Zerlegungssätze

KAPITEL 6
Zerlegungssätze
In diesem letzten Abschnitt geht es um strukturelle Aspekte: Existenz, Charakterisierungen
und Darstellungssätze.
6.1. Symmetrie und Invarianz
Ein bedeutsamer Schritt in der Geschichte der Geometrie war die Idee, ein
Objekt durch seine Invarianzen zu beschreiben. Dies hatte Auswirkungen auf die
gesamte moderne Mathematik und führt beispielsweise über die Frage, welche Symmetrien
ein platonischer Körper hat, auf die Theorie endlicher Gruppen. Auch in
der Stochastik spielen Symmetrie und Invarianz in verschiedenen Teilbereichen eine
wichtige Rolle, beispielsweise in der mathematischen Statistik, insbesondere aber
auch in der Ergodentheorie.
Wir gehen von einem zunächst ganz allgemeinen messbaren Raum (⌦, A) aus
und setzen
WM(⌦, A) := P : P Wahrscheinlichkeitsmaß auf (⌦, A) .
Weiter sei S eine Familie von messbaren Selbstabbildungen von ⌦,
Inv(⌦, A, S) := P 2 WM(⌦, A) : P T = P für alle T 2 S
bezeichne die Menge der unter allen T 2 S invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße.
O↵ensichtlich ändert sich diese Menge nicht, wenn man die identische Abbildung
Id ⌦ zu S hinzunimmt. Ist P unter den Abbildungen T und S invariant, so auch
unter S T ; man kann also annehmen, dass S eine Halbgruppe mit Einselement ist.
Bei einem MDS sind wir von einer einzelnen Abbildung T ausgegangen, haben aber
wiederholt die Invarianz unter Potenzen T k von T verwendet, also S = {T k : k 2
N 0 }.MitS = {Id ⌦ } wird Inv(⌦, A, S) zuWM(⌦, A), und o↵ensichtlich hat man
bei der Menge der invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße eine Antitonie im letzten
Argument S.
Im Sinn der einleitenden Bemerkung stellen sich die Fragen, ob zu gegebenem
Maßraum und gegebener Halbgruppe die Menge Inv(⌦, A, S) nichtleerist
(Existenz), ob sie möglicherweise aus genau einem Element besteht (dies führt auf
Charakterisierungen von Wahrscheinlichkeitsmaßen), oder generell, welche Struktur
diese Menge hat.
Beispiel 6.1. (a) Es seien ⌃ eine endliche Menge, A = P(⌃) und S die
Menge aller bijektiven Selbstabbildungen (Permutationen) von ⌃. Dann besteht
Inv(⌦, A, S) aus nur einem Wahrscheinlichkeitsmaß, der (diskreten) Gleichverteilung
unif(⌃) auf ⌃.
(b) Es seien ⌦ = [0, 1), A = B [0,1) und S die Menge aller Verschiebungen
T a :[0, 1) ! [0, 1), x 7! x + a mod 1,
77

