14 0.0012 .83 · 10 5 .26 · 10 6 .57 · 10 10
Was passiert bei rationalen Zahlen?
Bemerkung 3.5. Bei der p-adischen Entwicklung ist bekanntlich die Darstellung
der p-rationalen Zahlen, also der ganzzahligen Vielfachen einer negativen Potenz
von p, nicht eindeutig. Ein ähnliches Phänomen hat man auch hier:
1
[2, 3, 1] =
2+ 1 = 1
3+ 1 2+ 1 =[2, 4].
4
1
Eindeutigkeit lässt sich durch die Forderung erzwingen, dass die letzte Zahl a n in
einem endlichen Kettenbruch [a 0 ; a 1 ,...,a n ] stets größer als 1 sein muss.
Bei x = p/q mit teilerfremden p, q 2 N ist
n q
T (x) = =
po
q j q
p pk
wieder eine rationale Zahl, und mit T (x) =r/s, r, s 2 N teilerfremd, k := bq/pc
erhält man, da p Vielfaches von s ist,
q = pk+ v, mit v = rp 2{0,...,p 1}.
s
Wir erkennen hier den euklidischen Algorithmus, aus dem Schulunterricht als Verfahren
zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers vertraut. Beispielsweise
erhält man ggT(1701, 805) = 7 mit den Schritten
1701 = 805 · 2 + 91,
805 = 91 · 8 + 77,
91 = 77 · 1 + 14,
77 = 14 · 5+7,
14 = 7 · 2+0,
und hieraus 1701/805 = [2; 8, 1, 5, 2]. /

28 3. KETTENBRÜCHE
Eine interessante Anwendung der Approximation durch Brüche mit kleinem
Zähler und Nenner ergibt sich in der Mechanik, wenn ein bestimmtes Verhältnis
über Zahnräder realisiert werden soll, beispielsweise bei einem mechanischen Modell
des Sonnensystems (Huygens).
3.2. Ein maßtheoretisches Zwischenspiel
Wir haben bereits mehrfach verwendet, das zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P
und Q auf einem messbaren Raum (⌦, A), die auf einem durchschnittsstabilem
Erzeugendensystem E von A übereinstimmen, gleich sind. Der aus den Stochastik-
Vorlesungen bekannte Beweis beruht zum einen darauf, dass die Menge aller A 2A
mit P (A) =Q(A) ein Dynkin-System ist, d.h. es gilt
P (;) =Q(;), P(A) =Q(A) ) P (A c )=Q(A c ),
sowie für paarweise disjunkte Elemente A i , i 2 N, von A,
⇣[
1 ⌘ ⇣[
1
P (A i )=Q(A i )für alle i 2 N ) P A i = Q A i
⌘,
zum anderen auf dem Satz, dass bei durchschnittsstabilem E das von E erzeugte
Dynkin-System sogar eine -Algebra ist.
Wir benötigen im nächsten Abschnitt eine Variante dieser Prozedur: A 0 ⇢P(⌦)
heißt Algebra, wenn gilt
i=1
i=1
;2A 0 , A 2A 0 ) A c 2A 0 , A, B 2A 0 ) A [ B 2A 0 ,
M⇢P(⌦) heißt monotone Klasse, wennfür jede Folge (A i ) i2N von Elementen von
M gilt:
1[
A i ⇢ A i+1 für alle i 2 N ) A i 2M,
A i A i+1 für alle i 2 N )
i=1
1\
A i 2M.
Natürlich gibt es zwischen all diesen Mengensysteme ‘jede Menge’ Zusammenhänge.
So ist o↵ensichtlich jede -Algebra auch eine Algebra, und man zeigt leicht, dass
eine Algebra, die auch monotone Klasse ist, eine -Algebra ist.
Wir schreiben m(E) für die von einem Mengenystem erzeugte monotone Klasse,
definiert als der Durchschnitt aller monotonen Klassen, die E enthalten. Das
folgende Resultat ist als der Satz über monotone Klassen (monotone class theorem)
bekannt; der Beweis ist recht ähnlich zu dem oben erwähnten Resultat zu
Dynkin-Systemen.
i=1
Satz 3.6. Ist A 0 eine Algebra, so ist gilt m(A 0 )= (A 0 ).
Beweis. Wir zeigen, dass M := m(A 0 ) eine Algebra ist.
Es sei G := {A 2M: A c 2M}.MitM ist auch G eine monotone Klasse. Da
A 0 stabil unter Komplementen ist, gilt A 0 ⇢G, und damit M⇢G. Also enthält
M mit jeder Menge auch deren Komplement.
Es sei nun G 1 die Menge aller A 2Mmit der Eigenschaft, dass für alle B 2A 0
auch A [ B ein Element von M ist. O↵ensichtlich ist G 1 wieder eine monotone
Klasse, die A 0 und damit M enthält. Nun sei G 2 die Menge aller A 2Mmit
der Eigenschaft, dass für alle B 2Mauch A [ B 2Mgilt. Dann ist G 2 eine

