Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau

Zuverlässigkeit und Lasten
im konstruktiven Ingenieurbau
Teil I: Zuverlässigkeitstheoretische Grundlagen
R. Rackwitz
Technische Universität München, 1993-2006
Vorbemerkung
Dieser Text ist im Laufe der Jahre im Zuge der zweisemestrigen, jeweils zweistündigen Vorlesung
mit Übung ’’Zuverlässigkeitstheorie und Lasten im Ingenieurbau’’ an der Technischen Universität
München entstanden. Er enthält deswegen wesentlich mehr Stoff als in zwei Semestern routinemäßig
vorgetragen werden kann, weil sich der Verfasser in den verschiedenen Jahrgängen jeweils andere
Schwerpunkte gesetzt hat. Die Themen, die nicht zum Grundbestand der Vorlesung gehören,
sind jeweils mit einem Stern gekennzeichnet. Alle Sonderthemen enthalten z.T. in der Forschung
erst kürzlich erhaltene Ergebnisse.

Inhaltsverzeichnis
1. Die Sicherheitsproblematik im konstruktiven Ingenieurbau 5
2. Einführung in Zuverlässigkeitsaufgaben 15
2.1. Begriffe, Versagenswahrscheinlichkeit als Volumenintegral 15
2.2. Einflüsse auf die Versagenswahrscheinlichkeit 17
2.2.1.Unabhängige normalverteilte Basisvariable und linear begrenzte
Versagensbereiche 17
2.2.2.Korrelierte normalverteilte Variable und linear begrenzte Versagensbereiche 20
2.2.3.Versagenswahrscheinlichkeit und Teilsicherheitsfaktoren 21
2.2.4.Einfluß der Verteilungsfunktionen 23
2.2.5.Einfluß statistischer Unsicherheiten 23
2.2.6.Ein zeitvariantes Zuverlässigkeitsproblem 24
3. Zuverlässigkeitstheorie 1. Ordnung (FORM) 26
3.1. Der Begriff des Sicherheits- oder Zuverlässigkeitsindex 26
3.2. Nichtlinear begrenzte differenzierbare Versagensflächen 29
3.2.1.Zuverlässigkeitsmethode 1. Ordnung (FORM) im Standardraum 29
3.2.2.Ein einfacher Gradientenalgorithmus 30
3.2.3.Nichtnormale, unabhängige Basisvariable 31
3.2.4.Nichtnormale, abhängige Basisvariable 32
3.3. Generalisierter Zuverlässigkeitsindex, Sensitivitäten und Elastizitäten 37
3.4. Antwortflächenverfahren ∗ 39
3.5. Das inverse Zuverlässigkeitsproblem ∗ 39
A. Simulationsmethoden 42
A.1. Erzeugung von Zufallszahlen 42
A.2. Einfache Monte-Carlo-Integration 42
A.3. Monte-Carlo-Methoden mit Importanzstichprobenwahl 44
A.4. Adaptive Monte-Carlo-Verfahren 45
4. Zuverlässigkeitstheorie 2.Ordnung (SORM) 47
4.1. Vorbereitende Überlegungen 47
4.2. Einführung in die Theorie asymptotischer Laplaceintegrale 48
4.3. Mehrdimensionale asymptotische Laplaceintegrale ∗ 51
4.4. Anwendung auf Integrale der Normalverteilung 54
4.5. Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten ∗ 63
4.6. Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit im Originalraum ∗ 69
4.7. Schlußbemerkung 74
2

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B. Simulationsmethoden auf der Basis von SORM ∗ 76
B.1. Monte-Carlo-Methoden mit Richtungsstichprobenwahl 76
B.2. Verfahren mit asymyptotischer Stichprobendichte 79
5. Systeme in der Zuverlässigkeitstheorie 83
5.1. Zum Begriff des Systems in der Zuverlässigkeitstheorie 83
5.2. Logische Analyse von Systeme 83
5.3. Wahrscheinlichkeitsschranken für Systeme 87
5.4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungs- und Schnittmengen
nach der Zuverlässigkeitstheorie 1. Ordnung 89
5.5. Systematische Analysemethoden von Systemen 92
5.5.1.Ereignisbäume 92
5.5.2.Fehlerbäume 94
C. Berechnung des multinormalen Integrals 96
D. Simulationsverfahren bei Systemen 98
6. Theoretische Last- und Festigkeitsmodelle 99
6.1. Mathematische Modelle 99
6.1.1.Eindimensionale Modelle 99
6.1.2.Korrelierte normalverteilte Variable 100
6.1.3.Zufallsfolgen und Extremwerte 101
6.1.4.Markierte und gefilterte Poissonfolgen 104
6.1.5.Markierte Erneuerungsprozesse 106
6.1.6.Gaußsche Prozesse und Zufallsfelder 107
6.1.7.Voraussage, Filterung, Interpolation und Kontrolle von Zufallsprozessen* 126
6.2. Allgemeines zur Modellierung von Lasten 130
6.2.1.Klassifizierung der Einwirkungen 130
6.2.2.Filterung beim Übergang von Last zu Lastwirkung 130
6.3. Allgemeine Festigkeitsmodelle 133
6.3.1.Statische Festigkeit 133
6.3.2.Kumulative Schädigungen 138
6.3.3.Materialermüdung 141
E. Simulation von Zufallsprozessen und Zufallsfeldern 145
7. Zeitvariante Zuverlässigkeitsaufgaben 147
7.1. Allgemeine Betrachtungen 147
7.1.1.Problemstellung 147
3

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7.1.2.Zuverlässigkeitsfunktion und Risikofunktion 148
7.1.3.Der Poissonprozeß 150
7.1.4.Lebensdauerverteilungen 153
7.1.5.Erneuerungsprozesse ∗ 154
7.1.6.Begriff der Austrittsrate 158
7.1.7.Schranken für die Versagenswahrscheinlichkeit 159
7.1.8.Die Turkstra’sche Regel 161
7.2. Zuverlässigkeit von Komponenten, deren Zustand von markierten
Punktprozessen abhängen 162
7.2.1.Versagenswahrscheinlichkeit bei Kombinationen von stationären
Zufallsfolgen 162
7.2.2.Berechnung von Austrittsraten von vektoriellen Rechteckwellenprozessen 163
7.2.3.Austrittsraten bei Systemen (Sprungprozesse) ∗ 169
7.3. Austrittsraten und mittlere Anzahl der Austritte bei differenzierbaren Prozessen 170
7.3.1.Skalare stationäre Prozesse 171
7.3.2.Austrittsrate für instationären, skalaren Gaußschen Prozeß ∗ 172
7.3.3.Austrittsrate von Gaußschen Vektorprozessen ∗ 174
7.3.4.Nicht-normale differenzierbare Prozesse ∗ 183
7.3.5.Austrittsraten bei Systemen (differenzierbare Prozesse) ∗ 184
7.3.6.Kombination von Prozessen mit nicht rechteckförmigen Marken (Point
Crossing Method) ∗ 185
7.4. Asymptotische Überlegungen 187
7.5. Intermittierende Prozesse ∗ 190
7.6. Kombination von differenzierbaren und Sprungprozessen ∗ 194
7.7. Kumulative Versagenserscheinungen ∗ 196
8. Zuverlässigkeit von Tragwerken 199
8.1. Lineare, statische Systeme 199
8.2. Nicht-lineare, statische Systeme ∗ 201
8.3. Modellierung unsicherer Eigenschaften in Tragsystemen 202
8.4. Zuverlässigkeitsberechnungen statisch beanspruchter Tragsysteme 203
8.5. Zuverlässigkeit dynamischer, deterministischer Strukturen unter Gaußscher
Belastung ∗ 206
8.5.1.Einläufiger Schwinger 206
8.5.2.Mehrläufige lineare Schwinger 215
8.6. Anmerkungen zur Zuverlässigkeitsberechnung dynamischer Systeme 219
F. Austrittsrate bei nichtlinearen Schwingern und bei nichtgaußischer Anregung ∗ 220
4

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F.1. Theoretische Grundlagen 220
F.2. Deterministische Grundlagen der nichtlinearen Schwingungstheorie 222
F.3. Anwendung 224
9. Optimierung von baulichen Anlagen 227
9.1. Allgemeines 227
9.2. Versagen bei Errichtung oder Inbetriebnahme durch zeitinvariante Lasten 229
9.3. Versagen durch extreme Belastungen 230
9.3.1.Aufgabe des Bauwerks nach einem Versagen 230
9.3.2.Systematischer Wiederaufbau nach einem Versagen 233
9.4. Beliebige Versagensprozesse und andere Erneuerungsursachen 238
9.4.1.Verwendung der Austrittsrate 238
9.4.2.Versagen bei Inbetriebnahme 238
9.4.3.Veraltung 239
9.4.4.Zeitabhängiger Schaden 242
9.4.5.Alterung 243
9.4.6.Präventive Unterhaltung 246
9.4.7.Blockweise Reparatur 250
9.4.8.Endliche Erneuerungszeiten 251
9.4.9.Bestehende Bauwerke 252
9.4.10.Seriensysteme 253
9.4.11.Schlußbemerkungen zur Anwendbarkeit des Erneuerungsmodells 257
9.5. Aspekte der Risikoanalyse baulicher Anlagen 258
9.6. Bemessung als Optimierungsaufgabe 260
9.6.1.Allgemeines 260
9.6.2.Die zeitinvariante Aufgabe 261
9.6.3.Zeitvariante Aufgaben 263
9.6.4.Numerische Auswertung der Laplacetransformation 265
9.6.5.Seriensysteme 266
9.6.6.Zuverlässigkeitsoptimierung 267
9.7. Zur Größe der Zinssätze 268
9.7.1.Allgemeines 268
9.7.2.Grenzen für Zinssätze 268
9.7.3.Bemerkungen über gesellschaftliche Zins- und Nutzenraten* 269
G. Optimierungsalgorithmen ∗ 276
G.1. Vorbemerkungen 276
G.2. Unrestringierte, nichtlineare aber ’’glatte’’ Optimierungsaufgaben 276
5

G.3. Restringierte nichtlineare aber ’’glatte’’ Optimierungsaufgaben 278
G.4. Zeitinvariante Probleme im Standardraum 283
G.5. Zeitinvariante Probleme im Originalraum 287
G.6. Zeitvariante Probleme (Standardraum) 287
G.7. Schlußbemerkung 288
10.Wie sicher ist sicher genug? 289
10.1. Vorbemerkungen 289
10.2. Der Lebensqualitätsindex 291
10.2.1.Mathematische Herleitung 291
10.2.2.Demographische Aspekte 298
10.2.3.Der Lebensqualitätsindex als Indikator für den Entwicklungsstand eines
Landes 302
10.2.4.Einfache Anwendungen von Gl. (10.2.1.21) 305
10.2.5.Berücksichtigung der Zeitpräferenz des Konsums und des Altersaufbaus
einer Bevölkerung 306
10.2.6.Zusammenstellung von Daten für verschiedene Länder 311
10.2.7.Vergleich mit empirischen Angaben in der Literatur ∗ 312
10.3. Anwendungen 314
10.3.1.Kompensationskosten in Kosten-Nutzenüberlegungen 314
10.3.2.Anwendung auf Anlagen bei durch die technische oder die natürliche
Umwelt ausgelöstemVersagen 315
10.3.3.Anwendung auf Risiken aus toxischen Substanzen ∗ 325
10.4. Nachhaltigkeitsaspekte* 326
11.Anwendung in Bauvorschriften 329
11.1. Teilsicherheitsfaktoren - Stand der Normung 329
11.1.1.Zeitinvarianter Fall 329
11.1.2.Definition von charakteristischen Werten 331
11.2. Zeitvarianter Fall - Lastkombination 332
11.3. Ermüdungsnachweise 333
11.4. Vorgesehene Lebensdauern und Zielzuverlässigkeiten 335
11.5. Größe der Teilsicherheitsfaktoren in Euronormen 338
Literatur 341
4

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 1. Die Sicherheitsproblematik im konstruktiven
Ingenieurbau
Sicherheit, Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit gehören zu den wichtigsten Eigenschaften von baulichen
Anlagen und anderer technischer Objekte. Im allgemeinen werden sie durch vielerlei Unsicherheiten
bedroht. Unter Sicherheit sei dabei die Abwesenheit von Gefährdungen für Leib und
Leben bei Gebrauch und für die Umwelt verstanden, die mit hoher Wahrscheinlichkeit gewährleistet
werden muß . Das gilt auch wenn weder unsere Kenntnis von der natürlichen und künstlichen
Umwelt perfekt ist noch vollkommen kontrolliert werden kann. Unter Zuverlässigkeit soll die Eigenschaft
verstanden werden, die vorgesehene Funktion für die beabsichtigte Zeit des Gebrauchs
mit ausreichend großer Wahrscheinlichkeit zu erfüllen. Unter Verfügbarkeit wollen wir schließlich
die Eigenschaft verstehen, bei Gebrauch in nutzungsfähigem Zustand zu sein, d.h. nicht etwa
wegen Inspektions- oder Wartungsarbeiten oder auch wegen den uneingeschränkten Gebrauch verhindernder
Systemzustände (z.B. zu starke Schwingungen) nicht zur Verfügung zu stehen.
Für bauliche Anlagen sind hohe Anforderungen an die Sicherheit charakteristisch. Solche haben
in der Tat eine lange Geschichte, wie ein Teil des in Stein gemeißelten und im Louvre, Paris aufbewahrten
Codex Hammurabi (Hammurabi, babylonischer König, 1728-1686 v. Chr.) in Bild 1.1
belegt.
Abb. 1.1.Auszug aus dem Codex Hammurabi (aus Bautechnik, 43, 1, 1966)
Die Übersetzung dieses Textes lautet wie folgt:
(1) Wenn ein Baumeister ein Haus baut für einen Mann und es für ihn vollendet, so soll dieser ihm
als Lohn zwei Shekel Silber geben für je einen Sar (1 Shekel =360Weizenkörner =9, 1 g, 1
Sar =14, 88 m 2 ).
(2) Wenn ein Baumeister ein Haus baut für einen Mann und macht seine Konstruktion nicht stark,
so daß es einstürzt und verursacht den Tod des Bauherrn: dieser Baumeister soll getötet werden.
(3) Wenn der Einsturz den Tod eines Sohnes des Bauherrn verursacht, so sollen sie einen Sohn des
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Baumeisters töten. Kommt ein Sklave des Bauherrn dabei um, so gebe der Baumeister einen
Sklaven von gleichem Wert.
(4) Wird beim Einsturz Eigentum zerstört, so stelle der Baumeister wieder her, wasimmerzerstört
wurde, weil er das Haus nicht fest genug baute, baue er es auf eigene Kosten wieder auf.
(5) Wenn ein Baumeister ein Haus baut und macht die Konstruktion nicht stark genug, so daß eine
Wand einstürzt, dann soll er sie auf eigene Kosten verstärkt wieder aufbauen.
Auch kann auf den nachfolgend angegebenen Passus § 330 im deutschen Strafgesetzbuch hingewiesen
werden [190] .
(1) Wer bei der Planung, Leitung oder Ausführung eines Baues oder des Abbruchs eines Bauwerkes
gegen die allgemein anerkannten Regeln der Technik verstößt und dadurch Leib oder Leben eines
anderen gefährdet, wird mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder mit Geldstrafe bestraft.
(2) Ebenso wird bestraft, wer in Ausübung eines Berufs oder Gewerbes bei der Planung, Leitung
oder Ausführung eines Vorhabens, technische Einrichtung in ein Bauwerk einzubauen oder eingebaute
Einrichtungen dieser Art zu ändern, gegen die allgemein anerkannten Regeln der Technik
verstößt und dadurch Leib oder Leben eines anderen gefährdet.
Dieser hat seine Wurzeln in den mittelalterlichen Städtebauordnungen. Die Frage, was nun ’’allgemein
anerkannte Regeln der Technik (Baukunst)’’ seien, wurde seit dem Ende des letzten Jahrhunderts
durch bauaufsichtlich eingeführte Regelwerke, wie die Normen des DIN, bauaufsichtliche
Zulassungen, usw. beantwortet. In den für die Sicherheit maßgebenden Teilen werden Qualitätsanforderungen
für die Produktion von Baustoffen spezifiziert, Nennwerte für Materialkenngrößen
definiert, Sicherheitsbeiwerte für die Bemessung der Bauteile festgelegt sowie Verfahren zum
Nachweis der Standsicherheit beschrieben und die dabei üblicherweise anzunehmenden Lasten
angegeben. Die Regelwerke unterliegen ständiger Überarbeitung durch Anpassung an den gewachsenen
Stand der Kenntnis, veränderter Anforderungen an Sicherheit und Gebrauchsfähigkeit
der Bauwerke und an die Erfahrung mit diesen Regeln. Entsprechend heißt es beispielsweise in
der Bayerischen Bauordnung Artikel 3
(1) Bauliche Anlagen, andere Anlagen und Einrichtungen im Sinn von Art. 1Abs. 1 Satz 2 sowie
ihre Teile sind so anzuordnen, zu errichten, zu ändern und instand zu halten, daß die öffentliche
Sicherheit und Ordnung, insbesondere Leben und Gesundheit, und die natürlichen Lebensgrundlagen
nicht gefährdet werden. Sie müssen bei ordnungsgemäßer Instandhaltung die allgemeinen
Anforderungen des Satzes 1 ihrem Zweck entsprechend angemessen dauerhaft erfüllen und ohne
Mißstände benutzbar sein. ....
(2) Die vom Staatsministerium des Inneren oder der von ihm bestimmten Stelle durch öffentliche
Bekanntmachung als Technische Baubestimmungen eingeführten technischen Regeln sind zu beachten.
... Werden die allgemein anerkannten Regeln der Technik und Baukunst beachtet, gelten
die entsprechenden bauaufsichtlichen Anforderungen dieses Gesetzes und der auf Grund dieses
Gesetzes erlassenen Vorschriften als eingehalten.
Die bei der Erstellung der Regelwerke bevorzugte, empirische Vorgehensweise hat eine bis in die
Anfänge der Mechanik und Festigkeitslehre zurückreichende Geschichte. Das Konzept der zulässigen
Spannungen im sogenannten Spannungsnachweisverfahren geht wohl auf Navier zurück.
Danach ist ein auf Biegung und Normalkraft beanspruchter Balken dann sicher, wenn gilt:
σ = N A + M W ≤ zulσ = β γ
(1.1)
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Hierin ist σ die Randspannung, N die Normalkraft, M das Biegemoment, A die Querschnittsfläche
und W das Widerstandsmoment. zul σ ist die sogenannte zulässige Spannung, die sich
durch Division der Festigkeitsgröße β (Fließspannung, Proportionalitätsgrenze, Bruchfestigkeit,
...) durch den Sicherheitsfaktor γ ergibt. Im 19. Jahrhundert wurden die damals üblichen Stähle
mit einem Sicherheitsfaktor von nicht unter 3, Mauerwerk mit einem Sicherheitsfaktor nicht
unter 5, beaufschlagt. Die Festigkeitsgröße wurde als ’’Mindestwert’’, manchmal aber auch als
’’repräsentativer’’ Wert eingesetzt. Die Schnittgrößen N und M ergaben sich nach der linearen
Elastizitätstheorie. Bei Stabilitätsproblemen wurde der Sicherheitsbeiwert jedoch den Lasten zugeschlagen.
Das aus der Mode kommende, sogenannte ω-Verfahren im Stahlbau, welches den
Knicksicherheitsnachweis formal als Spannungsnachweis führt, muß in diesem Sinne ebenfalls als
ein Lastfaktorverfahren bezeichnet werden. Die neueren Nachweisverfahren sind sämtlich Verfahren
mit sogenannten Teilsicherheitsbeiwerten. Deren ’’Format’’ kann im skalaren Fall allgemein
wie folgt ausgedrückt werden:
γ S S(..., ψ i γ i L N,i ,...) ≤ R(..., β N,j /(ϕ j γ j ),...)/γ R (1.2)
Hierin ist S(.) eine Lastwirkungsgröße und R(.) die entsprechende Widerstandsgröße. L Ni (i=1,2,...)
und β Nj (j=1,2,...) sind die Einwirkungen (Lasten, Zwängungen) bzw. den Widerstand bestimmende
Größen wie die Nennwerte der Materialfestigkeiten oder der geometrischen Parameter. Diese
werden als charakteristische Werte, d.h. Werte, die nur mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
über- bzw. unterschritten werden, definiert. Die γ k sind die Teilsicherheitsbeiwerte. Der Bequemlichkeit
halber werden sie als Faktoren ≥ 1 definiert. Anstelle multiplikativer ’’Sicherheitselemente’’
findet man gelegentlich auch ’’additive’’ Sicherheitselemente δ i , und zwar insbesondere dann,
wenn durch einen Faktor nicht die gewünschte Wirkung erzielt werden kann (Beispiel: Nennwerte
nahe Null). Die Faktoren ψ k und ϕ k (0 ≤ ψ k , ϕ k ≤ 1) werden als Kombinationsfaktoren bezeichnet.
Man verwendet sie als Korrekturfaktoren für die Teilsicherheitsbeiwerte, wenn das Zusammentreffen
der jeweiligen Nennwerte auf ihrem ’’charakteristischen’’ Niveau unwahrscheinlich
wird. Man sieht, daß die Teilsicherheitsbeiwerte ’’im Prinzip’’ dort angebracht werden können,
wo die Unsicherheiten tatsächlich auch auftreten. Durch den Ansatz von Kombinationsfaktoren
kann man sich zusätzlich den speziellen Gegebenheiten anpassen. In der praktischen Anwendung
und zwar vor allem im internationalen Vergleich sieht man eine Vielzahl von Varianten der Gleichung
(1.2), wobei die jeweilige Form und die einhergehenden Definitionen und Zahlenwerte oft
den traditionellen Gewohnheiten entsprechen.
Sicherheit und Zuverlässigkeit werden natürlich nicht durch mehr oder weniger rigorose Strafvorschriften
gewährleistet. Sie werden auch nur indirekt durch ein Bauen nach Regelwerken, die wie
vorstehend angedeutet, mit der Methode des ’’Versuchs und Irrtums’’ entwickelt wurden, gewährleistet.
Die quantitative Größe der Zuverlässigkeit bleibt dabei undefiniert. Es erhebt sich daher
die grundsätzliche Frage, ob es rationale Konzepte und Methoden gibt, diese Größen schärfer einzugrenzen
und damit auch eine zielgerichtete Entwicklung sicherer und zuverlässiger Anlagen
einzuleiten.
Maier [107] erkannte bereits 1926, daß eine rein empirische Anpassung der sicherheits- und damit
auch zuverlässigkeitsrelevanten Elemente dieser Regelwerke zu gefährlichen Widersprüchen,
zumindest aber zu unrationellen oder inkonsistenten Regeln führen kann. Er erhob die Forderung,
eine Theorie der Sicherheit von baulichen Anlagen auf den Konzepten der Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik für die Behandlung der Unsicherheiten zu begründen. Für das dann erforderliche
Rechnen mit mehreren Zufallsvariablen schlug er das Fehlerfortpflanzungsgesetz vor. Damit
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wurde eine zumindest genäherte Berücksichtigung der unterschiedlichen Streuungen in den Einflußgrößen
und ihrer Bedeutung für die Sicherheit möglich. Wesentliches Verdienst von Maier
ist auch, daß er erkannte, daß es nicht nur auf die Streuung einer Variablen ankommt, sondern
in welchem funktionalen Zusammenhang diese mit den anderen Variablen steht. Maier machte
aber noch keine konkreten Vorschläge zur Frage, was denn nun ’’sicher’’ genug sei. Forsell
[53] schlug schon im Jahre 1924 vor, die Frage, was ’’sicher genug’’ sei, durch einen Ansatz
der statistischen Entscheidungstheorie objektiv zu lösen. Er schlug vor, die Gesamtkosten eines
Bauwerks, d.h. den Aufwand zur Realisierung des Bauwerks und die erwarteten Schadensfolgen
(=Versagenswahrscheinlichkeit×Schadenskosten) zu minimieren. Das kann man wie folgt schreiben:
E[C] ≈ C 0 + c(γ)+HP f (γ) (1.3)
E[C] sind die erwarteten Kosten, C 0 die von einem Bemessungsparameter γ unabhängigen Erstellungskosten,
c(γ) die mit dem Sicherheitsbeiwert γ zunehmenden Kosten, H die Schadensfolgen
und P f (γ) die mit γ abnehmende Versagenswahrscheinlichkeit (vergl. Bild 1.2).
Erwartete
Gesamtkosten
Erwartete
Versagenskosten
Erstellungskosten
Kostenm
in im u m
Parameter
Abb. 1.2.Erwartete Gesamtkosten über Bemessungsparameter
Diese Gesamtkosten haben für ein bestimmtes γ und der zugehörigen Versagenswahrscheinlichkeit
ein Minimum. Die Lage des Minimums hängt von den Steigungen der Funktionen c(γ) und P f (γ)
sowie von der Größe H ab. Forsell wies damit nach, daß Brücken, die ausschließlich für den
landwirtschaftlichen Verkehr genutzt werden, nicht die gleiche hohe Sicherheit wie andere Brücken
haben sollten. Die sicherheitsrelevanten Elemente in den Regelwerken wären so zu bestimmen,
daß die Summe der für die Sicherheit aufgewendeten Kosten und der erwarteten Schadenskosten
zu einem Minimum werden. Auf Detailfragen dieses Ansatzes gehen wir noch nicht ein.
Eine Theorie der Bauwerkssicherheit und damit eine Theorie der Zuverlässigkeit und der Verfügbarkeit
begann sich im eigentlichen Sinne aber erst mit den Arbeiten von Freudenthal [54] [55] in
den 50-er Jahren zu entwickeln. Freudenthal und andere brachen mit der traditionellen, heute als
deterministisch bezeichneten Denkweise, daß nämlich Einwirkungen und Widerstände als extreme
Nennwerte, die praktisch nicht überschritten werden können, definiert werden und daß, wenn
sie doch überschritten würden, es ausreicht, zwischen diesen einen ’’ausreichenden’’ Sicherheitsabstand
festzulegen. Sie argumentierten, daß eine widerspruchsfreie Theorie der Zuverlässigkeit
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nur auf der Grundlage von Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre entstehen könnte. Man bemühte
sich, die unsicheren Größen durch Zufallsvariable bzw. Zufallsprozesse auf der Grundlage von
streuenden, statistisch erhobener Daten zu modellieren und um geeignete Formulierungen die Versagenswahrscheinlichkeiten
auch zu berechnen.
In anderen Technikbereichen fand eine ähnliche Entwicklung statt. Henley/Kumamoto [70] legen
den Ursprung einer mathematischen Zuverlässigkeitstheorie in die Zeit der Entwicklung der
deutschen Raketenwaffen vor dem zweiten Weltkrieg. Deren Anfänge waren durch schwere Rückschläge
gekennzeichnet. Ein Mathematiker, der sich des Problems annahm, wies darauf hin, daß
bei vielen Komponenten in einem System, deren Ausfall den Systemausfall bedeutet, es nicht genügt,
das System auf die ’’schwächste’’ Komponente hin auszulegen. Man muß auch berücksichtigen,
daß die anderen Komponenten ’’zufällig’’ zur schwächsten Komponente werden können. In
der Elektrizitätswirtschaft hatte sich schon vorher die sogenannte n +1-Regel ausgebildet, d.h.
wenn n Leitungen zur Versorgung eines Systems notwendig waren, so sollte man eine zusätzliche,
redundante Leitung vorsehen um bei Ausfall einer Leitung den sofortigen Systemkollaps vermeiden
zu können. Wesentliche Impulse erhielt die ’’klassische’’ Zuverlässigkeitstheorie dann durch
die rasante Entwicklung in der Militärtechnik, die Zuverlässigkeitsaussagen für sehr komplizierte
und große Systeme verlangte. Die ’’klassische’’ Zuverlässigkeitstheorie entwickelte sich aber
auch aus zivilen Fragestellungen bei der Bedienung von Anforderungen an ein System (z.B. in der
Lagerhaltung, bei der Dimensionierung von Stauanlagen, der Bemessung von Telephonzentralen,
u.s.w). Dabei ist charakteristisch, daß der Strom der Anforderungen als zufälliger Zählprozeß modelliert
wurde. Die Zeiten zwischen den Anforderungen (und die Bedienungszeiten) gehorchen
bestimmten Verteilungsfunktionen. Es lag nahe, diese Konzepte auf Zuverlässigkeitsprobleme anzuwenden.
Man mußte nur die Zeiten zwischen den Anforderungen als Lebensdauern von Komponenten
interpretieren. Auch lag nahe, Reparaturen in die Betrachtungen einzubeziehen. In neuerer
Zeit ergaben sich große Fortschritte in der Theorieentwicklung und in Anwendungen durch die
Anforderungen in der Sicherheitsanalyse von Atomkraftwerken. Interessanterweise entwickelte
sich die ’’klassische’’ Richtung und die Theorie der Tragwerkszuverlässigkeit aber über lange Jahre
fast unabhängig voneinander und erst neuerdings stellt sich eine Annäherung der Konzepte und
Verfahren ein.
Während Zuverlässigkeit bei Tragwerken nach allgemeinem Verständnis vornehmlich durch eine
adäquate Bemessung erreicht werden sollte und bei operativen Systemen auch durch eine zweckmäßige
Strategie für Inspektionen und Reparaturen, sollte sie in bestimmten Technikbereichen
ganz besonders durch eine statistische Kontrolle der Qualität des Produktes erreicht werden. Es
entstand in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts eine wirkungsvolle Theorie der statistischen Qualitätskontrolle,
die sich ebenfalls unabhängig von den übergeordneten Theorien der Zuverlässigkeit
entwickelte [172] . Auf den direkten Zusammenhang zwischen Bauwerkssicherheit und Qualitätskontrolle
wurde wohl erstmals von Blaut hingewiesen [13] .
Obwohl Ende der 60iger Jahre erste Grundlagen für die Anwendung der neuen Konzepte im Bauwesen,
allerdings noch auf der sogenannten semi-probabilistischen Basis (vergl. Gl. (1.2)), vorgelegt
wurden, war damals deutlich, daß dem weiteren Ausbau der Theorie und den Anwendungen
Grenzen gesetzt waren. Diese waren zum einen in fehlenden Daten begründet. Zum anderen zeigte
sich ein numerisches Problem, d.h. die Auswertung z.T. hochdimensionaler Wahrscheinlichkeitsintegrale,
für die kaum analytische Resultate zu erhoffen waren. Während das erstgenannte
Problem durch systematische Datenerhebungen gelöst werden kann und für viele Bereiche zwischenzeitlich
auch schon zufriedenstellend gelöst wurde, ist das zweite Problem letztlich nur durch
schnelle Rechenanlagen beherschbar.
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Von der internationalen gemeinsamen Kommission für Bauwerkssicherheit wurde zunächst eine
Näherungslösung 1. Ordnung (FORM = First Order Reliability Method) erarbeitet (CEB,
1976;[28] ), die sich in Anwendungen weithin durchgesetzt hat. Ihre theoretische Rechtfertigung
gelang wenig später durch Anwendung der asymptotischen Analysis auf sogenannte Laplace Integrale
(SORM = Second Order Reliability Method) [19] [75] . Beide Verfahren erwiesen sich
auch als sehr zweckmäßig bei der Formulierung und rechnerischen Auswertung von Aufgaben,
bei denen der Parameter Zeit eine Rolle spielt. In jüngster Zeit wurden noch bestimmte Monte
Carlo Verfahren vorgeschlagen, so daß man die Frage der Berechnung von Wahrscheinlichkeitsintegralen
heute als gelöst betrachten kann. Eine Reihe von leistungsfähigen Rechenprogrammen
steht zur Verfügung.
In den Schriften (z.B. CEB, 1976[28] ; DIN, 1981[63] ; ISO, 1986[79] ), die z.T. normenähnlichen
Charakter haben, kommt zum Ausdruck, daß der konstruktive Ingenieurbau bezüglich der Erfüllung
von Sicherheitsanforderungen in der Tat eine neue, rationale Grundlage hat. Die Festlegung
von allgemeingültigen Sicherheitsanforderungen erwies sich jedoch als außerordentlich schwierig.
Das ist zum Einen in der bereits erwähnten Empfindlichkeit der rechnerischen Ergebnisse von
den Annahmen für das stochastische Modell begründet. Auf der anderen Seite ist die Quantifizierung
der Schadensfolgen nach dem Ansatz von Forsell und seinen Verbesserungen problematisch
[148] . Wie soll man Leib und Leben von Menschen bewerten? Kann man sich an Risiken in
anderen Bereichen orientieren (vergl. hierzu die Zusammenstellung in Bild 1.3). Jeder Versuch
dazu muß sich einer für diese Fragen sehr sensiblen Öffentlichkeit stellen. Die Gesetze und die
Rechtsprechung gehen mit dieser Frage äußerst vorsichtig um 1 .
Lind [92] und andere stellten das Postulat auf, daß die gegenwärtigen Bemessungsvorschriften
im großen und ganzen bereits die erforderliche Sicherheit und Zuverlässigkeit von Bauwerken gewährleisten.
Daher ist die systematische Festlegung der Anforderungen in einem probabilistischen
Rahmen eine Frage der Nachrechnung bewährter Bauweisen mit dem neuen Instrumentarium. Die
Kalibration der neuen Grundlagen an Bewährtem und eine geeignete Klassifizierung nach dem zu
erbringenden Aufwand für Sicherheit und den Schadensfolgen ermöglicht auch ungewöhnliche
Situationen zu beherrschen. Damit kann das Problem der konkreten, expliziten Bewertung von
Schadensfolgen bzw. ihrer Eintrittshäufigkeit in gewisser Weise umgangen werden und man hat
eine Arbeitsgrundlage für die Erstellung von Regelwerken für den Entwurf, den Bau und den Betrieb
von technischen Anlagen. Man braucht bei dieser Betrachtungsweise den oben erwähnten
Optimierungsgedanken nicht aufzugeben. Ziel der Nachrechnung kann auch nur die Bestimmung
der so schwer zu bestimmenden Schadensfolgen H sein. Diese müssen ja nicht nur die direkten
monetären Folgen sondern auch die indirekten die Beteiligten und die Gesellschaft betreffenden
Folgen erfassen. Es besteht aber auch kein Zweifel, daß das Lindsche Postulat die Frage der Risikoakzeptanz
nicht eigentlich löst, denn es beruht auf der Annahme, daß die gültigen Bemessungsvorschriften
in ihrer weitgehend durch Versuch und Irrtum geprägten Entwicklung ein akzeptables
Optimum erreicht haben.
1
Bei einer probabilistischen Grundlage der Regelwerke muß natürlich auch die Forderung in den Bauordnungen,
daß nämlich Leben und Gesundheit ... nicht gefährdet werden, eine neue, realistischere Bedeutung bekommen. Eine
Nichtgefährdung ist dann gegeben, wenn für ein Versagen einer baulichen Anlage oder Teilen davon nur eine ausreichend
kleine Wahrscheinlichkeit besteht. Auf die Frage wie groß denn diese Versagenswahrscheinlichkeit sein darf,
wird weiter unten noch zurückgekommen.
10

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Tätigkeit
Bergsteigen
(intern.)
Hochsee−
fischerei
Fliegen
(Crew)
Kohle−
bergbau
Auto−
fahren
Bau−
arbeit
Fliegen
(P assag.)
Fabrik−
arbeit
Gebäude−
brände
Haus−
arbeit
Bauwerks−
versagen
Todesrisiko
/Stunde/10 8
betroff.Person
Zahl
/Stunde/Jahr/
betroff.Person
Todesrisiko
/10 4 Personen
/Jahr
2700 100 27
59 2900 17
Verhältnis
Verwundete/
Tote
120 1000 12 ¿ 1
21 1600 3.3
56 400 2.2 20
7.7 2200 1.7 450
120 100 1.2 ¿ 1
2 2000 0.4
0.15 5500 0.08 5
2.1 5500 1.1
0.002 5500 0.001 6
Tabelle 1.1: Zusammenstellung der Risiken für Leib und Leben bei verschiedenen Tätigkeiten aus
verschiedenen Quellen
Die Diskussionen in den letzten drei Jahrzehnten um die Risiken der Kerntechnik haben hier die
Begriffswelt ganz wesentlich erweitert. Es wurde vor allem deutlich, daß als Maßstab für die Akzeptanz
einer Gefährdung durch die natürliche und technische Umwelt wie in der Versicherungswirtschaft
tatsächlich das Produkt aus Eintrittshäufigkeit und Schadensfolge, heute als Risiko definiert,
genommen werden muß — und nicht allein die Eintrittshäufigkeit wie in Bild 1.3.
Schon in Tabelle 1.1 fällt auf, daß manche der Aktivitäten, die mit einem Risiko verbunden sind,
freiwillig eingegangen werden (z.B. Bergsteigen) und andere, wie Hausarbeit, unvermeidlich sind.
Bei manchen beruflichen Aktivitäten wird ein höheres Risiko akzeptiert, wohl weil eine Kompensation,
z.B. in Form besserer Vergütung, größerer Freizeit, usw. erfolgt. Aus solchen Zusammenstellungen
kann man allenfalls gewisse Grenzwerte ableiten. Im Hinblick auf die mittlere
Sterberate von 10 −2 bis 10 −3 /Jahr aus allen Ursachen mag man beispielsweise ableiten, daß die
Wahrscheinlichkeit durch Bauwerksversagen zu Tode zu kommen wesentlich kleiner als 10 −3 /Jahr
sein muß. Die mittlere Sterberate infolge von Unfällen aller Art ist etwas über 10 −4 /Jahr. Etwa
die Hälfte davon geht auf den Straßenverkehr zurück. Der Rest verteilt sich auf freiwillig eingegangene
risikoreiche Tätigkeiten, Hausunfälle und andere riskante Tätigkeiten. Ist aber überhaupt
zulässig, mit solchen mittleren Raten zu argumentieren? Es ist auch üblich geworden, die Häufigkeit
von Naturkatastrophen über der jeweiligen Anzahl von Unfalltoten aufzugetragen (vergl.
Bild 1.3 für verschiedene Risiken). Ein konstantes Risiko bedeutet in der doppelt-logarithmischen
Auftragung offensichtlich eine unter 45 o geneigte Gerade. Die Kurven für die aufgenommenen
11

H ä u fig k e it p ro J a h r
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
10
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
12
13
7
1 2
3
6 5
8
10
9
4
1 - Flugzeugabsturz (im Flugzeug)
2 - Brände
3 - Explosion
4 - Versagen von Staudämmen
5 - Freisetzen von Chlor
6 - Flugzeugabsturz (am Boden)
7 - Tornados
8 - Hurricanes
9 - Erdbeben
10- Hochwasser
11- Meteoriteneinschlag
12- Autoverkehr
13- Eisenbahn
0.00001
11
0.000001
1E1 1E2 1E3 1E4 1E5 1E6
M ittlere A n z a hl von O pfern p ro E re ig n is
Abb. 1.3.Risikokurven für verschiedene Gefährdungen aus der natürlichen und technische Umwelt (nach
[47] und anderen)
Naturkatastrophen verlaufen interessanterweise flacher. Mit dem Anwachsen der Weltbevölkerung
scheinen sich die Kurven in jüngster Zeit sogar nach rechts zu verschieben.
In der Meerestechnik und anderen Bereichen hat man versucht in Diagrammen wie Bild 1.3 eine
nicht zulässige und eine zulässige Region zu definieren, wobei auf beobachtete Schadensfälle
Bezug genommen wird. Dazwischen befindet sich die sogenannte ALARP-Region (As Low As
Reasonably Practicable). Ein Beispiel zeigt Abb. 1.4. Die Frage, wann nun sicher genug ist, kann
hier noch nicht in der gebotenen Tiefe dargelegt werden. Das vorgestellte Zahlenmaterial und
die verschiedenen Ansätze für Akzeptanz von Risiken sollen hier nur auf ein zentrales Problem
hinweisen, welches später noch ausführlich zu diskutieren sein wird. Insbesondere wird über die
individuelle und öffentliche Zahlungsbereitschaft für Risikoreduktion zu sprechen sein, da man
davon ausgehen muß, daß ein geringes Risiko auch etwas kostet.
Es muß hervorgehoben werden, daß nur etwas über 10% der katastrophalen Bauwerkseinstürze
und anderer Bauschäden auf ’’natürliche’’ Ursachen, d.h. auf Ursachen, deren Wirkungen bewußt
in Kauf genommen werden weil sie ausreichend selten auftreten, zurückgehen. Der Großteil
der Schäden wird durch menschliche Fehler, Fahrlässigkeit oder Unterlassungen verursacht. Nur
sehr wenige, wenngleich oft recht spektakuläre Schäden gehen heute noch auf individuelle oder
allgemeine Unkenntnis entscheidender Sachverhalte zurück (z.B. Einsturz der Tacoma Narrows
Brücke). Immer dann, wenn man sich auf technisches Neuland hinauswagt, wird man aber mit so
verursachten Schäden rechnen müssen. Sie sind letztlich nur durch sehr zögerliches Überschreiten
des Erfahrungsbereiches vermeidbar. Die meisten der durch ’’normale’’ Fehler verursachten
12

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Versagensrate
0.1
0.01
Nicht zulässig
1.10 3
1.10 4
ALARP
1.10 5
1 .10 6
Zulässig
aber suboptimal
1 10 100 1.10 3
Schadensfolgen
Abb. 1.4.ALARP-Region im Risiko-Schadensfolgen-Diagramm
Schäden sind jedoch durchaus vermeidbar. In Tabelle 1.2 sind beispielhaft einige Ergebnisse einer
Untersuchungen [112] über rund 800 Bauschäden, die von Versicherungen abgewickelt werden
mußten, zusammengefaßt.
Bewußt akzeptiertes Risiko
Fehlhandlungen der Beteiligten
Tragwerkskomponenten
Baugrube, Bauinstallationen
Lehrgerüste, Hilfskonstruktionen
Tragwerk
Fehlhandlungen bei
Planung
Ausführung
Planung+Ausführung
Fehlhandlung bei Planung
Konzept
Statische Berechnung
Zeichnungen,Listen
Arbeitsvorbereitung
Alle Schadensfälle Schadessumme Personenschäden
25
10
15
75
90
85
Tabelle 1.2: Zusammenstellung von Schäden nach Matousek/Schneider (1976)
12
9
44
37
35
18
34
34
19
9
Dabei sind
37% auf Ignoranz, Sorglosigkeit und Fahrlässigkeit
27% auf mangelhafte Kenntnis
14% auf Unterschätzen von Einflüssen
10% auf Vergeßlichkeit und Irrtümer
6% auf ungerechtfertigtes Verlassen auf andere
6% auf objektiv unbekannte Situationen und Einflüsse
4
11
72
40
20
22
18
49
9
5
13
22
48
20
46
20
15
40
8
20
13

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
zurückzuführen. Von allen Fehlhandlungen hätten 55% durch eine gut konzipierte Qualitätssicherung
entdeckt und beseitigt werden können. Nur bei 13% wäre eine Entdeckung unwahrscheinlich.
Natürlich sind menschliche Fehler in hohem Maße ebenfalls Zufallserscheinungen und eine Reihe
von interessanten Ansätzen zu ihrer Modellierung wurden vorgebracht. Ihren Folgen kann man
aber kaum durch verschärfte Vorschriften in den Regelwerken begegnen, obwohl in der Ingenieurpraxis
vielfach die zweifelhafte Auffassung zu hören ist, daß der (reichlich gewählte) Sicherheitsbeiwert
alle Fehler im Entwurf, in der Bemessung, bei der Errichtung und der Nutzung unterhalb
der groben Fahrlässigkeit abdeckt. Man muß vielmehr ihr Auftreten durch gute Ausbildung der
Betroffenen, ein angenehmes Arbeitsklima, eine angemessene Vergütung der Arbeiten, etc., vermeiden
und sie gegebenenfalls durch (unabhängige) Kontrollen entdecken und beseitigen [81] .
Aber auch eine Kontrolle kann nicht perfekt sein. Ihre Wirksamkeit muß zudem stark von der
Komplexität der Aufgabe abhängen. Auch hier gibt es Modellierungsansätze.
In Kapitel 2 werden zunächst an einfachen Beispielen die wichtigsten Begriffe und Zusammenhänge
erläutert. Danach wird in Kapitel 3 die sogenannte Zuverlässigkeitstheorie I. Ordnung für
zeitinvariante Zuverlässigkeitsaufgaben vorgestellt. Verschiedene Monte Carlo Simulationsmethoden
werden wegen ihrer leichten Verständlichkeit und Realisierbarkeit in Anhang A aufgeführt.
Die asymptotische Zuverlässigkeitstheorie II. Ordnung 4 mit auf ihr beruhenden Simulationsverfahren
in Anhang B kann beim ersten Studium des Textes übergangen werden. Die Einführung in
die Zuverlässigkeitstheorie bei Systemen 5 wird jedoch empfohlen. Eine Anwendung auf Tragsysteme
erfolgt erst in Kapitel 8. Auch wesentliche Teile des Kapitels über stochastische Modelle 6
werden für das Verständnis späterer Kapitel benötigt. Im ausführlichen Kapitel 7 über zeitvariante
Zuverlässigkeitsaufgaben werden viele wichtige Berechnungsansätze vorgestellt. Das Kapitel 9
informiert über zuverlässigkeitsorientierte Optimierung auf der Basis der Erneuerungstheorie sowie
über zweckmäßige Rechenverfahren denen auch Anhang G gewidmet ist. Die Frage nach dem
akzeptablen Risiko wird schließlich in Kapitel 10 nachgegangen. Den ersten Teil des Textes beschließt
ein Abschnitt 11 über die Normung im konstruktiven Ingenieurbau. Den Text begleiten
viele Beispiele. Diese sollen nicht nur die theoretischen Zusammenhänge illustrieren. Sie enthalten
aber auch viele Einsichten, die im Haupttext nicht ausgeführt werden.
14

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Einführung in Zuverlässigkeitsaufga-
Kapitel 2.
ben
2.1. Begriffe, Versagenswahrscheinlichkeit als Volumenintegral
Wir betrachten als Einführung zunächst den folgenden Sonderfall. Der Zustand eines Tragwerks
hänge von einer Reihe von unsicheren Größen ab, die in einem Vektor X von Zufallsvariablen
zusammengefaßt werden können. Bei einem mittig durch eine Einzellast L und durch das gleichmäßig
verteilte Eigengewicht D belasteten einfachen Balken mit der Werkstoffestigkeit R ist beispielsweise
X = (L, D, R) T ,wennD, L, und R als unsichere, zufällige Variable aufgefaßt
werden. Den Vektor X nennen wir Vektor der Basisvariablen. Daneben hat man in der Regel
noch einen deterministischen Parametervektor p. Hier entält er das Widerstandsmoment w und
die Spannweite `, d.h. p =(w, `) T . In Abänderung der gewöhnlichen Notation im Ingenieurwesen
werden die zufälligen Variablen durchgängig mit großen Buchstaben gekennzeichnet und
die Parameter mit kleinen Buchstaben. Wir betrachten zunächst nur die zwei wesentlichen Zustände
des Tragwerks, den gebrauchsfähigen bzw uneingeschränkt verfügbaren Zustand und
den Bruch- oder Versagenszustand. Offenbar geht das Tragwerk in den Versagenszustand über,
wenn das durch die Lasten erzeugte Biegemoment in Balkenmitte das Bruchmoment, hier definiert
durch Erreichen der Festigkeit in einer Randfaser des Balkens, übersteigt. Das ist immer
dann der Fall, wenn sich der Zufallsvektor X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) T im sogenannten Versagensbereich
V = {Rw − D`2/8 − L`/4 ≤ 0} realisiert (vergl. Abb. 2.1). Der Versagensbereich
wird also durch die Funktion g(x, p) ≤ 0 beschrieben. g(., .) nennt man Zustandsfunktion,
g(., .) > 0 bezeichnet die intakten, volle Gebrauchsfähigkeit gewährleistende Zustände, g(., .) =0
den sogenannten Grenzzustand und g(., .) ≤ 0 die ungewollten Versagenszustände. Weder der
Vektor X noch der Vektor p hängen von einem weiteren Parameter, etwa der Zeit, ab. Dann ist
F = {X ∈ V } das Versagensereignis und eine Hauptaufgabe der Zuverlässigkeitstheorie besteht
darin die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis zu berechnen, wenn X nach F (x) verteilt ist. Hier
und im folgenden nehmen wir an, daß X auch eine Dichte f X (x) hat.
Z
Z
P f = P (F )= dF X (x) = f X (x)dx (2.1.1)
V
Das Tragwerk versagt somit bei Erstbelastung mit Wahrscheinlichkeit P f oder nie. P f heißt Versagenswahrscheinlichkeit
(probability of failure). Die Gegenwahrscheinlichkeit zur Versagenswahrscheinlichkeit
ist die Überlebenswahrscheinlichkeit (survival probability) oder Zuverlässigkeit
(reliability) P r =1− P f . Aus Gl. (2.1.1) wird eines der Hauptprobleme der Zuverlässigkeitstheorie
bereits deutlich. Man muß, da der Vektor der Basisvariablen oft hochdimensional ist,
mehrdimensionale Volumenintegrale über z.T. kompliziert berandete Bereiche berechnen.
Der zweidimensionale Fall, d.h. bei dem V = {R ≤ S}. wobei R eine (verallgemeinerte) Widerstandsvariable
und S eine (verallgemeinerte) Einwirkung, läßt sich in manchen Fällen analytisch
berechnen. Sonst kann man numerisch integrieren. Wir nehmen an, daß R und S unabhängig sind
und nach R ∼ F R (r) bzw. S ∼ F S (s) verteilt sind. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis R ≤ s
ist P (R ≤ s) =F R (s). Mitf S (s)ds der Wahrscheinlichkeit für s ≤ S ≤ s + ds erhält man (vergl.
V
15

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
L
D
R w
Abb. 2.1.Bezeichnungen für einführendes Beispiel
Bild 2.2)
P f =
Z ∞
Z s
−∞
−∞
f R (r)f S (s)dr ds =
Z ∞
Z s
−∞
−∞
f R (r)dr f S (s)ds =
Z ∞
−∞
F R (s)f S (s)ds (2.1.2)
Beispiel 2.1.1.1: Versagenswahrscheinlichkeit bei unabhängig exponential-verteilter Beanspruchung
S und gleich-verteilter Beanspruchbarkeit
Für die angenommenen Verteilungen, d.h. der Dichte f R (r) =1/b;0 ≤ r ≤ b, b ≥ 0, für die
Beanspruchbarkeit und der Dichte f S (s) =a exp[−as]; s, a ≥ 0 für die Beanspruchung ergibt Gl.
(2.1.2)
P f =
Z b
0
s
b aexp[−as]ds = a exp[−as]
(−as − 1)| b
b a 2 0 = 1 (1 − exp[−ab]) (1)
ab
Die Integration wird natürlich nur über den Definitionsbereich der Variablen erstreckt. Wenn die
Beanspruchung S größer als die maximale Beanspruchbarkeit r = b wird, erfolgt natürlich immer
Versagen. Also ist
P f = 1 (1 − exp[−ab]) + exp [−ab] (2)
ab
#
Die numerische Integration von Gl. (2.1.1) erfordert gewisse Vorkehrungen. Es ist zweckmäßig
von
Z
Z ∞ Z ∞ Z xn=g −1 (x 1,x 2,...,x n−1)
P f = f X (x)dx = ···
f X (x 1 ,x 2 , ..., x n )dx n dx n−1 ...dx 1
g(x)≤0
−∞ −∞ −∞
(2.1.3)
auszugehen, wobei die Integration nur über den Definitionsbereich der jeweiligen Variablen zu
erstrecken ist. Wenn die Integrationsgrenzen tatsächlich ±∞ sind, führt man am besten eine Variablentransformation
durch, z.B. x i =1/t i ,so daß das Integral R ∞
f(x)dx mit c einer geeigneten
−∞
Konstanten zu R 0 f(1/t)
dt + R c
f(x)dx + R 1/c f (1/t)
dt wird. Die eigentliche Integration führt
−1/c t 2
−c 0 t 2
man dann mit einem geeigneten Verfahren, z.B. Gauß-Legendre Integration durch. Das ist auch
heute selbst bei Verwendung schneller Rechenanlagen in höheren Dimensionen außerordentlich
aufwendig und nicht mehr genau. Im folgenden werden jedoch Alternativen vorgestellt.
Die vorstehende Einteilung des Verhaltens des Tragwerkes in zwei Zustände reicht häufig nicht aus.
Ein reales Tragwerk wird sich bei Belastung zunächst rein elastisch verhalten, d.h. es wird nach
16

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
f (r)
R
f (s)
S
Einw irkung
Widerstand
ds
r,s
Abb. 2.2.Versagenswahrscheinlichkeit im zweidimensionalen Fall
Entlastung in seine Ausgangslage zurückkehren. Innerhalb dieses Bereiches der Belastungen kann
es jedoch eine Last geben, für die die Gebrauchsfähigkeit (auch Gebrauchstauglichkeit), etwa
durch zu große Verformungen, bereits eingeschränkt ist. Dafür ist es zweckmäßig, auch Grenzzustände
der Gebrauchsfähigkeit definieren. Ein Beispiel ist V s = {h(X) − f 0 ≤ 0}. Darin
ist h(X) die vom Zufallsvektor X abhängige Verformung und f 0 eine vorgegebene Grenzverformung.
Der Index s (von serviceability limit state) weist darauf hin, daß es sich um ein ’’Versagen’’
gegenüber einer Gebrauchsfähigkeitsforderung handelt. Entsprechend bezeichnet man den oben
betrachteten Zustand des Verlustes der Tragfähigkeit mit dem Index u (von ultimate limit state).
Schließlich können bei Belastung irreversible Verformungen, z.B. durch Plastifizierungen, eintreten.
Bei anschließender Entlastung verbleiben Schäden, im allgemeinen bis Reparatur sie beseitigt.
Den zugehörigen Grenzzustand der Reversibilität bezeichnen wir hier mit dem Index r (von
reversible limit state). Oft gilt V u ⊆ V r ⊆ V s . Man beachte aber, daß die verschiedenen physikalischen
Versagenszustände z.T. in verschiedenen Räumen bezüglich der beteiligten Variablen
formuliert werden und daher die vorstehende Relation nicht notwendigerweise gültig ist. Tatsächlich
bezogen sich die Erörterungen im einführenden Beispiel auf einen solchen Grenzzustand. Im
weiteren werden wir im allgemeinen nicht besonders darauf hinweisen müssen, um welchen physikalischen
Versagenszustand es sich handelt, da sich das aus dem Zusammenhang ergibt. Wichtig
ist, daß für jede Zustandsbeschreibung eine binäre Beschreibung gilt und jede Realisation im jeweiligen
Bereich V als Versagenszustand bezeichnet wird.
2.2. Einflüsse auf die Versagenswahrscheinlichkeit
2.2.1. Unabhängige normalverteilte Basisvariable und linear begrenzte
Versagensbereiche
Es sei angenommen, daß der Vektor der Zufallsvariablen in Gl. (2.1.1) ein unabhängiger, standardnormaler
Zufallsvektor ist, d.h. U ∼ N n (0 ; I). Eine solche Darstellung kann, wie weiter
unten noch gezeigt wird, immer erreicht werden. Weiter sei F = {U ∈ V } das Versagensereignis
und V = {a T u + a 0 ≤ 0} der Versagensbereich. Die Fläche ∂F = {a T u + a 0 =0} wird
als Versagensfläche oder als Grenzzustandsfläche bezeichnet. Die Standardform (Hesse’sche
17

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Normalform) ist:
∂F = a T u + a 0 = aT
kak u + a 0
kak = αT u + β =0 (2.2.1.1)
mit α T = aT
kak , β = a 0
kak , kαk =(P α i 2 ) 1/2 ,sodaßkαk =1.
Die Größe Z = α T U ist ebenfalls normalverteilt mit dem Mittelwert E[Z] = E[α T U] =
α T E[U] =0und der Varianz Var[Z] =Var[α T U]=α T Iα = α T α =1 2 . Daher ist für
2
Wir betrachten zwei normale Variable X und Y und berechnen die Verteilung der Summe Z = X + Y .Hierzu
verwenden wir die sogenannte Faltungsformel. Es ist allgemein
Z Z
F Z (z) =
g(x,y)≤z
f X,Y (x, y)dx dy = −
Z ∞
∞−
Z g
−1
mit g −1 = g −1 (z,y). Änderung der Integrationsvariable x in z ergibt
Z ∞ Z z
F Z (z) = f X,Y (g −1 ,y) ¯
¯∂g−1 (z, y)
∂z ¯ dzdy
−∞
−∞
∞
f X,Y (x, y)dxdy
und somit
Z ∞
f Z (z) =
−∞
f X,Y (g −1 ,y) ¯
¯∂g−1 (z,y)
∂z ¯ dy
Für Z = aX + bY wird daraus mit x = z−by
a
f Z (z) =
und bei Unabhängigkeit der Variablen X und Y
f Z (z) =
und ∂g−1 (z,y)
∂z
Z ∞
1
−∞
Z ∞
−∞
= ∂x
∂z =a
|a| f X,Y ( z − by ,y)dy
a
1
|a| f X( z − by )f Y (y)dy
a
Das ist die genannte, allgemeine Faltungsformel. Die Dichte der normalverteilten Variablen X ist
"
f X (x) = √ 1 1
exp − 1 µ # 2 x − mX
2π σ X 2 σ X
und entsprechend für die Variable Y. Damit ergibt sich
Z "
1 ∞
f Z (z) =
exp − 1 2πσ X σ Y −∞ 2
"
1
=
exp − 1 2πσ X σ Y 2
mit u =1/σ 2 X +1/σ2 Y
Z ∞
−∞
und v =
mY
σ 2 Y
( µz 2 µ 2
)#
− y − mX y − mY
+
dy
σ X σ Y
( µz 2 µ 2
)# Z − ∞
mX mY
+
exp
σ X σ Y −∞
+ z−mX . Dann ist
σ 2 X
·
− 1 ¡ ¢¸
uy 2 − 2vy dy
2
·
exp − 1 ¡ ¢¸ Z ∞
·
uy 2 − 2vy dy = exp − 1 ¡ 2¢¸
uy 2 − 2vy + y 2 − y dy
2
−∞ 2
18

V e rs a g e n s w a h rs c h e in lic h k e it
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
F = {α T u + β ≤ 0}
Z
P f = P (F )=
V
ϕ n (u)du = P (Z ≤−β) =Φ(−β) (2.2.1.2)
ϕ n (u) ist die n-dimensionale standardnormale Dichte mit Korrelationskoeffizientenmatrix I =
{δ ij }(δ ij =Kronecker δ-Symbol mit δ ii =1für i = j und δ ij =0für i 6= j).
ϕ n (u) =
nY
(2π) −1/2 exp[−u 2 i /2] = (2π)−n/2 exp[− 1 2 uT u]=(2π) −n/2 exp[− 1 2 kuk2 ]
i=1
In Bild 2.3 ist der Zusammenhang zwischen P f und β dargestellt.
1
0.1
0.01
1 10 3
1 10 4
1 10 5
1 10 6
1 10 7
1 10 8
1 10 9
1 10 10
0 1 2 3 4 5 6
Abb. 2.3.Zusammenhang zwischen Versagenswahrscheinlichkeit und β
β
(2.2.1.3)
Beispiel 2.2.1.1: Normalverteilte Einwirkung und normalverteilter Widerstand
Mit diesem analytischen Resultat kann man einige grundlegende Einsichten gewinnen. Ein System
habe den Widerstand R ∼ N(m R ; σ R ) und sei der Einwirkung S ∼ N(m S ; σ S ) ausgesetzt. R
und S seien unkorreliert. Dann ist mit X i = U i σ i + m i :
V = {R − S ≤ 0} = {U R σ R + m R − (U S σ S + m S ) ≤ 0}
σ R
σ
= { p U R − p S
U S + p m R−m S
≤ 0} = {α R U R + α S U S + β ≤ 0}
σ
2
R + σ 2 S σ
2
R + σ 2 S σ
2
R + σ 2 S
und mit w = y − v/u
Z ∞
−∞
·
exp − 1 ¡ ¢¸ ·
uy 2 − 2vy dy =exp − 1 2
2
Reduktion führt schließlich zu:
f Z (z) = 1 √
2π
1
p
σ
2
X
+ σ 2 Y
v 2 ¸ Z ∞
exp
·− 1 uw2¸ r · 2π
dy =
u −∞ 2 u exp − 1 2
⎡
exp ⎣− 1 2
Ã
! 2
⎤
z − (m X + m Y )
p ⎦
σ
2
X
+ σ 2 Y
v 2 ¸
u
Also ist die Dichte der Summe wiederum normalverteilt mit dem Mittelwert m Z = m X + m Y und der Varianz
σ 2 Z = σ2 X + σ2 Y
. Dieses Ergebnis kann man rekursiv für n Variable anwenden..
19

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Daher ist:
Ã
!
P (V )=Φ(−β) =Φ −p m R−m S
σ
2
R
+ σ 2 S
(2)
Man sieht hier, daß man durch Umformung der Versagensgleichung die sogenannte Hessesche
Normalform einer Geradengleichung erreicht wird. β ist der Abstand der Gerade vom Ursprung
und die α ´s entsprechen den Richtungscosinus. Auch der Einfluß der Verteilungsparameter wird
deutlich. β ist proportional zur Differenz der Mittelwerte und umgekehrt proportional zur Wurzel
der Summe der Varainzen der beteiligten Variablen.
#
2.2.2. Korrelierte normalverteilte Variable und linear begrenzte
Versagensbereiche
Das Ergebnis gilt auch für korrelierte und nicht standardnormalverteilte Variable. Es ist nämlich
immer möglich korrelierte, nicht standard normalverteilte Variable durch unkorrelierte, standardnormalverteilte
Variable darzustellen. War ursprünglich eine nicht standardnormale Variable
gegeben, so stellen wir X wie folgt dar
X ∼ N n (m ; Σ) (2.2.2.1)
X − m = CU (2.2.2.2)
und bestimmen die Matrix C so, daß die linke und rechte Seite von Gl. (2.2.2.2) die gleiche Kovarianzmatrix
P = {σ ij ; 1 ≤ i, j ≤ n} haben. Da jede Kovarianzmatrix symmetrisch und positiv
definit ist, kann C als untere Dreiecksmatrix gewählt werden, d.h. c ij =0für j>i. Es gelten die
Bestimmungsgleichungen
Var(X i − m i )=σ ii =
iX
c 2 ik (2.2.2.3)
k=1
Cov((X i − m i )(X j − m j )) = σ ij =
iX
c ik c jk (2.2.2.4)
k=1
Also kann X immer durch eine Linearkombination unkorrelierter, standardnormaler Variablen dargestellt
werden. Die entsprechende Transformation besteht aus einer Verschiebung des Koordinatenursprungs,
einer Skalierung der Achsen und einer Koordinatendrehung so, daß im transformierten
Raum definitionsgemäß alle Variablen unkorreliert und standardnormal werden. Das ist
in Abb. 2.4 dargestellt. Unkorrelierte normalverteilte Variable sind auch unabhängig.
Anschaulich gesprochen handelt es sich um eine Translation, so daß die Mittelwerte zum Koordinatenursprung
werden. Danach wird eine Drehung des Koordinatensystems durchgeführt derart,
daß die Variablen unkorreliert werden, d.h. alle Kovarianzen außerhalb der Diagonalen werden
zu Null. Schließlich werden die Achsen im neuen Koordinatensystem durch Division der jeweiligen
Standardabweichungen neu skaliert (vergl. Bild 3.1.2). Ein geeigneter Algorithmus für die
’’Entkorrelierung’’ wird erst in Abschnitt 6.1.2 vorgestellt.
20

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
u
r
r
Sicherer
Bereich
Linien gleicher
W ahrscheinlichkeitsdichte
Sicherer
Bereich
u
s
β
Versagensbereich
Versagensbereich
s
Abb. 2.4.Standardisierung des Basisvariablenraumes und geometrischer Sicherheitsindex
Beispiel: 2.2.2.1: Korrelierte Variable
Zwei Variable R und S haben die Kovarianzmatrix
⎡
P
R,S = ⎣ σ2 R
ρ R,S σ R σ S
ρ R,S σ R σ S
σ 2 S
⎤
⎦
(1)
Der Sicherheitsabstand oder die Sicherheitszone M = R − S hat den Mittelwert
und die Varianz
und daher ist
m M = m R − m S (2)
σ 2 M = σ 2 R + σ 2 S − 2σ R σ S ρ R,S (3)
P (V )=P (M ≤ 0) = P (Z ≤−β) =Φ(−β) (4)
mit β = m M /σ M . Bild 2.5 veranschaulicht für V R = V S =0.3 den großen Einfluß von Abhängigkeiten
auf die Versagenswahrscheinlichkeit.
#
2.2.3. Versagenswahrscheinlichkeit und Teilsicherheitsfaktoren
Mit dem ’’zentralen Sicherheitsfaktor’’ γ 0 = m R /m S , der das Verhältnis der Mittelwerte von R
und S angibt, und den Variationskoeffizienten V i = σ i /m i (i = R, S) erhält man:
γ
β = 0 − 1
p
γ
2
0 VR 2 + V (2.2.3.1)
S
2
Daraus folgt, daß P (V ) mit wachsendem γ 0 , d.h. dem Abstand der beiden Mittelwerte sinkt, aber
mit den Streungen von R und S wächst. Bei großem V ist diese Beziehung nicht gut brauchbar,
21

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
3
β
2.5
2
1.5
1 0.5 0 0.5 1
Abb. 2.5.Einfluß der Korrelation zwischen Einwirkung und Widerstand auf die Versagenswahrscheinlichkeit
weil die Versagenswahrscheinlichkeit fast ausschließlich von den negativen R bestimmt wird, die
für Festigkeiten definitionsgemäß nicht existieren.
MankanneinenSicherheitsfaktor auch auf andere Werte in den Verteilungen für R und S beziehen.
Beispielsweise definiert die Beziehung
x ki = m i + u pi σ i = m i (1 + u pi V i )
die charakteristischen Werte der i − ten Variable als Fraktilen, wenn u pi der Merkmalswert
der Standardnormalverteilung zur Wahrscheinlichkeit p i ist. Für dieGröße R nimmt man einen
Wert im unteren Bereich der Verteilung. u p wird negativ. Für p =0.05 ist z.B. u p = −1.645.
Für die Einwirkungsgröße S wählt man einen hohen Wert, z.B. u p =2.054, dem eine Überschreitungswahrscheinlichkeit
von 0.02 entspricht. Der entsprechende (dezentrale oder periphere)
Sicherheitsfaktor ist dann durch
γ k = r k /s k = m R (1 + u p,R V R )/(m S (1 + u p,S V S )) = γ 0 (1 + u p,R V )/(1 + u p,S V S ) (2.2.3.2)
definiert.
Beispiel 2.1.2.1: Lognormal verteilte Variable
Man sagt, daß eine Variable Y lognormal verteilt ist, wenn ihr Logarithmus X = lnY normalverteilt
ist. Dabei hängen Mittelwert und Varianz mit den Parametern ξ und δ der Lognormalverteilung
nach E[X] =lnξ = lnm − 1 2 δ2 ≈ lnm und σ 2 ln = δ2 =ln(1+V 2 ) ≈ V 2 zusammen. Da
P f = P (R − S ≤ 0) = P (R/S ≤ 1) = P (ln(R/S) ≤ 0) = P (lnR − lnS ≤ 0), ermittelt man
durch elementare Rechnung mit γ o = m R /m S
Ã
! ⎛
q
1+V 2
⎞
P f = Φ − m ln R − m
p ln S
ln(γ S
Ã
!
0 )
1+VR = Φ ⎝−p 2 ⎠
σ
2
ln R
+ σ 2 ln S
ln((1 + V
2
R )(1 + VS 2)) ≈ Φ − ln γ 0
p (1)
V
2
R + VS
2
Diese Formel ist für jedes V, dieNäherung nur für kleineV i (i = R, S), gültig und kann für Abschätzungen
verwendet werden. Allerdings weist die Lognormalverteilung hohen Werten von S
bei großem V S in der Regel zu große Wahrscheinlichkeiten zu. In diesem Fall ist außerdem mit
den Bezeichnungen von oben γ k = γ 0 exp(u p δ R − u q δ S ).
ρ
22

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
β
10
8
6
4
2
peripher
global
0
0 1 2 3 4 5 6
γ
Abb. 2.6.Abhängigkeit des Zuverlässigkeitsindexes von globalen bzw, peripheren Sicherheitsbeiwert
#
2.2.4. Einfluß der Verteilungsfunktionen
R und S seien nun unabhängig, aber nicht mehr normalverteilt. Nach Gl.(2.1.1.2.) ist:
Z
P f = P (R − S ≤ 0) = f S (s)F R (s)ds (2.2.4.1)
Wir machen uns keine (tatsächlich vergebliche) Mühe, für die ausgewählten Verteilungsfunktionen
Normalverteilung: F (x) =Φ( x−m ) σ
Lognormalverteilung: F (x) =Φ( ln(x)−ln(ξ) )
δ
Gumbelverteilung: F (x) =exp(− exp(−α(x − u)))
Weibullverteilung: F (x) =1− exp(−(x/w) k )
mit
ξ = m exp(−δ 2 /2), δ 2 =ln(1+(σ/m) 2 );
u = m − 0.45σ, α =1.283/σ;
w = m/Γ(1/k +1), σ 2 = w 2 (Γ(2/k +1)− Γ 2 (1/k + 1));
eine analytische Lösung zu suchen, sondern integrieren numerisch. Diese Verteilungsfunktionen
sind zum Vergleich in Bild 2.7 auf Normalverteilungspapier dargestellt. Man erkennt, daß größere
Unterschiede für die extremen Bereiche auftreten.
Aus Bild 2.8 ersieht man, daß die Wahl des stochastischen Modells (Verteilungsfunktion) besondere
Sorgfalt erfordert. Die Unterschiede werden mit wachsendem Variationskoeffizienten und kleiner
werdender Versagenswahrscheinlichkeit (wachsendes γ 0 ) immer größer.
2.2.5. Einfluß statistischer Unsicherheiten
Wir haben bisher angenommen, daß die Verteilungsparameter bekannt und fest sind. Das ist in Anwendungen
ein sehr seltener Fall. Im allgemeinen müssen die Parameter aus statistischen Daten
geschätzt werden und sind somit selbst unsichere Variable. Strenggenommen ist die Versagenswahrscheinlichkeit
eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
V
P f (q) =P (X ∈ F |Q = q) (2.2.5.1)
23

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Abb. 2.7.Verschiedene Verteilungsfunktionen im normalen Wahrscheinlichkeitsnetz
mit q dem unbekannten Parametervektor. Die unbedingte Versagenswahrscheinlichkeit ergibt sich
nach:
Z Z
P f = dF X (x|q)dF Q (q) (2.2.5.2)
Q
V
Wir nehmen beispielsweise an, daß m X , der Index ” X ” bezeichne eine Festigkeit, mittels einer
Stichprobe vom Umfang n durch den Stichprobenmittelwert geschätzt wurde. Dieses Stichprobenmittel
streut bekanntlich mit Var(X) =σ 2 /n um x. War X normalverteilt, so ist auch X
normalverteilt. Dann kann man nach leichter Rechnung folgendes Resultat erhalten:
Z ∞ Z ∞
P f = f S (s)F X (s|X = t)ds f X (t| , σ X / √ Ã
!
x − m
n)dt = Φ −p S
−∞ −∞
σ2 (1 + 1/n)+σ 2 S
(2.2.5.3)
Die Parameter der Stichprobe gehen also in das Endergebnis ein. Sie können die Standardabweichung
der Sicherheitszone merklich vergrößern und damit auch die Versagenswahrscheinlichkeit.
Bild 2.9 veranschaulicht dies für ein Beispiel.
0.01
1 10 3
log(Pf)
1 10 4
0 20 40 60 80 100
log(P f ) über Stichprobenumfang für Mittelwert normalverteilter Festigkeiten (V = 0.3)
2.2.6. Ein zeitvariantes Zuverlässigkeitsproblem
Wir behandeln wieder den einfachen R − S-Fall. Ein System sei einer Folge von unabhängigen,
identisch verteilten Beanspruchungen in regelmäßigen Zeitabständen ausgesetzt. Gefragt ist
n
24

V e rs a g e n s w a h rs c h e in lic h k e it
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1
0.1
0.01
1 10 3
No/No
Gu/We
No/W e
1 10 4
Gu/Ln
1 10 5
No/Ln
1 2 3 4 5
γ
Abb. 2.8.Versagenswahrscheinlichkeit für verschiedene stochastische Modelle für Einwirkung und Widerstand
die Versagenswahrscheinlichkeit für n derartige Belastungen. Das System überlebt, wenn alle n
Belastungen kleiner als der Widerstand des Systems bleiben, oder, anders ausgedrückt, wenn das
Maximum der Folge {S i } kleiner als der zufällige Widerstand R bleibt. Die Verteilungsfunktion
von S max ist
n\
P (S max ≤ s) =P ( {S i ≤ s} = F n (s) =F n (s) (2.2.6.1)
i=1
Daher ist bei Unabängigkeit zwischen R und S i
P f (n) =1−
Z ∞
−∞
F n (r)f(r)dr (2.2.6.2)
F n (s) ist in n nicht wachsend. Also ist P f (n) nicht fallend. Wenn S nach oben unbeschränkt ist,
wird Versagen fürgroße n zu einem fast sicheren Ereignis.
25

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 3.
(FORM)
Zuverlässigkeitstheorie 1. Ordnung
3.1. Der Begriff des Sicherheits- oder Zuverlässigkeitsindex
Es ist zweckmäßig zunächst den im weiteren vielfach verwendeten Begriff des Sicherheits- oder
Zuverlässigkeitsindex einzuführen. Es sei die Zuverlässigkeit eines Zugstabes mit dem Durchmesser
X 3 und der Festigkeit X 2 unter der Last X 1 zu bestimmen (vergl. Abb. 3.1).
X
3
X 2
X
1
Abb. 3.1.Zugstab mit Festigkeit X 2 und mit kreisförmigem Querschnitt X 3 unter Last X 1
Die drei Variablen seien unabhängig und log-normalverteilt nach X i ∼ LN(ξ, δ). Man sagt, daß
eine Variable Y lognormal verteilt ist, wenn ihr Logarithmus X = lnY normalverteilt ist. Dabei
hängen Mittelwert und Varianz mit den Parametern ξ und δ der Lognormalverteilung nach E(X) =
lnξ = lnm − 1 2 δ2 ≈ lnm und σ 2 ln = δ2 =ln(1+V 2 ) ≈ V 2 zusammen.Ein Sicherheitsfaktor
sei definiert durch Γ =(π/4)x 2 x 3 2 /x 1 . Versagen tritt für Γ ≤ 1 auf. Die Versagensfunktion ist
deutlich nichtlinear. Also ist unter Verwendung von x i = u i δ i + ξ i
V = {(π/4)x 2 x 3 2 /x 1 ≤ 1} = {Γ ≤ 1} = {ln(π/4) + ln x 2 +2ln x 3 − ln x 1 ≤ 0}
= {ln(π/4) + (u 2 δ 2 + ξ 2 )+2(u 3 δ 3 + ξ 3 ) − (u 1 δ 1 + ξ 3 ) ≤ 0} (3.1.1)
Das ist eine Versagensfläche, die in den Variablen u i linear ist, nicht dagegen in den urprünglichen
Variablen x i . Aus Gl. (2.2.1.2) folgt:
mit
P (V )=Φ(−β) (3.1.2)
β = ln(π/4) + ξ 2 +2ξ 3 − ξ 1
(δ 2 2 +4δ 2 3 + δ 2 1) 1/2 (3.1.3)
Dieses Ergebnis ist exakt. Wählt man insbesondere m =(6, 2, 3) T und σ 2 =(1.8 2 , 0.4 2 , 0.3 2 ) T ,
so erhält man P (V )=Φ(−β) =Φ(−2.196) = 1.41 · 10 −2 .
Für beliebige Verteilungsfunktionen aber dürfte kaum eine analytische Lösung existieren. Außerdem
kann sich die Versagenswahrscheinlichkeit je nach stochastischem Modell für dieVaria-
26

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
blen bei gleichbleibenden Mittelwerten und Varianzen merklich ändern. Frühzeitig hat man daher
vorgeschlagen, durch die Definition eines gröberen Sicherheitsmaßstabes, dem Sicherheitsindex,
nicht nur die Empfindlichkeit des Ergebnisses im Hinblick auf das gewählte stochastische Modell
abzuschwächen, sondern auch mit wenigen Informationen, nämlich nur mit der Kenntnis von Mittelwert,
der Varianz und gegebenenfalls den Kovarianzen auszukommen. Zudem kann dann der
Erwartungswertkalkül eingesetzt werden, gegebenenfalls nach Entwicklung der Grenzzustandsfunktion
in eine Taylorreihe. Diese Vorschläge führen leider nur zu sehr groben und auch nicht
eindeutigen Näherungen. Das kann an dem bereits beschriebenen Beispiel demonstriert werden.
Die folgenden Versagensbereiche sind einander mathematisch äquivalent, mechanisch basieren sie
auf ganz unterschiedlichen Vorgehensweisen.
n π
4 x 2x 2 3 − x 1 ≤ 0o
V 1 =
V 2 =
V 3 =
V 4 =
½
x 2 − x ¾
1
π
≤ 0
4 x2 2
n π
4 x2 3 − x 1 /x 2 ≤ 0o
½ π
4
¾
x 2 x 2 3
− 1 ≤ 0
x 1
(3.1.4)
Im ersten Fall erfolgt der Nachweis im Raum der Schnittgrößen, im zweiten im Raum der Spannungen,
im drittten im Raum der Flächen und im vierten im Raum der Sicherheitsfaktoren. Anwendung
des Erwartungswertkalküls nach Linearisierung auf die erste Form bei Entwicklung in
den Mittelwerten liefert
und daraus
M 1 = g 1 (X) ≈
3X
i=1
∂g 1 (m)
∂x i
(X i − m i )
≈ π 4 m 2m 2 3 − m 1 − (X 1 − m 1 )+ π 4 m2 3(X 2 − m 2 )+ π 2 m 2m 3 (X 3 − m 3 )
E [M 1 ]=−m 1 + π 4 m 2m 2 3 und Var[M 1 ]=σ 2 1 +( π 4 m2 3σ 2 ) 2 +( π 2 m 2m 3 σ 3 ) 2
Ähnlichwirdfür die anderen Formulierungen vorgegangen. Der Sicherheitsindex
β C = E[M]
D[M]
(3.1.5)
wird häufig nach Cornell benannt [32] . M wird Sicherheitszone oder Sicherheitsmarge genannt.
Die Berechnung für das Beispiel zeigt nun β C,1 =1.86, β C,2 =2.29, β C,3 =2.29 und
β C,4 =1.40. Das bedeutet, daß der Sicherheitsindex nach Cornell nicht invariant gegenüber der
gewählten mechanischen Formulierung ist. Da er ferner nur erste und zweite Momenteninformation
benutzt, können Wahrscheinlichkeitsaussagen allenfalls vom Typ der Tschebyscheffschen
27

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Ungleichung sein. Im vorliegenden Fall gilt z.B. 3 :
P f,T ≤ min{1,
1
1+β 2 } (3.1.6)
Für β C,1 =1.86 ist beispielsweise P f,T =2.24 · 10 −1 , ein Wert, der mit dem exakten Resultat
P f =1.41 ·10 −2 zu vergleichen ist, oder, wenn man im Sinne des ’’Fehlerfortpflanzungsgesetzes’’
M 1 als normalverteilte Variable annimmt, mit P f =3.14 · 10 −2 . Hiermit ist illustriert, daß
(1) das ’’Fehlerfortpflanzungsgesetz’’ nach entsprechender Linearisierung des mechanischen Zusammenhangs
auch als Näherung wenig brauchbar ist und zwar, weil es nicht invariant gegenüber
der speziellen Formulierung des Problems ist und weil die Annahme der Normalverteilung
für die Ausgangsgröße M zumindest in den extremen Bereichen häufig nicht angemessen ist
und
(2) eine strikte Anwendung der Tschebyscheffschen Ungleichung zu kaum brauchbaren Wahrscheinlichkeitsabschätzungen
führt.
Die Invarianz gegenüber der mechanischen Formulierung wurde jedoch von Hasofer und Lind
[67] durch eine Modifizierung erreicht. Sie definierten
q
β HL =min{
(x − m) T Σ −1
X
(x − m)} für {x : g(x) ≤ 0} (3.1.7)
als Sicherheitsindex. Dabei ist P die Kovarianzmatrix von X. Nach Standardisierung derart, daß
die Variablen U = P −1/2
X
(X − m) unkorreliert werden mit Mittelwert Null und Varianz Eins,
erhält man
β HL =min{ √ u T u} =min{kuk} für {u : g(u) ≤ 0} (3.1.8)
Dieser Sicherheitsindex β HL hängt ebenfalls nur von den ersten und zweiten Momenten der beteiligten
Variablen ab. Gl. (3.1.8) fordert, daß der minimale Abstand β zwischen der Grenzzustandsfunktion
und dem Koordinatenursprung mithilfe eines geeigneten Verfahrens zu finden ist. Das
ist deswegen ausreichend, weil der neue Raum unkorrelierter Variabler offensichtlich rotationssymmetrisch
ist. Im sogenannten β-Punkt u ∗ , dem Punkt auf der Grenzzustandsfunktion, der die
Optimierungsbedingung in Gl.(3.1.8) erfüllt, müssen keine besonderen Eigenschaften erfüllt sein.
Insbesondere wird die Differenzierbarkeit der Versagensfläche nicht gefordert. Wendet man dieses
Verfahren auf das beschriebene Beispiel an, so findet man in allen drei denkbaren Formulierungen
der Gl. (3.1.4) denselben Sicherheitsindex β HL =2.12.
Damit ist aber nur die mechanische Invarianz hergestellt. Wahrscheinlichkeitsaussagen bleiben
nach wie vor unbefriedigend und von der Qualität von Gl. (3.1.6). Für Normalverteilungen können
aber zwei Resultate sofort angewendet werden. Wird durch den β-Punkt eine zu seinem Richtungsvektor
senkrechte Ebene gelegt, die als Näherung für die Grenzzustandsfunktion aufgefaßt
wird, ist Gl. (2.2.1.2) gültig,d.h.:
P (V ) ≈ Φ(−β HL ) (3.1.9)
3
Formel (3.1.6) ist strengenommen nicht richtig, da sie für eineskalareGröße gilt. Richtig wäre im vorliegenden
Fall eine Tschebyscheff ’sche Schranke in drei Dimensionen und mit der speziellen Form des Versagensbereiches.
Diese liegt jedoch nicht vor.
28

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Im allgemeinen wird dies nur eine grobe Näherung sein. Es können aber Schranken angeben
werden. Wenn u ∗ tatsächlich ein eindeutiger Minimumspunkt ist, gilt:
0 ≤ P (V ) ≤ 1 − χ 2 n(β 2 HL) (3.1.10)
χ 2 n(.) ist hierbei die sogenannte χ 2 −Verteilung mit Freiheitsgrad n. Die untere Schranke ist trivial.
Die obere Schranke ist für große n nicht mehr sehr nützlich weil viel zu groß. Trotzdem ist sie
wesentlich besser als die entsprechende Tschebyscheff-Schranke Gl. (3.1.6).
3.2. Nichtlinear begrenzte differenzierbare Versagensflächen
3.2.1. Zuverlässigkeitsmethode 1. Ordnung (FORM) im Standardraum
Es sei U =(U 1 ,...,U n ) T ein unabhängiger standardnormaler Vektor und der Versagensbereich sei
gegeben durch
V = {g(U) ≤ 0} = {α T U + β ≤ 0} (3.2.1.1)
mit g(0) > 0 and kαk =1. Dann ist die Versagenswahrscheinlichkeit
P f = P (F )=P (U ∈ V )=Φ(−β) (3.2.1.2)
u ∗ = −β α ist der sogenannte β-Punkt, α sein Richtungsvektor und β der (geometrische) Sicherheitsindex
β =+ku ∗ k (vergl. Abschnitt 2.2.1)
Das Standardnormalverteilungsintegral Φ(c) kann leicht mithilfe einer der üblichen Näherungen
berechnet werden. In Gl. (3.2.1.2) wurde zwischen Versagensereignis F und Versagensbereich V
unterschieden. Das ist formal richtig, aber hier nicht wirklich notwendig. Im folgenden werden
wir häufig P (V ) für P (U ∈ V ) und P (F ) verwenden.
Wir verallgemeinern nun dieses Ergebnis für nichtlineare differenzierbare Grenzzustandsfunktionen
g(u) =0.Hierzuwirdg(u) im β-Punkt, dessen Existenz vorausgesetzt wird, in eine lineare
Taylorreihe entwickelt. Der β-Punkt ist wie in Abschnitt 2.1.2 der Punkt auf g(u) =0mit dem
geringsten Abstand zum Ursprung. Für das Vorzeichen von β vereinbaren wir
β = { + ku∗ k für g(0) > 0
− ku ∗ k für g(0) ≤ 0
(3.2.1.3)
mit
β =min{ku ∗ k} für {u : g(u) ≤ 0} (3.2.1.4)
Die Suche von u ∗ ist ein Optimierungsproblem unter der Bedingung einer Ungleichungsrestriktion.
Wie bereits in Abschnitt 2.1.2.7 angedeutet, ist der β-Punkt ein natürlicher Entwicklungspunkt für
die Grenzzustandsfunktion, da die mehrdimensionale Dichte wie exp[−1/2 ku ∗ k 2 ] abfällt. In u ∗
ist diese Dichte für g(u) ≤ 0 maximal. Für die Wahrscheinlichkeitsschätzung wird unterstellt,
daß in einer ausreichend kleinen Umgebung von u ∗ die Menge g(u) ≤ 0 nicht leer ist, also die
zugehörige Wahrscheinlichkeit nicht gleich Null ist. Man erhält die Näherung
P f ≈ Φ(−β) (3.2.1.5)
29

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit einem für den Augenblick noch nicht abschätzbaren Fehler. Im einzelnen ist also u ∗ = βα
wobei α = −∇g(u ∗ )/ k∇g(u ∗ )k der negative, normalisierte Gradient von g(u ∗ )=0in u ∗ ist.
Die lineare Approximation für g(u) =0kann als h(u) =α T (u−u ∗ )=α T u+β =0geschrieben
werden. Gl. (3.2.1.5) ist aber sogar dann, wie erwähnt, eine allerdings grobe Näherung, wenn die
Grenzzustandsfläche in u ∗ nicht differenzierbar ist.
3.2.2. Ein einfacher Gradientenalgorithmus
Die Suche nach einem β-Punkt kann Mühe bereiten. Es ist zweckmäßig, zunächst nur den wichtigsten
Fall einer differenzierbaren Versagensfläche zu diskutieren. In Gl. (3.2.1.5) mit (3.2.1.4)
wurde die Zuverlässigkeitsberechnung im wesentlichen auf eine Optimierungsaufgabe mit einer
Nebenbedingung zurückgeführt. Wenn ein β-Punkt auf einer differenzierbaren Grenzzustandsfläche
existiert, d.h. auf g(u) =0,muß er nach Lagrange bis auf einen Faktor, gleich dem negativen
Gradienten der Versagensfläche in diesem Punkt sein, d.h. u ∗ = −λ∇g(u ∗ ). Mit dieser Aussage
läßt sich ein einfacher Suchalgorithmus konstruieren. Es sei u (k) eine Näherung für den Punkt
auf g(u), für den die Senkrechte auf der Tangentialebene zu g(u) durch den Ursprung geht. Wir
entwickeln g(u) in u (k) in eine nach dem linearen Glied abgebrochene Taylorreihe:
g(u (k+1) )=g(u (k) )+(u (k+1) − u (k) ) T ∇g(u (k) )=0 (3.2.2.1)
Auflösung nach u (k+1) und Normierung des Gradienten ergibt:
u (k+1) = ∇g(u(k) )
k ∇g(u (k) ) k 2 £
(u (k) ) T ∇g(u (k) ) − g(u (k) ) ¤ (3.2.2.2)
λ = −
£
(u ∗ ) T ∇g(u ∗ ) − g(u ∗ ) ¤
k ∇g(u ∗ ) k 2 (3.2.2.3)
In der Regel muß ∇g(u (k) ) als Vorwärts-, Rückwärts- oder sogar als zentraler Differenzenquotient
numerisch berechnet werden. Dieser Algorithmus konvergiert nicht immer. Man kann ihn aber
verbessern. Eine einfache, sichere Konvergenz erzeugende Modifikation ist
u (k+1) := κu (k+1) +(1− κ)u (k)
mit κ < 1 einer Zahl, die so zu wählen ist, daß die ° °u (k+1)° ° in jedem Schritt kleiner werden 4 .
Hinweise für allgemeine Suchalgorithmen enthält Anhang G.
4
Die Aufgabe läßt sichnachdemAnsatzvonLagrangelösen. Es sei eine beliebige Funktion f(x) unter der Nebenbedingung
g(x) ≤ 0 zu minimieren. Die dazugehörige Lagrangefunktion ist definiert durch:
L(x) =f(x)+λg(x)
λ wird Lagrangemultiplikator genannt. Die Bedingung für einen optimalen, regulären Punkt x ∗ (Kuhn-Tucker
Bedingungen [100] )lauten:
∇L(x ∗ ) = ∇f(x ∗ )+λ ∗ ∇g(x ∗ )=0
g(x ∗ ) ≤ 0
λ ∗ ≥ 0
30

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
3.2.3. Nichtnormale, unabhängige Basisvariable
Mittels einer Wahrscheinlichkeitstransformation ist es möglich die vorstehenden Ergebnisse auch
bei beliebig verteilten Zufallsvektoren anzuwenden. Tatsächlich existiert für jeden Zufallsvektor
X mit wenigstens bereichsweise differenzierbarer Verteilungsfunktion eine Transformation
derart, daß
X = T (U) (3.2.3.1)
P f = P (k(X) ≤ 0) = P (k(T (U)) ≤ 0) = P (g(U) ≤ 0) (3.2.3.2)
wobei die Abkürzung k(T (U)) = g(U) verwendet wurde. Für einen unabhängigen Vektor X mit
den Randverteilungen F i (x) gilt die Identität:
und daher [138] :
F i (x i )=Φ(u i ) (3.2.3.3)
X i = F −1
i [Φ(U i )] (3.2.3.4)
oder 5 U i = Φ −1 [F i (X i )] (3.2.3.5)
Beispiel 3.2.3.1: Transformation einer gumbelverteilten Variablen
Die erste Gleichung ist die Bedingung für ein Extremum der Lagrangefunktion. Wenn die Hessematrix ∇ 2 L(x ∗ )
der Lagrangefunktion in x ∗ positiv definit ist, d.h. y T ∇ 2 L(x ∗ )y > 0 mit y 6= 0 einem beliebigen Vektor gilt (oder
alle Eigenwerte von ∇ 2 L(x ∗ ) größer Null), ist x ∗ ein (lokales) Minimum. Nach Newton-Raphson ist eine iterative
Lösung für das Gleichungssystem F(x) =0 mit x k+1 = x k + ∆x k nach linearer Entwicklung F(x) ≈ F(x k )+
∇F(x k )∆x k = 0 im Punkt x k gegeben durch:
∇F(x k )∆x k = −F(x k ) bzw. ∆x k = −∇F(x k ) −1 F(x k )
worin ∇F(x k ) die Jacobimatrix von F(x) in x k .
5
Wir entwickeln Gl. (3.2.3.5) in eine lineare Taylorreihe
mit
u = Φ −1 [F (x)] + ∂
∂x Φ−1 [F (x)] |x ∗(x − x ∗ )
∂
f(x
∂x
[F (x)] Φ−1 |x ∗ =
∗ )
ϕ[Φ −1 [F (x ∗ )]]. Einsetzen in Gl. (3.2.3.5) führt auf
n
o
x − x ∗ − Φ −1 [F(x ∗ )] ϕ[Φ−1 [F (x ∗ )]]
f(x
u =
∗ )
ϕ[Φ −1 [F (x ∗ )]]
f (x ∗ )
= y − m Y
σ Y
mit y = x, y ∗ = Φ −1 [F (x ∗ )],m Y = x ∗ − y ∗ σ Y und σ Y = ϕ(y∗ )
f(x ∗ )
. Die neue Variable y ist normalverteilt mit
Mittelwert m Y und Standardabweichung σ Y . Jede beliebig verteilte Variable kann daher näherungsweise durch eine
äquivalente, normalverteilte Variable ersetzt werden, wenn der Entwicklungspunkt x ∗ richtig gewählt wird.
31