78 6. ZERLEGUNGSSÄTZE
a 2 [0, 1); wie in (a) ist S hier sogar eine Gruppe. Bereits aus den Grundvorlesungen
zur Stochastik ist bekannt, dass Inv(⌦, A, S) wieder aus nur einem Element besteht,
der Gleichverteilung unif(0, 1) auf dem Einheitsintervall.
(c) Es seien ⌦ = N, A = P(N) undT (n) =n +1 für alle n 2 ⌦. Ein invariantes
Wahrscheinlichkeitsmaß müsste allen Einpunktmengen dieselbe Wahrscheinlichkeit
zuordnen. Bekanntlich geht dies nicht – es gibt keine gleichverteilten natürlichen
Zahlen. Immerhin hat man mit dem Zählmaß P n2N n ein unendliches invariantes
Maß. /
Ausgangspunkt für strukturelle Überlegungen ist die einfache Beobachtung,
dass Inv(⌦, A, S) eine konvexe Menge ist: Sind P und Q Wahrscheinlichkeitsmaße
auf (⌦, A), so ist für jedes ↵ 2 [0, 1] auch die Mischung ↵P +(1 ↵)Q ein
Wahrscheinlichkeitsmaß auf (⌦, A), d.h. WM(⌦, A) selbst ist konvex, und mit
↵P +(1 ↵)Q T (A) = ↵P +(1 ↵)Q T 1 (A)
= ↵P T 1 (A) +(1 ↵)Q T 1 (A)
= ↵P (A)+(1 ↵)Q(A)
= ↵P +(1 ↵)Q (A) für alle T 2 S, A2A,
erhält man dies auch für die Teilmenge der unter S invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße.
Allgemein bezeichnet man ein Element x einer konvexen Menge M als
Extremalpunkt dieser Menge, wenn es nicht als Konvexkombination zweier anderer
Elemente von M dargestellt werden kann, wenn also aus x = ↵y +(1 ↵)z folgt,
dass ↵ 2{0, 1} oder x = y = z gilt. Weiter nennt man M einen Simplex, wenn
jedes x 2 M auf eindeutige Weise als Konvexkombination von Extremalpunkten
von M dargestellt werden kann.
Bei endlicher Grundmenge ⌃ lässt sich der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße
mit der Menge der Wahrscheinlichkeitsvektoren q 2 R ⌃ +, P x2⌃
q(x) = 1, identifizieren.
Diese ist o↵ensichtlich ein Simplex, wobei die Extremalpunkte die q’s sind,
die zu den Einpunktmaßen x , x 2 ⌃, gehören. Mit d := #⌃ 1 spricht man dann
auch vom d-dimensionalen Wahrscheinlichkeitssimplex; siehe auch Aufgabe 5.1 (b).
In einem d-dimensionalen euklidischen Raum ist jeder Simplex die konvexe Hülle
von höchstens d +1 Punkten. Ein einfaches Beispiel für eine kompakte, konvexe
Menge, die kein Simplex ist, liefert die Einheitsvollkugel: Die Menge der Extremalpunkte
ist die Einheitssphäre (der topologische Rand), jedes Element lässt sich
als Konvexkombination von Extremalpunkten schreiben, aber diese Darstellung ist
nicht für alle Punkte eindeutig.
Bei überabzählbar vielen Extremalpunkten wird aus der Konvexkombination
ein Integral. Hierzu benötigen wir auf der Grundmenge eine messbare Struktur:
Auf WM(⌦, A) seiA WM die von den Abbildungen P 7! P (A), A 2A, erzeugte
-Algebra. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf WM(⌦, A), A WM definiert dann
durch
Z
P µ (A) := Q(A) µ(dQ) für alle A 2A
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (⌦, A). Wir setzen im folgenden voraus, dass A alle
Einpunktmengen {x}, x 2 ⌦, enthält. Wie in der endlichen Situation besteht die
Menge der Extremalpunkte aus den Einpunktmaßen, und als eindeutiges mischendes
Maß µ zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß P , also Lösung von P = P µ , ergibt

6.2. DIE ERGODISCHE ZERLEGUNG 79
sich
µ { x : x 2 A} = P (A).
Insbesondere ist also WM(⌦, A) ein Simplex, und man kann das P darstellende
Mischungsmaß als Bild von P unter der (messbaren) Abbildung x 7! x von ⌦ nach
WM(⌦, A) interpretieren.
6.2. Die ergodische Zerlegung
Wir betrachten nun nicht alle Zutaten eines MDS als vorgegeben, sondern gehen
von einem messbaren Raum (⌦, A) und einer messbaren Selbstabbildung T :⌦! ⌦
aus. Wir schreiben kurz Inv(T ) anstelle von Inv ⌦, A, {T k : k 2 N 0 } .
Satz 6.2. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (⌦, A) ist genau dann Extremalpunkt
der konvexen Menge Inv(T ), wenn das System (⌦, A,P,T) ergodisch ist.
Beweis. Angenommen, P ist invariant, aber nicht ergodisch. Dann existiert
ein B 2Amit 0

80 6. ZERLEGUNGSSÄTZE
Im Falle >0erhält man mit der Definition von B für die beiden Seiten der obigen
Gleichheit der Integrale die Schranken
Z
Z
fdP < ,
fdP ,
B\T 1 (B) c B c \T 1 (B)
also einen Widerspruch. Aus = 0 folgt nun P B 4 T 1 (B) = 0, also die Quasiinvarianz
von B. Da wir Ergodizität vorausgesetzt haben, folgt hieraus wiederum
P (B) 2{0, 1} mit Satz 1.7. Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte f bzgl. P ist
P (f