3.2. EIN MASSTHEORETISCHES ZWISCHENSPIEL 29
monotone Klasse, die nach dem bereits bewiesenen A 0 und damit M enthält. Damit
ist gezeigt, dass mit A und B auch A [ B ein Element von M ist.
⇤
Wir geben zwei Anwendungen.
Satz 3.7. Es seien (⌦, A) ein messbarer Raum, µ und ⌫ endliche Maße hierauf
und A 0 eine Algebra mit A = (A 0 ).Giltdann
mit einer Konstanten apple, so gilt sogar
µ(A) apple apple⌫(A) für alle A 2A 0
µ(A) apple apple⌫(A) für alle A 2A.
Beweis. Es sei M die Menge aller A 2A,für die die interessierende Ungleichung
erfüllt ist. Ist (A n ) n2N eine isotone Folge von Elementen von M, soerhält
man mit der Stetigkeit von unten von Maßen
⇣ [ 1
µ
n=1
⌘ ⇣
A n = lim µ [ n
n!1
k=1
A k
⌘
= lim
n!1 µ(A n) apple apple lim
n!1 ⌫(A n) apple apple⌫
⇣ [ 1
A n
⌘.
Mit einer isotonen Folge enthält M also auch deren Vereinigung. Bei antitonen Folgen
verfährt man analog, wobei man nun die Stetigkeit von oben von endlichen (!)
Maßen verwendet.
Also ist M eine monotone Klasse, die nach Voraussetzung A 0 enthält, und
Satz 3.6 liefert die Behauptung.
⇤
Das zweite Resultat zeigt, dass sich die Mengen einer -Algebra in Wahrscheinlichkeit
durch die Mengen einer erzeugenden Algebra approximieren lassen.
Satz 3.8. Es seien (⌦, A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A 0 eine Algebra
mit A = (A 0 ). Dann gilt
8A 2A8✏>0 9A 0 2A 0 : P (A 4 A 0 ) apple ✏.
Beweis. Es sei wieder M das System aller A 2A, die die interessierende Approximationseigenschaft
haben. Ist (A n ) n2N isoton, so wählen wir zu vorgegebenem
✏>0zunächst ein n 0 2 N mit
P (A n0 4 A 1 ) < ✏ 1[
2 , A 1 := A n .
Hier geht die Stetigkeit von oben von Wahrscheinlichkeitsmaßen ein:
⇣ [
1 ⌘ ⇣ [
n 0 ⌘ c
A n0 4 A 1 = A n \ A n # ;.
n=1
Zu A 1 ,...,A n0 gibt es B 1 ,...,B n0 2A 0 mit P (A k 4B k ) apple ✏/(2n 0 ). Die gewünschte
Aussage P A 1 4(B 1 [...[B n0 ) 0 eine endliche Menge I 1 ,...,I n von Intervallen gibt (von denen
noch angenommen werden kann, dass sie paarweise disjunkt sind) derart, dass
n=1
n=1
n=1

30 3. KETTENBRÜCHE
unif(0, 1)(A 4 (I 1 [ ...[ I n )