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die Gumbelverteilung lautet
F (x) =exp[− exp[−α(x − ũ)]] (1)
worin α ein Streuungsparameter und ũ ein Positionsparameter. Anwendung von Gl. (3.2.3.4)
bzw.(3.2.3.5) ergibt:
#
X = T (U) =ũ − ln(−lnΦ(U))/α (2)
U = T −1 (X) =Φ −1 [exp[− exp[−α(X − ũ)]]] (3)
3.2.4. Nichtnormale, abhängige Basisvariable
Der mehrdimensionale Fall ist komplizierter. Wenn X die Verteilungsfunktion F (x) =P (X ≤
x) =P (_ n i=1 {X i ≤ x i }) hat, ist es immer möglich, diese durch ein Produkt bedingter Verteilungen
darzustellen, d.h. durch F (x) =F 1 (x 1 )F 2 (x 2 |x 1 ) ... F n (x n |x 1 ,...,x n−1 ),worin
mit
f j (x 1 , ..., x j )=
F i (x i |x 1 ,...,x i−1 )=
Z ∞
Z ∞
−∞
−∞
Z x
−∞
f i (x 1 ,...,x i−1 ,s)
ds (3.2.4.1)
f i−1 (x 1 ,...,x i−1 )
f(x 1 ,...,x j ,s j+1 ,...,s n )ds j+1 ...ds n (3.2.4.2)
Die bedingten Verteilungen können nun nacheinander transformiert werden [71] . Die Transformation
bezeichnen wir als Rosenblatt-Transformation [145] .
Also ist:
oder
Φ(u 1 ) = F 1 (x 1 )
Φ(u 2 ) = F 2 (x 2 |x 1 )
.
Φ(u n ) = F n (x n |x 1 ,...,x n−1 )
X = T (U) =(T 1 (U 1 ),T 2 (U 1 ,U 2 ),...,T n (U 1 ,...,U n )) T (3.2.4.3)
X 1 = F −1 [Φ(U 1 )] (3.2.4.4)
X 2 = F −1 [Φ(U 2 )|F −1 [Φ(U 1 )]]
X 3 = F −1 [Φ(U 3 )|F −1 [Φ(U 2 )|F −1 [Φ(U 1 )]],F −1 [Φ(U 1 )]]
.
32

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 3.2.4.1: Verteilungsfunktion von Seezustandsparametern
In der Meerestechnik beschreibt man den Seegang, der sich in gemäßigten Breiten etwa alle 3 bis
6 Stunden ändert, durch eine zweidimensionale Zufallsfolge mit den Komponenten H s und T s .
H s ist die sogenannte signifikante Wellenhöhe, die als Mittelwert des oberen Drittels der höchsten
Wellenerhebungen definiert ist, und T s die dazugehörige Wellenperiode. Beobachtungen haben
ergeben, daß für beideGrößen eine Weibullverteilung gut paßt.
· ³ x
F Hs (x) =1− exp −
(1)
u´k¸
" µ #
y
k(x)
F Ts (y|x) =1− exp −
u(x)
(2)
mit u(x) =a 1 exp [a 2 x] und k(x) =b 1 exp [b 2 x] . Fürdienördliche Nordsee findet man a 1 =6.05,
a 2 =0.07,b 1 =2.35,b 2 =0.21. Also ist
und
F Hs ,T s
(x, y) =F Ts (y|x)F Hs (x) (3)
x =(− ln(Φ(−u 1 )) 1/k u (4)
y =(− ln(Φ(−u 2 )) 1/(b 1 exp[b 2 x]) a 1 exp [a 2 x] (5)
H s und T s definieren die Parameter des eigentlichen Wellenhebungsprozesses, d.h. sein Spektrum.
Das Beispiel macht deutlich, daß die Abhängigkeit der zweiten Variablen von der ersten Variablen
über die von der ersten Variablen abhängigen Verteilungsparameter, hier sogar über Funktionen,
definiert wird.
#
Die vorstehenden Erörterungen werden nun an dem in Abschnitt 3.1 vorgeführten Beispiel illustriert.
Beispiel 3.2.4.2: Versagenswahrscheinlichkeit eines Zugstabes
Eine der möglichen Zustandsfunktion ist:
M = g(X) = π 4 X 2 X 2 3 − X 1 (1)
X 1 sei gumbelverteilt und X 2 und X 3 log-normalverteilt. Die Variablen seien unabhängig. Die
Verteilungsfunktionen sind
F 1 (x 1 )=exp[− exp[−α(x 1 − u)]] (2)
und
F 2 (x 2 )=Φ( ln(x 2/ξ 2 )
δ 2
) (3)
33

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
F 3 (x 3 )=Φ( ln(x 3/ξ 3 )
) (4)
δ 3
Daher ist die Rosenblatt-Transformation
X 1 =ũ − 1 α ln[−ln(Φ(U 1))] (5)
X 2 = ξ 2 exp[U 2 δ 2 ] (6)
X 3 = ξ 3 exp[U 3 δ 3 ] (7)
Die Größe der Mittelwerte und Standardabweichungen vom Beispiel in Abschnitt 3.1 werden
beibehalten. Die entsprechenden Parameter sind daher α = 1.283/σ 1 , ũ = m 1 − 0.45 σ 1 ,
δ i =ln(1+(σ i /m i ) 2 ) 1/2 , ξ i = m i exp[−δ i 2 /2] (i = 2,3). Die Zustandsfunktion im Standardraum
heißtdamit:
Z = π 4 ξ 2 exp[U 2 δ 2 ](ξ 3 exp[U 3 δ 3 ]) 2 − (ũ − 1 α ln(−lnΦ(U 1))) (8)
Die Ableitungen können analytisch angegeben werden.
∂g(u)
∂u 1
= 1 1 ϕ(u 1 )
α lnΦ(u 1 ) Φ(u 1 )
(9)
∂g(u)
∂u 2
= π 4 (ξ 3 exp[u 3 δ 3 ]) 2 ξ 2 exp[u 2 δ 2 ]δ 2 (10)
∂g(u)
= π ∂u 3 2 ξ 2 exp[u 2 δ 2 ]ξ 2 3 exp[2u 3 δ 3 ]δ 3 (11)
Mit der Anfangslösung u 0 =0ergibt der Algorithmus (3.2.2.2):
u 1 u 2 u 3 g(u) β
0 0 0 8.02 -
0.74 -1.25 -1.26 1.27 2.18
1.48 -1.16 -1.17 -0.235 2.21
1.61 -0.99 -0.99 -0.01 2.13
1.60 -1.00 -1.01 10 −4 2.14
Der Suchalgorithmus konvergiert in vier Schritten. Die Schätzung erster Ordnung für dieVersagenswahrscheinlichkeit
ist P f ≈ Φ(− ku ∗ k)=1, 62 10 −2 und somit fast identisch mit dem exakten
Resultat für log-normalverteilte Variable (vergl. Abschnitt 3.1).
#
Es gibt noch einige andere Möglichkeiten eine Formulierung im sogenannten Standardraum durch
Verteilungstransformationen zu erhalten. Eine dieser Möglichkeiten mit etwas eingeschränktem
Anwendungsbereich geht auf Nataf [119] zurück und wurde von Der Kiureghian/Liu [39] für
Anwendungen in der Zuverlässigkeitstheorie aufbereitet. Das Nataf-Modell zur Beschreibung
mehrdimensionaler abhängiger Variabler ist nur eine Näherung. Nataf folgend wird jeweils zwei
34

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Variablen X i und X j mit dem Korrelationskoeffizient ρ ij eine gemeinsame Verteilungsfunktion
zugeordnet derart daß
gemeinsam normal verteilt sind. Dann ist
V i = Φ −1 [Fi(X i )] (3.2.4.5)
V j = Φ −1 [Fj(X j )] (3.2.4.6)
f Xi ,X j
(x i ,x j )=ϕ 2 (v i ,v j ; ρ 0 , ij ) f X i
(x i )f Xj (x j )
ϕ(v i )ϕ(v j )
(3.2.4.7)
worin ϕ 2 (v i ,v j ; ρ 0 , ij ) die bivariate, standardisierte Normalverteilungsdichte
ϕ 2 (x, y; ρ) = 1
µ
1
p
2π
exp − 1
x 2 − 2xy + y 2
1 − ρ
2 2 1 − ρ 2
und der ’’äquivalente’’ Korrelationskoeffizient aus
ρ ij =
=
Z ∞ Z ∞
−∞ −∞
Z ∞ Z ∞
−∞ −∞
µ
xi − m i
σ i
µ
xj − m j
ϕ
σ 2 (v i ,v j ; ρ 0 , ij ) f X i
(x i )f Xj (x j )
dx i dx j
j ϕ(v i )ϕ(v j )
à !à !
F
−1
X i
(Φ(v i ) − m i F
−1
X j
(Φ(v j ) − m j
ϕ
σ i
σ 2 (v i ,v j ; ρ 0 , ij )dv i dv j
j
(3.2.4.8)
zu berechnen ist. Das muß für die meisten Modelle auf numerischem Wege geschehen. Das Modell
ist nur gültig für streng monotone, stetige Verteilungsfunktionen und solange die Matrix der ’’äquivalenten’’
Korrelationskoeffizienten {ρ 0 , ij } positiv definit bleibt 6 . Das wird festgestellt, wenn
man die Entkorrelierung nach Abschnitt 2.2.2 durchführt. Immerhin kann man Abhängigkeiten
durch Korrelationskoeffizienten definieren. Die Transformation wird als Nataf-Transformation
bezeichnet 7 .
6
Eine symmetrische Matrix A ist positiv-definit, wenn b T Ab ≥ 0 oder wenn A nur positive Eigenwerte besitzt.
7
Eine andere näherungsweise Wahrscheinlichkeitstransformation wird nach Hermite benannt [189] . Eine gegebene
Verteilungsfunktion wird hierbei durch eine Entwicklung der Normalverteilung in Hermite-Polynome genähert.
Daß sie näherungsweise durch die ersten vier standardisierten Momente charakterisiert wird, ist manchmal
von Vorteil. h Man kann i sie als Spezialfall der Nataf-Transformation auffassen. Dabei ist für dieVariableX i mit
α k,i = E (Xi−m i) k
σ i
und γ i = α 3,i sowie ε i = α 4,i
F i (y i ) = Φ(y i ) − ˜h 3,i y i ϕ(y i ) − ˜h 4,i (yi 2 − 1)ϕ(y i ) (1)
f i (y i ) = 1˜σ h
ϕ(y i ) 1+˜h 3,i (yi 2 − 1) + ˜h
i
4,i (yi 3 − 3y i)
i
h 3,i = γ i
6 ; h 4,i = ε i − 3
24 ;˜σ i = κ i σ i ; y i = x i − m i
˜σ i
35

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Der in Abschnitt 3.2.2 angegebene Suchalgorithmus benötigt die Gradienten der Zustandfunktion,
d.h. auch die Ableitungen der Verteilungstransformation. Es sei
g(z) =g(z(x)) = g(z(T(u))) (3.2.4.9)
eine allgemein formulierte Zustandsfunktion, in der z gewisse Funktionen der Basisvariablen x
sind, die ihrerseits Funktionen des Standardvektors u sind. Die z(x) sind beispielsweise die
Schnittgrößen als Funktionen der Lasten. Dann ist durch Anwendung der Kettenregel
∇ u g(z(T(u))) = ∇ z g(z(T(u)))J z,x J x,u (3.2.4.10)
h i
∂p
worin J p,q = i
∂q j
die Jacobi-Matrix der Transformation p = T(q) und speziell J x,u die Jacobi-
Matrix der Rosenblatt-Transformation ist. Diese ist eine untere Dreiecksmatrix. Alle Elemente
oberhalb der Diagonalen sind Null. Die Elemente der Diagonalen sind
∂x i
∂u i
=
und die anderen Elemente werden aus
∂F i (x i |x 1,x 2,...,x i−1 )
∂x j
ϕ(u i )
f i (x i | x 1 ,x 2 ,...,x i−1 ) ; j = i (3.2.4.11)
∂x i
ϕ(u j )
= −
; j 3
˜h 4,i ≈ h 4,i − 27h 2 4,i ; ˜h 3,i ≈
h3,i
1
; κ
1+24˜h i ≈
für α
4,i (1+10˜h 3,i+42˜h 2 4,i )1/2 3,i < 3
(2)
und analog fürdieVariableX j .Für zwei Variable X i und X j mit Korrelationskoeffizient ρ ij gilt:
ρ ij ≈ κ i κ j
³ρ 0,ij + ˜h 3,i˜h3,j ρ 2 0,ij + ˜h 4,i˜h4,j ρ 3 0,ij
´
(3)
Auch hier muß also ebenfalls ein äquivalenter Korrelationskoeffizient ρ 0,ij für die standardnormalen Variablen V i
berechnet werden und abschließend entkorreliert werden. Die Matrix R 0 = {ρ 0 , ij } muß positiv definit sein. Die
notwendigen Invertierungen sind analytisch. Insbesondere ergibt sich aus Gl. (1)
h
X i =˜σ i V i + ˜h 3,i (Vi 2 − 1) + ˜h
i
4,i (Vi 3 − 3V i ) + m i (4)
mit V i einer standardnormalen aber korrelierten Variablen. In Gl. (4) muß ein Ploynom dritten Grades gelöst werden.
Die Dichte der Verteilungsentwicklung muß stets nichtnegativ sein. Daher gibt es gewisse Einschränkungen bezüglich
γ und ε > 0.
36

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
3.3. Generalisierter Zuverlässigkeitsindex, Sensitivitäten und
Elastizitäten
Wir definieren zunächst den sogenannten äquivalenten oder generalisierten Zuverlässigkeitsindex
durch:
P (U ∈ V ) ≈ P (α T E U + β E ≤ 0) = P (Z + β E ≤ 0) = Φ(−β E )
bzw.
β E = −Φ −1 (P (U ∈ V )) ≈−Φ −1 (P (α T E U + β E ≤ 0)) = −Φ −1 (P (Z + β E ≤ 0))
α E und β E sind offensichtlich die Bestimmungselemente einer Hyperebene mit gleichem Wahrscheinlichkeitsinhalt
wie das ursprüngliche Problem P (U ∈ V ). Man erkennt, daß Cov [Z, U i ]=
ρ i = α E,i . Also ist α E,i der Korrelationskoeffizient zwischen U i und der Zustandsvariablen Z.
Die anderen Bedeutungen von α E,i als normalisierter Gradient und als Richtungskosinus der äquivalenten
Hyperebene sind bereits bekannt. Wichtig ist, daß β E zwar im Standardraum definiert
wird aber unabhängig von der Methode ist, mit der P (U ∈ V ) berechnet wird. V kann sogar ein
System beschreiben.
Abb. 3.2.Äquivalenter Sicherheitsindex
Wir verschieben nun den Koordinatenursprung um eine kleine Größe ² (oder ersetzen U durch
U + ²)
β E (²) = −Φ −1 (P ((U + ²) ∈ V )) ≈−Φ −1 (P (α T E(U + ²)+β E ≤ 0))
= −Φ −1 (P (α T E U ≤−β E − α T E ²)) = −Φ−1 (Φ(−β E − α T E ²)) = β E + α T E ²
und somit
∂β E (²)
| ²i →0
∂² i
= α E,i (3.3.1)
bzw.
∂P f (²)
| ²i →0 = ∂Φ(−β E(²))
| ²i →0 = −ϕ(−β
∂² i ∂² E )α E,i
i
(3.3.2)
Offensichtlich ist α E,i ein Maß für die Empfindlichkeit von β E gegenüber (Mittelwerts-)Änderungen
der Variablen U i . Mit asymptotischen Argumenten wie in Abschnitt 4 kann man nun zeigen, daß
37

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
tatsächlich
α E,i = α µ,i = α i = ∂β | u=u ∗ (3.3.3)
β→∞ ∂u i
Diese Größe, d.h. α E,i = α i , ist bekannt, sobald man den β−Punkt bestimmt hat. Bei abhängigen
Variablen X i ist die vorstehende Definition von α i für die transformierten Variablen U i zwar nach
wie vor richtig. Es ist jedoch im allgemeinen nicht möglich eindeutig zurück in den X-Raum zu
transformieren. Voraussetzungsgemäß ist aber U = T(X) und X = T −1 (U) und daher
Fürunabhängige Variable stimmt α r,i mit α E,i überein.
Auf ähnlichem Wege zeigt man, daß
α r,i = −Φ−1 (F i (x ∗ i ))
β E
(3.3.4)
α σ,i = −βα 2 i (3.3.5)
α σ,i ist offensichtlich ein Maß für die Empfindlichkeit von β bei Änderung der Streuung der Variablen
U i .
Schließlich kann man parametrische Sensitivitäten nach
α τ i
= ∂β | u=u ∗ (3.3.6)
∂τ i
durch numerische Differentiation im β−Punkt bestimmen. Man kann zeigen, daß:
wegen dβ
dτ i
= d(αT u ∗ )
dτ i
= dαT
k∇ug(u,τ )k
dg(u,τ )
dτ i
−g(u,τ )
dβ
dτ i
=
dτ i
u ∗ + α T du∗
dk∇ug(u,τ )k
dτ i
dτ i
dg(u,τ )
dτ i
k∇ u g(u, τ )k | u=u ∗ (3.3.7)
= α T du∗
dτ i
und d g(u,τ )
| dτ i k∇ ug(u,τ )k u=u ∗
dg(u,τ )
dτ i
k∇ ug(u,τ )k
= |
k∇ ug(u,τ )k 2 u=u ∗=
| = α T du∗
u=u ∗ dτ i
d g(u,τ )
| dτ i k∇ ug(u,τ
.
)k u=u ∗
Unter ’’Elastizität’’ versteht man die entsprechende dimensionslose Größe, d.h.
Gelegentlich ist noch
e i = ∂β τ i
∂τ i β
woraus folgt, daß dβ
dτ i
=
(3.3.8)
∂α(τ )
∂τ i
∂∇ u g(u,τ )
∂∇
∂τ
= − i
| u g(u,τ )
u=u ∗
k∇ u g(u, τ )k = −(I + βH)−1 ∂τ i
k∇ u g(u, τ )k | (3.3.9)
u=u ∗
mit ½
H =
h ³³
1 ∂ 2 g(u,τ ) 1
k∇ u g(u,τ )k ∂u i ∂u j
− ∂g(u,t)
k∇ u g(u,τ )k ∂u i
n o
∂5 ug(u,t)
= ∂ 2 g(u,t)
∂t ∂t∂u i
; i =1,...,n
∂k5 u g(u,t)k
∂u j
¾
+ ∂g(u,t) ∂k5 u g(u,t)k
∂u j ∂u i
; i, j =1,...,n
´´iu=u ∗ ,
und ∂∇ug(u,τ )
∂τ i
= ∇u∂g(u,τ )
∂τ i
von Interesse. Das Auftreten von
zweiten Ableitungen zeigt, daß hier Information höherer Ordnung benötigt wird. Bei ’’fast’’ ebenen
38

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Grenzzustandsflächen ist H nahe Null sodaß näherungsweise
∂α(τ)
∂τ i
1
≈−
k5 u g(u, τ )k
∂ 5 u g(u, τ )
∂τ i
(3.3.10)
3.4. Antwortflächenverfahren ∗
Bei schwierigen Berechnungsaufgaben, z.B. wenn in der Grenzzustandsfunktion die Antworten
auf Lasten durch lineare oder nichtlineare, statische oder dynamische FE-Methoden berechnet werden
müssen, können Näherungsverfahren zum Einsatz kommen. Eine Anwendung von FORM
kann auch schwierig werden, wenn die benötigten Gradienten nicht oder numerisch nicht stabil
genug ermittelt werden können. Am verbreitesten ist die Methode der Antwortflächen. Als Antwortfläche
wählt man häufig eine quadratische Form, d.h.
g(x) ≈ r(x) =a 0 + a T (x − x 0 )+(x − x 0 ) T B(x − x 0 )+² (3.4.1)
Hierin sind a die Koeffizienten der linearen Terme und B ist die Matrix der Koeffizienten der
quadratischen Terme. x 0 ist der zentrale Wert um den entwickelt wird und ² gegebenenfalls ein
(skalarer) Fehlerterm. Flächen höherer Ordnung werden meist verworfen, da diese in Wahrheit
nicht vorhandene Oszillationen hervorrufen können. Die Koeffizienten bestimmt man entweder
durch Taylorentwicklung, durch Lagrangesche Interpolation oder durch das Verfahren des Minimums
der Abweichungsquadrate. Nur dann kann auch der zusätzliche Fehlerterm bestimmt werden.
Am besten ist natürlich eine Entwicklung fürdieg(x) ≈ r(x) =0. Es kommt entscheidend
darauf an, den Wert von x 0 richtigzuwählen, d.h. in unmittelbarer Nähe des β−Punktes. Das erfordert
im allgemeinen Iteration. Desweiteren ist fürdieGüte der Approximation der Abstand der
Stützpunkte vom zentralen Wert wichtig. Eine quadratische Form der in Gl. (3.4.1) gezeigten Art
benötigt mindestens 1+n + n(n +1)/2 Funktionsauswertungen um die Koeffizienten bestimmen
zu können und noch mindestens zusätzliche 10 um den Fehlerterm zu ermitteln. Es ist daher klar,
daß diese Methode nur bei niedrigdimensionalen Problemen angewandt werden kann. Man muß
die quadratischen Terme auf die Wichtigen beschränken. Die weitere zuverlässigkeitstheoretische
Auswertung erfolgt dann mit einer der vorgeführten bzw. noch vorzuführenden Methoden. Den
Fehlerterm, wenn er zuverlässig ermittelt werden konnte, führt man als zusätzliche, in der Regel
normalverteilte Basisvariable in die Rechnung ein. Dadurch hat man die Möglichkeit, den Fehler
bei der Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit abzuschätzen. In schwierigen Fällen kann
man auch eine Kombination von Antwortflächen und Importanzstichprobenverfahren, vor allem
bei der Auswahl der Stützpunkte für die Antwortfläche, versuchen. Man kann sogar die Stützpunkte
durch adaptive Stichprobenverfahren auswählen und durch Antwortflächen versuchen die
wichtige Region schneller zu finden.
3.5. Das inverse Zuverlässigkeitsproblem ∗
Für den Ingenieur oft wichtiger als die Analyse eines technischen Objektes im Hinblick auf seine
Zuverlässigkeit ist die Bestimmung von in gewisser Hinsicht optimalen Bemessungsparametern
des Objektes unter Berücksichtigung der Zuverlässigkeit. Die Aufgabe ist der Aufgabe in Abschnitt
3.2.2 unter gewissen Bedingungen sehr ähnlich.
39

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die genannte Optimierungsaufgabe (1.3) oder das inverse Zuverlässigkeitsproblem läßt sich nun
wie folgt formulieren:
Z(p) = B(p)(1 − P f (p)) − C i (p) − L(p) · P f (p)
≈ B(p) − C i (p) − L(p) · P f (p)
Z(.) ist zu maximieren. Dabei sind C(·) die Baukosten des Tragwerks und L(·) die Versagenskosten.
B(.) ist der Nutzen bei Bestand des Tragwerks. Der erwartete Nutzen ist also B(p)(1 −
P f (p)) und L(p)P f (p) sind die erwarteten Schadenskosten. Meist ist B(p) =B, L(p) =L und
P f (p) eine sehr kleine Zahl. Es genügt daher die erwarteten Gesamtkosten K(·)
K(p) = C(p)+L · P f (p)
≈ C(p)+L · Φ (− min (kuk : g(u, p) ≤ 0)) (3.5.1)
zu minimieren. Eine Zuverlässigkeitsnebenbedingung wird spezifiziert durch die Ungleichung
Φ(−β(p)) ≤ Pf
max . Dabei ist Pf
max eine maximale, erlaubte Versagenswahrscheinlichkeit. Anstelle
der Kosten kann man natürlich auch Gewicht, Volumen oder ähnliches als Zielgröße wählen.
Im einfachsten Fall handelt es sich um die Optimierung von K(p) mit der Nebenbedingung
Φ(−β(p)) ≤ Pf
max . Vollständig heißtdiezulösende Aufgabe
Minimiere:
Unter den Bedingungen:
K(p) =C(p)+L · Φ (−β(p))
Φ (−β(p)) ≤ Pf
max
(3.5.2)
h k (p) ≤ 0,k =1,...,q
u u ≤ u ≤ u o
p u ≤ p ≤ p o
Die Restriktionen h k (p) ≤ 0 sind zusätzlich eingeführt, um ’’vernünftige’’ Entwürfe gewährleisten
zu können. Außerdem wird man den Raum der Parameter durch p u ≤ p ≤ p o und den Raum der
Basisvariablen durch u u ≤ u ≤ u o schon aus numerischen Gründen beschränken wollen. In dieser
allgemeinen Form handelt es sich um eine wesentlich schwierigere und aufwendigere Aufgabe als
die einfache Optimierung im Rahmen der Zuverlässigkeitsberechnung. Es handelt sich um zwei
übereinander angeordnete Optimierungsaufgaben. Der übergeordnete Algorithmus optimiert die
Kosten, der andere löst die Zuverlässigkeitsaufgabe.
Eine manchmal interessierende Fragestellung bei für die Zuverlässigkeit sehr wichtigen Tragwerkskomponenten
ist die Maximierung der Zuverlässigkeit bei vorgegebenen Maximalkosten für
den Aufwand für Zuverlässigkeit. Diese Aufgabe kann wie folgt formuliert werden.
Maximiere:
Unter den Bedingungen:
β(p)
K(p) ≤ K max
(3.5.3)
h k (p) ≤ 0,k =1,...,q
u u ≤ u ≤ u o
p u ≤ p ≤ p o
40

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Auch hier kann anstelle der Kosten Gewicht oder Materialaufwand, usw. stehen. Das ist von
der mathematischen Seite her gesehen eine dem Ansatz (3.3.5) analoge Aufgabe. Man muß nur
Zielfunktion und Restriktionsfunktion miteinander vertauschen. Bei manchen Anwendungen in
der Luft- und Raumfahrt ist diese Variante besonders interessant, da es auf Gewichtsminimierung
bei gleichzeitig maximaler Zuverlässigkeit ankommen kann.
Die Aufgaben (3.5.2) und (3.5.3) werden wesentlich einfacher, wenn einfache Kosten, d.h. Kosten
ohne erwartete Schadenskosten, angesetzt werden dürfen. Auf Fragen der zuverlässigkeitsorientierten
Optimierung kommen wir in Abschnitt 9 in allgemeinerem Zusammenhang noch einmal
zurück.
41

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ANHANG A:
Simulationsmethoden
A.1.
Erzeugung von Zufallszahlen
Stochastische Simulation erfordert die Erzeugung langer Reihen von Zufallszahlen mit gegebener
Verteilung. Solche erzeugt man am besten mit einem digitalen Rechner als sogenannte Pseudo-
Zufallszahlen. Der erste Schritt ist die Erzeugung von im Intervall [0, 1] gleichverteilten, unabhängigen
Zufallszahlen. Die Grundidee ist folgende: Man geht von dem Nachkommaanteil einer
irrationalen Zahl, z.B. π, aus. Mit diesem führt man gewisse Operationen, z.B. Potenzieren, aus
und erhält durch den Nachkommaanteil der entstandenen Zahl wiederum eine Zufallszahl, und so
fort. Der jeweilige Algorithmus ist sorgfältig auf Unabhängigkeit und Gleichverteilung zu testen.
In den meisten Rechnern sind solche ’’Zufallsgeneratoren’’ implementiert. Alle Folgen von Zufallszahlen
hängen vom Anfangswert, dem sogenannten SEED-Wert, ab. Ist nun eine Serie von
gleichverteilten Zufallszahlen g i ,i=1, 2,....erzeugt, erhält man aus
x i = F −1
X (g i) (A.1.1)
die zur Verteilung F X (x) gehörige Zufallszahl. Für manche Verteilungen gibt es spezielle Algorithmen.
Ein Paar der häufig vorkommenden standard normalen Zufallszahlen erzeugt man z.B.
durch
u 1 = (−2ln(g 1 )) 1 2 sin(2πg2 )
u 2 = (−2ln(g 1 )) 1 2 cos(2πg2 )
Zufallszahlen für Zufallsvektoren erzeugt man analog zum Vorgehen bei der Rosenblatt-Transformation.
Man muß nur Φ(u i ) durch g i = F (g i ) ersetzen, also
x 1 = F1 −1 (g 1 )
x 2 = F2 −1 (g 2 | x 1 )
.
x n = Fn −1 (g n | x 1 ,x 2 , ..., x n−1 )
Korrelierte standard normale Variable generiert man wie in Gl. (6.1.2.6) mit Gl. (6.1.2.5). Weiterführende
Literatur findet man bei Rubinstein [152] .
A.2.
Einfache Monte-Carlo-Integration
Im Abschnitt 3 wurden Näherungen für Wahrscheinlichkeitsintegrale angestrebt, die aber nicht nur
einen gewissen gedanklichen Aufwand erforderten, sondern auch in der Realisierung in Computerprogrammen
nicht trivial sind. Hierbei ging es im wesentlichen darum, hochdimensionale numerische
Integration zu vermeiden. Besonders naheliegend ist natürlich Methoden der stochastischen
Simulation für Berechnungen der Versagenswahrscheinlichkeit anzuwenden. Die einfachste Art
42

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
der Berechnung eines Wahrscheinlichkeitsintegrals ist nachfolgend dargestellt.
Z
P (V )=
V
f X (x)dx =
Z
1(x ∈ V )f X (x)dx = E[1(X ∈ V )]
< n (A.2.1)
Hierin ist 1(x ∈ V ) die sogenannte Indikatorfunktion für den interessierenden Bereich mit den
folgenden Eigenschaften:
1(x ∈ V )=
n
1 für x∈V
0 für x /∈V
Kann man Realisierungen des Vektors X in effizienter Weise zufällig erzeugen, gilt:
bP (V ) ≈ 1 N
NX
1(x i ∈ V ) (A.2.2)
i=1
wobei b P (.) den Wahrscheinlichkeitsschätzer bezeichnet. Das ist ein erwartungstreuer Schätzer für
den wahren Wert von P (V ), d.h.
P (V )=E[ b P (V )] =
NX
i=1
1
N E[1(x i ∈ V )] = E[1(x ∈ V )]
(A.2.3)
Seine Varianz ist im Fall unabhängiger Realisationen des Vektors X :
Var[ ˆP (V )] =
NX
i=1
1
N Var[1(x 2 i ∈ V )] = 1 Var[1(x ∈ V )]
N (A.2.4)
mit
die durch
⎧
Var[1(X ∈ V )] ≈ 1 ⎨
1
N − 1 ⎩N
Z
Var[1(x ²V)] = 1 2 (x ∈ V )f X (x)dx − P (V ) 2 (A.2.5)
< n
(
NX
1 2 1
(x i ∈ V ) −
N
i=1
) ⎫ 2
NX
⎬
1(x i ∈ V )
⎭
i=1
(A.2.6)
geschätzt wird. Leider ist ein solches Vorgehen für die Bestimmung von Versagenswahrscheinlichkeiten,
d.h. von im allgemeinen kleinen Größen, sehr unzweckmäßig, da ein sehr hoher Berechnungsaufwand
erforderlich ist, um ausreichend genaue Ergebnisse zu erzielen. Man vergegenwärtige
sich nur, daß es sich hierbei um ein Bernoulli Experiment handelt. Es sei p die nach
Gl. (A.2.2) zu schätzende Wahrscheinlichkeit. Dann ist die mittlere Anzahl von ’’Treffern’’ gleich
Np und die Varianz gleich Np(1 − p). Der Variationskoeffizient ist also
V [ ˆP ]=
p
Np(1 − p)
Np
≈ 1 √ Np
(A.2.7)
43

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Daraus sieht man, daß man gute Ergebnisse nur bei großem N, d.h. für N >> 1/p, erhalten
kann. Es gibt viele andere Varianten der Monte-Carlo-Methode. Ein gelegentlich angewandtes
Verfahren ist das sogenannte sphärische Stichprobenverfahren. Die Grenzzustandsgleichung(en)
sei(en) im n-dimensionalen Standardraum formuliert. Nun generiert man n-1 zufällige Winkel
φ i =(φ 1 , φ 2 ,...,φ n−1 ) T für einen Suchstrahl, und sucht, ausgehend von u = 0, mit einem geeigneten
Verfahren entlang des Suchstrahls den Abstand r i der Grenzzustandsfunktion zum Ursprung.
Dann ist
ˆP (V ) ≤ 1 NX £
1 − χ
2
N
n (ri 2 ) ¤ (A.2.8)
i=1
mit χ 2 n (.) der χ2 -Verteilung mit Freiheitsgrad n eine Schätzung der Versagenswahrscheinlichkeit
(vergl Gl. (3.1.10)). Das Verfahren ist nur geeignet, wenn hyperkugelähnliche sichere Bereiche
vorliegen. Die Effizienz des Verfahrens fällt mit der Dimension n stark ab. Wenn es sich um
Seriensysteme handelt, ist es oft besser, statt Hyperkugeln als Approximation linear begrenzte
Polyeder zu verwenden. Wenn man dann in g(u) noch den Gradienten bildet, hat man ein noch
besseres Ergebnis.
A.3.
Monte-Carlo-Methoden mit Importanzstichprobenwahl
Wesentlich effizienter sind Schemata mit Importanzstichprobenwahl (Importance-sampling), bei
denen man P (V ) durch
Z
P (V )=E[1(X ∈ V )] = 1(x ∈ V ) f X(x)
< h n X (x) h X(x)dx
(A.3.1)
berechnet mit h(x) der sogenannten ’’Importance-sampling’’ -dichte. Dann ist:
P (V )=E[1(X ∈ V ) f X(x)
h X (x) ] ≈ 1 N
NX
i=1
1(x i ∈ V ) f X(x i )
h X (x i )
(A.3.2)
Hier ist also 1(x i ∈ V ) nach Gl. (A.2.2) bzw (A.2.6) durch 1(x i ∈ V ) f X(x i )
h X (x i
zu ersetzen. Die
)
wesentliche Frage ist, wie man die Stichprobendichte so wählt, daß ein möglichst kleiner Variationskoeffizient
der Schätzung entsteht. Wählt man z.B.
h X (x) = R
1(x ∈ V )f X(x)dx
(A.3.3)
1(x ∈ V )f
< n X (x)dx
so zeigt man leicht, daß, da im Nenner ja genau die Größe P (V ) steht, die Varianz der Schätzung
zu Null wird. Das ist natürlich wenig hilfreich, da man gerade P (V ) schätzen möchte. Jede
Näherung für P (V ) sollte eine Schätzung jedoch effizienter machen. Kennt man beispielsweise
den β−Punkt im Standardraum, so liegt es nahe für h X (x) wiederum eine Normalverteilung mit
unabhängigen oder auch abhängigen Komponenten und Mittelwert im β−Punkt zu wählen, d.h.
h U (u) =ϕ U (u − u ∗ ; cI). Mit c ≈ 1 hat man gute Erfahrungen gemacht. In diesem Fall hat
man eine Trefferwahrscheinlichkeit von ungefähr 0.5. Die Effizienz des Verfahrens hängt nicht
wesentlich von der zu schätzenden Versagenswahrscheinlichkeit und von der Dimension n ab. Man
44

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
beachte auch, daß die Auswertung der Indikatorfunktion nur einfache Zustansfunktionsaufrufe
erfordert.
u
1
Im po rta nzstic h-
probendichte h(u)
g(u) = 0
u
2
Abb. 3.1.Importanzstichprobenverfahren bei bekanntem β−Punkt
Auf Bucher [26] geht die Idee zurück, die Effizienz des Verfahrens dadurch zu erhöhen, daß
man im wesentlichen nur im Versagensbereich simuliert. Als Importanzstichprobendichte wählt
man also h(u | g(u) ≤ 0). Wenn das Koordinatensystem mittels einer Orthogonaltransformation
(u → v) derart gedreht wird, daß eine Achse, z.B. die u n -Achse, durch den β-Punkt u ∗ geht,
ist z.B. h(v | g(v) ≤ 0) = ϕ(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 )ϕ(v n | v n ≥ f(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 )) mit v n der Lösung
von g(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 ,v n )=0und v n >f(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 ) wenn g(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 ,v n ) <
0. Bei bekanntem β-Punkt, d.h. v ∗ = (0, 0,...0,vn) ∗ berechnet man h(v | g(v) ≤ 0) näherungsweise
durch h(v | g(v) ≤ 0) = ϕ(v 1 ,v 2 , ..., v n−1 )ϕ(v n | v n > f(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 )) ≈
ϕ(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 ) ϕ(vn)Φ(−f (v 1,v 2 ,...,v n−1 ))
Φ(−β)
wobei f(v 1 ,v 2 , ..., v n−1 ) als Abstand der Grenzzustandsfläche
zur Ebene α T u =0zu interpretieren ist. Eine bedingte, standard normale Variable W =
U | U>bmit Verteilungsfunktion Φ(u | U>b),u>b,wird durch w i = Φ −1 (g i +(1− g i )Φ(b))
zufällig erzeugt. Damit ist also
P (V ) ≈ 1 N
NX
1(U i ∈ V )
i=1
ϕ U (u i )
ϕ U ((u i − α T u i α) − Φ −1 (g i +(1− g i )Φ(f(v 1 ,v 2 ,...,v n−1 )))α)
(A.3.4)
In dieser Form ist das Verfahren sehr effizient, da fast jedes Mal ein ’’Treffer’’ erzielt wird. Allerdings
erfordert es genau N Gleichungslösungen.
A.4.
Adaptive Monte-Carlo-Verfahren
Das Verfahren mit Importanzstichprobenzentrum in der Nähe des β−Punktes wird oft adaptiv angewandt,
d.h. man verändert während der Simulation die Importanzstichprobendichte (siehe [26]
45

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und viele andere). Bei einfachen Komponenten startet man die Simulation am Mittelwertsvektor.
Wird g(x i ) zufällig kleiner, verwendet man diesen Punkt als nächstes Zentrum der Importanzstichprobendichte.
Wenn füreinx i g(x i ) ≤ 0, verwendet man als Zentrum der Importanzstichprobendichte
nur noch zentrale Werte für dieg(x i ) ≤ 0 und ändert das Zentrum nur noch, wenn |g(x i )|
kleiner und die Dichte f X (x i ) größer wird als füreinfrüher gefundenes x i . Diese Suche nach dem
’’wichtigen’’ Bereich stellt eines der einfachsten stochastischen Suchverfahren dar. Mit dem ersten
g(x i ) ≤ 0 beginnt man mit der Schätzung der Versagenswahrscheinlichkeit nach Gl. (A.3.2).
Dieses Verfahren benötigt keine Ableitungen von g(x) und auch keine Wahrscheinlichkeitstransformation,
obwohl es im transformierten Raum wegen der dann gegebenen Rotationssymmetrie
am besten funktioniert. Die Effizienz dieses Suchverfahrens nimmt mit der Dimension n stark
ab. Man kann es im Hinblick auf verschiedene Kriterien noch verbessern. Z.B. kann man ein ’’-
besseres’’ Zentrum nur mit allmählich kleiner werdender Wahrscheinlichkeit akzeptieren. Außerdem
kann man die Schrittweite, mit der ein bestehendes Zentrum in Richtung ’’besseres’’ Zentrum
verändert wird, allmählich verkleinern. Dann besteht eine gewisse Möglichkeit, nicht in lokalen
Zentren, d.h. lokalen Maxima von f X (x), ’’hängen’’ zu bleiben und hat damit ein Suchverfahren,
welches globale Minima zu identifizieren imstande ist.
46

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 4.
(SORM)
Zuverlässigkeitstheorie 2.Ordnung
4.1. Vorbereitende Überlegungen
Es liegt nahe eine Verbesserung der Ergebnisse 1.Ordnung durch Entwicklung der Grenzzustandsfunktion
in eine Taylorreihe 2.Ordnung im β-Punkt zu versuchen. Hierzu muß die Versagensfläche
mindestens zweimal differrenzierbar sein. Die Matrix der zweiten Ableitungen, die Hessesche Matrix,
sei S U (u ∗ ). Anstelle der vollständigen quadratischen Form kann man auch sogenannte Stützparaboloide
untersuchen [50] . Dabei sind solche von Interesse, die die Versagensfläche besonders
in der Umgebung des β-Punktes gut approximieren (vergl. Bild 4.1).
u
2
v = w
n
n
w j
l(u) = 0
δ
n
β
u
1
q(u) = 0
g(u) = 0
R n
Abb. 4.1.Unterstützendes Paraboloid
Stützparaboloide werden erhalten, indem man zunächst eine Achse, z.B. die u n -Achse in den β-
Punkt hineindreht. Die Elemente der Transformationsmatrix D kann man mit dem Schmidtschen
Orthogonalisierungsverfahren bestimmen. Für
u = Dv (4.1.1)
mit beispielsweise d 1 = α (α =Richtungskosinus des β-Punktes u ∗ ) berechnet man z.B. die
Spaltenvektoren von D aus
d i =
c i
kc i k mit c Xi−1
i = e i − cj(e T i cj);i =2, 3,...,n (4.1.2)
j=1
47

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
e i =(0, 0,...,0, 1, 0,...0) ist der i-te Einheitsvektor der Koordinatenachsen. Nach dieser Drehung
ist g i (v ∗ )=∂g(v ∗ )/∂v i =0für i 6= 1und v ∗ =(β, 0, ..., 0) T .Deswegenist
und daraus
1
2 vT S V (v ∗ )v + g 1 (v ∗ )(v 1 − β) =0 (4.1.3)
v 1 = β − g 1 (v ∗ ) −1 1 2 vT S V (v ∗ )v (4.1.4)
Im allgemeinen ist es besser die zweiten Ableitungen erst im v-Raum zu bestimmen, da die Matrix
S(v ∗ ) eine (n − 1) × (n − 1)-Matrix ist im Gegensatz zur n × n-Matrix S(u ∗ ). Die Eigenwerte
κ i von S(v ∗ ) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung
Ã
det −S(v ∗ )
¯
∂g(v ∗ −1
)
∂v 1
¯¯¯¯ − κ I
!
=0 (4.1.5)
I ist die Einheitsmatrix. Sie sind mit den Hauptkrümmungen identisch. In der Praxis bestimmt
man die Eigenwerte nicht direkt aus der charakteristischen Gleichung, sondern durch iteratives
Diagonalisieren der Matrix S(v ∗ )/g 1 (v ∗ ), z.B. nach der Methode von Jacobi. Die zu κ gehörenden
Eigenvektoren sind die Richtungen der Hauptkrümmungen. Schließlich mag man noch eine
orthogonale (Hauptachsen)-Transformation w = Tvwie oben ausführen. Dann ist sogar:
κ i = − ∂2 g(w ∗ )
∂w 2 i
¯
∂g(w ∗ )
∂w 1
−1 ¯¯¯¯
(4.1.6)
Die Hauptkrümmungen können natürlich in jedem Koordinatensystem berechnet werden, da sie
invariant gegenüber orthogonalen Transformationen sind. Die Hauptkrümmungen sind positiv
wenn sie zum Ursprung gerichtet sind. Also ist
p(w) =β − w 1 + 1 2
nX
κ i wi 2 =0 (4.1.7)
i=2
eine quadratische Approximation für g(w) = 0. Hierbei definieren wir die Krümmungen als
positiv wenn sie zum Ursprung hin gerichtet sind. Eine exakte Berechnung des Wahrscheinlichkeitsinhaltes
dieses Paraboloids gestaltet sich schwierig (siehe jedoch Beispiel 4.4.2). Stattdessen
werden wir asymptotische Lösungen anstreben. Außerdem kann es sich bei Zuverlässigkeitsaufgaben
auch um die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungs- oder Schnittmengen
handeln für die eine allgemeine Vorgehensweise notwendig ist.
4.2. Einführung in die Theorie asymptotischer Laplaceintegrale
Zur Einführung betrachten wir Integrale des Typs
I(λ) =
Z b
a
h(x)exp[−λ f(x)]dx (4.2.1)
48

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
worin f(x) und h(x) > 0 bestimmte, ausreichend glatte Funktionen sind. Ist insbesondere f(x) =
x und erstreckt sich der Integrationsbereich von 0 bis ∞, so ist die Formel die sogenannte Laplacetransformation,
die aufgrund einer Reihe von nützlichen Eigenschaften, z.B. sehr einfacher
Regeln für Faltungs- oder Differentiations- bzw. Integrationsoperationen in gewissen Bereichen
der Technik gerne benutzt wird. Auch die in Gl. (4.2.1) angegebene allgemeinere Form wird als
Laplaceintegral bezeichnet. λ > 1 ist darin ein Parameter. Wir untersuchen das Verhalten dieses
Integrals für λ →∞, wobei wir zwei Fälle unterscheiden. Im ersten Fall nehmen wir an, daß
f(x) im Intervall [a, b] eine monoton wachsende Funktion ist. Sie habe in a ihr Minimum. Dort
ist f 0 (a) > 0. Offensichtlich wird mit wachsendem λ das Integral durch die Werte des Integranden
in der Umgebung des Punktes x = a bestimmt. Wir ziehen die Funktion h(x) mit dem Wert
h(a) nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung vor das Integral und entwickeln die Funktion
f(x) in eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe
I(λ) =
≈
≈
≈
Z b
a
h(a)
h(x)exp[−λ f(x)]dx
Z b
a
exp[−λ(f(a)+f 0 (a)(x − a)+...)]dx
h(a)exp[−λ(f(a) − f 0 (a)a)]
Z b
a
exp[−λ(f 0 (a)x + ...)]dx
h(a)exp[−λ(f(a) − f 0 (a)a)](−λ f 0 (a)) −1 {exp[−λ f 0 (a)b] − exp[−λ f 0 (a)a]}
(4.2.2)
Ohne Verlust an Allgemeinheit können wir a =0annehmen. Das ist durch Koordinatentranslation
immer erreichbar. Dann ist es offenbar möglich bei beliebigem b

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und für b =0
I(λ) ≈ h(0) exp[−λ f(0)](−λ f 0 (0)) −1 (4.2.5)
Im zweiten Fall nehmen wir an, daß f(x) ein Minimum im Inneren des Bereiches [a, b] hat. Ohne
Verlust an Allgemeinheit ist x ∗ =0und h(0) > 0. Wieder entwickeln wir f(x) in eine Taylorreihe,
die nach dem ersten nicht verschwindenden Glied abgebrochen wird. Mit f 0 (0) = 0 und f”(0) > 0
sowie a = −² 1 und b = ² 2 ist nun:
I(λ) =
Z b
a
h(x)exp[−λ f(x)]dx = h(0)
Z +²2
Z +²2
−² 1
exp[−λ(f(0) + 1 2 f”(0)x2 + ...)]dx
≈ h(0) exp[−λ f(0)] exp[− 1
−² 1
2 λ f”(0)x2 ]dx (4.2.6)
µ 1/2 2π
√ √
= h(0) exp[−λ f(0)]
[Φ(² 2 (λf”(0))) − Φ(−²1 (λf”(0)))]
λf”(0)
Auch wenn ² 1 bzw ² 2 klein gewählt werden, kann man immer ein λ finden, so daß der Fehler, der
entsteht, wenn die Integralgrenzen zu ±∞ gesetzt werden, vernachlässigbar wird:
µ 1/2 Z 1
+∞
I(λ) ≈ h(0) exp[−λf(0)]
exp[− 1 λf”(0) −∞ 2 ξ2 ]dξ (4.2.7)
µ 2π 1/2
≈ h(0) exp[−λf(0)]
λf”(0)
Um die Argumentation zu veranschaulichen, ist in Bild 4.2 das Verhalten des Integranden fürwachsendes
λ dargestellt. Wäre der kritische Punkt ein Randpunkt und f 0 (x) =0,soüberlegt man
leicht, daß Formel (4.2.7) gilt, aber dividiert durch Zwei.
1
0.8
0.6
0.4
λ=1
0.2
λ=3
λ=10
0
4 3 2 1 0 1 2 3 4
Abb. 4.2.Integrand von Gl. (5.2.7) bei wachsendem λ für f(x) =x 2
Man kann nun zeigen, daß die rechten Seiten der Gl. (4.2.5) und (4.2.7) für λ →∞asymptotisch
exakte Näherungen für die linken Seiten sind. Hierzu muß ein ’’kritischer’’ Punkt existieren, d.h.
ein Punkt x ∗ für den die Funktion f(x) zu einem Minimum wird. Aus der vorstehenden Ableitung
50

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wird klar, worin der entsprechende Beweis bestehen muß. Zum Ersten ist es der Nachweis, daß
bei der Entwicklung der Funktion f(x) tatsächlich nur das erste nicht verschwindende Glied berücksichtigt
werden muß. Zum Zweiten ist es der Nachweis, daß man die Funktion h(x) fürgroße
λ als so schwach veränderlich ansehen kann, daß sie als Konstante mit dem Wert im kritischen
Punkt vor das Integral für λ →∞gezogen werden kann. Schließlich ist nachzuweisen, daß die
Umgebung des kritischen Punktes das Integral so sehr dominiert, daß man den Integrationsbereich
auch beliebig vergrößern kann. Denn nur in diesem Fall hat man auch immer, also, wie man noch
sehen wird, auch im mehrdimensionalen Fall eine analytische Lösung des Integrals.
4.3. Mehrdimensionale asymptotische Laplaceintegrale ∗
Mehrdimensionale Laplaceintegrale haben, wie weiter unten noch deutlich wird, vielfältige Anwendungen
in der Zuverlässigkeitstheorie. Im folgenden werden wir zunächst zwei Hilfssätze angeben,
von denen der erste, der die wesentlichen Eigenschaften der asymptotischen Näherungen
enthält, auch bewiesen werden soll. Gegenstand der Untersuchungen sind Integrale vom Typ
Z
I(λ) = h(y) exp[−λ f(y)]dy (4.3.1)
D
für λ →∞wobei y =(y 1 , y 2 ,...,y n ) T , und D ein einfach zusammenhängender Bereich in
R n , der den Koordinatenursprung enthält. f(y) ist mindestens zweimal differenzierbar und hat
ein Minimum im Ursprung y = y ∗ = 0. h(y) ist eine um den Ursprung herum ’’langsam’’
veränderliche Funktion und es ist h(0) 6= 0.
Es sei N eine kleine Umgebung von y ∗ = 0 derart, daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Dann gilt:
Z
Z
D∩N
Z
D
D
f(0) < inf{f(y) :y ∈ D\N} (4.3.2)
h(y) exp[−λ f(y)]dy > 0 (4.3.3)
|h(y)| exp[−λ f(y)]dy < ∞ (4.3.4)
Z
h(y)exp[−λ f(y)]dy ∼
D∩N
h(y)exp[−λ f(y)]dy (4.3.5)
für λ →∞ 8 .
Die Bedingungen (4.3.2) bis (4.3.4) sprechen für sich. Ganz analog zum eindimensionalen Fall
besagt Gl. (4.3.5), daß für λ →∞im wesentlichen nur eine kleine Umgebung N zum Integral
I(λ) beiträgt. Das erlaubt, die Funktionen h(y), f(y) und möglicherweise die Funktionen g i (y)
die D definieren, d.h. wenn D durch D = {∩g i (y) ≤ 0} gegeben ist, durch Taylorentwicklungen
bis zum ersten nicht verschwindenden Glied zu nähern. Außerdem besagt Gl. (4.3.5), daß der
8
Hierbei steht das Zeichen ” ∼ ” für asymptotisch exakt, d.h. es wird
verwendet.
k(x) ∼ g(x) für
k(x)
lim
x→∞ g(x) =1
51

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Integrationsbereich vergrößert werden kann, d.h. auch den Bereich D\N umfassen darf, da dieser
nur in vernachlässigbarer Weise zum Integral beiträgt.
Es kann vorkommen, daß D als Vereinigung D = ∪D i von Schnittmengen D i = ∩D ij gegeben
ist. In diesem Fall kann D mehrere kritische Punkte y 0i haben. Dann ist es mit λ →∞immer
möglich, Umgebungen N i dieser Punkte derart zu finden, die disjunkt werden. Also ist:
lim
λ→∞
I(λD)
I( S m
i=1 (λD i ∩ N i )) = I(λD)
P m =1 (4.3.6)
i=1 I(λD i ∩ N i )
Man braucht also nur alle Beiträge zur Vereinigung aufzusummieren.
Im folgenden werden einige wichtige Fälle in Form von Sätzen ohne Beweise aber mit Hinweisen
auf ihre Ableitung angegeben. SATZ 1 bis SATZ 3 enthalten unmittelbare Verallgemeinerungen
des eindimensionalen Problems. SATZ 4 ist eine Verallgemeinerung durch Kombination von SATZ
1 und SATZ 3. SATZ 5 ist eine Verallgemeinerung von SATZ 4, die speziell für einfache Wahrscheinlichkeitsintegrale
nützlich ist.
SATZ 1: [17]
Es sei angenommen, daß der Ursprung, an welchem die Funktion f(y) ihr Minimum hat, im Inneren
des Bereiches D liegt (0 ∈ D). f(y) habe die quadratische Taylorentwicklung
f(y) ≈ f(0)+ 1 2 yT S(0)y + ...
Die Hessematrix S(0) = { ∂ 2f(0)
∂y i ∂y j
; i, j =1,...,n} der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
von f(y) in der Umgebung von y = 0 ist positiv definit. Vereinbarungsgemäß sind die ersten
Ableitungen von f(y) in y ∗ =0gleich Null, d.h. ∇f(0) =0. Dannist:
Z
I(λ) = h(y)exp[−λ f(y)]dy ∼ h(0)exp[−λ f(0)]( 2π λ )n/2 |Det(S(0))| −1/2 (4.3.7)
D
für λ →∞ 9 .Für Gl. (4.3.7) wird das nach Aitken benannte Integral benötigt:
·
(2π)
ZR −n/2 exp − 1 ¸
2 xT Sx dx = |Det(S)| −1/2 (4.3.8)
n
#
SATZ 2: [17]
Wenn der Gradient ∇f(0) an einem Randpunkt y ∗ = 0 verschwindet und die Integration nur
über den positiven Bereich erstreckt wird, aber sonst alle Bedingungen des Satzes 1 erfüllt sind,
9
Dieses Resultat kann am einfachsten dadurch hergeleitet werden, daß man durch eine orthogonale Koordinatentransformation
(Rotation) die Glieder außerhalb der Diagonalen der Hessematrix S(0) zum Verschwinden bringt. Die
Funktion h(y) wird mit ihrem Wert an der Stelle y = 0 vor das Integral gezogen. Der Exponent im Integral wird
dann zu
exp[−λ(f(0)+ 1 P n
2 i=1 s ii y 2 i )]=exp[−λ f(0)] Q n
i=1 exp[−λ/2 s ii y 2 i ].
Daher ist
I(λ) =h(0)exp[−λ f(0)](2π/λ) n/2 Q n
i=1 (s ii) −1/2
unter R Beachtung der Tatsache, daß
∞
−∞ (2π)−1/2 exp[−λ/2 s ii y 2 i ]dy i =(2π/λ) 1/2 (s ii ) −1/2 ,
wenn die Integration von −∞ bis +∞ erstreckt wird.
52

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
bekommt man durch einfache Überlegung
Z
I(λ) = h(y)exp[−λ f(y)]dy
für λ →∞
#
SATZ 3: [24]
Es sei nun a i = ∂f(0)
∂y i
D∩R
∼ h(0)exp[−λ f(0)]( 2π λ )n/2 2 −n Det(S(0)) −1/2 (4.3.9)
> 0 für i =1,...,n, und die Funktion f(y) habe ihr Minimum im Ursprung.
Der Integrationsbereich sei der positive Quadrant in R n . Die Funktion f(y) habe in y = 0 die
Entwicklung:
f(y) ≈ f(0)+a T y
Wie bei Satz 1 wird h(0) und der Term exp[−λ f(0)] vor das Integral gezogen. Es ist 10 :
Z
I(λ) = h(y)exp[−λ f(y)] dy
D∩R n +
Y n −1
∼ h(0)exp[−λ f(0)]λ −n ∂f(0)
¯ ∂y i
¯¯¯¯
i=1
(4.3.10)
für λ →∞.
#
SATZ 4 :[24]
∂f (0)
Es sei k ∈ {0,...,n}. Die Funktion f(y) habe ihr Minimum im Ursprung. Dort ist jedoch
∂y i
>
0 für i =1,...,kund die Hessematrix S(0) ={ ∂2 f(0)
∂y i ∂y j
; i, j = k+1,...,n} der zweiten Ableitungen
von f(y) in der Umgebung des Ursprungs ist positiv definit. In der Entwicklung für f(y) behält
man nur die führenden Terme bei, d.h.:
f(y) ≈ f(0)+
kX
i=1
∂f(0)
∂y i
y i +
nX
i,j=k+1
∂ 2 f(0)
∂y i ∂y j
y i y j
Der Integrationsbereich sei R k + × R n−k .Dannist:
Z
I(λ) =
exp[−λ f(y)]dy
∼
D∩(R k + Rn−k )
h(0)exp[−λ f(0)]
n−k
(2π) 2
λ n+k
2
für λ →∞. Dieser Satz kombiniert die Sätze 1 und 3.
#
à kY −1 ∂f(0)
¯ ∂y
i=1 i
¯¯¯¯
! |Det(S(0))| −1/2 (4.3.11)
10
Wenn über den ganzen positiven Quadranten integriert wird, errechnet man leicht, daß R ∞
0
exp[−λ a i y i ]dy i =
(λ a i ) −1 .
53

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
SATZ 5 :[24]
f(y) habe ein Minimum in y ∗ 6= 0 und D sei gegeben durch D = T k
i=1 D i mit D i = {y :
g i (y) ≤ 0} und k ∈ {1, 2,...,n}. f(y) sowie die Funktionen g i (y) seien wenigstens zweimal in
y ∗ differenzierbar und die Funktion h(y) sei in y ∗ stetig und h(y ∗ ) 6= 0.Iny ∗ gelte g i (y ∗ )=0
für i =1, 2,...,k. Die Gradienten a i = ∇g i (y ∗ )(i =1, 2, ..., k) seien linear unabhängig. Es ist
a ij =0für i =1, 2, ..., k und j = k +1, ..., n. Das bedeutet auch, daß ∂f(y ∗ )/∂y i =0für
i = k +1,...,nund daß der Gradient in der Form
∇f(y ∗ )=
kX
γ i a i
i=1
mit γ i < 0 für i =1, 2,...,kdargestellt werden kann. Anwendung von Satz 3 bzw. 4 ergibt:
Z
I(λ) = h(y)exp[−λ f(y)]dy
∼
D
à kY
!
h(y ∗ )exp[−λ f(y ∗ )](2π) n−k
2 λ
− n+k
2 |det(A)| −1 |γ i | −1 |det(D)| −1/2 (4.3.12)
i=1
für λ →∞. Darin ist A = {a ij ; i, j =1, 2,...,k} eine nicht singuläre Matrix und D = {d ij ;
i, j = k +1,...,n} ebenfalls nicht singulär mit d ij = ∂2 f (y ∗ )
∂y i ∂y j
− P k
s=1 γ ∂ 2 g s(y ∗ )
s ∂y i ∂y j
.Für k = n ist
det(D) =1.
Dies ist ein allgemeineres Resultat als in Satz 4 und wird Ausgangspunkt für die Berechnung von
Wahrscheinlichkeitsintegralen sein. Zwei Spezialfälle sind von besonderem Interesse. Für k =1
zeigt man insbesondere [17]
Z
I(λ) = h(y)exp[−λ f(y)]dy (4.3.13)
∼
D
h(y ∗ )exp[−λ f(y ∗ )](2π) n−1
2 λ
− n+1
2 k∇g(y ∗ )k −1 | det(D)| −1/2
mit γ 1 = k∇f (y∗ )k
.Für k = n erhält man
k∇g(y ∗ )k
Z
I(λ) = h(y)exp[−λ f(y)]dy (4.3.14)
D
à kY
!
∼ h(y ∗ )exp[−λ f(y ∗ )](2π) −1 λ −n/2 | det(A)| −1 |γ i | −1
i=1
Die Resultate (4.3.7) bis (4.3.14) können in asymptotischen Sinne nicht verbessert werden.
4.4. Anwendung auf Integrale der Normalverteilung
Die wesentliche Idee die vorstehenden Ergebnisse auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsintegralen
anzuwenden besteht nun in einer Skalierung des Integrationsbereiches durch einen Faktor
b (vergl. Bild 4.3). Wir nehmen bis auf weiteres an, daß nach einer Rosenblatt-Transformation des
54

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ursprünglichen Zufallsvektors die Integration im Standardraum erfolgen kann. Es ist
Z
P (V )= ϕ(y)dy (4.4.1)
V
zu berechnen. Es sei b ≥ 1. Dann ist mit u = y b −1 [75]
Z
Z
Z
P (bV )= ϕ(y)dy = b n ϕ(bu)du =(2π) − 1 2 b
n
bV
V
V
exp[−b 2 kuk 2 /2] du (4.4.2)
Es ist klar, daß Gl. (4.4.2) mit h(u) =1, f(u) =kuk 2 /2 und λ = b 2 genau die gewünschte Form
für eine Anwendung von Satz 5 besitzt. Ist nun der Bereich V an sich schon klein, erhält man die
Wahrscheinlichkeit P (V ) des unskalierten Bereiches durch Setzen von b =1.
u
1
b β
β
u
2
Abb. 4.3.Skalierung des Integrationsbereiches
Wir wenden nun Satz 5 formal an. Dabei wird zunächst das asymptotische Ergebnis angegeben und
dann die Näherung für b =1. Bei der Anwendung des Satzes muß man einige Fälle unterscheiden.
Der Versagensbereich sei durch V = { T m
i=1 V i} mit V i = {g i (u) ≤ 0} definiert. Der gemeinsame
β−Punkt sei
(
)
m\
ku ∗ k =min{kuk} für u : (g i (u) ≤ 0)
(4.4.3)
z.B. mit einem Algorithmus in Anhang H bestimmt und es ist ku ∗ k > 1 und g i (0) > 0 fürwenigstens
ein i ∈ {1, 2, ..., m}. Diese Bedingung garantiert, daß ku ∗ k 6= 0und daß ku ∗ k ein Randpunkt
des Versagensbereiches ist. Für die Funktionen g i (u ∗ ),i=1, 2, ..., k, sei g i (u ∗ ) ≈ a T i (u−u ∗ )=0
und die zugehörigen Gradienten a i = ∇g i (u ∗ ) 6= 0seien linear unabhängig, wobei 1 ≤ k ≤ n.
Für k>nist V in der Regel leer. Weiter ist g i (u ∗ ) < 0 für i = k +1,...,m.Zweckmäßigerweise
führt man eine orthonormale Transformation v = T T u (T −1 = T T ) durch. Die erste Spalte
T 1 ist beispielsweise gleich α 1 = −a 1 / ka 1 k . Die weiteren Spalten berechnet man nach dem
Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren:
d i =
c i
kc i k mit c i = e i −
i=1
Xi−1
cj(e T i cj);i = n − 1,n− 2,...,1 (4.4.4)
j=1
55

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
T i =
S i
kS i k mit S Xi−1
i = α i − S j (α T i S j); i =2,...,k
Außerdem sei b i = T T a i und B = {b i ; i =1,...,k} . Mit v ∗ = T T u ∗ ist dann g i (v ∗ ) < 0 und
v ∗ i =0für i = k +1,...,msowie b ij =0für 1 ≤ i ≤ k und k +1≤ j ≤ m. Dann ist [75]
mit
P (bV ) ∼ |det(D)| −1/2 P (b
D = {δ ij −
kX
s=1
i=1
j=1
k\
k\
V i ) ≈ |det(D)| −1/2 P ( V i ) (4.4.5)
i=1
γ s
∂ 2 g s (v ∗ )
∂v i ∂v j
; i, j = k +1,...,n} und γ = B −1 v ∗
wobei γ i < 0 für j = k +1,...,n.Daraus ergeben sich zwei Spezialfälle. Es sei g 1 (0) ≥ 0 und
V = {g 1 (u) ≤ 0}. Dannerhält man [19]
P (bV ) ∼ kv ∗ k −1 |det(D)| −1/2 b −1 ϕ 1 (v ∗ ) ≈ kv ∗ k −1 |det(D)| −1/2 ϕ 1 (kv ∗ k) (4.4.6)
mit D = {δ ij −
; i, j =2, ..., n} und dem Kronecker Symbol (δ ij =1für i = j
und δ ij = 0 für i 6= j). Dieses zentrale Ergebnis kann man noch etwas einfacher schreiben.
Im gedrehten Koordinatensystem ist nämlich β = ku ∗ k = kv1k ∗ mit v1
∗ = (β, 0,...,0). Werden
dort die Hauptkrümmungen (Eigenwerte von 2 g 1 (v ∗ )
1 ∂
k∇g(v ∗ )k ∂v i ∂v j
) von g 1 (v) =0berechnet sowie
Φ(−x) ≈ ϕ(x)/x verwendet, ist [19] :
kv∗ k
k∇g(v ∗ )k
∂ 2 g 1 (v ∗ )
∂v i ∂v j
n−1
Y
P (V ) ≈ Φ(−β) (1 − ϕ(β)
Φ(−β) κ i) −1/2
≈
i=1
n−1
Y
Φ(−β) (1 − βκ i ) −1/2 (4.4.7)
i=1
Die erste Formel nach [76] ist etwas genauer als die Zweite 11 .
Gibt es m verschiedene β−Punkte, jeweils mit gleichem β, darf man die Wahrscheinlichkeiten
nach Gl. (4.3.6) aufsummieren.
Der Versagensbereich sei nun durch V = { T k
i=1 V i} mit V i = {g i (u) ≤ 0} definiert. Im β-Punkt
u ∗ sei g i (u) ≈ α T i (u − u∗ )=0mit α i = ∇g i(u ∗ )
für i =1, 2,...,k. k∇g i (u ∗ )k u∗ habe wie oben die
Darstellung u ∗ = P k
i=1 γ i a i . Hier ist keine Drehung notwendig, sehr wohl aber die Prüfung der
11
Wenn keine Orthogonaltransformation, wie im Zusammenhang mit Gl. (5.4.5), durchgeführt wurde, gilt
P(V ) ≈ Φ(−β) |det ((I − P)H(I − P) − P)| −1/2
n
o
β
mit H = I −
k∇g(u ∗ )k G(u∗ 1
)) und P = ∇g(u ∗ )∇g(u ∗ ) T . Entsprechende Formeln ohne die Schreibweise
vereinfachende Orthogonaltransformation kann man auch für den allgemeinen Fall
k∇g(u ∗ )k 2 aufschreiben.
56

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
linearen Unabhängigkeit. Dann ergibt Satz 5:
à kY
!
P (bV ) ∼ |det(A)| −1 |γ i | −1 b −k ϕ k (u ∗ ) ≈ |det(R)| −1/2
i=1
kY
i=1
ϕ 1 (u ∗ i )
|−γ i |
(4.4.8)
mit det(A) =det(R) 1/2 wegen R = A T A. Man sieht, daß diese Formel eine asymptotische
Näherung für das mehrdimensionale Normalverteilungsintegral ist, da β i = −α T i u∗ und R =
{α T i α j} und somit P (V ) ∼ Φ k (−β; R). Hier ist keine Ermittlung von Hessematrizen notwendig.
Lineare Abhängigkeit ist beispielsweise gegeben, wenn mindestens ein ¯¯ρij¯¯ =1für i 6= j.
Für die Schnittwahrscheinlichkeiten in Gl. (4.4.4) verwendet man jedoch nur fürsehrgroßes kv ∗ k
Gl. (4.4.7) und sonst die Verfahren in Anhang B. In all diesen Fällen ist (sind) natürlich der (die)
kritische(n) Punkt(e) (β-Punkte) aufzusuchen, d.h. der(die) Punkt(e), für denimBereichV die
Dichte ϕ(v) maximal, oder unter Ausnützung der Rotationssymmetrie des Standardraumes, kvk
bzw. kvk 2 minimal wird (werden). Dabei können durch die spezielle Funktion f(v) =1/2 kvk 2
wesentliche Vereinfachungen erzielt werden. Insbesondere ist der Gradient ∇f(v) =v und die
Hessematrix von f(v) ist gleich der Einheitsmatrix. Entsprechend Gl. (4.3.4) werden die Mengen
V`,`= k +1,...,min Gl. (4.4.4) nicht berücksichtigt, da fürsieg`(v ∗ ) < 0. Man kann sie näherungsweise
berücksichtigen, indem man β−Punkte höherer Ordnung nach dem Prinzip ° v ∗`°°
n
=
min {kvk} für v : T o
m
j=1,j6=` (g j(v) ≤ 0) ∩ g`(v) =0 bestimmt und dort linearisiert, so daß die
V` durch g`(v) ≈ α T` (v − v∗`) ≤ 0 gegeben sind. Das erfordert eine Verfeinerung des Suchalgorithmus.
Die Schnittwahrscheinlichkeit in Gl. (4.4.4) ist dann P ( T m
i=1 V i) ∼ Φ m (−β; R), es
werden also alle aktiven und alle inaktiven ’’Komponenten’’ berücksichtigt. Eine Korrektur 2.
Ordnung wird nur in Bezug auf die Komponenten k +1,...,mdurchgeführt.
Für die im vorstehenden beschriebenen Aufgaben muß jeweils ein eindeutiger β-Punkt existieren.
Die Versagenswahrscheinlichkeiten bei mehreren β-Punkten, die sämtlich gefunden werden
müssen, können nach Gl. (4.3.6) asymptotisch aufaddiert werden oder man verwendet Gl. (4.3.9).
Gl. (4.4.4) mit (4.4.7) repräsentieren das asymptotische SORM. Wenn ku ∗ k nicht À 1, sagenwir
< 2, sollte man die Korrektur 2.ter Ordnung weglassen und hat nur das grobe FORM-Resultat
oder Simulationsverfahren.
Beispiel 4.4.1: Versagenswahrscheinlichkeit eines Zugstabs (Fortsetzung von Beispiel 3.2.4.2)
Aus der Tabelle am Ende von Beispiel 3.2.4.2 ermittelt man zunächst den Vektor der Richtungskosinus
zu α = {u i /β; i =1, 2, 3} = −∇g(u ∗ )/ k∇g(u ∗ )k = {−0.748, 0.467, 0.471}. Daraus
errechnet sich die Transformationsmatrix entsprechend dem Orthogonalisierungsalgorithmus in
Abschnitt 4.4 und die gedrehte Hessematrix zu
⎡
D = ⎣
0.748 0.396 0.533
−0.467 0.884 0.000
−0.471 −0.249 0.846
⎤
⎦ ; G =
1
k∇g(u ∗ )k
· 0.0061 0.0069
0.0069 0.0103
Wie man sieht, ist hier die erste Achse in den β-Punkt hineingedreht worden.
Hieraus bestimmen sich die (positiven) Krümmungsradien R i =1/κ i nach Gl. (4.1.5) mit k∇g(v ∗ )k =
k∇g(u ∗ )k =3.90 durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung zu
R 1 =1073.1, R 2 =64.9
Im Vergleich zu β =2.14 sind diese Radien sehr groß und es ist nur eine kleine Korrektur des
Resultats erster Ordnung zu erwarten. In der Tat berechnet man nach Gl. (4.4.5) (in der Form mit
Hauptkrümmungen)
¸
57

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
P f ≈ Φ(−2.135){(1 − 2.135/1073.1)(1 − 2.135/64.9)} −1/2 =1.67 10 −2
oder
β E = −Φ −1 (P f )=2.126
Man kann durch numerische Integration oder durch Simulationsverfahren zeigen, daß dies das
(auf drei Stellen nach dem Komma) exakte Resultat ist. Da sich weiter die Log-Normalverteilung
für kleine Variationskoeffizienten nicht stark von der Gumbelverteilung unterscheidet, kann gute
Übereinstimmung mit dem in Abschnitt 3.1 erhaltenen Resultat festgestellt werden.
#
Beispiel 4.4.2: Parabolische Grenzzustandsfunktion
Für das Paraboloid Gl. (4.1.7), welches Gl. (4.4.6) entspricht, gibt es ein exaktes Resultat für alle
β und füralleKrümmungen [171] .
P (V )= 1 2 − 1 π
Z ∞
0
Ã
!
sin βt + 1 Xn−1
tan −1 (−κ j t)
2
j=1
h i
exp − t2 2
t Q n−1
j=1 (1 + dt (1)
κ2 jt 2 )
1/4
Für β ≤ 0 muß |β| und κ j = −κ j gesetzt werden. Die numerische Integration verlangt etwas
Geschick. In der nachfolgenden Tabelle werden die beiden Formen von Gl. (4.4.6) und das exakte
Resultat für n =3verglichen.
β κ 1 κ 2 Gl.(3.2.1.5) Gl.(1) Gl.(4.4.6a) Gl.(4.4.6b)
3 ∗ 0.5 0.5 1.3499E-3 0.0170 - -
2 ∗ 0.5 0.5 0.0228 0.0906 - -
1 ∗∗ 0.5 0.5 0.1587 0.3272 0.6682 0.3173
0 ∗∗ 0.5 0.5 0.5 0.6681 0.8319 0.5
0 ∗∗ -0.5 -0.5 0.5 0.3419 0.3574 0.5
1 ∗∗ -0.5 -0.5 0.1587 0.0878 0.0900 0.1058
2 -0.5 -0.5 0.0228 0.0102 0.0104 0.0114
3 -0.5 -0.5 1.3499E-3 6.6108E-4 5.1103E-4 5.3996E-4
4 -0.5 -0.5 3.1671E-5 9.9403E-6 1.0175E-5 1.0557E-5
∗) β > 1/κ, ∗∗) |β| < 1
Die asymptotische Theorie ist nur gültig für eindeutige β−Punkte. Daher kann Gl. (4.4.6) nicht
für β > 1/(+κ i ) angewandt werden, da in diesem Fall der zu β gehörige Punkt einem Maximumspunkt
entspricht. Sie gilt eigentlich aber auch erst für β À 1. Gl. (1) ist daher eine Verbesserung
nur für den nicht-asymptotischen Fall. Tatsächlich findet man, daß bei negativen (vom Ursprung
weggerichteten) Krümmungen durch Gl. (4.4.6a) noch bei β =0gute Resultate erzielt werden,
bei positiven Krümmungen (zum Ursprung hingerichteten) Krümmungen werden die Ergebnisse
jedoch schnell schlecht und unbrauchbar. Sind die Krümmungen kleiner, so sind die asymptotischen
Näherungen ausgezeichnet. Sie werden jedoch umso schlechter je größer n wird. FORM
ist bei diesem Beispiel wenig befriedigend. Andere exakte Ergebnisse sind nicht bekannt.
Ob der Krümmungsterm wesentlich ist, kann man oft mit erträglichem Aufwand durch eine einfache
Betrachtung entscheiden. Für symmetrische Matrizen G gilt spur(G) = P n−1
i=1 G = P n−1
ii i=1 κ i.
Also genügt es zunächst nur die Hauptdiagonale von G zu berechnen, aus der vorstehenden Beziehung
eine mittlere Hauptkrümmung zu bestimmen, diese allen Hauptkrümmungen zuzuweisen
und dann in Gl. (4.4.6) zu verwenden. Das kann natürlich nur eine grobe Abschätzung sein.
#
58

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 4.4.3: Summe von exponentialverteilten Variablen [19] [56]
Dieses Beispiel ist als Testbeispiel bei der Entwicklung von SORM vielfach verwendet worden und
es ist eines der sehr delikaten Beispiele. Es seien n unabhängige, identisch exponentialverteilte
Variable mit Verteilungsfunktion F (x) =1− e −x gegeben und
g(X) =n + a √ n −
nX
X i (1)
i=1
Dann ist x i = − ln(Φ(−u i )) und daher
g(U) =n + a √ n +
nX
ln(Φ(−U i )) (2)
i=1
Man findet unschwer analytisch, daß nur ein β-Punkt mit den Koordinaten
u ∗ i = u∗ = −Φ −1 (e −a/√ n−1 ) (3)
existiert und es ist
β = √ ¯
n ¯−Φ −1 (e −a/√n−1 ) ¯ (4)
Die Krümmungen sind aus Symmetriegründen für gegebene a und n alle gleich
κ i = √ 1 µ
ϕ(u ∗ )
n Φ(−u ∗ ) − u∗
(5)
Daher ist mit Φ(−x) ∼ ϕ(x)
x
P f (g(U) ≤ 0) ∼ Φ(− √ n |u ∗ |)
(1 − x−2 + ...) für x →∞
µ
−
n−1
1 − u ∗ ( ϕ(|u∗ |)
Φ(− |u ∗ |) − 2
|u∗ |)
∼ Φ(− √ µ −
n−1
3
n |u ∗ 2
|)
u ∗2
(6)
Die exakte Lösung dieses Problems ist die Gammaverteilung, die die Verteilung exponentialverteilter
Variablen ist (siehe Tabelle 6.1):
P f (g(U) ≤ 0) = 1 − F Γ (n + a √ n; n) (7)
Das ist ein sehr extremes Beispiel. Bildet man nämlich den Quotienten von (6) und (7) für β →
∞, so stellt man fest, daß er mit wachsendem n und jedes a gegen einen Wert ungleich Eins
geht, also nicht asymptotisch exakt ist. Das liegt daran, daß sich die Grenzzustandsfunktion in
dem Quadranten, der den β-Punkt enthält, immer mehr einer Hyperkugel annähert. Dann kann
natürlich nicht mehr davon gesprochen werden, daß die Umgebung des β-Punktes asymptotisch
die ganze Wahrscheinlichkeitsmasse enthält. In diesem Fall kann man zwar von dem FORM-
Resultat ausgehen, muß jedoch auf andere Weise die Krümmungskorrektur durchführen. Darauf
wird in Anhang A oder B eingegangen. Betrachtet man dagegen den umgekehrten Fall bei dem die
Krümmungen vom Ursprung weg gerichtet sind und der ganz analog analytisch berechnet werden
59

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
kann, also
g(X) =
nX
X i − (n + a √ n) (8)
i=1
stellt man für alle|β| À1 hervorragende Übereinstimmung zwischen dem SORM-Ergebnis und
dem exakten Resultat fest. Es ist
P f (g(U) ≤ 0) = F Γ (n + a √ n; n) (9)
Hier muß a natürlich negativ > − √ n genommen werden. Die Krümmungen sind wie in Gl. (5)
aber mit −1 multipliziert. In den nachstehenden Bildern 4.4 und 4.5 werden die Unterschiede für
n =10gezeigt.
Beta
3.5
FORM-beta > SORM-beta
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
Tvedt~Exakt
0.5
Breitung/
Hohenbichler
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
a
Abb. 4.4.Exakte und asymptotische Lösung für konvexen sicheren Bereich
#
Beispiel 4.4.4: Versagensfläche ohne Krümmung im β−Punkt [116]
Es ist möglich, daß die Versagensfläche zwar einen eindeutigen β−Punkt besitzt, dort aber lokal
keine Krümmungen hat. Dann ist jede Krümmungskorrektur wirkungslos. Die folgende Grenzzustandsfunktion
zeigt beispielsweise ein solches Verhalten.
à !
n−1 2
1 X
g(u) =3− u 2 i − u n
C
Mit C =7und n =3ergeben FORM und SORM in der Tat das gleiche Resultat β =3=
−Φ −1 (1.35 ·10 −3 ),während eine Rechnung mit den Simulationsverfahren mit Importanzstichprobenwahl
im Anhang A β =2.45 = −Φ −1 (7 · 10 −3 ) ergibt.
#
Beispiel 4.4.5: Kleines Danielssystem [75] ∗
Die nachstehende Abbildung 4.6 zeigt ein sogenanntes Daniels-System, bei dem allen Fasern bei
Belastung die gleiche Dehnung aufgeprägt wird. Bei Belastung dieses Systems versagt zunächst
die schwächste Faser, dann die zweitschwächste Faser, etc. Beim Bruch einer Faser muß sich
die Last auf die verbliebenen intakten Fasern gleichmäßig verteilen. Bei weiterer Steigerung der
i=1
60

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beta
4.0
3.5
3.0
Tvedt~Exakt
FORM-beta < SORM-beta
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Breitung/
Hohenbichler
-2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00
a
Abb. 4.5.Exakte und asymptotische Lösung für konkaven sicheren Bereich
Last muß man bei einer gewissen Last erwarten, daß die Festigkeit der verbliebenen Fasern nicht
mehr ausreicht um die auf diese umgelagerte Last aufzunehmen. Das System versagt. Dabei sind
dynamische Effekte vernachlässigt.
Die Fasern haben identisch und unabhängig verteilte Festigkeiten X i . Bei Ordnung nach ( bX 1 ≤
bX 2 ≤ ... ≤ bX n ) erkennt man, daß die Festigkeit des Systems durch
gegeben ist. Also ist
R =
max
n
k=1
n(n − k +1) b X k
o
à n
!
\
P f (s) =P {(n − k +1) X b k − s ≤ 0}
k=1
und damit ist ein Parallelsystem (Schnittmengensystem) zu berechnen. Die Verteilungsfunktion
von b X 1 ist
F 1 (x 1 )=1− [1 − F (x 1 )] n (3)
Die Verteilungsfunktionen der X i sind die Verteilungsfunktionen der ursprünglichen Variablen aber
gestutzt bei X i = x 1 .
(1)
(2)
P (X i ≤ x| bX i = x 1 )= F X(x) − F X (x 1 )
1 − F X (x 1 )
für x>x 1 ,i=2,...,n (4)
Entsprechend ist die Verteilungsfunktion von bX 2 | bX 1 = x 1
·
F 2 (x 2 |x 1 )=1− 1 − F ¸n−1
X(x 2 ) − F X (x 1 )
für x 2 >x 1 (5)
1 − F X (x 1 )
und allgemein
F i (x 2 |x 1 ,...,x i−1 )=1−
·
1 − F ¸n−i−1
X(x i ) − F X (x i−1 )
für x i >x i−1 >... >x 1 (6)
1 − F X (x i−1 )
61

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
. . . .
Abb. 4.6.Ideales Daniels-System
Damit kann die Rosenblatt-Transformation durchgeführt werden. In der folgenden Tabelle sind
die Zuverlässigkeitsindizes für einige Größen des Daniels-Systems angegeben.
n I ku ∗ k IIa IIb IIc Exakt
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
1 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00
3 1.50 1.50 1.82 1.82 1.82 1.82
5 1.58 1.34 1.76 1.76 1.83 1.87
10 1.59 1.19 1.72 1.72 1.84 2.03
15 - 1.16 1.64 1.64 2.05 2.19
20 - 1.16 1.60 1.61 2.20 2.32
Tabelle für Daniels-System (elastisch spröder Fall)
Für die numerischen Berechnungen wurde die Last zu s = n(m + a σ) mit a = −2 angenommen
und einVariationskoeffizient von V = σ/m =0.2 für die nach N(m; σ) verteilten Faserfestigkeiten.
In der Spalte (2) sind zunächst die Zuverlässigkeitsindizes für eine Rechnung mit individueller
Linearisierung ohne jede Korrektur 2-ter Ordnung angegeben. Vergleich mit dem exakten Resultat
in Spalte (7) die nach Daniels [?] nach der nachstehenden Rekursionsformel berechnet werden
P f (s) :=F (n) (s) =
nX
(−1) k+1 ( n k )F X k
k=1
(n−k)
(s)F
X
(
s
n − k +1 ) (7)
zeigt, daß in diesem Fall eine Theorie erster Ordnung nicht ausreicht. Spalte (3) zeigt den Abstand
des gemeinsamen β-Punktes zum Ursprung. In Spalte (4) wurden im β-Punkt nur die aktiven Komponenten
linearisiert, also keinerlei Korrektur 2-ter Ordnung vorgenommen. Erstaunlicherweise
weichen die Werte in Spalte (5), bei denen eine 2-te Ordnung Korrektur vorgenommen wurde,
praktisch nicht von den Werten der Spalte (4) ab. Das weist darauf hin, daß die Grenzzustandsflächen
im β-Punkt nur sehr wenig gekrümmt sind. Erst die in Spalte (6) verfolgte Strategie, auch die
inaktiven Komponenten in linearisierter Form mitzuberücksichtigen, ergibt im Vergleich zu Spalte
(7) akzeptable Resultate, und das sogar im Hinblick auf die Tatsache, daß der geometrische Zuverlässigkeitsindex
in Spalte (3) für große n ziemlich niedrig ist. Es kann durch Erhöhung der
Zuverlässigkeit des Systems, z.B. durch Verkleinerung des Parameters a oder des Variationskoeffizienten
V gezeigt werden, daß schon bei geometrischen Zuverlässigkeitsindizes von ≥ 2 bei
größeren n die inaktiven Komponenten schnell unwichtig werden.
62

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Obwohl es bei diesem Beispiel um methodische Erörterungen ging, soll doch auf das Verhalten
des Zuverlässigkeitsindex mit wachsendem n hingewiesen werden. Wie man sieht, sinkt der Index
zunächt mit wachsendem n und steigt dann wieder an, wie man es von einem hochredundanten
System erwartet. Die Lastabtragung durch kleine Daniels-Systeme ist also unsicherer als wenn die
Last nur durch eine einzige starke Komponente abtragen würde. Dieser Tatbestand hat erhebliche
praktische Bedeutung.
Die gleiche Rechnung kann man auch für ideal elasto-plastisches Material durchführen. Man sieht,
daß bereits die geometrischen Zuverlässigkeitsindizes (Spalte (2) den exakten Werten recht nahe
kommen. Die exakten Wahrscheinlichkeiten werden wie folgt berechnet.
µ
P f (s) =Φ − s √ − nm
(8)
nσ
n I ku ∗ k IIa IIb IIc Exakt
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
1 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00
3 3.21 3.21 3.21 3.45 3.50 3.46
5 4.01 4.01 4.01 4.45 4.48 4.47
10 5.47 5.47 5.47 6.28 6.33 6.33
15 6.59 6.59 6.59 7.69 7.73 7.75
20 7.54 7.54 7.54 8.87 8.90 8.94
Tabelle für Daniels-System (elasto-plastischer Fall)
In diesem Fall wachsen die Zuverlässigkeitsindizes monoton mit n. Auch dieser Tatbestand hat
große praktische Bedeutung. Eine Linearisierung im β-Punkt (Spalte (3) ist noch nicht sehr erfolgreich,
die Hinzunahme der Korrekturen 2-ter Ordnung (Spalte (5) produziert aber fast das exakte
Ergebnis. Das bedeutet, daß in diesem Fall die Krümmungen groß sind, was auch die Rechnung
ausweist. In Spalte (6) sind wie im elastisch-spröden Fall formal auch die inaktiven Komponenten
berücksichtigt. Im plastischen Grenzfall sind das alle Komponenten. Aus den kleinen Differenzen
zwischen den Spalten (5) und (6) mag man daher ganz allgemein auf die erzielbaren Genauigkeiten
bei Hinzunahme der nicht aktiven Komponenten schließen. Die Ursachen dieser Differenzen sind
aber nicht theoretischer, sondern rein numerischer Natur (Ungenauigkeiten bei der Bestimmung
des gemeinsamen β-Punktes, der Gradienten und zweiten Ableitungen in diesem Punkt sowie bei
der Auswertung der mehrdimensionalen Normalverteilung).
Insgesamt kann hervorragende Übereinstimmung mit den exakten Resultaten festgestellt werden.
#
4.5. Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten ∗
Bedingte Versagenswahrscheinlichkeiten
P f (F |A ∩ B ∩ C...) =
P(F ∩ A ∩ B ∩ C ∩ ...)
P(A ∩ B ∩ C ∩ ...)
(4.5.1)
werden durch getrennte Berechnung des Zählers und des Nenners in Gl. (4.5.1) ermittelt. Bedingende
Ereignisse können z.B. aktuelle Beobachtungen sein, die Ergebnisse von Probebelastungen
und ähnliches.
63

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wenn das bedingende Ereignis jedoch als Gleichheitsbedingung formuliert werden muß, ergeben
sich einige Besonderheiten. Dann sind Oberflächenintegrale (erster Art) des Typs
Z
I(D) = ϕ n (x)ds(x) (4.5.2)
D
mit D = E ∩ F = T l
i=1 {Ei}∩ _m i=l+1 {Fi} = T l
i=1 {ei(X) =0}∩ _m i=l+1 gi(X) ≤ 0} zu lösen.
X =(X 1 ,...,X n ) T ist der n-dimensionale Zufallsvektor mit gegebener Verteilungsfunktion und
es ist l2
½
a(n) = a 2−m
2
0 + 2 − m
¾ 2
YCπ m/2 nE[S m 2−m
]
2
(2)
64

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wobei s(n) als Zufallsbelastung eingeführt wurde und das Zeitintegral auf der rechten Seite nach
dem Ergodensatz (Gesetz der großen Zahlen für Zufallsprozesse) durch den Ensemblemittelwert
ersetzt wurde. a 0 ist die Anfangsrißlänge. Als einfaches Versagenskriterium wird die Überschreitung
einer gewissen Rißlänge a cr genommen. Also ist
V = {a cr − a(n) ≤ 0} (3)
Für Berechnungen der Versagenswahrscheinlichkeit führt man zweckmäßigerweise mindestens die
Anfangsrißlänge und den Parameter C als Zufallsvariable ein. Wenn nun nach t 1 Jahren inspiziert
wird und kein Riß beobachtet wird, so kann man die Beobachtung durch
B(t 1 )={a(t 1 ) ≤ a th + ²} (4)
beschreiben. Dabei ist a th eine Rißlänge, die gerade noch entdeckt werden kann. ² ist ein Meßfehler.
Nach der Beobachtung kann die Versagenswahrscheinlichkeit für den Zeitraum bis zur
nächsten Inspektion t 2 nach Gl. (4.5.1) mit (4.5.3) berechnet werden.
P f (t 1 + t 2 |B(t 1 )) = P (V (t 1 + t 2 ) ∩ B(t 1 ))
P (B(t 1 ))
(5)
Wir nehmen nun noch an, daß zum Zeitpunkt t 1 + t 2 ein Riß der Größe a 2 beobachtet wird und
nun zu entscheiden ist, ob man mit seiner Reparatur noch bis zum Inspektionszeitpunkt t 1 +t 2 +t 3
warten kann. Die letzte Beobachtung wird durch
C(t 1 + t 2 )={a(t 1 + t 2 ) − (a 2 + δ) =0} (6)
beschrieben. δ ist wiederum ein Meßfehler. Nunmehr hat man also
P f (t 1 + t 2 + t 3 |B(t 1 ) ∩ C(t 1 + t 2 )) = P (V (t 1 + t 2 ) ∩ B(t 1 ) ∩ C(t 1 + t 2 ))
P (B(t 1 ) ∩ C(t 1 + t 2 ))
(7)
zu berechnen, wobei man beachte, daß Gl. (6) nunmehr eine Gleichheitsbedingung ist.
#
Beispiel 4.5.2: Versagenswahrscheinlichkeit eines existierenden Bauwerks
Die Zustandsfunktion einer wichtigen Komponente eines Bauwerks, welches einem neuen Verwendungzweck
mit höherer Last zugeführt werden soll, laute
V (t) ={R − (D + L(t)) ≤ 0} (1)
Darin ist R der Komponentenwiderstand, D die Lastwirkung aus Eigengewicht und L(t) die in
der Zeit veränderliche Nutzlastwirkung. Zum Zeitpunkt t 1 habe man neben der Feststellung, daß
die Komponente bisher nicht versagt hat, noch die Information, daß die höchste während der Nutzung
aufgetretene Nutzlastwirkung gleich ` war. Außerdem hat man für den Tragwerkswiderstand
zerstörungsfreie Prüfungen mit dem Ergebnis ρ durchgeführt. L 1 (t) sei durch eine Zufallsfolge
modellierbar. Also ist
V (t 1 )={R − (D +max{L 1 (t 1 )}) > 0} (2)
B l = {max{L(t} = `} (3)
65

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
B ρ = {R = ρ + ²} (4)
mit ² einem Meßfehler und für die neue Nutzung durch L 2 (t)
V (t) ={R − (D +max{L 2 (t)}) ≤ 0} (5)
Somit wird die Versagenswahrscheinlichkeit für den Zeitraum [0,t]
P f (V (t)|B l ∩ B ρ ∩ V (t 1 )) = P (V (t) ∩ B l ∩ B ρ ∩ V (t 1 ))
P (B l ∩ B ρ ∩ V (t 1 ))
(6)
die man natürlich beschränkt bleiben muß. Hierbei ist wichtig zu bemerken, daß die einzelnen
Ereignisse in Gl. (6) z.T. hoch abhängig sind. Beispielsweise sind die Variablen R und D in den
Ereignissen V (t 1 ) und V (t) enthalten. Die Möglichkeit die Zuverlässigkeit von existierenden
Bauwerken nach Schädigungen oder fürzukünftige Nutzungsänderungen auf diesem Wege zu bewerten
hat in der Praxis große Bedeutung.
#
Beispiel 4.5.3: Optimierung einer Probebelastung
Die für den Start erforderlichen Feststoffraketen der Raumfahrt können als hochfeste zylindrische
Behälter unter Innendruck aufgefaßt werden. Um Gewicht zu sparen verwendet man u.a. hochfeste,
durch sogenanntes Fließdrücken hergestellte Stähle. Man kann trotz sorgfältigster Herstellung
und anschließende Qualitätskontrolle das Entstehen von kleinen Rissen nicht mit Sicherheit ausschließen.
Daher wird für die einzelnen Zylinderschüsse in der Regel noch eine abschließende
Druckprüfung durchgeführt. Diese Druckprüfung ist jedoch in verschiedener Hinsicht problematisch.
Zunächst ist festzustellen, daß kleinste Risse, etwa in der Größe von 1 [mm] auch bei
sorgfältigster zerstörungsfreier Prüfung nicht mehr entdeckt werden können. Eine Druckprüfung
auf niedrigem Niveau bringt aber kaum zusätzliche Information. Ein im Vergleich zur Belastung
im späteren Betrieb zu hohes Niveau kann die Zahl der bereits bei der Druckprüfung versagenden
Zylinderschüsse unwirtschaftlich anwachsen lassen. Wenn kleine Risse vorhanden, können diese
Risse wachsen und damit die Zuverlässigkeit bei der eigentlichen Verwendung vermindern.
Für einen inneren kreisförmigen Riß mit Halbmesser a kann man vereinfachend folgendes Instabilitätskriterium
aufstellen.
(
V =
Darin sind
K r = K 1 /K 1c = σ √ (πa)Y (a)/K 1c
σ = Spannung
K 1c =Bruchzähigkeit des Materials
a =Rißlänge
Y (a) ≈ 1.12 =Geometriefaktor
L r = p i /p 0
p i =Innendruck
p 0 ≈ [t/r(R y + R m )/2]1.07[1 − πa 2 /(4t(a + t))]
R y =Fließgrenze des Stahls
R m =Bruchgrenze des Stahls
L r
[8/π 2 ln(sec(πL r /2))] 1/2 − K r ≤ 0
)
(1)
66