6.2. DIE ERGODISCHE ZERLEGUNG 81
Definition 6.4. Ein messbarer Raum (⌦, A) ist vom Borel-Typ, wenneseinen
kompakten metrischen Raum (S, d) gibt mit
⌦ 2B S , A = {B \ ⌦: B 2B S }.
Hierbei bezeichnet B S die
Spur von B S auf ⌦.
-Algebra der Borel-Mengen von (S, d); A ist also die
Diese Klasse enthält alle ‘handelsüblichen’ Räume. Bei solchen Räumen existieren
auch reguläre Versionen von (nicht-elementaren) bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Wir erinnern an einen wichtigen Begri↵ aus der allgemeinen Stochastik: Sind
(⌦, A) und(⌦ 0 , A 0 ) messbare Räume, so nennt man eine Abbildung Q :⌦⇥A 0 ! R
eine Übergangswahrscheinlichkeit (oder einen Kern) von (⌦, A) nach (⌦ 0 , A 0 ), wenn
gilt:
- Für jedes A 0 2A 0 ist ! 7! Q(!, A 0 ) messbar bzgl. A.
- Für jedes ! 2 ⌦istA 0 7! Q(!, A 0 ) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (⌦ 0 , A 0 ).
Mit der üblichen Identifikation von Wahrscheinlichkeitsmaßen und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen
entsprechen die in Abschnitt 4.3 eingeführten Übergangsmatrizen
zu Markov-Ketten den Kernen von (⌃, P(⌃)) nach (⌃, P(⌃)).
Es sei nun (⌦, A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F eine Unter- -Algebra
von A; wirschreibenP F die Einschränkung von P auf F. Man nennt einen Kern
Q von (⌦, F) nach (⌦, A) reguläre Version der bedingten Wahrscheinlichkeit von
P unter F, wenn gilt:
- Q(!, [!] F )=1für alle ! 2 ⌦.
- P (A) = R Q(!, A) P F (d!) für alle A 2A.
Mit einem solchen Q erhält man durch ! 7! R X(! 0 ) Q(!, d! 0 ) eine Version des
bedingten Erwartungswertes E[X|F] von X unter F.
Wir betrachten nun Beispiel 6.3 im Licht dieser neuen Begri↵e. O↵ensichtlich
ist [!] I die Zerlegungsmenge B 2Z,die! enthält. Weiter ist
(!, A) 7! unif([!] I ) (A)
eine reguläre Version der bedingten Wahrscheinlichkeit von P unter I, undfür
jedes ! 2 ⌦istQ(!, · )einunterT invariantes und darüberhinaus ergodisches
Maß. Schließlich ergibt sich jedes invariante Maß als Mischung dieser ergodischen
Maße, wobei die Mischung die Einschränkung von P auf I benutzt, und man kann
die Integration von WM(⌦, A) auf (⌦, I) verlagern.
Insgesamt sollten diese Überlegungen das folgende Resultat motivieren und
verständlich machen.
Satz 6.5. Es sei (⌦, A,P,T) ein MDS auf einem messbaren Raum (⌦, A) vom
Borel-Typ, I bezeichne die -Algebra der invarianten Mengen. Dann existiert eine
reguläre Version Q der bedingten Wahrscheinlichkeit von P unter I mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) Für alle ! 2 ⌦ ist ⌦, A,Q(!, ·),T ein ergodisches MDS.
(2) Es gilt
Z
P (A) = Q(!, A) P I (d!) für alle A 2A.