3.3. DIE KETTENBRUCHENTWICKLUNG ALS DYNAMISCHES SYSTEM 31
also stimmen P und P T
sind somit gleich.
auf einem durchschnittsstabilem Erzeuger überein und
⇤
Wir wollen zeigen, dass das MDS ergodisch ist, und benötigen hierfür einige
Hilfsaussagen. Zu a =(a 1 ,...,a n ) 2 N n sei wieder
p n
p n 1
=[a 1 ,...,a n ], =[a 1 ,...,a n 1 ],
q n q n 1
mit teilerfremden p n ,q n bzw. p n 1 ,q n 1 .Wirsetzen
⇢
pn + tp n 1
E(a) =
:0apple t

32 3. KETTENBRÜCHE
gezeigt werden kann. Dies aber folgt leicht aus der Isotonie der q-Folge, wenn man
den jeweils ungünstigsten Wert 1 für b und c einsetzt.
Die Ungleichung lässt sich von Intervallen A =[b, c) auf ganz B [0,1) hochziehen:
Für die aus Beispiel 3.9 bekannte Algebra der endlichen Vereinigungen von disjunkten
Intervallen reicht die Additivität, für den zweiten Schritt wenden wir Satz 3.6
auf die endlichen Maße
A 7! ` T n (A) \ E(a) , A 7! `(A)`(E(a))
bei festem a 2 N n an.
⇤
Satz 3.13. Das System [0, 1), B [0,1) ,P,T), mit der Gauß-Abbildung T und P
wie in Satz 3.10, ist ergodisch.
Beweis. Da P bzgl. ` eine von unten durch 1/(2 log 2) und von oben durch
1/(log 2) beschränkte Dichte hat, gilt
1
1
`(A) apple P (A) apple
2 log 2 log 2 `(A) für alle A 2B [0,1).
Ist nun A eine invariante Menge, so erhält man mit Lemma 3.12 für alle a 2 N n
P A \ E(a) = P T n (A) \ E(a)
1
2 log 2 ` T n (A) \ E(a)
1 `(A) ` E(a)
4 log 2
log 2
P (A) P E(a) .
4
Für ein festes n bilden die Mengen E(a), a 2 N n , eine (unendliche) Intervallpartition
von [0, 1); nach Konstruktion sind die Partitionen Verfeinerungen voneinander. Wir
setzen A n := ({E(a) : a 2 N n }). Dies liefert eine isotone Folge von -Algebren,
deren Vereinigung A 0 eine Algebra ist; siehe hierzu auch Aufgabe 3.3. Über die
Kettenbruchentwicklung von x erhält man eine Folge von Intervallen in A 0 ,deren
Vereinigung das Intervall [0,x) ergibt; insbesondere wird also B [0,1) von A 0 erzeugt.
Die -Algebra A n besteht aus allen endlichen oder abzählbar unendlichen disjunkten
(!) Vereinigungen von Mengen E(a) mita 2 N n , also lässt sich die Ungleichung
log 2
P A \ E(a) P (A) P E(a)
4
mit Additivität von den Mengen E(a) auf die Elemente von A n hochziehen, also
auch auf A 0 . Betrachtet man nun bei festem A 2I die Abbildungen
B 7! P (A \ B),
B 7! P (A)P (B)
als endliche Maße auf ([0, 1), B [0,1) ), so erhält man mit Satz 3.6, dass die Ungleichung
auf ganz B [0,1) gilt. Setzt man nun B := A c , so folgt
0=P (A \ B)
log 2
4
P (A)P (B),
also P (A)(1 P (A)) = 0, und damit P (A) 2{0, 1}. ⇤