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
t =Wanddicke
r =Zylinderradius
Bei der Druckprüfung wächst der Riß nach einem modifizierten für duktile Werkstoffe geltenden
Gesetz um
∆a =
π
6(R y K 1c ) 2 K 4 1,q
1 − ( K 1,q
K 1c
) 2 (2)
mit K 1 , q = σ q (πa) 1/2 dem Spannungsintensitätsfaktor bei Probebelastung mit dem Druck q und
der Spannung σ q = qr/t.Für das Versagen bei der Druckprüfung gilt Gl. (1) aber mit p i durch q
und a durch a + ∆a ersetzt. Für das Bestehen der Druckprüfung gilt
½
D =
L r
[8/π 2 ln(sec(πL r /2))] − K r > 0|p i = q, a = a + ∆a
Also ist die bedingte Versagenswahrscheinlichkeit aus
¾
(3)
P (V |D) =
P (V ∩ D)
P (D)
(4)
zu berechnen. Für die numerische Auswertung gelten die folgenden Angaben.
Variable Verteilungsfunktion Mittelwert Variationskoeffizient
p i Normal 125 [bar] 0.08
R y Normal 1450 [MPa] 0.05
R m Normal 1700 [MPa] 0.05
K 1c Normal 105 [MPa √ m] 0.15
a Rayleigh 1 [mm] 0.52
t Normal 8.5 [mm] 0.02
r Konstant 1500 [mm] -
Die folgende Abb. 4.7 zeigt einige Ergebnisse. Als Zuverlässigkeit war mindestens ein Zuverlässigkeitsindex
von β=4.26 (P f =10 −5 ) einzuhalten. Das ist die gepunktelte Linie. Man erkennt, daß
diese Zuverlässigkeit bei den gemachten Annahmen nicht erreichbar ist. Wenn jedoch der Prüfdruck
etwa auf den sogenannten MEOP (Maximum Expected Operating Pressure) eingestellt wird,
kann die erforderliche Zuverlässigkeit erreicht werden. Zusätzlich ist die Wahrscheinlichkeit des
Versagens bei der Probebelastung dargestellt. Das bedeutet, daß bei diesem Prüfdruck etwa 1 %
der Zylinderschüsse bei der Probebelastung versagen.
#
Beispiel 4.5.4: Zuverlässigkeit und Qualitätskontrolle
Ein wichtiges Instrument Zuverlässigkeit zu erzielen ist die Qualitätskontrolle. Der Zusammenhang
von Zuverlässigkeit und Qualitä tskontrolle kann ebenfalls auf der Grundlage von bedingten
Versagenswahrscheinlichkeiten entwickelt werden. Es sei angenommen, daß eine Kontrolle
eingerichtet ist. Diese entnehme dem Herstellungsprozeß zufällig Proben, die anhand einer bestimmten
Abnahmevorschrift über Abnahme und Ablehnung der entsprechenden Betrachtungseinheit
entscheiden. Erfolgt Ablehnung, so wird die Betrachtungseinheit entweder zurückgewiesen
oder einer in der Regel sorgfältigeren Nachprüfung unterzogen. Diese Betrachtungseinheiten
seien hier nicht weiter von Interesse. Statistische Qualitätskontrolle kann jedoch ’’ungenügende’’
Betrachtungseinheiten aufgrund der begrenzten Probenahme nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit
67

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
4.5
4.0
3.5
β (V D )
3.0
2.5
2.0
1.5
β (D)
110 12 0 13 0 14 0 15 0
q [bar]
Abb. 4.7.β bei Druckprüfung und bei Verwendung nach bestandener Druckprüfung in Abhängigkeit vom
Prüfdruck
entdecken. Eine Versagenswahrscheinlichkeit muß also bestimmt werden unter der Annahme, daß
eine Qualitätskontrolle vorhanden ist, die ’’ungenügende’’ Betrachtungseinheiten (Lose) nur mit
gewisser Wahrscheinlichkeit ausfiltert. Es sei f Θ (θ) das sogenannte Qualitätsangebot. Die Qualität
ist durch den streuenden Vektor Θ, z.B. Mittelwert und Standardabweichung, beschrieben.
Weiter sei eine Abnahmevorschrift gegeben. Beliebt ist A = {¯x n ≥ x a ∩ x min ≥ x b } wenn die
Qualtitätsanforderung als p%-Quantil definiert sind. Darin ist ¯x n = 1 n
P n
i=1 x i der aus der unabhängigen
Stichprobe vom Umfang n ermittelte Mittelwert, x min der kleinste Eizelwert und x a und
x b vorgegebe Abnahmegrenzen. Die Operationscharakteristik (Annahmewahrscheinlichkeit) des
Abnahmetests sei L(A | θ) =P (¯x n ≥ x a ∩ x min ≥ x b | θ). Dann ist
P f = P (V | A) =
P (V ∩ A)
P (A)
(4.5.4)
worin
P (A) =
Z ∞
−∞
P (¯x n ≥ x a ∩ x min ≥ x b | θ)f Θ (θ)dθ (4.5.5)
also die Wahrscheinlichkeit für alle angenommenen Betrachtungseinheiten. Wenn für das Abnahmeereignis
A = © P
x a − 1 n
n i=1 x ª
i ≤ 0 ∩ x min ≥ x b geschrieben wird, hat man die gewünschte
Formulierung.
µ½
P (V ∩ A) =E Θ
·P ({g(X, Θ) ≤ 0} ∩ x a − 1 X
¾
¸
n
n X i ≤ 0 ∩ {x b − X min ≤ 0} | Θ)
i=1
(4.5.6)
Diese Formulierung gilt für beliebige Verteilungsfunktionen von X und kann natürlich für kompliziertere
Abnahmevorschriften verallgemeinert werden.
Das ist jedoch nur ein Aspekt der Qualitätskontrolle. Ihre Wirksamkeit hängt neben den Details der
Abnahmevorschrift ganz wesentlich von der Stabilität des Qualitätsangebots ab. Diese Stabilität
erreicht man z.B. durch ein System von Eigen- und Fremdüberwachung. Die Eigenüberwachung
und ihre Wirkung auf die Versagenswahrscheinlichkeit wurde schon beschrieben. Eigenüberwachung
aber ist mehr. Sie ist vielmehr die bewußte Steuerung der Produktion im Hinblick auf ein
68

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
durch den Wert von Θ festgelegtes Qualitätsniveau. Θ ist aus der Sicht des Entwurfsverfassers
eine Zufallsvariable, da die Produktionsstrategien der Hersteller unterschiedlich sind und der Produzent
in der Regel im vorhinein nicht bekannt ist. Die Aufgabe der Fremdüberwachung ist die
Sicherung des langfristigen Qualitätsniveaus, also der Verteilung von Θ. Sieüberprüft nicht nur
das Qualitätsniveau sondern auch die Funktionsfähigkeit der Elemente der Produktionssteuerung.
Auf weitere Details der Qualitätskontrolle kommen wir in Abschnitt 10 zurück.
#
4.6. Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit im Originalraum
∗
Alle bisherigen Überlegungen beruhten darauf zuerst eine Wahrscheinlichkeitstransformation in
den Standardraum vorzunehmen. Das kann Mühe bereiten, da bei manchen Verteilungsfunktionen
die Inverse nur numerisch gebildet werden kann. Außerdem kann durch die Transformation
die Versagensfläche in ihrer Gestalt verformt werden. Man kann jedoch auch eine asymptotische
Näherungslösung für den Originalraum ableiten. Man geht wiederum von SATZ 5 in Abschnitt
4.3 aus. Im Standardraum war die wesentliche Aufgabe den β−Punkt als minimalen Abstand der
Versagensfläche vom Ursprung mithilfe eines geeigneten Algorithmus zu bestimmen. Das entspricht
der Suche nach der maximalen Normalverteilungsdichte und genau dieses Konzept wird im
Originalraum angewandt. Es sei also f(x) die zweimal differenzierbare Dichte eines beliebigen,
möglicherweise abhängigen Zufallsvektors X und l(x) =ln(f(x)) die dazugehörige sogenannte
Log-Likelihoodfunktion. Die Versagensfläche g(x) =0sei mindestens zweimal differenzierbar.
Es wird mit einem geeigneten Optimierungalgorithmus die maximale Dichte bzw. Likelihoodfunktion
gesucht, d.h.
(
)
m\
l(x ∗ )=max{l(x)} für x : g(x) ≤ 0 ; m ≤ n (4.6.1)
Mit
i=1
β = p −l(x ∗ ); l(x ∗ ) < 0 (4.6.2)
kann die Versagenswahrscheinlichkeit geschrieben werden als
Z ·
P (X ∈ bV )= exp b 2 l(x) ¸ Z
β 2 dx = exp £ b 2 k(x) ¤ dx (4.6.3)
V
Das ist ein Integral der Form (4.3.1). Hier interpretiert man λ = b 2 . In x ∗ sei g i (x ∗ )=0für
i =1, ..., k und g i (x ∗ ) < 0 für i = k +1, ..., m. Fürgroßes β und daher ausreichend gut mit b =1
ist dann:
mit
P f = P (X ∈ V ) ≈ (2π) n−k
2
V
f(x ∗ )
det(A(x ∗ )) p |det(L(x ∗ ))| Q k
i=1 |γ i|
γ = A −1 (x ∗ )∇l(x ∗ ); γ i > 0 für i =1,...,k
(4.6.4)
69

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die beiden Spezialfälle sind [20] :
A(x ∗ ) = (Og 1 (x ∗ ), Og 2 (x ∗ ),...,Og k (x ∗ ))
(
)
L(x ∗ ∂ 2 l(x ∗ )
kX ∂ 2 g(x ∗ )
) =
− γ
∂x i ∂x s ; i, j = k +1,...,n
j ∂x i ∂x j
s=1
P f = P (X ∈ V ) ≈ (2π) n−1 f(x ∗ )
2
kOl(x ∗ )k p ; für k =1
|det(H(x ∗ ))|
H(x ∗ ) = T T (x ∗ )L(x ∗ )T(x ∗ ); T(x ∗ )=(d 2 , d 3 ,...,d n );
d 1 = Og(x∗ )
kOg(x ∗ )k ; γ = kOl(x∗ )k
kOg(x ∗ )k
(4.6.5)
f(x ∗ )
P f = P (X ∈ V ) ≈
det(A(x ∗ )) Q n
i=1 |γ ; für k = n (4.6.6)
i|
mit d i in Gl. (4.1.2) und f(x ∗ ) der Dichte im ’’wahrscheinlichsten’’ Versagenspunkt x ∗ . Im Vergleich
mit Gl. (4.4.4) sind diese Ergebnisse nur unerheblich komplizierter. Allerdings ist die Wirkung
des Parameters b bei den beiden Vorgehensweisen etwas unterschiedlich. Daher entstehen
auch geringfügig unterschiedliche Ergebnisse. In extremen Fällen stimmen sogar die asymptotischen
Ergebnisse nicht überein 12 .
12
Eine manchmal interessante Variante bei nur einer Komponente erhält man, wenn man die Versagenswahrscheinlichkeit
wie folgt schreibt:
P f =
ZR n−1 Z
g(x,y)≤0
Z
f Y (y | x)dy f X (x)dx = h(x) f X (x)dx
R n−1 (1)
mit x =(x 1 ,...,x n−1 ), y = x n und h(x) = R g(x,y)≤0 f Y (y | x)dy 6= 0. Wenn der Integrand ein eindeutiges
Maximumhat,kannalsoGl.(4.3.7)für einen inneren Punkt verwendet werden und es ist
P f ≈
(2π)
n−1
2 h(x ∗ )f X (x ∗ )
det(L(x ∗ )) 1/2 (2)
mit L(x ∗ )=−∇ 2 l(x ∗ ) und l(x ∗ )=lnh(x ∗ )+lnf X (x ∗ ) sowie x ∗ der Lösung von max {l(x)}. Ist insbesondere
y unabhängig von x und y = g −1 (x),sodaß y ≤ g −1 (x) Versagen bedeutet, gilt
P f ≈
(2π)
n−1
2 P(x ∗ )f X (x ∗ )
det(L(x ∗ )) 1/2 (3)
mit dem ein-dimensionalen Integral P (x ∗ )= R g(x,y)≤0 f Y (y | x)dy und h(x ∗ ) in l(x ∗ ) durch P(x ∗ ) ersetzt. Interessant
ist diese Variante, weil ein innerer Punkt ohne Restriktionen zu suchen ist, was manchmal einfacher ist. Noch
wichtiger ist, daß h(x) irgendeine Funktion von x sein kann, z.B. der Erwartungswert einer Funktion, eine bedingte
Versagenswahrscheinlichkeit oder, wie in Kapitel 7 noch gezeigt, eine bedingte Anzahl der Austritte. Natürlich können
x und y unabhängig normalverteilt sein. Für parabolische Grenzzustandsfunktionen erhält man dann exakt Gl.
(4.4.6a).
70

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 4.7.1: Lineare Versagensfläche und zwei unabhängige χ 2 2−Verteilungen
Die Verteilung der Größe χ 2 n = P n
i=1 U i 2 heißt bekantlich χ 2 −Verteilung mit dem Freiheitsgrad n.
Es gilt F χ 2(x; n) =F Γ ( x; n ). Geometrisch ist das eine Hyperkugel im Standardraum. In diesem
2 2
Fall muß ein Vorgehen im Standardraum bei größerem n schließlich versagen, da kein β−Punkt
gefunden werden kann. Deshalb konnte in Beispiel 4.4.3 festgestellt werden, daß einArbeitenim
Standardraum bei größerem n nicht zum gewünschten Erfolg führt. Es sei
g(x) =18− x 1 − x 2 (1)
mit X 1 und X 2 jeweils χ 2 2−verteilt mit der Dichte
f(x i )= 1 ·
4 x i exp − 1 ¸
2 x i ; x ≥ 0 (2)
Die Log-Likelihoodfunktion lautet:
l i (x) =− ln(4) + ln(x i ) − x i /2; i =1, 2 (3)
Die Likelihoodfunktion hat ein Maximum im Punkt (18/2, 18/2) und daher gilt Formel (4.6.8).
Man berechnet
∂l(x)
∂x i
= 1/x i − 1/2; i =1, 2
∂ 2 l(x)
= −1/x 2 i ; i =1, 2
∂x 2 i
∂ 2 l(x)
= 0
∂x 1 ∂x 2
∂g(x)
= −1; i =1, 2
∂x i
½ ¾
∂ 2 g(x ∗ )
G = ; i =1, 2
∂x i ∂x j
=
·
0 0
0 0
Die anderen Größen ergeben sich unmittelbar. Dann findet man aus Gl. (4.6.8)
P f = √ 3.085 · 10−5
2π
0.55 · 0.11 =1.266 · 10−3 (4)
Die exakte Lösung ist P f =1− χ 2 (18; 4) = 1.234 · 10 −3 , da Summen von χ 2 n- verteilten Variablen
wieder χ 2 n 1 +n 2
−verteilt sind. Eine Formulierung im Standardraum ergibt P f,FORM =
6.09 · 10 −4 ,P f,SORM =1.566 · 10 −3 und P f,SIM =1.238 · 10 −3 mit dem Anhang A (Gl. B.1.12)
besprochenen Importanzstichprobenverfahren bei N = 100. Hier sind die in beiden Räumen
gewonnenen Ergebnisse akzeptabel. Man kann zeigen, daß auch bei großem n das Gl. (4) entsprechende
Ergebnis asymptotisch exakt ist - im Gegensatz zur Formulierung im Standardraum,
die einen mit n zunehmenden Fehler ergibt.
#
¸
71

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 5.7.2: Lineare Versagensfläche und zweidimensionale Exponentialverteilung [71]
Auch dieses relativ akademische Beispiel hat in der Entwicklung der Theorie eine große Rolle
gespielt. Eine zweidimensionale Exponentialverteilung hat die Form
F X1 ,X 2
(x 1 ,x 2 )=1− exp [−x 1 ] − exp [−x 2 ]+exp[−(x 1 + x 2 + θx 1 x 2 )] ; x 1 ,x 2 ≥ 0 (1)
mit der Dichte
f X1,X 2
(x 1 ,x 2 )=(x 1 + x 2 + θx 1 x 2 )exp[−(x 1 + x 2 + θx 1 x 2 )] ; x 1 ,x 2 ≥ 0 (2)
und 0 ≤ θ ≤ 1 einem Parameter, der den Abhängigkeitsgrad der Komponenten steuert. θ =0entspricht
eine bivariaten Exponentialverteilung mit unabhängigen Komponenten. θ =1entspricht
einer bivariaten Exponentialverteilung mit voll abhängigen Komponenten. Man berechnet dafür
einen Korrelationskoeffizienten von ρ ≈ 0.4. Als Zustandsfunktion wählen wir ähnlich wie im
vorigen Beispiel:
g 1 (x) =18− 3x 1 − 2x 2 (3)
Wir betrachten den Fall θ =1. Bei θ ¿ 1 ist das Beispiel ’’gutartig’’.UmdieGültigkeitsgrenzen
der Verteilungen zu berücksichtigen, fügen wir die beiden zusätzlichen Zustandsfunktionen
g 2 (x) = −x 2 (4)
g 3 (x) = −x 1 (5)
hinzu, so daß der Versagensbereich zu V = {(g 1 (x) ≤ 0) ∩ (g 2 (x) ≤ 0) ∩ (g 3 (x) ≤ 0)} wird.
Das Beispiel erlaubt, eine ganze Reihe von Aspekten zu illustrieren. Im Originalraum stellt man
zunächst fest, daß es zwei kritische Punkte bei (6, 0) und (0, 9) gibt, wovon der erste Punkt das
globale Maximum der Log-Likelihoodfunktion angibt. Im Punkt (6, 0) sind g 1 (x) =0,g 2 (x) =0
sowie g 3 (x) =−6 und somit k = n =2. Deshalb ist Formel (4.6.9) anzuwenden. Es ist:
· ¸ −3 0
A =
−2 −1
· ¸ −0.833
Ol(6, 0) =
−5.833
· ¸ 0.278
γ =
5.278
Damit ist
P (V )= f X 1 , X2
(6, 0)
det(A)γ 1 γ 2
=
1.49 · 10−2
3 · 0.278 · 5.278 =3.38 · 10−3 (6)
Berücksichtigung des anderen kritischen Punktes und Summenbildung beider Ergebnisse erbringt
P (V ) ≈ 3.40 · 10 −3 .Das durch numerische Intergration ermittelte exakte Ergebnis ist P (V )=
2.94 · 10 −3 .
Auch im Standardraum läßt sich das Beispiel behandeln. Die für die Rosenblatt-Transformation
notwendigen Gleichung für die bedingten Verteilungsfunktionen sind
F (x 1 ) = 1− exp [−x 1 ]=Φ(u 1 ) (7)
72

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
F (x 2 |x 1 ) = 1− (1 + x 2 )exp[−x 2 (1 + x 1 )] = Φ(u 2 ) (8)
Die erste Form kann analytisch invertiert werden, die zweite Gleichung muß man numerisch invertieren.
Man kann auch in umgekehrter Reihenfolge vorgehen (Vertauschung der Indizes). Man hat
nur Gl (3) zu berücksichtigen, da durch die Transformation die Gültigkeitsgrenzen der Verteilungsfunktion
(1) automatisch erfüllt sind (im Standardraum nämlich von −∞ bis +∞). Auchindiesem
Fall gibt es zwei kritische Punkte, nämlich u ∗ 1 =(2.782, 0.100) und u∗ 2 =(−1.296, 3.253) mit
β 1 =2.784 und β 2 =3.501 (vergl. Abb. 4.8). Man findet beide Punkte indem man einen Algorithmus
beispielsweise wiederholt mit zufälligen Startwerten suchen läßt. Damit ist nach Gl. (4.3.3)
P f,FORM,1 ≥ 2.68 · 10 −3 bzw. P f,FORM,2 ≥ 2.79 · 10 −3 und, wenn man das Problem als Seriensysem
auffaßt, d.h. die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung der in Abb. 4.8 gezeichneten linear
begrenzten Bereiche nach GL.(4.3.9) berechnet, P f,FORM ≈ 2.94 ·10 −3 , also das exakte Ergebnis.
Nicht ganz so gut sind die Näherungen für die andere Reihenfolge der Transformation. Die dabei
bestimmten kritischen Punkte sind u ∗ 1 =(−1.123, 2.400) und u ∗ 2 =(3.630, 0.142) mit β 1 =2.649
und β 2 =3.633. Diesmal ergibt sich bei Betrachtung als Seriensystem P f,FORM,1 ≥ 4.04 · 10 −3
und P f,FORM,2 ≥ 4.18 · 10 −3 .
6
5
6
5
u* I
u* II
u* I
4
3
u* II
4
3
2
2
1
1
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
1
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
1
2
2
Abb. 4.8.Versagensfläche im Standardraum bei zwei Reihenfolgen der Rosenblatt-Transformation
Schließlich verwenden wir noch die Nataf-Transformation (Gl. (3.2.4.6)), die ja nur die Marginalverteilungen
und den Korrelationskoeffizienten benötigt. Die Rechnung ergibt 1.50 · 10 −2 . Dieses
relativ schlechte Ergebnis ist natürlich eine Folge der Tatsache, daß die Exponentialverteilung eine
Verteilung ist, die sehr stark von der Normalverteilung abweicht. Das Nataf-Modell und die
dazugehörige Transformation sind eben nur Näherungen. Bei kleinem Korrelationskoeffizienten
und weniger stark von der Normalverteilung abweichenden Randverteilungen ist das Nataf-Modell
aber durchaus brauchbar.
#
73

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 5.7.3: Gegenbeispiel zur Arbeit im Originalraum
Die Grenzzustandsfunktion sei
g(x, y) =β − x
mit X einer standard normalen Variablen und Y einer log-normalverteilten Variablen derart daß
logY/σ standard normalverteilt. Das exakte Resultat ist natürlich Φ(−β). Das ist auch das FORM/
SORM-Resultat im Standardraum. Anwendung von GL. (4.6.4) ergibt jedoch √ 2πϕ(σ)ϕ(β)/β ≈
e −σ2 /2 Φ(−β) wobei der kritische Punkt (x, y) =(β,e −σ2 ) ist. Abhängig von σ kann man also jede
Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 erhalten.
#
4.7. Schlußbemerkung
Die Abschnitte 3 und 4 waren der Berechnung von Wahrscheinlichkeitsintegralen gewidmet. FORM/SORM
sind im ganzen gesehen sehr leistungsfähig und haben eine gute theoretische Grundlage. SORM
begründet FORM. Sie verlangen ein bzw. zweimal differenzierbare Grenzzustandsfunktionen, differenzierbare
stochastische Modelle und die Existenz eines eindeutigen β−Punktes, der mittels
einer Optimierung gefunden werden muß. Die angeführten Berechnungsbeispiele zeigen, daß in
extremen Fällen eine Methode 1. Ordnung (FORM) nicht ausreichen kann. Dann ist wenigstens
eine Methode 2. Ordnung (SORM) angebracht - wenn man sich dies vom numerischen Aufwand
her leisten kann. Die drei letzten Beispiele sowie Beispiel 4.4.3 und Beispiel 4.4.4 demonstrieren
nicht nur die Anwendung der Methoden, sondern vor allem ihre Genauigkeit und mögliche
Schwierigkeiten.
Die oft nicht sehr einschränkende Forderung nach Differenzierbarkeit von Grenzzustandfunktion
und stochastischem Modell rührt aus der Verwendung von gradientenbasierten Optimierungsalgorithmen
her (siehe Abschnitt 3.2.2). Alternativ kann man auch gradientenfreie Optimierungsalgorithmen
(siehe Anhang H) verwenden. Dann hat man wenigstens FORM-Ergebnisse.
Die Frage, in welchem Raum gearbeitet werden soll, kann nicht eindeutig beantwortet werden. Für
Beispiel 4.4.3 erhält man im Standardraum nicht immer die asymptotisch richtigen Ergebnisse. Eine
Lösung im Originalraum existiert nicht. Man kann aber auch Beispiele finden, in denen das
Arbeiten im Ursprungsraum zu asymptotisch nicht richtigen Ergebnissen führt (vergl. Beispiel
4.7.3). Es gibt Hinweise, daß im Standardraum immer dann richtige asymptotische Ergebnisse
erhalten werden wenn ein eindeutiger β−Punkt existiert. Allgemein kann das Arbeiten im Standardraum
auch wegen der besseren Skalierung des Optimierungsproblems empfohlen werden.
Für das ungewöhnliche Beispiel 4.4.4 gibt es mit der vorgeführten FORM-SORM Methodik keine
Lösung. Vorsicht ist also geboten, wenn die Krümmungen numerisch sehr klein berechnet werden.
Dann ist die Grenzzustandsfunktion entweder tatsächlich fast linear oder man hat ein Problem wie
in Beispiel 4.4.4 vorliegen.
Weiter ist da das Problem der multiplen ’’kritischen’’ Punkte, welches sowohl im Standardraum
als auch im Ursprungsraum auftreten kann und das bei Anwendungen große Sorgfalt erfordert. Es
ist geboten, alle kritischen Punkte aufzufinden, z.B. durch Starten des Suchalgorithmus von zufälligen
Startpunkten, die Grenzzustandsfunktion lokal linear oder quadratisch zu nähern und dann
wenigstens die Versagenswahrscheinlichkeiten für alle Punkte aufzusummieren. Glücklicherweise
existiert meist nur ein einziger ’’kritischer’’ Punkt.
Beim Arbeiten im Standardraum hängt das Ergebnis, wie in Beispiel 4.7.2 demonstriert, u.U. auch
von der speziellen Reihenfolge der Rosenblatt-Transformation ab, da die jeweils ermittelten Versa-
74

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
genswahrscheinlichkeiten nach FORM oder SORM Näherungen sind. Praktisch signifikant können
Fehler jedoch nur bei relativ unzuverlässigen Problemen, wie in den vorgestellten Beispielen,
werden.
Wenn in Standardraum gearbeitet wird, ist es manchmal wichtig eine exakte Wahrscheinlichkeitstransformation
wie die Rosenblatt-Transformation zu wählen (vergl. Beispiel 4.7.2). Andernfalls
können nur sehr näherungsweise Ergebnisse entstehen.
In schwierigen, unübersichtlichen Fällen kann man sich jedoch immer der besprochenen Simulationsmethoden
in den Anhängen A und B bedienen. Diese Verfahren werden häufig als exakte
Verfahren bezeichnet. Das sind sie natürlich nur, wenn der Stichprobenumfang gegen ∞ geht.
Schließlich soll erwähnt werden, daß es fürdieLösung der numerischen Aufgaben eine Reihe von
Rechenprogrammen gibt, die z.T. alle beschriebenen Berechnungsverfahren ausführen können und
dem Benutzer durch eine gute Benutzeroberfläche die Anwendung sehr erleichtern.
75

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Simulationsmethoden auf der Ba-
ANHANG B:
sis von SORM ∗
B.1.
Monte-Carlo-Methoden mit Richtungsstichprobenwahl
Nun ist es jedoch kaum sinnvoll, eine Wahrscheinlichkeitsschätzung nach Abschnitt 3 oder sogar 4
durch eine Schätzung durch Simulation zu ersetzen. Wie wir gesehen haben, mußte eine wichtige
Region ja schon bestimmt werden und es ist zweckmäßig von den schon gefundenen Näherungen
auszugehen. Simulation dient dann nur noch der Schätzung des möglicherweise gemachten
Fehlers. Es ist:
P (V )=P (A) P (V )
P (A) = P (A)C
(B.1.1)
worin P (A) die Wahrscheinlichkeit einer Näherung der Grenzzustandsfläche und der zweite Faktor
eben durch ’’importance sampling’’ bestimmt wird. Dieser Faktor kann durch:
C = P (V )
P (A) = ZV
1
·1(X ∈ V )
P (A) f X(x)dx = E
1(X ∈ A)
f X (X)
h X (X)
¸
≈ 1 N
NX
i=1
1(x i ∈ V ) f X (x i )
1(x i ∈ A) h X (x i )
(B.1.2)
abgeschätzt werden. Wiederum entsteht die Frage, wie man die Stichprobendichte so wählt, daß
ein möglichst kleiner Variationskoeffizient entsteht. Wie in Anhang A wird man versuchen diese
Dichte um den kritischen Punkt zu konzentrieren. Damit ist die Lage der Stichprobendichte
festgelegt. Es ist aber schwierig, ohne weitere Überlegungen und Rechnungen Aussagen über
die optimale Streubreite der Stichprobenfunktion zu machen. Es ist auch anzustreben, die vielen
Fehlversuche, die auch bei diesem Schema noch auftreten, zu vermeiden. Das erreicht man indem
man z.B. auf einer Ebene senkrecht zum Richtungsvektor des β−Punktes simuliert und dann
den Quotienten der Lösungen in Richtung des β−Punktes bildet. Die Verhältnisse werden wiederum
wesentlich übersichtlicher, wenn man zunächst eine Wahrscheinlichkeitstransformation in den
Standardraum vornimmt. Außerdem drehen wir der Bequemlichkeit halber das Koordinatensystem
mittels einer Orthogonaltransformation (u → v) derart, daß eine Achse, z.B. die u n -Achse,
durch den β-Punkt u ∗ geht und damit im neuen System die Koordinaten (0,...,0,u ∗ ) T hat. Dann
ist:
Z
Z
P (V )= ϕ n (v)dv = 1 V (v,v n )ϕ(v n )dv n ϕ n−1 (v)dv (B.1.3)
V
ZR n−1 R 1
mit v =(v 1 ,...v n−1 ) T und 1(v,v n ) der Indikatorfunktion für V . Die Integration über v n ist analytisch,
d.h.
Z
Z f (v)
p(v) = 1 V (v,v n )ϕ(v n )dv n = ϕ(v n )dv n = Φ(f(v))
R 1 −∞
76

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wobei v n

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die interessierende Wahrscheinlichkeit kann geschrieben werden als:
P (V )=P (g(V,V n ) < 0) = 1 V (v,v n )ϕ(v n )du n¸
ϕ n−1 (v)dv
ZR
·ZR n−1 1
(B.1.7)
Einführung von
Z
p(v) = 1 V (v,v n )ϕ(v n )dv n =
R 1
Z f (v)
−∞
ϕ(v n )dv n = Φ(f(v))
(B.1.8)
und der Näherung nach Gl. (4.3.5)
q(v) =
Z t(v)
−∞
ϕ(v n )dv n = Φ(t(v))
(B.1.9)
ergibt:
Z
Z
p(v)
P (V )= p(v)ϕ n−1 (v)dv =
R n−1 R q(v) q(v)ϕ n−1(v)dv (B.1.10)
n−1
Mit der Taylorentwicklung ln Φ(−β + x) = lnΦ(−β) +x ψ(−β) +lnR(x) mit ψ(−β) =
ϕ(−β)/Φ(−β), R(x) einem Fehlerterm und t(v) nach Gl. (B.4.5) kann man Gl. (B.4.8) wie folgt
modifizieren:
Z
p(v)
P (V ) =
R q(v) exp[ln q(v)]ϕ n−1(v)dv
Z
n−1 p(v)
≈
R q(v) Φ(−β)exp[1 2 ψ(−β) Xn−1
κ i vi 2 ]R(v)ϕ n−1(v)dv
n−1 i=1
Z
n−1
p(v)
= Φ(−β)
R q(v) R(v) Y
ϕ(v i (1 − ψ(−β)κ i ) 1/2 )dv
n−1
n−1
Y
= Φ(−β)
i=1
i=1
(1 − ψ(−β)κ i ) 1/2 Z
n−1
p(v)
R q(v) R(v) Y ϕ(v i (1 − ψ(−β)κ i ) 1/2 )
dv
(1 − ψ((−β)κ n−1 i )) 1/2
n−1
Y
= Φ(−β) (1 − ψ(−β)κ i ) −1/2 E[Z(V)] (B.1.11)
i=1
Darin ist Z(v) =R(v)p(v)/q(v) wobei v ein unabhängiger, normalverteilter Vektor mit Mittelwert
0 und der Varianz (1 − ψ(−β)κ i ) −1 ist.R(v) ist der Fehlerterm. Asymptotisch ist Z(v) nur
wenig verschieden von 1 und wir haben mit Z(v) =1eine neue Ableitung von Gl.(4.4.6), da
ψ(−β) ∼ β. Den letzten Term bestimmt man nach
E[Ẑ(V )] ≈ 1 N
NX
k=1
p(v k )
q(v k ) R(v k) ≈ 1 N
NX
k=1
Φ(f(v k ))
Φ(−β)
i=1
"
#
exp − 1 n−1
2 ψ(−β) X
κ i vik
2
i=1
(B.1.12)
Unter bestimmten Voraussetzungen kann man sogar nachweisen, daß der so bestimmte Schätzer
des Korrekturterms in Gl. (B.4.9) der Schätzer mit der geringsten Varianz unter allen denkbaren
78

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Schätzern ist. Falls (1 − ψ(−β)κ i ) ≤ 0 wählt man ein κ i so, daß (1 − ψ(−β)κ i ) > 0. Die Genauigkeit
des Verfahrens hängt nur unwesentlich von der zu schätzenden Versagenswahrscheinlichkeit
und der Dimension n ab. Ähnlich geht man bei Durchschnittsmengen oder Vereinigungsmengen
vor. Man muß jedoch bedenken, daß die Hauptkrümmungen bekannt sein müssen, was zusätzlichen
Aufwand bedeutet. Oft ist es daher zweckmäßig, die Simulation direkt von der FORM-
Approximation zu starten. Bei hohen Dimensionen n wird die Methode dann erst richtig wirksam.
Und sie scheint sehr robust zu sein. Die Nullstellenbestimmung in Richtung der v n −Achse kann
bei stark gekrümmten Grenzzustandsfunktionen jedoch aufwendig werden. Die Verfahren in Gl.
(B.5.5) oder (B.5.11) bzw. (B.5.12) sind natürlich auch bei Seriensystemen analog zu Gl. (B.3.5)
anwendbar.
B.2.
Verfahren mit asymyptotischer Stichprobendichte
Ein ähnlich effizientes Verfahren wurde in [108] entworfen. Man kann nämlich zeigen, daß
die bedingte, asymptotische Dichte im Versagensbereich in einem gedrehten Koordinatensystem
(β−Punkt auf der v n -Achse) und für ein in den β−Punkt verschobenes Koordinatensystem, d.h.
für v n > β, β →∞, durch
"
#
n−1
1 Y
h(v) =
(1 − βκ
(2π) − n−1
i ) 1/2 exp − 1 Xn−1
(1 − βκ i )vi
2 β exp [−βv n ] (B.2.1)
2
2
i=1
gegeben ist, d.h. durch n − 1 unabhängige normalverteilte Variable mit Mittelwert 0 und Varianz
(1 − βκ i ) −1 und eine Exponentialverteilung mit Parameter β. Diese Dichte verwendet man als
Importanzstichprobendichte in Gl. (B.3.2). Aufgrund der speziellen Wahl der Importanzstichprobendichte
ist die Indikatorfunktion fast immer Eins. Dieses Verfahren benötigt keine Liniensuche.
Bei zum Ursprung hin gekrümmten und von der quadratischen Form abweichenden Versagensflächen
tritt ein Problem auf. Alle simulierten Punkte nach Gl. (B.2.1) liegen in einem Halbraum
mit v n > β. Gewisse Versagensbereiche werden daher nicht erfaßt. Es ist dann zweckmäßig, den
Verschiebungsbetrag für das Koordinatensystem angemessen zu verkleinern. Ein Vorschlag hierzu
enthält [108] . Alternativ kann auch
½ ¾
ρβ exp [−βvn ];wenn v
h(v n ) =
n < 0
(1 − ρ)β exp [−βv n ];wenn v n ≥ 0
½ ¾
0 wenn κi ≤ 0; i =1, 2, ..., n − 1
mit ρ =
2+ ¡P κ i >0 1 − κ ¢ 2 gewählt werden. Bei Schnittmengensystemen
i
V = T m
s=1 V s, und hier ist das Verfahren mit asymptotischer Importanzstichprobendichte den anderen
Verfahren überlegen, gilt analog
"
#
1
h(v) =det(C) exp − 1 mX
kY
"
#
kX
c
(2π) − m−k
ij v i v j (|∇g i (ν ∗ )γ
2 2
i |)exp − (|∇g i (ν ∗ )γ i | ω i )
i,j=k+1 i=1
i=1
(B.2.2)
d.h. das Produkt einer n − k-dimensionalen Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Kovarianzmatrix
C −1 und k unabhängigen Exponentialverteilungen mit Parameter |∇g i (u ∗ )γ i | . Dabei gilt
g i (u ∗ )=0,i =1,...k und g i (u ∗ ) < 0,i = k +1,...mund es sind ω i =(ν − ν ∗ ) ∇g i(ν ∗ )
,i =
k∇g i (ν ∗ )k
i=1
79

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1,...k und γ i die Lösungen des Gleichungssystem u ∗ = P k
n
i=1 γ i∇g i (u ∗ ), γ i < 0 sowie C =
δ ij − P o
k
s=1 γ ∂ 2 g s(v ∗ )
s ∂v i ∂v j
; i, j = k +1,...,m . Gl. (B.2.2) hat, wie man sieht, den gleichen Aufbau
wie Gl. (B.2.1). Beide Formeln können auch für den Originalraum ausgeschrieben werden.
Die Versagenswahrscheinlichkeit wird nunmehr durch
ˆP f ≈ 1 N
nX
i=1
1(v i ∈ V ) ϕ(v i)
h(v i )
(B.2.3)
berechnet. Dabei muß auf die Nichtorthogonalität der ersten k Restriktionen Rücksicht genommen
werden. Es wird also keine Approximation verbessert, sondern direkt geschätzt. Man benötigt allerdings
zweiter Ordnung Information. Das ist bei großen Dimensionen ein Nachteil. Auf weitere
Details kann nicht eingegangen werden.
Das Vorliegen von Gl. (B.2.2) in Verbindung mit den für Gl. (A.3.4) und (A.3.5) dargelegten Konzepten
erlaubt nun auch ganze Schnittmengensystem der Form V = S` T m
r=1 s=1 V rs zu berechnen.
Die Gewichte w r werden zweckmäßigerweise nach der 1. Ordnung Version für Schnitte, d.h. nach
berechnet.
w r =
Φ(−β r ; R r )
P`
k=1 Φ(−β k; R k )
Beispiel B.4.1: Rechnung für Beispiel 4.4.3 (Gl. (1))
In Beispiel 4.4.3 wurde demonstriert, daß in seltenen Fällen eine SORM-Approximation nicht
asymptotisch exakt ist. Dann kann man durch geeignete Importanzstichprobenverfahren immer
eine beliebig genaue Lösung erreichen. Mit a = n =10ist beispielsweise β FORM =6.816,
β SORM =5.747 und mit N =100in Gl. (A.5.10) β SIMULATION ≈ 5.966. Die zugehörige Schätzung
der Versagenswahrscheinlichkeit hat dann einen Variationskoeffizienten von V =10.39%.
Für N =1000erhält man β SIMULATION ≈ 5.985 bei V =3.46%.
#
Beispiel B.4.2: Vergleich der Simulationsverfahren
Beispielhaft seien die verschiedenen Verfahren anhand der Zustandsfunktion [108]
g(u) =b − u 1 + a n
nX
(cosh(u i ) − 1) (1)
für n =10,b=3.5 und a =1bzw −0.1 miteinander verglichen. Angegeben ist die mittlere
Anzahl der Stichproben um einen Variationskoeffizienten von 0.05 zu erreichen und die zugehörige
Schätzung von β. Das mit einem Variationskoeffizienten von < 0.01 zu erzielende ’’exakte’’
Ergebnis ist β ≈ 3.934 bzw. 3.440.
i=2
80

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
a =1 a = −0.1
N β N β
FORM 28 3.5 28 3.5
SORM 93 3.865 93 3.454
A.2.2 8 ·10 6 3.916 1.2 ·10 6 3.435
A.3.2 - FORM 3000 3.959 1500 3.465
Adaptives A.3.2 12000 3.922 10000 3.433
B.1.9 - FORM 300·4+28=1228 3.911 25·4+28=128 3.435
B.1.9 -SORM 30·3+93=183 3.937 5·3+93=108 3.439
B.2.3 72+93=165 3.941 503+93=596 3.446
SORM ist schon recht genau. Das Verfahren nach Gl. (A.2.2) ist hier für eine praktische Anwendung
vom Aufwand her indiskutabel. Das Verfahren Gl. (A.2.8) versagt. Auch das Verfahren Gl.
(A.3.2) mit vorheriger Bestimmung des β−Punktes oder dasselbe nach Abschnitt A.4 adaptiv angewandte
Verfahren ist zu aufwendig. Die letzten drei Verfahren sind allen anderen weit überlegen.
Die Variante Gl. (B.1.9-FORM) geht von der Linearisierung aus und braucht daher etwas mehr
Funktionsaufrufe in der Liniensuche als die Variante Gl. (B.1.9-SORM). Diese ist hier sehr effizient,
da ein Paraboloid eine hervorragende Näherung für Gl. (1) darstellt. Bei Gl. (B.2.3) beachte
man, daß jeder Funktionsaufruf einen Stichprobenpunkt bedeutet. Erstaunlicherweise benötigt
man bei a = −0.1 weniger Stichproben als bei a =1.
#
Beispiel B.4.3: FORM/SORM und Importanzstichprobenverfahren bei hohen Dimensionen
Importanzstichprobenverfahren werden mit zunehmender Dimension immer wichtiger. Das veranschauliche
das folgende einfache Beispiel. Die Grenzzustandsfunktion sei
g(X) =±
nX
X i ∓ C j (1)
i=1
mit C j =(n + a √ n),j =1, 2. Die X i seien lognormalverteilt mit Mittelwert 1 und Variationskoeffizient
0.2. β−Punkt und Krümmungen sind hier zwar analytisch, sie werden aber zum Vergleich
numerisch berechnet. Ergebnisse für verschiedene n zeigt nachfolgende Tabelle.
n C j m FORM β FORM m SORM β SORM m FORM+IMP β FORM+IMP
50 45.76 154 2.47 1480 3.08 164 2.95-3.05
50 54.24 154 3.61 1480 2.80 164 2.90-3.10
100 94.00 304 2.13 5455 3.01 314 2.95-3.05
100 106.00 304 3.93 5455 2.75 314 2.90-3.10
200 191.51 603 1.69 20904 3.00 613 2.95-3.05
200 208.46 603 4.37 20940 2.61 613 2.90-3.10
1000 981,03 3004 -0.07 504505 3.00 3014 2.95-3.05
1000 1018.97 3004 6.13 504505 2.59 3014 2.90-3.10
Hier wurde a = ∓3·0.2 genommen. Nach dem zentrale Grenzwertsatz ist β dann näherungsweise
gleich3inallenFällen. m bezeichnet die Anzahl der Funktionsaufrufe. Die Lognormalverteilung
läßt die Grenzzustandsgleichung leicht gekrümmt werden und zwar vom Ursprung weg im
jeweils ersten und zum Ursprung hin im jeweils zweiten Fall. Die Krümmungen nehmen mit n ab.
Der numerische Aufwand wächst linear mit n bei FORM und quadratisch bei SORM. Drei Gra-
81

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
dientenschritte sind erforderlich um den β−Punkt zu lokalisieren. Die FORM-Ergebnisse werden
mit zunehmendem n ziemlich schlecht und dann unbrauchbar. Die SORM-Resultate sind für alle
n gerade noch akzeptabel, der numerische Aufwand jedoch nicht. Der Vergleich mit den FORM-
Resultaten zeigt, daß die Krümmungskorrektur aufgrund der hohen Dimensionen sehr groß ausfällt.
Nurrund10zusätzliche Stichproben nach dem Verfahren Gl. (B.1.10) (ohne Information
zweiter Ordnung) ergeben hier jedoch eine sehr gute Schätzung mit einem Variationskoeffizienten
von rund 5%. Die Spanne der β−Werte bei verschiedenen Läufen mit einem zufälligen SEED-Wert
zeigt, daß die vom Ursprung weg gekrümmte Grenzzustandsfunktion etwas gutartiger ist.
#
82

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 5.
Systeme in der Zuverlässigkeitstheorie
5.1. Zum Begriff des Systems in der Zuverlässigkeitstheorie
Im allgemeinen wird unter einem System ein Verband verschiedener und deutlich unterscheidbarer
Komponenten verstanden, dessen einwandfreies Funktionieren im Hinblick auf die verschiedenen
technischen Anforderungen an das System das Funktionieren aller oder gewisser Teilmengen
der Komponenten erfordert. Bei der mathematischen Modellierung eines Systems muß man die
Komponenten z.T. künstlich einführen, da eine eindeutige Unterscheidung aus dem physikalischen
Sachverhalt nicht immer natürlich ist. Bezüglich der Arbeitsweise der Komponenten und ganz besonders
für ihr Zusammenwirken im System muß man weitere Idealisierungen vornehmen. Die
wichtigste ist, daß sich im allgemeinen Komponenten nur entweder im intakten oder im defekten
Zustand befinden können. Es gibt zwar Versuche, diese einfache Beschreibung des Zustandes
von Komponenten zu verfeinern, beispielsweise durch Einführung von Zwischenzuständen. Eine
Zuverlässigkeitsanalyse wird dann jedoch erheblich erschwert und kann hier nicht weiter verfolgt
werden. Eine Darstellung der Zustände einer Komponente durch zwei Zustände, d.h. den intakten
und den defekten, wird Boolesche Darstellung genannt. Tatsächlich haben wir diese im vorigen
Abschnitt bei der Beschreibung von reparierbaren Komponenten bereits angewandt. Für einSystem
wollen wir nun ebenfalls nur eine Boolesche Beschreibung des Zustandes zulassen wobei
nicht genug unterstrichen werden kann, daß dies, bezogen auf das System, eine noch weitergehende
Idealisierung der Wirklichkeit bedeutet. Schließlich wollen wir nur sogenannte kohärente
Systeme betrachten, d.h. Systeme die intakt bleiben, wenn eine intakte Komponente hinzugefügt
wird.
Es ist nützlich die verschiedenen Arten von Sytemen aus der Sicht der Zuverlässigkeitstheorie grob
zu klassifizieren. Ein Seriensystem versagt, wenn auch nur eine seiner Komponenten versagt. Ein
typisches Beispiel ist die Kette, bei der das Versagen jedes einzelnen Gliedes auch Kettenversagen
entspricht. Ein Parallelsystem versagt, wenn auch die letzte Komponente versagt. Solche
Systeme nennt man auch redundant. Damit soll zum Ausdruck gebracht werden, daß das Versagen
einer oder auch mehrerer Komponenten noch nicht das Versagen des Systems bedeuten muß.
Beispiele sind in der Regel Versorgungsanlagen für Wasser oder Elektrizität. Wir werden sehen,
daß diesen Systemen wegen der zweiwertigen Beschreibung ihrer Zustände ganz bestimmte Mengenoperationen
zukommen. In der Zuverlässigkeitstheorie werden wir daher auch schon dann von
einem System sprechen, wenn eben solche Operationen für eine Bescheibung des Systemzustandes
notwendig sind. Im allgemeinen sind Systeme aus vielen Komponenten in komplexer logischer
Anordnung von seriellen und parallelen Untersystemen zusammengesetzt. Nachfolgend werden
zunächst einige formale Regeln für die Analyse derartiger Systeme aufgestellt.
5.2. Logische Analyse von Systeme
Es sei F i = {X ∈ V i } das Versagensereignis der i−ten Systemkomponente und F das Versagensereignis
des Systems. FüreinSeriensystem (’’oder’’ Verbindung) ist das Versagensereignis die
Vereinigung der Einzelereignisse
F s = ∪F i (5.2.1)
83

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
2 3 2 3
1 1
4
4
F 1 F2 F 3 F4 F1 F2 F3 F4
2 3
2
3
1 1
4
4
(F1 F2) (F3 F4) (F1 F2) (F3 F4)
Abb. 5.1.Versagensbereiche und Schaltbilder von elementaren Systemen
Für einParallelsystem (’’und’’-Verbindung) ist das Versagensereignis der Schnitt der Einzelereignisse
F p = ∩F i (5.2.2)
Entsprechend haben Parallelsysteme in Serie (Vereinigungen von Schnitten) die Darstellung
F sp = ∪∩F ij (5.2.3)
und parallelgeschaltete Seriensystem (Schnitte von Vereinigungen) die Darstellung
F ps = ∩∪F st (5.2.4)
Diese Systeme sind für ein Beispiel durch ihre Versagensbereiche und ihr Blockdiagramm in Abb.
5.1 dargestellt.
Von großer Bedeutung ist, daß jedes System durch eine der beiden letzten Darstellungen beschrieben
werden kann, indem man von den distributiven Gesetzen der Mengenalgebra Gebrauch macht.
F i ∩ (F j ∪ F k )=(F i ∩ F j ) ∪ (F i ∩ F k ) (5.2.5)
84

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
F i ∪ (F j ∩ F k )=(F i ∪ F j ) ∩ (F i ∪ F k ) (5.2.6)
Ferner werden wesentliche Reduktionen durch die sogenannten Absorptionsregeln, d.h. durch
F i ∪ F j = F j
F i ∩ F j = F i
} für F i ⊆ F j (5.2.7)
(F i ∪ F k ) ⊂ F j
(F i ∩ F k ) ⊂ F j
} für F i ⊂ F j und F k ⊂ F j (5.2.8)
möglich. Hierdurch kann man die Menge ’’minimal’’ machen. Minimale Schnittmengen sind
solche die keine andere Schnittmenge als echte Teilmenge enthalten. Analog wird die Darstellung
(5.2.4) als Pfadmenge bezeichnet. Diese ist minimal wenn sie keine andere Pfadmenge als echte
Teilmenge enthält.
Im ersten Schritt der Analyse eines Systems ist die logische Struktur des Systems zu ermitteln. Im
zweiten mehr formalen Schritt wird die gefundene Menge dann auf eine minimale Menge reduziert.
Erst im dritten Schritt sind gegebenenfalls Wahrscheinlichkeitsberechungen auszuführen.
Beispiel 5.2.1: Wasserversorgungssystem
Wir betrachten ein einfaches Versorgungssystem wie in nachstehendem Bild. Zwei Versorger S1
und S2 bedienen zwei Verbraucher A1 and A2. Die Pfeile deuten die möglichen Versorgungsrichtungen
an. Das System versagt bei einer außergewöhnlichen Beanspruchung, wenn nur einer der
beiden Verbraucher nicht versorgt wird. Hier ist es leicht möglich das Versagensereignis vollständig
aufzuschreiben.
S2
S1
A1
A2
Abb. 5.2.Beispiel für ein Versorgungssystem
F = {[F 1 ∩ (F 2 ∪ F 3 ) ∩ (F 3 ∪ F 4 ∪ F 5 )] ∪ [(F 1 ∪ F 5 ) ∩ (F 3 ∪ F 4 ) ∩ (F 2 ∪ F 3 ∪ F 5 )]} (1)
Ein Schaltdiagramm (Blockdiagramm) ist gut geeignet die logische Struktur deutlich zu machen
(vergl. Bild). Man betrachtet die Versorgung von A1 und A2 getrennt. Z.B. wird A1 nicht mehr
versorgt, wenn die Leitung 1 ’’und’’ Leitung 2 ’’oder’’ 3 ’’und’’ Leitung 3 ’’oder’’ 4 ’’oder’’ 5versagt
haben. Die Versagensmenge ist jedoch noch nicht minimal. Wir wenden zunächst die Regeln
(5.2.5) und (5.2.6) an und erhalten fürA1
F A1 = {(F 1 ∩ F 2 ∩ F 3 ) ∪ (F 1 ∩ F 2 ∩ F 4 ) ∪ (F 1 ∩ F 2 ∩ F 5 ) ∪ (2)
∪(F 1 ∩ F 3 ∩ F 3 ) ∪ (F 1 ∩ F 3 ∩ F 4 ) ∪ (F 1 ∩ F 3 ∩ F 5 )}
85

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
(man führe alle ’’Schnitte’’, die zum Versagen führen, in der oberen Hälfte des Blockdiagramms
aus).
3 2 1
4 3
5
2 3 1
1 2 4
1 2 3
1 3
1 2 2 3 1
3 3 3 4 5
4 4 5 5
3 4
5
5
2 5
4 5
Abb. 5.3.Schaltbilder für Versorgungssystem
Dann werden die Absorptionsregeln angewandt. Zunächst werden all Mehrfachereignisse in den
Schnittmengen bis auf eine eliminiert. Dann werden die Mehrfachschnittmengen bis auf eine gestrichen.
Schließlich werden alle Schnittmengen, die Teilmengen anderer Schnittmengen sind,
beseitigt. Man erhält:
F = {(F 1 ∩ F 3 ) ∪ (F 3 ∩ F 5 ) ∪ (F 4 ∩ F 5 ) ∪ (F 1 ∩ F 2 ∩ F 4 ) ∪ (F 1 ∩ F 2 ∩ F 5 )} (3)
Ganz analog bekommt man eine Pfadmenge. Nach den de Morganschen Regeln ist A ∩ B = A∪B
and A ∪ B = A ∩ B. Daher hat man für die Darstellungen ∪∩F ij = Ω \ (∩ ∪F ij ) und
∩∪F ij = Ω \ (∪ ∩F ij ). Nach dem man also die minimale Schnittmenge für die Versagensereignisse
gefunden hat, erzeugt man durch Übergang zu den komplementären Ereignissen und
komplementären Mengenoperationen die minimale Pfadmenge für die sicheren Ereignisse. Das
Resultat ist
F = {(F 1 ∪ F 5 ) ∩ (F 1 ∪ F 3 ∪ F 4 ) ∩ (F 2 ∪ F 3 ∪ F 4 ) ∩ (F 2 ∪ F 3 ∪ F 5 ) ∩ (F 3 ∪ F 4 ∪ F 5 )} (4)
#
Beispiel 5.2.2: Zeitvariante Systeme mit exponential verteilten Versagenszeiten der Komponenten
Für unabhängige, exponentialverteilte Versagenszeiten, d.h. mit Verteilungsfunktion F i (t) =1−
exp [−ρ i t] ,i=1, 2, ρ 1 6= ρ 2 , lassen sich die Systemversagenswahrscheinlichkeiten leicht berechnen.
Bei den Parallelsystemen unterscheidet man solche mit kalter Reserve und heißer Reserve,
d.h. bei ersterem ’’arbeitet’’ immer nur eine Komponente, die nach Ausfall durch eine andere, in
Reserve stehende Komponente ersetzt wird. Bei heißer Reserve ’’arbeiten’’ immer alle Komponenten
gleichzeitig. Bei Tragsystemen kommt praktisch nur der Fall mit heißer Reserve vor, wenn
man eine solche Unterscheidung überhaupt treffen möchte.
P f,S = P ( [ 2
{T i − t ≤ 0}) =1− P ( \ 2
{T i − t>0}) =1− exp [−(ρ 1 + ρ 2 )t] (1)
i=1 i=1
86

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 5.4.Versagensbereiche für ideale Seriensysteme und ideale Parallelsysteme mit heißer und kalter Redundanz
P f,P H = P ( \ 2
{T i − t ≤ 0}) =1− exp [−ρ 1 t] − exp [−ρ 2 t]+exp[−(ρ 1 + ρ 2 )t] (2)
i=1
P f,PC = P ( X 2
{T i − t ≤ 0}) =
i=1
Es gilt immer
Z t Z τ
wie man aus den Bildern erkennen kann.
#
0
0
f 1 (τ−t)f 2 (σ)dσdτ =1− ρ 2 exp [−ρ 1 t] − ρ 1 exp [−ρ 2 t]
ρ 2 − ρ 1
(3)
P f,S ≥ P f,PH ≥ P f,PC
5.3. Wahrscheinlichkeitsschranken fürSysteme
Nachfolgend berechnen wir die Versagenswahrscheinlichkeit von Systemen unter den vereinfachenden
Annahmen, daß die Komponentenereignisse entweder voll voneinander abhängig oder
voneinander unabhängig sind.
Für ein Seriensystem (oder Verknüpfung) hat man für unabhängige Ereignisse nach Übergang zu
den komplementären Ereignissen:
n[
n\
nY
nY
P f , S = P ( F i )=1− P ( F i )=1− P (F i )=1− (1 − P (F i )) (5.3.1)
i=1
i=1
i=1
i=1
87

V e rs a g e n s w a h rs c h e in lic h k e it
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1
Seriensystem
0.5
P arallelsystem
m it kalter Reserve
Parallelsystem
mit heiß er Reserve
0
0 2 4 6 8 10
t
Abb. 5.5.Versagenswahrscheinlichkeit für Seriensystem, Parallelsystem mit heißer Reserve und Parallelsystem
mit kalter Reserve
Analog erhält man für Parallelsysteme unter den gleichen Bedingungen:
n\
P f , P = P ( F i )=
i=1
nY
P (F i ) (5.3.2)
i=1
Im voll abhängigen Fall ist:
n[
P f , S = P ( F i )=max{P (F i )} (5.3.3)
i=1
n\
P f , P = P ( F i )=min{P (F i )} (5.3.4)
Bei beliebiger Abhängikeit der Ereignisse gelten die Schranken 1. Ordnung:
i=1
max{P (F i )} ≤ P f , S ≤
nX
P (F i ) (5.3.5)
i=1
0 ≤ P f , P ≤ min{P (F i )} (5.3.6)
Systeme mit komplexerer Struktur sind schwieriger zu behandeln. Wenn das System in disjunkte
Schnittmengen zerlegt wurde, kann man das dritte Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie direkt
anwenden, wobei zu beachten ist, daß die Schnittmengen Versagensereignisse und Überlebensereignisse
enthalten können. Disjunktivität herzustellen ist zwar möglich, aber recht aufwendig.
Außerdem können sich Schwierigkeiten bei der näherungsweisen Berechnung der Einzelereignisse
ergeben.
Wenn die Schnittmengen nicht disjunkt aber minimal sind, kann man die bekannte Entwicklungsformel
für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen verwenden.
n[
P (
i=1
F i )= X i
P (F i )− X i

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Hierbei ist wichtig zu bemerken, daß die verschiedenen in dieser Formel vorkommenden Schnittmengen
die gleichen Basisereignisse enthalten können. Die Vereinigung über die Schnittmengen
muß daher Rücksicht darauf nehmen, daß Abhängigkeiten zwischen den Schnittmengen bestehen.
Die Berücksichtigung von Termen höherer Ordnung in Gl. (5.3.4) kann Mühe bereiten. Außerdem
ist nicht offensichtlich, wo man die Entwicklung gegebenenfalls abbrechen kann, da die Glieder
im allgemeinen zuerst zunehmen und dann wieder fallen. Es ist jedoch möglich, einfache Schranken
wachsender Ordnung und Schärfe zu konstruieren. Die grundlegende Idee ist leicht aus Bild
5.4 zu ersehen. Für die ersten beiden Ereignisse hat man
P (F 1 ∪ F 2 )=P (F 1 )+P (F 2 ) − P (F 1 ∩ F 2 )
F
2
F
1
F 1
F 2
F 2
F 3
F 1
F 2
F 3
F 1 F 3
F
3
Abb. 5.6.Ableitung von Schranken zweiter Ordnung für Vereinigungswahrscheinlichkeiten
Für das dritte Ereignis in einer Vereinigung erhält man eine obere Schranke, wenn die größere
Schnittwahrscheinlichkeit, d.h. P (F 1 ∩ F 3 ) oder P (F 2 ∩ F 3 ) von dem zusätzlichen Term P (F 3 )
abgezogen wird. Eine untere Schranke gewinnt man, wenn man die Summe dieser Schnittwahrscheinlichkeiten
abzieht unter der Bedingung, daß diese Summe nicht größer sein kann als P (F 3 ).
Wiederholte Anwendung dieses Schemas auf alle n Ereignisse in der Vereinigung ergibt:
n[
P (
i=1
F i )={ ≤ P (F 1)+ P n
i=2 (P (F i)− max P {F i ∩ F j })
j

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
welche gleich der Korrelationskoeffizientenmatrix R ist, da Z ein Vektor mit Mittelwert 0 und
Varianz 1 ist [72] :
P f = P (∩ m i=1 {Z i ≤−β i })=Φ m (−β; R) (5.4.1)
Φ m ist das mehrdimensionale Normalverteilungsintegral. Für Vereinigungen V = ∪ n i=1V i ist entsprechend:
P f = P (∪ m i=1{Z i ≤−β i })=1− P (∩ m i=1{Z i > −β i }) (5.4.2)
= 1− P (∩ m i=1 {Z i ≤ β i })=1− Φ m (β; R)
Die Berechnung des mehrdimensionalen Normalverteilungsintegrals ist im allgemeinen schwierig
und ist schon in Abschnitt 4.4 diskutiert (siehe GL. (4.4.5) und [151] sowie [73] ).
Beispiel 5.4.1: Parallel- und Seriensysteme mit äquikorrelierten Komponenten
Man betrachte Systeme bei denen jede Komponente mit der unsicheren Last S beaufschlagt wird
und die die unsicheren und unabhängigen Festigkeiten R i ,haben. Sie weisen jeweils die gleiche
Normalverteilung auf. Also ist
V i = {R i − S ≤ 0} = {α i U i + α S U S + β ≤ 0} = {Z i ≤−β} (1)
Der Korrelationskoeffizient der Sicherheitszonen ist
ρ =
σ 2 S
σ 2 R + σ2 S
(2)
Also ist für das Parallelsystem
und für das Seriensystem
P f = P (∩ m i=1 {Z i ≤−β}) =Φ m (−β; {ρ}) (3)
P f = P (∪ m i=1{Z i ≤−β}) =1− Φ m (β; {ρ}) (4)
In diesem Fall kann das mehrdimensionale Normalverteilungsintegral durch einfache Integration
ermittelt werden, z.B. für das Parallelsystem entsprechend [42] :
Φ m (−β; R) =
Z ∞
−∞
ϕ 1 (t)
mY
i=1
Φ 1 ( −β i − λ i t
p
1 − λ
2
i
)dt (5)
wenn ρ ij = λ i λ j (ρ ii =1;−1 ≤ λ i ≤ 1). Fürdenäquikorrelierten Fall ist (ρ ij ≥− 1
m−1 ):
Φ m (−β; R) =
Z ∞
−∞
ϕ 1 (t)
mY
i=1
Φ 1
µ −βi − √ ρt
√ 1 − ρ
dt (6)
Das nachfolgende Bild zeigt die bemerkenswerte Abhängigkeit des Zuverlässigkeitsindexes für
ideale Parallel- und Seriensysteme mit äquikorrelierten und äquizuverlässigen Komponenten mit
Korrelationskoeffizient ρ und Anzahl der Komponenten m. Man sieht, daß besonders Parallelsy-
90

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
steme sehr empfindlich auf die Größe des Systems und die Korrelation zwischen den Komponenten
reagieren.
10
ρ=0.1
β
9
8
7
6
ρ=0.3
ρ=0.5
ρ=0.7
β = 4.25
Parallelsysteme
ρ=0.9
5
ρ=0.99
4
ρ=0.99
ρ=0.9
ρ=0.0,0.5
3 0 10 20 30 40 50
m
Seriensysteme
Abb. 5.7.Versagenswahrscheinlichkeit (β = −Φ −1 (P f ))für Systeme mit äquikorrelierten und äquizuverlässigen
Komponenten
Für Seriensysteme kann man gut auch die Schranken Gl. (5.3.8) verwenden.
#
Beispiel 5.4.2: Starr-plastischer Rahmen mit verschiedenen Versagensmodi
Ein Portalrahmen kann auf die im Bild gezeigten Arten (Versagensmodi) versagen. Mithilfe des
Arbeitssatzes erhält man drei Zustandsfunktionen.
M 1 = X 1 + X 2 + X 4 + X 5 − X 6 h (1a)
M 2 = X 1 +2X 3 +2X 4 + X 5 − X 6 h − X 7 h (1b)
M 3 = X 2 +2X 3 + X 4 − X 7 h (1c)
Die Konstante ist h =5[m]. Für die unsicheren Variablen gilt
Variable Vert.-Typ m i σ i
X 1 ...X 5 LN 134.9 [kNm] 13.49 [kNm]
X 6 LN 50 [kN] 15 [kN]
X 7 LN 40 [kN] 12 [kN]
Durchführung der in diesem Fall sehr einfachen Transformation und Bestimmung des jeweiligen
β−Punktes ergibt:
Modus β α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7
1 2.71 0.084 0.084 - 0.084 0.084 -0.986 -
2 2.88 0.077 - 0.150 0.150 0.077 -0.827 -0.509
3 3.44 - 0.084 0.164 0.084 - - -0.979
91

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
h
X
6
2
X
3
7
4
1
5
2 h
Abb. 5.8.Versagensmodi eines Portalrahmens
Die Korrelationsmatrix der Sicherheitszonen lautet:
⎡
1.000 0.841 0.014
R = ⎣ 0.841 1.000 0.536
0.014 0.536 1.000
⎤
⎦
Geht man nach Gl. (5.3.9) vor, so errechnet sich folgende Matrix der Schnittwahrscheinlichkeiten
bei Berechnung nach FORM:
⎡
⎤
P = ⎣ 3.36·10−3
symm.
9.20·10 −4 1.99·10 −3
⎦
1.14·10 −6 4.25·10 −5 2.91·10 −4
Die nach Gl. (5.3.9) erforderlichen Schnittwahrscheinlichkeiten werden nach Standardisierung
der Sicherheitszonen nach Z i = M i−m i
σ i
am besten aus
Z ρij
Φ 2 (−β i , −β j ; ρ ij )=Φ(−β i )Φ(−β j )+
0
#
1
"−
2π √ 1 − u exp 1 (β 2 i − 2uβ i β j + β 2 j)
du (2)
2 2 1 − u 2
mit numerischer Integration und ρ ij = α T i α j berechnet (siehe z.B. [59] ). Damit sind die Schranken
nach Gl. (5.3.5) bzw. (5.3.9)
3.36 · 10 −3 ≤ 4.67 · 10 −3 ≤ P f ≤ 4.67 · 10 −3 ≤ 5.64 · 10 −3 (3)
Die verbesserten Schranken (5.3.9) sind in diesem Fall bis auf zwei Stellen nach dem Komma
schon exakt. Das gleiche Ergebnis erhält man wenn man nach Gl. (5.4.2) vorgeht.
#
5.5. Systematische Analysemethoden von Systemen
5.5.1. Ereignisbäume
Ereignisbäume zeigen die (gegebenenfalls zeitliche) Abfolge von Ereignissen, die schließlich zu
einem Systemversagen führen. Vollständige Ereignisbäume enthalten auch diejenigen Ereignisse,
die nicht zum Versagen führen. Meist beginnt man mit einem auslösenden Ereignis. Das wird an
einem Beispiel demonstriert.
92

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 5.5.1: Beispiel für Ereignisbaumanalyse
Eine Eisenbahnstrecke sei durch Felssturz gefährdet. Dann ergibt sich z.B. der folgende Ereignisbaum
für einen Unfall mit Entgleisung.
Schadensfolgen
Zugverkehr
gestoppt
kein Unfall
sehr klein
Felssturz
Zugverkehr
nicht
gestoppt
Zug
gewarnt
kein Aufprall
Aufprall
Zug
entgleist
nicht
klein
mittel
Zug entgleist
groß
Zug
nicht
gewarnt
kein Aufprall
Aufprall
Zug
entgleist
nicht
klein
mittel
Zug entgleist
groß
Abb. 5.9.Ereignisbaum bei Felssturz auf Eisenbahngleis
#
Ein anderes Beispiel könnte z.B. ein statisch unbestimmtes Fachwerk sein bei dem bei Beanspruchung
zunächst ein beliebiger Stab versagt. Dann lagert sich die Last auf die verbleibenden Stäbe
um. In dem neuen Tragwerk kann nun ein weiterer Stab versagen und wieder erfolgt Lastumlagerung.
Das geht so fort bis das statisch bestimmte System einen weiteren Stab verliert. Natürlich
muß man alle möglichen ’’Wege’’ untersuchen.
Das auslösende Ereignis A ist die Bedingung für alle folgenden Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit
auf einem bestimmten ’’Weg’’ zu einer bestimmten Folge zu gelangen ist die Wahrscheinlichkeit
der Schnittmenge aller Ereignisse auf dem entsprechenden ’’Weg’’. Formal kann das wie
folgt geschrieben werden:
P (W i | A) =P ((F 1i ∩ F 2i | F 1i ∩ ... ∩ F ki | F 1i ,F 2i ,F k−1i ) | A) (5.5.1.1)
Die einzelnen Versagensereignisse sind als bedingte Ereignisse geschrieben um auszudrücken, daß
beim Versagen von F ji möglicherweise alle vorangegangenen Ereignisse, z.B., wie oben erwähnt,
bei Lastumlagerung, eine Rolle spielen. Nicht beendete ’’Wege’’ ergeben eine obere Wahrscheinlichkeitsschranke
für den entsprechenden ’’Weg’’. Entsprechend ergibt die Summe der Wahrscheinlichkeit
aller beendeten Versagenswege eine untere Schranke für die Versagenswahrscheinlichkeit
des Systems, die Summe der Wahrscheinlichkeit aller beendeten und nicht beendeten Versagenswege
eine obere Schranke für die Versagenswahrscheinlichkeit.
93

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
5.5.2. Fehlerbäume
Fehlerbäume haben sich als sehr wertvolles weiteres Hilfsmittel bei der Analyse von komplizierteren
Systemen erwiesen. Sie bestehen aus einer Reihe von Ereignissen, die in beliebiger logischer
Verknüpfung zum Versagen des Systems führen. Das ’’Top’’-Ereignis ist das Systemversagen. Man
untersucht, welche Teilereignisse zum ’’Top’’-Ereignis führen können. Die Vorgehensweise wird
an einem Beispiel erläutert.
Beispiel 5.5.2: Beispiel für Fehlerbaumanalyse
Gegeben sei eine Hochwasserentlastungsanlage, die versagen kann weil das entsprechende Entlastungswehr
bei Hochwasser nicht geöffnet werden kann. Das Hochwasser überflutet die Dämme,
wenn der Pegel höher als die Dammkrone ist (1). Das Wehr kann nicht geöffnet werden wenn es
klemmt (2) oder der Wehrmotor versagt (3) oder wenn die Stromversorgung nicht funktioniert.
Die Stromversorgung für den Wehrmotor versagt, wenn die externe Stromversorgung ausfällt (4)
und die Notstromversorgung versagt. Die Notstromversorgung versagt, wenn der Generator ausfällt
(6) oder der Dieselmotor für den Generator ausfällt. Der Dieselmotor versagt, wenn entweder
die Treibstoffversorgung nicht funktioniert oder wenn der Dieselmotor nicht anspringt. Die Treibstoffversorgung
versagt, wenn kein Diesel vorhanden ist (7) oder wenn sich das Absperrventil der
Dieseltreibstoffleitung nicht öffnen läßt (8). Der Dieselmotor springt nicht an wenn die Batterie
zum Anlassen leer ist (9) und wenn der Hilfsmechanismus zum Anlassen des Moters versagt. Dieser
besteht aus einer mit Druckluft betriebenen Turbine. Er versagt, wenn im Drucklufttank nicht
genügend Druck herrscht (10) oder wenn die mit Druckluft betriebene Anlaßturbine versagt (5).
Das System läßt sich leicht darstellen und durch Anwendung der Regeln in Gl. (4.2.5) bis (4.2.8)
auf eine minimale Schnittmenge von Ereignissen reduzieren.
Ereignis
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Schnittmenge
1 x x - - - - - - - -
2 x - x - - - - - - -
3 x - - x - x - - - -
4 x - - x - - x - - -
5 x - - x - - - x - -
6 x - - x x - - - x -
7 x - - x - - - - x x
Um die Methoden der Abschnitte 3 und 4 anwenden zu können, stellt man die Zustandgleichungen
der Ereignisse wie folgt dar:
g 1 (x) = h − p (1)
g 2 (x) = u 2 − Φ −1 (p f 2 ) (2)
g 3 (x) = u 3 − Φ −1 (p f 3 ) (3)
g 4 (x) = u 4 − Φ −1 (p f 4 ) (4)
g 5 (x) = u 5 − Φ −1 (p f 5 ) (5)
g 6 (x) = u 6 − Φ −1 (p f 6 ) (6)
g 7 (x) = u 7 − Φ −1 (p f 7 ) (7)
g 8 (x) = u 8 − Φ −1 (p f 8 ) (8)
g 9 (x) = u 9 − Φ −1 (p f 9 ) (9)
94

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Flood
overtops
dyke
waterlevel
>
height
and
spillway
closed
or
loss of
power
mech.
failure
of gate
gate
motor
fails
and
loss
offsite
power
emergency
unit fails
or
Diesel
engine fails
generator
fails
or
no fuel to
engine
engine does
not start
or
and
lack of
fuel
fuel
switch
fails
battery
empty
aux. starting
device fails
or
no air
in tank
turbine
fails
Abb. 5.10.Fehler-(Versagens-)baum für Überflutung einer Dammkrone
g 10 (x) = u 10 − Φ −1 (p f 10 ) (10)
Hierbei ist h die Dammhöhe und p der Pegelstand. Die p fi sind (statistisch bestimmte) Ausfallswahrscheinlichkeiten
für die jeweiligen Systemkomponenten und die u i standardnormale Hilfsvariable.
Die Ereignisse (3), (6) und z.B. (8) können abhängige Ereignisse sein. Diese Ereignisse
werden durch die Wirkung von Feuchtigkeit in gleicher Weise (negativ) beeinflußt. Das kann man
gut durch Korrelationen zwischen den entsprechenden u 0 i s modellieren.
#
Es gibt noch einige andere systematische Analysemethoden, die hier nicht vorgestellt werden sollen.
95

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Berechnung des multinormalen In-
ANHANG C:
tegrals
Die Berechnung von Seriensystemen und Parallelsystemen erfordert die Berechnung des Multinormalverteilungsintegrals
(vergl. z.B. Abschnitt 5.4, Beispiel 5.4.2 und Gl. (4.4.5) und (4.4.6)).
Ein Spezialfall ist in Gl. (5) von Beispiel 5.4.1 angegeben, eine asymptotische Näherung in Gl.
(4.4.5). Diese kann man noch in etwas anderer Form schreiben [151] .
m\
·
1
P (Z ≤ c) =P ( {Z i ≤ c i })∼
(2π) m/2p det(R) exp − 1 ³Y m
2 (cT R c)¸ −1 d i´−1
(C.1)
i=1
i=1
mit d = R −1 c. Hierbei müssen alle c i ≤ 0 und strikt d i > 0 sein. Leider erweist sich die einfache
Gl. (4.4.5) nur fürsehrgroße, negative c i und kleine r ij als befriedigend genau. Man kann jedoch
die Ergebnisse von Abschnitt 4.4 ihrerseits auf die Berechnung von P (Z ≤ c) anwenden. Hierzu
formulieren wir das Problem etwas um. Jede korrelierte standardnormalverteilte Variable läßtsich
nach Abschnitt 6.1.2 als Linearkombination unkorrelierter Variablen darstellen:
iX
Z i = a ij U j
(C.2)
j=1
wobei ka i k =1. Damit kann die Schnittwahrscheinlichkeit in Gl. (D.1) wegen P (A ∩ B) =
P (B)P (A | B) wie folgt entwickelt werden ([72] ,[73] ).
à m
! Ã
\
m
!
\
P (Z ≤ c) =P (Z 1 ≤ c 1 )P (Z i ≤ c i | Z 1 ≤ c 1 ) = Φ(c 1 )P {g i (U) ≤ 0}
i=2
à m
Ã
\
= Φ(c 1 )P a i1 Y 1 +
= Φ(c 1 )P
i=2
à m
\
i=2
!!
iX
a ij U j − c i ≤ 0
j=2
³
a i1 Y 1 + ¡ ¢ ´!
1 − a 2 1/2
i1 U (2)
i − c i ≤ 0
i=2
(C.3)
mit Y 1 = Φ −1 (Φ(c 1 )Φ(U 1 )) der Rosenblatt-Transformation der bei gestutzten Variablen Z 1 = U 1
und U (2)
i neuen, unabhängigen, standard normalverteilten Variablen, die die Summen P i
j=2 a ijU j
ersetzen. Die Dimension des Schnittes wurde damit n um Eins vermindert. Damit ist nach Abschnitt
4.4 das Optimierungsproblem min{kuk} für u : T o
m
i=2 g i(u 1 ,u (2)
i ) ≤ 0 mit g i (u 1 ,u (2)
i )=
a i1 y 1 +(1− a 2 i1) 1/2 u (2)
i − c i in jeweils zwei Dimensionen pro Komponente zu lösen und man hat
also
Ã
\ m
P (Z ≤ c) ≈ Φ(c 1 )C 2 P
i=2
³
´!
α (2)T
i (u − u ∗ ) ≤ 0 = Φ(c 1 )C 2 Φ m−1 (c (2) ; R (2) ) (C.4)
= −∇g i (u (2)∗ )/ k
ij U j. Dort ist auch ausgeführt, daß die c (2) durch c (2) =
mit C 2 dem Korrekturfaktor zweiter Ordnung nach Abschnitt 4.4 und α (2)T
i
∇g i (u (2)∗ ) k und Z (2)
i
= P m
j=1 α(2)
96

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
n o
−α (2)T
i u ∗ gegeben sind und R (2) durch R (2) =
nun rekursiv an. Am Ende hat man
P (Z ≤ c) =Φ m (c; R) =Φ(c 1 )
n o
α (2)T
i α (2)
j . Dieses Konzept wendet man
mY
i=2
C i Φ(c (i)
i ) (C.5)
Sowohl die Gradienten als auch die Hessematrix sind bei der einfachen Form von Gl. (D.3) analytisch
und nur der erste Eigenwert der Hessematrix ist ungleich Null. Die C i lassen sich ergeben
daher wie in Abschnitt 4.4 leicht ausrechnen (siehe im Einzelnen [60] ). Die mit Gl. (D.5) erhaltenen
Ergebnisse sind asymptotisch exakt und sonst gute Näherungen. Alternativ kann man auch
die Krümmungskorrektur weggelassen und wegen
P (U i ≤ c i | U 1 ≤ c 1 )= P ((U i ≤ c i ) T (U 1 ≤ c 1 ))
P (U 1 ≤ c 1 )
= P ((P i
j=1 a ijU j ≤ c i ) T (U 1 ≤ c 1 ))
P (U 1 ≤ c 1 )
= Φ 2(c i ,c 1 ; a i1 )
Φ(c 1 )
(C.6)
noch in jedem Schritt verbesserte c 0 (i)
i in Gl. (D.5) verwenden, sofern g i (0) > 0 für alle i (=’’großer
Schnitt’’). Φ 2 (., .; .) berechnet man mit Gl. (2) von Beispiel 5.4.3.
c 0 (i)
i = Φ −1 µ
Φ2 (c i ,c 1 ; a i1 )
Φ(c 1 )
(C.7)
Bei ¯Φ m (c; R) =P ( S m
i=1 {Z i >c i }) geht man zum Komplement über
¯Φ m (c; R) =1− Φ m (−c; R)
(C.8)
Der numerische Aufwand steigt etwa mit m 2 . Bei großem m nimmt die Genauigkeit ab. In den
letzten Jahren hat die Berechnung der Multinormalverteilung verstärkt Aufmerksamkeit gefunden.
Insbesondere hat sich Genz [58] [59] diesem Problem gewidmet und z.T. aufwendige numerische
aber theoretisch exakte Lösungen vorgeschlagen. Erstaunlich gute Näherungen wurden von Pandey
[129] abgeleitet, die jüngst in [83] noch etwas verbessert werden konnten.
97

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ANHANG D:
Simulationsverfahren bei Systemen
Simulationsverfahren sind bei Vorliegen von Systemproblemen natürlich ebenfalls anwendbar, gegebenenfalls
mit geringfügigen Modifikationen. Wenn der Versagensbereich als Vereinigungsmenge
gegeben ist und man für jede der Komponenten den β−Punkt kennt, geht man für jede
Komponente wie für eine einzelne Komponente beschrieben vor, muß jedoch jeweils auch die
Komponente nach dem Monte Carlo-Verfahren auswählen. Hierfür bietet es sich an, die diskreten
Wahrscheinlichkeiten im Standardraum näherungsweise nach
zu bestimmen und zu simulieren, so daß
P (V ) = E[1(U ∈
≈
1 N
m[
k=1
NX
1(U i
∈
i=1
w i =
Φ(−β i )
P m
k=1 Φ(−β k)
V k ) ϕ U (u)
h U (u) ]=E[1(U ∈ m
[
k=1
m[ ϕ
V k )
U (u ik )
P m
k=1 w kϕ U (u ik −u ∗ k )]
k=1
ϕ
V k )
U (u)
P m
k=1 w kϕ U (u − u ∗ k )]
(D.1)
(D.2)
mit h U (u) = P m
k=1 w kϕ U (u ik −u ∗ k ) der Importanzstichprobendichte. Meist nimmt man nur 1(U i ∈
V k ) anstelle von 1(U i
∈ S m
k=1 V k), da ja sicher ist, daß wenn der generierte Punkt in einer Komponente
liegt, er auch in der Vereinigung liegt. Wenn der Versagensbereich als Schnittmenge gegeben
ist, vermindert sich die Trefferwahrscheinlichkeit und das Simulationsverfahren kann schnell ineffizient
werden.
98

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Theoretische Last- und Festigkeitsmo-
Kapitel 6.
delle
6.1. Mathematische Modelle
Dieser Abschnitt enthält wichtige Grundlagen für die Modellierung der unsicheren Größen. Eine
Modellierung kann erfolgen
• durch einfache unabhängige oder abhängige Zufallsvariable.
• durch ein- bzw. mehrdimensionale Zufallsprozesse
• durch Zufallsfelder
Die wichtigsten dieser Modelle werden in ihren Grundzügen definiert. Weitere Einzelheiten und
einige besondere Modelle werden in Abschnitt 7 erörtert.
Unsicherheiten lassen sich einteilen in:
• Unsicherheiten, die durch einen stochastischen Mechanismus erzeugt werden, wie etwa die
Streuungen bei der Produktion von Stahl oder die Turbulenz des natürlichen Windes.
• Statistische Unsicherheiten, die allein daher rühren, daß es in der Regel nicht möglich ist, aus
zufällig streuenden Erscheinungen mit einer endlich großen Stichprobe alle Parameter, z.B. den
Mittelwert, eines stochastischen Modells zuverlässig zu schätzen.
• Epistemische oder Modellunsicherheiten.
Alle diese Unsicherheiten werden zweckmäßigerweise durch das Konzept des Zufalls erfaßt und
durch die Mittel der Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieben. Die rein stochastischen Unsicherheiten
liegen nicht notwendigerweise in der Natur des Sache. Sie entstehen z.T. durch die unvollkommene
Kenntnis der tatsächlichen Vorgänge und ihrer Randbedingungen. Ein wichtiges Mittel
der Beschreibung ist die Verteilungsfunktion. Aber dieses selbst ist bereits ein Modell, welches im
Sinne K. Poppers nur falsifiziert aber nicht verifiziert werden kann. Statistische Unsicherheiten
sind gegebenenfalls zu berücksichtigen, indem man die Parameter ihrerseits als unsichere Variable
auffaßt, deren Verteilungsgesetz natürlich von jeweiligen Modell und dem Informationsumfang abhängt.
Häufig am schwierigsten sind Modellunsicherheiten, hier sind die mechanischen Modelle
gemeint, zu erfassen. Jedes Modell vom Tragverhalten von Bauwerken enthält Idealisierungen und
Vereinfachungen und meist nur eine kleine Auswahl der möglichen Parameter. Diese Unsicherheiten
sind oft deterministischer Natur. Es erweist sich jedoch als zweckmäßig den deterministischen
Anteil zu ’’randomisieren’’.
6.1.1. Eindimensionale Modelle
Für alle unsicheren Größen muß ein stochastisches Modell gewählt werden. Tabelle 6.1 enthält
einige der wichtigsten Modelle für eindimensionale, unsichere Variable.
99

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Name Verteilungsdichte Def.-bereich Mittelwert Standard-
Verteilungsfunktion Par.-bereich abweichung
Rechteck f X (x) = 1
a+b
a ≤ x ≤ b
b−a 2
F X (x) = x−a
a ≤ b
b−a h ¡
Normal f X (x) = √ 1
2πσ
exp x−m
¢ i 2
F X (x) =Φ ¡ x−m
σ
³
Log- f X (x) = 1 ϕ ln(x)/ξ
δx δ
³ ´
normal F X (x) =Φ ln(x)/ξ
δ
− 1 2
¢
=
R x
−∞
´
σ
1
ϕ ¡ y−m
σ σ
−∞

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
E[(X i − m i )(X j − m j )] = σ ij =
iX
c ik c jk (6.1.2.4)
k=1
Führt man zusätzlich noch die Normierung Z i =(X i − m i )/σ ii ein und daher σ ij = ρ ij σ ii σ jj
mit R = © ρ ij
ª
der Matrix der Korrelationskoeffizienten, so findet man mit der sogenannten Cholesky’sche
Dreieckszerlegung.
und somit
a 11 = ρ 11 =1
a i1 = ρ i1 ; 2 ≤ i ≤ n
Xi−1
a ii = (ρ ii − a 2 ik) 1/2 ;2≤ i ≤ n
k=1
j−1
X
a ij = (ρ ij −
k=1
a ik a jk ) 1
a jj
;1

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
an. Die Amplituden sind unabhängig voneinander und streuen sämtlich nach dem Verteilungsgesetz
F (x). In der Zuverlässigkeitstheorie sind nun nicht nur das Verteilungsgesetz der Folge und
seine Lastwechselfrequenz von Interesse, sondern weitere Größen, von denen einige wichtige im
folgenden erörtert werden sollen.
X(n)
n
Abb. 6.1.Approximierende Zufallsfolge für einen realen Lastprozeß
Für den Zeitraum [0,t] mit t/d = n ist die Extremwertverteilung
mit der Dichte
F maxX (x) =F n X(x) (6.1.3.1)
f maxX (x) =n(F X (x)) n−1 f X (x) (6.1.3.2)
Fürgroßes x kann F n (x) wegen ln(F n (x)) = n ln(F (x)) ≈ n(F (x) − 1) durch
F maxX (x)) ≈ exp [−n(1 − F X (x))] (6.1.3.3)
genähert werden. Bild 6.2 veranschaulicht den Verlauf der Dichtefunktionen bei wachsendem n.
Man erkennt, daß mit wachsendem n auch das Mittel wächst. Außerdem wird die Streuung kleiner.
In jedem Fall wird der Variationskoeffizient kleiner.
Als (mittlere) Wiederkehrperiode eines Wertes x W in einer Zufallsfolge versteht man den Mittelwert
der Zeit, die zwischen den Überschreitungen von x W verstreicht, d.h.
in Einheiten von d.
T W =
1
1 − F X (x W )
(6.1.3.4)
Asymptotische Extremwertverteilungen ∗
Von Bedeutung ist, daß es ähnlich wie für Summen von Zufallsvariablen für die Extrema von
Zufallsfolgen Grenzverteilungen und zwar im wesentlichen drei Typen gibt. Das Entstehen einer
dieser Typen hängt von der Form der Verteilungsfunktion im extremen Bereich ab. Sie werden im
folgenden auf anschauliche Weise hergeleitet.
Die Verteilung nach Gumbel für Maxima (Typ I)
Der obere Bereich der Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X habe die Form:
F X (y) ≈ 1 − e −h(y)
102

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1.5
1
0.5
0
0 1 2 3 4
x
Abb. 6.2.Dichte von Extremwertverteilungen (Rayleighverteilung fürn=1mitm= p π/2)
Ein charakteristischer Wert für Y bei einer Folge der Länge n, in dem die Verteilungsfunktion
entwickelt werden soll, ist offensichtlich jener Wert für denP (Y > y n )=1/n = e −h(yn) .Man
schreibt daher zunächst:
F X (y) ≈ 1 − 1 n e−[h(y)−h(yn)]
Wegen lim (1 − a
n→∞ n )n = e −a kann man die Extremwertverteilung
F Y (y) ≈
µ1 − 1 n
n e−[h(y)−h(yn)]
für n →∞durch
F Y (y) ≈ exp [− exp [− {h(y) − h(y n )}]]
approximieren. Entwickelt man noch h(y) − h(y n ) in eine nach dem linearen Glied abgebrochene
Taylor-Reihe, d.h.
so erhält man in
Mittelwert und Varianz berechnen sich zu
h(y) − h(y n ) ≈ α(y − u)
F Y (y) =exp[− exp [−α(y − u)]] (6.1.3.5)
E [Y ] = u + γ α
(6.1.3.6)
Var[Y ] = π2 1, 645
≈
6α2 α 2 (6.1.3.7)
γ =0.577 ist die sogenannte Eulersche Zahl. Eine Gumbelverteilung für Minimalwerte kann
man ebenfalls ableiten. Sie ist jedoch weniger gebräuchlich.
103

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die Verteilung nach Frechet für Maximalwerte(TypII)
Die Verteilung von X werde nun im oberen Bereich durch
F X (x) =1− (v/x) k ; x ≥ 0
approximiert. Wieder ist v ein charakteristischer Wert fürden:
Fürgroße x ist
F X (x) =1− 1/n
F X (x) =1− 1 n (v x )k
und
F Y (y) =
·1 − 1 )k¸n
n (v y
≈ exp
·−( v )k¸
y
(6.1.3.8)
Mittelwert und Varianz sind:
E [Y ] = v Γ(1 − 1/k) (6.1.3.9)
Var[Y ] = v 2 (Γ(1 − 2/k) − Γ 2 (1 − 1/k)) (6.1.3.10)
Es kann ein Minimalwert eingeführt werden. Dann setzt man y := y − y 0 .
Verteilung nach Weibull für Minimalwerte (Typ III)
Im unteren Bereich folge die Verteilungsfunktion nun einem Potenzgesetz
F X (y) ≈ cy β für y ≥ 0
Logarithmieren von 1 − F Y (y) =[1− F X (y)] n ergibt ln(1 − F Y (y)) = n ln(1 − F X (y))und
Entwicklung des Logarithmus nach ln(1 − x) ≈−x -...und daher ln(1 − F Y (y)) ≈−ncy β . Also
ist mit α = nc die Verteilungsfunktion der Weibullverteilung
Mittelwert und Varianz errechnen sich zu
F Y (y) =1− exp[−αy β ] (6.1.3.11)
E [Y ] = α −1/β Γ(1 + 1/β) (6.1.3.12)
Var[Y ] = α −2/β (Γ(1 + 2/β) − Γ 2 (1 + 1/β) (6.1.3.13)
Auch hier kann ein Minimalwert eingeführt werden. Dann setzt man y = y − y 0 .
Natürlich gibt es die Gumbel- und Frechetverteilung auch für Minima und die Weibullverteilung
für Maxima. Sie sind jedoch weniger gebräuchlich. Umfangreiches Material über Extremwertverteilungen
enthält das Buch von Gumbel [64] .
6.1.4. Markierte und gefilterte Poissonfolgen
Viele extreme Lastereignisse lassen sich gut durch einen markierten Punktprozeß modellieren. Der
Punktprozeß selbst bestimmt das zeitliche Eintreten der Lastereignisse. Der spezielle Poissonsche
104

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Punktprozeß wird in Abschnitt 7 ausführlich behandelt. Die zufälligen Marken sind z.B. Amplituden,
Frequenzinhalt, Dauer des Impulses, Impulsform, etc. (vergl. z. B. Bild 6.3). Beispiele
sind z.B. Stürme, Erdbeben, Explosionen, Lasten infolge Fahrzeuganprall etc. Im allgemeinen ist
der Poissonprozeß für den Auftrittsprozeß eine sehr gute Annahme. Dann ist auch sichergestellt,
daß die (exponentialverteilten) Zeiten zwischen den Ereignissen wesentlich größer ausfallen als
die ’’Dauern’’ der Ereignisse.
S(t)
1/λ
Abb. 6.3.Markierte Poissonfolge
Extremverteilungen kann man bei eindimensionalen Marken leicht ableiten. Für den Fall unabhängiger,
einfach markierter Poissonfolgen wie in Bild 6.3 gezeigt, ist das Ergebnis exakt.
∞X (λt) i
∞X
F max (a) = exp[−λt]F i (λtF X (a)) i
i!
X(a) =exp[−λt]
i!
i=0
i=0
= exp[−λt]exp[λtF X (a)] = exp[−λt(1 − F X a))] (6.1.4.1)
Ausnahmsweise betrachten wir an dieser Stelle auch einen instationären, einfach markierten Poissonprozeß.
Esseiλ(τ) die zeitabhängige Auftrittsrate. Eine Austrittsrate läßt sich definieren als
Wahrscheinlichkeit eines Sprungereignisses pro Zeiteinheit multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit,
daß der Sprung über das Niveau a hinausgeht:
ν + (τ) =λ(τ)[1 − F X (a; τ)] (6.1.4.2)
Wenn der Auftrittsprozeß ein Poissonprozeß war, muß auch der Austrittsprozeß ein Poissonprozeß
sein. Anstelle des Vorgehens in Gl. (6.1.4.1) verwenden wir nun eine Eigenschaft des Poissonprozesses.
Offenbar ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Maximum des Prozesses kleiner als die
Grenze a(τ) in [0,t] bleibt, auch gleich der Wahrscheinlichkeit, daß die Zeit bis zum ersten Sprungereignis
größer ist als t. Damit ist
P (T ≤ t) =P ( \ ∞
{X(τ) ≤ a(τ)}) =P (N a(t) =0)=exp[− [1 − F X (a; τ)]λ(τ)dτ]
i=0
0
(6.1.4.3)
Die Marken sind häufig mehrdimensional, bei einem Erdbeben etwa die Intensität der Erdbeschleunigungen
in horizontaler und vertikaler Richtung, der Frequenzgehalt und die Dauer, deren
(zufällige) Änderung von Ereignis zu Ereignis ganz unterschiedliche Auswirkungen auf Bauwerke
haben kann. Ein anderes Beispiel sind Stürme, deren Marken die Windgeschwindigkeit, Windrichtung
und Dauer sind (vgl. Bild 6.4). Trotzdem kann eine Zeit bis zum ersten Versagen angegeben
t
Z t
105

