Kettenbrüche

28 3. KETTENBRÜCHE
Eine interessante Anwendung der Approximation durch Brüche mit kleinem
Zähler und Nenner ergibt sich in der Mechanik, wenn ein bestimmtes Verhältnis
über Zahnräder realisiert werden soll, beispielsweise bei einem mechanischen Modell
des Sonnensystems (Huygens).
3.2. Ein maßtheoretisches Zwischenspiel
Wir haben bereits mehrfach verwendet, das zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P
und Q auf einem messbaren Raum (⌦, A), die auf einem durchschnittsstabilem
Erzeugendensystem E von A übereinstimmen, gleich sind. Der aus den Stochastik-
Vorlesungen bekannte Beweis beruht zum einen darauf, dass die Menge aller A 2A
mit P (A) =Q(A) ein Dynkin-System ist, d.h. es gilt
P (;) =Q(;), P(A) =Q(A) ) P (A c )=Q(A c ),
sowie für paarweise disjunkte Elemente A i , i 2 N, von A,
⇣[
1 ⌘ ⇣[
1
P (A i )=Q(A i )für alle i 2 N ) P A i = Q A i
⌘,
zum anderen auf dem Satz, dass bei durchschnittsstabilem E das von E erzeugte
Dynkin-System sogar eine -Algebra ist.
Wir benötigen im nächsten Abschnitt eine Variante dieser Prozedur: A 0 ⇢P(⌦)
heißt Algebra, wenn gilt
i=1
i=1
;2A 0 , A 2A 0 ) A c 2A 0 , A, B 2A 0 ) A [ B 2A 0 ,
M⇢P(⌦) heißt monotone Klasse, wennfür jede Folge (A i ) i2N von Elementen von
M gilt:
1[
A i ⇢ A i+1 für alle i 2 N ) A i 2M,
A i A i+1 für alle i 2 N )
i=1
1\
A i 2M.
Natürlich gibt es zwischen all diesen Mengensysteme ‘jede Menge’ Zusammenhänge.
So ist o↵ensichtlich jede -Algebra auch eine Algebra, und man zeigt leicht, dass
eine Algebra, die auch monotone Klasse ist, eine -Algebra ist.
Wir schreiben m(E) für die von einem Mengenystem erzeugte monotone Klasse,
definiert als der Durchschnitt aller monotonen Klassen, die E enthalten. Das
folgende Resultat ist als der Satz über monotone Klassen (monotone class theorem)
bekannt; der Beweis ist recht ähnlich zu dem oben erwähnten Resultat zu
Dynkin-Systemen.
i=1
Satz 3.6. Ist A 0 eine Algebra, so ist gilt m(A 0 )= (A 0 ).
Beweis. Wir zeigen, dass M := m(A 0 ) eine Algebra ist.
Es sei G := {A 2M: A c 2M}.MitM ist auch G eine monotone Klasse. Da
A 0 stabil unter Komplementen ist, gilt A 0 ⇢G, und damit M⇢G. Also enthält
M mit jeder Menge auch deren Komplement.
Es sei nun G 1 die Menge aller A 2Mmit der Eigenschaft, dass für alle B 2A 0
auch A [ B ein Element von M ist. O↵ensichtlich ist G 1 wieder eine monotone
Klasse, die A 0 und damit M enthält. Nun sei G 2 die Menge aller A 2Mmit
der Eigenschaft, dass für alle B 2Mauch A [ B 2Mgilt. Dann ist G 2 eine