82 6. ZERLEGUNGSSÄTZE
6.3. Austauschbare stochastische Prozzesse
In diesem Abschnitt gehen wir aus von einem messbaren Raum (S, F) vom
Borel-Typ und setzen ⌦ = S N0 , A = F ⌦N0 ; auch (⌦, A) ist dann von diesem
Typ. Zunächst sei wieder T der Links-Shift. Dies ist die Basis der kanonischen
Konstruktion für einen stochastischen Prozess X =(X n ) n2N0 mit Zustandsraum
(S, F); siehe Abschnitt 4.1. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (S, F) führt mit
P = Q ⌦N0 auf ein ergodisches MDS (⌦, A,P,T), den Bernoulli-Shift zu Q.
Aus den Überlegungen des letzten Abschnitts folgt, dass jede Mischung von ergodischen
Maßen auf ein invariantes Maß führt, und dass sogar, unter bestimmten
technischen Bedingungen an den zugrundeliegenden messbaren Raum, alle invarianten
Maße so erhalten werden können. Solche Mischungen lassen sich als zweistufige
Experimente interpretieren: Zunächst wird P e zufällig und mit Verteilung µ aus
der Menge der Extremalpunkte von Inv(⌦, A,T) ausgewählt, dann wird das Experiment
zu P e ausgeführt. Wir betrachten einen interessanten Spezialfall etwas
näher.
Beispiel 6.6. Es sei S = {0, 1}, F = P({0, 1}) undP ✓ =Bin(1,✓), 0 apple ✓ apple 1.
Mit µ = L(P ✓ )beiunif(0, 1)-verteiltem ✓ erhält man für alle n 2 N, i 0 ,...,i n 1 2
{0, 1} mit k := i 0 + ···+ i n 1
Z
P (X 0 = i 0 ,...,X n 1 = i n 1 ) = P ✓ (X 0 = i 0 ,...,X n 1 = i n 1 )unif(0, 1)(d✓)
=
Z 1
0
✓ k (1 ✓) n k d✓ =
1
n +1
Eine weitere einfache Rechnung zeigt, dass für alle n 2 N, i 0 ,...,i n 2{0, 1}, und
wieder mit k := i 0 + ···+ i n 1
8
k +1
><
n +2 , i n =1,
P (X n = i n |X 0 = i 0 ,...,X n 1 = i n 1 ) =
n k +1
>: , i n =0,
n +2
gilt. Wir werden so auf die Pólya-Urne geführt: Zu Beginn enthält diese eine weiße
und eine schwarze Kugel; zu jedem Zeitpunkt n 2 N 0 wird eine der dann insgesamt
n + 2 Kugeln zufällig und gleichverteilt ausgewählt, entnommen, und zusammen
mit einer weiteren Kugel derselben Farbe zurückgelegt. Dabei zeigt X n an, welche
Farbe zum Zeitpunkt n gezogen wurde, beispielsweise mit X n =1für schwarz und
X n =0für weiß. In der oben erwähnten Interpretation als zweistufiges Experiment
würde man zunächst ✓ gemäß unif(0, 1) wählen, und dann den Münzwurf (unendlich
oft) mit einer Münze durchführen, bei der die Wahrscheinlichkeit für ‘Kopf’
(X n = 1) den Wert ✓ hat. /
Die Pólya-Urne liefert einen stationären, nicht-ergodischen stochastischen Prozess,
bei dem die ergodische Zerlegung eine bemerkenswert einfache und explizite
Form hat. Dies beruht wesentlich darauf, dass die Symmetrien dieses Objekts erheblich
über die Halbgruppe der Verschiebungen hinausgehen. Wir schreiben G für
die Menge aller bijektiven Abbildungen ⇡ : N 0 ! N 0 ,für die
# i 2 I : ⇡(i) 6= i < 1
1
n
k
.