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
werden, wenn man von dem der Gl. (6.1.4.3) zugrundeliegenden Konzept Gebrauch macht. Es
sei nämlich V = {g(X) ≤ 0} das Versagensereignis und p = P (V ) seine Wahrscheinlichkeit. Im
stationären Fall ist:
P (T ≤ t) =P (N V (t) =0)=1− exp[−λtp V ] (6.1.4.4)
Dann ist es nicht sinnvoll von einem Extremwertproblem zu sprechen. Man geht auch nicht von
Gl. (6.1.4.3) sondern von P (N V (t) =0)aus.
X (t)
1
X (t)
2
t
Ein gefilterter Poissonprozeß ist definiert durch:
Abb. 6.4.Mehrdimensional markierte Poissonfolge
N(t)
X
X(t) = w(t, t i ,Y i )=
i=1
Z ∞
0
w(t, τ,Y)dN(τ) (6.1.4.5)
Hierin ist N(t) ein Poissonprozeß mit Rate λ(t), der die Zeitpunkte t i erzeugt und w(t, t i ,Y i ) eine
Antwortfunktion auf den Impuls zum Zeitpunkt t i mit der (möglicherweise vektoriellen) Größe
Y i . Es ist w(t, t i ,Y i )=0für t

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
sogenannten Rechteckwellen wie in Bild 6.5 gezeigt. Im Gegensatz zur im vorigen Abschnitt besprochenen
gefilterten Poissonfolge währt die Marke nunmehr genau so lang wie ein Erneuerungsintervall.
Für die Zeiten zwischen den Erneuerungen gilt Unabhängigkeit. Das gleiche gilt fürdie
möglicherweise mehrdimensionalen Marken in verschiedenen Erneuerungszeiträumen. Die Marken
innerhalb eines Erneuerungszeitraumes können jedoch voneinander abhängig sein. Markierte
Erneuerungsprozesse werden auch häufig als Modelle für sogenannte Trägerprozesse verwendet.
So kann man z.B. Seezustände charakterisieren, also durch die zufällige ’’signifikante’’ Wellenhöhe
H s und die davon stochastisch abhängige Periode T 0 .Zusätzliche Details zu Erneuerungsprozessen
enthält Abschnitt 7.5.1.
X(t)
τ τ + ∆
Abb. 6.5.Markierter Rechteckwellen-Erneuerungsprozeß
t
6.1.6. Gaußsche Prozesse und Zufallsfelder
Eindimensionaler Gaußprozeß
Ein besonders wichtiger Prozeß für die Modellierung von Lasten ist der Gaußsche Prozeß und
hier vor allem der stationäre Gaußsche Prozeß mit stetigen und differenzierbaren Pfaden. Seine
Bedeutung erhält er durch die Möglichkeit, die sehr leistungsfähige sogenannte Korrelationstheorie
für Zufallsprozesse strikt anzuwenden. Beispiele für Lasten, die gut durch Gaußprozesse beschrieben
werden können, ist der bereits erwähnte Seegang, die Geschwindigkeit des natürlichen
Windes, Erdbebenbeschleunigungen und Außentemperaturen. In gewissem Umfang ist der Gaußsche
Prozeß auch Ausgangspunkt für nichtgaußische Prozesse. Und er kann leicht auf zufällige
Vektorprozesse und Zufallsfelder verallgemeinert werden.
Die Mittelwertsfunktion des Gaußprozesses X(t) ist
E[X(t)] = m X (t) =
Die (Auto)kovarianzfunktion ist definiert durch
C X (t 1 ,t 2 )=Cov[X(t 1 ),X(t 2 )] =
Z ∞ Z ∞
−∞
−∞
Z ∞
−∞
xf X (x; t)dx (6.1.6.1)
(x 1 −m X (t 1 ))(x 2 −m X (t 2 ))f X (x 1 ,x 2 ; t 1 ,t 2 )dx 1 dx 2
(6.1.6.2)
und es gilt C X (t, t) ≥ 0, C X (t 1 ,t 2 ) = C X (t 2 ,t 1 ) sowie nach der Schwarzschen Ungleichung
|C X (t 1 ,t 2 )| ≤ (C X (t 1 ,t 2 )C X (t 2 ,t 1 )) 1/2 . Die zweidimensionale Verteilungsdichte für den allgemeinen,
im Mittelwert und in der Kovarianzfunktion instationären Gaußprozeß lautet mit C X (t 1 ,t 2 )=
107

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
σ(t 1 )σ(t 2 )ρ(t 1 ,t 2 ) wobei ρ(t 1 ,t 2 ) die Autokorrelationskoeffizientenfunktion
f(x 1 (t 1 ),x 2 (t 2 )) =
1
2π σ(t 1 )σ(t 2 )(1 − ρ 2 (t 1 ,t 2 )) exp[−1 1
1/2 2 1 − ρ 2 (t 1 ,t 2 )
⎧
⎪⎨ ( x 1(t 1 )−m(t 1
⎫
)
σ(t 1
) 2
) ⎪⎬
−2ρ(t 1 ,t 2 )( x 1(t 1 )−m(t 1 )
σ(t 1
)( x 2(t 2 )−m(t 2 )
) σ(t 2
)
)
]
⎪⎩
+( x 2(t 2 )−m(t 2
⎪
)
σ(t 2
) 2 ⎭
)
(6.1.6.3)
Ein Prozeß U(t) heißt standardisiert, d.h.E [U(t)] = 0 und C U (t 1 ,t 2 )=ρ U (t 1 ,t 2 ), was durch
U(t) = X(t)−m(t) erreicht wird.
σ(t)
Ein Prozeß ist strikt stationär, wenn die Verteilungsdichte nicht vom Zeitpunkt t 1 abhängt. Er ist
schwach stationär, wenn m(t 1 )=m(t 2 )=m sowie σ(t 1 )=σ(t 2 )=σ, und die Kovarianzfunktion
C(t 1 ,t 2 ) nur vom zeitlichen Abstand τ = |t 1 − t 2 | abhängt, d.h. C(t 1 ,t 2 )=C(τ) ≤ C(0).
Für ergodische Prozesse gilt darüberhinaus für T →∞
und
E[X(t)] = hX(t)i = m X =lim
T →∞
R X (τ) =hX(t + τ)X(t)i =lim
T →∞
1
T
1
T
Z T
0
Z T
0
X(τ)dτ (6.1.6.4)
X(t + τ)X(t)dt (6.1.6.5)
und es ist C X (τ) =R X (τ) − m 2 X. Erwartungswerte können also auch als Zeitmittel anstatt als
Ensemblemittel berechnet werden. Das zeitliche Mittel wird durch das Operationszeichen h.i ausgedrückt.
Für im Mittel ergodische Prozesse muß gelten
lim
T →∞
1
T
Z T
0
C(τ)dτ =0
und für normale, in der Kovarianz ergodische Prozesse:
lim
T →∞
1
T
Z T
0
C 2 (τ)dτ =0
Ergodizität impliziert Stationarität. Die Umkehrung gilt nicht notwendigerweise.
Wir setzen Stetigkeit und Differenzierbarkeit sowie Integrierbarkeit der Pfade voraus. Stetigkeit,
Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit müssen im Rahmen der Theorie der stochastischen Prozesse
neu definiert werden. Gemeint ist hier Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit
im quadratischen Mittel (siehe z.B. [33] ). Es ist für stationäre Prozesse:
• Stetigkeit im quadratischen Mittel
lim
τ→0 E £ {X(t + τ) − X(t)} 2¤ =2[C(0) − C(τ)] = 0 (6.1.6.6)
108

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
• Differenzierbarkeit im quadratischen Mittel
" ½
lim E Ẋ(t) −
ε→0
• Integrierbarkeit im quadratischen Mittel
⎡(
lim E ⎣
b − a
nX
X(t i ) −
δ→0 n
i=1
¾ # 2
X(t + ε) − X(t)
=0 (6.1.6.7)
ε
Z b
a
) ⎤ 2
X(t)dt ⎦ =0 (6.1.6.8)
mit δ = t i+1 − t i und n = b−a.
δ
Stetigkeit im quadratischen Mittel bedeutet nicht auch Stetigkeit der Trajektorien eines Zufallsprozesses.
Differenzierbarkeit bedeutet, daß ∂ 2 C(τ)/∂τ 2 in τ =0existiert und dort wegen Symmetrie
∂C(τ)/∂τ =0. So gehört beispielsweise C(τ) =σ 2 exp [−a |τ|] zu einem nicht differenzierbaren
und C(τ) =σ 2 exp [−aτ 2 ] zu einem differenzierbaren Prozeß.
Der Mittelwert des Ableitungsprozesses Ẋ(t) ist definiert durch:
E[Ẋ(t)] = dm X(t)
(6.1.6.9)
dt
Für die Kreuzkovarianzfunktion zwischen dem Pfad des Prozesses und seiner Ableitung ist
h
i
Cov[X(t 1 ), Ẋ(t 2 )] = E (X(t 1 ) − m X (t 1 ))(Ẋ(t 2) − mẊ(t 2 )) = ∂Cov[X(t 1),X(t 2 )]
∂t 2
(6.1.6.10)
und die (Auto)-Kovarianzfunktion der Ableitung des Prozesses:
Cov[Ẋ(t 1 ), Ẋ(t 2 )] = ∂Cov[X(t 1), Ẋ(t 2 )]
∂t 1
= ∂2 Cov[X(t 1 ),X(t 2 )]
∂t 1 ∂t 2
(6.1.6.11)
Für stationäre Prozesse ist
und damit mit τ = t 1 − t 2
E[X(t)] = m X (6.1.6.12)
Cov[X(t 1 ),X(t 2 )] = Cov[X(t 1 ),X(t 1 + τ)] = C XX (τ) (6.1.6.13)
da t 1 beliebig gewählt werden kann. In diesem Falle ist auch
E[Ẋ(t)] = 0 (6.1.6.14)
und
Cov[X(t), Ẋ(t + τ)] =
∂Cov[X(t),X(t + τ)]
∂τ
= C (τ) =−C XẊ ẊX (τ) =−∂C(τ)
∂τ
(6.1.6.15)
109

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
sowie
∂Cov[X(t), Ẋ(t + τ)]
Cov[Ẋ(t), Ẋ(t + τ)] =
∂τ
= ∂2 Cov[X(t),X(t + τ)]
∂τ 2
= − ∂2 C(τ)
∂τ 2
(6.1.6.16)
und es ist wegen Symmetrie C(τ) =C(−τ) und C .
(0) = 0 wegen C X X XẊ(τ) =−C ẊX (−τ).
Also ist der Ableitungsprozeß für τ =0unabhängig vom Prozeß selbst. Cov[X(t), Ẋ(t + τ)]
ist im allgemeinen jedoch nicht Null. Ẋ(t) ist ebenfalls stationär wennX(t) stationär. Die Existenz
der zweiten Ableitung der Autokovarianzfunktion ist, wie erwähnt, eine Bedingung für die
Differenzierbarkeit von X(t).
Als Beispiel für die Integration eines stationären Prozesses berechnen wir das gleitende Mittel.
Es ist
M T (T )= 1 X(τ)dτ (6.1.6.17)
T 0
Vertauschung von Integral- und Erwartungswertbildung ergibt
· Z 1 T
¸
E [M T (T )] = E X(τ)dτ = 1 Z T
E [X(τ)] dτ = Tm X
= m X (6.1.6.18)
T
T
T
0
Z T
0
Für die Varianz erhält man
Var[M T (T )] = 1
T 2 Z T
0
= σ2 X
T 2 ·Z T
= σ2 X
= 2σ2 X
T
0
Z T
0
0
C X (|t 1 − t 2 |)dt 1 dt 2
ρ X (τ)dτ
Z T −τ
0
dt 1 +
·Z T
(T − τ)ρ
T 2 X (τ)dτ +
0
·Z T
(1 − τ ¸
T )ρ X(τ)dτ
Z 0
−T
Z 0
−T
Z T
ρ X (τ)dτ dt 1¸
−τ
¸
(T − τ)ρ X (τ)dτ
(6.1.6.19)
Ist X(t) ein Gaußprozeß, sosindnatürlich auch Ableitungen und Integrale des Prozesses Gaußprozesse.
Für große T und R ∞
ρ
0 X (τ)dτ < ∞ hat man näherungsweise (Vergrößerung des Integrationsbereiches
auf T = ∞ in Gl. (6.1.6.19))
Var[A(T )] ≤ min{σ 2 X , σ2 X
T δ} = σ2 X für T ≤ δ
σ 2 X
T
δ für T>δ
(6.1.6.20)
mit
Z ∞
δ =2 ρ X (τ)dτ = π G X(0)
(6.1.6.21)
0
σ 2 X
dem sogenannten Korrelationsmaßstab des Prozesses X(t) mit G X (0) der weiter unten erläuterten
halbseitigen Spektraldichte. T/δ darf man als eine Art äquivalenter Stichprobenumfang n equ für
eine unabhängige Stichprobe auffassen, da Var £ ¯X ¤ = Var[X] /n equ .
110

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Im Rahmen der Korrelationstheorie ist eine der Darstellung der Abhängigkeitsstruktur durch die
Kovarianzfunktion äquivalente Darstellung durch die spektrale Dichte möglich. Insbesondere läßt
sich für denzentrierten Prozeß X(t) mit E[X(t)] = 0 die Kovarianzfunktion, jetzt mit R(τ)
bezeichnet, formal durch das Fourierintegral
R(τ) =
Z +∞
−∞
mit der inversen Beziehung
S(ω) = 1
2π
Z +∞
−∞
S(ω)exp[iωτ]dω =2
R(τ)exp[−iωτ]dτ = 1 π
Z +∞
0
Z +∞
0
S(ω)cos(ωτ)dω (6.1.6.22)
R(τ)cos(ωτ)dτ (6.1.6.23)
darstellen. Häufig benutzt man anstelle der Spektraldichte S(ω) die physikalisch sinnvolle, halbseitige
Spektraldichte G(ω) =2S(ω). Die spektralen Momente sind definiert durch
λ k =
Z +∞
−∞
ω k S(ω)dω (6.1.6.24)
Dabei ist
λ 0 = σ 2 X =
Z +∞
−∞
S(ω)dω (6.1.6.25)
Z +∞
λ 2 = σ 2 . = ω 2 S(ω)dω (6.1.6.26)
X
−∞
Z +∞
λ 4 = σ 2 .. = ω 4 S(ω)dω (6.1.6.27)
X
−∞
mit interessanten Interpretationen. Das nullte spektrale Moment ist z.B. gerade die Varianz des
Prozesses. Für jedes spektrale Moment existiert eine charakteristische Frequenz, d.h.
µ 1/k λk
Ω k =
(6.1.6.28)
λ 0
Die zentrale (mittlere) Frequenz ist
ω 0 = Ω 2 = p λ 2 /λ 0 (6.1.6.29)
Zwei nicht ganz gleichwertige sogenannte Irregularitätsfaktoren (Bandbreitenparameter) sind
δ =
ε =
µ
1 − λ2 1
λ 0 λ 2
1/2
(6.1.6.30)
µ
1 − λ2 2
λ 0 λ 4
1/2
(6.1.6.31)
111

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Dabei variieren beide Parameter zwischen 0 und 1. δ und ² wachsen mit wachsender Bandbreite.
Gl. (6.1.6.28) erfordert die Existenz des zweiten und Gl. (6.1.6.29) sogar die Existenz des vierten
spektralen Momentes.
Beispiel 6.1.6.1: Spektraldichte bei R(τ) =σ 2 exp [−a |τ|] ,a>0 und weißes Rauschen.
Man sieht zunächst, daß ein Prozeß mit dieser Autokorrelationsfunktion in Null nicht differenzierbar
ist. Anwendung von Formel (6.1.6.20) auf die Autokorrelationsfunktion liefert:
S(ω) = 1 Z ∞
σ 2 exp [−a |τ|]exp[−iωτ] dτ
2π
= σ2
2π
= σ2
2π
= σ2
2π
−∞
Z ∞
−∞
exp [−a |τ| − iωτ] dτ
·Z ∞
exp [−aτ − iωτ] dτ +
0
·
1
a + iω + 1 ¸ ·
= σ2
a − iω π
Z 0
−∞
¸
a
a 2 + ω 2
¸
exp [+aτ − iωτ] dτ
(1)
Abb. 6.6.Autokorrelationsfunktion und zugehöriges Spektrum für exponentiell korrelierten Gaußprozeß
Wenn der Parameter a größer wird, konzentriert sich R(τ) immermehrbeiτ =0und S(ω) nimmt
nur noch ganz allmählich mit ω ab. Dieses Spektrum ermöglicht daher die Einführung des Begriffes
des weißen Rauschens, d.h. eines Prozesses bei dem alle Frequenzen ω ’’fast’’ gleich häufig
vertreten sind. Für a →∞ist S(ω) =S 0 = σ 2 /a und die dazugehörige Autokorrelationsfunktion
ist R(τ) =2πS 0 δ(τ). Die Varianz des (zentrierten) Prozesses ist
Var[X(t)] =
Z ∞
−∞
σ 2
π
·
¸
a
a 2 + ω 2
dω = R(0) = σ 2 (2)
Der Ableitungsprozeß des weißes Rauschens besitzt, wie man aus Gl. (6.1.6.24) sieht, unendlich
große Varianz. Weißes Rauschen läßt sich physikalisch nicht realisieren, ist aber häufig eine sehr
nützliche mathematische Idealisierung. Der Korrelationsmaßstab ist
Z ∞
δ =2 ρ X (τ)dτ = π G X(0)
= 2 (3)
0
σ 2 X a
112

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und die Varianz des gleitenden Mittels
·Z T
Var[A T (T )] = 2σ2 (1 − τ )ρ(τ)dτ¸
T
T
0
½
= 2σ2
(aT) 2 (aT − 1+exp[−aT]) ≤ min σ 2 , 2σ2
aT
#
Beispiel 6.1.6.2: Spektraldichte bei R(τ) =σ 2 exp [−aτ 2 ] ,a > 0
Hier liegt offensichtlich ein beliebig oft differenzierbarer Prozeß vor. Seine Spektraldichte ist
S(ω) = 1
2π
Z ∞
−∞
σ 2 exp £ −aτ 2¤ exp [−iωτ] dτ =
·
σ2
2 √ aπ exp − ω2
4a
Alle spektralen Momente existieren. Der Korrelationsmaßstab berechnet sich zu
¸
¾
(4)
(1)
δ =2
Z ∞
0
ρ X (τ)dτ = π G X(0)
σ 2 X
r π
=
a
(2)
und die exakte Varianz des gleitenden Mittels zu
Var[A T (T )] = σ2
aT
£√ aπT erf(
√ aT) − 1+exp
£
−aT
2 ¤¤ ≤ min
r ¾
½σ 2 , σ2 π
T a
(3)
#
Reichhaltige, zusätzliche Ergebnisse über Gaußsche Prozesse findet man z.B. bei Cramer/Leadbetter
[33] und Vanmarcke [176] .
Gaußsche Vektorprozesse ∗
Die Beschreibungsmittel für Vektorprozesse sind direkte Verallgemeinerungen der Definitionen für
skalare Prozesse. Neben den marginalen Größen sind zusätzlich aber Kreuzkovarianzfunktionen
zu definieren.
C XY (t 1 ,t 2 )=Cov[X(t 1 ),Y(t 2 )] =
Z ∞ Z ∞
−∞
−∞
(x − m X (t 1 ))(y − m Y (t 2 ))f X,Y (x, y; t 1 ,t 2 )dxdy
(6.1.6.32)
Für reelle Prozesse ist C XY (t 1 ,t 2 )=C YX (t 2 ,t 1 ). Bei Stationarität gilt C XY (τ) =C YX (−τ).
Bei zentrierten Prozessen ist R XY (t 1 ,t 2 )=C XY (th
1 ,t 2 ). Auch Vektorprozesse i standardisiert man
am besten für jedes t, so daß E [U(t)] = 0 und E U(0)U(τ) T = I. Bei stationären Prozessen
h i
ist dann auch notwendigerweise E ˙U(t) =0. Die Matrix der Kovarianzfunktionen des (stationären)
Ableitungsprozesses ist analog Gl. (6.1.6.16) E
hẊ(0)Ẋ(τ) i T = RẊẊ (τ) =¨R X (τ) =
h i
{− ∂2 R ij (τ )
}.E X(0)Ẋ(τ) T = R (τ) =Ṙ ∂τ 2
XẊ X (τ) ={− ∂R ij(τ)
} ist eine in der Regel vollbesetzte
Matrix. Für τ =0ist sie schiefsymmetrisch und es ist Ṙ ii (0) = 0, d.h. X i (τ) und Ẋ i (τ)
∂τ
sind unkorreliert für jedes τ. Die Matrizen R U (τ), Ṙ U (τ) und ¨R U (τ) im standardisierten und
entkorrelierten Raum erhält man z.B. für τ = t ∗ aus R U (t ∗ )=A(t ∗ ) −1 R X (t ∗ )(A(t ∗ ) −1 ) T = I,
Ṙ U (t ∗ )=A(t ∗ ) −1 Ṙ X (t ∗ )(A(t ∗ ) −1 ) T bzw. ¨R U (t ∗ )=A(t ∗ ) −1 ¨R X (t ∗ )(A(t ∗ ) −1 ) T mit A(t ∗ ) der
Koeffizientenmatrix in Gl. (6.1.2.6). Das Vorhandensein der Matrix Ṙ U (t ∗ ) verhindert, daß man
113

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
R U (τ) und ¨R U (τ) gleichzeitig diagonalisieren kann. Die Wiener-Chintchin-Beziehungen fürden
zentrierten Prozeß lauten
R XY (τ) =
S XY (ω) = 1
2π
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
S XY (ω)exp[iωτ]dω (6.1.6.33)
R XY (τ)exp[−iωτ]dτ (6.1.6.34)
Die Kreuzspektren S XY (ω) und S YX (ω) sind im allgemeinen konjugiert komplex. Deshalb ist
S XY (ω) = S ∗ YX (ω) = S∗ XY (−ω) = S YX(−ω). Die Kreuzkorrelationsfunktion kann in einen
symmetrischen und einen antimetrischen Anteil zerlegt werden.
R XY (τ) = 1 2 [R XY (τ)+R XY (−τ)] + 1 2 [R XY (τ) − R XY (−τ)] (6.1.6.35)
Mit exp [−iωτ] =cos(ωτ) − i sin(ωτ) ergibt sich
S XY (ω) = 1
2π
i
2π
Z +∞
−∞
Z +∞
1
2 [R XY (τ)+R XY (−τ)] cos(ωτ)dτ −
1
−∞ 2 [R XY (τ) − R XY (−τ)] sin(ωτ)dτ
= Co XY (ω) − iQ XY (ω) (6.1.6.36)
Co XY (ω) ist das sogenannte Kospektrum und Q XY (ω) das sogenannte Quadraturspektrum wobei
Co XY (ω) =Co XY (−ω) und Q XY (ω) =−Q XY (−ω). Das Quadraturspektrum ist null, wenn
R XY (τ) eine gerade Funktion ist. Eine oft verwendete GrößefürdieAbhängigkeit zweier Prozesse
ist die sogenannte Kohärenzfunktion.
Coh 2 XY = |S XY (ω)| 2
S X (ω)S Y (ω) = Co XY (ω) 2 + Q XY (ω) 2
S X (ω)S Y (ω)
(6.1.6.37)
Sie gibt den quadrierten Korrelationskoeffizienten für jede Frequenz an.
Ergodizität, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit sind analog zum eindimensionalen
Fall definiert.
Beispiel 6.1.6.3: Korrelationsmatrix für den modalen Ausgang eines Schwingungssystems mit
mehreren Freiheitsgraden
Die Schwingungen eines mehrläufigen, linearen, viskos gedämpften Tragwerks unter Zufallsbelastungen
sind ihrerseits zufällig. Bei Belastung durch weißes Rauschen kann man für den stationären
Zustand insbesondere zeigen, daß die Kovarianzfunktionsmatrix der modalen Koordinaten
gegeben ist durch (siehe auch Abschnitt 8.4)
C(t 2 − t 1 )= © C ij (t 2 − t 1 )=πS 0
£
αij g i (t 2 − t 1 )+β ij h i (t 2 − t 1 ) ¤ ; t 2 >t 1 ,i,j =1, 2,...,N ª
(1)
114

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit
"
#
ξ
g i (τ) =exp[−ω i ξ i τ] cos(ω d,i τ)+ p1 i
sin(ω
− ξ
2 d,i τ)
i
(2)
h i (τ) =exp[−ω i ξ i τ]
1
ω d,i
sin(ω d,i τ) (3)
ω d,i = ω i
q1 − ξ 2 i (4)
α ij =
4(ω i ξ i + ω j ξ j )
¡ ¢
ω
2
i − ω 2 2
j +4ω i ω j (ω i ξ j + ω j ξ i )(ω i ξ i + ω j ξ j )
(5)
β ij =
2 ¡ ¢
ω 2 j − ω 2 i
¡ ¢
ω
2
i − ω 2 2
j +4ω i ω j (ω i ξ j + ω j ξ i )(ω i ξ i + ω j ξ j )
(6)
worin ω k und ξ k die jeweiligen Eigenfrequenzen bzw. die modalen Dämpfungsverhältnisse und S 0
die Stärke des (eindimensionalen) Eingangs. Die Autokovarianzfunktionen sind differenzierbar.
Für t 1 ≥ t 2 sind i und j zu vertauschen. Außerdem gilt α ij = α ji und β ij = −β ji . Die C ij (t 2 −
t 1 ) sind gedämpfte Schwingungen. C(t 2 − t 1 ) ist eine symmetrische, positiv definite Matrix,
Ċ(t 2 − t 1 )= d
dt 2
C(t 2 − t 1 ) ist eine schiefsymmetrische Matrix und ¨C(t 2 − t 1 )=
d2
dt 1dt 2
C(t 2 − t 1 )
wiederum eine symmetrische, positiv-definite Matrix. Der Verformungsausgang des Systems wird
schließlich als Linearkombination aus den modalen Antworten Y (t) = P n
i=1 η iX i (t) gewonnen.
#
Gaußsche Zufallsfelder ∗
Eine Beschreibung durch Zufallsfelder wird notwendig, wenn der Parameter ein Vektor ist, z.B.
die Raumkoordinaten und gegebenenfalls die Zeit, also etwa bei Bodeneigenschaften, den turbulenten
Windgeschwindigkeiten in Raum und Zeit, bei der Verteilung von Kontaminationen im
Grundwasser oder bei der Beschreibung des Seegangs. Skalare Gaußsche Felder sind durch ihre
Mittelwertsfunktion und die Kovarianzfunktion vollständig definiert. Allerdings ist nunmehr der
Parameter ein Vektor t =(t 1 .t 2 ,...,t m ).
m(t) =E [X(t)] (6.1.6.38)
C X (t 1 , t 2 )=Cov [X(t 1 ),X(t 2 )] (6.1.6.39)
Die Kovarianzfunktion ist positiv definit und es ist C X (t 1 , t 2 )=C X (t 2 , t 1 ).
Das Feld wird homogen genannt, wenn die Kovarianzfunktion nur von der Vektordifferenz θ =
t 1 − t 2 abhängt. Dann ist
m = m(t) =E [X(t)] (6.1.6.40)
C X (t 1 , t 2 )=C X (t 1 − t 2 )=Cov [X(t),X(t + θ)] = C X (θ) (6.1.6.41)
115

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Das Feld heißt isotrop, wenn die Kovarianzfunktion nur vom Abstand τ = kt 1 − t 2 k abhängt und
somit invariant gegenüber Translationen, Rotationen und Spiegelungen ist und damit:
C X (t 1 , t 2 )=C X (τ) (6.1.6.42)
Ergodizität, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit sind analog zum eindimensionalen
Fall definiert.
Für die Korrelationsfunktion von homogenen und zentrierten Feldern gibt es eine Spektraldarstellung.
R X (θ) =
Z ∞
−∞
S X (κ) = 1
(2π) m Z ∞
exp £ iκ T θ ¤ S X (κ)dκ (6.1.6.43)
−∞
exp £ −iκ T θ ¤ R X (θ)dθ (6.1.6.44)
Es gibt einige häufig vorkommende Sonderfälle. Wenn für jedes Argument R(..., θ i ,...)=R(..., −θ i ,...)
gilt, nennt man das Feld quadrant-symmetrisch. Dann ist (Hinweis auf X jetzt weggelassen)
und natürlich:
Das Feld heißt separierbar, wenn
und damit
σ 2 = R(0) =
G(κ) =2 m S(κ) (6.1.6.45)
Z ∞
−∞
S(κ)dκ =
Z ∞
0
G(κ)dκ (6.1.6.46)
R(θ) =R(θ 1 )R(θ 2 )...R(θ m ) (6.1.6.47)
S(κ) =S(κ 1 )S(κ 2 )...S(κ m ) (6.1.6.48)
Allgemein läßt sich die Korrelationsfunktion eines m-dimensionalen Feldes aus
R(θ m )=R(θ n )R(θ k ) (6.1.6.49)
erzeugen wobei m = n + k und R(θ n ) und R(θ k ) jeweils zulässige Korrelationsfunktionen sein
müssen.
Manchmal, z.B. bei der Modellierung des durch ebene Wellen charakterisierten Seegangs, ist die
Korrelationsstruktur eines Zufallsfeldes richtungsabhängig. Dann wird häufig der Ansatz
R(θ, φ) =R(θ)s(φ) (6.1.6.50)
verwendet, z.B. mit s(φ) = 1 π cos( φ−φ 0
2
) 2 für |φ − φ 0 | < π.
Isotrope Felder sind immer homogen, quadrant-symmetrisch aber nicht unbedingt separierbar. Bei
isotropen Feldern können die vorstehenden mehrdimensionalen Integrale auf eindimensionale In-
116

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
tegrale durch Übergang zu Kugelkoordinaten reduziert werden.
R R (ρ) =(2π) m/2 Z ∞
S R (κ) =
0
Z
1 ∞
(2π) m/2
0
J m−2
2
(κρ) m−2
2
J m−2
2
(κρ)
κ m−1 S R (κ)dκ (6.1.6.51)
(κρ) m−2
2
(κρ)
ρ m−1 R R (ρ)dρ (6.1.6.52)
worin J k (.) die Besselfunktionen 1. Art und k-ter Ordnung sind. Die radialen Spektralfunktionen
integrieren sich nicht zu σ 2 auf, sondern es ist
σ 2 =
Z ∞
0
G(κ)dκ =
π m/2
2 m−1 Γ(m/2)
Z ∞
0
κ m−1 G R (κ)dκ (6.1.6.53)
Auch hier gibt es den Begriff des Korrelationsmaßstabes. Für isotrope Felder ist
Z
α m = δ m π m/2
∞
m
Γ( m +1) =(2π)m−1 2
0
ξ m−1 ρ(ξ)dξ = π m GR (0)
σ 2 (6.1.6.54)
³
Γ(
δ m = α m 2 +1)
´1/m
m π ist offensichtlich der Radius einer m-dimensionalen Hyperkugel. Natürlich
m/2
muß das Integral R ∞
ξ m−1 ρ(ξ)dξ existieren. Bei separierbaren, anisotropen Feldern ist
0
α m = Y m
δ 1,i. (6.1.6.55)
i=1
Beispiel 6.1.6.4: Exponentiell korreliertes, dreidimensionales Feld
Die Korrelationsfunktion
" #
3X
R(ρ) =R(ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 )=σ 2 exp − a i |ρ i |
beschreibt ein nicht differenzierbares, separierbares Feld mit Spektraldichte
i=1
(1)
S(κ) =S(κ 1 , κ 2 , κ 3 )= σ2
π 3 a 1 a 2 a 3
(κ 2 1 + a 2 1)(κ 2 2 + a 2 2)(κ 2 3 + a 2 3)
(2)
Wie im eindimensionalen Fall entsteht für a i →∞mehrdimensionales weißes Rauschen mit
R(ρ) =R(ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 )=σ 2 δ(ρ 1 )δ(ρ 2 )δ(ρ 3 ) (3)
S(κ) =S(κ 1 , κ 2 , κ 3 )=
σ2
(4)
(2π) 3
#
Beispiel 6.1.6.5: Beispiele für isotrope Korrelationsfunktionen
Die folgenden Korrelationsfunktionen für ρ ≥ 0
117

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
I : R(ρ) =σ 2 exp [−aρ];a>0 (1)
II : R(ρ) =σ 2 exp [−aρ]cos(bρ); a ≥ b>0 (2)
III : R(ρ) =σ 2 exp £ −aρ 2¤ ; a>0 (3)
IV,1 : R(ρ) =σ 2 (1 − ρ/a); ρ ≤ a (4)
" Ã
IV,2 : R(ρ) =σ 2 1 − 2 π
ρ
a
r
!#
³ ρ
´2
1 − +sin −1 ( ρ a a ) ; ρ ≤ a (5)
IV,3 : R(ρ) =σ 2 (1 − 1.5(ρ/a)+0.5(ρ/a) 3 ); ρ ≤ a (6)
V : R(ρ) =σ 2 (aρ)n K n (aρ)
Γ(n)2 n−1 ; a>0 (7)
haben die radialen Spektralfunktionen für κ ≥ 0. Auf den ersten Blick unterscheiden sich die
verschiedenen Modelle nicht stark.
Typ G 1 (κ) G 2 (κ) G 3 (κ)
I
II
σ 2
π
III
IV
V
σ 2
σ 2
σ 2 2a
a
a
π (a 2 +κ 2 ) 3/2 2π (a 2 +κ 2 ) 3/2 π 2 (a 2 +κ 2 )
R 2
a(κ 2 +a 2 +b 2 )
2σ 2 ∞
σ
R(ρ)J
(κ 4 +2κ 2 (a 2 −b 2 )+(a 2 +b 2 ) 2 ) π 0 0 (κρ)ρdρ 2 a(κ 4 +2(a 2 +b 2 )κ 2 +(a 2 −b 2 )(a 2 +b 2 )
h i
h i
π (κ 4 +2κ 2 h(a 2 −b 2 i)+(a 2 +b 2 ) 2 ) 2
√σ 2
aπ
exp − κ2
σ 2
− κ2
σ 2
exp − κ2
4a
π 4a
(aπ) 3/2 4a
"
#
σ 2 sin(aκ/2)
R κ 2 a 2 −4
2σ 2 ∞
R(ρ)J
π aκ 2 π 0 0 (κρ)ρdρ 12σ 2 cos(aκ)+
π 2 κ 6 a 3
+ 4+2 a 2 −4aκ sin(aκ)
π 2 κ 6 a 3
2σ 2 a 2n Γ(n+1/2)
4σ 2 a 2n n
8σ 2 a 2n Γ(n+3/2)
π 1/2 Γ(n)(a 2 +κ 2 ) n+1/2
π(a 2 +κ 2 ) n+1
π 3/2 Γ(n)(a 2 +κ 2 ) n+3/2
Die erste Korrelationsfunktion ist in allen Dimensionen gültig. Sie ist nicht die gleiche Funktion
wie in Beispiel 6.1.6.4. Für die zweite gilt a>b>0 für m =2und a> √ 3b>0 für m =3.Außerdem
ist die Spektralfunktion für m =2nicht analytisch und man muß Gl. (6.1.6.53) anwenden.
Die dritte ist ebenfalls in jeder Dimension gültig. Die vierte eindimensionale Funktion (IV) gehört
zu einem ’’moving average’’ Prozeß. Diese Funktion ist in höheren Dimensionen nicht mehr positiv
definit. Das sphärische Analogon ist für den dreidimensionalen Fall angegeben. Allerdings
gilt, daß eine Korrelationsfunktion, die in m Dimensionen gültig ist, auch für n

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 6.7.Vergleich verschiedener (eindimensionaler) Autokorrelationsfunktionen und Spektren (gleicher
Korrelationsmaßstab)
#
Anisotrope Felder lassen sich leicht aus isotropen Feldern erzeugen. Es ist nämlich
R(ρ) =R( ° ° ρ T Aρ ° ° ) (6.1.6.56)
mit A einer Diagonalmatrix, die nicht proportional zur Einheitsmatrix ist. Solche Felder werden
Felder mit Ellipsoidstruktur genannt. Sie sind ebenfalls quadrant-symmetrisch.
Eine wichtige Form von Zufallsfeldern umfaßt Felder bei denen Zeit- und Raumkoordinaten gleichzeitig
vorkommen, z.B. im Wind- und Meeresingenieurwesen. Wir nehmen HomogenitätimRaum
und Stationarität in der Zeit an. Bei festgehaltenen Raumkoordinaten gilt
und bei festgehaltener Zeit
σ 2 =
σ 2 =
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
S(κ)dκ = R(ρ) |ρ=0 (6.1.6.57)
S(ω)dω = R(τ) | τ =0 (6.1.6.58)
Natürlich existieren die vollen Wiener-Chintchin-Beziehungen Gl. (6.1.6.44) und (6.1.6.45) mit
entsprechender Interpretation der Parameter. Die Raum-Zeit Kreuzspektraldichten haben insbesondere
die Form
R(ρ,τ) =
Z ∞
−∞
exp [iωτ] S(κ,ω)dω (6.1.6.59)
119

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
S(κ,ω) = 1 Z ∞
exp [−iωτ] R(τ)dτ (6.1.6.60)
2π −∞
Dann ist es nützlich, die Kreuzspektraldichte mit ihrem Wert für κ = 0 zu normalisieren.
ρ ω (κ) = S(κ,ω)
S(0,ω) = S(κ,ω)
S(ω)
(6.1.6.61)
Diese frequenzabhängige Autokorrelationskoeffizientenfunktion gibt den Grad der räumlichen
Korrelation für jedes ω an. Natürlich ist
Durch
ρ(κ) =
Z ∞
−∞
ρ ω (κ) S(ω) dω (6.1.6.62)
σ2 Coh(κ, ω) =|ρ ω (κ)| 2 = |S(κ,ω)|2
(6.1.6.63)
S(ω) 2
wird schließlich die Kohärenzfunktion im räumlichen Fall definiert.
Die Mittelwertbildung von homogenen Zufallsfeldern über bestimmte Bereiche ist von großer
praktischer Bedeutung. Analog zum eindimensionalen Fall gilt für das einfache Mittel über einen
Bereich mit Volumen D = D 1 D 2 ···D m und α m dem (isotropen) Korrelationsmaßstab sowie δ m
dem zugehörigen Korrelationsradius
· Z ¸
1
E X(ξ)dξ = m (6.1.6.64)
Var
D
Z
· 1
D
D
D
¸
X(ξ)dξ
= 1 D 2 Z
D
Z
D
Cov [X(ξ),X(η)] dξdη ≤ min
½ ¾
σ 2 , σ2 α m
D
(6.1.6.65)
Beipiel. 6.1.6.7 Varianz des Mittels eines zweidimensionales Feldes über Rechteck
Für ein zweidimensionales, separierbares Feld mit der Autokorrelationsfunktion
ρ(ξ 1 , ξ 2 )=exp £ − P 2
i=1 a ¤
iξ 2 i ist die Varianz des Mittels über den (rechteckigen) Bereich D =
D 1 D 2
σ 2 2Y
√ πai D i erf ¡ √ ¢
ai D i − 1+exp[−ai D 2 ½
¾
i ]
Var[M(D)] =
≤ min σ 2 , σ 2 π
(D 1 D 2 ) 2 a
i=1
i Di
2 a 1 a 2 D 1 D 2
(1)
Eine analytische Formel für die Kovarianz von Mitteln über zwei Rechtecke läßt sich ebenfalls
finden. Sie ist länglich.
#
Wir betrachten noch das allgemeinere Integral
Z
I(D) = g(ξ)X(ξ)dξ (6.1.6.66)
D
120

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Hierbei ist g(ξ) eine deterministische ’’Gewichtsfunktion’’. Es ist in Analogie und Verallgemeinerung
zum eindimensionalen Fall
·Z
¸ Z
Z
E g(ξ)X(ξ)dξ = g(ξ)E [X(ξ)] dξ =E [X(ξ)] g(ξ)dξ (6.1.6.67)
D
D
D
·Z
¸ Z Z
Var g(ξ)X(ξ)dξ = g(ξ)g(η)Cov [X(ξ),X(η)] dξdη (6.1.6.68)
D
D D
und für zwei solche Integrale
·Z
Z
¸ Z
C I (ξ, η) =Cov g(ξ)X(ξ)dξ, h(η)X(η)dη = g(ξ)h(η)Cov [X(ξ),X(η)] dξdη
D a D b
ZD a D b
(6.1.6.69)
Gl. (6.1.6.68) bis (6.1.6.69) sind im allgemeinen nur sehr aufwendig auszuwerten. Es gibt aber
eine einfache, obere Schranke wenn C X (ξ, η) ≥0 für alle ξ, η ∈D × D. Dann ist aufgrund der
³ R
Schwarzschen Ungleichung in der Form f(x, y)k(x, y)dxdy´2
D×D
≤ ¡R f 2 (x, y)dxdy ¢¡R D D k2 (x, y)dxdy ¢
·Z
¸ Z Z
Var g(ξ)X(ξ)dξ ≤ g 2 (ξ)dξ C X (ξ, η)dξdη (6.1.6.70)
D
D
D
wegen f(ξ, η) =g(ξ) und k(ξ, η) =g(η) und C X (ξ, η) =C X (η, ξ) ≥ 0. Außerdem ist entsprechend
Gl. (6.1.6.55)
Z
Z
C X (ξ, η)dξdη = C X (0, η)dη ≤Var[X(ξ)] α m (6.1.6.71)
D
D
wegen C X (ξ, η) ≤Var[X(ξ)] = Var[X(0)] und daher
·Z
¸
(·Z
Var g(ξ)X(ξ)dξ ≤ Var[X(ξ)] min g(ξ)dξ
D
D
¸2
, α m
Z
D
g 2 (ξ)dξ
)
(6.1.6.72)
Hierin ist α m = δ m m
πm/2
der oben eingeführte Korrelationsmaßstab. Diese Näherung ist recht
Γ( m +1) 2
gut, wenn δ m ¿ D 1/m bei kompaktem D und nicht zu starker Anisotropie. Man beachte, daß die
Kovarianzfunktion eine nichtnegative Funktion sein muß und damit z.B. die zweite Kovarianzfunktion
in Beispiel 6.1.6.5 ausgeschlossen ist.
Beispiel 6.1.6.8: Lastwirkung auf Stütze
Verkehrslasten des Hochbaus L(x, y) werden für einen gegebenen Zeitpunkt als isotrope Zufallsfelder
modelliert. Eine mit linear-elastischer Rechnung ermittelte Lastwirkung, z.B. die Normalkraft
auf eine Stütze mit Einzugsfläche A, ist
Z
S(A) = i(x, y)L(x, y)dxdy (1)
A
121

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Dann ist für den Mittelwert
und die Varianz nach Gl. (6.1.6.73)
Var[S(A)] ≤ Var[L(x, y)] min
Z
E [S(A)] = E [L(x, y)] i(x, y)dxdy (2)
A
(·Z ¸2 Z
i(x, y)dxdy , α 2
A
A
R (1, α 2
·Z
¸2
= Var[L(x, y)] i(x, y)dxdy min
A
i 2 (x, y)dxdy
)
A i2 (x, y)dxdy
£RA i(x, y)dxdy¤ 2
#
Für die Kovarianz zweier Integrale können ebenfalls gewisse Vereinfachungen angegeben werden.
Hier geben zunächst ein wichtiges Ergebnis für die Mittelwerte über zwei kubische Bereiche mit
den Seiten parallel zu den Achsen an. Abb. 6.6 veranschaulicht die geometrischen Gegebenheiten
im zweidimensionalen Fall aus dem auch der m-dimensionale Fall ableitbar ist. Offenbar gilt
(siehe auch Gl. (6.1.6.19))
· Z ¸
1
Var[M(D)] = Var X(ξ)dξ = Var[X(ξ)] γ(d) (6.1.6.73)
D D
mit der sogenannten Varianzfunktion
γ(d) =
1
Q m
i=1 d i
Z d1
−d 1
...
Z dm
−d m
Y m
i=1
µ
1 − |ς
½ ¾
i|
α
ρ(ς)dς ≤ min 1, Q m
d m
i i=1 d i
)
(3)
(6.1.6.74)
Bei separierbarem Feldern ist min{δ i } = δ m . Dann kann man durch Anwendung der Sätze der
Integralrechnung für das Mehrfachintegral in Gl. (6.1.6.70) zeigen, daß im ein-, zwei- und dreidimensionalen
Fall
Cov [M 1 (D 1 ),M 2 (D 2 )] = Var[X(ξ)]
2
Cov [M 1 (D 1 ),M 2 (D 2 )] = Var[X(ξ)]
4
Cov [M 1 (D 1 ),M 2 (D 2 )] = Var[X(ξ)]
8
3X
(−1) k γ(d 1k ) (6.1.6.75)
k=0
3X
k=0 `=0
3X
3X
(−1) k (−1)`γ(d 1k ,d 2`) (6.1.6.76)
3X
k=0 `=0 m=0
3X
(−1) k (−1)`(−1) m γ(d 1k ,d 2`,d 3m )
(6.1.6.77)
Bei isotropen Feldern und gleicher Größe der Quader vereinfachen bzw. verkürzen sich diese
Formeln noch wesentlich. Und natürlich kann man die Funktion γ(d) wie in Gl. (6.1.6.75) von
oben abschranken.
Für anders berandete Bereiche zerlegt man näherungsweise den Bereich in (kleine) kubische Bereiche
und verfährt analog. Schließlich kann man das gleiche Konzept für gewichtete Integrale
122

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wie in Gl. (6.1.6.67) anwenden, d. h. man setzt in Näherung z.B. für den zweidimensionalen Fall
Z
mX
N = h(ξ 1 , ξ 2 )X(ξ 1 , ξ 2 )dξ 1 dξ 2 ≈ h j M j (6.1.6.78)
D
worin h j das ’’Gewicht’’ im Zentrum oder im Schwerpunkt (in Bezug auf die Funktion h(ξ 1 , ξ 2 ))
des j-ten (kleinen) Rechtecks und M j das entsprechende Mittel. Für zwei gewichtete Integrale N i
und N j verwendet man für die Kovarianz zwischen M i und M j die Formeln (6.1.6.76-78). Integrale
der Art (6.1.6.67) kommen in der Bodenmechanik, bei stochastischen FE-Modellen und bei
vielen anderen Anwendungen vor.
j=0
Abb. 6.8.Geometrische Bezeichnungen von zwei rechteckigen Bereichen
Die Formeln in (6.1.6.64) bis (6.1.6.78) behandelten den Fall, daß Mittel über achsenparallele Flächen
oder Volumen zu bilden sind. Sehr wichtig sind jedoch auch die statistischen Charakteristika
von Mitteln über geneigte oder gekrümmte Linien oder Flächen (z.B. bei Fließflächen in der Bodenmechanik).
Dann muß man offensichtlich Oberflächenintegrale lösen. Die Fläche S sei durch
die folgende explizite, eindeutige Parameterdarstellung gegeben.
Dann ist für ein zentriertes, homogenes Feld
E [M (S)] = 1
A(S)
ξ 3 = h(ξ 1 , ξ 2 ) (6.1.6.79)
Z
S
E [X(ξ)] dS(ξ) =m (6.1.6.80)
Var[M(S)] =
=
σ 2
ρ(ξ, η)dS(ξ, η)
A(S)
ZS
2
σ 2
ρ(ξ
A(S)
ZB
2 1 , ξ 2 ,h(ξ 1 , ξ 2 ), η 1 , η 2 ,h(η 1 , η 2 )
123

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
q q
× 1+h 2 1 + h 2 2 1+h 2 1 + h 2 2dξ 1 dξ 2 dη 1 dη 2 (6.1.6.81)
Cov [M(S j ),M(S k )] =
Z
σ 2 ZB j
ρ(ξ
A(S j )A(S k )
j,1 , ξ j,2 ,h j (ξ j,1 , ξ j,2 )), ξ k,1 , ξ k,2 ,h k (ξ k,1 , ξ k,2 ))) ×
B
q
q
k
× 1+h 2 j,1 + h2 j,2 1+h 2 k,1 + h2 k,2 dξ j,1dξ j,2 dξ k,1 dξ k,2 (6.1.6.82)
mit h i,j = ∂h i(ξ 1 ,ξ 2 )
; j =1, 2 und B der eindeutigen Projektion von S auf die (ξ
∂ξ j
1 , ξ 2 )−Ebene
sowie
Z q
A(S) = 1+h 2 1 + h 2 2dξ 1 dξ 2 (6.1.6.83)
der Fläche von S.
B
Beispiel 6.1.6.9: Scherfestigkeit des Bodens auf zwei zueinander geneigten Flächen
Die Scherfestigkeit eines Bodens sei durch ein homogenes Gaußsches Zufallsfeld mit Mittelwert
m, Standardabweichung · σ 2 sowie der separierbaren Autokorrelationsfunktion
ρ(ξ) =exp − P ³ ´2¸
ξi
i=x,y,z b i
charakterisiert. Standardisierung ergibt
U(ξ) = X(ξ) − m
(1)
σ
Bei Stabilitätsuntersuchungen von Böschungen stellt sich z.B. die Aufgabe, die Parameter der
Mittel über zwei Flächen zu berechnen. Wir nehmen eine zylinderförmige Bruchfläche an und approximieren
diese stückweise durch gegeneinander geneigte, ebene Teilflächen. Die Flächen seien
parallel zur x-Achse. Der Mittelwert des standardisierten Feldes ist gleich Null. Wegen Separierbarkeit
des Feldes ist mit Gl. (1) von Beispiel 6.1.6.7 und der Parameterdarstellung (ξ 1 ,h j (ξ 1 )) =
(ξ 1 ,a j ξ 1 + z 0j )
à µ ( " µ #)! q 2
Var[M(S j )] = σ2 √πbx L L 1+a 2
erf + b 2 j
L 2 x 1 − exp −
×
b x b x A(S j ) 2
Z yj + v j Z "
yj + v j µ
2
2 ξ1 − ξ 2 µ #
×
exp −
2 aj ξ
− 1 + z 0j − (a j ξ 2 + z 0j ) 2
b z
y j − v j
2
y j − v j
2
= σ2
L 2 Ã
√πbx
erf
1
v 2 j
b y b z
b 2
·√πbvj
erf
b y
µ ( " µ #)!
L L
2
+ b 2 x 1 − exp −
×
b x b x
µ
vj b
b y b z
+ b y b z
½1 − exp
·− v2 j b2
b 2 yb 2 z
¸¾¸
dξ 1 dξ 2
(2)
124

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
q
mit a j =tan(α j ),b 2 = b 2 z + a 2 jb 2 y und A(S j )= 1+a 2 j v j. Für die Kovarianzen gilt das erste
Integral in (2) für S j und das zweite Integral für S k .
à µ ( " µ #)! q p
Cov [M(S j ),M(S k )] = σ2 √πbx L L 2 1+a 2
erf + b 2 j 1+a
2
k
L 2 x 1 − exp −
b x b x A(S j )A(S k )
Z yj + v j Z "
yk + v k µ
2
2 ξj − ξ 2 µ #
k aj ξ j + z 0j − a k ξ k + z 2
0k
×
exp −
−
dξ
y j − v j
y 2 k − v k
2
b y
b j dξ k
z
( "
= σ2
L 2 Ã
√πbx
erf
× 1
v j v k
Z yk + v k
2
y k − v k
2
µ L
+ b 2 x
b x
√ "
π
2 b yb z exp
−
1 − exp
µ #)! 2 L
−
×
b x
µ # 2 ξk (a j − a k )+z 0j − z 0k
(A(ξ
b 2 k ) − B(ξ k )) dξ k
×
(3)
mit
A(ξ k )= 1 µ −(b
2
b erf z + a j a k b 2 y)ξ k − a j b 2 y(z 0j − z 0k )+b 2 (y j + v j
b y b z b
2 )
B(ξ k )= 1 µ −(b
2
b erf z + a j a k b 2 y )ξ k − a j b 2 y (z 0j − z 0k )+b 2 (y j − v j
b y b z b
Man muß numerisch integrieren. Numerisch integrieren müßte man auch, wenn die Diskretisierung
in eine endliche Anzahl von Teilebenen wegen hoher Krümmung zu großen Fehlern führen
würde oder wenn die Fläche doppelt gekrümmt ist. Die Matrix der Kovarianzen muß positiv definit
bleiben.
2 )
Abb. 6.9.
125

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
#
Skalare nichthomogene/instationäre Zufallsfelder können ebenfalls definiert werden, sind jedoch
außerordentlich schwierig und aufwendig zu behandeln. Nichtgaußische skalare Felder lassen
sich gegebenenfalls mit den in Gl. (3.2.4.6) bis (3.2.4.10) angegebenen Hilfsmitteln bearbeiten.
Auf Vektor- und sogar Tensorfelder, wie sie z.B. in der Turbulenztheorie vorkommen, kann nicht
eingegangen werden. Zusätzliche Ergebnisse über Gaußsche Zufallsfelder findet man z.B. in [10]
, [33] , [176] , [2] und [194] .
6.1.7. Voraussage, Filterung, Interpolation und Kontrolle von
Zufallsprozessen*
In den vorangegangenen Unterabschnitten wurden (stationären) Zufallsprozesse und -folgen behandelt.
In der Praxis kommen nun noch eine Reihe von wesentlich weitergehenden Aufgaben
vor, die hier kurz angedeutet werden sollen. Sie werden in der Literatur häufig unter dem Begriff
’’optimale lineare Filterung oder Schätzung’’ zusammengefaßt. Dabei bedeutet optimal ein
Qualitätskriterium in dem Sinne, daß die Varianz der Voraussage, Filterung oder Interpolation zu
einem Minimum wird. Für diese Aufgaben benötigt man bestimmte Stichprobenfunktionen. Linear
bedeutet, daß nur Linearkombinationen der Stichprobenelemente verwendet werden. Im Gegensatz
zur Parameterschätzung will man nun aber den gesamten Verlauf des Prozesses schätzen,
interpolieren oder extrapolieren. Um konkret zu werden nehmen wir an, daß ein Zufallsprozeß,
z.B. die Verdichtung eines künstlichen Bodens, die Windgeschwindigkeit, der Mineralgehalt einer
Lagerstätte, die Streckgrenze eines gewalzten Blechs, etc., in diskreten, äquidistanten Zeit-
(Raum)punkten beobachtet worden sei. Beobachtet wird eine Größe, die in der Regel aus dem
eigentlichen Signal und dem Meßfehler in der Form y(t) = x(t) +²(t) besteht. Gegeben sei
zunächst die ohne Meßfehler gemessene die Folge x(i∆t), (i =1,...,N).
Eine Interpolationsaufgabe liegt vor, wenn der Prozeß X(t) nun auch zu beliebigen Zeitpunkten
zwischen den Beobachtungspunkten bestimmt werden soll. Das kann man natürlich nur mit
bestimmter Genauigkeit, die durch die Varianz der Schätzung quantifiziert wird. Dabei muß die
Varianz des Schätzers bei Abwesenheit von Meßfehlern in allen Beobachtungspunkten gleich Null
sein und mit wachsendem Abstand von einem Beobachtungspunkt zunehmen. Wenn Meßfehler
vorhanden sind, ist der Mittelwert der Schätzung im Beobachtungspunkt gleich der Beobachtung
und die Varianz der Schätzung ist gleich der Varianz des Meßfehlers. Da die Kovarianzfunktionen
von vielen Prozessen mit dem gegenseitigen Abstand von zwei Zeitpunkten abnehmen, vermuten
wir, daß sowohl der geschätzte Mittelwert als auch die geschätzte Varianz des Interpolationspunktes
sich mit zunehmendem Abstand vom Beobachtungspunkt den Werten des Prozesses selbst
annähern. Gesucht sind also die Koeffizienten a ij in
E[X(t j )] = a oj +
NX
a ij x(t i ) (6.1.7.1)
i=1
für j =1,...,M derart, daß die Varianz der Schätzungen zu einem Minimum wird.
Eine Filterungsaufgabe liegt vor, wenn Meßfehler vorhanden sind. Dann müssen die Beobachtungen
x(t i ) durch die Messungen (mit Fehler) y(t i ) ersetzt werden.
126

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Eine Voraussageaufgabe liegt vor, wenn die Zukunft des Prozesses, z.B. zum Zeitpunkt t N + τ,
von Interesse ist. Diese soll mit
E[X(t N + τ)] =
NX
a i x(t N − ϑ i ) (6.1.7.2)
i=1
geschätzt werden. Die ϑ i sind die Zeitpunkte der bereits vorliegenden Beobachtungen. Wiederum
sollen die Koeffizienten a i optimal bestimmt werden.
Eng damit verwandt ist die Kontrollaufgabe. Wir können nämlich z.B. annehmen, daß es möglich
ist, den Prozeß zu einem Zeitpunkt t n

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Daraus findet man
Damit ist also
a 1 = C(t 1,t 2 )
σ 2 (t 2 )
= ρ(t 1 ,t 2 ) σ(t 1)
σ(t 2 )
(6.1.7.9)
bX(t 1 )=E[ b X(t 1 )] = E[X(t 1 )|X(t 2 )=x(t 2 )] = m(t 1 )+ C(t 1,t 2 )
σ 2 (t 2 ) (x(t 2) − m(t 2 )) (6.1.7.10)
mit (minimaler) Varianz
Im stationären Fall ist sogar
Var[X(t 1 )|X(t 2 )] = σ 2 (t 1 )[1 − ρ 2 (t 1 ,t 2 )] (6.1.7.11)
ˆX(t) =m +[x(t − τ) − m)]ρ(τ) (6.1.7.12)
Var[X(t)|X(t − τ)] = σ 2 [1 − ρ 2 (τ)] ≤ σ 2 (6.1.7.13)
Hier wird deutlich, daß die Varianz nicht vom beobachteten Wert abhängt und nur von ρ(τ) und der
Varianz des Prozesses selbst. Insbesondere ist Var[X(t)|X(t−τ)] → 0 für |ρ(τ)| → 1,d.h.τ → 0,
und Var[X(t)|X(t − τ)] → σ 2 für ρ(τ) → 0, d.h.τ →∞. Es ist in diesen Grenzfällen auch
X(t) → x(t − τ) bzw. X(t) → m entsprechend unseren Erwartungen. Diese Schlußfolgerungen
sind natürlich nur dann sinnvoll, wenn |ρ(τ)| mit τ gegen Null hin abnimmt.
Der mehrdimensionale Fall läuft ganz analog. Wir bezeichnen den zu schätzenden Vektor mit
X 1 =(X(t 11 ), X(t 12 ),...X(t 1M )) T und den Beobachtungsvektor mit X 2 =(X(t 21 ), X(t 22 ),...
X(t 2N )) T bzw. mit der Realisation x 2 =(x(t 21 ), x(t 22 ),...,x(t 2N )) T und teilen den Gesamtvektor
X =(X 1 ,X 2 ) T , d.h.
½ ¾ · ¸
X =(X 1
, X 2 ) T m1 C11 C
= ,
12
m 2 C 21 C 22
Die Schätzer sind
Die Koeffizienten der Matrix A erhält man aus
und von a 0 aus
womit
und die (minimale) Varianz der Schätzungen
bX = E[X 1 |X 2
= x 2 ]=a 0 + Ax 2 (6.1.7.14)
A = C 12 C −1
22 (6.1.7.15)
a 0 = m 1 −Am 2 (6.1.7.16)
ˆX 1 = m 1 +C 12 C −1
22 (x 2 −m 2) (6.1.7.17)
Var[X 1 |x 2
]=C 11|2 = C 11 −C 12 C −1
22 C 21 (6.1.7.18)
128

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Oft ist M =1und die Formeln vereinfachen sich wesentlich. In allen Formeln wird unterstellt,
daß die Parameter des Prozesses, d.h. die Mittelwertsfunktion m(t), die Varianzfunktion σ 2 (t)
und die Kovarianzfunktion C(t 1 , t 2 ) bzw. die Autokorrelationsfunktion ρ(t 1 , t 2 ) bekannt sind.
Das ist auch der schwerwiegendste Einwand gegen die vorgestellte Theorie. Sie erlaubt zwar die
Rekonstruktion (mit Fehlerterm) ganzer Zufallsfunktionen, bedingt jedoch bereits gute Kenntnis
über den betrachteten Prozeß. Außerdem wurden im Vorstehenden keine Meßfehler berücksichtigt.
Das kann jedoch leicht durch Setzen von
C(t 1 , t 2 )=C M δ(|t 1 − t 2 |)+C R (t 1 , t 2 ) (6.1.7.19)
erreicht werden, wenn alle Fehler voneinander unabhängig sind (δ(x) =1für x =0und δ(x) =0
für x 6= 0).
Die vorgestellte Theorie wurde bereits in [88] und [188] in ihren wesentlichen Zügen aufgestellt
und zwar für stetige, stationäre Prozesse (Felder) auch in einer für viele Anwendungen zweckmäßigeren
spektralen Version. Auf ihre Darstellung soll hier verzichtet werden, zumal sich in der
Anwendung die Analyse im ursprünglichen Parameterraum durchzusetzen scheint. Wesentliche
Verbesserungen und Verallgemeinerungen wurden aber seither erreicht. Wir verweisen insbesondere
auf die von [86] vorgeschlagenen Algorithmen. Zusammenfassende, ausführliche Erörterungen
finden sich beispielsweise bei [153] und bei [127] . Es gibt auch Bayessche Varianten,
die zwar in der Ökonometrie entwickelt wurden, aber für Ingenieuranwendungen geradezu prädestiniert
erscheinen (siehe z.B. [196] ).Schließlich ist eine nichtlineare Theorie, bei der also die
Beobachtungen nichtlinear kombiniert werden, entwickelt worden. Die vielfältigen Anwendungen
in der Meßtechnik,der Steuer-und Regelungstechnik, der Lagerstättenkunde und in der Wirtschaft
haben in jüngster Zeit eine ganze Reihe von Rechenprogrammen hervorgebracht, die die z.T. aufwendigen
rechnerischen Operationen erledigen. Die obigen, etwas summarischen Erörterungen
mögen zumindest die Handhabung solcher Hilfsmittel erleichtern helfen.
Beispiel 6.1.7.1: Interpolation eines Zufallsprozesses
Ein stationärer Gaußscher Prozeß mit Mittelwert Null und Kovarianzfunktion C(τ) =4exp[− |τ|]
werde zwischen zwei Beobachtungen x(1) = −0.5 und x(2) = 1.0 interpoliert. Die Meßfehlervarianz
sei 0.2. Das ergibt den folgenden Verlauf von bedingter Voraussage und Varianz.
#
Abb. 6.10.Interpolation eines Gaußprozesses
129

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
6.2. Allgemeines zur Modellierung von Lasten
6.2.1. Klassifizierung der Einwirkungen
Unter Einwirkung versteht man jede Wirkung, die Beanspruchungen in einem Bauwerk erzeugt,
d.h. alle Einwirkungen aus der natürlichen und technischen Umwelt sowie diejenigen aus der
Nutzung des Bauwerks. Man unterscheidet
• ständige Einwirkungen, deren Änderungen in der Zeit gering und langsam erfolgen
Beispiele: Eigenlasten des Tragwerks, Erddruck, Vorspannung, Zwänge aus der Bauart, Beanspruchungen infolge Schwinden
oder Stützensenkungen
• veränderliche Einwirkungen, deren Änderungen in der Zeit häufig und wesentlich sind
Beispiele: Alle Einwirkungen aus der Nutzung der Bauwerke sowie Wind, Schnee und Temperatur
• außergewöhnliche Einwirkungen, derGröße zwar erheblich sein kann, deren Auftrittswahrscheinlichkeit
für ein gegebenes Bauwerk, bezogen auf die beabsichtigte Nutzungsdauer, klein
ist und deren Einwirkungsdauer meist kurz ist
Beispiele: Anpralllasten, Explosionen, Erd- oder Schneelawinen, Erdbeben
Feste Einwirkungen haben eine feste, gegebene räumliche Verteilung. Lastwirkungen können
bestimmt werden, wenn die Größe der Einwirkung, z.B. als Zufallsvariable, in einem Punkt des
Tragwerks gegeben ist (Beispiel: Wasserdruck). Bei freien Einwirkungen ist die räumliche Verteilung
in der Zeit veränderlich (Beispiel: die meisten Nutzlasten) und es gibt ein ungünstigste
räumliche Anordnung. Statische Einwirkungen sind solche Einwirkungen, die keine nennenswerten
Massenkräfte hervorrufen. Dynamische Einwirkungen erzeugen Massenkräfte, die nicht
vernachlässigt werden können.
6.2.2. Filterung beim Übergang von Last zu Lastwirkung
Nur in Ausnahmefällen ist die Last selbst von Interesse, z.B. Winddruck auf eine kleine Fassadenfläche
oder die Radlast auf einem unmittelbar befahrenen Belag. Für mittelbar beanspruchte
Tragwerksglieder erfolgt bei linearem und quasi-statischem Tragverhalten eine ’’Filterung’’ durch
Z
S i (A, t) = i i (x, y)L(x, y, t)dxdy (6.2.2.1)
A
mit S i (A, t) der Lastwirkung infolge der räumlich verteilten Last L(x, y, t) und i i (x, y) der Einflußfläche.
Die ’’Filterung’’ erfolgt im wesentlichen im Raum. Die tatsächliche feste oder freie,
deterministische oder stochastische räumliche Fluktuation der Einwirkungen wird in der Praxis oft
ersetzt durch eine äquivalente Einwirkung, die die gleiche Lastwirkung erzeugt. Es gilt:
Z
Z
i i (x, y)L eq (x, y, t, α)dxdy = i i (x, y)L(x, y, t)dxdy (6.2.2.2)
A
mit L eq (x, y, t, α) dem standardisierten ’’Lastbild’’ und α einem Skalierungsfaktor. Beispiele sind
die räumlich gleichverteilten Nutzlasten des Hochbaus oder der SLW (Schwerlastkraftwagen) zusammen
mit den zugehörigen räumlich gleichverteilten Lasten in Haupt- und Nebenspur bei Brücken.
Das ist nur näherungsweise möglich, da eine solches äquivalentes Lastbild vom anzusetzenden
Wahrscheinlichkeitsniveau und von der Einflußfläche abhängt. Bei dieser Vorgehensweise, die
A
130

Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
die Handhabung von Lasten in der Praxis sehr erleichtert, sind Lasten und Tragwerksform und -
größe nicht mehr voneinander unabhängig.
Bei dynamischer Last lautet die entsprechende Beziehung
Z t Z
S i (A, t) = h i (t − τ)i i (x, y)L(x, y, t)dxdydτ (6.2.2.3)
0
A
h i (t − τ) ist die Antwortfunktion des Systems zum Zeitpunkt t auf einen Einheitsimpuls zur Zeit
τ. Hier erfolgt zusätzlich noch eine ’’Filterung’’ in der Zeit.
Wenn mehrere Lasten gleichzeitig einwirken, entsteht das Problem der Lastkombination. Die Verhältnisse
veranschaulicht Abb. 6.7.
Im statischen Fall müssen z.B. räumlich verteilte Einzellasten zunächst zu Blocklasten zusammengefaßt
werden. Das entspricht einer lokalen Mittelung, die schon aus rein meßtechnischen Gründen
erforderlich ist. Diese werden dann mit den Ordinaten der Einflußfläche multipliziert und aufintegriert.
Dann wird z.B. eine räumlich gleichförmig verteilte äquivalente Last bestimmt, die zur
gleichen Lastwirkung führt. Im dynamischen Fall, hier ist eine Betrachtung im Frequenzbereich
zweckmäßig, muß zunächst ebenfalls eine räumliche Mittelung, gegebenenfalls zusammen mit einer
Tranformation, beim Wind etwa der Übergang von der Windgeschwindigkeit zum Winddruck,
geschehen. Dann erfolgt im allgemeinen recht selektive Frequenzfilterung.. Erst dann bekommt
man die Spektraldichte der Lastwirkung. In manchen Fällen geht man noch einen Schritt weiter.
Man bestimmt nun eine quasi-statische Ersatzlast, die die gleiche Lastwirkung ergibt, wie die
dynamische Rechnung.
Statische
Beanspruchung
(räumliche Filterung)
Dynamische
Beanspruchung
(zeitliche Filterung)
Einwirkung
Länge
Frequenz
Zeit
Belastung
Länge
Frequenz
Länge
Frequenz
Tragwerksfilter
Tragwerksantwort
Länge
Frequenz
Zeit
Abb. 6.11.Räumliche und zeitliche Filterung von Einwirkungen durch das Tragwerk
131

Windgeschwindigkeit
Magnitude
Beschleunigung
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Jede sinnvolle probabilistische Modellierung von Einwirkungen geht von einer hierarchischen
Struktur aus. Damit können die verschiedenen Abhängigkeiten näherungsweise aber für praktische
Zwecke ausreichend wirklichkeitsnah erfaßt werden. Das veranschaulicht Abb. 6.8 in dem
oben Erdbeben durch einen markierten Erneuerungsprozeß modelliert werden. Mit dem ’’Makromodell’’
werden nur Informationen über die zeitliche Struktur der Auftrittsereignisse sowie über
die ’’Stärke’’ erfaßt. Die im allgemeinen mehrdimensionale ’’Stärke’’ beschreibt im ’’Mikromodell’’
die Parameter des Zufallsprozesses der Bodenbeschleunigungen, also Größe, Zeitverlauf,
Dauer, etc.. Im Bild darunter, wieder grob vereinfacht, ist für die Windeinwirkungen dargestellt,
wie von einem Makromodell für die mittleren 10-min Geschwindigkeiten die Parameter der Böigkeit
bestimmt werden. Die Grenze zwischen Makromodell und Mikromodell ist nicht leicht zu
ziehen. Sie muß sowohl physikalische als auch stochastische Aspekte miteinbeziehen.
Zeit
Zeit
mittlere10 min
Geschwindigkeit
Böengeschwindigkeit
Zeit
Abb. 6.12.Hierarchisierung von Lastmodellen
Das heißt aber, daß zur realitätsnahen Modellierung von Lasten eine ganze Reihe von Operationen,
etwa Integration, Erwartungswertbildung, Mittelbildung und Extremwertbildung notwendig sind.
Das ist Gegenstand der Theorie der Lasten. Wie im einzelnen vorgegangen werden muß, hängt
stark vom Typ der Last und vom Verwendungszweck ab.
132

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
6.3. Allgemeine Festigkeitsmodelle
6.3.1. Statische Festigkeit
Bei der Modellierung von streuenden Materialeigenschaften, hier werden nur Festigkeiten betrachtet,
kommt es ebenfalls auf eine Hierarchisierung der Streuungen an. Im allgemeinen genügt eine
Einteilung auf drei Niveaus
• Makroniveau
• Mesoniveau
• Mikroniveau
Auf dem Mikroniveau untersucht man die von der Mikrostruktur (Atome, Körner, Korngrenzen,
Fasern, etc.) der Werkstoffe herrührenden Streuungen. Auf diesem Niveau entsteht die physikalische
Festigkeit. Sie ist im Normalfall Experimenten nicht zugänglich.
Auf dem Mesoniveau kann man die technische Festigkeit an geeigneten Probekörpern bestimmen
und z.B. einer Qualitätskontrolle unterwerfen. Zweckmäßigerweise bezieht man die Festigkeiten
auf gewisse Einheiten, z.B. Bauwerke, Produktionseinheiten wie Schmelzen, Betonierabschnitte
oder auch Bodeneigenschaften unter einem (nicht zu großen Bauwerk). Innerhalb dieser Einheiten
gibt es in der Regel ausgeprägte räumliche Korrelation. Das muß bei der Hochrechnung auf
Bauteilfestigkeiten berücksichtigt werden. Näherungsweise kann man annehmen, daß innerhalb
dieser Einheiten die Verteilungen stationär wenn nicht sogar ergodisch sind. Es ergibt sich ein
in Bezug auf die mittleren Werte und/oder die Streuungen mehr oder weniger stark ausgeprägter
’’Größeneffekt’’.
Auf dem Makroniveau kann man Streuungen zwischen Produktionseinheiten und Produktionsstätten
definieren. Bei Böden ist dies z.B. die geologisch bedingte Unsicherheit über die tatsächliche
Bodenart. Diese Streuungen kann man im Prinzip durch umfassende Probennahmen und anschließende
statistische Auswertungen beseitigen. Oft kann man annehmen, daß die den Produktionseinheiten
zukommende Streuung eine unabhängige Folge bilden.
Damit ist symbolisch
X i (ξ) =X 0,i + X 1 (ξ)
Der Index ’’i’’ bezeichne die Produktionseinheit, ξ den Ortsvektor innerhalb der Produktionseinheit.
X i (ξ) ist somit wegen des Anteils X 0,i ein nichtergodisches Feld. Im folgenden werden
wir vorrangig den ergodischen Teil X 1 (ξ) behandeln. Oft sind jedoch beide Anteile in gleicher
Größenordnung.
Es gibt im wesentlichen drei verschiedene stochastische Modelle für Festigkeiten, bei denen jeweils
andere Operationen durchzuführen sind um von der Festigkeit des ’’Elements’’ auf die Festigkeit
des ’’Bauteils’’ zu kommen. Diese Operationen umfassen im wesentlichen Integral- und
Summenbildung sowie Extremwertbildung.
• Modell idealer Plastizität
• Modell ideal spröder Materialien
• Modell paralleler Fasern
Bei realen Werkstoffen hat man es meist mit einer Kombination der den Grundmodellen zukommenden
Operationen zu tun.
133

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Ideal plastisches Werkstoffverhalten
Bei ideal-plastischem Werkstoffverhalten trägt jedes Element nach Erreichen der Plastizitätsgrenze
die Last mit der räumlich streuenden Plastizitätsgrenze. Der Widerstand eines bestimmten Bauteils
wird durch Integration über die hier zur Vereinfachung eben angenommene ’’Gleitfläche’’ gewonnen,
d.h. aus R(A) = R σ(ξ)dξ. Die Elementfestigkeit kann als homogenes Zufallsfeld aufgefaßt
A
werden. Daher ist die mittlere Bauteilfestigkeit
·Z
E [R(A)] = E
mit der Varianz
Z
Var[R(A)] =
A
Z
A
A
¸
σ(ξ)dξ = AE [σ(ξ)] (6.3.1.1)
Cov [σ(ξ 1 , η 1 ), σ(ξ 2 , η 2 )] dA 1 dA 2 (6.3.1.2)
Damit ist der Mittelwert pro Einheitsfläche unabhängig von der Fläche. Die Varianz nimmt dagegen
mit der Fläche ab. Bei stark mischenden Zufallsfeldern, d.h. Feldern, die fürgenügend großen
Abstand unabhängig werden, gilt der zentrale Grenzwertsatz, also näherungsweise eine Normalverteilung
für R(A). Bei nur langsam abfallender Autokovarianzfunktion erfolgt die Annäherung
jedoch nur langsam. Auf die Ausführungen zu Mitteln bei Zufallsfeldern in Abschnitt 6.1.6 wird
hingewiesen.
Ideal sprödes Werkstoffverhalten
Bei ideal sprödem Materialverhalten ist das schwächste Element (oder der größte Defekt) für das
Bauteilversagen verantwortlich. Es gelten analoge Betrachtungen wie bei der Ableitung der Weibullverteilung
(Weibull, 1939[184] ).
³
wenn ln(1 − F (σ)) ≈−
F R (σ) = 1− (1 − F (σ)) V/V 0
· ¸
V
= 1− exp ln(1 − F (σ))
V
" 0
≈ 1 − exp − V µ # k σ − σ0
V 0 σ c
σ−σ 0
σ c
(6.3.1.3)
´k
angesetzt werden kann, V0 ein geeignet gewähltes Referenzvolumen
und V das tatsächliche Bauteilvolumen. Mit zunehmendem Volumen nimmt die Festigkeit
daher stark ab, d.h. die mittlere Festigkeit wie E [R] =σ 0 + σ c (V/V 0 ) −1/k Γ(1 + 1/k). Bei
inhomogener Beanspruchung durch s(x, y, z) = sw(x, y, z) und σ 0 =0ist
F R (σ) ≈ 1 − exp
"− 1 µ σ k Z
V 0 σ c
V
w(x, y, z)dV
#
(6.3.1.4)
Analoge Betrachtungen gelten für Oberflächendefekte. Strenggenommen gelten diese Verteilungen
nicht für mehrachsige Beanspruchung und nur für in der Beanspruchungsrichtung ausgedehnte
Körper. Dem ’’Element’’ kann jedoch eine physikalische Bedeutung gegeben werden. Wenn man
das Element als Defekt (z.B. ein innerer, flächiger Riß, eine Pore oder ein Einschluß) deutet, kann
man ähnliche Verteilungen auch für mehraxiale Beanspruchungen herleiten (Matsuo, 1981[113] ).
134

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Fürden’’bruchmechanischen’’ Ansatz fassen wir nachstehend einige Grundlagen zusammen. Für
einen Riß in einem elastischen Medium ist
σ XX = K n
I
√ cos(θ/2) [1 − sin(θ/2) sin(3θ/2)] − ρ o
2πr 2r cos(3θ/2)
σ YY = K n
I
√ cos(θ/2) [1 + sin(θ/2) sin(3θ/2)] + ρ o
2πr 2r cos(3θ/2)
σ ZZ = ν(σ XX + σ YY ) (6.3.1.5)
σ XY = K n
I
√ sin(θ/2cos(θ/2) cos(3θ/2) − ρ o
2πr 2r sin(3θ/2)
σ XZ = σ YZ =0
Für den ebenen Spannungszustand ist σ ZZ =0. Meist setzt man ρ =0, d.h. nimmt den mathematisch
spitzen Riß an. Die Größe K I heißt Spannungsintensitätsfaktor und ist unabhängig von r
und θ. Aus einer Dimensionsbetrachtung folgt, daß
K I = Y (a)σ √ πa (6.3.1.6)
Y (a) ist eine von der Beanspruchungsart, der Rißgeometrie und der Rißorientierung abhängige
Funktion. Für den inneren elliptischen Riß ist beispielsweise
K I = σ√ πa
H
µsin(ϕ) 2 + a2
c 2 cos(ϕ)2 1/4
(6.3.1.7)
mit H ≈ 3π + π a 2
. Für ϕ = π/2 ist der Spannungsintensitätsfaktor am größten und für ϕ =0am
8 8 c 2
kleinsten. Auch die Rißöffnungsweite kann berechnet werden.
v R = 1+κ)
4G σ√ a 2 + x 2 für x ≤ a (6.3.1.8)
mit κ =(3− ν)/(1 + ν) für den ebenen Spannungszustand und κ =(3− ν) für den ebenen
Verformungszustand (G =Schubmodul, ν =Poissonsche Zahl). Für einen halbelliptischen Riß an
der Oberfläche hat man abgesehen von einem zusätzlichen Faktor 1.12 die gleichen Ergebnisse.
An der Rißspitze (r =0)werden die Spannungen unendlich groß. Dort werden Plastifizierungen
eintreten, deren Größe man abschätzen kann. Die Spannungen in der Nähe von Einschlüssen oder
von Poren können ebenfalls berechnet werden. Sie sind kleiner als die bei Rissen. Wenn entweder
die angelegten Spannungen oder der Riß selbst zu groß wird, wird der Riß instabil. Das kann man
nach Griffith durch eine Energiebetrachtung ermitteln. Wir betrachten einen ’’Schlitz’’ in einer
unendlich großen Platte der Dicke Eins. Die durch den Riß freigesetzte elastische Energie ist
π(1 + κ)
U el =
8G σ2 a 2 Y (a, c) 2 (6.3.1.9)
Diese Energie entspricht der Arbeit, die notwendig ist um den Riß wieder zu schließen.
A = 1 2 V Rσ (6.3.1.10)
135

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wobei V R das entstandene Hohlvolumen ist. Dieses Volumen ist mit Gl. (6.3.1.8) und Y (a, c) =1
und daher
V R =4
Z a
0
v R (x)dx (6.3.1.11)
π(1 + κ)
A =
8G σ2 a 2 (6.3.1.12)
Die Oberflächenenergie eines Risses von der Länge 2a ist
Σ =2(2aγ 0 ) (6.3.1.13)
mit γ 0 der spezifischen Oberflächenenergie. Die kritische Spannung wird durch Variation der
Gesamtenergie gewonnen.
∂Π
∂a = δ(U el + Σ + W) =0 (6.3.1.14)
mit W der äußeren Arbeit, die hier keine Rolle spielt. Man erhält
bzw.
s
σ cr =
16Gγ 0
π(1 + κ)a
(6.3.1.15)
K I,c = 16Gγ 0
(1 + κ)
(6.3.1.16)
Der Riß wird instabil, wenn K I,c ≤ K I . Die vorgestellte Theorie ist nur für ideal spröde Werkstoffe,
wie z.B. Glas, gültig aber dort in hervorragender Weise experimentell verifiziert. Bei nicht
zu großen plastischen Zonen kann man die Theorie aber auch für elasto-plastische Baustoffe anwenden
- natürlich mit den entsprechenden Modifikationen. Hier ist wichtig, daß dem Element in
Weibulls Theorie eine physikalische Bedeutung gegeben wurde. Sind in einem Bauteil also Risse
vorhanden, z.B. entsprechend einem Poissonschen Feld verteilt, so wird das Bauteil durch den
größten und ungünstigst orientierten Riß versagen. Es gilt also
P f (V )=1− exp [−λVP(K I,c ≤ K I )] (6.3.1.17)
Bei diesem Modell erfolgt keine gegenseitige Beeinflussung der Spannungsverhältnisse an den
verschiedenen Rissen.
Das Modell des Faserbündels
Ein weiteres Festigkeitsmodell ist das Modell eines Bündels von unabhängigen, parallelen und
ideal spröden Fasern, jeweils mit der Festigkeitsverteilung F (σ). Wenn man die Festigkeiten innerhalb
des Bündels der Größe nach ordnet, kann das Bündel eine Last auf verschiedene Weise
abtragen (vergl. Beispiel 4.4.5)
R =max
nn ˆX 1 , (n − 1) ˆX 2 ,...,2 ˆX n−1 , ˆX
o
n
136

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Für große Bündel läßt sich eine asymptotische Formel ableiten (Daniels; 1945,1989[37] [38] .
Danach ist die Festigkeit des Bündels asymptotisch normalverteilt mit
E [R] = nx 0 (1 − F (x 0 )) + C (6.3.1.18)
Var[R] = nx 2 0 F (x 0)(1 − F (x 0 )) + D (6.3.1.19)
worin x 0 =max{x(1 − F (x))} und lim x→∞ x(1 − F (x)) = 0. Das Bündel entwickelt also bei
x = x 0 seine größte Festigkeit. Dann sind nF (x 0 ) der Fasern bereits gebrochen. C und D sind
für kleine Bündel maßgebliche Verbesserungen.
C =0.996n 1/3 α (6.3.1.20)
mit
α 3 =
D = −0.317n 2/3 α 2 (6.3.1.21)
f(x 0 ) 2 x 4 0
2f(x 0 )+f 0 (x 0 )x 0
Beispiel 6.3.1.1: Weibullverteilte Einzelfestigkeiten
Für F (x) =1− exp £ −ax b¤ ist
und damit
x 0 =(ab) −1/b (1)
E [R] = n(ab) −1/b exp £ −b −1¤ (2)
Var[R] = n(ab) ¡ −1/b exp £ −b −1¤ − exp £ −2b −1¤¢ (3)
Die Größe a ergibt sich zu
·
α = a − 1 b b
− b+3
3b exp − 1 ¸
3b
(4)
#
Fürgroße Paralleldrahtkabel ist das Modell eine hervorragende Näherung.
Reale Werkstoffe
Für bestimmte Werkstoffe beschreiben die vorgestellten Modelle die experimentellen Befunde
schon sehr gut. Für duktilen Stahl oder kohäsiven Boden stellt das ideal plastische Modell eine
sehr gute Näherung dar. Sehr spröde Baustoffe werden durch das Modell des ’’schwächsten’’
Gliedes gut beschrieben. Paralleldrahtkabel werden in hervorragender Weise durch das Modell von
Daniels erfaßt. Beton oder andere keramische Werkstoffe verhalten sich komplizierter. Man muß
die verschiedenen Modelle kombinieren. Vor allem muß beachtet werden, daß eine ’’Lokalisierung’’
der ’’Schäden’’ bei Annäherung an den Versagenszustand eintritt. Neuere Untersuchungen
zeigen dies auf rein statistischen Wege für das Danielssystem. Das führt zu der Schlußfolgerung,
daß die Verteilungen von Festigkeiten zwischen der Normalverteilung und der Weibullverteilung
liegen müssen.
137

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
6.3.2. Kumulative Schädigungen
Werkstoffe können altern. Eine Alterung erfolgte z.B. vollkommen unabhängig von der Lastgeschichte
der die Komponente ausgesetzt war, etwa durch chemische Einwirkungen. Das ist nun
aber eher der Sonderfall. Häufig sind es gerade die wiederholt auftretenden Beanspruchungen, die
akkumulierende Schädigungen erzeugen, so daß die Komponente den Beanspruchungen nach einer
gewissen Zeit nur noch verminderten Widerstand leistet. Versagen erfolgt, wenn entweder die
Schädigungen einen Grenzwert erreichen oder wenn eine extreme Beanspruchung auf eine geschädigte
Komponente einwirkt. Wir betrachten zunächst den ersten Fall. Die einfachste Formulierung
für einen kumulativen Vorgang ist:
dx(t)
= f(x(t), z(t)) (6.3.2.1)
dt
worin X ein bestimmter Schadensindikator und Z(t) der Beanspruchungsprozeß. Das Schadensinkrement
pro Zeiteinheit ist damit eine Funktion des zum Zeitpunkt bereits eingetretenen Schadens
und der zum Zeitpunkt t auftretenden Beanspruchung. Ist insbesondere
dx(t)
= f(x(t))h(z(t)); h(z(t)) > 0 (6.3.2.2)
dt
so kann man die Differentialgleichung separieren und integrieren. Wenn die Beanspruchung ein
Zufallsprozeß Z(t) ist, ist natürlich auch der Schadensindikator X(t) ein Zufallsprozeß . Den
Versagenszustand bezeichnen wir mit:
V (t) ={x cr − X(t) ≤ 0} (6.3.2.3)
Darin ist x cr ein gegebenenfalls zufälliger Grenzschaden. Integration ergibt:
Z x(t)
x(t 0)
Z
dx(τ) t
f(x(τ)) =
t 0
h(Z(τ))dτ (6.3.2.4)
woraus
Ψ(X(t)) − Ψ(X(t 0 )) = χ(t 0 ,t) (6.3.2.5)
X(t) =Ψ −1 [χ(t 0 ,t)+Ψ(X(t 0 ))] (6.3.2.6)
Die Funktion Ψ(.) hängt, abgesehen von nicht aufgeführten Konstanten, von der Funktion f(.) ab.
Beispielsweise kann man f(x(t)) = x(t) n wählen. Dann ist Ψ(x(t)) durch
n =0:Ψ(x(t)) = x(t)
n =1:Ψ(x(t)) = ln x(t)
n>1:Ψ(x(t)) = xn+1
n +1
138

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
gegeben. Der Fall n =0ist ein Modell fürAbnützungsvorgänge, so etwa für die Dicke des durch
darüberrollenden Verkehr aufgezehrten Straßenbelags oder den flächigen Korrosionsabtrag in der
Spritzwasserzone von Schiffen oder Spundwänden. Die Fälle n>1 entsprechen den Gesetzen für
die Rißfortpflanzung in metallischen Werkstoffen (vergl. Abschnitt 6.3.2). x(t) wird dort explizit
als Rißlänge interpretiert. Nimmt man n = −1, so bestimmt man
n = −1 :Ψ(x(t)) = x(t) 2 /2
und kann die entsprechende Gleichung als das Ficksche Gesetz für den Karbonatisierungsfortschritt
in Beton interpretieren.
Offensichtlich ist χ(t 0 ,t) eine Zufallsvariable, wenn Z(τ) ein Zufallsprozeß ist. Wenn h(Z(τ))
strikt nichtnegativ ist, ist der Schadensindikator monoton wachsend. Wenn Z(t) kein Zufallsprozeß,
sondern eine Zufallsfolge ist, muß man die Integrale durch Summen ersetzen. Von entscheidender
Bedeutung ist der additive Charakter der rechten Seite, da er unter bestimmten Bedingungen
die Anwendung des Gesetzes der großen Zahlen (hier in der Form des sogenannten Ergodensatzes)
und sogar des zentralen Grenzwertsatzes erlaubt. Setzt man voraus, daß Z(t) ein stationärer,
ausreichend mischender Prozeß ist und h(Z(τ)) eine monotone Funktion von Z(τ) ist, ist nach
dem Ergodensatz in der Form
das Zeitintegral:
lim
T →∞
1
2T
Z +T
−T
h(Z(τ))dτ = E[h(Z(t))]
χ(t 0 ,t) ∼ E[h(Z(τ))](t − t 0 ) (6.3.2.7)
Obwohl darin der Zufallsprozeß Z(τ) bzw. h(Z(τ)) nur noch mit seinem Mittelwert eingeht,
reicht dieser Ansatz in vielen Anwendungen bereits aus, da die einzelnen durch die Beanspruchung
verursachten Schädigungen sehr klein sind, deren Anzahl, d.h. (t − t 0 ),abersehrgroß ist. Der
Schadensverlauf ist in Abb. 6.13 dargestellt. Wenn er eine streng monoton wachsende Funktion
ist, kann man also den Versagensbereich durch Gl. (6.3.2.3) definieren und die Zuverlässigkeit mit
einem Verfahren für zeitinvariante Aufgaben berechnen.
χ(t 0 ,t) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz aber auch asymptotisch normalverteilt. Der Prozeß
χ(t 0 , τ) mit τ als Parameter ist asymptotisch ein Gaußscher Prozeß für dessen vollständige
Beschreibung die Kenntnis der Mittelwertsfunktion und der Kovarianzfunktion ausreicht. Wäre
insbesondere h(Z(τ)) = Z(τ) und wäre Z(τ) ein unkorrelierter Gaußscher Prozeß mit Mittelwert
µ und Varianz σ 2 , so erkennt man, daß χ(t 0 , τ) ein Brownscher Prozeß ist, für den alle Kenngrößen
leicht angegeben werden können. χ(t 0 , τ) hat den Mittelwert
und die Varianz
E[χ(t 0 , τ)] = (τ − t 0 )µ (6.3.2.8)
Var[χ(t 0 , τ)] = (τ − t 0 )σ 2 (6.3.2.9)
139

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wählt man nun außerdem noch f(x(t)) = 1 in Gl. (6.3.2.2), so erhält man für vorgegebenes t = τ
und t 0 =0
P (X(t) ≤ x) ∼ Φ( x − µt
σ √ t ) (6.3.2.10)
Für den Grenzschaden x cr gilt aber
P (X(t) ≤ x cr )=P (T ≤ t) =F (t) =Φ( x cr − µt
σ √ ) (6.3.2.11)
t
mit der Dichte f(t) = xcr−µt
σt 3/2
ϕ( xcr−µt
σ √ ). Gl. (6.3.2.11) ist damit auch die Verteilungsfunktion der
t
Lebensdauer. Formel (6.3.2.11) weist endliche Wahrscheinlichkeiten auch negativen Schadensindikatoren
zu. Das ist im Widerspruch zur oben eingeführten Positivität der Funktion Z(τ). Diese
Inkonsistenz kann jedoch für D[Z(τ)]/E[Z(τ)] ¿ 1 hingenommen werden. Gl. (6.3.2.11) ist keine
Normalverteilung, denn die Zufallsvariable, d.h. die Versagenszeit T, steht sowohl im Zähler
als auch im Nenner.
X (τ)
x cr
τ
T 1
T
2
T
3
t
Abb. 6.13.Zeitlicher Verlauf von Schadensindikatoren und Erstüberschreitungszeiten
In vielen Fällen erfolgt eine Schädigung nicht sofort sondern erst nach einer ’’Initiierungsphase’’.
Beispiele sind viele Korrosionsvorgänge, etwa Karbonatisierung oder das Eindringen von Chlorid
in Beton und nachfolgender Korrosionsabtrag in der Stahlbewehrung. Auch bei Materialermüdung
in metallischen Werkstoffen unterscheidet man häufig eine Phase bis zur Initiierung eines
Makrorisses und die daran anschließende Rißfortpflanzung. In den Initiierungsphasen ist noch
keine Festigkeitsabnahme beobachtbar. Gleichwohl ist das Material schon geschädigt. Dann muß
man diese Phasen getrennt betrachten und hat für die Zeit bis zum Festigkeitsversagen z.B.
F (t) =F e (t) ¯F i (t)+
Z t
0
f i (τ)[F e (τ)+(1− F e (τ))F d (t − τ)] dτ (6.3.2.12)
Hierin ist F i (t) die Verteilungsfunktion der Initiierungszeit, F e (t) die Verteilungsfunktion eines
Versagens in der Initiierungszeit und F d (t) die Verteilungsfunktion eines Versagens bei abnehmender
Festigkeit. Die Zeiten T i ,T e und T d sind hier unabhängig genommen.
140