3.4. ANWENDUNGEN 33
3.4. Anwendungen
Die Ergodizität der Kettenbruchentwicklung als MDS führt auf Aussagen zur
Asymptotik diesert Darstellung fast aller Zahlen. Im folgenden sei x 2 [0, 1); wir
können annehmen, dass x irrational ist. Wir verdeutlichen die Abhängigkeit der
Zahlen in der Kettenbruchentwicklung und in den zugehörigen approximierenden
Brüchen, indem wir nun a k (x),p n (x),q n (x) anstelle von a k ,p n ,q n schreiben. Das
erste Resultat betri↵t die Häufigkeit und die Mittelwerte (arithmetisch und geometrisch)
der a k ’s. Bei der Darstellung zu einer festen Basis d (siehe Abschnitt 2.3.3
für den Fall d = 2) liefert das starke Gesetz der großen Zahlen für jede der d Zi↵ern
dieselbe asymptotische relative Häufigkeit 1/d. BeiderKettenbruchentwicklungist
N die Menge der ‘Zi↵ern’, eine Gleichverteilung also nicht mehr möglich – was den
folgenden Satz zusätzlich interessant macht. Die Modifikation ‘fast sicher’ bezieht
sich auf die Gleichverteilung bzw. das Lebesgue-Maß; das unter der Gauß-Abbildung
invariante Maß P ist hierzu äquivalent, hat also dieselben Nullmengen.
(a)
Satz 3.14. Für fast alle x 2 [0, 1) gilt
1
lim
n!1 n # 1 apple k apple n : a k(x) =j = 1 ✓ ◆ (j + 1)
2
log 2 log j(j + 2)
für alle j 2 N,
1
nX
(b)
lim a k (x) = 1,
n!1n
k=1
✓
Y n 1/n 1Y
✓
◆ log(j)/ log(2)
1
(c) lim a k (x)◆
= 1+
=2.6854 ... .
n!1
j(j + 2)
k=1
j=1
Beweis. Aus Lemma 3.4 (a) ist a k (x) =a 1 (T k (x)) bekannt. Die erste Aussage
folgt dann mit dem Satz von Birkho↵, wenn man f =1 {j} a 1 wählt und den fast
sicheren Grenzwert
P {x 2 [0, 1) : a 1 (x) =j} = 1
log 2
Z 1/j
1/(j+1)
1
1+x dx
ausrechnet. Für den Beweis der zweiten Aussage sei zunächst N 2 N fest. Mit
f(x) =min{a 1 (x),N} erhält man
1
nX
Z
lim min{a k (x),N} = c(N) := min{a 1 (x),N} P (dx).
n!1 n
k=1
Man kann zeigen (siehe auch Aufgabe 3.5), dass c(N) mitN !1gegen 1 geht,
(b) folgt dann mit
1
nX
1
nX
lim inf a k (x) lim min{a k (x),N} für alle N 2 N.
n!1 n
n!1 n
k=1
k=1
Für den Beweis der letzten Aussage verwenden wir f(x) = log(a 1 (x)) und erhalten
1
nX
Z
lim log a k (x) = fdP = 1 1X
Z 1/j
1
log(j)
n!1 n
log 2
1+x dx.
k=1
j=1
1/(j+1)
Ausrechnen und Anwenden der (stetigen) Funktion x 7! e x liefert den behaupteten
Grenzwert; dass dieser endlich ist, folgt mit elementar-analytischen Überlegungen
zur Konvergenz von Reihen.
⇤