AUFGABEN 83
gilt (nur endlich viele Argumente werden verändert). O↵ensichlich ist G eine unendliche
(nicht-abelsche) Gruppe. Zu jedem ⇡ 2 G bezeichne T ⇡ : S N0 ! S N0 die
Abbildung, die die Komponenten gemäß ⇡ permutiert, also (x n ) n2N0 auf (x ⇡(n) ) n2N0
abbildet. Wir setzen S 1 = {T ⇡ : ⇡ 2 G}.
Definition 6.7. Ein stochastischer Prozess X =(X n ) n2N0 mit Zustandsraum
(S, F) heißt austauschbar (exchangeable), wenn die Verteilung von X als Wahrscheinlichkeitsmaß
auf (S N0 , F ⌦N0 ) unter allen T 2 S 1 invariant ist.
Man überprüft leicht, dass diese Eigenschaft die Stationarität von X im Sinne
von Definition 4.1 impliziert, und dass der Prozess aus Beispiel 6.6 austauschbar ist;
siehe auch Aufgabe 6.3. Unser Ziel in diesem Abschnitt ist ein Zerlegungssatz für
Inv(S N0 , F ⌦N0 , S 1 ). Wir schreiben noch E für die -Algebra der austauschbaren
Mengen, also der A 2F ⌦N0 mit der Eigenschaft, dass T 1 (A) =A gilt für alle
T 2 S 1 .
Satz 6.8. (de Finetti) Es sei X =(X n ) n2N0 ein austauschbarer stochastischer
Prozess mit Zustandsraum (S, F), E bezeichne die -Algebra der austauschbaren
Mengen. Dann existiert eine reguläre Version Q der bedingten Wahrscheinlichkeit
von P unter E mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Für P -fast alle ! 2 ⌦ ist Q(!, ·) von der Form ⌫ ⌦N0 mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß
⌫ = ⌫([!] E ) auf (S, F).
(2) Es gilt
Z
P (A) = Q(!, A) P E (d!) für alle A 2A.
Unter dieser im Vergleich zur Stationarität stärkeren Symmetrieeigenschaft
erhält man also eine Zerlegung, bei der die Einzelmaße zu unabhängigen Wiederholungen
gehören.
Aufgaben
Aufgabe 6.1. Es seien (⌦, A) ein messbarer Raum und T :⌦! ⌦ eine messbare
Abbildung. Die Wahrscheinlichkeitsmaße P 1 und P 2 seien beide ergodisch hierauf,
und es gelte P 1 6= P 2.ZeigenSie,dassdieseMaßedannsingulär sind, also für
i =1, 2 P i-Nullmengen N i existieren mit P 2(N 1)=P 1(N 2)=1.
Aufgabe 6.2. (a) Es sei E⇢P(⌦) ein Mengensystem über ⌦ 6= ;. Mansagt,dass
E die Punkte ! 1,! 2 2 ⌦ nicht trennt, wenn für alle E 2Eentweder {! 1,! 2}⇢E
oder {! 1,! 2}⇢E c gilt. Zeigen Sie: Wenn E die Punkte ! 1 und ! 2 nicht trennt,
so gilt dies auch für (E).
(b) Zeigen Sie, dass im Falle F =
[!] F =
(E)
\
E2E,!2E
für die auf S. 80 definierten Atome gilt.
E \
\
E2E,!/2E
(c) Es sei A eine -Algebra über ⌦ mit einem abzählbarem Erzeugendensystem.
Zeigen Sie, dass dann [!] A 2Agilt für alle ! 2 ⌦.
Aufgabe 6.3. Es sei X =(X n) n2N0 ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum
(S, F).
(a) Zeigen Sie, dass X genau dann austauschbar ist, wenn für alle n 2 N und
alle Permutationen ⇡ von {0,...,n 1} die Zufallsvektoren (X 0,...,X n 1) und
(X ⇡(0) ,...,X ⇡(n 1) ) dieselbe Verteilung haben.
E c

84 6. ZERLEGUNGSSÄTZE
(b) Zeigen Sie, dass der Prozess X aus Beispiel 6.6 austauschbar ist.
(c) Es sei X austauschbar. Zeigen Sie, dass X dann auch stationär ist.

Literatur
[1] Billingsley, P. Ergodic Theory and Information. Wiley, New York 1965.
[2] Breiman, L. Probabililty. Addison-Wesley, Reading 1968.
[3] Cornfeldt, I.P., Fomin, S.V. und Sinai, Ya.G. Ergodic Theory. Springer, New
York 1982.
[4] Denker, M. Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer,
Berlin 2005.
[5] Einsiedler, M. und Ward, Th. Ergodic Theory with a view towards Number
Theory. Springer, London 2011.
[6] Kallenberg, O. Foundations of Modern Probability. Springer, New York 1997.
[7] Klenke, A. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2006.
[8] Walters, P. An Introduction to Ergodic Theory Springer, New York 1982.
Stationäre Prozesse und Ergodentheorie tauchen als Einzelkapitel in den Lehrbüchern
[2,6,7] (und in einigen anderen) auf, wobei [6] die größte Spannweite hat,
aber auch sehr dicht geschrieben ist.
Die Bücher [1,3,8] beschäftigen sich speziell mit Ergodentheorie, wobei unterschiedliche
Schwerpunkte gesetzt werden, beispielsweise Isomorphie in [8]. Es gibt
in diesem Bereich seit Jahrzehnten immer wieder Phasen mit bemerkenswerten
Fortschritten; [5] dokumentiert aktuelle, viel beachtete Entwicklungen. In [4] wird
das im vorliegenden Skript behandelte Material in einen größeren Zusammenhang
gestellt.
85