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
6.3.3. Materialermüdung
Materialermüdung ist in den meisten Fällen die Folge des Auftretens von Rissen - gegenenfalls
nach einer gewissen Initiierungszeit. An den Rißspitzen treten bei ideal-elastischem Material
Spannungssingularitäten auf. Für das Wachstum von Rissen unter konstanter, periodischer Beanspruchung
gilt für nicht zu große und nicht zu kleine Risse die Paris-Ergodansche Beziehung
da
dn = C(∆K)m (6.3.3.1)
mit ∆K = Y (a)∆σ √ πa der Spannweite des sogenannten Spannungsintensitätsfaktors (Y (a) =von
der Rißgeometrie abhängige Funktion und ∆σ =max{σ}−min {σ} der Spannungsspannweite).
Separierung und Intergration von Gl. (6.3.2.1) ergibt
mit
Ψ(a) =
Ψ(a) =C∆σ m n (6.3.3.2)
Z a
a 0
da
(Y (a) √ πa) m (6.3.3.3)
Für Y (a) =1kann man analytisch integrieren.
⎧
⎫
⎨
´
a(N) =
³a 2−m
2
2
0 + 2−mCπ
m 2 ∆σ m 2−m
⎬
N für m 6= 2
2
⎩
a 0 exp [Cπ∆σ 2 N] für m =2
⎭
(6.3.3.4)
Hierin ist N die Anzahl der Spannungswechsel bis zum Erreichen der Rißlänge a(N). C und m
sind experimentell zu bestimmende Materialeigenschaften. m ist dabei eine vom Mechanismus
der Rißfortpflanzung (auf dem Mikroniveau) abhängige Materialkonstante und hat Werte von 2
bei sehr sprödem Material und von 4 bei sehr duktilem Material. Wenn man das Erreichen einer
bestimmten kritischen Rißlänge a cr als Ermüdungsversagen annimmt, so hat man in
N∆S m = Ψ(a cr)
= K (6.3.3.5)
C
nichts anderes als die sogenannte Wöhlerlinie, die aus der Sicht der Bruchmechanik häufig als
’’Anrißlinie’’ bezeichnet werden kann. Für nicht konstante Beanspruchung zieht man meist die
sogenannte lineare Schadensakkumulationshypothese [128] [115] heran, die der Integration der
rechten Seite von Gl. (6.3.2.1) zwangsläufig zugrunde liegt (Integration ist eine lineare Operation)
X n i
=1 (6.3.3.6)
N i
i
worin n i die Lastspielzahl auf dem Niveau ∆S i und N i die auf diesem Niveau ertragbaren Lastspiele.
Unter dieser Annahme und der Annahme, daß die Belastung einen ergodischen Prozeß
darstellt, kann man eine schädigungsgleiche Belastung definieren.
∆s m eqn =
Z n
0
∆S(t) m dt = nE [∆S m ] (6.3.3.7)
141

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Diese Formel setzt die Gültigkeit des sogenannten Ergodensatzes, eine auf ergodische Prozesse
angewandte Variante des Gesetzes der großen Zahlen, voraus. Die (deterministische) Größe
∆s eq = E [∆S m ] 1/m kann für viele Belastungsprozesse berechnet werden. Hierbei kommt es
darauf an, nur die wirklich schädigungswirksamen Belastungszyklen zu zählen. Für einen ideal
schmalbändigen, stationären, mittelwertsbereinigten Gaußprozeß mit Standardabweichung σ,
dessen Spannungsspitzen einer Rayleighverteilung folgen, ist [114]
" # X
Z ∞
E ∆Si
m = ν 0 T (2x) m x ·
i
0 σ exp − 1 ¸
x 2
= ν 2 2 σ 2 0 T (2 √ 2) m σ m Γ(1 + m 2 ) (6.3.3.8)
Hierbei ist ν 0 die Rate der positiven Nullkreuzungen des Prozesses und T die in Betracht gezogene
Zeitdauer. Jedes Spannungsspiel ist durch ∆S i =maxS i − min S i =2· max S i gegeben. Die
Schmalbändigkeit sichert fast perfekte Korrelation zwischen max S i und min S i . Bei breitbändigen
Prozessen sollte man Korrekturen durchführen, die hier nicht angegeben werden können. Eine
auch physikalisch einleuchtende Zählmethode ist die sogenannte ’’Rain-flow Methode’’, die in
der Praxis häufig verwendet wird. Jeder Spannungszeitlauf wird in eine Folge von lokalen Spitzen
und Senken aufgelöst. Daraus bildet man eine Folge von ’’Dächern’’, die ein Regentropfen (’’Rainflow’’)
herunterlaufen kann. FürdieZählmethode gelten folgende Regeln (vergl. Bild 6.14).
• Ein ’’Rain-flow’’ startet an jeder Spitze und jeder Senke.
• Ein ’’Rain-flow’’ der an einer Spitze gestartet wird, wird gestoppt, wenn er auf eine Spitze trifft,
bei der das nächste Dach weiter als das Ausgangsdach auskragt.
• Ein ’’Rain-flow’’ der an einer Senke gestartet wird, wird gestoppt, wenn er auf eine Spitze trifft,
bei der die Senke des nächsten Daches weniger auskragt als die des Ausgangsdaches.
• Wenn ’’Rain-flow’’ von der Spitze eines Daches ’’herabfällt’’ und einen anderen ’’Rain-flow’’
trifft, wird er abgebrochen.
• Ein neuer ’’Rain-flow’’-Pfad wird erst begonnen, wenn der vorhergehende beendet wurde.
Damit werden neben den schnell variierenden Spannungszyklen auch die langsam variierenden
Zyklen miterfaßt. Das liefert ein Histogramm der Größe der Spannungszyklen und deren Mittelwert.
Die Größe B(∆s) =n[1 − F ∆S (∆s)] bezeichnet man als Belastungskollektiv. Häufig wird
man es durch theoretische Modelle, z.B. eine Weibullverteilung, annähern, gegebenenfalls durch
eine Mischung mehrerer Modelle.
In der Praxis beobachtet man nun häufig, daß eine Art Dauerfestigkeit existiert, so daß man Gl.
(6.3.2.5) durch
³ ´−m
N = K ∆S
∆S D
für ∆S ≥ ∆sD
(6.3.3.9)
∞ für ∆S ≤ ∆s D
ersetzen sollte. Man kann diesen Ansatz desweiteren, z.B. durch K = K 0
³
1 − ¯S
R´m
im Hinblick
auf die Mittelspannung ¯S mit R der Materialfestigkeit, verfeinern. Nachdem man aber festgestellt
hat, daß Spannungen unterhalb der sogenannten ’’Dauerfestigkeit’’ ∆s D das Material ebenfalls
schädigen können, muß man noch weiter modifizieren. Die überzeugende theoretische Grundlage
hierzu geht auf [57] zurück. Die Überlegungen sind im Einzelnen in der genannten Literatur
enthalten. Hier teilen wir nur ein praktisch brauchbares Näherungsresultat mit [143] (vergl. auch
142

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Bild 6.14):
N =
³ ´−m
∆S
K D ∆s D
für ∆S ≥ ∆sD
³ ´−(2m−1)
∆S
(6.3.3.10)
K D,∞ ∆s D
für ∆sD,∞ ≤ ∆S ≤ ∆s D
∞ für ∆S ≤ ∆s D,∞
Die Wahl 2m − 1 anstelle von m im die Dauerfestigkeit schädigenden Bereich ist theoretisch
und empirisch gut begründet. Meist wird ∆s D,∞ gleich Null gesetzt, was theoretisch nicht ganz
richtig ist. Am Knick gilt natürlich K D = K D,∞ und daher K D = K D,∞ = N für ∆S = ∆s D .
Die ’’Dauerfestigkeit’’ ∆s D setzt man in der Praxis aus versuchstechnischen Gründen bei etwa
2÷5·10 6 Lastwechseln an, während für ∆s D,∞ eine Lastwechselzahl von etwa 10 8 genommen
wird.
Abb. 6.14.Rain-flow Zählmethode a. Ursprünglicher Spannungsverlauf, b. Idealisierter Spannungsverlauf
in ’’Dachform’’
Eine äquivalente Spannungsspannweite kann ebenfalls ermittelt werden. Nunmehr hat man, wiederum
unter Verwendung des Ergodensatzes für die Anzahl der Zyklen unterhalb bzw. oberhalb
von ∆s D
£
∆s m eqn = n (F ∆S (∆s D ) − F ∆S (∆s D,∞ )) E ¤
∆s D
∆s D,∞ ∆S
2m−1
+n (1 − F ∆S (∆s D )) E ∞ ∆s D
[∆S m ] (6.3.3.11)
n ist die z.B. im Rain-flow-Verfahren festgestellte Gesamtzyklenzahl.
Auch bei Rißfortpflanzungsrechnungen muß man gegebenenfalls mit mehreren Sektionen der Rißfortpflanzungskurve
rechnen. Bei duktilerem Material gibt es einen ausgeprägten Reihenfolgeneinfluß
der Größe der Spannungsspannweiten bei der Rißfortpflanzung. Bei stochastischer Belastung
ist dieser rechnerisch äußerst schwierig zu erfassen. Er wird am besten durch zweckmäßige
Wahl der Parameter in Gl. (6.3.2.10) berücksichtigt.
Die Lebendauern N streuen stark, auch bei fest angenommenen Parametern der Wöhlerlinie (Variationskoeffizient
≈ 0.3÷1.0). IngewissenFällen ist ein ’’schwächstes’’ Glied-Modell angemessen,
143

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 6.15.Wöhlerlinie mit schädigungsabhängiger ’’Dauerfestigkeit’’
also eine Weibullverteilung. Z.B. findet man in der einschlägigen Literatur die Verteilung
" µ #
n k
F (n) =1− exp −
(6.3.3.12)
K∆s −m
equ
Sonst wird häufig eine Lognormalverteilung angesetzt.
144

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ANHANG E:
Zufallsfeldern
Simulation von Zufallsprozessen und
Bereits Rice (1944) [144] hat die folgenden analytischen Darstellungen eines stationären Gaußschen
Prozesses angegeben.
X(t) =
Y (t) =
N−1
X
(2 G(ω i )∆ω) 1/2 cos(ω i t + ϕ i ) (E.1)
i=0
N−1
X
(A i cos(ω i t)+B i sin(ω i t)) (E.2)
i=0
Darin sind G(ω) die einseitige spektrale Dichte, ω i = i ∆ω, ω o = N ∆ω ein oberer Grenzwert für
den G(ω) ≈ 0 für ω ≥ ω o , ϕ i in [0, 2π] gleichverteilte Phasenwinkel und A i und B i unabhängige
normalverteilte Variable mit Mittlewert Null und Standardabweichung (2 G(ω i )) 1/2 . Der zweite
Prozeß ist nicht ergodisch aber für jedes N strikt normalverteilt. Der erste Prozeß ist ergodisch und
nach dem zentralen Grenzwertsatz nur asymptotisch normalverteilt. In der Praxis reicht N ≈ 500
bis 1000 aus um eine auch in den extremen Bereichen sehr gute Näherung an die Normalverteilung
zu erreichen. Beide Prozesse sind periodisch mit T 0 =2π/∆ω. Die Eigenschaft der Ergodizität
läßt die erste Variante in der Anwendung als geeigneter erscheinen. In der Regel werden Gl. (E.1)
und Gl. (E.2) unter Verwendung der schnellen Fouriertransformation (FFT) berechnet. Hierzu wird
z.B. Gl. (E.1) wie folgt geschrieben.
à N −1
!
X
X(t) =

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
sen muß. Die bisherigen Schemata gehen durchwegs davon aus, daß die Abhängigkeitsstruktur
durch die zeitabhängige Kovarianzfunktion dargestellt werden kann. Das bedeutet, daß nur solche
Prozesse dargestellt werden können, bei denen die Kovarianzfunktion die Abhängigkeitsstruktur
eindeutig beschreibt. Feller [49] weist speziell darauf hin, daß die marginalen Verteilungen eines
mehrdimensionalen, korrelierten und normalverteilten Vektors immer normal sind. Die umgekehrte
Aussage gilt jedoch nicht allgemein. Jedes mit der Kovarianzfunktion arbeitende Verfahren muß
zunächst aus der Kovarianzfunktion des nichtnormalen Prozesses X(t) eine Kovarianzfunktion
des entsprechenden normalen Prozesses U(t) erzeugen. Dann kann der Zeitverlauf des normalen
Prozesses nach einer der vorstehend angegebenen Methoden generiert werden. Schließlich ist der
gesuchte nichtnormale Prozeß durch Anwendung der Transformation X(t) =F −1 [Φ(U(t))] zu
bilden.
Bei stärkerer Abweichung von der Normalität muß der Einfluß der nichtnormalen Verteilung auf
die Autokovarianzfunktion berücksichtigt werden. Eine erste Möglichkeit verwendet die sogenannte
Nataf-Transformation (vergl. Abschnitt 3.2.3 und Nataf [119] ).
Eine Verallgemeinerung von Gl. (E.1) auf homogene Gaußsche Zufallsfelder ist einfach. Man hat
für Zufallsfelder, fürdieS(κ) =S(−κ) ist [162]
X(ξ) = √ XN 1
2 k
k1=1k2=1
XNn
... (2 S(κ k )∆κ) 1/2 cos(κ T k ξ + ϕ k ) (E.6)
kn=1
mit k =(k 1 , k 2 ,...,k n ), κ k =(κ 1k1 , κ 2k2 ,...,κ nkn ) T , κ iki = k i ∆κ i und den in [0, 2π] gleichverteilten
Phasenwinkeln ϕ k .
Die Simulation von homogenen Gaußschen Vektorprozessen und -feldern ist komplizierter. Darauf
kann nicht eingegangen werden.
146

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 7.
Zeitvariante Zuverlässigkeitsaufgaben
7.1. Allgemeine Betrachtungen
7.1.1. Problemstellung
Im allgemeinen hängen sowohl X als auch gewisse Parameter q von der Zeit τ ab. Das erfordert
eine genauere Beschreibung der Kriterien für das Verhalten der Tragwerke und der Versagensereignisse.
Wie sonst bezeichnet g(X(τ); τ) ≤ 0 den Versagenszustand und g(X(τ); τ) =0den
Grenzzustand. X(τ) ist ein vektorieller stochastischer Prozeß. Eine Art zeitabhängige Versagenswahrscheinlichkeit
ist offensichtlich:
Z
N(τ) =P (X(τ) ∈ V (τ)) =
V (τ)
f X (x, τ)dx (7.1.1.1)
Diese stellt eine Art Nichtverfügbarkeit der Komponente zum Zeitpunkt τ dar. Sie ist nur gelegentlich
von Interesse. Für ihre Berechnung gelten die in Abschnitten 2 bis 5 angedeuteten Verfahren.
τ ist ein einfacher Parameter. Von größerer Bedeutung ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Versagenszustand
zum ersten Mal in einem vorgegebenen Zeitintervall erreicht wird. Als Beispiel betrachten
wir den Kollaps eines Tragwerks unter zufällig in der Zeit streuenden Lasten S(τ) (vergl.
Bild 7.1). Der Einfachheit halber sind Widerstand und Einwirkung skalare Größen und es gilt für
die physikalische Beschreibung der jeweiligen Versagenszustände
V (τ) ={g k (X(τ)) ≤ 0} = {R k − S(τ) ≤ 0}, k = s, r, u. (7.1.1.2)
Wie im zeitvarianten Fall bezeichnet s den Grenzzustand der Gebrauchsfähigkeit, r den Grenzzustand
reversibler Verformungen und u den Grenzzustand der Tragfähigkeit. t sei die beabsichtige
Nutzungsdauer des Objektes. Die Zeit, den Versagenszustand zum ersten Mal zu erreichen, ist eine
Zufallsvariable T und das Versagensereignis ist F = {T ≤ t}. Die Versagenswahrscheinlichkeit
kann wie folgt geschrieben werden:
P (F )=P (T ≤ t) =F T (t) =1− P (g(X(τ),q) > 0 für alle τ in [0,t]) (7.1.1.3)
Die Versagenswahrscheinlichkeit ist eine Funktion der Zeit. Entsprechend definiert man die Versagenswahrscheinlichkeitsfunktion
F (t) =1− R(t) =P (T ≤ t) bzw. die Zuverlässigkeitsfunktion
R(t) =P (T >t), worinT (Index für den Bezug auf einen bestimmten Grenzzustand
weggelassen) die Zeit bis zum ersten Eintritt des Ereignisses V (τ) ={g(X(τ); τ) ≤ 0} im Zeitraum
[0,t] ist. Die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses zu berechnen, wird im
folgenden als Erstüberschreitungsproblem oder Schwellenwertproblem bezeichnet. Schwierig
ist die Bedingung einzuhalten, daß der Versagensbereich V zum ersten Mal betreten wird.
147

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
R=r
S (τ)
τ
T 1
T
2
T
3
t
Abb. 7.1.Definition der Erstüberschreitung eines Niveaus
7.1.2. Zuverlässigkeitsfunktion und Risikofunktion
Zuverlässigkeit wird als Wahrscheinlichkeit der Funktionstüchtigkeit bezogen auf einen bestimmten
Zeitraum [0,t], zum Beispiel die beabsichtigte Nutzungsdauer, definiert, d.h. als
R(t) =P (T >t)=1− P (T ≤ t) =1− F (t) (7.1.2.1)
mit T der zufälligen Zeit zum Versagen unter der stillschweigenden Annahme, daß R(0) = 1. F (t)
ist die Verteilungsfunktion von T. Sie hat die Dichte
dF (t)
f(t) = (7.1.2.2)
dt
mit der Bedeutung f(t)dt = P (Versagen in [t, t + dt]). IstF (t) (der Index T wird weggelassen)
bekannt, so sind der Mittelwert
m = E[T ]=
und die Varianz
Z ∞
0
tf(t)dt = −tR(t)| ∞ 0 +
Z ∞
0
R(t)dt =
σ 2 = Var[T ]=E[T 2 ] − E 2 [T ]=2
Z ∞
0
Z ∞
0
R(t)dt =
Z ∞
0
[1 − F (t)]dt
(7.1.2.3)
tR(t)dt − m 2 (7.1.2.4)
wichtige Kenngrößen der Zuverlässigkeit.
War ein technisches Objekt bis zum Zeitpunkt t intakt, so ist die bedingte Zuverlässigkeit zum
Zeitpunkt t + t 0 , t 0 > 0, von Interesse.
R(t + t 0 |t) =P (T >t+ t 0 |T>t)= P ({T >t+ t 0} ∩ {T >t})
P (T >t)
= R(t + t 0)
R(t)
148

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Man definiere nun:
1
r(t) =lim P (t ≤ T ≤ t + ∆|T >t) (7.1.2.5)
∆→0 ∆
Weiter sei R(t, t+∆) die Wahrscheinlichkeit des Nichtversagens in [t, t+∆] unter der Bedingung,
daß die Komponente bis zum Zeitpunkt t intakt war. Offensichtlich ist
F (t, t + ∆) = 1− R(t, t + ∆) =P (t ≤ T ≤ t + ∆|T >t)
=
P ({t ≤ Tt}) P (t ≤ Tt)
P (T >t)
=
F (t + ∆) − F (t)
R(t)
Grenzübergang ∆ → 0 ergibt die sogenannte bedingte Versagensrate (Ausfallrate), Risikofunktion
oder altersbedingte Mortalität
r(t) =
F 0 (t)
1 − F (t) = f(t)
1 − F (t) = (t)
−R0 R(t)
(7.1.2.6)
Für R(0) = R 0 erhält man durch Integration
R(t) =R 0 exp[−
Z t
0
r(u)du] (7.1.2.7)
Meist ist R(0) = R 0 =1. r(t) ist eine wichtige Zuverlässigkeitscharakteristik und hat die Bedeutung
P (Versagen in [t, t+dt]| Überleben in [0,t]). Sie ist somit ungleich f(t), welche, multipliziert
mit dt, die unbedingte Versagenswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit beschreibt. Weiter leitet man
ab:
r ( )
f(t) =r(t)exp[−
Z t
Ausfälle beim ersten Einschalten
0
r(u)du] (7.1.2.8)
τ
Frühausfälle
Zufallsausfälle
Ausfälle durch Alterung
und Ermüdung
Abb. 7.2.Typische Risikofunktion von technischen Objekten
Statistisch wird r(t) bei gegebener Population der Größe n als Verhältnis der im Intervall [t, t+∆t]
ausfallenden Komponenten zur Gesamtzahl der bis t überlebenden Komponenten gebildet. Risikofunktionen
zeigen oft den in Bild 7.2 gezeigten Verlauf. Wegen ihres charakteristischen Verlaufs
spricht man von der sogenannten ’’Badewannen’’kurve. In dieser Kurve wird der anfangs hohe
149

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wert der Risikofunktion mit den Ausfällen bei erstmaliger Inbetriebnahme und mit Frühausfällen
in Zusammenhang gebracht. Diese Frühausfälle rühren von Entwurfs- oder auch Produktionsfehlern
her. Danach findet sich eine relativ stabile Phase mit fast konstanten Versagensraten, d.h. mit
rein zufälligen Ausfällen. In der Spätphase nimmt die Risikofunktion wieder zu. Darin kommen
Ermüdungs-, Alterungs- und Abnützungserscheinungen zum Ausdruck. In diesem Bereich nimmt
natürlich auch die Zuverlässigkeit rasch ab.
Der konstante Wert charakterisiert die Phase rein zufälliger Ausfälle. Ist nämlich r(t) = r =
const., soistmitR 0 =1aus Gl. (7.1.2.7)
R(t) = exp[−rt] (7.1.2.9)
F (t) = 1− exp[−rt]
Gl. (7.1.2.9) ist die Exponentialverteilung. Die bedingte Zuverlässigkeit
R(t + ∆) =
R(t + ∆)
R(t)
=
exp [−r(t + ∆)]
exp [−rt]
=exp[−r ∆] (7.1.2.10)
hängt nur von ∆, aber nicht von t ab. Diese ’’Gedächtnislosigkeit’’ des Ausfallprozesses setzt man
mit absolutem Zufall gleich.
7.1.3. Der Poissonprozeß
Wir leiten nun einen in der Zuverlässigkeit äußerst wichtigen Punkt- oder Zählprozeß N(t) ab.
Sein Name, nämlich Poissonprozeß,rührt aus der Tatsache her, daß für seine Ableitung ganz ähnliche
Argumente verwendet werden wie für die Poissonverteilung. Die Bedeutung dieses Prozesses
in der Zuverlässigkeitstheorie rechtfertigt eine exakte Ableitung. Für einen homogenen Poissonprozeß
müssen folgende Bedingungen vorliegen
a. Die Zufallsvariablen N(T 1 ) und N(T 2 ) in zwei disjunkten Intervallen [t 11 ,t 12 ] und [t 21 ,t 22 ] sind
unabhängig.
b. Die Wahrscheinlichkeit fürmehralseinEreignisin∆ für ∆ → 0 ist vernachlässigbar klein.
c. Die Wahrscheinlichkeit P (N(t) =k) hängt nur von t und k ab.
Insbesondere ist E[N(t)] = λt mit
1
λ =lim P (N(∆) =1)+(Term vernachlässigbarer Ordnung) (7.1.3.1)
∆→0 ∆
150

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die Wahrscheinlichkeit für n Ereignisse in [0,t] ist dann 13
p(N(t) =n) = (λt)n e −λt
n!
Bild 7.3 zeigt den Verlauf eines Poissonschen Zählprozesses.
N(t)
(7.1.3.2)
8
7
6
5
4
3
2
1
t
Abb. 7.3.Poissonscher Zählprozeß
Der Poissonprozeß ist ein Prozeß mit diskreten Zuständen und stetigem Parameter (Zeit). Der Poissonprozeß
hat unabhängige Zuwächse (Bedingung a). Seine Zuwächse sind homogen (Bedingung
c).
13
Mit P k werden die Wahrscheinlichkeiten für k Ereignisse bezeichnet. Es werden Intervalle [0,t] und [t, t + ∆]
betrachtet. Aus Bedingung a. und dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt:
i. P 0 (t + ∆) =P 0 (t)P 0 (∆)
ii. P n (t + ∆) = P n
k=0 P n−k(t)P k (∆); n =1, 2,...
Damit erhält man unter Verwendung von Gl. (7.1.3.1):
iii. P 1 (∆) =λ ∆+(Term vernachlässigbarer Ordnung)
iv. 1 − P 0 (∆) − P 1 (∆) = P ∞
k=2 P k(∆) =(Term vernachlässigbarer Ordnung)
woraus aus iii. mit iv.
v. P 0 (∆) =1− λ ∆ +(Term vernachlässigbarer Ordnung)
folgt und aus i. und v. bzw. ii., iii. und v. nach Division durch ∆
P
vi. 0(t+∆)−P 0(t)
∆
= −λ P 0 (t) − P0(t)
∆
(Term vernachlässigbarer
P
Ordnung)
P
vii. n (t+∆)−P n (t)
n
k=0
= −λ P
∆
n (t)+λ P n−1 (t)+
P k(t)
(Term vernachlässigbarer Ordnung)
∆
Grenzübergang ∆ → 0 ergibt nun
viii. P0(t) 0 =−λ P 0 (t)
ix. Pn(t) 0 =−λ P n (t)+λ P n−1 (t)
Wegen P 0 (0) = 1 und P n (0) = 0 für n ≥ 1 ist
x. P 0 (t) =exp[−λt]
Gl. (ix) wird durch den Ansatz
xi. P n (t) =exp[−λt]h n (t)
gelöst mit h 0 (t) =1und h n (0) = 0 für n ≥ 1. Einsetzen von (xi.) in (ix.) ergibt
xii. h 0 n(t) =λ h n−1 (t)
mit
xiii.a h 0 1 (t) =λ
xiii.b h 1 (t) =λt
xiii.c h 2 (t) = (λt)2
2!
xiii.d h 3 (t) = (λt)3
3!
und daher allgemein
xiii.n h n (t) = (λt)n
n!
was in (xi.) eingesetzt zum Ergebnis (7.1.3.2) führt.
151

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die Mittelwertsfunktion des Poissonprozesses ist, wie erwähnt, E[N(t)] = λt und die Varianzfunktion
ist ebenfalls Var[N(t)] = λt, wie man leicht ausrechnet. Also sinkt die Funktion des
Variationskoeffizienten wie 1/ √ (λt). Die Superposition von zwei Poissonprozessen mit den Parametern
λ 1 und λ 2 ist wieder ein Poissonprozeß mit dem Parameter λ 1 + λ 2 . Ein Poissonprozeß
mit Zufallsfilterung, d.h. jedes Ereignis realisiert sich nur mit Wahrscheinlichkeit p, ist ebenfalls
ein Poissonprozeß mit dem Parameter λp.
Wir fragen nun nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeit zwischen den Ereignissen, genauer
zunächst nach der Verteilung der Zeit bis zum ersten Ereignis. Es ist
und damit für P (T ≤ t)
P (T >t)=1− F T (t) =p(N(t) =0)= (λt)0 e −λt
0!
= e −λt (7.1.3.3)
F T (t) =1− exp[−λt]
Dies ist die durch Gl. (7.1.2.9) bereits bekannte Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung.
Sie hat die Dichte
f T (t) =λ exp[−λt] (7.1.3.4)
den Mittelwert E[T ]=1/λ und die Varianz Var[T ]=1/λ 2 und, wie schon erwähnt, r(t) =λ.
Häufig betrachtet man inhomogene Poissonprozesse. Beisolchenhängt die Intensität ebenfalls
von der Zeit ab. Dann ist E[N(t)] = R t
λ(τ) dτ. Dieübrigen Resultate bleiben gültig. Man muß
0
nur jeweils λt durch R t
λ(τ) dτ ersetzen.
0
Später wird der Fall von Bedeutung sein, daß ein Poissonsches Versagen von einem zufälligen
Parameter X abhängt. Dann gilt offensichtlich
R ∞
E [f(t, X)]
r(t) =
E [1 − F (t, X)] = λ(x)exp[−λ(x)t] f
0 X (x)dx
R ∞
(7.1.3.5)
exp [−λ(x)t] f
0 X (x)dx
Die Ableitung ergibt
¡R ∞
r 0 λ(x)exp[−λ(x)t] f
0 X (x)dx ¢2 − R ∞
exp [−λ(x)t] f
0 X (x)dx R ∞
λ(x) 2 exp [−λ(x)t] f
0 X (x)dx
(t) =
¡R ∞
exp [−λ(x)t] f
0 X (x)dx ¢ 2
Der Nenner ist immer positiv. Das Zählerintegral
Z ∞
0
(7.1.3.6)
(z − λ(x)) 2 exp [−λ(x)t] f X (x)dx = Az 2 − 2Bz + C ≥ 0 (7.1.3.7)
mit offenkundiger Bezeichnung (d.h. A = R ∞
e −λ(x)t f(x)dx, B = R ∞
R
λ(x)e −λ(x)t f(x)dx, C =
0 0 ∞
λ 2 (x)e −λ(x)t f(x)dx) kann man auch als quadratische Gleichung schreiben. Es ist bei beliebigen
z nichtnegativ. Also ist das Zählerintegral B 2 − AC ≤ 0, und daher r 0 (t) ≤ 0, d.h. r(t) ist
0
monoton fallend. Im Laufe der Zeit werden solche Elemente immer zuverlässiger denn man kann
zeigen, daß
lim r(t) =λ 0 (7.1.3.8)
t→∞
152

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit λ 0 dem kleinsten Wachstumspunkt von F (x). Istalsoλ(x) eine von x 0 mit x monoton wachsende
Funktion, so ist r 0 = λ(x 0 ).
7.1.4. Lebensdauerverteilungen
Lebensdauerverteilungen sind Verteilungen der Zeit bis zum Auftreten des ersten Versagensereignisses.
Die Exponentialverteilung
Zweifellos das wichtigste Modell für zeitvariante Versagenserscheinungen ist der homogene Poissonprozeß
und die mit ihm verbundene Exponentialverteilung für die Lebensdauern. Sie wurde
oben schon angegeben.
Die Gammaverteilung
Die Verteilung der Summe von k unabhängigen, mit dem Parameter λ exponential verteilten Variablen,
ist die spezielle Gammaverteilung oder Erlangverteilung. Das ist die Wartezeit bis zum
k − ten Ereignis bei einem Poissonprozeß. Da
bekommt man
P (N(t) t)=P (
F Tk (t) =1−
Xk−1
i=0
(λt) i
mit der Dichte (beachte: (k − 1)! = Γ(k)).
f Tk (t) =
Mittelwert und Varianz berechnen sich zu:
i!
kX
τ i >t) (7.1.4.1)
i=0
exp[−λt] = 1
Γ(k)
Z λt
0
u k−1 e −u du (7.1.4.2)
λ
(k − 1)! (λt)k−1 exp[−λt] = λ
Γ(k) (λt)k−1 exp[−λt] (7.1.4.3)
E[T k ] = k/λ (7.1.4.4)
Var[T k ] = k/λ 2 (7.1.4.5)
Die Berechnung der Ausfallsrate ist etwas komplizierter.
−1
r(t) = λ
µ1+λt (λt)k−1 + ...+ (λt)k−1
(k − 1)!
(k − 1)!
µZ ∞
−1
= λ(λt) k−1 exp[−λt] τ exp[−τ]dτ k−1 (7.1.4.6)
Die Gamma-Verteilung ist auch für nicht-ganzzahlige k definiert. Dafür gilt der jeweils letzte
Ausdruck in diesen Formeln. Die Ausfallsrate ist für k>1 monoton steigend und es gilt stets
r(t) < λ. Für k =1entsteht die Exponentialverteilung. Für k λ. Die Eignung der Gammaverteilung als Lebensdauerverteilung
kann am besten begründet werden, wenn man annimmt, daß die interessierende Komponente aus
λ
153

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
genau k Unterkomponenten, die nach einander entsprechend dem Poissonschen Modell ausfallen
müssen, besteht.
Die Weibullverteilung
Ein anderes, sehr flexibles Modell entspricht der Weibull-Verteilung, wobei häufig ihre Entstehung
als asymptotische Verteilung des Minimums einer Folge von Zufallsvariablen als Erklärungsmodell
herangezogen wird (siehe Abschnitt 7.2.1.1). Sie gilt für eine aus sehr vielen Unterkomponenten
zusammengesetzte Komponente, die versagt, wenn die erste Unterkomponente versagt. Je nach
Größe der Parameter kann dabei die Versagensrate mit der Zeit abnehmen, konstant bleiben oder
auch zunehmen. Man erhält die für Lebensdauern am meisten gebrauchte Form:
R(t) = exp[−αt β ] (7.1.4.7)
f(t) = αβt β−1 exp[−αt β ]
r(t) = αβt β−1
Mittelwert, Varianz und Variationskoeffizient in dieser Notation sind:
E[T ] = α −1/β Γ(1/β +1) (7.1.4.8)
Var[T ] = α −2/β [Γ(2/β +1)− Γ 2 (1/β +1)] (7.1.4.9)
V [T ] = (Γ(2/β +1)/ 2 (1/β +1)− 1) 1/2 ≈ (1/β) 0.94 ≈ 1.2/β (7.1.4.10)
Für β =1entsteht die Exponentialverteilung. Die Verteilung für β =2heißt Rayleighverteilung,
die aufgrund ganz anderer Überlegungen erzeugt werden kann (als Verteilung der Wurzel aus der
Summe von zwei quadrierten normalverteilten Variablen).
Es gibt viele andere Lebensdauerverteilungen, u.a. solche die als Risikofunktion die Badewannenkurve
haben.
7.1.5. Erneuerungsprozesse ∗
Die Klasse der Erneuerungsprozesse stellt eine Verallgemeinerung des Poissonschen Punktprozesses
dar. Sie wird in der Zuverlässigkeitstheorie der Tragwerke zunehmend bedeutend. Erneuerungsprozesse
erzeugen Folgen von Punkten, deren Erneuerungszeiten zwar unabhängig aber nicht
mehr unbedingt exponential verteilt sind. Sie sind für die Beschreibung von Versagensprozessen,
mit oder ohne ’’Erneuerung’’ geeignet. Auch extreme Lastereignisse wie Erdbeben lassen sich gut
beschreiben (siehe auch Abschnitt 6.1.4). Im folgenden werden nur einige der wichtigsten Ergebnisse
mitgeteilt.
Wir wollen annehmen, daß eine Komponente sofort nach ihrem Ausfall durch eine Neue mit den
gleichen stochastischen Charakteristiken ersetzt wird.
τ τ τ
1
2
3
τ 4
T T T
1
2
Abb. 7.4.Trajektorie eines Erneuerungsprozesses
3
154

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wir bestimmen zunächst die Anzahl der Erneuerungen in einem vorgegebenen Zeitraum. Die
Komponenten haben unabhängige, zufällige, identisch verteilte Lebensdauern τ i , τ 2 ,...,τ n und die
Versagenszeiten sind T 1 = τ 1 , T 2 = T 1 + τ 2 ,..., T n = T n−1 + τ n (siehe Bild 7.4). Offensichtlich
ist
nX
P (N(t) >n)=P (T n ≤ t) =P ( τ i ≤ t) =F n (t) (7.1.5.1)
und
i=1
P (N(t) =n) =F n (t) − F n+1 (t) (7.1.5.2)
worin F i (t) =P ( P i
j=1 τ j ≤ t). Diezufälligen Lebensdauern haben endliche Momente beliebiger
Ordnung. Die mittlere Anzahl von Ausfällen im Intervall [0,t] kann damit nach
H(t) = E[N(t)] =
=
∞X
F n (t) =
n=1
∞X
nP(N(t) =n) =
n=1
∞X
n=1
Z t
0
f n (u)du =
∞X
n(F n (t) − F n+1 (t))
n=1
Z t
0
h(u)du (7.1.5.3)
berechnet werden. F n+1 (t) kann durch R F n (t − u)dF(u) ersetzt werden. Daher gibt es für denselben
Sachverhalt auch die folgende Darstellung als Integralgleichung
H(t) =F (t)+
∞X
n=1
Z t
0
F n (t − u)dF (u) =F (t)+
Z t
0
H(t − u)dF(u) (7.1.5.4)
Diese Gleichung wird als Erneuerungsgleichung bezeichnet. Sie ist vor allem von theoretischem
Interesse. Die Funktion H(t) =E[N(t)] wird als Erneuerungsfunktion bezeichnet. Ihre Ableitung
h(t) = lim
∞X
=
∆t→0 +
n=1
P (eine oder mehrere Erneuerungen in [t, t + ∆t])
= ∂H(t)
∆t
∂t
P (eine Erneuerung in [t, t + ∆t] zum n-ten Mal)
∞X
= f n (t)
∆t
lim
∆t→0 +
n=1
(7.1.5.5)
wird als Erneuerungsdichte oder, in Anwendungen der Zuverlässigkeitstheorie, als Ausfallsintensität
bezeichnet und entspricht der mittleren Anzahl von Ausfällen pro Zeiteinheit bzw. der
unbedingten Versagensrate, d.h. die Bedingung, daß die Komponente bis zum Zeitpunkt t überlebt
hat, wie bei der Risikofunktion, ist fallengelassen. Außerdem können im Prinzip ein oder
mehrere Ausfälle im Zeitintervall dt erfolgen. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als einem Ausfall
sei jedoch von vernachlässigbarer Ordnung.
Die Größe h(t) (oder H(t)) kann nur in Sonderfällen leicht berechnet werden. Für die exponentielle
Zuverlässigkeitsfunktion ist H(t) = λt und h(t) = λ, wie man leicht aus H(t) =
P ∞
n=1 nP(N(t) =n) =P ∞
n=1 n (λt)n exp [−λt] =λt ausrechnet. Für normalverteilte Erneuen!
155

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
2.5
Erneuerungsdichte/(1/Mittelwert)
2
1.5
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6
1/Mittelwert
Abb. 7.5.Erneuerungsdichte/(1/Mittelwert) über 1/Mittelwert für verschiedene Variationskoeffizienten
(V=0.2,V=0.035,V=0.5)
rungszeiten mit Mittelwert m und Standardabweichung σ ist (Achtung: der Wahrscheinlichkeitsinhalt
der negativen Schwänze wird als sehr klein angenommen)
h(t) =
∞X
n=1
1
σ √ n ϕ n( t − nm
σ √ n )
Die Erneuerungsdichte hat einen charakteristischen, einer gedämpften Schwingung ähnlichen Verlauf
wie Abb. 7.5 zeigt. Die Schwingung ist um so stärker je kleiner der Variationskoeffizient ist.
Im allgemeinen muß die Erneuerungsfunktion und die Erneuerungsintensität numerisch ermittelt
werden. Eine besonders geeignete Methode wird in [7] vorgeschlagen. Sie geht von der Erneuerungsgleichung
(7.1.5.4) aus und löst diese numerisch indem die untere und obere Schranke für
Riemann-Stieltjes Integrale verwendet wird. H(t) ist eine nicht-fallende Funktion. Daher ist
H L (kτ) = F (kτ)+
≤
kX
H L ((k − i)τ)∆F (iτ) ≤
i=1
H(kτ) ≤ F (kτ)+
kX
H U ((k − i +1)τ)∆F (iτ) =M U (kτ) (7.1.5.6)
i=1
für konstante Inkremente der Länge τ in [0,t] mit ∆F (iτ) =F (iτ) − F ((i − 1)τ) und nτ = t.
Die entstehenden linearen Gleichungssysteme können immer gelöst werden. Die Erneuerungsintensitäterhält
man durch numerische Differentiation.
156

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Für H(t) gibt es einfache Schranken, die man auf elementare Weise herleiten kann 14 :
F (t) ≤ H(t) ≤
F (t)
1 − F (t)
(7.1.5.7)
Weiter gibt es einige wichtige, asymptotische Resultate, deren strenge Herleitung hier nicht erfolgen
kann:
lim
t→∞
H(t)
t
= 1 m
(7.1.5.8)
lim [H(t + τ) − H(t)] = τ (7.1.5.9)
t→∞ m
lim h(t) = 1 wenn f(t) → 0 für t → ∞ (7.1.5.10)
t→∞ m
lim [H(t) − t
t→∞ m ] = σ2
2m − 1 (7.1.5.11)
2 2
Die erste Feststellung stimmt mit der Intuition überein, daß die mittlere Anzahl von Ausfällen pro
Zeiteinheit asymptotisch gleich dem Reziprokwert der mittleren Lebensdauer m ist. Die zweite
Feststellung kann ebenfalls leicht interpretiert werden und ist in gewissem Sinne eine stärkere
Aussage als Gl. (7.1.5.8). Die dritte und vierte Feststellung sind Stationaritätsaussagen für den
Ausfallprozeß für große t mit σ der Standardabweichung der Lebensdauer. Aus der letzten Feststellung
kann man ein etwas verbessertes H(t) gewinnen. Im folgenden werden nur die Aussagen
von Gl. (7.1.5.8) bis Gl. (7.1.5.10) benötigt.
Man unterscheidet zwischen dem gerade vorgestellten gewöhnlichen Erneuerungsprozeß, dem
modifizierten Erneuerungsprozeß und dem Gleichgewichtserneuerungsprozeß. Beim modifizierten
Erneuerungsprozeß nimmt man für die Zeit bis zum ersten Ereignis eine andere Verteilungsfunktion
als für die darauf folgenden Zeiten an. Das kann sinnvoll sein bei Komponenten, die
altern und deren Alter man kennt. Beim Gleichgewichtserneuerungsprozeß unterstellt man, daß
Erneuerungen schon seit langer Zeit laufen. Der Nullpunkt der Zeitachse fällt daher zufällig in eine
Zeit zwischen zwei Erneuerungen. FürdiesenProzeß ist Gl. (7.1.5.8) gültig fürjedeZeit,wieunmittelbar
einsichtig. Wir bestimmen noch die ’’Restlebensdauer’’ T F einer Komponente. Damit T F
in das Intervall [τ, τ + ∆τ] fällt, muß die Komponente entweder im Intervall [t + τ,t+ τ + ∆τ]
versagen oder hatte zu einem gewissen u eine Erneuerung im Intervall [t − u, t − u + ∆u] und versagt
dann im Intervall [u + τ,u+ τ + ∆τ] , wobei angenommen ist, daß .∆u ¿ 1 und ∆τ ¿ 1.
Die Dichte von T F ist daher
f TF (t) =f 1 (t + τ)+
Z t
0
h(t − u)f(u + τ)du
14
Für alternde Komponenten, d.h. solche mit wachsender Risikofunktion, geben Barlow/Proschan [8] eine bessere
obere Schranke an:
tF(t)
H(t) ≤ R t
(1 − F (τ))dτ
0
157

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wenn t →∞und auch f 1 (t) → 0 für t →∞ist asymptotisch wegen Gl. (7.1.5.8)
f TF (τ) = 1 m
Z t
0
f(u + τ)du = 1 m
Z ∞
τ
f(v)dv = 1 − F (τ)
m
(7.1.5.12)
Mit einer ähnlichen Betrachtung findet man, daß die Dichte der Zeit seit der letzten Erneuerung der
gleichen Verteilung folgt. Für Gleichgewichtserneuerungsprozesse ist das Ergebnis sogar exakt für
jedes t.
Man kann noch zeigen, für unsere Zwecke weniger wichtig, daß aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes
die Anzahl N(t) für t → ∞ asymptotisch normalverteilt ist mit Mittelwert und t
m
15
. Viele weitere Ergebnisse zur Erneuerungstheorie enthält die Mo-
Standardabweichung σ m
nographie von Cox [35]
q
t
m
7.1.6. Begriff der Austrittsrate
Für das weitere führen wir einige neue Bedingungen und Definitionen ein. Wir bezeichnen mit
N(t) den Zählprozeß der Austritte (vergl. Abb. 7.6). Ein Punktprozeß heißt regulär, wenn
lim
∆→0
P (N(τ, τ + ∆) > 1)
∆
=0 (7.1.6.1)
d.h. in einem genügend kleinen Zeitintervall ∆ ist die Wahrscheinlichkeit von mehr als einem
Ereignis vernachlässigbar klein. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in ∆ nennt man im vorliegenden
Zusammenhang Austrittsrate
ν + 1
(τ) =lim P (N(τ, τ + ∆) =1) (7.1.6.2)
∆→0 ∆
15
Gelegentlich ist der sogenannte alternierende Erneuerungsprozeß von Interesse. Dabei wechseln sich zwei Arbeitsweisen,
z.B. eine aktive Phase und eine Ruhephase, ab. Jede dieser Phasen hat eine eigene Verteilungsfunktion
für die jeweiligen Dauern. Die Verteilungsfunktion der Dauer eines Zyklus ergibt sich als Faltung beider Verteilungsfunktionen.
Daraus berechnet man die Erneuerungsfunktion. Die Wahrscheinlichkeit, daß bei mit dem Parameter λ 1
exponentialverteilten aktiven Phasen und mit dem Parameter λ 2 exponentialverteilten Ruhephasen zu einem beliebigen
Zeitpunkt eine aktive Phase angetroffen wird, ist durch Vergleich des Prozesses in zwei benachbarten Zeitpunkten
bzw. nach Grenzübergang ∆ → 0 und Umformung
mit der Lösung
p 1 (t + ∆) =(1− λ 1 ∆)p 1 (t)+λ 2 (1 − p 1 (t))
ṗ 1 (t)+(λ 1 + λ 2 )p 1 (t) =λ 2
p 1 (t) = λ 2
+ λ 1
exp [−(λ 1 + λ 2 )t]
λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2
womit der stationäre Zustand durch
gegeben ist.
lim p 1(t) = λ 2
t→∞ λ 1 + λ 2
158

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wenn für den ursprünglichen Prozeß
ν + 1
(τ) =lim
∆→0 ∆ P 1({X(τ) ∈ V } ∩ {X(τ + ∆) ∈ V }) (7.1.6.3)
wobei der Index ” 1 ” für die Wahrscheinlichkeit auf die Gültigkeit von Gl. (7.1.6.1) hinweist und
V zur Vereinfachung zeitunabhängig ist. Erneuerungsprozesse sind reguläre Prozesse. Regularität
bedeutet weiter die Additivität der Kreuzungswahrscheinlichkeiten in sich nicht überlappenden
Zeitintervallen, d.h. für den Mittelwert der Austritte im Intervall [0,t] gilt
E[N(t)] =
Z t
0
ν + (τ)dτ (7.1.6.4)
Die Rate der Eintritte in den sicheren Bereich wird vollständig analog gebildet.
x cr
X(t)
1
2
3
N(t)
Abb. 7.6.Schwellenwertkreuzungen und Zählprozeß der Schwellenwertkreuzungen
Für stationäre Prozesse und zeitinvariante Grenzzustandsfunktion kann man die Zeitintegration
leicht vornehmen
E[N(t)] = ν + t (7.1.6.5)
und es ist offensichtlich ν + = ν − , d.h. die Austrittsrate ist gleich der Eintrittsrate.
Regularität des Austrittsprozesses ist insbesondere eine der Voraussetzungen für die Anwendung
der Methode der Austritte oder Schwellenwertkreuzungen, denn nur dann ist die Austrittsrate
definiert. Offensichtlich darf der Ausgangsprozeß X(τ) nicht zu stark ’’zittern’’ (vergl. Bild 7.7).
7.1.7. Schranken für die Versagenswahrscheinlichkeit
Wir kommen nun zu der durch Gl. (7.1.1.3) gestellten Aufgabe zurück. Im Gegensatz zu Abschnitt
2.2.2 bis 2.2.5 sei nun die Verteilung der Zeit bis zum Versagen einer Komponente weder aus einem
mathematischen Modell der in Abschnitt 2.2.2 vorgeführten Art noch durch Beobachtungen direkt
bestimmbar.
Eine erste Methode führt die allgemeine Fragestellung auf ein skalares Problem zurück für das eine
Lösung existiert. Diese Methode wurde in Abschnitt 2.2.6 angewandt. Das ist aber nur für sta-
159

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
a
X(t)
τ τ + d τ
Abb. 7.7.Beispiel für einen nicht regulären Prozeß
tionäre, eindimensionale Folgen oder skalare Zufallsprozesse, für die eine Maximumsverteilung
angegeben werden kann, möglich. In Abschnitt 6.1.3-4 sind eine Reihe solcher Maximumsverteilungen
angegeben. Im mehrdimensionalen Fall hat der Begriff eines Maximums keinen Sinn
mehr. Eine Möglichkeit ist aber, einen neuen skalaren Prozeß Y (τ) =g(X(τ); τ) zu konstruieren.
Versagen nach der in Gl. (7.1.1.3) benützten Definition erfolgt, wenn zum ersten Mal Y (τ) ≤ 0 in
[0,t]. Offensichtlich ist:
P f (t) = F T (t) =P (T ≤ t) =1− P (Y (τ) > 0 für alle τ ∈ [0,t])
n[
≥ P ( {Y (τ i ) ≤ 0}) ≥ max
n
{P (Y (τ i) ≤ 0)} (7.1.7.1)
i=1
i=1
wobei die Zeitachse in eine geeignete Anzahl n von kleinen Teilintervallen zerlegt wird und ∆ =
τ i −τ i−1 . Also wird die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum ersten Nulldurchgang
des Prozesses Y (τ) von oben durch eine skalare Extremwertbetrachtung ersetzt. Die Schwierigkeiten
dieser Methode liegt in der Konstruktion des neuen Prozesses Y (τ), der auf z.T. komplexe
Weise über die Funktion g(.) von allen Komponenten von X(τ) abhängt. Das kann erhebliche
Schwierigkeiten bereiten. Näherungsweise kann man natürlich FORM-Konzepte für Seriensysteme
verwenden. Nach entsprechender Transformation in den standardnormalen Raum hat man die
folgende Aufgabe zu lösen:
n[
n[
P f (t) ≥ P ( {g(U(τ)) ≤ 0}) =P ( {α(τ i ) T U(τ i )) + β(τ i ) ≤ 0}
i=1
i=1
n\
= 1− P ( {Z i ≤ β(τ i )}) ≈ 1 − Φ n (β(τ i ); R)
= {
i=1
≤ P (Z 1 ≤ β(τ 1 )) + P n
i=2 (P (Z i ≤ β(τ i ))
− max P {(Z i ≤ β(τ i )) ∩ (Z j ≤ β(τ j ))})
j

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
stimmen kann und eine gute Lösung für das Multinormalverteilungsintegral hat (siehe Anhang C).
Die triviale untere Wahrscheinlichkeitsschranke max n i=1 {P (Y (τ i ) ≤ 0)} mag in Anwendungen
nützlich sein.
Wesentlich breitere Anwendung erfährt die dritte Methode der Schwellenwertkreuzungen oder
der Austritte von X(τ) aus dem zulässigen Bereich. Hierzu formuliert man den zum ursprünglichen
Prozeß gehörigen Zählprozeß N(t) der Austritte aus dem sicheren Bereich. Man kann eine
wichtige obere Wahrscheinlichkeitsschranke angeben. Versagen erfolgt, wenn entweder X(0) ∈ V
oder N(t) > 0. Demnach ist
P f (t) = 1− P (X(τ) ∈ V ) für alle τ ∈ [0,t]
= P ({X(0) ∈ V } ∪ {N(t) > 0})
= P (X(0) ∈ V )+P ({X(0) ∈ V } ∩ {N(t) > 0})
= P (X(0) ∈ V )+P (X(0) ∈ V )P (N(t) > 0|X(0) ∈ V )
= P (X(0) ∈ V )+P (X(0) ∈ V ) X ∞
P (N(t) =j|X(0) ∈ V )
≤
P (X(0) ∈ V )+P (X(0) ∈ V ) X ∞
j=1
j=0
jP(N(t) =j|X(0) ∈ V )
= P (X(0) ∈ V )+P (X(0) ∈ V )E[N(t)|X(0) ∈ V ]
≤ P (X(0) ∈ V )+E[N(t)] (7.1.7.3)
In Zeile drei wurde P (A ∪ B) =P (A) +P (Ā ∩ B) und in der letzten Zeile P (B)P (A|B) =
P (A ∩ B) ≤ min {P (A),P(B)} mit P (B) À P (A) verwendet. Diese Schranke ist gut für
P (X(0) ∈ V ) ¿ 1 und wenn in der sechsten Zeile der Term für j =1dominiert.
7.1.8. Die Turkstra’sche Regel
Die Lösung des Problems (7.1.7.1) wird auch Lastkombinationsproblem genannt. Ein erster Vorschlag
zur Behandlung von Kombinationen mehrerer stationärer Einwirkungen stammt von Turkstra
[170] . Turkstra nahm an, daß die Lasten unabhängig sind und berechnete eine untere Schranke
für die Versagenswahrscheinlichkeit, indem er unterstellt, daß zu einem beliebigen Zeitpunkt
jeweils eine Last ihr Extremum annimmt während alle anderen Lasten einen Wert aus ihrer Augenblicksverteilung
realisieren. Also ist
½
¾
P f ≥ max n i=1 P (g(R,S 1 (τ),S 2 (τ),...,max {S i(τ)} ,...,S n (τ)) ≤ 0 (7.1.8.1)
0≤τ ≤t
Hierin ist R eine Widerstandsgröße, die S i (τ) sind zeitveränderliche Einwirkungen. Das ist eine
untere, in der Regel unter den genannten Voraussetzungen gar nicht so unkonservative Schranke,
weil die größte Wahrscheinlichkeit auch zu anderen Zeitpunkten erreicht werden kann. Wegen ihrer
Einfachheit ist die ’’Turkstrasche Regel’’ in der Praxis sehr beliebt und unter den genannten Bedingungen
häufig auch eine gute Näherung. Das zeitvariante Zuverlässigkeitsproblem oder Lastkombinationsproblem
wird auf mehrere zeitinvariante Zuverlässigkeitsprobleme zurückgeführt. Man
muß nur die jeweiligen Augenblicksverteilungen und die dazugehörigen Extremwertverteilungen
kennen.
161

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
7.2. Zuverlässigkeit von Komponenten, deren Zustand von
markierten Punktprozessen abhängen
7.2.1. Versagenswahrscheinlichkeit bei Kombinationen von stationären
Zufallsfolgen
Ein praktisch wichtiges Modell für Lasten ist die stationäre, mehrdimensionale Zufallsfolge. Sie
ist in Bild 7.8 dargestellt. Die Komponenten X 1 (t),X 2 (t),...,X n (t) der Zufallsfolge seien unabhängig.
Jede Komponente der Zufallsfolge ist charakterisiert durch eine deterministische Dauer
τ i und die Komponenten seien derart geordnet, daß τ 1 > τ 2 >...>τ n . Außerdem seien die Dauern
durch τ i = m i τ i−1 bestimmt, wobei m>0 eine ganze Zahl. Dann ergeben sich auch die
’’Wiederholungszahlen’’ im Zeitraum t s , also r i = t s /τ i , als ganze Zahlen. Schließlich seien alle
Realisationen einer Komponenten von X i unabhängig. Mit diesen Einschränkungen kann die
Aufgabe zeitbezogene Versagenswahrscheinlichkeiten zu berechnen auf eine Extremwertaufgabe
zurückgeführt werden.
Bei einer einfachen Summe ist zunächst
Abb. 7.8.Kombination zweier Zufallsfolgen
max {X 1 (t)+X 2 (t)+... + X n (t)} =max{X 1 (t)+... + X n−2 (t)+... + Z n−1 (t)} (7.2.1.1)
mit Z n−1 (t) =X n−1 (t)+max τ n−1
{X n (t)} zu bilden. Die Verteilungsfunktion von max τ n−1
{X n (t)}
τ n−1
τn
ist Fn
(x) und die Verteilung von Z n−1 (t) ergibt sich aus der Verteilung der Summe von X n−1 (t)
und max τ n−1
{X n (t)} , d.h. aus der Faltungsformel
F Zn−1 (z) =
Z z
−∞
τ n−1
τn
F n−1 (x)Fn (z − x)dx (7.2.1.2)
Damit ist das Problem um eine Dimension vermindert. Dieses Schema kann man rekursiv auf alle
Lasten anwenden, wenn die Faltungsoperationen befriedigend genau und effizient durchgeführt
werden können. In [138] ist ein auf FORM beruhender Algorithmus angegeben, der beliebige
Verteilungsfunktionen durch die äquivalenten Normalverteilungen nach Gl. (3.2.3.7) ersetzt, so
daß Z n−1 (t) nach N(m n (x ∗ n)+m n−1 (x ∗ n−1), (σ 2 n(x ∗ n)+σ 2 n−1(x ∗ n−1)) 1/2 ) verteilt ist. Diese Vertei-
162

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
lung hängt natürlich vom Entwicklungspunkt x ∗ ab. Wie in Abschnitt 3 bis 5 wird dieser iterativ
ermittelt, so daß die Dichte f 1 (x ∗ 1) · f 2 (x ∗ 2) · ... · f n (x ∗ n) jeweils maximal wird. Auf Details des Algorithmus
kann nicht eingegangen werden. Er erweist sich als sehr effizient und im Rahmen von
FORM auch als sehr genau. In [138] ist noch die Verallgemeinerung auf nichtlineare Kombinationen
vorgenommen.
Sonst muß fast immer von der Methode der Austrittsraten Gebrauch gemacht werden.
7.2.2. Berechnung von Austrittsraten von vektoriellen
Rechteckwellenprozessen
Wir berechnen die Austrittsraten für Prozesse mit regulären, sprunghaften Änderungen (Sprungprozesse).
Für einen skalaren, stationären Rechteckwellenerneuerungsprozeß mit Erneuerungsrate
λ und unabhängigen nach F (x), x ≥ 0, verteilten Amplituden (vergl. Bild 6.5):
ν + (a)∆ = P ({Sprung in [τ, τ +∆]}∩{X(τ) ≤ a}∩{X(τ +∆) >a}) =λ∆ F X (a)(1−F X (a))
E[N(0,t)] = t λ F X (a)(1 − F X (a)) (7.2.2.1)
Danach ist der Mittelwert der Austritte direkt proportional zur Länge des betrachteten Zeitintervalls
[0,t] und der Erneuerungsrate λ. DerTermF X (a)(1 − F X (a)) ist klein für kleines a, hat für ein
bestimmtes a ein Maximum (bei stetigem und unimodalem F (x)) und geht fürgroße a gegen Null
(vergl. Bild 7.9).
1
0.67
v+(a)=λ[1-F(a)]
0.33
v+(a)=λF(a)[1-F(a)]
0
0 1 2 3 4
a
Abb. 7.9.Austrittsrate für Rechteckwellenprozeß als Funktion des Niveaus a
Kehrt der (stationäre) Prozeß dagegen vor jeder Erneuerung nach Null zurück ist:
ν + (a)∆ = P ({Sprung in [τ, τ + ∆]} ∩ {X(τ + ∆) >a}) =λ∆(1 − F X (a)) (7.2.2.2)
In diesem Fall hat die Austrittsrate das Aussehen der komplementären Verteilungsfunktion von
X. Beide Arten der Abhängigkeit der Austrittsrate vom Niveau a sind für die betrachteten Fälle
bei stationären Anfangsbedingungen typisch. Man kann sogar eine (schwache Abhängigkeit) der
163

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Amplituden zulassen und hat dann
zu berechnen. Wie für Zufallsfolgen gilt auch
ν + (a) =λ P ({X(τ) ≤ a} ∩ {X(τ + ∆) >a}) (7.2.2.3)
F maxX (a) ∼ exp[−ν + (a)t] (7.2.2.4)
Bei instationären Vorgängen kann man manchmal analytisch integrieren, z. B. bei linear veränderlicher
Schwellenwertfunktion a(t) =a 0 + a 1 t und standard normalen Amplituden:.
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ = λ a 1
(a(t 2 )Φ(−a(t 2 )) − ϕ(a(t 2 )) − (a(t 1 )Φ(a(t 21 )) − ϕ(a(t 1 ))) (7.2.2.5)
Die Vorgehensweise läßt sich leicht auf Vektorprozesse übertragen (vergl Bild 7.10). Der stationäre
Prozeß X(τ) habe n unabhängige Komponenten X i (τ) mit Erneuerungsrate λ i und Verteilungsfunktion
F i (x). Es gilt Regularität, d.h. in einem kleinen Zeitintervall springt nur jeweils eine
Komponente mit Wahrscheinlichkeit λ i ∆. Die Sprungereignisse sind unabhängig. Die Rate der
Austritte in den Bereich V ist dann (den Bezug auf die Zeit τ lassen wir im vorliegenden stationären
Fall weg)
n[
ν + (V )∆ = P ( {Sprung in [0, ∆]} ∩ {X i ∈ V } ∩ {X + i ∈ V })
=
=
=
≤
i=1
nX
∆ λ i P ({X i ∈ V } ∩ {X + i ∈ V })
i=1
nX
∆ λ i P (X i + x ∈
ZR ¯V )P (X + i + x ∈ V ) f X1 ,X 2 ,...X i−1 ,X i+1 ,...,X n
(x)dx
n−1
i=1
nX
∆ λ i [P (X + i ∈ V ) − P ({X i ∈ V )} ∩ {X + i ∈ V })]
i=1
nX
∆ λ i P (X + i ∈ V ) (7.2.2.6)
i=1
Hierin bezeichnet X i den Prozeß X vor und X + i den Prozeß nach dem Sprung der i−ten Komponente.
Regularität des mehrdimensionalen Erneuerungsprozesses bedeutet Disjunktivität der
Sprungereignisse. Daher gilt die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Austrittsereignisse.
Die zweite Wahrscheinlichkeit in eckigen Klammern ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X i
und X + i vor und nach dem Sprung in V sind. Die Ereignisse {X i ∈ V } und {X + i ∈ V } bzw.
{X i ∈ V )}∩{X + i ∈ V } sind abhängige Ereignisse, da sich nur eine Komponente im Zeitintervall
änderte, alle anderen jedoch nicht. In der vorletzten Zeile wurde P (A ∩ B) =P (B) − P (Ā ∩ B)
verwendet.
164

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 7.10.Austritte eines vektoriellen Rechteckwellenerneuerungsprozesses
Nimmt man zunächst an, daß der Versagensbereich nach Transformation in den Standardraum
durch V = © α T u + β ≤ 0 ª gegeben ist, so berechnet man [23]
ν + (V ) =
=
nX
i=1
nX
i=1
λ i
£
P
¡©
α T U i > −β ª ∩ © α T U + i ≤−β ª¢¤ =
λ i [Φ(−β) − Φ 2 (−β, −β; ρ i )] = Φ(−β)
nX
i=1
nX
i=1
λ i [Φ 2 (β, −β; ρ i )]
·
λ i 1 − Φ ¸
2(−β, −β; ρ i )
Φ(−β)
(7.2.2.7)
wobei man den letzten Faktor oft vernachlässigt, da meist Φ 2 (−β, −β; −ρ i ) ¿ Φ(−β). In diesen
Formeln ist ρ i =1− α 2 i , wie man leicht ausrechnet, indem man die Kovarianz zwischen
dem Zustand des Prozesses vor und nach dem Sprung, d.h. Cov £ ¤
α T U i , α T U + i , ermittelt. Nur
wenige andere analytische Ergebnisse sind bekannt. Ist in Analogie zum Ergebnis Gl. (3.1.10)
beispielsweise im Standardraum V = © u T u−β 2 > 0 ª , so findet man mit der letzten Formel in
Gl. (7.2.2.6)
ν + (V ) =
=
nX
i=1
nX
i=1
Z β 2
λ i f χ 2
n−1
(x)F χ 2
1
(β 2 − x)(1 − F χ 2
1
(β 2 − x))dx
0
λ i
Z β 2
0
x n−2 h
2 n−3
2 Γ( n−1 ) exp 2
− x 2
i µ (β 2 µ
− x) 1/2
(β
erf √
µ1 2
− x) 1/2
− erf √ dx
2 2
(7.2.2.8)
Hierin ist f χ 2
n−1
(x) dieDichtederχ 2 n−1-Verteilung und F χ 2
1
(.) die Verteilungsfunktion der χ
n
o
2 1-
Verteilung und man integriert numerisch. Für V = (u − η) T (u − η)−β 2 > 0 , also einer nichtzentrierten
Hyperkugel, erhält man ein ähnliches Ergebnis. Man hat nur Dichte und Verteilungsfunktion
der zentralen χ 2 ν-Verteilungen durch die entsprechenden nichtzentralen χ 2 ν,δ -Verteilungen
165

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit Nichtzentralitätsparameter δ 2 = P n
i=1 η2 i zu ersetzen. Die χ 2 ν,δ-Verteilung ist allerdings schwierig
zu berechnen. Einfach ist weiter die Austrittsrate aus achsenparallelen Kuben.
Für allgemeine, nichtlineare Zustandsfunktionen ist keine allgemeine exakte Lösung bekannt.
Asymptotisch kann man jedoch zeigen, daß [22]
ν + (V )=
nX
i=1
n−1
Y
λ i Φ(−β) (1 − βκ i ) −1/2 (7.2.2.9)
i=1
mit β =min{kuk} für g(u) ≤ 0 und κ i den Hauptkrümmungen im Lösungspunkt u ∗ . Dieses Ergebnis
entspricht dem zeitinvarianten Fall Gl. (4.4.6). Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen aus
dem unsicheren Bereich in den unsicheren Bereich, d. h. P ({X i ∈ V )} ∩ {X + i ∈ V }) verschwindet
aber die bekannte Krümmungskorrektur muß hinzugefügt werden. Ergebnis (7.2.2.9) besagt,
daß auch hier FORM/SORM mit Erfolg eingesetzt werden kann. Die mittlere Anzahl der Austritte
gewinnt man durch Zeitintegration - auch im nichtstationären Fall. Für stationäre Prozesse ist
demnach
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ = ν + (V )(t 2 − t 1 ) (7.2.2.10)
Beispiel 7.2.2.1: Versagensrate bei symmetrisch bewehrter, nicht knickgefährdeter, rechteckiger
Stahlbetonstütze
Für symmetrisch bewehrte, kurze Stahlbetonstützen (`=5000mm) kann man folgende Näherungslösung
für die Zustandsfunktion ableiten:
mit
M U (N) =−N h 2
g(X) =M U (N) − M ≤ 0 (1)
µ µ
N
h
− 1 +2A s
bhaf c 2 − d f s (2)
Dabei sei N = G + P 1 , M = P 2`, b = h = 300 mm, d = 30 mm, A s = 1600 mm und
a =0.85. Die Lasten P 1 ind P 2 sind Sprungprozesse. Alle Variablen sind unabähngig. Die sonst
noch benötigten Daten sind in der nachfolgenden Tabelle enthalten.
Variable Bez. Vert. m σ λ
Betondruckfestigkeit f c [MPa] X 1 LN 48 5 -
Stahlstreckgrenze f s [MPa] X 2 LN 400 30 -
Eigengewichtslast G [kN] X 3 N 500 50 -
Vertikallast P 1 [kN] X 4 Gu 1500 150 10
Horizontallast P 2 [kN] X 5 Gu 20 2 100
Die Austrittsrate ist:
ν + =
mX
i=1
#
n−1
Y
λ i
"Φ(−β) (1 − βκ j ) −1/2 − Φ 2 (−β S , −β S ; ρ i )
j=1
(3)
Die Rechnung ergibt β =4.652, α =(0.517, 0.107, −0.087, −0.838, −0.104) T und
166

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
κ =(0.048, 0.019, −0.009, −0.002) T . Damit ist ν + =2.1 · 10 −4 nach Gl. (7.2.2.9). Es erweist
sich als zweckmäßig ³ für β in Φ 2 (., .; .) die für linear begrenzte Bereich gültige äquivalente Größe
β S = −Φ −1 Φ(−β) Q −1/2´
n−1
j=1 (1 − βκ j) zu verwenden.
#
Bei allgemeinen instationären Prozessen und/oder zeitvarianter Grenzzustandsfunktion muß man
zusätzliche Näherungen treffen, wenn nicht über die Zeit numerisch integriert wird. Es zeigt sich
nämlich, daß eine Anwendung der asymptotischen Konzepte nur bei sehr großem β zu ausreichend
guten Näherungen führt. Eine ebenfalls mit asymptotischen Argumenten hergeleitete, bessere Näherung
ist
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ =
Z t2
t 1
nX
i=1
n−1
Y
λ i (τ)Φ(−β(τ)) (1 − β(τ) κ i (τ)) −1/2 dτ
i=1
n−1
Y
≈ Φ(−β(t ∗ )) (1 − β(t ∗ ) κ i (t ∗ )) −1/2 C T (7.2.2.11)
i=1
C T =
P n
i=1 λmod
i (t ∗ ) 1−exp[−|f 0 (t ∗ )|(t 2 −t 1 )]
für ∂β(t∗ )
6= 0
q |f 0 (t³
∗ )| ∂τ
Φ( p −f 00 (t ∗ )(t 2 − t ∗ )) − Φ( p ´
−f 00 (t ∗ )(t 1 − t ∗ ))
P n
i=1 λmod i (t ∗ )
2π
−f 00 (t ∗ )
für ∂β(t∗ )
∂τ
=0, ∂2 β(t ∗ )
∂τ 2 > 0
mit f(τ) = lnΦ(−β(τ)), f 0 (τ) ≈ −β(τ) ∂β(τ ) , f 00 (τ) ≈ −β(τ) ∂2 β(τ )
und t ∗ dem kritischen
∂τ ∂τ 2
Punkt, an dem die Austrittsrate maximal wird. Dieser Punkt muß jeweils mit einem geeigneten
Suchalgorithmus gefunden werden und ist entweder ein Randpunkt oder ein innerer Punkt
des betrachteten Zeitintervalls (vergl. Bild 7.11). Das Suchkriterium ist nunmehr min{kuk} für
{u,t: g(u,t) ≤ 0} . Wenn ∂2 β(t ∗ )
> 0, ∂β(t∗ )
=0und t ∗ ein Randpunkt ist, ist der halbe Wert zu
∂τ 2 ∂τ
nehmen. In dieser Näherung wurde bezüglich t Gl. (4.2.2) bzw. (4.2.6) angewendet. Wenn nur die
Sprungrate zeitveränderlich ist, ist das Zeitintegral nur über die Summe der Sprungraten zu bilden.
Genaue Ergebnisse enthält Anhang F.
Abb. 7.11.Randpunkt und innerer Punkt
167

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Gewisse Verallgemeinerungen der vorgestellten Theorie sind möglich. So ist es einfach mit einem
Sprungereignis mehrere, gegebenenfalls voneinander amplitudenabhängige Änderungen des Prozesses
zu assoziieren. Man kann die Sprungereignisse auch mit zwei Intensitätsparametern, z.B.
λ i = λ 0 + η i , beschreiben. λ 0 beschreibt die gleichzeitige Erneuerung aller an der Gruppe beteiligten
Prozesse und η i die zusätzlichen Erneuerungen der i-ten Komponente. Abhängigkeiten der
Sprungwahrscheinlichkeiten kann man weiter durch sogenannte Cluster-Modelle berücksichtigen
(vergl. [187] , [159] ). Die Berechnungen werden sehr aufwendig.
Gewisse Ergebnisse wurden auch für auto- und kreuzkorrelierte, normalverteilte Amplituden erbracht
[139] . In Verallgemeinerung von Gl. (7.2.2.7) sei bei linear begrenzten sicheren Bereichen
angenommen, daß die Amplituden V der standardisiert normalverteilten Rechteckwellen die
Kreuzkorrelationsmatix R V haben und die Amplituden vor und nach dem Sprung der i-ten Komponente
die seriellen Korrelationskoeffizienten ρ + i,j (−1 ≤ ρ+ i,j ≤ 1, j =1,...,n) derart, daß die
Korrelationsmatrizen der vergrößerten Vektoren (V i , V + i ) positiv definit sind. Diese Forderung
ist nicht immer leicht zu erfüllen. Sie ist meist erfüllt, wenn die letzte Reihe und letzte Spalte
von R V zu R + V mit ρ+ i,j = ρ i,j$ i , −1 ≤ $ i ≤ 1, aufgefüllt werden und natürlich ρ + n+1,n+1 =1.
Kreuzkorrelationen implizieren notwendigerweise serielle Korrelationen. Die weitere Rechnung
läuft im standardisierten aber noch nicht entkorrelierten Raum (beachte: Entkorrelieren bedeutet
Rotation des Raumes. Damit würden die Sprünge nicht mehr achsenparallel.). Bei linearer Grenzzustandsfunktion
im entkorrelierten u-Raum g(u) =α T uu + β =0ist im standardisierten und
korrelierten Raum g(v) =α T v v +
kv∗ k
√ =0mit α v = − v∗ . Die Vektoren Z
α T v R vα v
kv ∗ k i = α T v V i und
Z i + = α T v V+ i haben die Kovarianzmatrix Cov £ ¤ P
Z i ,Z i
+ = α
T
v Rα v −α n
v,i j=1 α v,j(ρ i,j − ρ + i,j )
und daher
nX
ν + (V )= λ i [Φ(−b) − Φ 2 (−b, −b; ρ i )] (7.2.2.12)
i=1
kv
mit b =
∗ k
P
und ρ
(α T v R vα v) 1/2 i =1− α n
v,i j=1 α v,j(ρ i,j − ρ + i,j )/(αT vR v α v ). Die Bedingung ρ i ≤
1,i = 1,...,n definiert zulässige Korrelationsmatrizen. Gl. (7.2.2.12) reduziert sich auf Gl.
(7.2.2.7) bei verschwindenden Auto- und Kreuzkorrelationen. Bei nicht normalverteilten Amplituden
kann man näherungsweise die Nataf-Transformation (Gl. (3.2.4.6) bis (3.2.4.9)) oder
die Hermite-Transformation (siehe Fußnote dort) anwenden, wenn sie positiv definite Korrelationsmatrizen
liefern (im v-Raum). Bezüglich der Korrekturen 2.Ordnung geht man wie oben vor.
Insgesamt ist die Berücksichtigung der Kreuzkorrelationen von R V vor allem bei der Bestimmung
von β bzw. b sehr wichtig während den seriellen Korrelationen weniger Bedeutung zukommt.
Beispiel 7.2.2.2: Stationäre Austrittsrate bei korrelierten Sprungprozessen
Die bei spröden Metallen manchmal verwendete Grenzzustandsfunktion (Schubspannungshypothese
nach Tresca) sei
g(x) =R − p (X 1 (t) − X 2 (t)) 2 +4X 3 (t) (1)
Die normalen Sprungprozesse haben jeweils die Sprungrate λ 1,2,3 =1und den Mittelwertsvektor
m =(6, 1, 3) T sowie die Standardabweichungen σ =(1.8, 0.5, 1.5) T und seien äquikorreliert mit
ρ ij =0.8 und seriellem Korrelationskoeffizienten ρ + ij =0.5. Außerdem ist R =18.Derβ u−Punkt
168

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wird zunächst im u-Raum unter Verwendung der Transformationmatrix (vergl. Abschnitt 6.1.2)
⎡
A = ⎣ 1 0 0
⎤
0.8 0.6 0 ⎦ (2)
0.8 0.27 0.54
zu β u =3.04 mit u ∗ =(2.87, 0.57, 1.45) T berechnet und somit x ∗ =(11.16, 2.32, 7.84) T .Damit
ist im β−Punkt die Bedingung für dieGültigkeit von Gl. (1) erfüllt. Die Hauptkrümmungen
der Grenzzustandsfläche in u ∗ sind mit κ =(0.015, 10 −8 ) T klein, so daß eine FORM-Lösung
befriedigend genau ist. Das ergibt v ∗ = Au ∗ =(2.87, 2.64, 3.23) T womit β v = kv ∗ k =5.06
kv
und b =
∗ k
√ =3.15. Die Berechnung nach Gl. (7.2.2.12) ergibt dann ν + =1.7 · 10 −3 .
α T v R v α v
Für unabhängige Komponenten errechnet sich nach Gl. (7.2.2.9) ν + =4.1 · 10 −4 . Unter den
vorliegenden, nichtasymptotischen Bedingungen machen sich die Korrektur für dieSprünge aus
dem unsicheren in den unsicheren Bereich und die Korrelationen bemerkbar.
#
In Anwendungen denkbare Abhängigkeiten zwischen Sprungereignissen und Amplituden (starke
Stürme haben z.B. die Tendenz länger anzudauern) wurden bisher nur für Spezialfälle untersucht.
7.2.3. Austrittsraten bei Systemen (Sprungprozesse) ∗
Der Vollständigkeit halber überlegen wir noch wie die Austrittsraten bei Systemen, die wie in
Abschnitt 5 als Vereinigungs- oder Schnittmengen dargestellt werden, zu berechnen sind. Der
Einfachheit verwenden wir nur die Zuverlässigkeitstheorie 1. Ordnung und lassen mögliche Korrekturen
2. Ordnung weg. Bei stationären, standardisierten Rechteckwellenerneuerungsprozessen
geht man z.B. von Gleichung (7.2.2.12) aus. Wir berechnen zunächst die Austrittsraten in Schnittund
Vereinigungsmengen. Mit V r = © α T r U − β r ≤ 0 ª und V s = © α T s U − β s ≤ 0 ª ist [139]
(der Index ’’v’’ als Hinweis, daß im standardisierten aber noch nicht entkorrelierten Raum gearbeitet
wird, ist weggelassen)
m\
nX
ν + ( V r )= λ i [Φ m (−c; R c ) − Φ 2m (−d, − d; R d,i )] (7.2.3.1)
r=1
i=1
mit
n
o
β
c =
r
; r =1,...,m
(α T r Rαr)1/2
d =[c, · c] T ; ¸
Rc R
R d,i =
e,i
n
R e,i R c
R c =
R e,i =
o
(α T r Rα r)
(α T r Rα r) 1/2 (α T s Rα s)
; r, s =1,...,m
n P 1/2 α T
r Rα nj=1 t−α t,i α t,j (ρ ij −ρ + ij,i )
; r =1, ..., m; t = m +1,...,2m
(α T r Rα r) 1/2 (α T t Rα t) 1/2
o
Das entsprechende Ergebnis für Vereinigungsmengen lautet:
m[
nX
ν + ( V r )= λ i [(1 − Φ m (c; R c )) − (1 − Φ 2m (d, d; R d,i ))] (7.2.3.2)
r=1 i=1
169

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Ein Parallelsystem versagt nun, wenn die i-te Komponente von U in die Schnittmenge V P =
∩ m r=1V r der Versagensbereiche springt, vor dem Sprung aber in wenigstens einem der sicheren
Bereiche der Komponenten des Systems war. Das kann man wie folgt schreiben:
⎛(
) ⎧
⎫⎞
nX
m\ ⎨
ν + (V P )= λ i P ⎝ U + i ∈ V r ∩
⎩ U i ∈ [ \ ⎬
¯Vj ⎠ (7.2.3.3)
⎭
i=1
r=1
j∈M k
Hierin ist M k ⊆ Q die k-elementige Untermenge der Gesamtmenge Q (r =1,...,m). Die konkrete
Berechnung ist mühevoll. Asymptotisch kann der gesamte zweite Term in der Schnittwahrscheinlichkeit
P ({.} ∩ {.}) entfallen. Das ist unter nichtasymptotischen Bedingungen auch eine obere
Schranke.
Das nicht redundante Seriensystem, bei dem also der Prozeß vor dem Sprung im sicheren Bereich
aller Systemkomponenten sein muß und nach dem Sprung in irgendeinem der unsicheren Bereiche
einer Komponente des Systems, hat die Austrittsrate:
Ã
nX
m
(
[ ©U ª \ m
©
ν + +
(V S ) = λ i
"P
i ∈ V k ∩ Ui ∈ ¯V
ª )!#
j
=
≤
≤
i=1
k=1
Ã
nX [ m
λ i
"P
i=1
i=1
k=1
©
U
+
i
"
nX X m µ
λ i P ¡ U + i
nX
i=1
λ i
k=1
X m
k=1
P ¡ U + i ∈ V k
¢
j=1
∈ V k
ª ! − P
à m
[
k=1
{M k }
©
U
+
i ∈ V k
ª
∩
m
\
j=1
{U i ∈ V j }
!#
¢ © © ª © ª
∈ V k − max P ( U
+
i ∈ V k ∩ U
+
i ∈ V j )
11
, 0
)
(7.2.3.5)
Das ergibt durch die zweite Wahrscheinlichkeit in Gl. (7.2.2.6) eine Korrektur, die man entweder
auf der sicheren Seite vernachlässigt oder aber wie in Gl. (7.2.3.4) durch Anwendung der Schranken
in Gl. (5.3.5) oder sogar Gl. (5.3.9) abschätzt. Man beachte, daß für den ersten Term in der
zweiten Zeile von Gl. (7.2.3.4) die obere und für den zweiten Term die untere Schranke in Gl.
(5.3.9) verwendet wurde. Die Berechnung der Größe A erfordert die Auswertung von m +1−
bzw. m +2-dimensionalen Normalverteilungsintegralen.
7.3. Austrittsraten und mittlere Anzahl der Austritte bei differenzierbaren
Prozessen
170

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
7.3.1. Skalare stationäre Prozesse
Ein fundamentales Ergebnis für Prozesse mit differenzierbaren Pfaden ist die sogenannte Ricesche
Formel [144] . Zunächst betrachten wir den skalaren und stationären Fall. Die gemeinsame
Dichte von X(τ) und Ẋ (τ) sei f X,Ẋ
(x, ẋ). Die Kreuzungswahrscheinlichkeit für das Niveau a
in [τ, τ + 4] fürgenügend kleines 4 ist (siehe auch Bild 7.12):
ν + (a)4τ = P (N + (τ, τ + 4) =1)
o n
o
= P (
nẊ ≥ 0 ∩ a − 4Ẋ ≤ X ≤ a )
=
Z ∞ Z a
0
= 4f X (a)
a−4ẋ
Z ∞
0
= 4f X (a)E ∞ 0
f X,Ẋ
(x, ẋ)dxdẋ
ẋfẊ(ẋ|a)dẋ
i hẊ|X = a
(7.3.1.1)
Streichung von 4 ergibt die Austrittsrate. In der vierten Zeile wurde der Mittelwertssatz der Integralrechnung
verwendet. Dieses Ergebnis gilt für beliebige, differenzierbare Prozesse. Weiter
ist
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ = ν + (a)(t 2 − t 1 ) (7.3.1.2)
Beispiel 7.3.1.1: Stationärer Gaußscher Prozeß mit Autokovarianzfunktion C(τ) =σ 2 X exp [−bτ 2 ]
Bei einem stationären Gaußschen Prozeß sind X(τ) und Ẋ(τ) unabhängig. Daher ist
"
f X (a) = √ 1 1
exp − 1 µ # 2 a − mX
(1)
2π σ X 2 σ X
und
E ∞ 0
i hẊ|X = a = E0
∞
hẊi
= σẊ
√
2π
(2)
Also ist
"
ν + (a) = √ σẊ 1
ϕ( a − m X
)= 1 σ Ẋ exp − 1 µ # 2 a − mX
2π σ X σ X 2π σ X 2 σ X
(3)
Die benötigte Standardabweichung der Geschwindigkeit des Prozesses wird nach GL.(6.1.6.16)
ermittelt, d.h.
dC(τ)
= −2σ 2
dτ
Xbτ exp £ −bτ 2¤ (4)
d 2 C(τ)
dτ 2 = −2σ 2 Xb exp £ −bτ 2¤¡ 1 − 2bτ 2¢ (5)
171

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und daher
Der Ausdruck ν + M = ν+ (m X )= 1
#
2π
σ 2 Ẋ = −d2 C(0)
dτ 2 =2σ 2 Xb (6)
σ Ẋ
σ X
heißt Rate der Mittelwertskreuzungen.
7.3.2. Austrittsrate fürinstationären, skalaren Gaußschen Prozeß ∗
Formel (7.3.1.1) muß abgeändert werden in
Abb. 7.12.Austritt bei differenzierbarem Prozess
ν + (a)4 = P (N + (τ, τ + 4) =1)
o
o
= P (
nẊ ≥ ȧ ∩
na − 4(Ẋ − ȧ) ≤ X ≤ a )
=
Z ∞ Z a
ȧ
= 4f X (a)
a−4(ẋ−ȧ)
Z ∞
ȧ
= 4f X (a)E ∞ ȧ
f X,Ẋ (x, ẋ)dxdẋ
(ẋ − ȧ)f (ẋ|a)dẋ
Ẋ i
hẊ − ȧ|X = a
(7.3.2.1)
Um zu kompakten Resultaten zu gelangen, wird das Niveau a(τ) und der Prozeß selbst wie folgt
standardisiert.
Y (τ) =
X(τ) − m(τ)
σ(τ)
und b(τ) =
a(τ) − m(τ)
σ(τ)
(7.3.2.2)
Dann nämlich sind Y (τ) und .
Y (τ) für jedes τ unkorreliert. Mit der Autokorrelationsfunktion
ρ(τ 1 , τ 2 )= C(τ 1, τ 2 )
σ(τ 1 )σ(τ 2 )
(7.3.2.3)
172

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
erhält man dann für die Varianz des Ableitungsprozesses
ω 2 0 = ∂2 ρ(τ 1 , τ 2 )
∂τ 1 ∂τ 2
| τ =τ 1 =τ 2
= 1
σ 2 (τ)
"
∂ 2 C(τ 1 , τ 2 )
∂τ 1 ∂τ 2
| τ =τ 1 =τ 2
+
µ # 2 ∂σ(τ)
∂τ
(7.3.2.4)
und somit
ν + (a(τ)) = ν + (b(τ)) = ϕ(b(τ))
Z ∞
.
b(τ)
1
(ẏ −
ω ḃ)ϕ( ẏ
)dẏ = ω 0
0 ω ϕ(b(τ))Ψ(ḃ(τ) ) (7.3.2.5)
0 ω 0
mit Ψ(x) = R ∞
(ξ − x)ϕ(ξ)dξ = ϕ(x) − xΦ(−x). Diese Funktion zeigt Abb. 7.13.
x
4
3
Ψ (x)
2
1
0
3 2 1 0 1 2 3
x
Abb. 7.13.Ψ(x) mit x = ḃ(τ)
ω 0
sowie Asymptote
Für lineare Schwellenwertfunktionen b(τ) =b 0 + ḃτ kann man ein analytisches Resultat ableiten.
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ = ω 0
ḃ (Φ(−b(t 2) − Φ(−b(t 1 )) Ψ( ḃ ) (7.3.2.6)
ω 0
Für instationäre Gaußsche Prozesse gibt es zwei asymptotische Resultate:
s
P f (t) ∼ P f (0) + Φ(−b(t ∗ ))ω 0 (t ∗ )
1
ω 2 0(t ∗ ) + b(t∗ )
¨b(t∗ ) für 0 ≤ t∗ ≤ t (7.3.2.7)
wenn der Punkt t ∗ mit maximaler Austrittsrate im Inneren des Intervalls [0,t] liegt und
P f (t) ∼ Φ(−b(t ∗ )) (7.3.2.8)
wenn der Punkt t ∗ mit maximaler Austrittsrate an einem Randpunkt des Intervalls [0,t] liegt. ¨b(t ∗ )
ist hierbei die zweite Ableitung der nach Gl. (7.3.2.2) standardisierten Schwellenwertfunktion.
Beide Ergebnisse sind bemerkenswert. Wenn in Gl. (7.3.2.7) die Krümmung der Schwellenwertfunktion
sehr groß wird, spielen die Eigenschaften des Ableitungsprozesses praktisch keine Rolle
mehr. Das ist in Gl. (7.3.2.8) noch ausgeprägter. Insgesamt erweisen sich die asymptotischen
Ergebnisse (in Bezug auf die Zeitintegration nach Gl. (7.1.6.4)) ganz generell als weniger gut.
173

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Besser ist die folgende Formel für den Randpunkt.
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ !
h
i
Ãḃ(t
≈ ω 0 (t ∗ )Φ(−b(t ∗ ∗ ) 1 − exp −b(t ∗ ¯
) ¯ḃ(t∗ ) ¯ (t 2 − t 1 )
))Ψ
ω 0
¯
¯ḃ(t∗ ) ¯
(7.3.2.9)
Sie wird durch Laplaceintegration in der Zeit von Gl. (7.3.2.5) hergeleitet. In [66] ist eine ähnlich
abgeleitete, sehr gute Näherungsformel für den inneren Punkt angegeben.
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ ≈ ω 0 (t ∗ )ϕ(b(t ∗ )) ×
⎡
s
1+γ
×
2
⎢
b(t ∗ )¨b(t ∗ )
⎣
mit γ 2 = ¨b(t ∗ ) 1
und τ b(t ∗ ) ω 0(t ∗ ) 1,2 =
q
b(t ∗ )¨b(t ∗ )(t 1,2 − t ∗ ).
n p p o
Φ(τ 2 1+γ2 ) − Φ(τ 1 1+γ2 )
− √ 2π
q¨b(t
√ 1
∗ )
×
ω 0 (t ∗ ) 1+γ 2 b(t ∗ )
×{ϕ(τ 1 )Φ(−τ 1 γ)} − ϕ(τ 2 )Φ(τ 2 γ)
⎤
⎥
⎦
(7.3.2.10)
Beispiel 7.3.2.1: Qualität der Schranken für die zeitabhängige Versagenswahrscheinlichkeit
Abb. 7.14 soll demonstrieren, daß mit den Näherungen für die Zeitintegration über ν + (τ) in Gl.
(7.2.2.11) und (7.3.2.9) sehr gute Approximationen erhalten werden. Die Schwellenwertfunktion
ist b(t) =b 0 + b 1 t mit b 0 = −4.0 im Intervall [0, 1] für standardnormale Amplituden. Alle Ergebnisse
gehen von der Schranke Gl. (7.1.7.2) aus. Die durchgezogenen Linien entsprechen Gl.
(7.2.2.11) bzw. (7.3.2.9). Die gestrichelten und gepunktelten Linien verwenden die exakten Ergebnisse
nach Gl. (7.2.5.5) bzw. (7.3.2.6). Die gestrichelten Linien verwenden zusätzlich noch
das asymptotische Resultat (7.4.6). Gl. (7.3.2.8) fällt hier mit der unteren Schranke zusammen
und erweist sich als ungenügend.
#
7.3.3. Austrittsrate von Gaußschen Vektorprozessen ∗
Die Berechnung von Austrittsraten für stationäre Vektorprozesse ist im allgemeinen schwierig und
nur für Sonderfälle analytisch. Die Eigenschaften des Prozesses X(t) sind durch den Mittelwertsvektor
m(t) und die Kovarianzmatrizen C XX (t 1 ,t 2 ),C (t XẊ 1,t 2 ) und CẊẊ (t 1,t 2 ) vollständig beschrieben.
Es ist h generell i zweckmäßig, den Vektorprozeß X(t) zu standardisieren, d.h. derart, daß
E [U(t)] = E ˙U(t) =0, R(0) = I mit im allgemeinen vollbesetzten Matrizen Ṙ(0) und ¨R(0)
(vergl. Angaben nach Gl. (6.1.6.32)). Formel (7.3.1.1) muß modifiziert werden. In Analogie zum
eindimensionalen Fall ist [14]
P ({U(t) ∈∆(∂V (t))} T n ˙U N (t) > ∂ ˙V
o
(t) in [τ ≤ t ≤ τ + ∆])
ν + (t) = lim
(7.3.3.1)
∆→0 ∆
wobei ˙U N (t) =n T (u,t) ˙U(t) die Projektion von ˙U(t) auf die Normale n(u,t) =−α(u,t) von
∂V (t) im Punkt (u,t) ist. ∆(∂V (t)) ist eine dünne Schicht um ∂V (t) mit der Dicke ( ˙u N (t) −
174

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beta
4.2
4.1
4
3.9
3.8
3.7
3.6
3.5
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
Sprungprocesse
Normalprocesse
Obere
Schranke in Pf
2.4
1.5 1 0.5 0 0.5 1
b1
Untere
Schranke in Pf
Abb. 7.14.Qualität der Schranken für die Versagenswahrscheinlichkeit (___Gl. (7.1.7.3) mit Gl.(7.2.2.10)
bzw. Gl. (7.3.2.9), - - - Gl.(7.4.6) mit Gl.(7.2.5.5) bzw. Gl. (7.3.2.6)), . . . Gl. (7.1.7.3) mit Gl.(7.2.5.5)
bzw. Gl. (7.3.2.6))
∂ ˙V (t))∆. Also ist
³
P {U(t) ∈ ∆(∂V (t))} \ n o
˙U N (t) > ∂ ˙V (t)
Z Z
=
ϕ n+1 (u, ˙u N ,t)dud ˙u N
∆(∂V (t)) ˙U N (t)>∂ ˙V (t)
Z Z
= ∆
∂V (t)
´
in [τ ≤ t ≤ τ + ∆]
( ˙u N − ∂ ˙V (t))ϕ n+1 (u, ˙u N ,t)ds(u)d ˙u N (7.3.3.2)
˙U N (t)>∂ ˙V (t)
Die Integration über ∆(∂V (t)) wandelt man in eine Oberflächenintegration und diese wiederum
durch geeignete Parameterisierung in eine Volumenintegration um. Im stationären Fall findet man
mit ∂V ≡ g(u) =0(vergl. Abb. 7.15)
Z Z ∞
Z Z ∞
ν + (∂V ) = ˙u N ϕ n+1 (u, ˙u N )d ˙u N ds(u) = ˙u N ϕ 1 ( ˙u N |U = u)ϕ n (u)d ˙u N ds(u)
=
Z
∂V
0
E0
∞
∂V
h
˙UN |U = ui
ϕ n (u)ds(u) =
Z
∂V
0
R n−1 E ∞ 0
h
˙U N |U = ui
ϕ n−1 (ũ,p(ũ))T (ũ)dũ
(7.3.3.3)
wobei u n = p(ũ) = g
r
−1 (u 1 ,u 2 ,...,u n−1 ) die (eindeutige) explizite Parameterdarstellung der
Oberfläche und T (ũ) = 1+ P ³
n−1 ∂
i=1 ∂u i
p(ũ, τ)´2
die zugehörige Transformationsdeterminan-
175