34 3. KETTENBRÜCHE
Die Bemerkungen im Anschluss an Lemma 3.2 zeigen, dass für alle n 2 N
x
p n
q n
<
1
a n+1 q 2 n
apple 1
q 2 n
gilt; insbesondere liefert die Kettenbruchentwicklung einen konstruktiven Beweis zu
dem in Abschnitt 1.2.2 erwähnten Resultat von Dirichlet. Aus Lemma 3.2 (c) folgt,
dass die Nenner q n mit n !1exponentiell wachsen und somit der Fehler bei der
Rationalapproximation exponentiell schnell fällt; in Aufgabe 3.2 geht es um einen
speziellen Fall. In unserer zweiten Anwendung betrachten wir die Größenordnung
der Nenner und des Approximationsfehlers auf einer logarithmischen Skala. Wieder
erhält man für fast alle x denselben Grenzwert!
(a)
Satz 3.15. Für fast alle x 2 [0, 1) gilt
1
lim
n!1 n log q n(x) =
1
n log x p n (x)
=
q n (x)
⇡ 2
12 log 2
=1.1865 ... ,
(b) lim
= 2.3731 ... .
n!1
6 log 2 Beweis. Vergleicht man die Rekursionen für p n und q n in Lemma 3.2 und
⇡ 2
verwendet man die aus Lemma 3.4 bekannte Tatsache, dass T dem Links-Shift bei
der Kettenbruchentwicklung entspricht, so erhält man p n (x) =q n 1 (T (x)), also
wegen p 1 (x) =1
Mit f(x) = log x folgt
wobei
1
q n (x) = p n(x)
q n (x)
1
n log q n(x)
p n 1 (T (x)) ···p1(T n 1 (x))
q n 1 (T (x)) q 1 (T n 1 (x)) .
= 1 n
nX
1
f(T k (x))
k=0
nX
1✓
R n (x) := log(T k (x))
k=0
⇣ pn
log
q n
1
n R n(x),
k (T k (x))
⌘ ◆
k (T k .
(x))
Bei dem ersten Term erhält man mit dem Ergodensatz und etwas Integrationsvermögen
den fast sicheren Grenzwert
Z
f(x) P (dx) = 1 Z 1
log x
log 2 0 1+x dx = ⇡ 2
12 log 2
(man beachte, dass die Oberschranke nicht von x abhängt). Für den Beweis von (a)
bleibt also zu zeigen, dass R n (x)/n für fast alle x mit n !1gegen 0 geht. Hierfür
verwenden wir die zwei Ungleichungen: Wir lassen temporär das Argument x weg
und erinnern zunächst an
woraus sich
x =
1X
k=1
( 1) k+1
q k 1 q k
,
x
p n
q n
p n
q n
=
apple
1
nX
k=1
q n q n+1
( 1) k+1
q k 1 q k
,

3.4. ANWENDUNGEN 35
ergibt, also mit Lemma 3.2 (c)
x
p k /q k
1 = q k
p k
x
p k
q k
apple
1
p k q k+1
apple 23/2
2 k für alle k 2 N
folgt. Außerdem hat man
Damit erhalten wir
|R n | apple
nX
2
k=0
log(1 + y) apple 2|y|, falls |y| apple 1 p
2
.
2 5/2 ✓
2 n k + log
T n 1 ◆
(x)
p 1 (T n 1 (x))/q 1 (T n 1 .
(x))
O↵ensichtlich ist die endliche Summe durch den Wert 4 nach oben beschränkt. Mit
p 1 (y)
q 1 (y) = 1
a 1 (y)
und
1
1+a 1 (y)

36 3. KETTENBRÜCHE
Aufgaben
Aufgabe 3.1. Beweisen Sie die Aussagen (a-c) und (e) in Lemma 3.2.
Aufgabe 3.2. Es seien p n/q n, n 2 N, die durch die Kettenbruchentwicklung
gelieferten Approximationen der irrationalen Zahl x. ZeigenSie,dassimFalle
x =( p 5+1)/2 der Grenzwert
↵ := lim
n!1 q2 n x
existiert, und bestimmen Sie den Wert von ↵.
Aufgabe 3.3. Es sei (A n) n2N eine isotone Folge von -Algebren über einer festen
Menge (man spricht auch von einer Filtration). Zeigen Sie, dass S 1
n=1
An stets
eine Algebra ist, und konstruieren Sie ein Beispiel, in dem diese Vereinigung keine
-Algebra ist.
Aufgabe 3.4. (a) Zeigen Sie, dass die Gleichverteilung unif(0, 1) nicht unter der
Gauß-Abbildung T aus Abschnitt 3.1 invariant ist.
(b) Es sei X =[A 1,A 2,...] die Kettenbruchentwicklung einer unif(0, 1)-verteilten
Zufallsvariablen X. Bestimmen Sie den Erwartungswert von A 1.
Aufgabe 3.5. Es sei a k (x) dieZahlinPositionk 2 N bei der Kettenbruchentwicklung
von x 2 [0, 1). Zeigen Sie, dass für fast alle solchen x
1
n # 1 apple k apple n : a k(x) =a k+1 (x)
mit n !1gegen eine von x unabhängige Konstante apple konvergiert. Finden Sie
eine Formel für apple und geben Sie eine numerische Näherung an.
p n
q n