Kettenbrüche

34 3. KETTENBRÜCHE
Die Bemerkungen im Anschluss an Lemma 3.2 zeigen, dass für alle n 2 N
x
p n
q n
<
1
a n+1 q 2 n
apple 1
q 2 n
gilt; insbesondere liefert die Kettenbruchentwicklung einen konstruktiven Beweis zu
dem in Abschnitt 1.2.2 erwähnten Resultat von Dirichlet. Aus Lemma 3.2 (c) folgt,
dass die Nenner q n mit n !1exponentiell wachsen und somit der Fehler bei der
Rationalapproximation exponentiell schnell fällt; in Aufgabe 3.2 geht es um einen
speziellen Fall. In unserer zweiten Anwendung betrachten wir die Größenordnung
der Nenner und des Approximationsfehlers auf einer logarithmischen Skala. Wieder
erhält man für fast alle x denselben Grenzwert!
(a)
Satz 3.15. Für fast alle x 2 [0, 1) gilt
1
lim
n!1 n log q n(x) =
1
n log x p n (x)
=
q n (x)
⇡ 2
12 log 2
=1.1865 ... ,
(b) lim
= 2.3731 ... .
n!1
6 log 2 Beweis. Vergleicht man die Rekursionen für p n und q n in Lemma 3.2 und
⇡ 2
verwendet man die aus Lemma 3.4 bekannte Tatsache, dass T dem Links-Shift bei
der Kettenbruchentwicklung entspricht, so erhält man p n (x) =q n 1 (T (x)), also
wegen p 1 (x) =1
Mit f(x) = log x folgt
wobei
1
q n (x) = p n(x)
q n (x)
1
n log q n(x)
p n 1 (T (x)) ···p1(T n 1 (x))
q n 1 (T (x)) q 1 (T n 1 (x)) .
= 1 n
nX
1
f(T k (x))
k=0
nX
1✓
R n (x) := log(T k (x))
k=0
⇣ pn
log
q n
1
n R n(x),
k (T k (x))
⌘ ◆
k (T k .
(x))
Bei dem ersten Term erhält man mit dem Ergodensatz und etwas Integrationsvermögen
den fast sicheren Grenzwert
Z
f(x) P (dx) = 1 Z 1
log x
log 2 0 1+x dx = ⇡ 2
12 log 2
(man beachte, dass die Oberschranke nicht von x abhängt). Für den Beweis von (a)
bleibt also zu zeigen, dass R n (x)/n für fast alle x mit n !1gegen 0 geht. Hierfür
verwenden wir die zwei Ungleichungen: Wir lassen temporär das Argument x weg
und erinnern zunächst an
woraus sich
x =
1X
k=1
( 1) k+1
q k 1 q k
,
x
p n
q n
p n
q n
=
apple
1
nX
k=1
q n q n+1
( 1) k+1
q k 1 q k
,