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
te. Die andere Möglichkeit ein Oberflächenintegral durch eine vollständige Parameterisierung der
Oberfläche zu berechnen wird weiter unten dargestellt.
Die Verteilung von ˙U bedingt auf U = u ist natürlich ebenfalls eine Normalverteilung mit durch
Regression erhaltenen Mittelwertsvektor und Kovarianzmatrix.
h i
E ˙U|U = u = Ṙ U (0)R U (0) −1 (u − E [U]) (7.3.3.4)
h i
C ˙U|U = u = ¨R U (0) − Ṙ U
(0) T R U (0) −1 Ṙ U (0) (7.3.3.5)
wobei E [U] =0und R U (0) = I. Also ist ˙U N auch eine normalverteilte Variable mit Mittelwert
und Varianz
h i
m 0 (u) = E ˙U N |U = u = n(u) T Ṙ U (0)R U (0) −1 (u − E [U]) (7.3.3.6)
h i h i
σ 2 0 (u) = Var ˙U N |U = u = n(u) T ¨R U (0) − Ṙ U
(0) T R U (0) −1 Ṙ U (0) n(u) (7.3.3.7)
Damit kann der Erwartungswert im Integranden von Gl. (7.3.3.3) analytisch berechnet werden:
h µ µ
E0
∞ m0 (u)
m0 (u)
˙U N |U = ui
= Ψ(m 0 (u), σ 0 (u)) = σ 0 (u)ϕ + m 0 (u)Φ
(7.3.3.8)
σ 0 (u)
σ 0 (u)
Die Formeln (7.3.3.1) bis (7.3.3.8) gelten sinngemäß, wenn es sich um nicht standardisierte Prozesse
handelt. h
Wenn in E0
∞ ˙U N |U = ui
die Bedingung U = u entfallen kann (Unabhängigkeit von U und ˙U),
ist:
h i Z
h i
ν + (∂V )=E0
∞ ˙U N ϕ(u)ds(u) =E0
∞ ˙U N f(∂V ) (7.3.3.9)
∂V
Abb. 7.15.Austritt eines differenzierbaren Vektorprozesses
176

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Dabei ist f(∂V ) die Dichte des Vektors u, und damit, multipliziert mit einem kleinen Zeitintervall,
die Wahrscheinlichkeit, daß sich der Prozeß zu einem beliebigen Zeitpunkt auf der Versagensfläche
∂V befindet.
Beispiel 7.3.3.1: Stationäre Austrittsrate bei linearen Grenzzustandsflächen
Die Versagensfläche ist gegeben durch:
( nX
)
∂V = α i u i + β =0
i=1
(1)
Man kann durch eine geeignete Transformation immer erreichen, daß die Prozesse standardisiert
werden. Bei Unabhängigkeit von U und ˙U können auch die Ableitungsprozesse unkorreliert gemacht
werden und haben dann als Korrelationsmatrix eine Diagonalmatrix ¨R(0) = {κ 2 i ,i=1,...,n}.
Der Normalenvektor ist n = −α. Der skalare Ableitungsprozeß senkrecht zur Versagensfläche ist
˙U N (τ) =
nX
n i ˙U i (τ) (2)
i=1
und hat Mittelwert Null und die Varianz
κ 2 N =
nX
n 2 i κ 2 i (3)
i=1
Dann ist entsprechend Beispiel 7.3.1.1
h i
E ˙U N
= κ N
√ (4)
2π
und
ν + (∂V )=E
h
˙U N
i
f(∂V )= κ N
√
2π
ϕ(β) (5)
κ N kann als Standardabweichung des ˙U N -Prozesses gedeutet werden. Bei linear begrenzten Versagensbereichen
kann man das vorliegende Problem wegen Z = α T U immer auf ein skalares
Problem zurückführen. Z und ˙U N sind jedoch, wie in Abschnitt 6.1.6 gezeigt, unabhängig. Die
Bedingung, daß U und ˙U unabhängigseinmüssen, ist also gar nicht notwendig. Der instationäre
Vektorprozeß bei linearer Grenzzustandsfläche kann demgemäß analog nach Abschnitt 7.3.2
behandelt werden.
#
Beispiel 7.3.3.2: Stationäre Austrittsraten für isotrope Prozesse aus Hyperkugeln [177]
Es sei V = {u T u − β 2 > 0}. Das ist ein Grenzfall ähnlich dem in Gl. (3.1.10). Der Vektorprozeß
sei isotrop, d.h. die Komponenten des Prozesses sind unabhängig und standardisiert. Der
Ableitungsprozeß ˙U sei von U unabhängig. Daher kann die Kovarianzmatrix des Ableitungsprozesses
unabhängig von U diagonalisiert werden und die Elemente der Diagonale sind κ 2 .Esist
177

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
h i
E ˙U N = κ/(2π). Verwendung von Gl. (7.3.3.4) führt dann auf
ν + (∂V )=E
h i
h i
˙UN f(∂V )=E ˙UN f χ 2 n
(β 2 )=
κ √
2π
β n−1 ·
2 n 2 −1 Γ( n) exp 2
− β2
2
¸
(1)
f χ 2 n
(β 2 ) ist die Dichte der zentralen χ 2 n−Verteilung. Das Ergebnis kann auf nichtzentrierte Hyperkugeln
mit Radius r und Entfernung √ δ des Mittelpunkts vom Ursprung verallgemeinert werden.
Dann ist
h i
h i
ν + (∂V )=E ˙UN f(∂V )=E ˙U N f χ 2
n,δ
(β 2 )= √ κ X ∞
p(j, δ/2)f χ 2
2π
n+2j
(r 2 ) (2)
j=0
0.15
0.1
n=1
n=2
n=5 n=10 n=30
nue+(b)
0.05
0
0 2 4 6 8
b
Abb. 7.16.Austrittsrate aus Hyperkugeln (κ =1)
p(j, δ/2) ist die Poissonsche Wahrscheinlichkeitsfunktion Gl. (7.1.3.2). Das Verhalten der Austrittsrate
kann an dem Verhalten der χ 2 n−Verteilungsdichte studiert werden. Diese hat ihr Maximum
bei β 0 = √ n − 1. Für β < β 0 bleibt der Prozeß diemeisteZeitaußerhalb von V. DieRatebei
β 0 entspricht der Rate der Nullkreuzungen im stationären Fall. Für β ≥ β 0 fällt die Austrittsrate
rasch ab aber ihr Wert wächst bedeutend mit n (vergl. auch Gl. (3.1.10) und Abb. 7.16). Die
Formeln (1) bzw. (2) mögen analog zu Gl. (3.1.10) zu einer oberen Abschätzung dienen.
#
Allgemeine, differenzierbare Versagensflächen sind schwierig zu behandeln. Es gibt nur wenige
analytische Resultate. Es existieren jedoch asymptotische Ergebnisse, die eine quadratische
Entwicklung der Versagensfläche benützen. Ohne Ableitung geben wir nur das Resultat für den
standardisierten, stationären Prozeß an [21] :
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ n−1
ϕ(β) Y
= ω 0 √ (1 − βκ i ) −1/2 (t 2 − t 1 ) (7.3.3.10)
2π
i=1
mit
h i
ω 2 0 = n(u∗ ) T ¨R(0) − Ṙ(0) T GṘ(0) n(u ∗ ) (7.3.3.11)
178

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit β =min{kuk} für {g(u) =0} und vorausgesetzt, daß g(0) > 0. In Gl. (7.3.3.5) erkennt
man den Korrekturterm für dieKrümmungen der Versagensfläche (vergl. Gl. (5.4.6)) und in
der Gleichung für ω 0 tritt im Vergleich zu Gl. h (3) in Beispiel 7.3.3.1 ein in der Regel kleiner
Term mit den Kreuzkorrelationen Ṙ(0) = E U(0) ˙U(0) i T zusammen mit der Matrix der zweiten
n
o
Ableitungen G = k∇g(u ∗ )k −1 ∂2 g(u ∗ )
∂u i ∂u j
; i, j =1,...,n hinzu. Wiederum ist also der Bereich
um den β−Punkt für die Wahrscheinlichkeitsintegrationen am wichtigsten. Formel (7.3.3.10) mit
(7.3.3.11) wird im wesentlichen wiederum durch Entwicklung der Grenzzustandsfunktion in ein
Paraboloid, welches auch für die Parameterisierung hergenommen wird, erhalten.
Beispiel 7.3.3.3: v. Misessches Fließkriterium
Die Beanspruchungen am Fußpunkt eines linearen Schwingers (Schornstein) seien durch einen
stationären Gaußprozeß beschrieben. An einem bestimmten Ort trete Fließen des Materials ein
wenn:
R 2 − (X 1 (t) 2 + X 2 (t) 2 − X 1 (t)X 2 (t)+3X 3 (t) 2 ) ≤ 0 (1)
Darin sind R =150die (deterministische) Streckgrenze, X 1 (t) und X 2 (t) zwei Normalspannungen
und X 3 (t) die zugehörige Schubspannung. Der Mittelwertsvektor sei m =(100, 50, 10) T und
wegen Stationarität ṁ =(0, 0, 0) T . Die Kovarianzmatrix ist:
·
CXX (0) C
C(0) =
(0)
¸
XẊ CẊX (0) CẊẊ (0) =
⎢
⎣
⎡
400.0 100.4 24.2 0 73.8 45.3
100.4 158.0 50.8 −73.8 0 52.3
24.2 50.8 100 −45.3 −52.3 0
0 −73.8 −15 100.0 39.9 15.1
73.8 0 −52.3 39.9 88.9 40.3
45.3 52.3 0 15.1 40.3 100
Die Koeffizienten erhält man z.B. aus den Gleichungen (1) bis (6) in Beispiel 6.1.6.3 mit ω =
(0.5, 0.75, 1) T , ξ =(0.2, 0.15, 0.1) T und S 0 =20/π. Nach Normierung der Teilmatrizen mit
σ ii σ jj = √ p
C ii Cjj ergibt sich die Transformationsmatrix A (vergl. Abschnitt 6.1.2) zu:
⎡
A = ⎣ 1 0 0
⎤
0.40 0.92 0 ⎦ (3)
0.12 0.39 0.91
⎤
⎥
⎦
(2)
womit X = AU und
⎡
R UU = A −1 R XX (A −1 ) T = ⎣ 1 0 0
⎤
0 1 0 ⎦
0 0 1
⎡
⎤
0 0.32 0.11
R U ˙U = A−1 R XẊ (A−1 ) T = ⎣ −0.32 0 0.43 ⎦
−0.11 −0.43 0
⎡
⎤
0.25 0.06 0.02
R ˙U ˙U = A−1 RẊẊ (A−1 ) T = ⎣ 0.06 0.57 0.1 ⎦
0.02 0.1 1
(4a)
(4b)
(4c)
179

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Mit R = r =150(hier deterministisch) ergibt sich der β−Punkt zu u ∗ =(3.35, 0.08, 0.73) T mit
β =3.45 und α =(−0.98, −0.02,0.21) T sowie:
⎡
⎤
· ¸
0.12
k∇g(u)k =5.45 · 10 3 1
−658.4 86.7 −66.2
; κ = ; G = ⎣ 86.7 −355.9 −212.7 ⎦ (5)
0.034 k∇g(u)k
−66.2 −212.7 −500.9
h i
Damit ist ω 2 0 = n T ¨R − Ṙ T GṘ n =0.303 und E [N + (0, 1)] ∼ 3.34 · 10 −4 . Tatsächlich gibt es
zwei β−Punkte. Der andere hat β =5.73 und kann daher außer Betracht bleiben. Eine Rechnung
ohne Berücksichtigung der Krümmungen ergibt mit ω 2 0 = n T ¨Rn nur:
E £ N + (0, 1) ¤ ≈ ω 0
√
2π
ϕ(β) =2.41 · 10 −4 (6)
Die Berechnung mit ω 2 0 = n T ¨Rn =0.296 aber Berücksichtigung der Korrektur Q n−1
hi=1 (1−βκ i) −1/2
i
erbringt 3.33 · 10 −4 . Daraus ersieht man, daß der Term −Ṙ T GṘ in ω 2 0 = n T ¨R − Ṙ T GṘ n
unbedeutend ist während die Krümmungskorrektur durchaus wichtig werden kann.
#
Grenzzustandsflächen, die mehrdimensionale Festigkeitskriterien beschreiben, sind in der Regel
geschlossene, konvexe Oberflächen in niedrigen Dimensionen im Lastwirkungsraum (Spannungen,
Schnittgrößen, Traglasten). Dann ist das Arbeiten in sphärischen (Kugel-) Koordinaten wesentlich
zweckmäßiger, da man die Oberflächenintegration über die Winkel vornehmen kann und
immer eindeutige Darstellungen der Oberfläche hat. Wir entwickeln die Theorie für den wichtigen
dreidimensionalen Fall. Jeder Punkt (x, y, z) im kartesischen System hat im Kugelkoordinatensystem
die Darstellung
x = φ(θ, ϕ) =r(θ, ϕ)cosϕ sin θ;
y = ψ(θ, ϕ) =r(θ, ϕ)sinϕ sin θ;
z = χ(θ, ϕ) =r(θ, ϕ)cosθ
mit 0 ≤ r(θ, ϕ) < ∞; −π < ϕ ≤ π; 0 ≤ θ ≤ π, wenn die z-Achse (Polachse) vertikal, θ
den Winkel von der z-Achse und ϕ den Winkel in der x–y-Ebene von der x-Achse mißt. Damit
ist jedes Festigkeitskriterium auch in Kugelkoordinaten darstellbar. Den Vektor (x, y, z) T bezeichnen
wir parametrisiert mit τ =(φ(θ, ϕ),ψ(θ, ϕ), χ(θ, ϕ)) T . Damit ist die Parameterdarstellung der
Grenzzustandsfläche möglich. Wir verzichten auf jede Standardisierung des Prozesses.
ν + (∂V ) =
=
=
=
Z
E0
∞
∂V
Z π Z π
E0
∞
0 −π
Z π Z π
E0
∞
0 −π
Z π Z π
E0
∞
0 −π
h
˙ T N |T = τ
i
ϕ 3 (τ )ds(τ )
h i
T ˙N
|T = τ ϕ 3 (τ) √ EG − F 2 dϕdθ
h i
T ˙N
|T = τ ϕ 3 (τ) √ EG − F 2 dϕdθ
h i
T ˙
1 1
N |T = τ
(2π) 3/2 |det(C τ )| ×
180

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
·
× exp − 1 √EG
2 (τ − m)T C −1
τ (τ − m)¸
− F
2
dϕdθ
(7.3.3.12)
mit
E =
F =
G =
µ ∂φ(θ, ϕ) 2 µ 2 µ 2
∂ψ(θ, ϕ) ∂χ(θ, ϕ)
+
+
∂θ
∂θ
∂θ
∂φ(θ, ϕ) ∂φ(θ, ϕ) ∂ψ(θ, ϕ) ∂ψ(θ, ϕ) ∂χ(θ, ϕ)
+ +
∂θ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ ∂θ
µ ∂φ(θ, ϕ) 2 µ ∂ψ(θ, ϕ) 2 µ ∂χ(θ, ϕ) 2
+
+
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂χ(θ, ϕ)
∂ϕ
mit √ EG − F 2 der Fläche des Oberflächenelementes. War urspünglich die Grenzzustandsfunktion
als g(τ) =g(x, y, z) =g(φ(θ, ϕ), ψ(θ, ϕ), χ(θ, ϕ)) = 0 gegeben, so ist nunmehr als wesentliche
Aufgabe die Funktion r(θ, ϕ) zu bestimmen, also r(θ, ϕ) =g −1 (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ).
Vereinbarungsgemäß ist diese Invertierung immer eindeutig. Sie ist für manche Festigkeitskriterien
analytisch, für viele andere jedoch nur numerisch möglich.
Beispiel 7.3.3.4: Exaktes Resultat für v. Misessches Fließkriterium
Für das Fließkriterium (1) in Beispiel 7.3.3.3 findet man durch einfache Rechnung
r(θ, ϕ) =
R p (2 − c f s f )
q ¡6
− s
2
t s 4 f + s2 t s 2 f − 4s2 t − 3c f s f
¢ (1)
mit s t =sin(θ),s f =sin(ϕ),c f =cos(ϕ). Damit sind alle benötigten Ableitungen analytisch
wenngleich länglich, sodaß sie hier nicht angegeben werden. Auch die Komponenten des Normalenvektors
n(θ, ϕ) sind analytisch. Schließlich muß man Gl. (7.3.3.12) numerisch integrieren.
Das Ergebnis für sonst gleiche Verhältnisse wie in Beispiel 7.3.3.3 ist ν + (∂V ) ≈ 1.56 · 10 −4 .
Der Unterschied zwischen exakter und asymptotischer Lösung verschwindet, wie es sein muß,bei
größerem β.
#
Asymptotische Ergebnisse für den instationären Fall wurden ebenfalls entwickelt. Für kritische
Randpunkte gilt Gl. (7.3.2.8) mit b(t ∗ ) = β(t ∗ ). Die Lösung für innere, kritische Punkte ist
kompliziert. Man geht besser von den Näherungen in Gl. (7.3.2.9) bzw. (7.3.2.10) aus, d.h. von:
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤ ³ h i ´
≈ n(u ∗ ,t ∗ ) T ¨R(t ∗ ) − Ṙ(t ∗ ) T G(u ∗ ,t ∗ )Ṙ(t ∗ ) n(u ∗ ,t ∗ ) ×
n−1
Y
×Φ(−β(t ∗ )) (1 − β(t ∗ )κ i (t ∗ )) −1/2 ×
i=1
à !
h
˙β(t ∗ ) 1 − exp −β(t ∗ ) ¯ ˙β(t i
∗ ) ¯ (t 2 − t 1 )
×Ψ
ω 0 (t ∗ )
¯ ˙β(t ∗ (7.3.3.13)
) ¯
181

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
für den Randpunkt und
E £ N + (t 1 ,t 2 ) ¤
≈
³ h i ´
n(u ∗ ) T ¨R(t ∗ ) − Ṙ(t∗ ) T G(u ∗ ,t ∗ )Ṙ(t∗ ) n(u ∗ ) ×
n−1
Y
×ϕ(β(t ∗ )) (1 − β(t ∗ )κ i (t ∗ )) −1/2 ×
×
s
i=1
1+γ 2
β(t ∗ )¨β(t ∗ )
⎡
⎢
⎣
n p p o
Φ(τ 2 1+γ2 ) − Φ(τ 1 1+γ2 )
− √ q
2π
√ 1 ¨β(t ∗ )
×
ω 0 (t ∗ ) 1+γ 2 β(t ∗ )
×{ϕ(τ 1 )Φ(−τ 1 γ)} − ϕ(τ 2 )Φ(τ 2 γ)
(7.3.3.14)
q
mit γ 2 = ¨β(t ∗ ) 1
und τ β(t ∗ ) ω 0(t ∗ ) 1,2 = β(t ∗ )¨β(t ∗ )(t 1,2 − t ∗ ) für den inneren Punkt. Oberflächenintegration
im u-Raum und Zeitintegration werden mithin als entkoppelt betrachtet. Mit erhöhtem
Aufwand kann man aber auch Gl. (7.1.6.4) numerisch integrieren.
Mankannschließlich direkt von Gl. (7.1.6.3) ausgehen. Gl. (7.1.6.3) schreiben wir hierzu wie
folgt (Formulierung im u-Raum vorausgesetzt):
ν + 1
(τ) = lim
∆→0 ∆ P 1({U(τ) ∈ V (τ)} ∩ {U(τ + ∆) ∈ V (τ + ∆)})
≈ 1 ∆ P 1({g(U(τ)) > 0} ∩ {g(U(τ + ∆)) ≤ 0})
≈ 1 ∆ P 1({α(τ) T U + β(τ) > 0} ∩ {α(τ + ∆) T U + + β(τ + ∆) < 0})
= 1 ∆ Φ 2(β(τ), −β(τ + ∆); ρ(τ, τ + ∆)) (7.3.3.15)
mit ρ(τ, τ + ∆) = −α(τ) T α(τ + ∆). U und U + sind verschiedene, allerdings hoch negativ
korrelierte Vektoren. Numerisch diffizil ist die Festlegung von ∆. Die zweidimensionale Normalverteilung
Φ 2 (., .; .) wird mit Formel (2) in Beispiel 4.4.2 berechnet. Diese Lösung im Rahmen von
FORM läßt sich nicht ohne weiteres verbessern. Eine Krümmungskorrektur wie in Gl. (7.3.3.10)
kann nicht berechnet werden. Bei nichtstationären Problemen muß man Gl. (7.1.6.4) numerisch
integrieren. Diese direkte Berechnungsmethode wurde erstmals in [65] näher untersucht.
⎤
⎥
⎦
Beispiel 7.3.3.5: Vergleich von Formel (7.3.3.15) mit Beispiel 7.3.1.1
Wir betrachten eine Grenzzustantsfunktion des Form g(u(t),a)=a − u(t) =0mit a =4und
dem in Beispiel 7.3.1.1 verwendeten Parameter b =1für einen stationären Prozeß. Formel (3)
von Beispiel 7.3.1.1 ergibt ν + (4) = 7.55 · 10 −5 während Gl. (7.3.3.15) mit ∆ =0.1 (entspricht
ρ(τ, τ + ∆) =− exp [−b∆ 2 ]=−0.99) ν + (4) = 7.44 · 10 −5 ergibt. Wenn ∆ wesentlich kleiner
gewählt wird, kann wegen ρ →−1 die Berechnung von Φ 2 (., .; .) ungenau werden. Bei zu großem
∆ können sich Ungenauigkeiten bei der Berechnung von ρ(τ, τ + ∆) ergeben.
#
182

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Eine weitere Variante ist besonders bei dynamischen Problemen interessant. Versagen erfolgt definitionsgemäß
wenn g(u(t)) = 0 eine Nullkreuzung von oben hat.
ν − (τ) =
Z 0
−∞
|ġ(u(t))| f(g(u(t)) = 0, ġ(u(t)))dġ(u(t)) (7.3.3.16)
Hierin ist f(g(u(t), ), ġ(u(t))) die gemeinsame Dichte von g(u(t)) und dg(u(t)) = ġ(u(t)). Diese
Formulierung ist praktisch nicht auswertbar, da die gemeinsame Dichte f(., .) sehr schwierig
dt
oder gar nicht zu berechnen ist. Für differenzierbare (Vektor-)Prozesse U(t) sind g 1 = −g(u(t)
und g 2 = g(u(t + ∆)) für kleine ∆ hochkorreliert (fast funktional abhängig). Das kann bei der
Transformation in den Standardraum, bei der Suche nach den ’’kritischen’’ Punkten und bei der
Auswertung des Integrals für die Schnittwahrscheinlichkeit zu numerischen Schwierigkeiten führen.
Dann ist es besser g 2 durch
zu nähern.
Für die Suche nach dem (den) β−Punkt(en) löst man
g 2 = g(u(t + ∆)) ≈ g(u(t)) + ġ(u(t))∆ (7.3.3.17)
min {kuk} für g 1 ≤ 0 \ g 2 ≤ 0 (7.3.3.18)
Normalerweise wird im Lösungpunkt u ∗ sowohl g 1 (.) =0wie auch g 2 (.) =0sein. Wenn der
Lösungspunkt zwar auf g 1 =0liegt aber g 2 6=0, löst man zusätzlich
min {kuk} für g 1 ≤ 0 \ g 2 =0 (7.3.3.19)
oder setzt näherungsweise u ∗ 2 = γu ∗ 1 mit γ der Lösung von g 2 (γu ∗ 1)=0. Im gemeinsamen Punkt
u ∗ oder in den Punkten u ∗ 1 und u ∗ 2 wird dann linearisiert. Die Schnittwahrscheinlichkeit berechnet
man aus dem bivariaten Normalverteilungsintegral Φ 2 (β 1 , −β 2 ; ρ) (Gl.(2) in Beispiel 5.4.2) mit
ρ = α T 1 α 2 und α i = − ∇g i(u ∗ i )
k∇g i (u ∗ i
)k;
i =1, 2.
7.3.4. Nicht-normale differenzierbare Prozesse ∗
Unter gewissen Umständen können diese Ergebnisse auf nicht-normale, stationäre oder nichtstationäre
Prozesse ausgedehnt werden. Hierzu gehen wir von der Darstellung in Gl. (3.2.4.6)
bis (3.2.4.12) aus, d.h. wir nehmen an, daß ein nicht-normaler Prozeß durch eine ’’gedächtnislose’’
monotone Funktion erzeugt werden kann
X(t) =g(Z(t)) (7.3.4.1)
worin Z(t) ein standardnormaler Prozeß.Für den Prozeß mit Verteilungsfunktion F (x(t)) ist demnach:
Z(t) =Φ −1 [F (X(t))] (7.3.4.2)
183

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Bei Stationarität ist der Zusammenhang zwischen den Autokorrelationsfunktionen von X(t) und
Z(t) gegeben durch (in Analogie zu Gl. (3.2.4.9))
ρ X (τ) =
=
Z ∞ Z ∞
−∞ −∞
Z ∞ Z ∞
−∞ −∞
µ µ
x1 − m 1 x2 − m 2
σ 1 σ 2
ϕ 2 (z 1 ,z 2 ; ρ Z (τ)) f X 1
(x 1 )f X2 (x 2 )
dx 1 dx 2
Φ(z 1 )Φ(z 1 )
à !à !
F
−1
X 1
(Φ(z 1 ) − m 1 F
−1
X 2
(Φ(z 2 ) − m 2
ϕ
σ 1
σ 2 (z 1 ,z 2 ; ρ Z (τ))dz 1 dz 2
2
(7.3.4.3)
mit m i = m(t i ), σ i = σ(t i ),x i = x(t i ),z i = z(t i ). Wie für das Nataf-bzw. Hermitemodell gibt
es Beschränkungen. Insbesondere gilt ρ X (0) = ρ Z (0) = 1 bzw. bei ρ X (τ) =0auch ρ Z (τ) =0.
Weiter ist |ρ X (τ)| ≤ |ρ Z (τ)| und man kann den Wertebereich von ρ X (τ) bei ρ Z (τ) =−1 bestimmen.
Dasselbe Konzept kann man bei Vektorprozessen und bei Feldern, allerdings mit gewissen
Einschränkungen, anwenden. Bei Vektorprozessen muß man noch nach Gl. (6.1.2.6) mit Z = AU
entkorrelieren. Für die Berechnung der Austrittsrate ist nur die Berechnung von ρ Z (τ) und ρ 00 Z (τ)
in τ =0(stationärer Fall) bzw. in τ = t ∗ (instationärer Fall) notwendig.
Beispiel 7.3.4.1: Lognormaler Prozeß
Es sei
X(t) =w +exp(m X + σ X U(t)) (1)
X(t) ist damit log-normalverteilt und U(t) ein standardnormaler Prozeß. Aus Formel (7.3.4.2)
bestimmt man
ρ X (τ) = (1 + v2 ) ρ U (τ) − 1
(2)
v 2
mit v =
σ X
. Hierbei wurde die Beziehung E £
m X
(X(t) − w) k¤ = E £ exp(m
−w X + σ X U(t)) k¤
verwendet. Beispielsweise darf bei v =0.3 nur noch −0.917 ≤ ρ X (τ) ≤ 1 sein.
#
Austrittsraten berechnet man unter der Bedingung, daß X(t) dann einen Austritt hat, wenn auch
U(t) einen Austritt hat, d.h. füreineÜberschreitung des Niveaus b
ν + (b) = σ U
·− .
2π exp 1 ¡ g −1 (b) ¢ ¸
2
(7.3.4.4)
2
worin σ . U = p −ρ 00 U (0).
Analog kann man mehrdimensionale ’’Natafprozesse’’ definieren. Der mit ihnen verbundene numerische
Auswand kann erheblich werden.
7.3.5. Austrittsraten bei Systemen (differenzierbare Prozesse) ∗
Bei differenzierbaren, stationären, standardisierten und entkorrelierten Gaußvektorprozessen muß
man beachten, daß ein Austreten in den unsicheren Bereich von Systemen nur durch einen Aus-
184

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
schnitt der Grenzzustandsfläche und nur jeweils durch eine dieser erfolgen kann. Die Austrittsereignisse
durch verschiedene Grenzzustandsflächen sind disjunkt. Ein Parallelsystem sei also durch
den Schnitt von m unsicheren Bereichen definiert, der aber auf m verschiedenen Wegen betreten
werden kann. Bei m linearen (oder linearisierten) Grenzzustandsflächen, d.h. V P = {∩ m k=1 g k(u) ≤
0} mit ∂V k = {g k (u) ≈ α T k u+b k =0}, g k (0) ≥ 0 für wenigstens ein k, ist mit Gl. (7.3.3.8) im
Sinne eines Resultats erster Ordnung bei zeitinvarianten Grenzzustandsflächen
ν + (V P ) =
mit (x) + =max{0,x} und
=
≈
mX
Z
k=1
mX Z
k=1
∂V k
E
h
(−α T ˙U)
i
k + |U = u ϕ n (u)ds(u)
Ψ(m k (u), σ k )ϕ n (u)ds(u)
∂V k
mX
Ψ(m k (u ∗ ), σ k )ϕ(b k )Φ m−1 (c k ; B k ) (7.3.5.1)
k=1
c k = {b s − b k α T s α k ;1≤ s ≤ m; s 6= k}
B k = {α T s α t − (α T s α k)(α T t α k); 1 ≤ s, t ≤ m; s, t 6= k}
h
i
Ψ(m k (u ∗ ), σ k ) = E (−α T ˙U) k + |U = u
µ
µ
mk (u ∗ )
= σ k ϕ
+ m k (u ∗ mk (u ∗ )
)Φ
σ k σ k
wobei Φ 0 (.; .) =1,b s = α T s u∗ ,b k = α T k u∗ , σ 2 k = αT k ( ¨R − ṘṘ T )α k ,m k (u ∗ )=−α T k Ṙu∗ 6=0
für m ≥ 2 und 2 ≤ m ≤ n sowie u ∗ der gemeinsame β−Punkt, der auf einer Ecke oder Kante
des unsicheren Bereiches liegen muß und α k die Richtungsvektoren der in u ∗ linearisierten
Grenzzustandsflächen (alle α k linear unabhängig). Dieser Ausdruck ist in voller Allgemeinheit
hingeschrieben. Eine asymptotische Lösung kann man ebenfalls angeben [74] . Die Austrittsrate
in Vereinigungsmengen (g k (0) ≥ 0 für k =1,..,m)erhält man bei vollkommen analoger Argumentation
aus Gl. (7.3.5.1) durch Ersatz von ϕ(b k )Φ m−1 (c k ; B k ) durch ϕ(b k )[1− Φ m−1 (c k ; B k )]
mit nunmehr Φ 0 (.; .) =0und m verschiedenen u ∗ k wobei nunmehr m k(u ∗ k )=0und σ2 k = αT ¨Rα k k
da α k und u ∗ k senkrecht aufeinander stehen.
Bei instationärenProzessenhängen alle Größen auch von der Zeit ab. Bei Parallelsystemen verwendet
man näherungsweise Gl. (7.2.2.9) oder (7.3.2.9) mit
β(t ∗ ) bzw. b(t ∗ )=min{kuk} für{u,t : ∩ m k=1 g k(u,t) ≤ 0} (7.3.5.2)
Bei Seriensystemen können die kritischen Punkte in der Zeit verschieden sein. Es ist klar, daß
Systembetrachtungen recht aufwendig werden können.
7.3.6. Kombination von Prozessen mit nicht rechteckförmigen Marken
(Point Crossing Method) ∗
Schließlich soll hier noch erwähnt werden, daß die Behandlung von markierten Sprungprozessen
mit anderen als rechteckförmigen Marken auf große Schwierigkeiten stößt und nur in besonderen
185

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Fällen noch möglich ist. Eine vielfach verwendete, spezielle Methode ist die sogenannte ’’point
crossing method’’, deren Grundidee nachfolgend kurz dargestellt sei. Wir betrachten die Summe
zweier unabhängiger, stationärer Prozesse:
X(t) =X 1 (t)+X 2 (t) (7.3.6.1)
Die Austrittsrate ist nach Rice (siehe Abschnitt 3.1):
Z ∞
ν + X (a) = ẋf XẊ (a, ẋ)dẋ (7.3.6.2)
0
f X Ẋ (x, ẋ) kann als Faltungsintegral der Dichten f X 1 Ẋ 1
(x 1 , ẋ 1 ) und f X2 Ẋ 2
(x 2 , ẋ 2 ) dargestellt werden.
Z ∞ Z ∞
f X Ẋ (x, ẋ) = f X1 Ẋ 1
(x 1 , ẋ 1 )f X2 Ẋ 2
(x − x 1 , ẋ − ẋ 1 )dẋ 1 dx 1 (7.3.6.3)
−∞
−∞
Mit ẋ = ẋ 1 + ẋ 2 ergibt das eingesetzt in Gl. (7.2.3.2)
Z ∞ Z ∞ Z ∞
ν + X (a) = ẋ 1 f X1 Ẋ 1
(x, ẋ 1 )f X2 Ẋ 2
(a − x, ẋ 2 )dẋ 2 dẋ 1 dx
+
−∞ −∞ ẋ 2 =−ẋ
Z 1
∞ Z ∞ Z ∞
−∞
−∞
ẋ 2 =−ẋ 1
ẋ 2 f X1 Ẋ 1
(x, ẋ 1 )f X2 Ẋ 2
(a − x, ẋ 2 )dẋ 2 dẋ 1 dx (7.3.6.4)
Die dreifachen Integrale haben nur für Spezialfälle analytische Lösungen. Durch Vergrößerung
des Integrationsbereiches erhält man jedoch eine obere Schranke [91]
Z ∞
Z ∞
Z ∞
ν + X (a) ≤ ẋ 1 f X1 Ẋ 1
(x, ẋ 1 )f X2 Ẋ 2
(a − x, ẋ 2 )dẋ 2 dẋ 1 dx
=
−∞ ẋ 1 =0 ẋ 2 =−∞
Z ∞ Z ∞ Z ∞
+
−∞
Z ∞
−∞
ẋ 1 =−∞
ẋ 2 =0
ν + X 1
(x)f X2 (a − x)dx +
ẋ 2 f X1 Ẋ 1
(x, ẋ 1 )f X2 Ẋ 2
(a − x, ẋ 2 )dẋ 2 dẋ 1 dx
Z ∞
−∞
ν + X 2
(x)f X1 (a − x)dx (7.3.6.5)
und analog durch Verkleinerung des Integrationsbereiches eine untere Schranke [91]
Z ∞
ν + X (a) ≥ ν + X 1
(x)f X2 (a − x)(1 − FẊ2
|X 2
(0,a− x))dx
+
−∞
Z ∞
−∞
ν + X 2
(a − x)f X1 (x)(1 − FẊ1
|X 1
(0,x))dx (7.3.6.6)
Gl. (7.3.6.6) unterscheidet sich von Gl. (7.3.6.5) durch den letzten Term, der einen Wert zwischen
rund 0.5 (d.h. bei Unabhängigkeit von X i und Ẋ i ) und Eins annimmt.. Obere und untere Schranke
liegen daher in der Regel nahe beieinander. In den Formeln (7.3.6.5) und (7.3.6.6) ist ν + X i
(x)
die jeweils eindimensionale Austrittsrate und f Xj (a − x) dx die sogenannte Augenblickswahrscheinlichkeit
der anderen Komponente. Die folgende Tabelle gibt einige Funktionen für ν + X (x)
und f X (x) an:
186

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Prozeß ν + X (x) f X(x)
’’Spike’’ λ(1 − F S (x)) δ(x)
Rechteckwelle λ(1 − F S (x)) f S (x)
R ∞
Dreiecksimpuls λ(1 − F S (x))
x
Parabolischer Impuls λ(1 − F S (x))
R ∞
x
R ∞
x
f S (s)
√
s
1
2 1− x s
ds
f S (s)
ds
s
Invers-parab. Impuls λ(1 − F S (x))
2(1 − x/s) f S(s)
i
ds
s
Differenzierbar f S (x)E0
hṠ ∞ | S = x f S (x)
Die Größe s bezeichnet die zufällige Maximalamplitude eines Impulses, λ ist die Sprungrate. Es
ist bemerkenswert, daß die spezielle Lage der jeweiligen Spitze innerhalb des Impulses nicht in
die Formeln eingeht. Die Integrale löst man numerisch. Dasselbe Konzept kann man bei mehr als
zwei Prozessen anwenden. Bei drei Prozessen ist beispielsweise:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
ν + X (a) ≤ ν + X 1
(x)f X2 +X 3
(a−x)dx+ ν + X 2
(x)f X1 +X 3
(a−x)dx+ ν + X 3
(x)f X1 +X 2
(a−x)dx
−∞
−∞
(7.3.6.7)
Die Ansätze können in verschiedener Hinsicht, z.B. für Instationarität, nichtlineare Kombination,
Abhängigkeit und Clusterung, verallgemeinert werden. Die Ergebnisse werden dann jedoch
schnell unhandlich und ungenau.
7.4. Asymptotische Überlegungen
Eine asymptotische Verschärfung von Gl. (7.1.7.2) gelingt wie folgt. Wir teilen das Intervall [0,t]
für einen stationären Prozess in n gleich große Intervalle [0,t n ]=[0,t] /n undnehmenzunächst
an, daß die Austritte in diesen Unterintervallen unabhängig sind, so daß
P (kein Austritt in [0,t]) = P (N + (0,t)=0)=P n (N + (0,t n )=0)
∞X
= (1− P (N + (0,t n ) > 0)) n =(1− P (N + (0,t n )=i)) n
≥
(1 −
i=1
−∞
∞X
iP(N + (0,t n )=i)) n =(1− E[N + (0,t n )]) n
i=0
= ((1 − ν + (V )t n ) n =
µ
1 − ν + (V ) t n n
∼ exp[−ν + (V )t](7.4.1)
für große n gilt. Dabei vergrößern wir n derart, daß ν + (V )t = const, d.h. durch Vergrößerung
von t bei gleichzeitiger Verkleinerung von ν + (V ). Die Annahme der Unabhängigkeit verifizieren
wir durch die sogenannte Mischungsbedingung
|P (A ∩ B) − P (A)P (B)| ≤ g(τ) mit τ 2 g(τ) → 0 für τ →∞ (7.4.2)
Darin ist im vorliegenden Fall A = {(X(ϑ) ∈ V ) ∩ (X(ϑ + ∆) ∈ V )} und B = {(X(ϑ + τ) ∈
V ) ∩ (X(ϑ + ∆ + τ) ∈ V )}. Wie man sieht, ist die angegebene Mischungsbedingung eine
(schwächere) Variante der Bedingung der Ergodizität im stationären Fall. Die Austrittsereignisse
sind aber solange abhängig als noch wenigstens eine Komponente von X(ϑ) im Intervall [0, τ]
kein Sprungereignis hatte. Daher ist für Poissonsche Sprünge
187

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Da
P (mindestens eine Komponente hat keinen Sprung in [ϑ, ϑ + τ])
n[
= P ( (Komponente i hat keinen Sprung in [ϑ, ϑ + τ])
≤
=
i=1
nX
P (Komponente i hat keinen Sprung in [ϑ, ϑ + τ])
i=1
nX
exp[−λ i τ]=g(τ) (7.4.3)
i=1
lim τ 2
τ→∞
nX
exp[−λ i τ]=0 (7.4.4)
i=1
ist, ist die Mischungsbedingung (7.4.2) erfüllt. Man kann in Gl. (7.4.3) aber auch jeden anderen
Erneuerungsprozeß annehmen. Damit ist bewiesen, daß asymptotisch
P f (t) =P (T

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
"
= exp
"−ν + M t exp − 1 µ ## 2 a − mX
2 σ X
=exp
·−ν + M
·− t exp 1 ξ2¸¸
2
(2)
mit ξ = a−m X
σ X
und ν + M der Rate der positiven Mittelwertskreuzungen. Wie man sieht, hat die Variable
ln(−ν + M t exp £ −ξ 2 /2 ¤ = −ξ 2 /2 − ln(ν + Mt) eine Gumbelverteilung. Indem man die Entwicklung
ξ ≈ p 2ln(ν + M t)(1+ ξ/2ln(ν+ Mt)+...) benutzt, findet man, daß der Mittelwert asymptotisch
gleich
und die Varianz gleich
E [M(t)] ≈
q
2ln(ν + M t)+ 0.577
p
2ln(ν
+
M t) (3)
Var[M(t)] ≈ p
σ X 2ln(ν
+
M t) (4)
ist.
#
Derart ideale Voraussetzungen sind jedoch meist nicht gegeben. Die Mischungsbedingung ist
insbesondere nicht erfüllt, wenn gewisse Komponenten von X(τ) nicht von der Zeit abhängen,
sondern einfache Zufallsvariable sind. Es bezeichne R diesen (nicht-ergodischen) Vektor. R beschreibe
z.B. die Festigkeitseigenschaften der Komponente. Dann gilt die Formel (7.4.5) nur noch
bedingt, d.h. unter der Bedingung R = r. Die totale Versagenswahrscheinlichkeit erhält man aus
Z
Z
£
P f (t) = P f (t|r)dF R (r) ∼ 1 − exp[−E[N + (0,t)|r]]dF R (r) ≤ E R E[N + (0,t)|R] ¤
R n R
R n R
π 2
(7.4.8)
Das ist eine spürbare Verkomplizierung und man verwendet am besten die obere Schranke. Falls
jedoch die bedingende Größe, wir nennen sie zur Unterscheidung Q, ihrerseits ein ergodischer Prozeß
ist, z.B . die Parameter von Seezuständen oder die 10-min Mittel der Windgeschwindigkeiten
darstellt, gilt
P f (t) ∼ 1 − exp[−E[ν + (V (Q))]t] (7.4.9)
Das Entstehen dieser im Vergleich mit Gl. (7.4.6) wesentlich einfacheren Beziehung zeigen wir
durch Betrachten einer unabhängigen Folge Q i . Hierzu beachten wir, daß tf Q (q)∆q näherungsweise
die mittlere Zeit ist, in der sich die Folge Q im Zustand q ≤ Q < q + ∆q mit ∆q einer
kleinen Größe befindet. Also ist
Z
n\
P f (t) = 1− exp[−ν + (q)t]dF Q (q) ≈ 1 − exp[−ν + (q i )tf Q (q i )∆q]
R n Q
= 1− exp[−
i=1
nX
Z
ν + (q i )tf Q (q i )∆q] ≈ 1 − exp[−t
i=1
R n Q
ν + (q)f Q (q)dq]
= 1− exp[−tE Q [ν + (Q)]] ≤ tE Q [ν + (Q)] (7.4.10)
189

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die Schranken in Gl. (7.4.6) und (7.4.7) können natürlich kombiniert werden. Damit ist also unter
Verwendung von Gl. (7.4.6) und (7.4.7) sowie (7.1.7.1) und (7.1.7.2) [154]
P f (t) ={ ≤ P f(0) + E R [E Q [N + (t)|R, Q]] ≤ 1
≥ max [0,t] {P f (τ)}
(7.4.11)
Die Anwendung beider Schranken macht praktisch nur Sinn, wenn 1/ P λ i ¿ t bzw. 2π/ω 0 ¿ t,
d.h. wenn die Änderungsfrequenz der Prozesse im betrachteten Zeitintervall [0,t] größer als Eins
ist.
7.5. Intermittierende Prozesse ∗
Für die Rechteckwellenprozesse in Abschnitt 7.2.2 wurde angenommen, daß die Dauer der Rechteckwelle
gleich der Zeit zwischen zwei Erneuerungen ist. Man beachte, daß der Erneuerungsprozeß
sich nach Gl. (7.1.5.6) bereits in einem asymptotischen Zustand befindet und es daher ausreichte
seine wesentliche Zeitcharakteristik durch die Sprungrate oder alternativ durch die mittlere
Zeit zwischen den Erneuerungen zu charakterisieren. Es kommt aber vor, daß die Dauern kürzer
sind als die Zeiten zwischen den Erneuerungen. Wenn die Rechteckwellen beispielsweise Hochbaulasten
modellieren sollen, die Erneuerungen entsprechen dabei Mieterwechseln, so gibt es sicher
Zeiten in denen das Bauwerk nicht vermietet werden kann und somit keine Lasten vorhanden
sind. Um eine solche Situation zu modellieren, ist es nun notwendig Verteilungsannahmen fürdie
jeweiligen Zeiten zu machen. Das folgende Modell ist eines der einfachsten Modelle [163] . Man
kann mit ihm jedoch schon sehr viele Situationen gut erfassen. Es sei der Erneuerungsprozeß ein
Poissonprozeß mit Intensität κ. Dann sind die Zeiten zwischen den Erneuerungen nach
F Ta (t) =1− exp [−κt] (7.5.1)
mit dem Mittelwert 1/κ verteilt. Die Dauern der Rechteckwellen seien durch eine andere Exponentialverteilung
F Td (t) =1− exp [−(κ + µ)t] (7.5.2)
mit dem Mittelwert 1/(κ+µ) ≤ 1/κ definiert. Diese Verteilung entsteht, wenn man die Verteilung
der Dauern F Td 0 (t) =1−exp [−µt] bei der jeweils nächsten Erneuerung stutzt. Die Zeiten T a und
T d seien unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt den ’’an/aus’’-Prozeß
im Zustand ’’aus’’ bzw. ’’an’’ anzutreffen, ist
p 0 = E [T a] − E [T d ]
E [T a ]
p 1 = E [T d]
E [T a ] = ρ
1+ρ
= 1
1+ρ
(7.5.3)
(7.5.4)
wobei ρ = κ/µ mit Ankunft-Dauer-Intensität bezeichnet werden soll. Den ’’an’’-Zustand bezeichnen
wir mit 1 und den ’’aus’’-Zustand mit 0 (vergl. Abb. 7.17 ). Jeder Lastprozeß kann nun mit
dem ’’an/aus’’-Prozeß multipliziert werden und hat dann ein Aussehen wie in Abb. 7.18 dargestellt.
Für ρ → 0 entsteht ein Impulsprozeß, d.h. ein Prozeß mit sehr kurzen Dauern, für ρ →∞ein
Prozeß, der’’fast immer’’ an ist. Man beachte, daß die Charakteristiken des ’’an/aus’’-Prozesses
nichts mit der Sprungrate λ des in Abbildung 7.17 gewählten Rechteckwellenprozesses zu tun
190

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
S(t)
1
t
Abb. 7.17.’’an/aus’’-Prozeß
haben. Nur wenn λ = κ ist offensichtlich im Mittel nur eine Rechteckwelle in einer ’’an’’-Zeit
vorhanden.
Man kann das Ergebnis (7.5.3) und (7.5.4) auch auf anderem Wege erhalten, indem man ein bekanntes
Resultat der Erneuerungstheorie verwendet. Man bezeichne mit p i (t + 4t)(i =0, 1) die
Wahrscheinlichkeit, daß sich der ’’an/aus’’-Prozeß in einem der beiden Zustände befinde. Dann ist
und
p 0 (t + 4t) = p 0 (t)(1 − κ4t)+p 1 (t)µ4t
bzw.
ṗ 0 (t) = −κp 0 (t)+µp 1 (t) (7.5.5)
p 1 (t + 4t) = p 1 (t)(1 − µ4t)+p 0 (t)κ4t
bzw.
ṗ 1 (t) = −µp 1 (t)+κp 0 (t) (7.5.6)
wobei die jeweils zweiten Gleichungen durch Grenzübergang für 4t → 0 erhalten werden. Unter
stationären Bedingungen, d.h. ṗ 0 (t) =ṗ 1 (t) =0, ergeben beide Gleichungen
κp 0 − µp 1 =0 (7.5.7)
was zusammen mit p 0 + p 1 =1das Resultat in (7.5.3) und (7.5.4) ergibt.
Wir betrachten nun zwei Lasten. Für diese kann man 4 Zustände definieren
I : Beide ’’an/aus’’- Pr ozesse sin d ’’aus’’
II : Der erste ’’an/aus’’- Pr ozeß ist ’’an’’ und der zweite ist ’’aus’’
III : Der zweite ’’an/aus’’- Pr ozeß ist ’’an’’ und der erste ist ’’aus’’
IV : Beide ’’an/aus’’- Pr ozesse sind ’’an’’
Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten bezeichnen wir mit p 0 ,p (1)
1 ,p (2)
1 und p 2 . Dann ist
p 0 (t + 4t) = p 0 (t)(1 − (κ 1 + κ 2 )4t)+p (1)
1 (t)µ 1 4t + p (2)
1 (t)µ 2 4t
bzw.
ṗ 0 (t) = −(κ 1 + κ 2 )p 0 (t)+µ 1 p (1)
1 (t)+µ 2 p (2)
1 (t) (7.5.8)
191

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
S(t)
t
1/(κ+µ)
1/κ
Abb. 7.18.Intermittierender Rechteckwellenprozeß
p (1)
1 (t + 4t) = p(1) 1 (t)(1 − (µ 1 + κ 2 )4t)+p 0 (t)κ 1 4t + p 2 (t)µ 2 4t
bzw.
ṗ (1)
1 (t) = −(µ 1 + κ 2 )p (1)
1 (t)+κ 1p 0 (t)+µ 2 p 2 (t) (7.5.9)
p (2)
1 (t + 4t) = p (2)
1 (t)(1 − (µ 2 + κ 1 )4t)+p 0 (t)κ 2 4t + p 2 (t)µ 1 4t
bzw.
ṗ (2)
1 (t) = −(µ 2 + κ 1 )p (2)
1 (t)+κ 2 p 0 (t)+µ 1 p 2 (t) (7.5.10)
p 2 (t + 4t) = p 2 (t)(1 − (µ 1 + µ 2 )4t)+p (1)
1 (t)κ 1 4t + p (2)
1 (t)κ 2 4t
bzw.
ṗ 2 (t) = −(µ 1 + µ 2 )p 2 (t)+κ 2 p (1)
1 (t)+κ 1p (2)
1 (t) (7.5.11)
Unter stationären Bedingungen wird daraus
(κ 1 + κ 2 )p 0 − µ 1 p (1)
1 − µ 2 p (2)
1 = 0 (7.5.12)
(µ 1 + κ 2 )p (1)
1 − κ 1 p 0 − µ 2 p 2 = 0 (7.5.13)
(µ 2 + κ 1 )p (2)
1 − κ 2 p 0 − µ 1 p 2 = 0 (7.5.14)
(µ 1 + µ 2 )p 2 − κ 2 p (1)
1 − κ 1 p (2)
1 = 0 (7.5.15)
Zusammen mit p 0 + p (1)
1 + p (2)
1 + p 2 =1ergibt das
p 0 =
p (1)
1 =
p (2)
1 =
1
(1 + ρ 1 )(1 + ρ 2 )
ρ 1
(1 + ρ 1 )(1 + ρ 2 )
ρ 2
(1 + ρ 1 )(1 + ρ 2 )
(7.5.16)
(7.5.17)
(7.5.18)
192

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
p 2 =
ρ 1 ρ 2
(1 + ρ 1 )(1 + ρ 2 )
(7.5.19)
mit ρ 1 = κ 1 /µ 1 und ρ 2 = κ 2 /µ 2. Für N Lasten verallgemeinert hat man:
p 0 =
1
Q N
m=1 (1 + ρ m)
(7.5.20)
p (i)
1 =
ρ i
Q N
m=1 (1 + ρ m)
(7.5.21)
p (i,j)
2 =
p (i,j,k)
3 =
ρ i ρ j
Q N
m=1 (1 + ρ ; i

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
#
Erstaunlicherweise gelten die gleichen Formeln wenn die Dauern der ’’an’’-Zeiten nicht durch die
jeweils nächsten Erneuerungen gestutzt werden. Gewisse Ergebnisse wurden auch für allgemeine
Erlangverteilungen der Dauern und der Zeiten zwischen den Erneuerungen erhalten. Numerisch
unterscheiden sich diese nur wenig von den Ergebnissen für Exponentialverteilungen. Schließlich
konnten noch instationäre ’’an/aus’’-Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden, die entstehen, wenn
man anstelle der zufälligen Anfangsbedingungen gewisse Anfangsbedingungen deterministisch
vorgibt.
7.6. Kombination von differenzierbaren und Sprungprozessen ∗
Die Kombination von differenzierbaren Prozessen und Sprungprozessen ist einfach wenn man
Regularität des Austrittsprozesses voraussetzt. Dann können Austritte nämlich nur erfolgen, wenn
entweder der Sprungprozeß S J (t) eine Erneuerung hat und gleichzeitig der differenzierbare Prozeß
S D (t) zufällig einen Wert aus seiner Amplitudenverteilung annimmt oder wenn der Sprungprozeß
S J (t) einen zufälligen Wert annimmt und der differenzierbare Prozeß S D (t) einen Austritt erfährt.
Das ist in Bild 7.19 für die Summe solcher Prozesse dargestellt. Also ist
E £ N + (t)|r, q ¤ ≤ E £ N + J (t)|r, q, s D¤
+ E
£
N
+
D (t)|r, q, s J
¤
(7.6.1)
X1(t)
X2(t)
X1(t)+X2(t)
t
X 1(t) an
X 2 (t ) a n
X 1(t) a n
X 2 (t ) a n
X 1(t ) u n d X 2 (t ) a n
Abb. 7.19.Kombination von Rechteckwellenprozeß mit differenzierbarem Prozeß
Das gilt natürlich auch bei intermittierenden Prozessen für die jeweils aktiven Zustände.
Beispiel 7.6.1: Schlanke Stahlstütze mit Doppel-T-Profil (Eulerfall 1)
194

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
P
1
P
2
P
3
P 4
b
f
0
t
h
d
Abb. 7.20.Stahlstütze unter kombinierten Lasten
Die stochastischen Charakteristika einer Stütze seien mit (F S ,P 1 ,P 2 ,P 3 ,T,B,D,H,F 0 ,E)
Variable Symbol
£
[Ei nheit] Verteilung Mittel/St.abw. κ [1/Jahr] ρ
Streckgrenze F N
¤
S Normal 500/25 - -
mm 2
Eigengewicht P 1 [N] Normal 800000/150000 - -
Last 1 P 2 [N] Normal 400000/141400 0.1 ∞
Last2 P 3 [N] Lognormal 800000/200000 10 1
Last 3 P 4 [N] Normal 400000/141400 - 1
Stegdicke T [mm] Normal 10/0.5 - -
Flanschbreite B [mm] Lognormal 300/3.0 - -
Flanschdicke D [mm] Lognormal 20/2.0 - -
Profilhöhe H [mm] Lognormal 300/5.0 - -
Anfangsexzetrizität F 0 [mm] Normal m F0 /σ F0 - -
E-Modul
E £ ¤
N
Normal 210000/4200 - -
mm 2
mit
m F0 =
q
2∗B∗D+T ∗H
0.5∗B∗D∗H 2 + T ∗H 3
12
20
+ s
500
und
σ F 0 =0.3 ∗ m F0
gegeben. Alle Variablen sind voneinander unabhängig. Die Länge der Stütze beträgt s =6500
[mm]. Eine vereinfachte Zustandfunktion ist
g(x) =F S − P ∗ ( 1 A + F 0
W ∗ ² b
² b − P )
195

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
worin
P = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 (Gesamtlast)
A = 2BD + TH (Fläche)
W = BDH + T H2
(Widerstandsmoment)
6
J = 1 2 BDH2 + T H3 (Trägheitsmoment)
12
² b = π2 EJ
(Eulersche Knicklast)
s 2
Die zeitvarianten Lasten sind stationär. P 2 ist als Rechteckwellenprozeß definiert. P 3 und P 4 sind
intermittierende Lasten, P 3 ebenfalls als ein Rechteckwellenprozeß und P 4 als Gaußprozeß mit
Autokorrelationsfunktion ρ(t 1 ,t 2 )=exp[−α(t 1 − t 2 ) 2 ] und α =1. Der betrachtete Zeitraum ist
100 Jahre. Es gibt 4 Lastkombinationen. Die SORM-Resultate (obere Schranke) sind:
Lastkombination p i P 2 P 3 P 4 ku ∗ k β SORM,u
1 0.25 x x x 4.90 3.61
2 0.25 x x - 5.61 4.57
3 0.25 x - x 7.99 7.41
4 0.25 x - - 10.44 10.37
Gesamt 1.00 - - - - 3.60
Hierin ist β SORM,i = −Φ −1 (p i ν + i ). Wie zu erwarten, dominiert Kombination 1. Die FORM-
Ergebnisse unterscheiden sich nur wenig von den SORM-Ergebnissen.
#
7.7. Kumulative Versagenserscheinungen ∗
Im Vorstehenden war eine wesentliche Voraussetzung, daß es zum Versagen kommt, wenn der
Lastwirkungsprozeß zum ersten Mal innerhalb eines gewissen Zeitintervalls den Grenzzustand erreicht.
Dabei konnten der Grenzzustand bzw. die Widerstandsvariablen durchaus Funktionen der
Zeit sein. Es wurde jedoch angenommen, daß keine gegenseitige Beeinflussung erfolgt. Eine
Alterung der Komponente erfolgte z.B. vollkommen unabhängig von der Lastgeschichte der die
Komponente ausgesetzt war. Das ist nun aber eher der Sonderfall. Häufig sind es gerade die wiederholt
auftretenden Beanspruchungen, die akkumulierende Schädigungen erzeugen, so daß die
Komponente den Beanspruchungen nach einer gewissen Zeit nur noch verminderten Widerstand
leistet. Versagen erfolgt, wenn entweder die Schädigungen einen Grenzwert erreichen oder wenn
eine extreme Beanspruchung auf eine geschädigte Komponente einwirkt.
Beispiel 7.7.1: Materialermüdung (vergl. auch Beispiele 5.5.1 und 5.5.3 sowie Abschnitt 6.3.2)
FürdasRißwachstum gilt wieder die Formel von Paris/Erdogan
da(n)
dn = CY(a)(4s(n)√ (π a(n)) m (1)
worin a(n) die Rißlänge, C und m Materialparameter und s(n) die Fernfeldspannung. Y (a) ist
ein Geometriefaktor, der bei Randrissen in großen Stahlplatten gleich Y (a) =1.12 gesetzt werden
kann. Intergration von Gl. (1) ergibt für m>2
½
a(n) = a 2−m
2
0 + 2 − m
¾ 2
C π m/2 nE[4S m 2−m
]
2
(2)
196

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wobei S(n) als Zufallsbelastung eingeführt wurde und das Zeitintegral auf der rechten Seite nach
dem Ergodensatz (Gesetz der großen Zahlen für Zufallsprozesse) durch den Ensemblemittelwert
ersetzt wurde. a 0 ist die Anfangsrißlänge. Wenn S(n) eine Gaußsche Folge ist mit Mittelwert 0 und
Standardabweichung σ,soistE[4S m ]=(2 √ 2σ) m Γ(1+m/2). Als einfaches Versagenskriterium
kann die Überschreitung einer kritischen Rißlänge a cr genommen werden. Also ist
V = {a cr − a(n) ≤ 0} (3)
Oft ist es schwierig die richtige kritische Rißlänge festzulegen.
#
Schwierig sind Zuverlässigkeitsprobleme bei denen kumulative Erscheinungen zusammen mit extremen
Beanspruchungen auftreten. In diesem Fall ist es nämlich notwendig das Versagenskriterium
wieder im Raum der Lastwirkungen zu formulieren. Im Augenblick des Versagens ist der
Grenzzustand strenggenommen nicht nur von der ganzen Beanspruchungsgeschichte abhängig,
die augenblickliche Schädigung hängt darüberhinaus von der augenblicklichen Beanspruchung
ab. Selbst wenn man Regularität des Versagensprozesses und damit auch eine gewisse Glattheit
des Beanspruchungs- und des Schädigungsprozesses voraussetzt, ergibt sich eine außerordentlich
komplizierte Abhängigkeitsstruktur. Eine Lösung mithilfe der Methode der Austrittsraten wird
möglich, wenn man für denSchädigungsprozeß die Gültigkeit des ergodischen Resultats in Gl.
(7.7.7) annehmen kann und natürlich auch der Beanspruchungsprozeß die erforderlichen Regularitätseigenschaften
besitzt.
Beispiel 7.7.2: Materialermüdung unter Impulsbelastung
Als Beispiel wählen wir einen viel verwendeten Sonderfall der Gl. (7.7.1)
dx(t)
dt
= Cx(t)z(t) (1)
z(t) bezeichne einen stationären, impulsförmigen Prozeß mit Erneuerungsrate λ und Verteilungsfunktion
F (z) für die unabhängigen Amplituden wie in Bild 7.22 gezeichnet. C ist eine Konstante.
Intergration nach Separation und Verwendung von Gl. (7.7.7) ergibt
bzw. nach Auflösung nach x(t)
ln x(t) − ln x(0) = CtE[Z(τ)] (2)
x(t) =x(0) exp[C tE[Z]] (3)
Hierbei ist x(0) der ’’Anfangsschaden’’. Ein Objekt mit der Anfangsfestigkeit r hat also zum
Zeitpunkt τ ≥ 0 die ’’Restfestigkeit’’
Der Versagensbereich ist offensichtlich
r(τ) =r(0)(1 − x(0) exp[C τ E[Z]]) (4)
r(0)
V (τ) ={r(τ) − z(τ) ≤ 0} (5)
197

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die Austrittsrate entsprechend Gl. (7.2.2.2) ist demnach
ν + (τ) =λ(1 − F Z (r(τ))) (6)
Die Versagenswahrscheinlichkeit im Intervall [0,t] ist dann nach Gl. (7.4.6)
P f (t) ∼ 1 − exp[−N + (t)] = 1 − exp[−
Z t
0
λ{1 − F Z (r(τ))}dτ] (7)
X (τ)
R(τ )
τ
T 1
T
2
T
3
t
Abb. 7.21.Versagenswahrscheinlichkeit bei zeitvariantem Festigkeitsniveau
In der Regel wird der Anfangsschaden r(0) und die Konstante C als Zufallsvariable zu modellieren
sein. Dann macht man besser von Gl. (7.4.9) Gebrauch, d.h.
·Z t
¸
P f (t) ≤ E R(0),C λ{1 − F Z (r(τ))}dτ
(8)
0
#
Im Extremfall ist aber die Beanspruchbarkeitsfunktion noch nicht ’’ausgemittelt’’ und glatt. Sie hat
einen idealisierten, treppenartigen Verlauf bei dem die ’’Treppenkanten’’ mit den Beanspruchungen
zeitlich übereinstimmen. Die Höhe der Treppen hängt von der Höhe der augenblicklichen
Beanspruchung und der Beanspruchungsvorgeschichte ab. Lösungen liegen für diesen Fall kaum
vor.
198

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 8.
Zuverlässigkeit von Tragwerken
8.1. Lineare, statische Systeme
Die folgenden Betrachtungen können nur das Grundsätzliche von Zuverlässigkeitsaufgaben bei
Tragsystemen erläutern. Auf numerische Probleme sowohl mechanischer Art als auch im Hinblick
auf die Zuverlässigkeitsberechnungen wird nicht eingegangen. Sie sind bisher auch nur z.T. gelöst.
Wir betrachten ein in finite Elemente diskretisiertes linear-elastisches Tragwerk. Nach der Verschiebungsmethode
ist das Gleichgewicht für
K(X)V(X) − P(X) =0 (8.1.1)
gegeben. Darin ist K(X) die (symmetrische und positiv definite) Steifigkeitsmatrix, V(X) der
Vektor der unbekannten Knotenpunktsverschiebungen und P(X) der Vektor der in den Knotenpunkten
angreifenden Lasten. X ist wie üblich der Vektor der unsicheren Basisvariablen. Alle
Größen werden in Großbuchstaben geschrieben, wenn es sich um unsichere Variable handelt. Die
Formulierung (8.1.1) ist nur ein Beispiel aus einer Vielzahl von ähnlichen, diskretisierten Formulierungen
für andere Probleme, etwa die Wärmeleitung oder die Grundwasserströmung. Die
Lösung von Gl. (8.1.1) ist in formaler Schreibweise
V(X) =K −1 (X)P(X) (8.1.2)
Jede Ausgangsgröße, z.B. Verformungen, Schnittgrößen oder Spannungen kann in der Form
Z(X) =A(X)V(X)+Z o (X) =A(X)K −1 (X)P(X)+Z o (X) (8.1.3)
geschrieben werden. A(X) ist darin eine Matrix, die die Verschiebungen mit den eigentlich interessierenden
Ausgangsgrößen verknüpft. Wenn die Verschiebungen als Ausgangsgrößen gewählt
werden, ist A(X) =I. IndiesemFallwäre Z o (X) als Vektor der Vorverformungen aufzufassen.
Zur Vereinfachung der Darstellung wollen wir im weiteren auch nur diesen Fall genauer betrachten
und werden zudem meist noch Z o (X) =0setzen. Wir beachten weiter, daß alle Vektoren
und Matrizen derart expandiert werden, daß die entsprechenden Matrixmultiplikationen definiert
sind und daß alle Größen nach entsprechender Transformation (Translation und Rotation) in einem
einheitlichen globalen Koordinatensystem gegeben sind. Wie üblich kann man nun die i-te
Zustandsfuntion als
g i (Z(X)) ≤ 0 (8.1.4)
formulieren in der die unsicheren Widerstandsgrößen ebenfalls in den Vektor X mit Z(X) =X
eingehen. Versagen des Systems kann dann durch die Vereinigung, den Durchschnitt oder eine
Kombination der verschiedenen Versagensbereiche beschrieben werden.
Im Hinblick auf Anwendungen mit FORM/SORM ist eine effiziente Berechnung des Gradienten
∇g z von besonderem Interesse. Für die Bestimmung der Jacobimatrix der Antwortvariablen J z , x
seien die Vektoren
· ∂z
¸T ·∂z1
= , ∂z 2
, ∂z 3
, ......, ∂z ¸
m
(8.1.5)
∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i
199

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
definiert, die die Spalten der Matrix J z , x darstellen. Deren Ableitung nach der Variablen x i ist
und die Ableitungen der Verschiebungen nach x i sind
Differenziation von KK −1 = I nach x i ergibt
∂z
= ∂A V + A ∂V + ∂zo
(8.1.6)
∂x i ∂x i ∂x i ∂x i
∂V
= ∂K−1 −1 ∂P
P + K (8.1.7)
∂x i ∂x i ∂x i
∂K −1
∂x i
−1 ∂K
= −K K −1 (8.1.8)
∂x i
Damit erhält man:
∂z
= ∂A ·
V + AK −1 − ∂K V + ∂P ¸
+ ∂zo
(8.1.9)
∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i
Das zweite Glied dieser Gleichung stellt ein Gleichungsystem für die Ableitungen nach jeder Variablen
x i (i =1,...,n) dar. Wenn man für die Bestimmung der Verschiebungen die Steifigkeitsmatrix
zerlegt hat (wie in einem Choleskyschen Verfahren), muß man das Gleichungsystem nur für
n ’’Lastfälle’’ lösen, wenn n die Dimension des Vektors X ist. Durch zweimaliges Transponieren
der Gl. (8.1.9) bekommt man unter Verwendung von ((ABC) T ) T =(C T B T A T ) T schließlich:
∂z
= ∂A V +
∂x i ∂x i
"·
− ∂K
∂x i
V + ∂P
∂x i
¸T
K −1 A T # T
+ ∂zo
∂x i
(8.1.10)
Es ist manchmal von Vorteil, die Berechnung der Ableitungen der Zustandsfunktion g(z(x)) nach
den Basisvariablen direkt vorzunehmen. Die Ableitung dieser Funktion nach der Variablen x i unter
Verwendung von Gl. (8.1.7) ist:
∂g
= ∇ z g T ∂z
¸
·
·∂A
= ∇ z g T V + ∂zo + ∇ z g T AK −1 − ∂K V + ∂P ¸
(8.1.11)
∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i
Hierin ist ∇ z g der Gradient der Zustandsfunktion nach der Variablen z. Nach dem Transponieren
erhält man
¸ ·
∂g
·∂A
= ∇ z g T V + ∂zo + − ∂K V + ∂P
¸T
K −1 (A T ∇ z g) (8.1.12)
∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i
Es ist klar, daß eine solche direkte Methode zur Berücksichtigung von Unsicherheiten sowohl in
den Einwirkungen als auch im System nur mit leistungsfähigen Computern Aussicht auf praktische
Machbarkeit hat. Beliebige stochastische Modelle können verarbeitet werden. Die bisher vorliegenden
Untersuchungen von linear-elastischen Systemen mit unsicheren Eigenschaften haben
jedoch gezeigt, daß der Einfluß unsicherer Systemeigenschaften auf die Versagenswahrscheinlichkeit
eines Tragwerkes in der Regel klein bis sehr klein ist. Man kann daher bei linear-elastischen
Tragwerken oft mit einer konstanten, deterministischen Steifigkeitsmatrix rechnen was wesentli-
200

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
che Vereinfachungen ergibt, da nunmehr nur der Lastvektor und natürlich die Widerstandsgrößen
zufällig sind.
Überschreiten der Elastizitätsgrenze bedeutet Systemversagen nur, wenn es sich um statisch bestimmte
Tragwerke mit ideal spröden Elementen handelt. Wenn m die Anzahl der Elemente ist, ist
offenbar Systemversagen durch die Vereinigung aller Elementversagensereignisse definiert.
8.2. Nicht-lineare, statische Systeme ∗
Die Behandlung von nichtlinearen Tragwerken ist formal nur wenig komplizierter, in der numerischen
Rechnung jedoch immer außerordentlich rechenintensiv. Es sei angenommen, daß geometrische
Nichtlinearitäten durch die sogenannte geometrische Steifigkeitsmatrix K G (N) erfaßt
werden können mit N den jeweiligen Normalkräften (Membrankräften). Mechanische Nichtlinearitäten
wirken sich bei der quasi-elastischen Steifigkeitsmatrix aus. Sie ändert sich mit dem
Verformungszustand des Tragwerks. Man muß daher iterativ vorgehen. Dann ist
mit
[K E (X, v ν )+K G
(N(X) ν )] v(X) ν+1 = P(X) ν (8.2.1)
S ν+1 (X) =[K E (X, v ν )+K G
(N(X) ν )] v(X) ν+1 (8.2.2)
für dieν − te Iteration. Hierin sind die S ν+1 (X) die Schnittgrößen (Spannungen, etc.) an den
Elementrändern. Die Iteration muß gleichzeitig in den Verschiebungen und den Schnittgrößen
erfolgen und zwar für einen vorgegebenen Lastpfad für jedes vorgegebene Lastinkrement 4P.
Die Iteration wird jeweils beendet, wenn sowohl die Verschiebungen als auch die Schnittgrößen
einen stationären Wert erreichen. Das Gleichungssystem (8.2.1) ist für jedes Lastinkrement und
in jeder Verformungsiteration zu lösenist. WenndieÄnderungen von Iteration zu Iteration klein
sind kann man sich gewisser Techniken bedienen, die die Rechnung abkürzen können. Sie laufen
im wesentlichen auf ein ’’Updating’’ der Steifigkeitsmatrix bzw. ihrer Inversen hinaus. So sei
beispielsweise am Anfang der Iteration die inverse Steifigkeitsmatrix einmal berechnet worden,
d.h. es ist
v 0 (X) = £ K E (X, v 0 )+K G
(N(X) 0 ) ¤ −1
P 0 (X) (8.2.3)
Hierbei bezieht sich der Fußzeiger auf das Lastinkrement und der Kopfzeiger auf die Verformungsiteration
bei gegebener Last. Ändert sich nun die Steifigkeitsmatrix K (i) um ∆K (i) , entweder weil
ein neues Lastinkrement genommen wurde oder weil sie sich an neue Verformungen anpassen muß,
so gilt z.B.
K −1( i+1) = K −1( i) + ∆K −1(i) ≈ K −1( i) +(−K −1( i) ∆K ( i) K −1( i)
(8.2.4)
Dies ist nur eine der einfachsten ’’Update’’-Formeln und auch nur für sehrkleineÄnderungen
∆K (i) ausreichend. Sie wird mit Überlegungen der Störungsrechnung abgeleitet. Immerhin ersetzt
man hier die Matrixinversion bzw. das Lösen einer Gleichung durch zwei Matrixmultiplikationen.
Die Gesamtsteifigkeitsmatrix kann singulär werden. Das bedeutet mechanisch, daß das Tragwerk
durch Instabilität oder Mechanismusbildung gefährdet ist. Vor allem in der Nähe der Singularität
können erhebliche numerische Probleme auftreten. Tatsächlich machen die für die lineare Rechnung
eingeführten Versagenskriterien bei geometrisch oder mechanisch nichtlinearen Tragwerken
201

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
kaum noch Sinn. Ein Kollaps des Tragwerks bedeutet mathematisch Singularität der Gesamtsteifigkeitsmatrix
und das bedeutet, daß ein Eigenwertproblem zu lösen ist. Es sei λ ν (X) der Vektor
der Eigenwerte des Problems
bzw.
[K E (X, v ν )+K G
(N(X) ν )] v ν+1 =0 (8.2.5)
det [K E (X, v ν )+K G
(N(X) ν )] = 0 (8.2.6)
Offensichtlich muß dann die Versagenswahrscheinlichkeit des Systems nach
à N
!
[
P f = P λ ν m(X) ≤ 0
m=1
(8.2.7)
berechnet werden mit N der Anzahl der Freiheitsgrade im System. Im allgemeinen sind zumindest
einige der N kleinsten Eigenwerte zu berechnen. Sie gelten für den Gesamtkollaps des Tragwerks.
Es ist also gar nicht mehr möglich, die Zuverlässigkeit durch Überprüfung von Querschnitten oder
bestimmten Punkten im Tragwerk zu gewährleisten. Darüberhinaus muß aber noch sichergestellt
werden, daß es zu keinem Teilkollaps, z.B. durch lokale Mechanismusbildung oder lokale Instabilität,
kommt. Ein einfaches Beispiel, bei dem einige Komponenten des Tragwerks, nämlich
bestimmte Kombinationen der plastischen Momente in ’’kritischen’’ Zonen, für ein Tragwerksversagen
verantwortlich sind, wurde schon in Beispiel 5.4.2 vorgestellt. Bei größeren Tragsystemen
gibt es eine sehr große Anzahl solcher Teilversagensereignisse, die aus ingenieurmäßiger Sicht in
der Regel sämtlich Versagen des Gesamttragwerks bedeuten. Die durch das Teilversagen ausgelösten
dynamischen Wirkungen können mit dieser Tragwerkstheorie nicht erfaßt werden.
8.3. Modellierung unsicherer Eigenschaften in Tragsystemen
In deterministischen Berechnungen werden die Systemeigenschaften und die Lasten durch deterministische
Felder modelliert. Meistens werden diese Felder als konstante Felder angenommen,
so daß ein einziger deterministischer Vektor das gesamte Feld beschreibt. Beispielsweise wird
der Elastizitätsmodul einer Platte nur durch einen einzigen Wert erfaßt. Für die Erfassung der
räumlichen Streungen der Systemeigenschaften oder Lasten ist es notwendig, diese Größen als
stochastischen Felder zu modellieren. Die vorstehenden Ansätze erfordern jedoch mindestens eine
Modellierung durch Zufallsvektoren für jedes finite Element. Die Streuungen innerhalb eines
Elementes können nicht berücksichtigt werden. Es ist daher notwendig die Beschreibung durch
Zufallsfelder auf eine Beschreibung durch Zufallsvektoren durch gewisse Mittelbildung zu reduzieren.
Im folgenden wird nur die Vorgehensweise für die Systemeigenschaften beschrieben. Für
Lasten und gegebenenfalls Massen oder Dämpfungen gelten ähnliche Überlegungen.
Für die Diskretisierung eines stochastischen Feldes durch stochastische Variable sind zwei Überlegungen
von Bedeutung. Erstens muß die Korrelationsstruktur des Feldes nach der Diskretisierung
erhalten bleiben. Zweitens hängt die optimale Anzahl der stochastischen Variablen von der
Korrelationsstruktur des Feldes ab. Eine zu feine Diskretisierung, die von der mechanischen Seite
her erforderlich sein mag, erzeugt hochkorrelierte stochastische Variablen, die nicht nur mehr
Aufwand in den Berechnungen erfordern sondern auch zu numerischen Instabilitäten führen können
und kaum genauere Ergebnisse liefern können. Eine zu grobe Diskretisierung unterschätzt
202

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
die räumlichen Streuungen. Die FE-Diskretisierung und die stochastische Diskretisierung müssen
nicht übereinstimmen, d.h. eine Systemeigenschaft kann für benachbarte Elemente durch nur eine
Variable modelliert werden oder die Eigenschaft der Elemente werden durch mehrere stochastische
Variable beschrieben.
In der neueren Literatur gibt es eine ganze Anzahl von Vorschlägen wie man Zufallsfelder durch
’’äquivalente’’ Zufallsvektoren ersetzen kann und dabei Kompatibilität des Zufallsfeldes auch an
den Elementrändern sichert. Sie können hier nicht im Einzelnen präsentiert werden. Der einfachste
Ansatz ist zweifellos die zufällige Eigenschaft eines Elementes durch ihren Wert im geometrischen
Mittelpunkt des Elementes anzunähern. Das ist auch die in der Praxis häufigste, aber
recht grobe Näherung. Eine etwas genauere Näherung entsteht durch einfache Mittelung des Zufallsfeldes
über das Element. Noch genauer wird man, wenn eine gewichtete Mittelung erfolgt,
wobei die Gewichtsfunktion z.B. der Ansatzfunktion für den Verformungsverlauf im Element entspricht.
Hierzu sind einige Angaben in Abschnitt 6.1.6 enthalten. Neuerdings hat man noch wesentlich
bessere Ansätze erarbeitet[62] . Bei nichtnormalen Zufallsfeldern führt eine Mittelung
nicht notwendigerweise auch zu normalverteilten ’’äquivalenten’’ Zufallsvektoren nach dem zentralen
Grenzwertsatz. In jedem Fall ist die Ermittlung der Korrelationen zwischen den Elementen
erforderlich.
8.4. Zuverlässigkeitsberechnungen statisch beanspruchter Tragsysteme
Die Bestimmung von Lastwirkungen (Spannungen, Schnittgrößen, Verformungen) in deren Raum
die Grenzzustandsfunktion formuliert werden muß, ist nichts anderes als die bereits in Abschnitt
3.2.4 angesprochene, allgemeine Transformation z(x), wobei x hier die Einwirkungen in weiterem
Sinne darstellt. Wenn die eigentlichen Zuverlässigkeitsberechnungen im u-Raum ausgeführt
werden, hat man zusätzlich noch die Verteilungstransformation anzuwenden. Hierfür geben die
Gl. (3.2.4.13) bis Gl. (3.2.4.16) nützliche Hinweise. Ansonsten ist der Theorie der Zuverlässigkeit
von Tragsystemen nichts hinzuzufügen außer der Anmerkung, daß konkrete Berechnungen
sehr aufwendig werden können.
Beispiel 8.4.1: Zuverlässigkeit des Danielssystems
Das Danielssytem wurde bereits in Beispiel 4.4.5 behandelt. Dort ging es im wesentlichen um methodische
Fragen. Große Systeme wurden in Kapitel 6.3.1 behandelt. Hier soll nun der Einfluß
des Redundanzgrades und der Sprödigkeit der Komponenten veranschaulicht werden. Hierzu geben
wir verschieden spröde Kraftverformungslinien der Komponenten, etwa wie in Abb. 8.1 vor.
Ansonsten gelten die Annahmen von Beispiel 4.4.5. Festigkeit und Verformung am Festigkeismaximum
sind voll korreliert. FüreineLastderGröße s istimEinzelnen:
Für das ideale Parallelsystem gilt bekanntlich
à n
!
\
P f = P {X i ≤ s}
(1)
i=1
Bei ideal-plastischem Komponentenverhalten ist
à nX
!
P f = P {X i ≤ s}
i=1
(2)
203

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 8.1.Kraft-Verformungslinien unterschiedlicher Sprödigkeit
und für ideal-sprödes Verhalten nach Gl. (2) in Beisiel 4.4.5
Ã
\ n n
P (n − k +1)ˆX k ≤ so ! (3)
k=1
Für dazwischen liegendes Verhalten wird Gl. (2) in der Form
Ã
!
nX
P f = P max {X i (δ) ≤ s}
δ
i=1
(4)
verwendet. Der Vollständigkeit halber ist auch der Ausdruck für das Seriensystem angegeben.
à n
!
[
P f = P {X i ≤ s}
(5)
i=1
Abb. 8.2 zeigt das Ergebnis. Das Seriensystem ist natürlich am unzuverlässigsten. Am zuverlässigsten
ist das ideale Parallelsystem Gl. (1). Bei möglichen Lastumlagerungen hängt die Zuverlässigkeit
sehr stark vom Materialverhalten ab. Je duktiler das Komponentenverhalten umso kleiner
wird die Systemversagenswahrscheinlichkeit. Interessant ist der Fall des ideal elasto-spröden Systems.
Die Systemversagenswahrscheinlichkeit nimmt zunächst mit der Systemgröße zu und nur
allmählich ab. Daraus schließt man,daß Redundanz die Systemversagenswahrscheinlichkeit nur
spürbar verkleinert wenn gleichzeitig auch ausreichende Duktilität der Komponenten gegeben ist.
Damit hat man auch eine Umschreibung, oder besser, Definition für den Begriff der ’’Robustheit’’.
Ein System ist robust, wenn es ausreichende Redundanz bei gleichzeitiger Duktilität seiner Komponenten
aufweist.
#
Beispiel 8.4.2: Versagensbaumanalyse eines redundanten Fachwerks
Bei allgemeinen redundanten Tragwerken kann eine Zuverlässigkeitsanalyse eigentlich nur unter
speziellen Annahmen für das Tragverhalten der Komponenten durchgeführt werden, und zwar muß
204

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 8.2.Äqivalenter Zuverlässigkeitsindex β sys = −Φ(P f,sys ) für verschieden spröde Systeme
die Komponente entweder ideal-spröd versgagen oder aber muß sich ideal-elastoplastisch verhalten.
Die Analyse ist den Konzepten der Ereignis- bzw. Fehlerbaumanalyse verwandt. Sie beruht
auf der Identifikation und Analyse der möglichen Folgen von Versagenszuständen der Komponenten
(Versagenspfade) beginnend mit der intakten Struktur und endend mit einem Zustand bei dem
die Steifigkeitsmatrix singulär wird oder sich ein Mechanismus bildet. Die Ereignisse (Zustandsänderungen)
entlang eines Versagenspfades müssen als bedingte Ereinisse dargestellt werden, da
nach jeder Zustandsänderung einer Komponente sich das mechanische Verhalten des Systems ändert.
Die Beanspruchung der verbleibenden Komponenten erhöht sich. So ist z.B. auf dem i-ten
Versagenspfad
F i+1 = F 1 ∩ F 2|1 ∩ F 3|1∩2 ∩ ... ∩ F i|1∩2∩...∩i−1 ∩ F i+1|1∩2∩...∩i
Die Notation F i|1∩2∩...∩i−1 soll darauf hinweisen, daß sich jeweils das mechanische Verhalten änderte.
Die Untersuchung auf diesem Wege kann sehr aufwendig werden, insbesondere wenn es viele
verschiedene Versagenspfade gibt. Abb. 8.3 zeigt ein einfacheres Beispiel, welches aber schon
auf eine relativ große Anzahl von Versagenspfaden führt [117] . Dabei sind nicht einmal alle Versagenspfade
bis zum Systemkollaps dargestellt. Murotsu [118] führte die Idee des Verzweigens und
Abschrankens (branch and bound) ein. Die Idee ist die Analyse nur auf die wichtigsten Versagenspfade,
d.h. jene mit der größten Versagenswahrscheinlichkeit, zu konzentrieren. Man bricht einen
Versagenspfad mit kleiner Versagenswahrscheinlichkeit schon vor dem Kollaps ab. So ist in Abb.
8.3 z.B. der Pfad (6-), (2+), (5-) schon nach dem ersten Komponentenversagen abgebrochen. Die
Vorzeichen in Abb. 8.3 bezeichnen Zug- bzw Druckversagen. Für einen bestimmten Versagenspfad
muß natürlich die Belastung monoton wachsen. Der Algorithmus führt auf eine bestimmte
Anzahl kompletter Versagenspfade, die hoffentlich den kritischen Versagenspfad enthalten, und eine
in der Regel viel größere Anzahl unvollständiger Pfade. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung
205

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
der komplettierten Versagenspfade ergibt eine untere Grenze für die Systemversagenswahrscheinlichkeit,
die Wahrscheinlichkeit aller (begonnenen und komplettierten) Versagenspfade ergibt eine
obere Grenze. In der Praxis kann man sich häufig auf wenige und unvollständige Versagenspfade
beschränken.
Abb. 8.3.Versagenspfade in einem Fachwek
8.5. Zuverlässigkeit dynamischer, deterministischer Strukturen
unter Gaußscher Belastung ∗
8.5.1. Einläufiger Schwinger
Dynamische Beanspruchungen gibt es in Tragwerken, wenn Massenkräfte geweckt werden. Sie
kommen z.B. bei Anprallstößen, Erschütterungen durch Fahrzeuge, durch Maschinen mit Unwuchten,
bei Beanspruchung durch Wind, Wellen oder Erdbeben vor. Bild 8.4 zeigt einen einfachen
Schwinger.
Dynamisches Gleichgewicht ergibt die Differentialgleichung (noch ohne Fußpunkterregung)
m x ..
(t)+c ẋ (t)+kx(t) =p(t)+q (8.5.1.1)
206

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
x
p(t)
q
z
y=x-z
c
k
Abb. 8.4.Einläufiger Schwinger mit viskoser Dämpfung
Darin ist m die Masse,c die Dämpfungskonstante, k die Federsteifigkeit, p(t) eine zeitabhängige
Anregung und q eine konstante Kraft. Mit y = x − z erhält man nach Umformung
..
y (t)+2ξω 0
ẏ (t)+ω 2 0y(t) =f(t)− ..
z (t)+y 0 ω 2 0 (8.5.1.2)
mit der Kreisfrequenz ω 2 0 = k/m, dem Dämpfungsverhältnis c/(2mω 0) und f(t) =p(t)/m.
Die Lösung dieser nicht-homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung kann als Überlagerung
der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung, d.h. mit f(t) =0für t

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit h(t − τ) in Gl.(8.5.4) und
g(t) ={ 0 für t ≤ 0
exp [−ξω 0 t][cos(ω d t)+ω d sin(ω d t)] für t ≥ 0
(8.5.1.7)
Die ersten beiden Terme in Gl. (8.5.6) erfassen die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t =0.
g(t) ist die Antwortfunktion auf eine Einheitsauslenkung zum Zeitpunkt τ.
1
0.5
0
0.5
h(t-1)
g(t-1)
1
0 5 10 15 20
Abb. 8.5.Impulsantwortfunktionen
Wenn F (t) ein Gaußscher Prozeß ist, ist auch die Antwort des linearen Systems ein Gaußscher
Prozeß. Bei stationärer Anregung ist der Einfluß der Anfangsbedingungen nach gewisser Zeit
verschwunden.
F (t) =p(t)/m habe nun die Mittelwertsfunktion m F (t) und die Autokovarianzfunktion C F (t 1, t 2 ).
Anwendung der Erwartungswertoperationen auf Gl. (8.5.5) ergibt die entsprechenden Größen des
Systemausgangs:
m Y (t) =
Z +∞
−∞
t
m F (t)h(t − τ)dτ (8.5.1.8)
C Y (t 1, t 2 )=
+∞ ZZ
C F (t 1, t 2 )h(t 1 − τ 1 )h(t 2 − τ 2 )dτ 1 dτ 2 (8.5.1.9)
−∞
Im stationären Fall zeigt man, daß:
Z +∞
m Y (t) =m F h(τ)dτ = m F /ω 2 0 (8.5.1.10)
−∞
C Y (τ) =
+∞ ZZ
R P (τ − τ 1+ τ 2 )h(τ 1 )h(τ 2 )dτ 1 dτ 2 (8.5.1.11)
−∞
Dieser stationäre Zustand wird zunächst näher betrachtet. Die Faltungsoperationen in Gl. (8.5.8)
und Gl. (8.5.9) legen nahe auch eine Lösung im Frequenzbereich zu versuchen und zwar definieren
wir den harmonischen Eingang als:
F (t) =cosωt + i sin ωt = e iωt (8.5.1.12)
208

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Der Ausgang habe die Form y p (t) =y p (0) exp [iωt] . Einsetzen in Gl. (8.5.2) ergibt:
woraus
oder
(−ω 2 +2iξω 0 ω + ω 2 0)y p (0) = 1 (8.5.1.13)
y p (0) = (ω 2 0 − ω 2 +2iξωω 0 ) −1 = H(ω) (8.5.1.14)
y p (t) =H(ω)e iωt (8.5.1.15)
Also ist auch der Ausgang harmonisch aber durch H(ω) ’’vergrößert’’. An der Stelle ω 0
q(1 − ξ 2 )
bzw. für kleine ξ bei ω 0 besitzt |H(ω)| 2 ein Maximum von der Größe ¯
q(1 ¯2ξ −2
− ξ 2 )
¯ ≈ |2ξ| −2 .
Für ω =0hat die Vergrößerungsfunktion den Wert 1. Bild 8.5 veranschaulicht das Aussehen der
’’dynamischen Vergrößerungsfunktion’’ für verschiedene Dämpfungen. Tabelle 8.1 enthält eine
Zusammenstellung der in Anwendungen vorkommenden Eingangs-Ausgangsbeziehung.
30
|Η(ω)|
2
20
10
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ω/ω ο
Abb. 8.6.Übertragungsfunktion für verschiedene Dämpfungsverhältnisse (ξ =0.05, 0.1, 0.2)
209

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
0 Eingang Ausgang H(Ω) |H(Ω)| 2
1+2iξΩ
1 z x
H 0
(1 + 4ξ 2 Ω 2 )H0
−2
2 z y − Ω2
H 0
Ω 4 H0
−2
.
1 1+2iξΩ
1
3 z x
ω H 0
(1 + 4ξ 2 Ω 2 )H −2
ω 2 0
..
1 1+2iξΩ
1
4 z x
ω 2 H 0
(1 + 4ξ 2 Ω 2 )H −2
ω 4 0
..
.
1 1+2iξΩ
1
5 z
x
ω H 0
(1 + 4ξ 2 Ω 2 )H −2
ω 2 0
..
..
1+2iξΩ
6 z
x
H 0
(1 + 4ξ 2 Ω 2 )H0
−2
..
Ω
7 z y
H 0
Ω 2 (1 + 4ξ 2 Ω 2 )H0
−2
1
8 p x
H 0
H0
−2
.
ω
9 p
x
H 0
ω 2 H0
−2
..
10 p
x
− ω2
H 0
ω 4 H0
−2
11 H 0 =1− Ω 2 +2iξΩ H0 2 =(1− Ω 2 ) 2 +4ξ 2 Ω 2 Ω = ω/ω o
Tabelle 8.1: Übertragungsfunktionen für verschiedene Formen des Systemeingangs und -ausgangs
Für die allgemeine Lösung gehen wir wie folgt vor. Jede stetige (komplexe) Funktion kann durch
eine unendliche Überlagerung von Harmonischen gewonnen werden.
X(t) =
Z +∞
−∞
X(ω)e iωt dω (8.5.1.16)
DieInversehierzuist:
X(ω) = 1 Z +∞
X(t)e −iωt dω (8.5.1.17)
2π −∞
Das ist aber die Fouriertransformierte nach X(ω) von X(t) und umgekehrt. Demnach heißt das
Äquivalent zu Gl. (8.5.6)
y(t) =
Z +∞
−∞
H(ω)X(ω)e iωt dω (8.5.1.18)
Führt man eine anloge Betrachtung für X(t) =δ(t) bei t =0durch, so stellt man fest, daß auch
h(t) und H(ω) zusammengehörige Fouriertransformationen sind (man beachte aber die Position
des Faktors 2π) :
h(t) = 1 Z +∞
H(ω)e iωt dω (8.5.1.19)
2π −∞
Also ist mit λ =(τ − τ 2 + τ 1 )
H(ω) =
Z +∞
−∞
h(t)e −iωt dt (8.5.1.20)
m y (t) =m X H(0) (8.5.1.21)
210

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und
S Y (ω) = 1 ZZZ +∞
R X (λ)h(τ 1 )h(τ 2 )e −iωt dτ 1 dτ 2 dλ
2π −∞
Z +∞
Z +∞
Z +∞
= h(τ 1 )e iωτ 1
dτ 1 h(τ 2 )e −iωτ 2
1
dτ 2
−∞
−∞
−∞ 2π R X(λ)e −iωλ dλ
= H(ω)H ∗ (ω)S X (ω) =|H(ω)| 2 S X (ω) (8.5.1.22)
R Y (τ) =
Z +∞
−∞
S Y (ω)e iωτ dω =
Z +∞
−∞
|H(ω)| 2 S X (ω)e iωτ dω (8.5.1.23)
Der Zusammenhang (8.5.24) ist in Abb. 8.6 für ein Eingangsspektrum, welches näherungsweise
dem Unebenheitsspektrum von Fahrbahnen entspricht, dargestellt. Die Auswertung der Integrale
in den Gleichungen (8.5.24) bis (8.5.26) muß in der Regel numerisch erfolgen.
1
G(ω)
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
15
|Η(ω)|
2
10
5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
4
3
|Η(ω)|
2
G(ω)
2
1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ω/ω ο
Abb. 8.7.Spetrum der Einwirkung, Übertragungsfunktion und Spektrum der Auswirkung
Für τ =0werden die spektralen Momente des Ausgangsprozesses und seiner Ableitungen gewonnen:
211

