Kettenbrüche

26 3. KETTENBRÜCHE
Eine fundamentale Rolle spielt hier und auch bei der Verbindung zur Ergodentheorie
die Gauß-Abbildung
n 1
T :(0, 1) ! (0, 1), T(x) := .
xo
Für irrationale x 2 (0, 1) ist auch T (x) irrational und in (0, 1), also ist
j
:(0, 1) \ Q c ! N N 1
k
, x 7! (a k ) k2N mit a k :=
T k 1 für alle k 2 N
(x)
wohldefiniert. Wir stellen einige Eigenschaften dieser Abbildungen zusammen.
Lemma 3.4. Es sei x 2 (0, 1) irrational, a := (x). Weiter seien p n ,q n 2 N
teilerfremd mit p n /q n =[a 1 ,...,a n ],für alle n 2 N. Dann gilt:
(a) (T n (x)) = (a n+k ) k2N für alle n 2 N.
(b) x = p n + T n (x) p n 1
q n + T n (x) q n 1
für alle n 2 N.
(c) (a) =x.
(d) (ã) = (a) ) ã = a; ist also injektiv.
Beweis. (a) Für alle k 2 N gilt
j
(T n 1
k j
1
k
(x)) k =
T k 1 (T n =
(x)) T n+k 1 = (x) n+k .
(x)
(b) Wir lassen temporär in der letzten Stelle eines endlichen Kettenbruchs eine
beliebige positive reelle Zahl zu und behaupten, dass
[a 1 ,...,a n 1 ,a n + t] = p n + tp n 1
q n + tq n 1
für alle t 0, n2 N
gilt. Bei n =1läuft dies auf eine simple Überprüfung unter Verwendung der Startwerte
für die p- undq-Folge hinaus. Im Schritt von n auf n + 1 erhalten wir
h
1
i
[a 1 ,...,a n ,a n+1 + t] = a 1 ,...,a n +
a n+1 + t
1
p n +
a
=
n+1 + t p n 1
1
q n +
a n+1 + t q n 1
= a n+1p n + p n 1 + tp n
a n+1 q n + q n 1 + tq n
= p n+1 + tp n
q n+1 + tq n
,
wobei wir im letzten Schritt Lemma 3.2 (a) verwendet haben. Nach Konstruktion
von gilt x =[a 1 + T (x)] sowie
h
[a 1 ,...,a n ,a n+1 +T n+1 1
i
(x)] = a 1 ,...,a n +
a n+1 + T n+1 =[a 1 ,...,a n +T n (x)]
(x)
für alle n 2 N, also x =[a 1 ,...,a n + T n (x)]. Insgesamt liefert dies (b).
(c) Mit (b) und Lemma 3.2 (d) erhält man
p n
x = p n + T n (x)p n 1 p n
q n q n + T n = T n (x) p n 1 q n p n q n 1
(x)q n 1 q n qn 2 + T n < 1
(x)q n 1 q n qn
2 ,
da T n (x) 2 (0, 1). Die gewünschte Aussage folgt aus q n !1.