Kettenbrüche

36 3. KETTENBRÜCHE
Aufgaben
Aufgabe 3.1. Beweisen Sie die Aussagen (a-c) und (e) in Lemma 3.2.
Aufgabe 3.2. Es seien p n/q n, n 2 N, die durch die Kettenbruchentwicklung
gelieferten Approximationen der irrationalen Zahl x. ZeigenSie,dassimFalle
x =( p 5+1)/2 der Grenzwert
↵ := lim
n!1 q2 n x
existiert, und bestimmen Sie den Wert von ↵.
Aufgabe 3.3. Es sei (A n) n2N eine isotone Folge von -Algebren über einer festen
Menge (man spricht auch von einer Filtration). Zeigen Sie, dass S 1
n=1
An stets
eine Algebra ist, und konstruieren Sie ein Beispiel, in dem diese Vereinigung keine
-Algebra ist.
Aufgabe 3.4. (a) Zeigen Sie, dass die Gleichverteilung unif(0, 1) nicht unter der
Gauß-Abbildung T aus Abschnitt 3.1 invariant ist.
(b) Es sei X =[A 1,A 2,...] die Kettenbruchentwicklung einer unif(0, 1)-verteilten
Zufallsvariablen X. Bestimmen Sie den Erwartungswert von A 1.
Aufgabe 3.5. Es sei a k (x) dieZahlinPositionk 2 N bei der Kettenbruchentwicklung
von x 2 [0, 1). Zeigen Sie, dass für fast alle solchen x
1
n # 1 apple k apple n : a k(x) =a k+1 (x)
mit n !1gegen eine von x unabhängige Konstante apple konvergiert. Finden Sie
eine Formel für apple und geben Sie eine numerische Näherung an.
p n
q n