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Var £ Y (n)¤ = λ (2n) =
Z +∞
−∞
ω 2n S Y (ω)dω (8.5.1.24)
Beispiel 8.5.1.1: Beanspruchung durch weißes Rauschen
Die Beanspruchung durch eine Kraft Q(t) =p(t)/m sei stationäres weißes Rauschen mit dem
Mittelwert Null und der spektralen Dichte
bzw. der Autokorrelationsfunktion
S Q (ω) =S 0 (1)
R Q (τ) =2πS 0 δ(τ) (2)
Man beachte, daß die spektralen Momente des weißen Rauschens nicht existieren. Mit E [Q(t)] =
0 ist auch E [Y (t)] = 0. Die spektrale Dichte des Verformungsausgangs ist durch Anwendung von
Gl. (8.5.25) bzw. Tabelle 8.1, achte Zeile
S Y (ω) =S 0
£
(ω
2
0 − ω2 ) 2 +4ξω 2 0 ω2¤ −1
mit der zugehörigen Autokorrelationsfunktion:
"
#
R Y (τ) = π S 0
ξ
exp [−ξω 0 τ] cos ω d τ)+ p
2
sin(ω dτ)
1 − ξ
2
ξω 3 0
(3)
(4)
Die spektralen Momente werden durch Integration nach Gl. (7.2.4.16) mit Hilfe des Residuensatzes
der Integraltheorie ermittelt:
Z +∞
λ 0 Y = σ2 Y = S Y (ω)dω = π 2
−∞
S 0
ξω 3 0
(5)
λ 1 Y =
Z +∞
−∞
ω 1 S Y (ω)dω =
cos−1 ξ
ω 2 0ξ p 1 − ξ 2 (6)
Z +∞
λ 2 Y = σ 2 . = ω 2 S Y (ω)dω = π S 0
= λ 0 Y Y ω 2 0 (7)
−∞
2 ξω 0
Man beachte, daß die spektralen Momente für ξ → 0 über alle Grenzen wachsen. Bekanntlich ist
nach Gl. (7.2.4.20) (Hinweis auf die Ausgangsgröße Y weggelassen)
µ λ
2
1/2
Ω 0 =
(8)
λ 0
ein Größe, die den ’’Frequenzradius’’, das heißt die vorherrschende Frequenz, quantifiziert. Interessanterweise
existiert das vierte spektrale Moment nicht, was bedeutet, daß Ẏ nicht differenzierbar
ist. Damit kann der übliche Bandbreitenparamter α = λ 2 /(λ 0 λ 4 ) 1/2 bzw. ² =(1− α 2 ) −1/2
212

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
(α → 1 für ideal schmalbändige Prozesse und α → 0 für ideal breitbändige Prozesse und umgekehrt
für den Paramter ²) nicht berechnet werden. Mit der Kenntnis von λ 1 Y kann jedoch ein neuer
Bandbreitenparameter (δ → 0 für ideal schmalbändige Prozesse und δ → 1 für ideal breitbändige
Prozesse) definiert werden:
δ =
µ
1 −
λ 1
(λ 0 λ 2 ) 1/2 1/2
= 2 π
cos −1 ξ
p
1 − ξ
2 ≈ 1 − 2ξ
π
Ideal weißes Rauschen ist physikalisch nicht realisierbar. Man führt zweckmäßigerweise eine
Bandbegrenzung ein.
#
Beispiel 8.5.1.2: Beanspruchung durch bei ±ω c bandbegrenztes weißes Rauschen
Die Annahmen für Beispiel 8.5.1.1 führten zu physikalisch nicht sinnvollen Ergebnissen fürdiehöheren
Ableitungen des Ausgangsprozesses. Man kann diese Inkonsistenz durch bei |ω c | > |ω 0 | >
0 begrenztes weißes Rauschen beheben. Die Rechnungen werden aber ziemlich aufwendig. Nachstehend
werden für kleine Dämpfungen (ξ < 0.2)gültige Näherungen angegeben.
λ 0 ≈ π 2
λ 2 ≈ π 2
λ 4 ≈ π 2
S 0
ξω 3 0
·
1 − 4
3π
·
S 0
1 − 4
ξω 0 3π
S 0 ω 0
ξ
ξ
(ω c /ω 0 ) − 8
3 5π
ξ
(ω c /ω 0 ) − 8
3 5π
1 − 2ξ 2
...¸
(ω c /ω 0 ) + 5
1 − 2ξ 2
...¸
(ω c /ω 0 ) + 5
·
1+ 4 π ξ(ω c − 3 4 ln( ω c +1
)) − ...¸
ω c − 1
Damit können nun auch die Bandbreitenparameter α oder ² berechnet werden. Man stellt leicht
fest, daß die Verbesserungen für das 0-te und das 2-te spektrale Moment durch den Term in eckigen
Klammern in der Regel unerheblich sind.
#
Beispiel 8.5.1.3: Kanai/Tajimispektrum
Kanai und Tajimi haben vorgeschlagen, den Beschleunigungsausgang der obersten Bodenschicht
bei Anregung dieser Schicht durch weißes Beschleunigungsrauschen im (starr angenommenen)
Grundgebirge als einläufigen Schwinger zu modellieren. Es sei S 0 die Intensität der Beschleunigungen
im Grundgebirge. Nach Zeile 6 von Tabelle 8.1 gilt
S X (ω) =S 0
1+4ξ 2 Ω 2
(1 − Ω 2 ) 2 +4ξ 2 Ω 2 (1)
für den Beschleunigungsausgang an der Oberkante der Schicht. Die Varianz ergibt sich zu
Var[X(t)] = πS 0ω 0
(1 + 4ξ) 1/2 (2)
2ξ
Die Varianz der Ableitung des Beschleunigungsprozesses existiert nicht. Man muß eine Bandbegrenzung
des Eingangs vornehmen.
(9)
(1)
(2)
(3)
213

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
#
Stationäres weißes Rauschen führt, wie man sieht, zu relativ einfachen Ergebnissen. Immer dann,
wenn der Eingang relativ breitbändig ist, kann man es als Näherung verwenden, da der dominante
Anteil der Integrale für die spektralen Momente von der unmittelbaren Umgebung der Frequenz
ω 0 herrührt. Man kann also ein gegebenes Eingangsspektrum S Q (ω) durch weißes Rauschen mit
der Intensität S 0 = S Q (ω 0 ) ersetzen. Eine bessere, aber immer noch einfache Näherung wird
dadurch erhalten, daß man den Anteil des Spektrums mit ω ≤ ω 0 ohne dynamische Überhöhung
überträgt und außerdem annimmt, daß der Beitrag des Spektrums mit ω ≤ ω 0 wenig Einfluß hat
λ k = S Q (ω 0 )
Z +∞
−∞
Z +∞
ω k | H(ω) | 2 dω+ | H(0) | 2 ω k [S Q (ω) − S Q (ω 0 )] dω (8.5.1.25)
Der instationäre Fall gestaltet sich schon bedeutend schwieriger und wir wollen hier aus der Vielzahl
der Arten von Instationarität nur den Einschwingvorgang betrachten. Das System sei für
t 0 =0in Ruhe. Für t>t 0 sei es durch stationäres, weißes Rauschen mit dem Mittelwert m Q und
der Spektraldichte S 0 beaufschlagt. Gl. (8.5.1.8) läßt sich integrieren.
−∞
m Y (t) ={1 − exp [−ω 0 ξt][cos(ω d t)+ω d sin(ω d t)]} m Q
ω 2 0
= {1 − g(t)} m Q
; t>t
ω 2 0 (8.5.1.26)
0
Um die Streuungen der Systemantwort zu berechnen, wird Gl. (8.5.1.2) durch das System linearer
Differentialgleichungen erster Ordnung
bzw.
ż 1 (t) = z 2 (t)
ż 2 (t) = −2ξω 0 z 2 (t) − ω 2 0z 1 (t)+q(t) (8.5.1.27)
z(t) =Az(t)+Bq(t) (8.5.1.28)
½ ¾ · ¸
z1 (t)
0 1
mit z 1 (t) =y(t) und z 2 (t) =ż 1 (t) =ẏ(t), also z(t) = , A =
z 2 (t)
−ω 2 und
½ ¾
0 −2ξω 0
0
B = ersetzt. Die Lösung von Gl. (8.5.1.28) lautet
1
z(t) =φ(t, t 0 )z(t 0 )+
Z t
t 0
φ(t, τ)B(τ)q(τ)dτ (8.5.1.29)
mit der Differentialgleichung
d
dτ φ(τ,t 0)=Aφ(τ,t 0 ) (8.5.1.30)
für die sogenannte Übergangsmatrix φ(τ,t 0 ) mit φ(t 0 ,t 0 )=1. DiesehatdieLösung
φ(τ,t 0 )=exp[A(τ − t 0 )] (8.5.1.31)
214

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Mithin ist mit t = τ − t 0
φ(τ,t 0 )=exp[−ω 0 ξt]
"
cos(ωd t)+ ξω0
1
ω d
sin(ω d t)
ω d
sin(ω d t)
− ω2 0
ω d
sin(ω d t) cos(ω d t) − ξω 0
ω d
sin(ω d t)
#
(8.5.1.32)
Nun bilden wir die Erwartungswerte
m Z (t) =φ(τ,t 0 )m Z (t 0 )+
Z t
Z t
t 0
φ(t, τ)B(τ)m Q (τ)dτ (8.5.1.33)
C Z (t) =φ(t, t 0 )C Z (t 0 )φ(t, t 0 ) T + φ(t, τ)B(τ)C Q (τ)B(τ) T φ(t, τ) T dτ (8.5.1.34)
t 0
Ausrechnen mit Gl. (8.5.1.34) ergibt für den Mittelwert Gl. (8.5.1.33) und mit θ = t − t 0 :
⎡ ³
⎤
cos(ω d θ)+ ξω 0
ω d
sin(ω d θ)´2
C11 (t 0 )
³
´
C 11 (t) = exp[−ω 0 ξθ] ⎢
⎣ + 2
ω d
sin(ω d θ) cos(ω d θ)+ ξω 0
⎥
ω d
sin(ω d θ) C 12 (t 0 ) ⎦ (8.5.1.35)
+ 1
ω d
sin(ω d θ)C 22 (t 0 )
× S ·
0
4ω 3 0 ξ 1 − exp [−2ω 0ξθ] ¡ ¢¸
ω
2
ω 2 0 − ξ2 ω 2 0 cos(2ω dθ) − ξω 0 ω d sin(2ω d θ)
d
⎡
³
´ ⎤
− ω2 0
ω d
sin(ω d θ) cos(ω d θ)+ ξω 0
ω d
sin(ω d θ) C 11 (t 0 )
³
2´ C 12 (t) = exp[−2ω 0 ξθ] ⎢ + cos(ω d θ) 2 + 1+ξ2 sin(ω
⎣
1−ξ 2 d θ) C 12 (t 0 ) (8.5.1.36) ⎥
³
´ ⎦
+ 1
ω d
sin(ω d θ) cos(ω d θ) − ξω0
ω d
sin(ω d θ) C 22 (t 0 )
S 0
£
×
exp
2ω 2 0(1 − ξ 2 [−2ω0 ξθ]sin(ω d θ) 2¤
)
⎡
⎤
ω 2 0
sin(ω 1−ξ 2 d θ) 2 C 11 (t 0 )
³
´
C 22 (t) = exp[−ω 0 ξθ] ⎢ − 2ω2 0
ω
⎣
d
sin(ω d θ) cos(ω d θ) − ξω0
ω d
sin(ω d θ) C 12 (t 0 )
⎥
³
⎦ (8.5.1.37)
+ cos(ω d θ) − ξω 0
ω d
sin(ω d θ)´2
C22 (t 0 )
× S ·
0
1 − exp [−2ω 0ξθ] ¡ ¢¸
ω
2
4ω 0 ξ ω 2 0 − ξ 2 ω 2 0 cos(2ω d θ) − ξω 0 ω d sin(2ω d θ)
d
8.5.2. Mehrläufige lineare Schwinger
Die allgemeine lineare Schwingungsgleichung lautet wie folgt:
M¨z(t)+Cż(t)+Kz(t) =Ep(t) (8.5.2.1)
215

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Hierin ist M die Masse, C die Dämpfung, K die der Bewegung entgegenwirkende Kraft und
p(t) die anregende Kraft. Die Formulierung ist nicht auf eindimensionale Schwinger beschränkt.
Ohne Verlust an Anschaulichkeit können wir annehmen, daß M, C und K symmetrische (n ×
n)−Matrizen sind und ¨z(.), ż(t) und z(.) bzw. p(.) n-dimensionale Vektoren, wobei p(.) fürmanche
Komponenten auch Null sein kann. Das kann durch eine mit Nullen und Einsen besetzte
Matrix E gesteuert werden. Ohne Verlust an Allgemeinheit nehmen wir zunächst p(t) als einen
stochastischen Vektorprozeß mit Mittelwert 0 und Spektralmatrix S P (ω) an. Wir betrachten den
stationären Fall. Formale Anwendung der Fouriertransformation liefert
Es ist also
und damit
(−ω 2 M+iωC + K)F Y (ω) =F P (ω) (8.5.2.2)
H(ω) =(−ω 2 M+iωC + K) −1 (8.5.2.3)
S Y (ω) =H(ω) T S P (ω)H(ω) (8.5.2.4)
Die notwendigen Matrixinversionen limitieren die Verwendung von Gl (8.5.2.4) auf kleine Systeme.
Es ist möglich, die Schwingungsgleichungen unter bestimmten Voraussetzungen zu entkoppeln.
Hierzu betrachten wir das homogene, ungedämpfte System. Das System kann harmonische Schwingungen
y(t) =v cos(ωt) ausführen. v sind die sogenannten Eigenformvektoren und ω die Kreisfrequenzen,
die im allgemeinen voneinander verschiedene Lösungen des allgemeinen Eigenwertproblems
(K − ω 2 M)v =0 (8.5.2.5)
sind. Diese Gleichung wird durch Einsetzen von y(t) =v cos(ωt) in Gl. (8.5.2.1) nach Division
durch cos(ωt) und Streichung der Dämpfungs- und Belastungsglieder erhalten. Bei positiv
definiten Matrizen M und K gibt es bei Abwesenheit mehrfacher Eigenwerte genau n reelle und
positive Eigenfrequenzen ω. Die Eigenvektoren werden wie folgt normalisiert
Sie erfüllen auch eine andere Orthogonalitätsbedingungen.
Wenn außerdem die Dämpfungsmatrix der Bedingung
v T i Mv j = δ ij (8.5.2.6)
v T i Kv j = ω 2 j δ ij (8.5.2.7)
v T i Cv i =2ω i ξ i (8.5.2.8)
genügt, können die Knotenverformungen y(t) als Linearkombination der modalen Koordinaten
y(t) =
nX
v j z j (t) (8.5.2.9)
j=1
216

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
dargestellt werden, die die Lösungen des folgenden, entkoppelten Systems von Differentialgleichungen
¨z j (t)+2ω j ξ j ż j + ω 2 j z j(t) =q j (t) (8.5.2.10)
sind mit q j (t) =vj T p(t). Die Dämpfungsverhältnisse ξ i werden gewöhnlich direkt festgelegt. In
Analogie zum Einmassenschwinger ist nun
E [Z j (t)] = v T j E [p(t)] H j(0) =
Z t
−∞
E [q j ] h j (t − τ)dτ = E [q j]
ω 2 j
(8.5.2.11)
mit H j (ω j ) wie in Gl. (8.5.1.14) aber ω 0
S qi ,q j
(ω) =vi T S p (ω)v j . Damit ist
= ω j , ξ = ξ j . Dabei ist E [q j ] = vj T E [p(t)] und
S Zi ,Z j
(ω) =H i (ω)S qi ,q j
(ω)H ∗ j (ω) (8.5.2.12)
woraus
S Y (ω) =
nX nX
v i v j S qi ,q j
(ω) (8.5.2.13)
i=1 j=1
Die spektralen Momente der modalen Antworten berechnen sich aus
λ k Z i ,Z j
=
Z ∞
−∞
ω k v T i
£
Sq (ω)H i (ω)H ∗ j (ω)+S q(ω)H ∗ i (ω)H j(ω) ¤ v j dω (8.5.2.14)
und für den Systemausgang gilt
λ k Y =
nX nX
v i v j λ k Z i ,Z j
(8.5.2.15)
i=1 j=1
Wie im eindimensionalen Fall gibt es einfache analytische Resultate fürweißes Rauschen als Belastungseingang,
dh. wenn S p (ω) =S 0 . Dann ist die Varianz des modalen Ausgangs
λ 0 ii = π 2
S qi ,q i
(ω)
ω 3 i ξ i
(8.5.2.16)
und es ist leicht gezeigt, daß die Kovarianzfunktion die Form
c ii (τ) =λ 0 ii g i(|τ|) (8.5.2.17)
hat. Alle wichtigen spektralen Momente des modalen Ausgangs enthält nachstehende Tabelle
k i = j i 6= j
π
0
2ω 3 i ξ i
cos −1 (ξ i )
1
2
√
ω 2 i ξ i 1−ξ 2 i
π
2ω i ξ i
πα ij
(ω 2 i α ij +γ ij )cos −1 (ξ i )
ω i ξ i
√1−ξ 2 i
+ (ω2 j α ij+γ ij )cos −1 (ξ j )
ω j ξ j
√
1−ξ 2
j
πγ ij
Tabelle 8.2: Spektrale Momente λ k ij/κ ij
+ β ij ln
³ ´
ω i
ω j
217

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit κ ij = v T i S 0 v j und (vergl. Beispiel 6.1.6.3)
α ij =
4(ω i ξ i + ω j ξ j )
¡ ¢
ω
2
i − ω 2 2
j +4ωi ω j (ω i ξ j + ω j ξ i )(ω i ξ i + ω j ξ j )
(8.5.2.18)
β ij =
2 ¡ ω 2 j − ¢
ω2 i
¡ ¢
ω
2
i − ω 2 2
j +4ω i ω j (ω i ξ j + ω j ξ i )(ω i ξ i + ω j ξ j )
(8.5.2.19)
γ ij = ω 2 i α ij +2ξ i ω i β ij
=
4ω i ω j (ω i ξ j + ω j ξ i )
¡ ¢
ω
2
i − ω 2 2
j +4ω i ω j (ω i ξ j + ω j ξ i )(ω i ξ i + ω j ξ j )
(8.5.2.20)
Diese Formeln können näherungsweise auch für einen allgemeinen breitbändigen Eingang verwendet
werden, wenn
κ ij ≈ 1 £ ¤
v
T
i S p (ω i )v i + vj T S p (ω j )v j (8.5.2.21)
2
benützt wird. Die QualitätdieserNäherung sinkt mit wachsenden Dämpfungs- und Eigenfrequenzverhältnissen.
Gewisse Ergebnisse gibt es auch für nichtstationäre Anregung und den Ein- oder Ausschwingvorgang
bei plötzlich beginnender oder plötzlich aufhörender Anregung. Wie erwähnt ist der Schwingungsausgang
gaußisch, wenn der Eingang gaußisch war. Dann gibt es auch die reichen Ergebnisse
für Schwellenwertprobleme. Bei nichtlinearen Schwingungssystemen unter gaußischer Anregung
und unter nichtgaußischer Anregung kann man jedoch keinen gaußischen Ausgang erwarten, auch
nicht näherungsweise. Wir stellen den Schwingungsausgang
x(t) =
Z t
0
h(t, τ)Z(τ)dτ
als Riemannsumme dar:
nX
x(t) ≈
Z i∆
i=1 (i−1)∆
h(t, τ)Z(τ)dτ ≈
nX
h(t, i∆)Z(i∆); ∆ = t/n
i=1
Die Variablen Z i können hochabhängig sein. Außerdem gibt ihnen die Funktion h(t, i∆) ganz
unterschiedliche Gewichte. Man kann daher nicht erwarten, daß ein zentraler Grenzwertsatz gilt.
Rosenblatt [106] hat bewiesen, daß ein Prozeß Y (t) asymptotisch normal wird, wenn Y (t) stark
mischend ist, d.h. wenn
a. |P (A ∩ B) − P (A)P (B)| t 2 abhängt, τ = t 2 − t 1 und
g(τ) eine nichtnegative monoton fallende Funktion derart, daß g(τ) → 0 für τ →∞.
b. alle Momente von Y (t) bis einschließlich vierter Ordnung existieren
c. die spektrale Dichte nirgends verschwindet
d. H(t) = R t
0 h2 (t, τ)dτ →∞für t →∞
218

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Bedingung a. ist schwierig nachzuweisen. Man mag sie als erfüllt ansehen, ebenso wie die Bedingungen
b. und c. Bedingung d. - sie besagt, daß h(t, τ) überall ausreichend groß sein muß -
ist aber für Schwinger nur für ξ → 0 erfüllt. Das entspricht einem extrem schmalbändigen Ausgangsprozeß.
Es bedeutet aber auch, daß man bei nicht-gaußischem Ausgang selbst bei linearen
Systemen ganz andere Wege beschreiten muß.
8.6. Anmerkungen zur Zuverlässigkeitsberechnung dynamischer
Systeme
Wenn die Standardabweichungen eines skalaren Ausgangsprozesses sowie seiner Ableitung bekannt
sind, kann man unmittelbar die Austrittsrate nach Gl. (7.3.1.1) bzw. Gl. (7.3.2.5) berechnen
und die Versagenswahrscheinlichkeit nach Gl. (7.1.7.1) und Gl. (7.1.7.2) einschranken bzw. nach
Gl. (7.4.5) abschätzen. Bei mehrdimensionalem Schwingungsausgang gilt Abschnitt 7.3.3 und es
wird speziell auf Beispiel 7.3.3.3 verwiesen, dessen Kovarianzmatrix in der Tat mit Tabelle 8.2 nach
Gl. (8.5.2.18) bis GL. (8.5.2.20) mit S 0 =1und ω =(0.5, 0.75, 1) T sowie ξ =(0.2, 0.15, 0.1) T
berechnet wurde.
Der skalare Ausgang eines dynamischen Systems ist in der Regel wegen kleiner Dämpfung recht
schmalbändig. Das bedeutet, daß Austritte in ’’Schwärmen’’ erfolgen. Die Lösung Gl. (7.4.5) ist
dann nur eine obere Schranke. Man kann diese durch zusätzliche Betrachtungen jedoch deutlich
verbessern [106] . Bei mehrdimensionalem Ausgang ist eine Verbesserung nicht möglich.
Sehr wichtig sind unsichere, zeitinvariante Systemeigenschaften oder als ergodische Folgen modellierte
Trägerprozesse für die Parameter. Dann wendet man die Ergebnisse von Abschnitt 7.4
an.
Bezüglich eines Ansatzes für nichtlineare Schwingungen bei nicht-gaußischer Anregung wird auf
Anhang F verwiesen.
219

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ANHANG F: Austrittsrate bei nichtlinearen Schwingern
und bei nichtgaußischer Anregung ∗
Es gibt eine ganze Reihe von Verfahren zur nichtlinearen, stochastischen Schwingungsanalyse.
Leider sind die meisten dieser Verfahren in der Praxis auf stationären Gaußschen Eingang und
einläufige Schwinger beschränkt, können nur spezielle Typen der Nichtlinearität behandeln oder
sind auch bei der heutigen Rechentechnik numerisch viel zu aufwendig. In diesem Anhang soll
eine vergleichsweise allgemeine Näherungsmethode vorgestellt werden.
F.1.
Theoretische Grundlagen
In Analogie zu GL. (7.3.1.1) mit Gl. (7.2.1.3) und (7.1.6.4) ist für eine allgemeine Zustandsfunktion
g(r, q, s(t))
P f (0,t) ≤ P f (0) + E R,Q
£
E
£
N − (0,t|R, Q) ¤¤
(F.1.1)
E R,Q
£
E
£
N − (0,t|R, Q) ¤¤ =
Z t
0
ν − (τ)dτ
(F.1.2)
ν − (τ) =
Z 0
−∞
|ġ(r, q, s(t))| f(g(r, q, s(t)) = 0, ġ(r, q, s(t)))dġ(r, q, s(t))
(F.1.3)
mit r den nicht ergodischen Zufallsvariablen, q einer stationären und ergodischen Folge und s(t) einem
stochastischen Prozeß (vergl. Gl. 7.4.11). Versagen erfolgt definitionsgemäß wenn g(r, q, s(t)) =
0 eine Nullkreuzung von oben hat. Hierin ist f(g(r, q, s(t), ), ġ(r, q, s(t))) die gemeinsame Dichte
von g(r, q, s(t)) und dg(r,q,s(t)) = ġ(r, q, s(t)). Im folgenden fassen wir die Variablen R und Q
dt
zu einem einzigen Vektor R zusammen. In dieser Formulierung ist Gl. (F.1.3) praktisch nicht auswertbar,
da die gemeinsame Dichte f(., .) sehr schwierig zu berechnen ist. Hagen/Tvedt (1991)
[65] haben jedoch darauf hingewiesen, daß die Austrittsrate auch direkt wie in Gl. (7.1.6.3) oder
Gl. (7.3.3.15) berechnet werden kann.
ν − P ({−g 1 (R, S(t),t) ≤ 0} T {g 2 (r, s(t + ∆),t+ ∆) ≤ 0})
(t) =lim
(F.1.4)
∆→0 ∆
Sehr oft formuliert man das Problem im Raum der Lastwirkungen (Verformungsgrößen), d.h. die
Zustandsfunktion enthält nicht die Anregung selbst sondern die Lastwirkung. In der Zustandsfunktionwirddaherz(s(t))
anstelle von s(t) geschrieben. Für differenzierbare (Vektor-)Prozesse S(t)
sind g 1 und g 2 für kleine ∆ hochkorreliert (fast funktional abhängig). Das kann bei der Transformation
in den Standardraum, bei der Suche nach den ’’kritischen’’ Punkten und bei der Auswertung
des Integrals für die Schnittwahrscheinlichkeit zu numerischen Schwierigkeiten führen. Dann ist
es besser g 2 durch
g 2 = g(r, z(s(t + ∆))) ≈ g(r, z(s(t))) + ġ(r, z(s(t)))∆
= g(r, z(s(t))) + ∇ z g(r, z(s(t))ż(s(t))∆ (F.1.5)
220

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
zu nähern. Bei dynamischen Aufgaben ist das besonders zweckmäßig, da bei der numerischen
(Zeit-)Integration der Differentialgleichung, z.B. nach dem Runge-Kutta-Verfahren, die Größe ż(t)
automatisch mit anfällt (siehe unten).
Die Berechnung mithilfe von FORM/SORM erfordert die Transformation in den Standardraum
und bei Benützung von Gradientenverfahren für die Suche der kritischen Punkte in Gl. (D.1.4)
eine effiziente Berechnung der Gradienten im Standardraum. Es ist
∇ u rg 1 = −(∇ z gJ z,r J r,u + ∇ r g z J r,u )
(F.1.6)
∇ u sg 1 = −∇ z gJ z,s J s,u
(F.1.7)
∇ u rg 2 = ∇ z gJ z,r J r,u + ∇ r g z J r,u +
+∇ z (∇ z g)J z,r J r,u ż∆ + ∇ r (∇ z g)g z J r,u ż∆ + ∇ z gJż,r J r,u ∆ (F.1.8)
∇ u sg 2 = ∇ z gJ z,s J s,u + ∇ z (∇ z g)J z,s J s,u ż∆ + ∇ z gJż,s J s,u ∆
(F.1.9)
h
Hierbei i bedeutet g z ,daß der Gradient bezüglich der R-Variablen fürfestesz gebildet wird. J p,q =
∂pi
∂q j
ist die Jacobi-Matrix der Transformation p = T (q). J r,u und J s,u sind die bekannten Transformationsmatrizen
der Verteilungstransformation.
Eine Approximation der Austrittsrate erhält man für kleines ∆. Für die Suche nach dem (den)
β−Punkt(en) löst man
min {kuk} für-g 1 (.) ≤ 0 \ g 2 (.) ≤ 0
(F.1.10)
Normalerweise wird im Lösungpunkt (u ∗ ) sowohl auf g 1 (.) =0wie auch auf g 2 (.) =0sein.
Wenn der Lösungspunkt zwar auf g 1 (.) =0liegt aber g 2 (.) 6= 0, löst man zusätzlich
min {kuk} für − g 1 (.) ≤ 0 \ g 2 (.) =0
(F.1.11)
oder setzt näherungsweise (u ∗ 2)=γ(u ∗ 1) mit γ der Lösung von g 2 (γu ∗ 1)=0. Die Schnittwahrscheinlichkeit
berechnet man aus dem bivariaten Normalverteilungsintegral (Gl.(2) in Beispiel
4.4.2) mit ρ = α T 1 α 2 und α i = − ∇g i(u ∗ i )
k∇g i (u ∗ i
)k;
i =1, 2.
Die Anwendung dieses Konzeptes erfordert, daß auch die Anregung durch einen Vektor von Zufallsvariablen
genähert wird [96] . Hierzu stellt man den Anregungsprozeß, hier zur Vereinfachung
einen skalaren Prozeß, durch einen Impulsprozeß
s(t) =
mX
y j δ(t − t j )
j=1
(F.1.12)
221

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
dar mit δ(t − t j ) der Diracschen Deltafunktion. Die y j sind unabhängige Zufallsvariable. Sie sind
das Integral eines ’’weißes Rauschen’’-Prozesses W (t) über die Intervalle (t i−1 ,t i ) , d.h.
y j =
Z tj
t j−1
W (τ)dτ
(F.1.13)
Für normales, stationäres weißes Rauschen sind die y j normalverteilt mit Mittelwert Null und Varianz
2πS 0 (t i −t i−1 ).S 0 ist die Stärke des weißen Rauschens. Man kann aber auch nichtnormalverteiltes
weißes Rauschen annehmen. Nichtstationäre Anregung entsteht durch Multiplikation mit
einer Intensitätsfunktion e(t). Farbiges, instationäres Rauschen kann man z.B. durch lineare Filterung
entsprechend s(t) = P m
j=1 e(t)y jh(t−t j ) oder sogar durch s(t) = P p
k=1 e k(t) P m
j=1 y jh k (t−
t j ) erzeugen. Wenn die Anregung eine (negative) Fußpunktbeschleunigung (Erdbebenanregung)
ist, ist beispielsweise h k (t) =−(2ξ k ω k ˙u(t)+ω 2 k u(t)) mit u(t) =sin(ω d,kt)exp[−2ξ k ω k t] /ω d,k
und ω d,k = ω k
p
1 − ξ
2
k. Leider kann man so einige Eingangsfunktion nur näherungsweise abbilden.
Es gibt noch einige andere Möglichkeiten den Eingangsprozeß durch eine Folge von Zufallsvariablen
darzustellen.
F.2.
Deterministische Grundlagen der nichtlinearen Schwingungstheorie
Die allgemeine lineare Schwingungsgleichung lautet wie folgt:
M¨z(t)+Cż(t)+Kz(t) =ES(t)
(F.2.1)
Hierin ist M die Masse, C die (viskose) Dämpfung, K die der Bewegung entgegenwirkende Kraft
und S(t) die anregende Kraft. Die Formulierung ist nicht auf eindimensionale Schwinger beschränkt.
Ohne Verlust an Anschaulichkeit können wir annehmen, daß M, C und K symmetrische
(n×n)−Matrizen sind und ¨z(.), ż(t) und z(.) bzw. S(.) n-dimensionale Vektoren, wobei S(.)
für manche Komponenten auch Null sein kann. Das kann durch eine mit Nullen und Einsen besetzte
Matrix E gesteuert werden. Newmark (1959)[122] entwarf durch eine Taylorentwicklung
der Lösung des dynamischen Problems einen nach ihm benannten Algorithmus zur numerischen
Integration für diskrete Zeitpunkte t 0 =0

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Zu beachten ist, daß ¨z(t i ), ż(t i ) und z(t i ) nach Gl. (F.2.2) und (F.2.3) auch von der vorhergehenden
Werten ¨z(t i−1 ), ż(t i−1 ) und z(t i−1 ) abhängen. Wenn Gl. (F.2.3) nach ¨z i aufgelöst wird und
diese dann in Gl. (F.2.2) eingesetzt wird, ergeben sich Gleichungen für ¨z i und ż i , die nur noch z i
enthalten. Diese setzt man in Gl. (F.2.4) eine und kann nach z i auflösen.
z i = ˆK −1 ˆF i
(F.2.5)
mit der äquivalenten, effektiven Steifigkeit
ˆK = K + 1
β∆t M + α
2 β∆t C
und der äquivalenten, effektiven Lastseite
Schließlich berechnet man
· µ
zi−1
ˆF i = ES i + M
β∆t + żi−1 1
2 β∆t + 2β − 1 ¨z i−1¸
µ
·αzi−1 α
+C
β∆t + β − 1 ż i−1 + ∆t µ α
¨z i−1¸
2 β − 2
¨z i = 1
β∆t 2 (z i − z i−1 ) − 1
β∆tżi−1 −
µ 1
2β − 1
¨z i−1
(F.2.6)
(F.2.7)
(F.2.8)
ż i = ż i−1 + ∆t(1 − α)¨z i−1 − ∆tα¨z i
(F.2.9)
Um befriedigende Genauigkeit zu erzielen, sollte man ∆t ≤ T/10 wählen mit T der Schwingungsperiode
des Systems, die man schätzen muß. Stillschweigend ist unterstellt, daß M, C und/oder
K von (nicht-ergodischen) zufälligen Parametern abhängen können. Man kann auch etwas anders
vorgehen. Ausgehend von Gl. (F.2.4) hat man durch Einsetzen von Gl. (F.2.2) und (F.2.3)
(M + Cα∆t + Kβ∆t 2 )¨z i = ES i −
µC(1 − α)∆t + K( 1 2 − β)∆t2
¨z i−1
− (C + K∆t) ż i−1 − Kz i−1
(F.2.10)
Hier löst man zuerst
M¨z 0 = ES 0
(F.2.11)
aus den Anfangsbedingungen und damit Gl. (F.2.10) nach ¨z i . Die Größen ż i und z i erhält man aus
den Gl. (F.2.2) und (F.2.3).
Der nichtlineare Schwinger erfordert zusätzliche Iterationen, da nunmehr sowohl die Dämpfungsmatrix
als auch, und vor allem, die Steifigkeitsmatrix von den aktuellen Bewegungsgrößen abhängen
können. Die Massenmatrix ändert sich im allgemeinen nicht. Aufstellung des dynamischen
Gleichgewichts für t i−1 und t i und Substraktion beider Gleichungen voneinander ergibt eine Glei-
223

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
chung für die inkrementellen Größen:
M∆¨z + C(t)∆ż + K(t)∆z = E∆S(t)
(F.2.12)
Hier hängen nun C(t) und K(t) noch vom jeweiligen Zeitverlauf zwischen t i−1 und t i ab und man
kann Gl. (F.2.10) exakt nur durch Iteration lösen. Näherungsweise kann man jedoch mit C(t i−1 )
und K(t i−1 ) rechnen. Es ist also wie in Gl. (F.2.4)
mit
˜K i ∆z i = E∆˜F i
˜K i = K i−1 + 1
β∆t M + α
2 β∆t C i−1
·
żi−1
∆˜F i = ∆F i + M
β∆t + α ¸ ·α
β ¨z i−1 + C i−1
β żi−1 + ∆t µ α
¨z i−1¸
2 β − 2
(F.2.13)
(F.2.14)
(F.2.15)
Alle Größen können aus den Größen zum vorhergehenden Zeitschritt berechnet werden.
Das ergibt
z i = z i−1 + ∆z i (F.2.16)
ż i = ż i−1 + ∆ż i mit ∆ż i = α
β∆t ∆z i − α β żi−1 − ∆t µ α
2 β − 2 ¨z i−1 (F.2.17)
Die Beschleunigungen bestimmt man am besten aus dem dynamischen Gleichgewicht, d.h. aus
¨z i = M −1 (ES i − C i ż i − K i z i )
(F.2.18)
nachdem man für z i die neuen Dämpfungen C i und neuen Steifigkeiten K i berechnet hat. Damit
sichert man Stabilität und gute Genauigkeit des Algorithmus. Wenn notwendig, kann man nun
noch iterieren indem man die Gl. (F.2.11) bis (F.2.16) z.B. mit den jeweils mittleren Werten, d.h.
mit ¯K i−1 =(K i−1 + K i )/2 und ¯C i−1 =(C i−1 + C i )/2, bis zur Konvergenz neu berechnet. In
der einschlägigen Literatur findet man eine ganze Reihe von alternativen und z.T. algorithmisch
und vom Aufwand her weiter entwickelte Verfahren. Wenn es gelingt, das Materialverhalten realistisch,
z.B. hysteretisches Verhalten, zu modellieren, verzichtet man oft auf den Ansatz viskoser
Dämpfungen und schreibt
M¨z(t)+R(z(t), ż(t)) = ES(t)
(F.2.19)
worin R(., .) die (nichtlineare) Reaktionskraft ist. Dadurch vereinfachen sich die vorstehenden
Ansätze entsprechend.
F.3.
Anwendung
Für die Anwendung im Rahmen von FORM/SORM benötigt man vor allem eine effiziente Berechnung
der Gradienten der Zustandsfunktion. Die Schwingungsgleichung sei als
Q(r, ¨z i , ¨z i−1 , ż i−1 , z i−1 )=M(r)¨z i + C(r)ż i + K(r, ż i , z i ,t i ) − EF(t i )=0
(F.3.1)
224

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
geschrieben. Es sei x eine das System oder die Belastung beschreibende Variable und Gl. (F.3.1)
sei differenzierbar. Dann hat man mit ∆t = t i − t i−1
µ −1 µ
∂¨z i
∂x = − ∂Qi ∂Qi
∂¨z i ∂x + ∂Q i ∂z i−1
∂z i−1 ∂x
µ
∂ż i
∂x = (1 − α) ∂¨z i−1
∂x
+ α∂¨z
i
∆t + ∂ż i−1
∂x ∂x
µµ
∂z i 1
∂x = 2 − β ∂¨zi−1
∂x
+ β ∂¨z i
∂x
+ ∂Q i ∂ż i−1
∂ż i−1 ∂x
+ ∂Q
i ∂¨z i−1
∂¨z i−1 ∂x
∆t 2 + ∂ż i−1
∂x ∆t + ∂z i−1
∂x
(F.3.2)
(F.3.3)
(F.3.4)
Die Ableitungen nach Lastvariablen x = f j sind natürlich Null für allej>i.Damit kann man
die in Gl. (F.1.6) bis (F.1.9) erforderlichen Jacobi-Matrizen in jedem Zeitschritt aus den Jacobi-
Matrizen J zi−1 ,r, Jżi−1 ,r, J zi−1 ,f und Jżi−1 ,f und den neuen Werten für ¨z i , ż i und z i ermitteln.
Beispiel F.3.1: Duffingscher Schwinger
Der Duffingsche Schwinger hat die spezielle Differentialgleichung
¨z(t)+2ωξ ż(t)+ω 2 (1 + γz 2 (t))z(t) =F (t) (1)
γ ist ein Nichtlinearitätsparameter für die Steifigkeit. Für γ =0ergibt sich die Differentialgleichung
des linearen Schwingers. Wenn die Anregung Gaußsches weißes Rauschen ist, wurde die
Gleichung von Duffing für den stationären Fall gelöst. Sie ist die einzige bekannte Schwingungsgleichung,
die bei Nichtlinearität analytisch exakt lösbar ist [98] . Die gemeinsame Verteilung von
z und ż berechnet man zu
· µż2 µ b
z
2
f(z,ż) =C exp
πS 0 2 + ω 2 + γ ¸
4 z4 (2)
mit
C =
1
√
2πωσ0
R ∞
−∞ exp ·
q
πS 0
bω 2
1
− ³ ´
σ 2 z 2
0 2 +γ z4 4
¸
dz
≈
2π 2 S 0
bω
1
³ ´ (3)
1 − γ 3 πS 0
4 βω 2
Es ist b = 2ωξ, σ 0 = und die Intensität desweißen Rauschens ist S 0 . Die Näherung
gilt für kleines γ. zund ż sind unabhängig voneinander. ż ist, wie man sieht, normalverteilt, z
nur wenn γ =0. Die Standardabweichung σŻ von ż ist πS 0
und von z σ 2 b Z = R ∞
−∞ z2 f(z)dz =
R ∞
−∞ z2 C √ h ³ ´i
2πσ 0 exp − 1 z 2
+ γ z4
σ 0
dz. Die Austrittsrate ist daher
2 4
ν + (a) =C πS 0
b
µ ¸
exp
·− bω2 a
2
πS 0 2 + γ a4
4
Damit kann jede Näherung verglichen werden. Für S 0 =100, ω =20rad/s und ξ =0.1 ergibt sich
mit t i −t i−1 =0.01 sfür die Zustandsfunktion g(z(t)) = 3σ−z(t) beispielsweise (2β = α =0.5)
(4)
225

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
γ Exakt FORM
0.2 1.64·10 −2 1.58·10 −2
0.4 7.55·10 −3 7.34·10 −3
0.6 3.47·10 −3 3.36·10 −3
0.8 1.59·10 −3 1.54·10 −3
mit σ 2 = πS0 der Varianz des linearen Schwingers (γ =0). Für die Darstellung des weißen
2ξω 3
Rauschens wurden eine Folge von 200 unabhängigen normalverteilten Variablen mit Mittelwert
Null und Varianz 2πS 0 ∆t verwendet und die Berechnung der Austrittsrate nach Gl. (F.1.4) erfolgte
mit ∆ =0.0001 s. Die Übereinstimmung der FORM-Näherung und des exakten Resultats ist
hervorragend.
#
Wie erwähnt, können aber auch instationäre, nichtgaußische Anregungen sowie andere Typen der
Nichtlinearität behandelt werden und Ein- und Ausschwingvorgänge studiert werden - Aufgaben,
die mit keinem anderen Verfahren außer mit Monte Carlo Verfahren, das jedoch mit ungleich höherem
Aufwand, gelöst werden können [96] , [97] . Außerdem birgt eine Verallgemeinerung auf
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden keine zusätzlichen Schwierigkeiten.
226

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 9.
Optimierung von baulichen Anlagen
9.1. Allgemeines
Die Betrachtungen in diesem Abschnitt gehen auf Rosenblueth/Mendoza [149] , Hasofer [68] und
Rosenblueth [147] zurück und wurden in [69] sowie [140] vertieft.
Eine allgemeine Zielfunktion ist:
Z(p) =B(p) − C(p) − D(p) (9.1.1)
B(p) ist der aus der Existenz einer baulichen Anlage erwachsende Nutzen, C(p) sind die Errichtungskosten
und D(p) die Kosten bei einem Versagen der Anlage. p ist ein Vektor von Bemessungsparametern.
Im Sinne der statistischen Entscheidungstheorie sind jeweils die Erwartungswerte
zu nehmen. B(p) wird im allgemeinen von den Bemessungsparametern unabhängig sein
oder allenfalls mit p geringfügig abnehmen (gemeint ist hier in gewissen Komponenten von p). Im
folgenden wird meist B(p) =B gesetzt. Für die Erstellungskosten macht man häufig den Ansatz
C(p) ≈ C 0 + P r
i=1 c ip i .C 0 sind die nicht von p abhängigen Kosten. Meist ist C 0 À P r
i=1 c ip i .
Die erwarteten Schadenskosten D(p) ergeben sich wie in Gl. (3.3.6) als Produkt der Schadenskosten
L und der von p abhängigen Versagenswahrscheinlichkeit P f (p). Zur Vereinfachung sei noch
angenommen, daß C(p) und D(p) wenigstens einmal differenzierbar sind. Unter der Annahme,
daß C(p) in jeder Komponente von p wächst und D(p) fällt, kann man erwarten, daß Z(p) ein
Maximum hat. Diesen Sachverhalt veranschaulicht Abb. 9.1, eine vollständigere Darstellung derselben
Gegebenheiten wie in Abb. 1.3. Die Kostenansätze werden für die Beteiligten, also den
Bauherrn oder Betreiber, den Nutzer und die Gesellschaft verschieden sein. Ein Bauwerk ist wirtschaftlich
aber nur sinnvoll, wenn für alle Beteiligten Z(p) für gewisse Parameterbereiche positiv
ist. Der sinnvolle Parameterbereich ist der Durchschnitt aller Kostenansätze für Z(p).
Kosten
B
C(p)
D(p)
Optimum
Bemessungs -
parameter p
sinnvoller Bereich
Z(p)
Abb. 9.1.Erwartete Kostenanteile (nach Rosenblueth/Esteva, 1972)
227

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Eine Optimierungsrechnung soll für den Zeitpunkt der Entscheidung über die die Zuverlässigkeit
kontrollierenden Parameter, d.h. für t =0, angestellt werden. Alle Kosten müssen daher abgezinst
werden. Wir nehmen zunächst eine für alle praktische Zwecke ausreichende, stetige Zinsfunktion
mit konstantem Zinssatz an 16 :
δ(t) =exp[−γt] (9.1.2)
Wenn ein jährlicher Zinssatz γ 0 definiert ist, rechnet man mit γ =ln(1+γ 0 ) um. Wenn Versagen
mit den Folgen D 0 zum Zeitpunkt t erfolgt, und ein konstanter Nutzen b(t) =b pro Zeiteinheit
angesetzt wird, ist B(t) = R t
b(u)exp[−γu] du = b (1 − exp [−γt]) und D(t) =D 0 γ 0 exp [−γt] .
Später wird noch deutlich, daß eine stetige Verzinsung die mathematischen Aufgaben wesentlich
vereinfacht 17 .
Es ist zweckmäßig zwischen Bauwerken zu unterscheiden, die nach dem Versagen aufgegeben
werden und solchen, bei denen systematischer Wiederaufbau oder Reparatur erfolgt. Außerdem
sei zwischen Bauwerken unterschieden, die bei Inbetriebnahme oder nie und solchen, die später
durch zeitabhängige Lasten oder Alterung zu zufälligen Zeitpunkten versagen. Dabei gilt zunächst
die Annahme, daß die Bauzeiten vernachlässigbar klein gegenüber den Nutzungszeiten sind. Es ist
daher nicht notwendig, letztere gesondert zu betrachten. Auf den ersten Blick scheint es fürkeine
der beiden Wiederaufbaustrategien irgendwelche Präferenzen zu geben. Tatsächlich ist systematischer
Aufbau nach einem Versagen, zumindest gedanklich und wenigstens bei allen der Infrastruktur
dienenden baulichen Anlagen, die richtige Strategie. Systematischer Wiederaufbau nach
16
Wegen der großen Bedeutung der exponentiellen Verzinsung im Folgenden leiten wir diese kurz ab. Es sei der
Zuwachs pro Zeiteinheit dem Wert einer Funktion, z.B. einem Guthaben auf der Bank, proportional, also z.B.
dC(τ)
dτ
= k(τ)C(τ); k(τ) 6= 0
Bei Berechnung des Gegenwartswertes eines Guthabens zum Zeitpunkt t ist k(τ) negativ. Diese einfache Differentialgleichung
wird separiert, integriert und nach C(t) aufgelöst.
Z C(t)
C(0)
dC(τ)
C(τ)
=
ln(C(t)) − ln(C(0)) =
Z t
0
Z t
0
k(τ)dτ
k(τ)dτkt
und somit
·Z t
C(t) =C(0) exp
0
¸
k(τ)dτ
Für k(τ) =k ist
C(t) =C(0) exp [kt]
17
Manchmal sind Finanzierungskosten zu berücksichtigen. Dann erhöhen sich die Errichtungskosten. Müssen die
ganzen Errichtungskosten finanziert werden, sind sie mit dem Faktor 1−exp[−γ tf] f
zu multiplizieren, denn das sind
exp[γ f ]−1
die Gesamtkosten des Projekts. γ f ist der Zinssatz auf dem Kapitalmarkt und t f die Finanzierungsperiode. Die
exp[γ
(konstante) Annuität ist gleich C(p)
f ]−1
mit C(p) den Errichtungskosten zum Zeitpunkt t =0. Eine solche
1−exp[−γ f t f]
Annuität verringert den Nutzen im Zeitraum [0,t f ] .
228

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
einem Versagen erfüllt auch das Gebot der Nachhaltigkeit. Aufgabe nach einem Versagen kann
man sich nur bei Hilfskonstruktionen oder bei Anlagen, die der Ausbeutung von Bodenschätzen
dienen, vorstellen.
Die Begriffe ’’systematischer Wiederaufbau oder (perfekte) Reparatur’’ im Rahmen des Erneuerungsmodells,
welches in diesem und allen weiteren Abschnitten dieses Kapitels verwendet wird,
erfordern noch Präzisierung. Die Erneuerungstheorie (siehe Abschnitt 7.1.5) verlangt, daß alle
Zeiten zwischen den Erneuerungen unabhängig und, gegebenenfalls bis auf die erste, identisch
verteilt sind. Bei einer Erneuerung (Wiederaufbau, Reparatur) müssen also die ursprünglichen,
stochastischen Eigenschaften der Komponenten wiederhergestellt werden. In der Praxis bedeutet
das, daß die gleichen Bemessungsregeln gelten um gleiche Verteilungen zwischen den Erneuerungszeiten
zu erhalten - auch wenn sich Topologie, System und womöglich Baustoffe ändern.
Um Unabhängigkeit der Erneuerungszeiten zu gewährleisten muß unterstellt werden, daß z.B. die
Belastungen in den Erneuerungsintervallen keine Abhängigkeiten aufweisen.
9.2. Versagen bei Errichtung oder Inbetriebnahme durch zeitinvariante
Lasten
Die Zielfunktion für Versagen bei Inbetriebnahme und Aufgabe des Bauwerks nach dem Versagen
ist
Z(p) =B ∗ R f (p) − C(p) − LP f (p) =B ∗ − C(p) − (B ∗ + L)P f (p) (9.2.1)
Hierin sind R f (p) die Zuverlässigkeit und P f (p) die Versagenswahrscheinlichkeit. L sind die
direkten Kosten eines Versagens einschließlich der Abruch- und Abräumkosten. Bei Versagen bei
Inbetriebnahme und systematischem Wiederaufbau nach dem Versagen ist jedoch
Z(p) = B ∗ − C(p) − (C(p)+L)
∞X
iP f (p) i R f (p)
i=1
= B ∗ P f (p)
− C(p) − (C(p)+L)
1 − P f (p))
wegen, Unabhängigkeit der Versagensereignisse vorausgesetzt,
∞X
∞X
iP f (p) i R f (p) =(1− P f (p)) iP f (p) i P f (p)
=(1− P f (p))
(1 − P f (p)) = P f(p)
2 1 − P f (p)
i=1
i=1
(9.2.2)
Nach einem Versagen wird man natürlich die Ursachen für das Versagen erforschen und den Entwurf
gegebenenfalls ändern. Hier nehmen wir jedoch an, daß der Entwurf bereits optimal ist und
daher keine Veranlassung besteht, die Bemessungsregeln zu ändern. Bei jeder Erneuerung (systematischer
Wiederaufbau) realisieren sich die stochastischen Eigenschaften neu und unabhängig
voneinander. Bei Bauwerken ist P f (p) ¿ 1 und daher näherungsweise
Z(p) = B ∗ − C(p) − (B ∗ + L)P f (p)
bzw.
Z(p) ≈ B ∗ − C(p) − (C(p)+L)P f (p)
229

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
für Gl. (9.2.1) bzw. (9.2.2). Das sind die am häufigsten verwendeten Zielfunktionen.
Eine gewisse Unsicherheit besteht darüber, wie groß der Nutzen sowohl in Gl (9.2.1) als auch in
(9.2.2) anzusetzen ist. Für eine beabsichtigte Nutzungsdauer t s ist wie erwähnt
B(t s )=
Z ts
Bei konstantem zeitunabhängigen Nutzen b(t) =b ist
und somit für t s →∞
0
b(t)δ(t)dt (9.2.3)
B(t s )= b γ [1 − exp [−γt s]] (9.2.4)
B ∗ = b γ
(9.2.5)
9.3. Versagen durch extreme Belastungen
9.3.1. Aufgabe des Bauwerks nach einem Versagen
Der Fall, daß Versagen bei Inbetriebnahme oder schon während des Baues erfolgt, ist am ehesten
durch ständige Lasten denkbar. Realistischer ist die Annahme, daß Versagen erst durch zeitabhängige
Belastungen zu einem späteren Zeitpunkt erfolgt. Die zufällige Zeit bis zum ersten Versagensereignis
habe die Verteilungsfunktion F 1 (t, p) und die Dichte f 1 (t, p). Bei Aufgabe des
Bauwerks nach einem Versagen ist dann offensichtlich
B(t s )=
Z ts
0
b(t)δ(t)R 1 (t, p)dt (9.3.1.1)
und daher
Z(p) =
Z ts
0
D(t s )=
Z ts
0
b(t)δ(t)R 1 (t, p)dt − C(p) −
f 1 (t, p)δ(t)Ldt (9.3.1.2)
Z ts
0
δ(t)f 1 (t, p)Ldt (9.3.1.3)
Für t s →∞,b(t) =b und f1 ∗ (γ, p) = R ∞
e −γt f
0 1 (t, p)dt = E [exp (−γT 1 )] der Laplacetransformierten
von f 1 (t, p) ist
B(p) = b γ
Z ∞
0
(1 − exp [−γt])f 1 (t, p)dt = b γ [1 − f ∗ 1 (γ, p)] (9.3.1.4)
und
D(p) =H
Z ∞
0
e −γt f 1 (t, p)dt = Lf ∗ 1 (γ, p) (9.3.1.5)
230

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Für den wichtigen Poissonschen Versagensprozeß, dessen Verteilungsfunktion der Zeiten zwischen
den Ereignissen die Exponentialverteilung mit der Dichte f 1 (t) =λ exp [−λt] ist, ist
f ∗ 1 (γ) =
Z ∞
0
exp [−γt] λ exp [−λt] dt =
λ
γ + λ
(9.3.1.6)
Damit ist:
Z(p) = b γ
·
1 − λ ¸
γ + λ
− C(p) − H
λ
γ + λ =
b
γ + λ − C(p) − L λ
γ + λ
(9.3.1.7)
Wir erweitern das Modell noch ein wenig und nehmen Belastungsereignisse wie in Abb. 6.3 an.
Wir nehmen an, daß die Zeit bis zum ersten Ereignis die Dichte f 1 (t) hat, während alle anderen
Zeiten zwischen den Ereignissen die Dichte f(t) haben. Das entspricht einem modifizierten Erneuerungsprozeß.
Das ist sinnvoll, weil die Belastungsereignisse nicht beeinflußbar sind. Der
Zeitnullpunkt liegt daher irgendwo zwischen dem nullten und dem ersten Ereignis. Bei einem
Poissonprozeß sind die Dichten der Zeiten gleich. Bei einem Belastungsereignis erfolge Versagen
mit der Wahrscheinlichkeit P f (p). Belastungszeiten und Versagensereignisse sind voraussetzungsgemäß
unabhängig. Die Dichtefunktion der Zeit bis zum ersten Versagen ist nunmehr:
f 1 (t, p) =
∞X
g n (t)P f (p)R f (p) n−1 (9.3.1.8)
n=1
Sie trägt der Tatsache Rechnung, daß das erste Versagen beim ersten, zweiten, dritten, usw. Belastungsereignis
erfolgen kann. Die Dichte zum n-ten Ereignis g n (t) wird durch rekursive Faltung
erhalten
g n (t, p) =
Z t
0
g n−1 (t − τ, p)g 1 (τ, p)dτ, n =2, 3,.... (9.3.1.9)
oder mithilfe der Laplacetransformation g1(γ, ∗ p) = R ∞
e −γt g
0 1 (t, p)dt und
gn−1 ∗ (γ, p) =R ∞
e −γt g
0 n−1 (t, pt)dt nach der Faltungsformel für Laplacetranformierte aus 18 :
Anwendung auf Gl. (9.3.1.8) ergibt
h ∗ 1(γ, p) =
=
g ∗ n(γ, p) =g ∗ n−1(γ, p)g ∗ (γ, p) =g ∗ 1(γ, p)[g ∗ (γ, p)] n−1 (9.3.1.10)
∞X
g1(γ)g ∗ n−1(γ)P ∗ f (p)R f (p)) n−1 =
n=1
P f (p)g ∗ 1(γ)
1 − R f (p)g ∗ (γ)
∞X
g1(γ)[g ∗ ∗ (γ)] n−1 P f (p)R f (p) n−1
n=1
(9.3.1.11)
18
Wenn f(t) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, ist f ∗ (γ) =E [exp (−γT )] = R ∞
exp (−γt) f(t)dt und es gilt
0
f ∗ (0) = 1, f ∗ (∞) =0und 0

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Der gegenwärtige Wert des erwarteten Schadens ist
und der Nutzen wird für t →∞zu:
D(p) =Lh ∗ 1(γ, p) (9.3.1.12)
B = b γ (1 − h∗ 1(γ, p)) (9.3.1.13)
Für den gewöhnlichen Erneuerungsprozeß ist h ∗ 1 (γ, p) durch h∗ (γ, p) zu ersetzen. Für denPoissonschen
Belastungsprozeß findet man:
h ∗ (γ, p) =
P f (p) λ
γ+λ
1 − (1 − P f (p)) λ
γ+λ
= P f(p)λ
γ + P f (p)λ
(9.3.1.14)
Für einen Poissonschen Prozeß der Belastungsereignisse mit Intensität λ und zufälligem Versagen
bei einem Ereignis mit Versagenswahrscheinlichkeit P f (p) ist der Versagensprozeß ebenfalls ein
Poissonprozeß mit Intensität λP f (p). In diesem Fall kann man Gl. (9..3.1.3) direkt integrieren:
B(t s , p) =
b
γ + λP f (p) (1 − exp [−(γ + λP f(p))t s ]) (9.3.1.15)
D(t s , p) =L
λP f(p)
γ + λP f (p) (1 − exp [−(γ + λP f(p))t s ]) (9.3.1.16)
Diese Gleichungen können einen Hinweis geben wie schnell asymptotische Verhältnisse bezüglich
t s erreicht werden. Für t s →∞ergibt sich
B ∗ (p) =B(∞, p) =
b
γ + λP f (p)
D(p) =L
λP f(p)
γ + λP f (p)
(9.3.1.17)
(9.3.1.18)
und daher:
Z(p) = b − λP f(p)L
γ + λP f (p)
− C(p) (9.3.1.19)
Bei nicht konstantem Nutzen ist
·Z U1
¸
B = E b(t)exp[−γt] dt =
0
Z ∞
0
b(t)exp[−γt] f 1 (t)dt (9.3.1.20)
mit U 1 der zufälligen Zeit zum ersten Versagen. Die Formel gilt auch bei endlicher Nutzungszeit
wobei die obere Grenze im Integral durch t s ersetzt wird.
232

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 9.3.1.1: Zielfunktion für Anlagen der Lagerstättenausbeutung
Anlagen zur Ausbeutung von Lagerstätten haben oft eine zunächst stark ansteigende Nutzenfunktion
bis letztere wegen Erschöpfung der Lagerstätte wieder abfallen. Die Anlage wird bis zum Ende
der Nutzungszeit t s betrieben oder nach einem Versagen aufgegeben. Die Nutzenfunktion kann
z.B. durch die Funktion b(τ) =aτ exp [−bτ 2 ] genähert werden. Wenn insbesondere die äußeren
Belastungsereignisse durch eine stationären Poissonprozeß mit Intensität λ beschrieben werden
können bei denen Versagen mit Wahrscheinlichkeit P f (p) eintritt und somit λ(p) =λP f (p) ist,
ist
B(t s , p) = aπ
¸
·1
16b (γ + (γ + λ(p)) 2
3 λ(p))2 γ exp
×
4 b
µ
¸
¸
·2bts + γ + λ(p)
·γ + λ(p)
× erf
2 √ − erf
b
2 √ b
(1)
und:
#
D(t s , p) =
λ(p)L
γ + λ(p) (1 − exp [−(γ + λ(p))t s]) (2)
9.3.2. Systematischer Wiederaufbau nach einem Versagen
Für den wichtigeren Fall des systematischen Wiederaufbaus nach einem Versagen und konstantem
b(t) =b ist
Z ∞
B = b e −γt dt = b (9.3.2.1)
0 γ
sowie
∞X
Z ∞
D(p) = (C(p)+H) exp [−γt] f n (t, p)dt (9.3.2.2)
n=1
= (C(p)+H)h ∗ 1 (γ, p)
worin das Integral in der ersten Zeile gerade der Laplacetransformation entspricht. h ∗ 1 (γ, p) ist die
Laplacetransformierte der Erneuerungsintensität, da wegen h 1 (t, p) = P ∞
n=1 f n(t, p) (vergl. Gl.
(7.1.5.3)) für die Laplacetransformierte gilt:
∞
h ∗ 1 (γ, p) = X
∞
fn ∗(γ, p) = X
f1 ∗(γ, p)[f(γ, p)]n−1 = f 1 ∗ (γ, p)
(9.3.2.3)
1 − f ∗ (γ, p)
n=1
n=1
Wenn die Erneuerungen einem gewöhnlichen Erneuerungsprozeß folgen, ist f1 ∗ (γ, p) im Zähler
durch f ∗ (γ, p) zu ersetzen. Für den Gleichgewichtsprozeß findet man die Laplacetranformierte
von Gl. (7.1.5.11) als f ∗ (γ, p) = 1−f ∗ (γ,p)
und als Erneuerungsintensität h ∗ (γ, p) = 1 mit
γm(p) γm(p)
m(p) dem Mittelwert der Erneuerungszeiten. Das ist auch das asymptotische, für alle Typen von
0
233

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Erneuerungsprozessen geltende Resultat (vergl. Gl. 7.1.5.9).
lim h(t, p) =lim
t→∞ γ→0 γh∗ (γ, p) = 1
m(p)
(9.3.2.4)
Für den Poissonprozeß gilt also wegen λ(p) = 1
m(p) speziell:
h ∗ (γ, p) = λ(p)
γ
(9.3.2.5)
Ganz generell kann man den Versagensprozeß asymptotisch durch einen Poissonprozeß mit Intensität
λ(p) ersetzen und es ist:
Z(p) = b γ
− C(p) − (C(p)+L)λ(p)
γ
= b γ
− C(p) −
(C(p)+L)
m(p)γ
(9.3.2.6)
Für andere Zeiten zwischen den Ereignissen kann man in einigen Fällen die Laplacetransformationen
analytisch angeben. Einige dieser Fälle sind in Tabelle 9.3.1 aufgelistet.
Name Dichtefunktion f(t) Laplacetransformation f ∗ (γ)
Deterministisch δ(a) exp [−aγ]
1
exp[−aγ]−exp[−bγ]
Rechteck
b−a
γ(b−a)
λ
Exponential
λ exp [−λt]
γ+λ
³ ´k
λ
Gamma
k
Γ(k) tk−1 λ
exp [−λt]
γ+λ
h
2t
Rayleigh
exp − ¡ ¢ i
t 2
1 − γw√ π
exp £ 1
w 2 w
2 4 γ2 w 2¤ erf c ¡ 1
2
1
Normal (t ≥ 0) √ 1
¡
2π
h− 1 t−µ
¢ i
2 1
exp £ 1
σ 2 σ Φ( µ σ ) 2 (γσ2 − 2µ) ¤ h 1+erf 1
σ √ 2 (µ−γσ2 )
2Φ( µ σ
h
i
µq
¸
)
t
Invers Normal 0σ
(2πt 3 ) −1/2 exp − a2 t
+ at 2σ 2 0
− t2 σ 2 0
a
exp
·−t 2σ 2 t
0 + 2γ − a
σ 4 σ 2 σ 2
Tabelle 9.3.1: Analytische R Laplacetransformationen für einige Modelle für Versagenszeiten
(erfc(x) = √ 2 ∞
exp π x
[−u2 ] du ist die komplementäre Gaußschen Fehlerfunktion)
Für kleine γ und bekanntem Mittelwert µ sowie bekannter Standardabweichung σ der Versagenszeiten
kann man eine Näherung für beliebig verteilte Versagenszeiten ableiten. Diese ist
die (zweiseitige) Laplacetransformation exp £ 1
γ 2 (γσ2 − 2µ) ¤ der Normalverteilung. Hierbei muß
γ ≤ 2µ/σ 2 gelten und natürlich V = σ/µ klein sein wegen f ∗ (γ) ≤ 1 . Falls die Bedingung
γ ≤ 2µ/σ 2 nicht erfüllt sein sollte, kann man auch durch die Gammaverteilung nähern, d.h. durch
³ ´k
f ∗ λ
(γ) =
γ+λ mit λ =
µ
und k = ¡ µ 2
σ σ¢
wobei k ganzzahlig sein muß 19 .
2
i
19
Die Verwendung einer stetigen Diskontierungsfunktion und stetige Dichten der Zeiten zwischen Ereignissen waren
Vorraussetzung für den Einsatz der Laplacetransformation. Man kann ähnliche Ergebnisse aber auch für diskrete
Modelle finden. Es sei p(n) =P (T = n) die Wahrscheinlichkeitsmassenverteilung (Dichte) eines diskreten Erneuerungsvorgangs
mit T der Zeit zwischen den Ereignissen E. Esseia 0 ,a 1 ,a 2 ,...eine Folge von ganzen Zahlen.
Die Funktion A(s) =a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + ... wird erzeugende Funktion der Folge a k genannt, wenn sie im Intervall
234

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Für das in Gl. (9.3.1.8) behandelte Modell geht man wie folgt vor. Nach Gl. (9.3.1.11) ist die
Laplacetransformierte für die Dichte der Zeit bis zum ersten Versagen g 1 (t) gleich
g ∗ 1 (γ) =
P f(p)f ∗ 1 (γ)
1 − R f (p)f ∗ (γ)
und folglich die aller anderen Zeiten zwischen den Versagensereignissen:
g ∗ (γ) =
P f(p)f ∗ (γ)
1 − R f (p)f ∗ (γ)
Entsprechend Gl. (9.3.2.2) ist daher der erwartete verzinste Schaden
D(p) =
∞X
(C(p)+L)
k=1
Z ∞
g ∗
= (C(p)+L)
1(γ)
1 − g ∗ (γ)
0
exp [−γt] g k (t)dt
−1

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und nach Einsetzen von g ∗ 1(γ) und g ∗ (γ)
D(p) = (C(p)+L)
P f (p)f ∗ 1 (γ)
1−R f (p)f ∗ (γ)
1 − P f (p)f ∗ (γ)
1−R f (p)f ∗ (γ)
= (C(p)+L) P f(p)f ∗ 1 (γ)
1 − f ∗ (γ)
(9.3.2.7)
Für einen Poissonprozeß der Belastungsereignisse (und damit auch für den Versagensprozeß) ist
speziell:
D(p) =(C(p)+L) P f(p)λ
(9.3.2.8)
γ
Beispiel 9.3.2.1: Optimierung der Zielfunktion (9.4.1.1)
Eine Illustration des Ansatzes (9.3.2.8) soll an einem einfachen Beispiel erfolgen. Der Lastprozeß
ist ein eindimensionaler, stationärer Poissonscher Rechteckwellenprozeß mit Sprungrate λ und
Versagensrate h(p) =λ(p) =λP f (p). Als Zustandsfunktion gilt g U (x) =R − S für denTragfähigkeitszustand.
Als Bemessungparameter wird der zentrale Sicherheitsfaktor p = m R /m S
gewählt. Dann lautet Gl. (9.3.2.8) bei konstantem Nutzen b = βC 0 , konstantem Zinssatz γ und
bei systematischem Wiederaufbau
Z(p) = b γ − (C 0 + C 1 p)
−(C 0 + C 1 p + L) λ(p)
γ
(1)
mit
⎛ n o ⎞
1+V 2
⎜
ln pq
S
1+VR
λ(p) =λΦ ⎝−p 2 ⎟
ln ((1 + V
2
R )(1 + VS 2))
⎠ (2)
Bei Aufgabe der Anlage nach einem Versagen ist nach Gl. (9.3.1.19) für t s →∞
Z(p) =
b
γ + λ(p) − (C 0 + C 1 p) − L
λ(p)
γ + λ(p)
(3)
Die Lösung wird am einfachsten aus
∂Z(p)
=0 (2)
∂p
gewonnen. Das Differenzieren und die Nullstellensuche führt man am besten numerisch aus. Die
Parameterannahmen, die für Brücken typisch sein mögen, sind in Abb. 9.2 angegeben. Die Zielfunktion
wird nur positiv in einem bestimmten Bereich, wenn β in b = βC 0 rund das zweifache
oder mehr von γ beträgt. Wenn Z(p) überall negativ ist, ist ein positives Z(p) nur durch Erhöhung
von B ∗ zu erreichen. Interessant sind der Verlauf des Nutzen-und Schadensterm bei Aufgabe der
236

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 9.2.Kostenanteile (R und S log-normalverteilt,λ= 100, b =0.08,γ = 0.03, C 1 /C 0 = 0.03, H/C 0 =
3), durchgezogene Linien für systematischen Wiederaufbau, gestrichelte Linien für Aufgabe nach einem
Versagen
Anlage nach dem Versagen. Man beobachtet für den Fall systematischen Wiederaufbaus nach dem
Versagen im Einzelnen Folgendes (vergl. auch Abb. 9.3,9.4 und 9.5):
• Wenn C 1 um eine Größenordnung angehoben wird, vergrößert sich die optimale Versagensrate
ebenfalls um rund eine Größenordnung. Fürgrößere C 1 ist die Abnahme geringer. Realistisch
sind jedoch nur Werte von etwa C 1 ≈ 0.005 bis höchstens 0.1.
• Wenn L um eine Größenordnung wächst, erniedrigt sich die optimale Versagensrate um eine
Größenordnung. Für sehrgroße L ist die Abnahme geringer. L/C 0 variiert realistisch von
weniger als 1 bis kaum über 10.
• Mit dem Zinssatz erniedrigt sich die optimale Versagensrate, allerdings nicht sehr stark. Im Fall
von Abb. 9.5 ist die Zielfunktion oberhalb von γ =0.055 überall negativ.
• Vergrößerung der Sprungrate λ resultiert in nur unerheblichen Verkleinerungen der optimalen
Versagensrate.
• Der Variationskoeffizient sowohl der Einwirkung als auch des Widerstandes haben großen Einfluß
auf die optimale Versagensrate und die Größe von Z(p). Die optimale Versagensrate nimmt
mit den Streuungen zu und zwar ungefähr um eine Zehnerpotenz für die gewählten Stufungen
der Variationskoeffizienten (bei Variationskoeffizienten V R,L ≈ 0.1 bis V R,L ≈ 0.5). Das
kann auch für andere, realistische Modelle für Einwirkung und Widerstand gezeigt werden.
Bei großen Variationskoeffizienten der Last und/oder des Widerstandes ist die Zunahme der
optimalen Versagensrate geringer als bei kleinen Variationskoeffizienten.
• Alle optimalen Versagensraten sind unter realistischen Bedingung in der Größenordnung von
5 · 10 −5 für das Tragfähigkeitsversagen.
#
237

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
hopt
0.01
1 .10 3
H = 3×
10 6
VS = 0.5, VR = 0.3
λ = 100
VS = 0.3, VR = 0.3
VS = 0.2, VR = 0.1
1 .10 4
1 .10 5
0 2.10 4 4 .10 4 6 .10 4 8 .10 4 1 .10 5 1.2 .10 5 1.4 .10 5 1.6 .10 5
C1
Abb. 9.3.Einfluß von C 1 auf Versagensrate für verschiedene Kombinationen von Variationskoeffizienten
9.4. Beliebige Versagensprozesse und andere Erneuerungsursachen
9.4.1. Verwendung der Austrittsrate
In Abschnitt 7.4 wurde gezeigt, daß der Versagensprozeß unter ganz allgemeinen Bedingungen
asymptotisch zu einem (homogenen) Poissonprozeß wird, wobei die stationäre Austrittsrate ν + U
(p, R, Q),
die z.B. nach Abschnitt 7.2 und 7.3 bzw. Abschnitt 7.4 für verschiedene Belastungsprozesse berechnet
werden kann, an die Stelle der Intensität λ(p, R, Q) tritt. Damit liegen aber die gleichen
Bedingungen wie für Gl. (9.3.2.4) bzw. (9.3.2.8) vor. Sie lautet damit
Z(p) = b γ − C(p) − (C(p)+L)E R,Q
£
ν
+
U
(p, R, Q)¤
γ
(9.4.1.1)
Der Index ’’U’’ soll auf Versagen im Grenzzustand der Tragfähigkeit hinweisen. Das ist ein weitreichendes
Resultat. Muß hier doch nur eine Austrittsrate berechnet werden und keine Versagenswahrscheinlichkeit
pro Referenzzeitraum. Zielvorgabe im Hinblick auf Zuverlässigkeit ist eine
Versagensrate. Zweckmäßigerweise wird diese auf ein Jahr bezogen. Entsprechend ist imh
asymptotischen
Fall bei Bekanntsein des Mittelwerts der Zeiten zwischen den Erneuerungen 1 E 1
i
γ m(p,R,Q)
als ’’Zinsfaktor’’ zu nehmen und analog in den anderen Fällen. Die Erwartungswertbildung über
R und Q ist in Gl. (9.4.1.1 ) so richtig, weil unterstellt ist, daß sich bei jeder Erneuerung R und Q
sowie die ’’Belastung’’ S unabhängig neu realisieren und deshalb die Poissonsche Natur der Versagensereignisse
gesichert ist. Und man beachte, daß E [g(X)] 6= g(E [X]). Die Abhängigkeit der
Versagensrate von den Parametern R und Q wird im Folgenden meist nicht ausgeschrieben. In
diesem Zusammenhang sei auch auf die Ergebnisse in den Gl. (7.1.3.6) bis (7.1.3.8) hingewiesen.
9.4.2. Versagen bei Inbetriebnahme
Auf einfache Weise kann man Versagen bei Inbetriebnahme berücksichtigen. Bei konstanter Nutzenrate
und Poissonschem Versagen ist:
Z(p) = b µ
γ − C(p)+(C W (p)+L W ) P
f,W(p)
R f,W (p)
238

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
0.01
1 .10 3
C1 = 3 × 10 4
λ = 100
VS = 0.5, VR = 0.3
hopt
1 .10 4
VS = 0.3, VR = 0.2
1 . 10 5
VS = 0.2, VR = 0.1
1 .10 6
0 1.10 7 2 .10 7 3 .10 7 4 .10 7 5 .10 7
H
Abb. 9.4.Einfluß von H auf Versagensrate für verschieden Kombinationen von Variationskoeffizienten
µ
−(C(p)+L) 1+ P f,W(p)
1 − P f,W (p)
(C W (p)+L W ) λ(p)
(C(p)+L) γ
(9.4.2.1)
Darin kommt zum Ausdruck, daß unmittelbar nach einem Versagen die Schadenskosten (C W (p)+
L W ) nach dem Wiederaufbau mehrfach mit Wahrscheinlichkeit P f,W (p) anfallen können. Es
wird Gl. (9.2.2) verwendet. Hierbei wird zweckmäßigerweise zwischen den Wiederaufbaukosten
C W (p) und den Versagenskosten L W in der Errichtungsphase und den Wiederaufbau- und
Versagenskosten C(p)+L während der Nutzung unterschieden. Ist E [T W,1 ] der Erwartungswert
der unabhängig und identisch verteilten Wiederaufbauzeiten, h so ist die in Gl. (9.4.2.1) zu verwendende
mittlere Bauzeit wegen E [Y ]=E
PN
i
i=1 X i = E [X] E [N] (N zufällig und geometrisch
nach p(n) =P f,W (p) n−1 R f,W (p) verteilt) gleich E [T W ]=E [T W,1 ] /R f,W (p), also in der Regel
eine Zahl nur wenig größer als E [T W,1 ] für R f,W (p) . 1. Im allgemeinen ist die Verbesserung
durch Gl. (9.4.2.1) jedoch unerheblich.
9.4.3. Veraltung
Oft wird eine bauliche Anlage erneuert weil sie veraltet, d.h. weil sie den Anforderungen an
Funktionstüchtigkeit nicht mehr gerecht wird. Sie muß abgerissen werden und in neuer Form wiedererstellt
werden. Für Brücken, die heute im wesentlichen deshalb veralten weil sie den immer
dichteren und schwereren Lastwagenverkehr nicht mehr bewältigen können, gibt es z.B. eine entsprechende
japanische Untersuchung [80] . Für andere bauliche Anlagen gibt es ähnliche Untersuchungen.
Erneuerung wegen Veraltens ist also eine Alternative zur Strategie des systematischen
Wiederaufbaus nach einem Versagen. Es sei unterstellt, daß bei einer Erneuerung infolge Veraltung
die gleichen Regeln wie für den systematischen Wiederaufbau nach einem Versagen gelten, d.h.
die stochastischen Eigenschaften der erneuerten Anlage sind die gleichen wie die der ursprünglichen
Anlage. Außerdem sind sie stochastisch unabhängig voneinander.
Veraltung drückt sich oft durch einen mit der Zeit abnehmenden ’’Gewinn’’ b(t) pro Zeiteinheit
aus [69] . b(t) nimmt beispielsweise ab, weil die Produktionsanlagen in Industriebauten allmählich
veralten und unproduktiv werden, weil die Breite und Tragfähigkeit von Brücken bei zunehmendem
Verkehrfluß und immer schwererem Verkehr die Nutzung zunehmend einschränken oder
weil sich mit dem Alter eines Bauwerks zunehmend kostspieligere Unterhaltungsarbeiten einstellen,
die den Nutzen pro Zeiteinheit vermindern. Bei jeder ’’Erneuerung’’ nach einem Versagen
239

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
5 . 10 4 gamma
3.75 . 10 4
C1 = 3 × 10 4
H = 3×
10 6
hopt
2.5 . 10 4
1.25 . 10 4
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Abb. 9.5.Abhängigkeit der optimalen Versagensrate vom Zinssatz
beginnt b(t) bei dem gleichen b(0) und verändert sich mit t in gleicher Weise. Dann ist wegen
T n = P n
j=1 τ j und unter Beachtung der Tatsache, daß T n−1 unabhängig von τ n ist
B T =
=
Z τ 1
0
Z τ 1
0
exp [−γt] b(t)dt +
exp [−γt] b(t)dt +
∞X
n=2
Z τ n
0
exp [−γ(T n−1 + t)] b(t)dt
∞X
exp [−γT n−1 ]
n=2
Z τ n
0
exp [−γt] b(t)dt (9.4.3.1)
wobei die τ j unabhängige Zufallsvariable sind über die die Erwartung zu bilden ist. Mit
B D (t) =
Z t
erhält man anstelle von Gl. (9.3.1.20) nach einiger Rechnung:
0
exp [−γt] b(t)dt (9.4.3.2)
B =
=
=
Z ∞
0
Z ∞
0
Z ∞
0
B D (t)f 1 (t)dt +
à ∞
X
n=2
Z ∞
0
! Z ∞
e −γt f n−1 (t)dt B D (t)f(t)dt
à ∞
!
X
Z ∞
B D (t)f 1 (t)dt + f1 ∗ (γ)[f ∗ (γ)] n−2 B D (t)f(t)dt
B D (t)f 1 (t)dt +
n=2
f ∗
1 (γ)
1 − f ∗ (γ)
Z ∞
0
0
0
B D (t)f(t)dt (9.4.3.3)
Für den stationären Poissonschen Versagensprozeß mit Intensität λ ist:
µ Z λ + γ ∞
B =
B D (t)λ exp [−λt] dt (9.4.3.4)
γ
0
240

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 9.4.3.1: Zeitabhängiger Nutzen
Es werde z.B.
B(p) = b 0
γ
b(t) =b 0 (1 + b 1 t m ) (1)
angesetzt. Der Parameter b 1 wird so bestimmt, daß b(t s ) = 0 mit t s einer beabsichtigten, zu
wählenden Nutzungsdauer, d.h. b 1 = −t −m
s . Durch Wahl größerer, ganzer Werte von m (m ≥ 2)
kann man berücksichtigen, daß der Nutzen pro Zeiteinheit lange nahezu konstantes Niveau behält
und gegen t s zu steil abfällt. Für stationäres Poissonsches Versagen mit dem Parameter λ(p) kann
man Gl. (9.4.3.4) integrieren und erhält:
µ
1+
(2)
b 1 m!
(λ(p)+γ) m
Nun hängt B auch von λ(p) und Parametern der Nutzenfunktion wie b 0 ,b 1 und m ab.
#
Veraltung wirkt sich auch im Schadensterm aus. Die Anlage (oder besser Komponente) wird erneuert
wenn entweder der Zustand der Veraltung erreicht ist oder vorher ein Versagen eintritt. Es
handele sich um unabhängige Ereignisse. Die Zeiten zwischen Erneuerungen sind wie
verteilt. Die entsprechende Dichte ist
und die Laplacetransformation ist
Es folgt, daß
F (t) =1− (1 − F A (t))(1 − F V (t)) = 1 − ¯F A (t) ¯F V (t) (9.4.3.5)
D(p) =
f(t) =f A (t) ¯F V (t)+f V (t) ¯F A (t) (9.4.3.6)
f ∗∗ (γ, p) =f ∗∗
∗∗
A| ¯V
(γ)+fV |Ā(γ) (9.4.3.7)
∗∗
∗∗
(C(p)+A)f (γ)+(C(p)+L)f (γ, p)
A| ¯V V |Ā
1 − (f ∗∗
A| ¯V
(γ)+f
∗∗
V |Ā (γ, p)) (9.4.3.8)
Hierin sind A die Abbruchkosten. Zur Unterscheidung von der gewöhnlichen Laplacetransformierten
f ∗ (γ) für Dichtenwirdfür die modifizierten Laplacetransformierten die Bezeichnung
f ∗∗ (γ) verwendet. Es ist f ∗∗ (γ) ≤ f ∗ (γ) 20 .
20
Diese Gleichung leitet sich z.B. wie folgt ab. Es seien θ i = t i − t i−1 die Zeiten zwischen den Erneuerungen mit
Dichte f A,V (t) und z.B. C A und C V die den beiden Gründen für Erneuerungen zugeordnete Kosten. Dann sind die
erwarteten Kosten
" ∞
"
X
D = E (C A + C V )exp −γ
=
n=1
##
nX
θ k
k=1
∞X
E [exp (−γθ)] n−1 E [(C A + C V )exp[−γθ]]
n=1
241

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 9.4.3.2: Modifizierte Laplacetransformierte bei Erneuerung nach Veraltung oder Poissonschem
Versagen
Es sei f V (t) =λ exp [−λt] wobei für andere Verteilungen der Zeiten zwischen den Versagensereignissen
näherungsweise die asymptotischen Resultate (9.3.2.4) bis (9.3.2.6) mit λ = 1 herangezogen
werden können. Die modifizierten Laplacetransformierten für Veraltung zu einem de-
m
terministischen Zeitpunkt a und für exponential- Rayleigh- und normalverteilten Zeiten sind in
der nachfolgenden Tabelle angegeben. Exponentiell verteilte Veraltungszeiten mögen etwas unrealistisch
sein. Eine einparametrige aber realistischere Verteilung ist die Rayleighverteilung. Die
Normalverteilung ist, wie erwähnt, auch die Grundlage für asymptotische Laplacetransformierte
(µ und σ bekannt). Beide haben eine wachsende Risikofunktion, d.h. r Ray (t) =2t/c 2 bzw.
t
r N (t) = .
t→∞ σ
f A (t)
f V (t)
δ(a)
λ exp [−λt]
β exp [−βt]
λ exp [−λt]
2t
exp
w 2
h i
− t2
w 2
λ exp [−λt]
h
√ 1
2πσ
− 1 2
λ exp [−λt]
#
¡ t−µ
σ
¢ 2
i
fA ∗∗ (γ) = R ∞
exp [−γt] f
0 A (t)exp[−λt] dt
fV ∗∗ (γ, p) = R ∞
exp [−γt] λ exp [−λt] ¯F 0 A (t)dt
exp [−(γ + λ)a]
λ
(1 − exp [−(γ + λ)a])
γ+λ
β
γ+λ+β
λ
γ+λ+β
w(γ+λ) √ ¡ ¡
π
2 erf w (γ + λ)¢ − 1 ¢ h i
w
exp 2
(γ + 2 4 λ)2 +1
wλ √ π
erf £ h i
w
(γ + λ)¤ w
exp
2
(γ + 2 2 4 λ)2
exp £ 1
(γ + λ)((γ + 2 λ)σ2 − 2µ) ¤ ³ ´
Φ (γ+λ)σ−µ
σ
³ h i
exp (γ+λ) 2 σ 2
Φ ¡ µ
λ exp[−(γ+λ)µ]
(γ+λ)σ
2
σ − σ2 (γ + λ) ¢ − exp [−µ(γ + λ)] Φ ¡ − µ σ
¢´
9.4.4. Zeitabhängiger Schaden
Auch der Schadensterm kann von t abhängen. Beispielsweise kann sich der direkte Schaden im
Laufe der Zeit vergrößern weil sich wertvolle Güter ansammeln. Auch könnensichdieWiederaufbaukosten
(ohne Inflation) wegen zunehmend eingeschränkter Resourcen erhöhen. Hier geben
wir nur das durch Verallgemeinerung eines Ansatzes von Feller (siehe [49] ) erhaltene Ergebnis
an. Mit K(t, p) =C(t, p)+L(t) ist
R ∞
exp [−γt] K(t, p)f(t, p)dt
0
D(p) =
(9.4.4.1)
1 − f ∗ (γ, p)
Natürlich muß das Integral konvergieren.
= E [(C A + C V )exp[−γθ]]
= E [C A exp [−γθ]] + E [C V exp [−γθ]]
1 − E [exp (−γθ)]
1 − E [exp (−γθ)]
= C Af ∗∗
A| ¯V (γ)+C V f ∗∗ (γ, p)
V |Ā
1 − (f ∗∗ (γ)+f
∗∗
A| ¯V
V |Ā (γ, p)) 242

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
9.4.5. Alterung
Auch Ermüdung oder Alterung (Korrosion, Verschleiß, etc.) kann mit dem gleichen Konzept behandelt
werden. Dabei ist entscheidend, ob der Schädigungsprozeß langsam vonstatten geht oder
ob die Methode der Austritte angewandt werden muß (vergl. Abschnitt 7.7.). Allgemein ist:
M(p) =(C M (p)+M)h ∗ M (γ, p) (9.4.5.1)
C M (p) sind die Reparaturkosten, die bei einem Schaden der Größe M unverzüglich anfallen.
Beispiel 9.4.5.1: Materialermüdung
Als Beispiel werde zunächst Materialermüdung nach Wöhler untersucht. Die mittlere Lebensdauer
ist bekanntlich N = ν 0 t = C∆S −m .Cund m sind Materialparameter. ∆S ist die angelegte
Spannungsspannweite. Wenn es sich um Zufallsbelastung handelt, muß eine schädigungsgleiche
Einstufenbelastung ∆S genommen werden. ν 0 ist Anzahl der Beanspruchungszyklen pro Zeiteinheit.
In befriedigender Übereinstimmung mit Experimenten kann man eine Exponentialverteilung
für die Lebensdauern annehmen. Also ist
E [T,p,R] =
C
ν 0 (∆S/p) m (1)
und damit:
·
M(p) =(C M (p)+M)E
1
T,p,R
¸ ¸ 1
·ν0
γ =(C (∆S/p) m 1
M (p)+M)E R
C γ
(2)
Der Parameter p ist hier bei ∆S angebracht, da diese Größe oftdieeinzigeGröße ist, die man im
Hinblick auf Zuverlässigkeit durch entsprechende Bemessung (z.B. Vergrößerung der Konstruktionshöhe)
verändern kann. R hat beispielsweise die Komponenten C und m. Die Exponentialverteilung
hat eine konstante Risikofunktion und ist daher für Alterungsvorgänge nicht gut geeignet.
Besser wäre es ohne Zweifel von einer Weibullverteilung mit k>1 auszugehen. Ähnlich geht
man bei anderen Alterungsvorgängen vor.
#
In vielen Fällen bei zeitabhängiger Alterung kann man eine Verteilungsfunktion der Zeiten zwischen
der Versagensereignissen nicht direkt angeben, sondern muß sie numerisch berechnen. Wenn
es sich um strikt monotone, kumulative Schadensvorgänge handelt (siehe Gl. (7.7.5)), kann F T (t)
nach
F T (t) =P f (t) =P (g(X,t) ≤ 0)) ≈ Φ(−β(t))C SORM (t) (9.4.5.2)
mit einer der üblichen Methoden berechnet werden. Auf die Berücksichtigung der Abhängigkeit
des SORM-Korekturfaktors wird in der Regel verzichtet. Natürlich ist f T (t) =−ϕ(β(t)) dβ(t)
und r(t) =− ϕ(β(t))
Φ(β(t))
numerisch erfolgen.
dβ(t)
dt
(ohne SORM-Korrektur). Die Bildung der Laplacetransformierten muß
dt
Beispiel 9.4.5.2: Ein einfaches Alterungsproblem
Die (asymptotische) Zielfunktion sei
243

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Z(p)
= b µ
− 1+ C µ
1
p a − 1+ C 1
p a + H
1
C 0 γC 0 C 0 C 0 C 0 γE[T (p)]
(1)
E[T (p)] wird nach GL. (7.1.2.3) berechnet und zwar für einen linearen Abfall des Widerstandes.
mit
Z 1/c 2
E[T (p)] = 1 − (Φ (−h(0,p)) + Φ (h(0,p)) Φ (−h(t, p)) dt (2)
0
n
ln p(1 − c √ o
1+V 2
t)q
S
1+VR
h(t, p) = p 2 ln ((1 + V
2
R )(1 + VS 2))
(3)
Es gelten wieder die Parameter: C 0 =10 6 ,C 1 =10 4 ,a=1.5, H=5.8 · 10 6 ,b=0.125C 0 , γ =
0.02 sowie V R = 0.3, V S = 0.3 und c = 0.1. Die Optimierung ergibt p ∗ = 11.3, dem eine
1
Versagensrate von =0.012 oder eine mittlere Zeit zwischen dem Versagen von E[T (p)] =
E[T (p)]
81.8 entspricht. Diese Rechnung weicht befriedigend wenig von einer genauen Rechnung bei
f
exaktem Zinsfaktor
∗ (γ,p)
1−f ∗ (γ,p) ,f∗ (γ,p)= R 1/c 2
e −γt f(t, p)dt und f(t, p) =δ(0)Φ(h(0,p))
0
c(1−2c √ t)
+Φ (h(0,p))
4t 3/2 (−1+c √ q
t) 2 ln((1+VR 2)(1+V S 2))ϕ(h(t, p)))mitp∗ =11.8 und E[T (p)] = 82.5 ab.
#
Wenn die Methode der Austritte verwendet werden muß, ist die asymptotische Lebensdauerverteilung
(Abhängigkeit von R, Q und p weggelassen)
mit der Dichte
F (t) =1− exp
·
−
·
f(t) =ν + (t)exp −
Z t
0
Z t
0
¸
ν + (τ)dτ
¸
ν + (τ)dτ
(9.4.5.3)
(9.4.5.4)
zu bestimmen. Die zugehörige Laplacetransformation ist numerisch zu bilden und kann numerisch
rechenaufwendig werden. Leichter und für viele praktische Zwecke völlig ausreichend ist es,
die asymptotische Erneuerungsdichte Gl. (9.3.2.4) zu bestimmen, was im wesentlichen auf die
Bestimmung des Mittelwertes der Zeiten zwischen den Erneuerungen hinausläuft. Man verwendet
Gl. (7.1.2.3) mit
F T (t) =P f (t) ≤ P f (0) +
Z t
0
ν + (τ)dτ ≤ 1 (9.4.5.5)
wobei meist P f (0) = 0 genommen werden kann. Die dazugehörige Dichte ist nach Gl. (7.8.1)
f T (τ) =P f (0)δ(0) + ν + (τ). Sowohl F T (t) als f T (τ) sind natürlich nur dann relativ gute Näherungen,
wenn es sich um stark alternde Komponenten handelt. Der Vorteil der Formulierungen
(9.4.5.2) und (9.4.5.3) zusammen mit Gl. (7.1.2.3) liegt darin, daß man mit der FORM/SORM-
244

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Methode und t als (deterministischen) Parameter die im allgemeinen notwendige Erwartungswertbildung
über R und Q ohne Schwierigkeiten miterledigen kann. Mit Gl. (9.4.5.5) wird die rechte
Seite von Gl. (9.4.5.3 ) etwas zu groß ermittelt, was im Hinblick auf Abb. 7.5 hingenommen
werden kann.
Beispiel 9.4.5.3: Untersuchung von Gl. (9.4.5.5)
Die Untersuchung wird für zwei instationäre, skalare Prozesse mit vorgegebener, deterministischer
Schwellenwertfunktion
a(t) =a 0 + a 1 t m (1)
durchgeführt. Der Normalprozeß hat entsprechend Gl. (7.3.2.5) die Austrittsrate
und der Recheckwellenprozeß entsprechend Gl. (7.2.2.1)
ν + N (a(τ)) = ω 0ϕ(a(τ))Ψ(ȧ(τ)/ω 0 ) (2)
ν + J
(a(τ)) = λΦ(a(τ))Φ(−a(τ)) (3)
Im einzelnen nehmen wir an: a 0 =5, a 1 = −0.000005, m =2, λ = ω 0 = 100,µ=0, σ =1. Das
bedeutet, daß die Austrittsrate für beide Prozesse für t = 1000 Zeiteinheiten maximal wird. Die
Laplacetransformierte wird für γ =0.05 durch numerische Integration fN(0.05) ∗ = 1.212 · 10 −3
für den Normalprozeß und fJ(0.05) ∗ = 5.856 · 10 −4 für den Recheckwellenprozeß. Damit ist
der ’’Zinsfaktor’’ oder die Laplacetransformierte der Erneuerungsdichte nach Gl. (9.3.2.3), d.h.
h ∗ (γ) =
f ∗ (γ)
, in beiden Fällen näherungsweise gleich f ∗ (γ).
1−f ∗ (γ)
Das Maximum der Versagensdichte ist etwa um den Faktor 2 gegenüber dem Maximum der Austrittsrate
nach links verschoben. Mittelwert und Standardabweichung der Versagenszeiten sind
E[T ] = 473 und D[T ] = 86.6 für den Normalprozeß sowie E[T ] = 504 und D[T ] = 77.5
für den Rechteckwellenprozeß, jeweils durch numerische Integration gewonnen. Das ergibt einen
Variationskoeffizienten von rund 15 % in beiden Fällen - also eine relativ geringe Streuung der
Versagenszeiten. Die mittlere Versagensrate ist in beiden Fällen 1/E[T ] ≈ 0.002.
30
20
Rechteckwellenprozeß
0.01
0.0075
Rechteckwellenprozeß
10
Normalprozeß
0.005
0.0025
Normalprozeß
0
0 500 1000 1500 2000
Zeit
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Zeit
Abb. 9.6.Austrittsrate und Versagensdichte für Normalprozeß (——) und Rechteckwellenprozeß (----)in
Beispiel 9.4.4.3
Die Ermittlung der exakten Erneuerungsdichte erweist sich bereits in diesem einfachen Beispiel
als außerordentlich aufwendig.
#
245

