Kettenbrüche

32 3. KETTENBRÜCHE
gezeigt werden kann. Dies aber folgt leicht aus der Isotonie der q-Folge, wenn man
den jeweils ungünstigsten Wert 1 für b und c einsetzt.
Die Ungleichung lässt sich von Intervallen A =[b, c) auf ganz B [0,1) hochziehen:
Für die aus Beispiel 3.9 bekannte Algebra der endlichen Vereinigungen von disjunkten
Intervallen reicht die Additivität, für den zweiten Schritt wenden wir Satz 3.6
auf die endlichen Maße
A 7! ` T n (A) \ E(a) , A 7! `(A)`(E(a))
bei festem a 2 N n an.
⇤
Satz 3.13. Das System [0, 1), B [0,1) ,P,T), mit der Gauß-Abbildung T und P
wie in Satz 3.10, ist ergodisch.
Beweis. Da P bzgl. ` eine von unten durch 1/(2 log 2) und von oben durch
1/(log 2) beschränkte Dichte hat, gilt
1
1
`(A) apple P (A) apple
2 log 2 log 2 `(A) für alle A 2B [0,1).
Ist nun A eine invariante Menge, so erhält man mit Lemma 3.12 für alle a 2 N n
P A \ E(a) = P T n (A) \ E(a)
1
2 log 2 ` T n (A) \ E(a)
1 `(A) ` E(a)
4 log 2
log 2
P (A) P E(a) .
4
Für ein festes n bilden die Mengen E(a), a 2 N n , eine (unendliche) Intervallpartition
von [0, 1); nach Konstruktion sind die Partitionen Verfeinerungen voneinander. Wir
setzen A n := ({E(a) : a 2 N n }). Dies liefert eine isotone Folge von -Algebren,
deren Vereinigung A 0 eine Algebra ist; siehe hierzu auch Aufgabe 3.3. Über die
Kettenbruchentwicklung von x erhält man eine Folge von Intervallen in A 0 ,deren
Vereinigung das Intervall [0,x) ergibt; insbesondere wird also B [0,1) von A 0 erzeugt.
Die -Algebra A n besteht aus allen endlichen oder abzählbar unendlichen disjunkten
(!) Vereinigungen von Mengen E(a) mita 2 N n , also lässt sich die Ungleichung
log 2
P A \ E(a) P (A) P E(a)
4
mit Additivität von den Mengen E(a) auf die Elemente von A n hochziehen, also
auch auf A 0 . Betrachtet man nun bei festem A 2I die Abbildungen
B 7! P (A \ B),
B 7! P (A)P (B)
als endliche Maße auf ([0, 1), B [0,1) ), so erhält man mit Satz 3.6, dass die Ungleichung
auf ganz B [0,1) gilt. Setzt man nun B := A c , so folgt
0=P (A \ B)
log 2
4
P (A)P (B),
also P (A)(1 P (A)) = 0, und damit P (A) 2{0, 1}. ⇤