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 9.4.5.4: Berechnung der mittleren Versagenszeiten bei Rißfortschritt
Es gelten die Grundlagen von Beispiel 7.7.1 und n = ν 0 t. Die Parameterannahmen sind in nachfolgender
Tabelle zusammengefaßt.
Variable Verteilung Parameter
a 0 Rayleigh 1,0.4
C · 10 13 Normal 0.02,0.002
E [∆S] Konstant 50
m Konstant 3.5
a cr Konstant 10
ν 0 Konstant 100000
Die Einheiten sind so gewählt, daß die Rißlänge in mm und die Zeit in Jahren gemessen wird.
Mit FORM/SORM wird eine Parameterstudie über t berechnet (siehe Abb. 9.5) und hieraus durch
numerische Integration ein Mittelwert von 9.4 Jahren und ein Variationskoeffzient von 0.54 berechnet.
Dieser ist groß genug um die Größe 1/m(p) als Näherung für die wahre Erneuerungsdichte
akzeptieren zu können.
#
9.4.6. Präventive Unterhaltung
Abb. 9.7.Verteilungsfunktion der Versagenszeit
Die Gl. (9.4.3.5) bis (9.4.3.8) lassen sich im Hinblick auf nur zu bestimmten Zeitpunkten erfolgende
Erneuerungen noch anders interpretieren. Z.B. sei das Ereignis der Veraltung und die darauf
folgende Erneuerung als Reparatur interpretiert. Wiederum seien die Zeiten bis zum Versagen und
die Zeiten bis zur Reparatur unabhängig und zufällig. Dann ist
D(p) =
∗∗
∗∗
Rf (γ)+(C(p)+L)f (γ, p)
R| ¯V V | ¯R
1 − (f ∗∗
R| ¯V
(γ)+f
∗∗
V | ¯R (γ, p)) (9.4.6.1)
R bezeichnet die Reparaturkosten. Wichtig ist, daß Erneuerungen zu bestimmten Zeiten erfolgen,
nämlich entweder nach einem Versagen oder bei einer Reparatur. Realistischer sind jedoch
Unterhaltskosten, die sich aus den Kosten für Inspektionen und für eventuelle Reparaturen zusammensetzen.
Inspektionen werden im allgemeinen aus organisatorischen Gründenzuregelmäßigen
Zeitpunkten a, 2a, 3a, ... vorgenommen. Barlow/Proschan [8] zeigten sogar, daß Reparaturen zu
zufälligen Zeiten größere Kosten verursachen als wenn diese zu regelmäßigen (periodischen) Zeit-
246

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
punkten vorgenommen werden. Entsprechend erfolgen Reparaturen auch nur zu diesen Zeitpunkten
(oder mit etwas Verzögerung, etwa zu den Zeitpunkten a + ∆ 1 , 2a + ∆ 2 , 3a + ∆ 3 ,...). Inspektionen
und eventuell auch Reparaturen erfolgen nur wenn nicht vorher schon wegen Veraltens oder
nach einem Versagen erneuert wurde. Es sei unterstellt, daß Reparaturen den ursprünglichen Zustand
wiederherstellen und mit Wahrscheinlichkeit Eins von Erfolg gekrönt sind. Sie entsprechen
daher Erneuerungen. Reparaturzeiten werden im Vergleich zu a zunächst als vernachlässigbar kurz
angenommen. Außerdem macht es nur Sinn, von einer alternden Komponente mit zunehmender
Risikofunktion r(t) auszugehen.
Eine Erneuerung erfolge entweder nach einem Versagen oder zum deterministischen Zeitpunkt a.
Veraltung wird vernachlässigt. Dann ist offensichtlich für ∆ i =0:
∗∗∗
(C(p)+L)(fV
Z(p,a) =B − C(p) − (γ, p,a)+R(p)exp[−γa] ¯F V (p,a)
1 − (fV
∗∗∗(γ,
p,a)+exp[−γa] ¯F (9.4.6.2)
V (p,a))
Die Laplacetransformierte für eine deterministische Reparaturzeit f(a) = δ(a) ist bekanntlich
f ∗ (γ) =exp[−γa] .
Wenn vorher inspiziert wird, folgt jedoch nicht notwendigerweise eine Reparatur. Reparatur (d.h.
eine Erneuerung) erfolgt nur mit Wahrscheinlichkeit P R (a) und Inspektions- und Reparaturkosten
müssen entsprechend berücksichtigt werden. Die Inspektionskosten müssen getrennt behandelt
werden, da mit Inspektionen allein keine Erneuerung verbunden ist.
J(a) =
Damit ist die Zielfunktion:
∞X
exp [−γna] ¯F V (p,a) =
n=1
I exp [−γa] ¯F V (p,a)
1 − (exp [−γa] ¯F V (p,a))
(9.4.6.3)
Z(p,a) =B − C(p) − J(a) − D(p,a) (9.4.6.4)
mit
D(p,a) = N (9.4.6.5)
D
N = (C(p)+L)(fV
∗∗∗ (γ, p,a)+A12) + R(p)(P R(a)exp[−γ(a)] ¯F V (p,a)+A22)
D = 1− ¡ fV ∗∗∗ (γ, p,a)+A12 + +P R (a)exp[−γ(a)] ¯F V (p,a)+A22 ¢
A12 =
∞X
n−1
Y
(1 − P R (ja))fV
∗∗∗∗ (γ, p, (n − 1)a ≤ t ≤ na)
n=2 j=1
A22 =
∞X
n=2
n−1
Y
P R (na) (1 − P R (ja)) exp [−γ(na)] ¯F V (p,na)
j=1
Darin sind:
P R (a) =die Wahrscheinlichkeit der Reparatur nach einer Inspektion
a = das deterministische Inspektionsintervall
247

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
I = die Kosten pro Inspektion
R(p) =die Reparaturkosten
fX
∗∗∗(γ,a,p)
=R a
exp [−γt] f 0 X(t)dt = die unvollständige Laplacetransformierte von f X (t)
Im allgemeinen genügt es, nur wenige Summenglieder in den Ausdrücken A12,A22... zu berücksichtigen.
Sie berücksichtigen, daß Erneuerungen durch Reparatur auch zu Zeitpunken 2a, 3a, ...
stattfinden können.
Wenn der Nutzen konstant ist, hat man B(p,a) = b . Für nicht konstanten Nutzen b(t) analog Gl.
γ
(9.4.3.3) ist
B(p,a) = NB
(9.4.6.6)
ZD
a
NB = B D (t)f V (t, p)dt + B12 +
0
+B D (a) ¯F V (p,a)+B2
B12 =
∞X
n=2
Z na
(n−1)a
n−1
Y
BD(t)
∗ (1 − P R (ja))f V (t, p)dt
j=1
B2 =
∞X
n=2
n−1
Y
BD(na)
∗ (1 − P R (ja)) ¯F V (p,na)
j=1
mit
B D (t) = R t
exp [−γt] b(t)dt
0
BD ∗ (t) =R t
exp [−γt] b(t)dt
(n−1)a
Die Reparaturwahrscheinlichkeit hängt natürlich von der Größe eines geeigneten Schadensindikators
ab. Bei kumulativen Schädigungserscheinungen nimmt P R (a) vernünftigerweise mit a zu,
d.h. P R (a) =P (S(a, X) >s c ) mit S(a, X, p) einem in a monoton wachsenden Schädigungsindikator
und X einer Zufallsvariablen, die die Unsicherheiten bei der Inspektion erfaßt. Häufig wird
man die Länge der Inspektionsintervalle ihrerseits als Optimierungsparameter verwenden wollen.
Den Fall ohne Inspektion, ohne Veraltungserneuerungen und mit P R (a) =1findet man schon in
der Literatur (siehe [52] [175] u.a.). Er wird auch als präventive Erneuerung (Ersatz einer alternden
Komponente nach endlicher Einsatzzeit a) interpretiert. Von korrektiver Erneuerung spricht
man bei einer Erneuerung nach einem Versagen. Es muß erwähnt werden, daß Gl. (9.4.6.3) nicht
immer eine Lösung hat. Lösungen können erwartet werden, wenn die Komponenten stark altern
(wachsende Risikofunktion), bei großem P R (a, p) und großen Schadenskosten L.
Inspektionsergebnisse und die daraus folgenden Entscheidungen für Reparatur oder Nichtreparatur
und die Zeiten bis zum Versagen hängen in der Regel von den gleichen physikalischen Alterungsprozessen
ab. Sie sind daher hoch (stochastisch) abhängig voneinander. Das kann und sollte
generell berücksichtigt werden. Für das Produkt im Term A12 kann man schreiben
f ∗∗∗∗ (γ, p, (n − 1)a ≤ t ≤ na) =
Z na
(n−1)a
n−1
d
exp [−γt]
dϑ P ( \ © ª ¯R(ja) ∩ {TF ≤ ϑ}) |ϑ=t dt
j=0
(9.4.6.7)
248

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Darin ist ¯R(ja) das Ereignis der Nichtreparatur bei der j-ten Inspektion. T F istndie zufällige Zeit bis
Tn−1 © ª
zum Versagen. Nach einer Wahrscheinlichkeitstransformation ist das Ereignis
j=0
¯R(ja) ∩ {TF ≤ t}o
n Tn−1
o
durch
j=0 {s c − S(ja,U R,j ) > 0} ∩ {g(U F ,t) ≤ 0} gegeben bei einem Schädigungsmodell
wie in Gl. (9.4.5.2). U R,j und U F bezeichnen die Vektoren für den Schadensindikator (gegebenenfalls
einschließlich der Meßfehler) und die Variablen für die Versagenszeiten. Da U R,j und
U F einige gemeinsame Komponenten haben, sind sie voneinander abhängig. Diese Abhängigkeiten
können nun berücksichtigt werden indem die Ereignisgrenzen linearisiert werden (in den
individuellen oder im gemeinsamen β−Punkt(en)). Die Auswertung der entstehenden Multinormalverteilungsintegrale
und anschließende numerische Differentiation ergibt dann
N A = ((C(p)+L)
+R(p)
∞X
f ∗∗∗∗ (γ, p, (n − 1)a ≤ t ≤ na)
n=1
∞X
exp [−γ(na)] P ({R(na)} ∩
n=1
n−1
\
j=0
© ¯R(ja) ª ∩ {T F >na})
im Zähler und
µ P ∞
n=1
D A =1−
f ∗∗∗∗ (γ, p, (n − 1)a ≤ t ≤ na)
+ P ∞
n=1 exp [−γ(na)] P ({R(na)} ∩ T n−1
© ª
j=0
¯R(ja) ∩ {TF >na})
im Nenner, so daß
in
D A (p,a) = N A
D A
(9.4.6.8)
Z A (p, a) =B A − C(p) − J(a) − D A (p,a) (9.4.6.9)
Die Wirkung dieser Abhängigkeiten kann bedeutsam sein. Wie erwähnt bewirkt jede Reparatur ein
plötzliches Absinken der Risikofunktion. Da Reparatur aber nur mit endlicher Wahrscheinlichkeit
erfolgt, verläuft die Risikofunktion sägezahnförmig und verbleibt schließlich bei Null. Für den
Nutzenterm geht man analog vor.
Beispiel 9.4.6.1: Optimierung von Inspektionsintervallen und Bemessungparameter bei Alterung
Wenn Veraltungserneuerungen vernachlässigt werden genügt es, die erwarteten Kosten für Inspektionen,
Reparaturen und Versagen zu minimieren. Zur Illustration nehmen wir eine Alterungsfunk-
h
tion der Form C s
³1 − erf
c
2 √ Dt
i´
an (Chloridkorrosion einer Stahlbetonkonstruktion in warmen
Seewasser). C s ist die Oberflächenkonzentration, c die Betondeckung und D der Diffusionskoeffizient.
Schnelle Korrosion beginnt wenn die Chloridkonzentration den kritischen Wert C cr
erreicht. Die Betondeckung ist eine log-normal verteilte Größe mit Standardabweichung 1 cm.
Die anderen Variable sind gleichverteilt nach C cr ∼ UN(0.125, 0.175),C s ∼ UN(0.2, 0.4),D ∼
UN(0.1, 0.315) worinsichdiegroße Unsicherheit über die tatsächlichen Werte widerspiegelt. Alle
Variablen sind unabhängig voneinander. Wir nehmen die Inspektionen in den Intervallen a und
den Mittelwert der Betondeckung m c als Optimierungsvariable an. Die Zielfunktion ist also bei
249

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
b = b(t)
Z(m c ,a) = b γ − C(m c) − N(m c,a)
1−M(m c ,a)
(1)
N(m c ,a) = (C(p)+L)f ∗∗∗ (γ,m c ,a)+ Term höherer Ordnung
+(I 0 ¯P R (a)exp[−γa] ¯F (m c ,a)+ Term höherer Ordnung
+(I + R(m c )P R (a)) exp [−γa] ¯F (m c ,a)+ Term höherer Ordnung)
M(m c ,a) = f ∗∗∗ (γ,m c ,a)+ Term höherer Ordnung
+P R (a)) exp [−γa] ¯F (m c ,a)+ Term höherer Ordnung
worin
C(m c )=(C 0 + C 1 m α c );
P R (a) =1− exp(−a R a³
2 );
F (c, t) =P
³C cr − C s 1 − erf
h
c
2 √ Dt
i´
´
≤ 0
f ∗∗∗ (γ,m c ,a)= R a
exp [−γt](− d ¯F (m
0 dt c ,t))dt;
und C 0 = 10 6 ,C 1 = 10 4 ,L = 10 10 6 , α = 2,b = 0.15, γ = 0.03, a R = 0.005, ∆ =
0, I =0.1C 0 ,R(m c )=0.5C 0 . Die Terme höherer Ordnung ergeben sich aus Gl. (9.4.6.11).
Optimierung ergibt m ∗ c =6.4 und a ∗ =63. Die Zeit wird in Jahren gemessen. Abb. 9.6 zeigt
die Kosten über dem Inspektionsintervall aufgetragen. Erhöhung von R(m ∗ c) oder Verminderung
der Reparaturwahrscheinlichkeit erhöht das optimale Inspektionsintervall und die Gesamtkosten.
Unter extremen Bedingen kann kein Optimum mehr gefunden werden.
0.5
0.4
0.3
0.2
Kosten/C0
0.1
Präventive Kosten
Gesamtkosten
Korrektive Kosten
0
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Inspektionsintervall a
Abb. 9.8.Präventive und korrektive Kosten über Inspektionsintervall
#
9.4.7. Blockweise Reparatur
Als weitere Variante erfolge nun eine Erneuerung einer Komponente nach Ablauf einer bestimmten
Zeitspanne ϑ unabhängig davon, ob im Zeitraum [0, ϑ[ bereits Erneuerungen infolge eines
250

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
möglichen Versagensfalles stattgefunden haben. Der Vorteil dieser Strategie liegt darin, daß keine
Aufzeichnungen über die Vergangenheit der Komponente aufgestellt werden müssen. Anwendung
findet dieses Modell etwa im Elektronikbereich beim Austausch von Bausteinen in technischen
Geräten und Computern oder in der Wartung von Flugzeugen. Eine mögliche Anwendung
im Bauwesen ist der Unterhalt eines Verkehrsweges, welcher in gleichartige Abschnitte unterteilt
wird, die unabhängig voneinander im Schadensfall ausgebessert werden. Nach der vorgegebenen
Nutzungsdauer ϑ erfolgt schließlich die vollständige Sanierung aller Teilbereiche unabhängig von
vorangegangenen Reparaturen in den einzelnen Teilabschnitten.
Es ist einsichtig, daß bei einer blockweisen Erneuerung zum Zeitpunkt ϑ möglicherweise Komponenten
ausgetauscht werden, die erst kurz zuvor ausgebessert wurden. Dies ließe sich mit Hilfe
der Strategie der Alterserneuerung vermeiden. Allerdings hat die blockweise Erneuerung den Vorteil,
daß sich unter der Annahme einer ansteigenden Risikofunktion r(t) die erwartete Anzahl von
plötzlichen, totalen Versagensfällen verringert [8] . Blockweise Erneuerung mag in vielen Fällen
organisatorisch vorteilhaft sein.
Die erwarteten verzinsten Schadenskosten für die blockweise Erneuerung einer Komponente können
in Analogie zu Abschnitt 9.4.3 geschrieben werden als
D(p, ϑ) =
E(verzinste Kosten in einem Zyklus)
1 − E(verzinste Dauer eines Zyklus)
Kosten treten dabei immer zum Zeitpunkt ϑ aufgrund der geplanten Erneuerung auf. Zusätzlich
können im Intervall [0, ϑ] Kosten infolge Versagen mit Instandsetzung, infolge Reparatur, Inspektion
oder dergleichen mehr auftreten. Es wird angenommen, daß Reparatur- und Wiederaufbaubzw.
Austauschzeiten vernachlässigbar klein sind. Darüberhinaus soll sich die Komponente anschließend
wieder in ’’neuwertigem’’ Zustand befinden.
Für den Fall, daß ein Schaden mit der Versagensdichte f(t) auftreten kann und keine sonstigen
Kosten bis ϑ anfallen, erhält man
D(p, ϑ) = C(p)e−γϑ +(C(p)+L) R ϑ
0 e−γt h(t)dt
1 − e −γϑ (9.4.7.1)
wobei h(t) die Erneuerungsdichte der aufgetretenen Schadens- und Reparaturereignisse im Zeitraum
[0, ϑ[ darstellt. Es gilt: h(t) = P ∞
k=1 f k(t) mit der Dichtefunktion f k (t) der Zeit bis zur
k-ten Erneuerung, die sich bekanntlich als Faltungsintegral ausdrücken läßt: f k (t) = R t
f 0 k−1(t −
τ)f(τ)dτ. Da analytische Lösungen für h(t) nur für wenige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, z.B.
die Gammaverteilung, vorliegen, bedient man sich im allgemeinen numerischer Verfahren wie etwa
in Abschnitt 7.1.5 angegeben.
9.4.8. Endliche Erneuerungszeiten
Die Annahme endlicher Erneuerungszeiten, d.h. Wiederaufbau- oder Reparaturzeiten, ist in vielen
Fällen realistischer. Auch mag der Wiederaufbau oder die Reparatur durch durch Budgetbeschränkungen
verzögert werden. In diesen Zeiten kann die Anlage nicht genutzt werden und sie kann
nicht ausfallen. Ist g(t) die Dichte der Erneuerungszeiten und f(t) die Dichte der (unabhängigen)
Versagenszeiten im Betrieb, so ist die Faltung beider Zeiten die Zeit zwischen den Versagensereignissen,
die man ebenfalls durch Laplacetransformation leicht errechnen kann. Es seien T W die
(zufälligen) Erneuerungszeiten und T N die (zufälligen) Nutzungszeiten und somit T = T W + T N
251

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
die Zeiten zwischen den Versagensereignissen bzw. Erneuerungen. In der Erneuerungstheorie wird
gezeigt, daß die Verfügbarkeit (availability) des Sytems asymptotisch gleich
1
A(∞) =lim
t→∞ t
Z t
0
A inst (x)dx =
E [T N ]
E [T W ]+E [T N ]
(9.4.8.1)
ist. Damit sind Nutzen- und Schadensterm in den Zielfunktionen näherungsweise mit A W (∞) zu
multiplizieren, womit z.B. Gl. (9.3.2.6) zu
Z(p) ≈ BA W (∞) − C(p) − (C(p)+L)A W (∞)h ∗ A (γ, p) (9.4.8.2)
wird. Die Erneuerungsintensität h ∗ A (γ, p) wird am einfachsten aus der Dichte f A(t) der Zeiten
zwischen den Erneuerungen durch Faltung der Dichten f W (t) und f N (t) gebildet, also durch
fA ∗ (t) =f W ∗ (t) f N ∗ (t). Während der Erneuerung, so wird angenommen, kann das Objekt nicht
versagen. Daher wird der Schadensterm ebenfalls mit A W (∞) multipliziert.
Genauere Betrachtungen sind ebenfalls möglich. Der Schadensterm in Gl.(9.4.7.2) besteht nun
aus zwei Teilen. Bei systematischen Wiederaufbau nach einem Versagen entsteht
D H (p) =
Lf ∗ (γ, p)
1 − f ∗ (γ, p)g ∗ (γ) + C(p)f ∗ (γ, p)g ∗ (γ)
1 − f ∗ (γ, p)g ∗ (γ) = Lf ∗ (γ, p)+C(p)h ∗ (γ, p)
1 − h ∗ (γ, p)
(9.4.8.3)
Der Erneuerungszyklus hat die Länge T W +T N . T W und T N sind unabhängig. h ∗ (γ, p) =f ∗ (γ, p)g ∗ (γ)
ist die Laplacetransformierte der Dichte h(t, p) = R ∞
f(t − τ, p)g(τ)dτ dieses Zwei-Phasen Erneuerungsprozesses
mit g(t) der Dichte der Erneuerungszeiten.
0
Bei Erneuerung nach dem Versagen oder bei systematischer Reparatur im Alter a wird aus Gl.
(9.4.7.3)
D HR (p,a)= Lf ∗∗ (γ, p,a)+C(p)k ∗∗ (γ, p,a)+R(p)g ∗∗ (γ,a) ¯F (p,a)
1 − (k ∗∗ (γ, p,a)+g ∗∗ (γ,a) ¯F (p,a))
(9.4.8.4)
mit f ∗∗ (γ, p,a) = R a
exp [−γt] f(t, p)dt, 0 k∗∗ (γ, p,a) = R a R ∞
exp [−γ(t + τ)] g(τ)dτf(t, p)dt =
0 0
f ∗∗ (γ, p,a)g ∗ (γ) und g ∗∗ (γ,a)= R ∞
exp [−γ(t + a)] g(t)dt =exp[−γa] g ∗ (γ).
0
Ähnlich geht man bei Inspektion und Reparatur vor.
9.4.9. Bestehende Bauwerke
Bei bestehenden Bauwerken kann man berücksichtigen, daß a: das Alter und gegebenenfalls der
Schädigungszustand bekannt sind und b: durch zusätzliche Informationen die Verteilungsfunktion
der Zeit bis zum ersten Versagen eine andere ist als alle anderen nach einem zukünftigen Wiederaufbau
oder einer Reparatur. Nach den in Beispiel 4.5.2 (Abschnitt 4.5) vorgestellten Konzepten
erhält man bei Anwendung des Bayesschen Satzes beispielsweise eine neue Versagensdichte
f 1 (t, p). Und wir nehmen an, daß zum Zeitpunkt der Untersuchung und Rehabilitierung des bestehenden
Bauwerks die Kosten C R (p) angefallen sind. Nunmehr kann das erste Reparaturintervall
a 1 durchaus einen andere Länge als die Anderen annehmen. Wir geben nur den Fall systematischen
Wiederaufbaus bzw. systematischer Reparatur an.
252

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Für die erwarteten Schadenskosten berechnet man
D E (p,a 1 ,a)=
(C(p)+L)f
∗∗
1 (γ, p,a 1 )+R(p)exp[−γa 1 ] ¯F 1 (p,a 1 )
1 − (f ∗∗ (γ, p,a)+exp[−γa] ¯F (p,a))
(9.4.9.1)
Für eine konstante Nutzenrate b(t) =b ist der Nutzen wie Gl. (9.3.2.1). Der erwartete Nutzen für
das Modell in Gl. (9.4.3.3) ist
B E (p,a 1 ,a) =
Z a1
0
B D (t)f 1 (t, p)dt + B D (a 1 ) ¯F 1 (p,a 1 )+
∗∗
(f1 + (γ, p,a 1)+exp[−γa 1 ] ¯F 1 (p,a 1 ))
1 − (f ∗∗ (γ, p,a)+exp[−γa] ¯F (p,a))
Z a
0
B D (t)f(t, p)dt + B D (a) ¯F (p,a)
(9.4.9.2)
mit B D (t) = R t
exp [−γt] b(t)dt. Dasführt zur Zielfunktion
0
Z E (p,a 1 ,a)=B E (p,a 1 ,a) − C R (p)−D E (p,a 1 ,a) (9.4.9.3)
9.4.10. Seriensysteme
Wenn das Tragwerk in s verschiedenen Versagensmodi, jeweils mit verschiedenen Schadens- und
Wiederaufbaukosten, ausfallen kann, kann man nach oben abschranken indem man P (∪F i ) ≤
P P (Fi ) ≤ 1 verwendet, d.h.
D(p) ≤
P s
k=1 (C k(p)+L k )λ k (p)
γ
(9.4.10.1)
wobei λ k (p) =ν + U,k (p) oder λ k(p) =λP f,k (p). Man beachte, daß die Versagensraten zwar keine
Wahrscheinlichkeiten sind, die Raten mit einem kleinen Zeitintervall ∆ multipliziert jedoch als
Versagenswahrscheinlichkeiten im Intervall [t, t + ∆] interpretiert werden können. Gleichheit in
Formel (9.4.9.1) gilt für unabhängige Versagensmodi mit exponentiell verteilten Versagenszeiten.
Wir erinnern auch daran, daß mehrere unabhängige Poissonprozesse mit den Parametern λ i (verschiedene
Versagensursachen) einen neuen Poissonprozeß mit dem Parameter λ = P r
i=1 λ i bilden,
so daß z.B. für Gl. (9.3.2.7) und Verallgemeinerung auf den Fall, daß Ve rs age n für jede Ursache in
verschiedenen Versagensmodi erfolgen kann:
P r
i=1
D(p) ≤
λ P s
i j=1 (C ij(p)+L ij )P f,ij (p)
(9.4.10.2)
γ
Eine Verbesserung der Unabhängigkeitsannahme, z.B. auf der Basis von Gl. (4.3.9), ist möglich
aber relativ aufwendig. Am einfachsten ist noch der Fall von Gl. (9.3.2.8) bei dem λ P s
k=1 P f,k(p)
durch
s[
P ( F k ) ≈ λ (1 − Φ s (β; R)) ≤ λ P µ
s
k=1
P f,k − max {P f,k∩j}
j1
k=1
≥ λ P ³
s
k=1 max 0,P f,k − P ´ (9.4.10.3)
k
j=1 {P f,k∩j}
253

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit P f,k = P ({U ∈ V k } = P (g k (U) ≤ 0) ≈ P (α T k U+β k ≤ 0) und P f,k∩j ≈ P ( © α T k U+β k ≤ 0 ª ∩
©
α
T
j U+β j ≤ 0 ª ) zu ersetzen ist. Für eine Belastung durch eine Kombination von stationären
Sprungprozessen und eines stationären Gaußschen Vektorprozesses mit den Raten in Gl. (7.2.3.4)
und (7.3.5.1) und den dort jeweils geltenden Bezeichnungen gilt (Abhängigkeit von p weggelassen).
ν + (V S ) ≤
⎧
sX ⎨
⎩
k=1
P nJ
i=1 λ i
·µ
P ¡ U + i
¸
© © ª © ª
P ( U
+
i ∈ V k ∩ U
+
i ∈ V j ) − A +
ªk>1
¢
∈ V k − max
j 0 für alle k und t.
f s (t) = d dt (1 − Φ s(β(t); R)) = −
= −
sX
k=1
∂
∂β k (t)
Z βk (t)
−∞
sX
k=1
∂
∂β k (t) Φ s(β(t); R) ∂β k(t)
∂t
Φ s−1 (β(t); R |Z k = β k (t))ϕ 1 (z k )dz k
∂β k (t)
∂t
sX
= − ϕ 1 (β k (t))Φ s−1 (ĉ k ; ˆR k ) ∂β k(t)
∂t
k=1
Ã
sX
= ϕ 1 (β k (t))Φ s−1 (ĉ k ; ˆR −
∂
k )
g !
∂t k(u ∗ ,t)
k∇ u g k (u ∗ ,t)k
k=1
Ã
sX
−
∂
∂t
≤ ϕ 1 (β k (t))
g !
k(u ∗ ,t)
k∇ u g k (u ∗ ,t)k
k=1
(9.4.10.5)
mit ĉ k = β k (t)−β k (t)ρ k k und ˆR k = R−ρ k k (ρk k )T aufgrund eines Resultats aus der Regressionsrechnung.
Dabei ist ρ k der k-te Spaltenvektor von R und der hochgestellte Index bedeutet, daß der k-te Spaltenvektor
und der k-te Zeilenvektor der ursprünglichen Matrix R gelöscht wurde. Man beachte,
daß ˆR k und damit auch ĉ k bei Verwendung des Standardnormalverteilungsintegrals Φ s−1 (.; .) neu
durchnormiert werden müssen ( ˆR k ist eine Kovarianzmatrix und noch keine Korrelationsmatrix).
Weglassen der Terme Φ s−1 (ĉ k ; ˆR k ), d.h. der Überlebenswahrscheinlichkeiten in den anderen Versagensmodi
führt zur bereits bekannten oberen Schranke. Eine untere Schranke wird durch Berücksichtigung
des größten Terms in der Summe erhalten.
⎫
⎬
⎭
254

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 9.4.9.1: Ideal-plastischer Rahmen unter zeitvarianten Lasten
In diesem Beispiel (vergl. Abb. 9.9) sollen die Mittelwerte der plastischen Momente in den Knoten
1 bis 10 optimiert werden.
Abb. 9.9.Lasten und statisches System des Rahmens
Das Tragwerk kann in 8 verschiedenen Versagensmoden versagen. Die ersten drei Moden sind
Elementarmechanismen, die anderen sind kombinierte Mechanismen (vergl. Abb. 9.10).
Für jeden Modus gibt eine Grenzzustandsfunktion:
G 1 (x, p) =X 2 +2X 3 + X 4 − X 12 · h
2
G 2 (x, p) =X 6 +2X 7 + X 8 − X 13 · h
2
G 3 (x, p) =X 1 + X 2 + X 5 + X 8 + X 9 + X 10 − X 11 · h
G 4 (x, p) =X 2 +2X 3 + X 4 + X 6 +2X 7 + X 8 − X 12 · h − X 2 13 · h
2
G 5 (x, p) =X 1 + X 2 + X 5 + X 6 +2X 7 +2X 8 + X 9 + X 10 − X 11 · h − X 13 · h
2
G 6 (x, p) =X 1 + X 2 + X 4 +2X 7 +2X 8 + X 9 + X 10 − X 11 · h − X 13 · h
2
G 7 (x, p) =X 1 +2X 3 + X 4 + X 5 + X 8 + X 9 + X 10 − X 11 · h − X 12 · h
2
G 8 (x, p) =X 1 +2X 3 +2X 4 +2X 7 +2X 8 + X 9 + X 10 − X 11 · h − X 12 · h − X 2 13 · h
2
wobei X i ,i=1,...,10 die plastischen Momente im Knoten i und X 11 , X 12 und X 13 die stochastischenLastenindenKnoten2,
3 und 7 sind. Die stochastischen Eigenschaften der Variablen sind
in nachfolgender Tabelle zusammengestellt. Die plastischen Momente sind als unabhängig und lognormalverteilt
angenommen, die Lasten X 11 , X 12 und X 13 sind normalverteilt. Auch die Lasten
sind unabhängig.
Variable [Unit] Mittel/St.abweich.
Plastische Momente 1, 2, 5, 8, 9, 10 X i [kNm] p 1 /0.1 · p 1
Plastische Momente 3, 4, 6, 7 X i [kNm] p 2 /0.1 · p 2
Last am Knoten 2 X 11 [kN] 2/0.6
Last am Knoten 3 X 12 [kN] 4/1.2
Last am Knoten 7 X 13 [kN] 6/1.8
255

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1 2
3 4
5 6
7
8
Abb. 9.10.Versagensmoden des Rahmens
Doe Lognormalverteilung macht das Problem etwas nichtlinear im Standardraum. Die Lasten in
den Knoten 3 und 7 werden als stationäre Rechteckwellenprozesse mit den Sprungraten λ 13 =0.5
[1/year] modelliert, die Last im Knoten 2 ist ein differenzierbarer Gaußprozeß mit Autokorrelationsfunktion.
Also muß Formel (7.6.1) zusammen mit (7.2.3.4) und (7.3.5.1) mit n J =2und
n D =1verwendet werden.
⎧
sX ⎨
ν + (V S ) ≤
⎩
k=1
P nJ
i=1 λ i
·µ
P ¡ ¸
¢ ©
V +
ik − max P (V
+
ik ∩ V ij + )ª − A +
j1
+Ψ(m k (u ∗ k ), σ k)ϕ(β k )[1− Φ s−1 (b k ; B k )]
⎫
⎬
⎭ (9.4.10.6)
Die Bemessungsparameter p 1 und p 2 haben die Grenzen: p 1 ∈ [5.0; 80.0] kNm, p 2 ∈ [5.0; 80.0]
kNm. Die Errichtungskosten für die Widerstände in den Knoten 1,...,10 sind C(p) =p 1 +2.0·p 2 ,
die Schadenskosten L =1000und der Zinssatz ist γ =0.02. Demnach gilt:
#
Z(p) =
" sX
C(p)+E R
k=1
sX
= C(p)+
k=1
(C(p) k + L k ) ν+ (p, R) k
γ
(C(p) k + L k ) E R [ν + (p, R) k ]
γ
(9.4.10.7)
mit R =(X 1 ,...X 2 ) dem Vektor der Widerstandsvariablen. Für h =20m und eine Zeitdauer von
einem Jahr bestimmt man
p ∗ 1 =16.95, p ∗ 2 =38.45
mit den optimalen Kosten C tot (p) =93.85 [EURO]. Die Versagenswahrscheinlichkeiten der einzelnen
Moden sind: (P f,1 (p ∗ ),P f,2 (p ∗ ),P f,3 (p ∗ ),P f,4 (p ∗ ),P f,5 (p ∗ ),P f,6 (p ∗ ),P f,7 (p ∗ ),P f,8 (p ∗ ))
256

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
=(9.76·10 −11 , 2.21·10 −4 , 2.53·10 −6 , 2.37·10 −11 , 4.13·10 −8 , 1.82·10 −6 , 9.66·10 −10 , 1.38·10 −9 ).
Die Systemversagenswahrscheinlichkeit ist 2.25 · 10 −4 .
Beispiel 9.4.9.2: Diskontierungsfaktor eines Systems mit mehreren Versagensmodi
Wir nehmen die Verhältnisse des Beispiels 9.4.6.5 an, aber an 10 verschiedenen Stellen. Die
Oberflächenkonzentration C s und die kritische Chloridkonzentration C cr seienandenverschiedenen
Stellen gleich während sich Betondeckung und Diffusionskoeffizient unabhägig voneinander
realisieren. Damit sind die Versagensmodi äquikorreliert mit Korrelationskoeffizient ρ(t) =
α 2 C cr
(t) +α 2 C Cs
(t) undmankannfür das Multinormalverteilungsintegral Formel (4) und (6) in
Beispiel 5.4.1 verwenden. Wir berechnen hier nur den Diskontierungsfaktor h ∗ (γ).
1
0.8
____ Exakt - Korrelierte Versagensmodi
....... Exakt - Unabhängige Versagensmodi
_ _ _ Triviale obere Schranke
....... Untere Schranke (für Überlebenswahrscheinlichkeiten)
_._._ Triviale untere Schranke
0.6
h*(g)
0.4
0.2
0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
g
Abb. 9.11.Diskontierungsfaktor für Seriensystem
Man sieht in Abb. 9.11, daß für dieses Beispiel die trivialen oberen und unteren Schranken ungenügend
sind, die Annahme unabhängiger Versagensmodi jedoch nur geringfügig auf der sicheren
Seite liegt. Die obere Schranke wird unbrauchbar für γ < 0.02.
#
9.4.11. Schlußbemerkungen zur Anwendbarkeit des Erneuerungsmodells
Die Ableitung geeigneter Zielfunktionen für kostenoptimale Planung, Betrieb und Unterhaltung
von baulichen Anlagen beruhte auf dem Erneuerungsmodell. Wie gezeigt, konnte die Theorie für
viele wichtige Anwendungen entwickelt werden. Redundante Systeme, insbesondere Tragsysteme,
wurden nicht behandelt, da, wie in Kapitel 8 aufgezeigt, die Ermittlung der Zeiten bis zum
257

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Versagen wegen Lastumlagerungen zu sehr aufwendigen Rechnungen führen kann. FürdieGültigkeit
des Erneuerungsmodells ist vor allem die Unabhängigkeit der Erneuerungszeiten wesentliche
Voraussetzung. Das wird wohl in den meisten Fällen wenigstens näherungsweise zutreffen. Der
schwerwiegendste Einwand, der aber gegen das Erneuerungsmodell vorgebracht werden kann, ist,
daß bei einer Erneuerung (Wiederaufbau, Reparatur, Ersetzung ) die stochastischen Eigenschaften
der Komponente oder des Systems wieder hergestellt werden müssen. Das trifft in der Praxis
wohl meistens aber nicht immer zu. Teilreparaturen verstoßen aber gegen eine zentrale Voraussetzung
der Erneuerungstheorie. Dann sind andere Ansätze notwendig, die nicht behandelt werden
können.
9.5. Aspekte der Risikoanalyse baulicher Anlagen
Unter Risikoanalyse versteht man die Analyse der Gesamtheit der Gefährdungen von baulichen
Anlagen einschließlich der bei Eintritt der Gefährdungen jeweils zugehörigen Folgen. Im allgemeinen
wird das Gesamtrisiko ermittelt aus der Summe des sich aus verschiedenen, einander ausschließenden
Gefährdungsszenarien ergebenden Produktes von Versagenswahrscheinlichkeit und
Folge, d.h. aus:
R = X i E [P (∪ jF ij | G i )P (G i )L ij ] (9.5.1)
Das Vereinigungssymbol bei den ungünstigen Ereignissen F ij soll darauf hinweisen, daß es in jedem
Szenarium G i mehrere Versagensmodi, die für das Szenarium charakteristisch sein mögen,
gibt. L ij sind die Schadensfolgen einschließlich der möglichen Gefahr für Leib und Leben sowie
von Kulturgütern in geeigneten (monetären) Einheiten. Auch diese mögen vom jeweiligen
Szenarium und von den Versagensarten abhängen. Sie mögen von dem speziellen Gefährdungsszenarium
abhängen oder nicht. Die Erwartungsoperation soll darauf hinweisen, daß im Sinne
der v. Neumann/Morgensternschen statistischen Entscheidungstheorie mittlere Werte genommen
werden müssen. Das wird im folgenden nicht mehr explizit erwähnt. R ist damit dem erwarteten
Schaden vergleichbar - allerdings ohne jede Verzinsung. Hier ist strukturelles Versagen nur ein
Sonderfall.WennessichbeidenGefährdungsszenarien um ’’relativ’’ seltene, stationäre Ereignisse
handelt und, zumindest gedanklich, systematischer Wiederaufbau vorgesehen ist, sind den Schadensfolgen
die Wiederrichtungskosten hinzuzufügen und P (G i ) ist eine Rate mit dem G i auftritt.
Das Risiko R kann man verzinsen oder auch unverzinst belassen. Als Beispiel bei Verzinsung sei
der der Gl. (9.3.23) zugrundeliegende und hier besonders geeignete Fall ausgeschrieben:
R = X P (∪ jF ij | G i )P (G i )(L ij + C 0 )
i
= X (L ij + C 0 ) λ iP (∪ j F ij | G i )
i γ
(9.5.2)
Diese Größe ist nichts anderes als die Größe D in Abschnitt 9 und kann zusammen mit dem Nutzen,
den Errichtungskosten und gegebenenfalls den Unterhaltungskosten einer Optimierung der
baulichen Anlage unterworfen werden können. Man kann GL. (9.5.2) als einen Ausdruck für das
finanzielle Risiko einer technischen Unternehmung auffassen. Die Aufwendungen für dieVermeidung
eines Risikos für Leib und Leben müssen jedoch gesondert berücksichtigt werden. So
gesehen ist das Optimierungskonzept in den Abschnitten 9.1 bis 9.4 das reichere Konzept, zumal
es neben den Kosten auch den Nutzen einbezieht.
258

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Unter Risikoanalyse mag man daher in erster Linie die systematische Untersuchung aller möglichen
Gefährdungen verstehen. Hierzu haben sich einige spezielle Methoden als geeignet erwiesen,
von denen einige bereits in Abschnitt 5.5 vorgestellt wurden. Risikoanalyse umfaßt aber vor allem
alle Gefährdungen und hier vor allem auch jene, für die der Mensch verantwortlich ist.
Beispiel 9.5.1: Analyse des Risikos für Leib und Leben bei Erdbeben
Für Erdbeben haben Coburn/Spence [31] die folgende Formel angegeben, die auch für andere
Anwendungen nach entsprechender Modifikation nützlich sein kann.
und
N F = N B (M 1 M 2 M 3 [M 4 +(1− M 4 )M 5 ]) (1)
worin
N B = Anzahl der eingestürzten Gebäude
M 1 = Maximale Anzahl von Menschen pro Gebäude
M 2 = Anwesenheit zum Ereigniszeitpunkt (0 ≤ M 2 ≤ 1)
M 3 = Wahrscheinlichkeit betroffen zu sein (z.B. kein Entkommen)
M 4 = Wahrscheinlichkeit bei Einsturz zu Tode zu kommen
M 5 = Wahrscheinlichkeit nach Einsturz zu Tode zu kommen (z.B. im Krankenhaus)
k = N F
(2)
N
wobei N die Gesamtanzahl der vom Ereignis betroffenen Bevölkerung ist.
Abb. 9.12 zeigt ein Beispiel für die Art der zur Verfügung stehenden Daten.
#
Beispiel 9.5.2: Todeswahrscheinlichkeit bei Feuern in Straßentunneln
Abb. 9.13 zeigt eine jüngere Zusammenstellung der Opfer von Starkfeuern in Staßentunneln. Die
Streuungen sind sehr groß. Im Mittel kann man mit einem k-Faktor von 0.1 rechnen.
#
259

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 9.12.k-factor for earthquakes [31]
9.6. Bemessung als Optimierungsaufgabe
9.6.1. Allgemeines
Wir kommen nun zu den technischen Details der eigentlichen Optimierungsaufgabe. Bei zeitinvarianten
Problemen gilt als Zielfunktion Gl. (9.2.1) bei Aufgabe des Tragwerks nach dem Versagen
und Gl. (9.2.2) bei systematischem Wiederaufbau. Bei zeitvarianten Problemen gilt Gl.
(9.3.1.3) bzw. für Poissonsche Versagensprozesse Gl. (9.3.1.7) bei Aufgabe des Tragwerks nach
dem Versagen oder wenn es seine Aufgabe erfüllt hat. Bei systematischem Wiederaufbau gilt Gl.
(9.3.2.6). In Abschnitt 3.4 wurde bereits darauf hingewiesen, daß es sich strenggenommen um
zwei übereinander angeordnete Optimierungsaufgaben handelt, nämlich die eigentliche Kostenoptimierung
und, im Rahmen von FORM/SORM, eine Optimierung fürdieLösung der Zuverlässigkeitsaufgabe.
Ein solches Vorgehen, die sogenannte Zweistufenoptimierung, ist möglich und
wurde verschiedentlich mit Erfolg eingesetzt. Leider ist das aber auch oft mit größerem Aufwand
verbunden, und zwar besonders dann, wenn man iterativ vorgeht, d.h. zunächst für bestimmte Anfangsbedingungen
für die Bemessungsparameter die untergeordnete Zuverlässigkeitsoptimierung
bis zur Konvergenz ausführt und dann die übergeordnete Parameteroptimierung für feste Zuverlässigkeitsbedingungen
nachzieht. Man hat auch versucht, die Algorithmen jeweils nur einen Schritt
ausführen zu lassen. Eine zweistufige Optimierung kann jedoch vermieden werden, indem man
die sogenannten Kuhn-Tucker Bedingungen für die Zuverlässigkeitsaufgabe der Kostenoptimierung
als Nebenbedingung hinzufügt. Diese wird im folgenden ausführlicher behandelt.
260

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
45
40
35
Mt. Blanc, 1999
30
Fatalities
25
20
15
10
Tauern, 1999
5
0
0 50 100 150 200 250 300
Persons in Tunnel
9.6.2. Die zeitinvariante Aufgabe
Abb. 9.13.k-factor for large road tunnel fires [124]
Hierzu nehmen wir an, daß die Zuverlässigkeitsaufgabe grundsätzlich im Standardraum gelöst
wird. Im Originalraum sind die nachfolgenden Betrachtungen nicht gültig. Außerdem soll nur der
Fall des systematischen Wiederaufbaus diskutiert werden.
Es sei p ein Parametervektor, der sowohl in der Kostenfunktion als auch in der Grenzzustandsfunktion
vorkommt. Die Funktion der Errichtungskosten sei differenzierbar ebenso wie die Grenzzustandsfunktion.
Im β−Punkt gelten die sogenannten Kuhn-Tucker Bedingungen (Optimalitätsbedingungen)
[?]:
Die zweite Bedingung kann wie folgt entwickelt werden:
g(u, p) = 0 (9.6.2.1)
u
kuk = − ∇ ug(u, p)
(9.6.2.2)
k∇ u g(u, p)k
u
kuk + ∇ ug(u, p)
k∇ u g(u, p)k = 0
u
kuk k∇ ug(u, p)k + ∇ u g(u, p) = 0
261

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
u T u
kuk k∇ ug(u, p)k + u T ∇ u g(u, p) = 0
kukk∇ u g(u, p)k + u T ∇ u g(u, p) = 0 (9.6.2.3)
Geometrisch bedeutet das, daß der Gradient der Zielfunktion kuk in u ∗ senkrecht auf dem Gradienten
der Restriktion g(u, p) =0steht. Für das Weitere wird Differenzierbarkeit der Zielfunktion
sowie der Restriktionen in u und p gefordert. Damit wird die Aufgabe (9.2.2) zu:
Maximiere:
Unter den Bedingungen:
Z(p) =B ∗ − C(p) − (C(p)+L) P f (p)
1−P f (p))
g(u, p) =0
(9.6.2.4)
u i k∇ u g(u, p)k + ∇ u g(u, p) i kuk =0; i =1,...,n− 1
h k (p) ≤ 0,k=1,...,q
P f (p) ≤ P f,zulässig
worin die erste und zweite Bedingung die Kuhn-Tucker Bedingungen fürdenβ−Punkt darstellen.
Natürlich gilt
P f (p) ≈ Φ(−β(p))C SORM (9.6.2.5)
Die h k (p) sind gegebenenfalls vorhandene Restriktionen für die Parameter. In der Zielfunktion
kann man auf den Schadensterm auch verzichten bzw. den Nutzenterm weglassen. Meist
P
wird
f (p)
durch P 1−P f (p)) f(p) ersetzt. Die vierte Bedingung wurde nur der Form halber hinzugefügt
um auch die spezielleren Probleme mit einfachen Zuverlässigkeitsrestriktionen der Form
P f (p) ≤ P f,zulässig und ohne Schadensterm mit einzubeziehen. Die Formulierung der Zielfunktion
in Gl. (9.6.1.4) ist in Bezug auf Zuverlässigkeitsrestriktionen unrestringiert. Man wird aber den
Wertebereich für p und u aus technischen Gründen beschränken wollen. Hier ist die ursprüngliche
Kuhn-Tuckerbedingung Gl. (9.6.1.1) und (9.6.1.2) verwendet worden. Die skalare Bedingung
(9.6.1.3) ist für die numerische Untersuchung nicht geeignet, da ihr Gradient im Lösungspunkt
theoretisch verschwindet und gewisse Teilprobleme bei einer gradientenbasierten Optimierung singulärwerdenkönnen.
Generell ist kuk 6= 0sowie k∇ u g(u, p)k 6= 0zu fordern. Desweiteren sei
g(0, p) > 0. Der für die Zielfunktion zu berechnende Gradient ∇ p C(p) ist meist numerisch zu ermitteln.
Für ∇ p P f (p) bedient man sich des Resultats in Gl. (3.3.8), d.h. im Rahmen von SORM
mit der Näherung, daß der Faktor C SORM nur unwesentlich von u und p abhängt:
∂P f (p)
∂p i
= ∂Φ(−β(p))
∂p i
C SORM = −ϕ(β(p)) ∂β(p)
∂p i
C SORM = −ϕ(β(p))
∂
∂p i
g(u, p)
k∇ u g(u, p)k C SORM
(9.6.2.6)
In Gl. (9.6.1.4) ist bei gradientenbasierten Optimierungsverfahren nicht nur der Gradient der Zielfunktion
sondern auch die Gradienten aller Restriktionen zu bilden. Das bedeutet, daß zweite
Ableitungen erforderlich werden und das ist der schwerwiegendste Einwand, der gegen die vorgestellte
einstufige Vorgehensweise bei der Kostenoptimierung vorzubringen ist. Normalerweise
am aufwendigsten sind die zweiten Ableitungen der Grenzzustandsfunktion, hier mit ∇ 2 u,pg(u, p)
bezeichnet, zu ermitteln. Man kann jedoch iterativ vorgehen und kann damit gleichzeitig SORM-
262

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Korrekturen berücksichtigen. Zunächst unterstellt man, daß die GrenzzustandsflächeeineHyperebene
ist. Alle Elemente der Hesse-Matrix von g(u, p) sind dann Null. Damit löst man das
Problem (9.6.1.4) mit C SORM =1.ImLösungspunkt wird nun die Hessematrix einmal berechnet
und ebenso die SORM-Korrektur. Damit wird das Problem (9.6.1.4) ein zweites Mal gelöst. Dieses
Schema wiederholt man bis Konvergenz eintritt. Diese ist in der Regel nach wenigen Schritten
erreicht.
Beispiel 9.6.2.1: Schlanke Stahlstütze (vergl. Beispiel 7.6.1)
Die Stahlstütze wird nunmehr im Hinblick auf die Geometrie des Stahlquerschnitts optimiert. Es
gilt das gleiche stochastische Modell wie in Beispiel 7.6.1, jedoch werden die Lasten zur Vereinfachung
zeitinvariant genommen und die Lasten P 2 und P 4 zu einer neuen Last P 2 mit Mittelwert
800000 [N] und Standardabweichung 200000 [N] zusammengefaßt. Es gelte die Kostenfunktion
und es sei
C(p) =1+0.001(2m B m D +10m H ) (1)
β(p) ≥ β zulässig =3.719 (2)
gefordert. Für die geometrischen Größen seien folgende Grenzen gesetzt:
300 ≤ m B ≤ 400
15 ≤ m D ≤ 40
300 ≤ m H ≤ 400 (3)
Die Rechnung werde mit numerischer Hessematrix G uu (u, p) bzw. G up (u, p) und mit G uu (u, p) =
G up (u, p) =0 durchgeführt:
Hessematrix Numerisch Nullmatrix
Lösungsvektor p ∗ (300.0, 15.0, 373.8) (300.0, 15.0, 373.8)
Iterationen in p 7 10
Funktionsaufrufe g(u, p) 933 191
Das Ergebnis macht Sinn. Die Stegdicke geht nicht in die Kostenfunktion ein. Man sieht, daß sich
die beiden Verfahrensweisen in der Iterationszahl nicht wesentlich unterscheiden, die numerische
Berechnung der Hessematrix von g(u, p) zwar geringfügig weniger Iterationen aber wesentlich
mehr Funktionsaufrufe erfordert. Die reine, zeitinvariante Zuverlässigkeitsanalyse mit FORM für
den angegebenen Lösungsvektor p ∗ erfordert nur rund 90 Funktionsaufrufe.
#
9.6.3. Zeitvariante Aufgaben
Eine Bemessung als Optimierungsaufgabe ist auch bei zeitvarianten Problemen möglich. Unter
stationären Bedingungen und beliebiger Grenzzustandsfunktion bei gleichzeitiger Beaufschlagung
durch Rechteckwellen und differenzierbaren Prozessen gilt für die Austrittsrate:
Ã
X nJ
ν + (p) =
i=1
λ i Φ 2 (β(p), −β(p); ρ i (p)) + ω 0
ϕ(β(p))
√
2π
!
C SORM (9.6.3.1)
263

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
mit ρ j (p) =1− α j (p) 2 sowie ω 0 ≈ α(p) T ¨R(p)α(p) wobei α(p) im jeweiligen β−Punkt zu
nehmen ist. In beiden Fällen dominiert der Term, der β enthält. Also können die gleichen Konzepte
wie im zeitinvarianten Fall angewandt werden. Man muß nur die Bereichswahrscheinlichkeit in
GL. (9.6.1.4) durch die entsprechende Austrittsrate ersetzen. Man hat:
Maximiere:
Unter den Bedingungen:
Z(p) = b γ − C(p) − (C(p)+L) · ν+ (p)
γ
g(u, p) =0
u i k∇ u g(u, p)k + ∇ u g(u, p) i kuk =0; i =1,...,n− 1
h k (p) ≤ 0,k=1,...,q
ν + (p) ≤ν + zulässig
(9.6.3.2)
Nunmehr ist im Rahmen von SORM mit Φ 2 (β(p), −β(p); ρ j (p)) ≤ Φ(−β(p)):
⎛
µ
⎞
−β(p) √ 1−ρ j(p)
1−ρj (p) 2
∂ν + (p)
= − ⎜
∂p i ⎝
≈
−
Ã
nJ
X
P nJ
j=1 λ jϕ(β(p))Φ
j=1
+ϕ 2 (β(p), −β(p); ρ i (p)) ∂ρ i(p)
+ ω0
√
2π
ϕ(β(p))β(p)
∂p i
∂ g(u,p)
∂p i
k∇ ug(u,p)k
! ∂
λ j ϕ(β(p)) + ω 0
√
2π
ϕ(β(p))β(p)
∂
∂p i
g(u,p)
k∇ ug(u,p)k
⎟
⎠ × C SORM
∂p i
g(u, p)
k∇ u g(u, p)k C SORM (9.6.3.3)
mit
und
∂ρ j (p)
∂p i
= ∂
∂p i
(1 − α j (p) 2 )=−2 ∂
∂p i
α j (p)
∂α(p)
∂p i
1
≈−
k5 u g(u, p)k
∂ 5 u g(u, p)
∂p i
bei Beschränkung auf den führenden Term bei Bestimmung von ∂α(p)
∂p i
.Für praktische Zwecke ist
die Näherung in der zweiten Zeile von Gl. (9.6.2.3) meist vollkommen ausreichend.
Für den in Gl. (9.3.2.7) behandelten Fall muß der ’’Zinsfaktor’’ ν+ (p)
γ
durch ∇ p λP f (p) ersetzt werden. Dann ist:
durch λP f (p)
γ
und ∇ p ν + (p)
∂
∂
∂p
(λP f (p)) = −λϕ(β(p)
i
g(u, p)
∂p i k∇ u g(u, p)k C SORM (9.6.3.4)
Bei nicht exponentiell verteilten Versagenszeiten kann die Formulierung (9.4.3) nicht verwendet
werden. Man kann aber von der asymptotischen Erneuerungsdichte ausgehen, d.h. von:
h(∞) =
1
E T [T (p)]
(9.6.3.5)
264

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Die äquivalente mittlere Zeit E T [T (p)] muß berechnet werden. Das ist beispielsweise für alle
Modelle in Tabelle 9.3.1, abgesehen von der etwa notwendigen Erwartungswertbildung über R
und Q, leicht möglich.
9.6.4. Numerische Auswertung der Laplacetransformation
Es ist jedoch möglich, die Formulierung (9.6.15) zu verbessern. Hierzu gehen wir zunächst auf
das Näherungsmodell der (gegebenenfalls bei Null gestutzten) Normalverteilung der Zeiten bis
zum Versagen über. Die Normalverteilung ist, wie erwähnt, die Grundlage für einegenäherte
Laplacetransformation. Nach Gl. (9.4.19) sind hierzu das erste und zweite Moment der Verteilung
der Zeiten bis zum Versagen zu berechnen. Die Integrale werden bei äquidistanten Stützstellen als
gewichtete Summen dargestellt:
I k (p) =
mX
w j i k (t j , p)∆ (9.6.4.1)
j=0
mit w j den Gewichten (etwa nach Simpson oder Newton) und i(t j ) den Werten des Integranden,
also Φ(β(t j , p)) bzw. t j Φ(β(t j , p)) nach Gl. (9.4.19) für k = 1 und k = 2 (SORM-Faktor
vernachlässigt). Also ist nach Tabelle 9.3.1 f ∗ (γ, p) =exp £ 1
γ 2 (γσ(p)2 − 2µ(p)) ¤ und µ(p) =
E[T (p)] = P n
j=0 w ji 1 (t j , p)∆ und σ(p) 2 = P n
j=0 w ji 2 (t j , p)∆ − µ(p) 2 . Damit sind die Kuhn-
Tucker-Bedingungen für jeden Zeitpunkt t j zu erfüllen und man hat
Maximiere:
Z(p) ≈ b γ − C(p) − (C(p)+L) · exp[ 1 2 γ(γσ(p)2 −2µ(p))]
1−exp[ 1 2 γ(γσ(p)2 −2µ(p))]
Unter den Bedingungen: g(u, p,t j )=0für j =0, 1,...,m
u i,j k∇ u g j (u j , p,t j )k + ∇ u g j (u ji , p,t j ) i ku j k =0
i =1, ..., n − 1; j =0, ..., m
h k (p) ≤ 0,k =1,...,q
1
≤ E T [T (p)] v+ zulässig
(9.6.4.2)
worin β(t j , p) =ku ∗ j k, d.h.nach Konvergenz. Die Vektoren u j,j =0, 1,...,msind jeweils unabhängig.
Am schwierigsten ist die Festlegung von m und ∆ und damit von t m während t 0 =0in
den meisten Fällen und deshalb ∆ = t m /m.
Nach dem gleichen Schema berechnet man die numerisch ermittelte Laplacetransformation. Der
’’Zinsfaktor’’ heißt dann
f ∗ (γ,p)
1−f ∗ (γ,p) wobei
f ∗ (γ, p) ≈ ∆
mX
w j exp [−γt j ] f T (t i , p) (9.6.4.3)
j=0
265

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und damit
Maximiere: Z(p) ≈ b − C(p) − (C(p)+L) · f ∗ (γ,p)
γ 1−f ∗ (γ,p)
Unter den Bedingungen: g(u, p,t j )=0für j =0, 1,...,m
u i,j k∇ u g j (u j , p,t j )k + ∇ u g j (u ji , p,t j ) i ku j k =0
i =1,...,n− 1; j =0,...,m
h k (p) ≤ 0,k =1,...,q
1
≤ E T [T (p)] v+ zulässig
(9.6.4.4)
Es ist für den in Gl. (9.4.18) behandelten Fall
f ∗ (γ, p) ≈ ∆
mX
j=0
w j exp [−γt j ](−ϕ(β(t j , p))) dβ(t j, p)
dt
(9.6.4.5)
mit dβ(t j,p)
= ∂ g(u,t ∂t j ,p)
i
dt k∇ ug(u,t j ,p)k
und im Fall der Gl. (9.4.22):
f ∗ (γ, p) ≈ ∆
mX
w j exp [−γt j ] × (9.6.4.6)
j=0
9.6.5. Seriensysteme
Ã
Ã
nJ
!!
X
ϕ(β(t j , p))
× P f (0)δ(0) + λ i Φ 2 (β(t j , p), −β(t j , p); ρ i (t j , p)) + ω 0 √
2π
i=1
Der wichtige Fall, daß ein Tragwerk auf verschiedene Weise versagen kann, kann ebenfalls behandelt
werden. In Gl. (9.4.13) wurde die Versagensrate bzw. -wahrscheinlichkeit nach oben durch Gl.
(4.3.5) abgeschrankt. Man spricht von sogenannten separierbaren Seriensystemen, d.h. solchen
bei denen das Versagen in den verschiedenen Versagensmodi durch voneinander unabhä ngige Zufallsvektoren
(Zufallsprozesse) beschrieben werden kann. Versagensrate bzw. -wahrscheinlichkeit
werden dadurch etwas zu groß ermittelt und das Optimum der Zielfunktion in p stellt sich für
etwas zu große p ein. Für den in Gl. (9.6.8) behandelten Fall hat man z.B.:
Maximiere:
Unter den Bedingungen:
Z(p) ≤ b γ − C(p) − (C(p)+L) · P sk=1
ν + k (p)
γ
g k (u k , p) =0;k =1, ..., s
u i,k k∇ u g k (u k , p)k + ∇ u g k (u k , p) i ku k k =0; (9.6.5.1)
i =1, ..., n k − 1; k =1, ..., s
h`(p) ≤ 0,`=1,...,q
ν + k (p) ≤ν+ k,zulässig ; k =1,...,s
Die Vektoren u 1 , u 2 ,...,u s sind hierin voneinander unabhängig und haben jeweils die Länge n k .
Man beachte, daß die jeweils letzte (oder eine andere) Gradientenbedingung in der Kuhn.Tucker-
Bedingung weggelassen ist. Andernfalls würden, wie erwähnt, die Kuhn-Tucker-Bedingungen
überbestimmt. Im Lösungspunkt p ∗ sind alle s Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt. Man kann
266

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
zusätzlich ν + k,zulässig = ν+ zulässig
setzen oder man fordert P s
s
k=1 ν+ k (p) ≤ν+ zulässig
. Der numerische
Aufwand wächst ungefähr proportional zur Größe des Systems. Für den Fall in Gl. (9.2.2) ist
P P
1 s sk=1
γ k=1 ν+ P
k (p) durch
f,k (p)
1− P ,für Gl. (9.3.2.8) durch P λ s
s
k=1 P f,k (p) γ k=1 P f,k(p) und für Gl. (9.3.2.6)
P
durch 1 s 1
γ k=1 E[T k
zu ersetzen. Eine Rechnung mit exakten Laplacetransformationen wie in
(p)]
Gl. (9.6.21) kann aufwendig werden. Die Lösungen sind nur ausreichend gut, wenn die Summen
viel kleiner als Eins bleiben. Die vorausgesetzte Unabhängigkeit der Versagensmodi würde aber
sogar erlauben, die Summen P s
k=1 x k jeweils durch 1 − Q s
k=1 (1 − x k) zu ersetzen.
9.6.6. Zuverlässigkeitsoptimierung
Wir betrachten schließlich noch den Fall der Zuverlässigkeitsoptimierung bei zeitinvariantem Versagen
und nachfolgender Aufgabe des Tragwerks. Man beachte, daß die Minimierung von Φ(−β(p))
der Minimierung von −β(p) äquivalent ist. Der Nutzenterm ist vernünftigerweise weggelassen.
Im Gegensatz zur Kostenoptimierung kann gezeigt werden, daß eine FORM-Lösung asymptotisch
exakt ist. Daher darf durchwegs C SORM =1gesetzt werden.
Minimiere:
Unter den Bedingungen:
Z(p) =−β(p)
g(u, p) =0
u i k∇ u g(u, p)k + ∇ u g(u, p) i kuk =0; i =1,...,n− 1
h k (p) ≤ 0,k=1,...,q
C(p)+LP f (p) − C max ≤ 0
(9.6.6.1)
Zusätzliche Zuverlässigkeitsrestriktionen machen kaum Sinn. Wenn solche vorhanden sind, kann
die Aufgabe, abhängig von der Größe von C max , unlösbar werden, d.h. eine Zuverlässigkeitsrestriktion
kann eine Vergrößerung von C max erzwingen. In numerischen Rechnungen wird zweckmäßigerweise
β(p i )=−α(u i , p i ) T u i + g(u i , p i ) gesetzt.
Beispiel 9.6.6.1: Zuverlässigkeitsoptimierung einer Antriebswelle
Die Antriebswelle eines Schiffsantriebs sei als Rohr ausgebildet. Die Zustandsfunktion laute
g(x) =r π µ r
4
a − ri
4 − s (1)
2 r a
R sei lognormal verteilt mit Mittelwert 200 und Standardabweichung 20 und S sei gumbelverteilt
mit Mittelwert 1 und Standardabweichung 0.3. Dann ist beispielsweise mit p =(r a ,r i ):
267

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Minimiere:
Unter den Bedingungen:
Z(p) =−β(p)
g(u, p) =0
u 1 k∇ u g(u, p)k + ∇ u g(u, p) 1 kuk =0
r a ≤ 0.3,r i ≥ 0.1
C(p) =100(r a − r i ) r a ≤ C max =2.5
(2)
Die Lösung ist β =5.38 bei r ∗ a =0.3,r ∗ i ≥ 0.233 und die Kostengrenze C max ist aktiv.
#
Bei sehr vielen Entwurfsentscheidungen für bauliche Anlagen handelt es sich jedoch nicht um
Entscheidungen, wann gewisse bislang als stetig differenzierbar angenommene Kosten und/oder
erwartete Schadenskosten optimal werden. Es handelt sich vielmehr darum diskrete Ja-Nein-
Entscheidungen zu fällen, z.B. über die Felderzahl von Brücken, über die Art der Gründung als
Flach- oder als Pfahlgründung oder über Rahmen- oder Kernbauweise bei einem Hochhaus aber
auch darüber, ob eine zusätzliche protektive Maßnahme, z.B. eine Sprinkleranlage, eingeführt wird
oder nicht. Dann sind die vorstehenden formalen Optimierungsansätze so nicht mehr direkt anwendbar.
Trotzdem ist ein Optimum zu suchen und im Hinblick auf das Sicherheitskriterium abzuprüfen,
ob die zusätzlichen Kosten einer Maßnahme mit einer entsprechenden Reduktion der
Versagenswahrscheinlichkeit vereinbart werden können.
9.7. Zur GrößederZinssätze
9.7.1. Allgemeines
Die Verzinsung von monetären, erst in Zukunft anfallenden Beträgen war eine wichtige Voraussetzung
für die Herleitung der auf der Erneuerungstheorie beruhenden Zielfunktionen für einOptimierung.
Aus Gründen der mathematischen Dienlichkeit wurde generell eine stetige Verzinsung
gewählt. Bei der Festlegung von Zinssätzen ist entscheidend wer und für wen eine Kosten-
Nutzenrechnung durchgeführt wird. Für den privaten Investor oder Betreiber einer baulichen Anlage
sind es die auf dem Finanzmarkt üblichen Sätze. Wenn eine Kosten-Nutzenrechnung fürdie
Öffentlichkeit durchgeführt wird, sind zusätzliche Erörterungen notwendig.
9.7.2. Grenzen für Zinssätze
Bei Beachtung des Zeithorizontes von einigen 20 bis weit über 100 Jahren ist zunächst klar, daß
der Zinssatz bei Investitionen
R
im Interesse der Öffentlichkeit einem langfristigen Mittel, also z.B.
γ = E [γ(t)] = 1 tu Àt s
t u
γ(τ)dτ, entsprechen muß (t
0 s = beabsichtigte Nutzungsdauer des Objekts).
Der Zinssatz muß von In- oder Deflation bereinigt sein und darf keine Steuern enthalten 21 .
21
Es sei i der währungsorientierte, nominelle jährliche Zinssatz und π die an Verbrauchsgütern orientierte Inflationsrate.
Dann gilt für den realen Zinssatz 1+γ = 1+i
1+π
oder näherungsweise γ ≈ i − π. Bei kontinuierlicher Verzinsung
gilt γ = i − ṗ(t) mit p(t) dem Preisniveau. Die realen Zinssätze des Kapitalmarktes liegen üblicherweise zwischen 2
p(t)
und 5%.
268

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wenn für eine Kosten-Nutzenrechnung die Variante mit systematischem Wiederaufbau und zeitlich
konstantem Nutzen b in der asymptotischen Form gewählt wird, ist:
Z(p) = βC 0
γ − C(p) − (C(p)+H) 1
γE[T f (p)]
mit b = βC 0 . Alle monetären Größen sind inflationsbereinigte Größen zum Entscheidungszeitpunkt
t =0. Hieraus ersieht man sofort, daß der Zinssatz größer als Null sein muß. Größere
Zinssätze verlagern das Optimum in Richtung kleinerer Werte kp ∗ k oder weniger sicherer Anlagen.
Ein konstanter Nutzen unterschiedlicher Größe verändert die Lage des Optimums nicht.
Aus dieser Gleichung folgt für Z(p) =0, daß es einen maximalen Zinssatz γ max gibt für den die
Zielfunktion für jedes p negativ wird (b = const.) [69]
γ max (p) = E[T f(p)]βC 0 − (C(p)+H)
E[T f (p)]C(p)
= β
µ
C0
− (1 + H ) C(p)
C(p) E[T f (p)]
(9.7.2.1)
Daher gilt 0 < γ ≤ γ max (p). Für jedes sinnvolle Projekt muß gelten E[T f (p)]βC 0 >C(p)+H.
Desweiteren muß β/γ > 1 sein, wobei in guter Näherung
C0
≈ 1 genommen werden kann.
C(p)
Im allgemeinen ist der zweite Term nur wenig kleiner als der erste Term. γ max (p) verändert sich
ähnlich wie Z(p) mit p. Man kann daher eine andere Optimierungsaufgabe definieren:
³ ´
C
Maximiere: γ max (p) =β 0
− (1+ H
C(p) )
(9.7.2.2)
C(p) E[T f (p)]
Die Lösung von (9.7.2.2) sei ˆp. Jede Lösung der in den Abschnitten 9.2 bis 9.4 abgeleiteten Zielfunktionen
mit dem maximal möglichen Zinssatz würde also zunächst die Lösung von (9.7.2.2)
erfordern. In vielen Beispielrechnungen hat sich jedoch herausgestellt, daß kˆpk nahe oder numerisch
identisch mit der Lösung kp ∗ k der in den Abschnitten 9.2 bis 9.4 abgeleiteten Zielfunktionen
ist und daher in guter Näherung γ max (ˆp) ≈ γ max (p ∗ ). Wenn γ max (p ∗ ) verwendet wird, bedeutet
das Z(p ∗ )=0am Lösungspunkt p ∗ . Zinssätze γ < γ max erweitern jedoch den zulässigen Bereich
für p, was in Anwendungen von Vorteil sein kann.
Bei sehr kleinen Zinssätzen dominieren andererseits der Nutzen und die Schadenskosten. Dann ist
für γ → 0:
Z(p) =b − (C(p)+H)
(9.7.2.3)
E[T f (p)]
Der Zinssatz kommt nicht mehr vor. Errichtungskosten sind normalerweise schwach wachsend in
p, aber E[T f (p)] wächst entsprechend unseren Annahmen bedeutend in p. Daraus folgt, daß sich
das Optimum für E[T f (p)] →∞einstellt. Das gilt für eine absolut sichere Anlage, die aber unter
normalen Umständen nicht erreicht werden kann. γ =0ist im Rahmen unserer Betrachtungen
daher nicht möglich. Ähnliche Einsichten können auch für die anderen Modelle in den Abschnitten
9.2 bis 9.4 gewonnen werden.
9.7.3. Bemerkungen über gesellschaftliche Zins- und Nutzenraten*
’’Lebensrettungskosten’’ gehen möglicherweise in die Zielfunktion und Kriterien der Art Gl. (9.5.4.13)
ein. Daher erhebt sich als nächste Frage die Frage nach der Verzinsung. Das scheint auf den ersten
Blick nicht mit unseren ethischen Vorstellungen übereinzustimmen. Eine große Anzahl von sozio-
269

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ökonomischen Studien, zusammengefaßt in [132] und [94] , drücken jedoch aus, daß Lebensrettungskosten
wie andere Kosten verzinst werden müssen; besonders im Hinblick darauf, daß unser
gegenwärtiges Wertesystem auch fürzukünftige Generationen erhalten werden soll. Ansonsten ergeben
sich unzulässige Widersprüche. Daß dieser ethische Grundsatz durchaus in der Gesellschaft
verankert ist, kann empirisch belegt werden [94] .
Wie groß ist dann der für dieÖffentlichkeit bei langfristigen Investitionen zur Risikoreduktion
anzusetzende Zinssatz? Die vom Wirtschaftsgeschehen abhängigen realen Zinssätze des Kapitalmarktes
sind offensichtlich kaum dienlich. Als Faustformel galt lange γ =1/t s , wobei t s die
mittlere Zeit zwischen Erneuerungen von Anlagen, z.B. städtischer Abwassersysteme, ist. Für
t s =50Jahre ist also γ =0.02. Dieser Wert scheint zwar in richtigen Größenordnung, aber doch
recht willkürlich zu sein. Er muß volkswirtschaftlich begründet werden. Die relativ reichhaltige,
wirtschaftswissenschaftliche Literatur tendiert eindeutig zu relativ kleinen Zinssätzen, wenn es um
langfristige gesundheitspolitische Investitionen der Öffentlichkeit geht. Die Diskussionen wurden
jüngst durch Fragen zur Finanzierung des Umweltschutzes und zum wirtschaftlichen Wachstum
neu belebt. Im Hinblick auf den Zeithorizont (20 bis z.T. weit über 100 Jahre, d.h. unter Umständen
mehrere Generationen) von risikobehafteten technischen Anlagen ist es berechtigt, ja sogar
zwingend, die sehr ähnlichen Betrachtungen zum Umweltschutz heranzuziehen. Diese werden in
hohem Maße von Aspekten der Generationengerechtigkeit geprägt. Hier gibt es jedoch sehr gegensätzliche
Auffassungen. Weinstein/Stason [185] fordern aus Konsistenzgründen, daß Investitionen
in die Gesundheitsfürsorge wie andere langfristige Investitionen, z.B. in Risikoverminderung,
mit den Marktzinsen verzinst werden müssen. Das andere Extrem, d.h. bei intergenerationellen
Aufgaben überhaupt nicht zu verzinsen, wird z.B von Broome [25] und Schelling [155] im
Zusammenhang mit der CO 2 -bedingten globalen Erwärmung oder der Endlagerung nuklearer Abfälle
vertreten. In diesem Fall bricht das beispielhaft durch GL. (9.3.2.6) ausgedrückte Konzept
optimaler technischer Anlagen zusammen, da γ =0nicht möglich ist.
Wegen der Forderung γ max < β ist die Größe des Zinssatzes eng mit dem Nutzen, den eine Gesellschaft
aus den verschiedenen Aktivitäten seiner Mitglieder zieht, verbunden. Also muß die Frage
nach dem gesellschaftlichen Nutzen (in monetärem Sinn) eines möglicherweise risikobehafteten
Projektes gestellt werden. Es macht zunächst Sinn als gesellschaftlichen Nutzen die langfristige
Zuwachsrate δ des BIP zu nehmen, vorausgesetzt, daß diese positiv ist. In der Volkswirtschaftslehre
wird die Zuwachsrate auch ’’natürlicher Zinssatz’’ genannt und beschreibt den technologischen
Fortschritt. Nur dieser kann mit der Schaffung von zusätzlichem Wohlstand in Verbindung gebracht
werden. In den meisten entwickelten Ländern war die Zuwachsrate rund 2% in den letzten 50 Jahren.
Der United Nations Human Development Report 2001 [174] gibt Werte zwischen 1.2 und
1.9 % für die Jahre 1975-1998 in Industrieländern an. Wenn man die Betrachtung auf die letzten
100 bis 120 Jahre bezieht, findet man unter Verwendung der Daten in [103] eine Zuwachsrate von
δ = ln(g1992/g1870)
100 von ungefähr 1.8% (vergl. Tabelle 4), exponentielles Wachstum vorausgesetzt.
Ungefähr exponentielles Wachstum ist in [103] für den genannten Zeitraum belegt. Gewisse
1992−1870
Unsicherheiten in den Zahlen rühren vor allem von den Unsicherheiten bei der Konvertierung historischer
monetärer Einheiten in PPP US$ des Jahres 1990 her. Zu ganz ähnlichen Werten kommt
man unter Verwendung der unabhängig von [103] erhobenen Daten in [167] , [44] . FürSüdeuropa,
Lateinamerika und Asien findet man ähnliche Wachstumsraten δ ≈ 1.7%, für Osteuropa noch
δ ≈ 1.4% und für Afrika nur noch δ ≈ 0.9%. Allerdings ist die Datenlage für Entwicklungsländer
z.T. wesentlich schlechter als für entwickelte Länder und es gibt Länder mit negativer Zuwachsra-
270

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
te in den letzten Jahren. Der hohe Wert für Japan scheint aus verschiedenen Gründen ein (zeitlich
befristeter) Sonderfall zu sein 22 .
Nordhaus [123] u.a. (siehe [169] für einenÜberblick) folgen dem klassischen Ramseyschen
Ansatz [142] für optimales Wachstum. Die neueren Ansätze zur Theorie des optimalen Wachstums
stammen, auf Ramsey aufbauend, von Solow [164] . Die Theorie ist ein guter Ausgangspunkt
für die Festlegung geeigneter Zinssätze. Im Weiteren wird zunächst von zeitunabhängigen Raten
ausgegangen. Solow findet:
γ = ρ + ² δ > 0 (9.7.3.1)
Darin ist γ der Realzins, ρ dieRatederZeitpräferenz des Konsums, ²>0 die Elastizitätdesmarginalen
Nutzens des Einkommens (oder Konsums) 23 und δ die Zuwachsrate des realen Einkommens
(oder Konsums). Dieser Ansatz setzt einen idealen, freien und im Gleichgewicht befindlichen
Markt mit Wachstum voraus. In einem solchen idealen Markt ist γ gleich der Zuwachsrate der gesamten
Ausbringung an Waren und Dienstleistungen (output) 24 . Dem additiven Ansatz und dem
Term ² δ wird allgemein nicht widersprochen. Über die Größe von ρ herrscht jedoch keine Einig-
22
Die Zahlen in [103] reichen von 1820 bis 1992. Die Periode von 1820-1870 wurde in Tabelle 5 nicht aufgenommen,
da die Industrialisierung in vielen Ländern erst in oder nach diesen Jahren begann. Wenn die Zuwachsrate des
Sonderfalls Japan nicht in die Mittelbildung einbezogen wird, ist δ ≈ 1.6%. Auf den ganzen Zeitraum 1820-1992
bezogen ist im Mittel (mit Japan) δ ≈ 1.5%. Die Zeit zwischen 1950 und 1975 war in fast allen Ländern durch ein
überexponentielles Wachstum geprägt, welches sich danach jedoch wieder auf das langfristige Mittel abschwächte.
Für die Weltwirtschaft gibt Maddison ein Wachstumsrate von δ ≈ 1.2% für die Zeit 1820-1992 an während in der Zeit
von 1500-1820 nur ein Wachstum von δ ≈ 0.04% zu verzeichnen war.
23
Die Elastizität des marginalen Nutzens, d.h. der Änderung der Steigung der Nutzenfunktion mit dem Konsum, ist
² = − c d2 u(c)
d 2 c
du(c) . Für die in Gl. (9.4.5.4) gewählte Nutzenfunktion u(c) = cq −1
q
ist ² genau gleich 1 − q. Für q ≈ 0.2 ist
dc
also ² ≈ 0.8.²ist auch ein Maß für die Risikoaversion nach Arrow/Pratt. Für ²>0 nennt man eine Nutzenfunktion
als dem finanziellen Risiko abgeneigt, für ² =0ist sie risikoneutral und für ²

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
keit. Mit ρ ≈ 0.03 und δ ≈ 0.02 sowie ² =1(entspricht einer logarithmischen Nutzenfunktion
u(c) =ln(c)) erhält Nordhaus [123] z.B. γ ≈ 0.05. Arrow [4] schätzt ρ ≈ 0.01 und δ ≈ 0.012
sowie ² =1.5 (!) und erhält γ ≈ 0.03 - aber tendiert im Hinblick auf zukünftiges Wachstum zu
etwas größeren Werten. Argumente in [4] sprechen darüberhinaus dafür, daß ρ > 0 sein muß 25 .
Solow [164] , der im übrigen ρ ≈ 0.01 bis 0.02 vermutet, fügt Gl. (9.7.3.1) noch die Bedingung
hinzu, daß ρ + ²δ >n+ δ. Nur dann konvergiert das Nutzenintegral, genommen zwischen 0
und ∞. Das ergibt zumindest eine untere Begrenzung für den Wert von ρ. Diese (realen) Zinssätze
entsprechen denen des Kapitalmarktes oder liegen nur wenig darunter. Wie schon erwähnt gibt
es aber bedeutende Autoren in der Wirtschaftstheorie und politischen Philosophie, die eine Rate
ρ > 0 aus ethischen Gründen ablehnen (Gleichheitsgrundsatz zwischen den Generationen). Rabl
[137] , der wie viele andere ρ =0setzt, argumentiert im Rahmen langfristiger Investitionen im
Umweltschutz, daß 0 < γ ngelten.
Es ergibt sich γ < β = n + ² δ, ein Ansatz dem kaum widersprochen wird. Wird also β ≈
n + ² δ genommen, kann γ max < β berechnet werden. γ max ist unter normalen Bedingungen rund
5 bis 20% kleiner als die Nutzenrate β.
Diese Erörterungen können nun auch Hinweise zum Ansatz einer vertretbaren Rate ρ der Zeitpräferenz
des Konsums geben. Wenn man strikte Gleichheit zwischen den Generationen als ethisches
Prinzip verlangt, muß nach den vorstehenden Erörterungen ρ−n nahe Null sein und kann daher im
Ansatz () (fast) unberücksichtigt bleiben. In Abschnitt 9.7.1 sollte man eine ’’Verzinsung’’ durch
dieRatederZeitpräferenz des Konsums dennoch berücksichtigen - vor allem im Hinblick auf Generationengerechtigkeit
bei Wirtschaftswachstum. Deren Rate muß in Übereinstimmung mit der
Solowschen Bedingung ρ + ² δ >n+ δ die Ungleichung n + δ(1 − ²) ≤ ρ erfüllen. Somit ist
schließlich:
n +(1− ²)δ ≤ ρ ≤ γ ≤ γ max ≤ β = n + ²δ oder β = n + δ (9.7.3.2)
Die in Abschnitt 9.7.1 angeführte Begründung für ρ > δ wird vernachlässigt. Die obere Schranke
für γ ergibt sich durch Verwendung von ρ = n + δ(1 − ²) in Gl. (). Damit wird β mit Berücksichtigung
des Bevölkerungswachstums nur unerheblich größer als nach dem Rablschen Ansatz.
Die Werte für ρ und β sind in Tabelle 9.7.1 für einige Länder berechnet. Für die dort aufgenommenen
Länder ist ρ klein genug um den vorstehenden Ansätzen, auch im Hinblick auf die vielfach
geäußerten Zweifel an der Zulässigkeit einer Rate der Zeitpräferenz des Konsums ρ > 0,Vertrauen
schenken zu können. Auch die Werte von β und die daraus folgenden Zinsraten γ max liegen
in akzeptabler Größenordnung. Die vorstehenden Betrachtungen können zumindest den Rahmen
abstecken in dem sich Zinssätze und Nutzenraten der Öffentlichkeit bei langfristigen, risikomindernden
Investitionen bewegen dürfen. Sie schließen durchaus nicht aus, daß bei nicht generationenübergreifenden
Vorhaben und speziellen Projekten nicht höhere Zinssätze und Nutzenraten,
also inbesondere größeres ρ, angemessen wären.
Hierbei ist ζ = dc
dt
c
die Wachstumsrate des Konsums, die mit der Wachstumsrate der gesamten volkswirtschaftlichen
Ausbringung gleichgesetzt wird.
25
Arrow spricht bei ρ =0von ’’... incredible and unacceptable strain on the present generation’’ wobei an die
Aussage im vorigen Abschnitt erinnert sei, daß ρ größer oder gleich der auf den Konsum bezogenen Wachstumsrate
ζ sein muß.
272

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1870 1992
Land BIP BIP δ[%] ρ[%] β[%]
UK 3263 15738 1.3 0.4 1.3, 1.5
USA 2457 21558 1.8 1.2 2.4, 2.7
F 1858 17959 1.9 0.7 1.9, 2.3
NL 2640 16898 1.5 0.8 1.8, 2.1
S 1664 16927 1.9 0.3 1.6, 2.0
D 1913 19351 1.9 0.6 1.8, 2.2
AUS 3801 16237 1.2 1.2 2.0, 2.2
JAP 741 19425 2.7 0.7 2.3, 2.9
Mittel 2292 13060 1.8 0.8 1.9, 2.2
Tabelle 9.5.1: Wachstum des BIP für einige entwickelte Länder (alle monetären Angaben in PPP
US$, 1990, für β entspricht der erste Wert der unteren Grenze in Gl. (9.7.3.2) und der zweite Wert
der oberen Grenze in Gl. (9.7.3.2))
In der volkswirtschaftlichen und ökologischen Literatur wird die Angemessenheit des Ramseysche
Modells ernsthaft in Frage gestellt. Sogenannte überlappende Generationenmodelle oder generationengerechte
Modelle werden stattdessen vorgeschlagen [9] . Die Grundidee ist für lebende
Generationen mit einer Rate nach GL. (9.7.3.1) mit ρ > 0, d.h. mit γ = ρ+εδ zu diskontieren, für
alle noch nicht geborenen Generationen jedoch höchstens mit eine Rate εδ oder sogar niedriger
um den Übergang in einen nachhaltigen Zustand der Volkswirtschaft zu ermöglichen [137] [11]
[12] . Das Modell von Bayer/Cansier [11] ist aufgrund seiner Einfachheit und Flexibilität besonders
attraktiv. Es fordert, daß alle zukünftigen Generationen wie die lebende Generation behandelt
werden sollten. Damit diskontiert jede Generation mit γ = ρ + ²δ, ρ > 0, mit einem ρ entsprechend
den Präferenzen der jeweiligen Generation. Zu jedem Zeitpunkt in der ferneren Zukunft m
gibt es wie zum augenblicklichen Zeitpunkt eine bestimmte Anzahl von Generationen. Jede Generation
lebt L Jahre. Jeder Konsumeffekt c i wird auf alle lebenden Generationen gleichmäßig
verteilt um intragenerationelle Gerechtigkeit zu wahren. Daraus folgt, daß Ve rzinsen zunächst bis
zum Zeitpunkt m = L mit γ erfolgt. Für m>Ldarf nur noch mit ²δ verzinst werden. Unter
der Annahme, daß alle Generationen die gleichen Präferenzen, d.h. gleiches ρ, führt das füreinen
Konsumeffekt c m zum Zeitpunkt m im stationären Zustand zu dem gegenwärtigen Wert:
PV OLG (m) =
( P m−1
c m/G
j=0 (1+²δ) m−j (1+ρ+²δ)
P j
L c m/G
j=0 (1+²δ) m−j (1+ρ+²δ) j
+ P L
j=m
c m/G
for m ≤ L
(1+ρ+²δ) m for m>L
(9.7.3.3)
Für m ≤ L betrifft die erste Summe alle Generationen die später als t = 0 geboren werden,
während die zweite Summe alle zum Zeitpunkt t =0lebenden Generationen betrifft. Der Gegenwartswert
bei Verzinsung mit γ 0 ist:
PV R (m) =
c m
(1 + γ 0 E )m (9.7.3.4)
Damit läßtsicheinäquivalenter Zinssatz, der zu gleichen Gegenwartswerten führt, definieren:
c m
(1 + γ − PV OLG(m) =0 (9.7.3.5)
0
E (t))m
273

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Alternativ kann man c m über alle Altersgruppen verteilen und diese zusätzlich mit der Altersverteilung
h(a, n) gewichten. Jedes Mitglied der Gesellschaft trägt dann den gleichen Anteil an c m .
Dann bestimmt man fürdiesichüberlappenden Altersgruppen (OLAG):
( P m−1 c mh(a,n)
a=0
+ P a u
(1+²δ)
PV OLAG (m) =
m−a (1+ρ+²δ) a
P au
a=0
und die äquivalente Zinsrate zu
c mh(a,n)
(1+ρ+²δ) m
a=m
for m ≤ a u
c mh(a,n)
(9.7.3.6)
for m>a
(1+²δ) m−a (1+ρ+²δ) a u
γ 0 E (m) = µ
c m
PV OLAG (m)
1/m
− 1 (9.7.3.7)
Man kann sich leicht davon überzeugen, daß beide Strategien zu fast identischen Ergebnissen
bezüglich γ 0 E (m) führen. Abb. 9.18 zeigt γ0 E (m) für ρ =0.03, δ =0.02,²=1und L =40. Die
gestrichelte Linie entspricht dem stationären Zustand und wurde bei ρ+²δ für j

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
erlegt werden. Das ist sicher ein wesentlich realistischeres, intergenerationell gerechtes und daher
ethisch verteitigbares Konzept als das ursprüngliche Ramseysche Modell. Hingewiesen sei jedoch
darauf, daß Ramsey selbst die Verzinsung mit einer myopischen Zinsrate fürzukünftige Generationen
ablehnte. Die Frage nach der ’’richtigen’’ Zinsrate ρ wird jedoch auch hier nicht beantwortet.
Am besten orientiert man sich an den Raten für langfristigen Anleihen auf dem Sekundärmarkt
und das sind γ(0) = 3 − 6% 26 .
Die z.T. kontroversen Auffassungen zur Zusammensetzung und zum Ansatz des Zinssatzes sowie
Nachhaltigkeitsüberlegungen und Prognosen zur zukünftigen wirtschaftlichen Entwicklung lassen
in der Frage zum Zinssatz zur Vorsicht raten - auch wenn der Einfluß unterschiedlicher Ansätze
nicht sehr groß ist. Tabelle 9.5.1 mag Orientierungshilfen geben. Dabei muß angemerkt werden,
daß die Ermittlung des volkswirtschaftlich richtigen Realzinses γ und der Zeitpräferenzrate
ρ sowohl im Hinblick auf wirtschaftliches Wachstum wie auch auf Nachhaltigkeit und Generationengerechtigkeit
derzeit noch heftig in der einschlägigen Fachwelt diskutiert wird. Zu erwähnen
ist noch ein weiteres wichtiges Resultat. Weitzman [186] und andere wiesen nach, daß bei Unsicherheiten
über die zukünftige Entwicklung für die fernere Zukunft der kleinstmögliche Zinssatz
genommen werden sollte - und genau diese Strategie wurde verfolgt.
26
Es ist angebracht zu bemerken, daß die vorgestellte Theorie, d.h. das Erneuerungsmodell zur Aufstellung von
geeigneten Zielfunktionen mithilfe der Laplacetransformation und das beispielsweise in [12] vertretene Modell sich
überlappender Generationen mit mit der Zeit abnehmendem Zinssatz γ(t) kombiniert werden können. Füreineneue
Transformation der Form f # (G) = R ∞
exp
0
ebenfalls der Faltungssatz φ # (G) =f # (G)g # (G) mit G = R t
h
− R t
0 γ(τ)dτ i
f(t)dt (mit einem Kreuz bezeichnet) gilt näherungsweise
γ(τ)dτ. Somit bleiben alle Ergebnisse gültig sofern
0
die Integrale konvergieren. Das ist z.B. der Fall, wenn γ(τ) zwar zunächst abnimmt aber schließlich auf einem
konstanten Niveau > 0 stehenbleibt, oder anders ausgedückt, wenn G mit t asymptotisch linear wächst.
275

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ANHANG G:
Optimierungsalgorithmen ∗
G.1.
Vorbemerkungen
Optimierungsaufgaben gehören zu den schwierigsten Problemen in der numerischen Mathematik.
Man unterscheidet restringierte und unrestringierte Optimierungsaufgaben sowie lineare und
nichtlineare Aufgaben. Lineare Optimierungsaufgaben, d.h. Aufgaben, bei denen sowohl Zielfunktion
als auch Restriktionen lineare Funktionen der Variablen sind, sind sehr viel einfacher als
nichtlineare Aufgaben. Lineare Optimierungsaufgaben werden nicht weiter betrachtet, da man sie
als Sonderfall nichtlinearer Aufgaben auffassen kann. Von den Lösungsalgorithmen verlangt man
Zuverlässigkeit, Robustheit, Effizienz und Allgemeinheit, Eigenschaften, die kaum gleichzeitig
realisiert werden können. Unter Zuverlässigkeit sei verstanden, daß eine Folge von Punkten erzeugt
wird, die zumindest gegen ein lokales Optimum konvergiert. Konvergenz muß bewiesen
werden können. Bei Robustheit sei Konvergenz auch unter ’’widrigen’’ Bedingungen, z.B. nichtkonvexen
Restriktionen und/oder numerischen Ungenauigkeiten bei der Ermittlung von Zielfunktion
und Restriktionen, erzielbar. Effizienz ist die Anzahl der Funktionsermittlungen bis zur Konvergenz
bzw. der Iterationen. Unter Allgemeinheit sei verstanden, daß die Anzahl der Optimierungsvariablen
und der Restriktionen nur durch Rechnerkapazitäten aber nicht durch theoretische
Einschränkungen begrenzt ist. Ein Optimierungsverfahren, welches allen Anforderungen gerecht
wird, kann nicht angegeben werden. Das jeweils ’’beste’’ ist problemabhängig. Im allgemeinen
ist zu fordern, daß:
– das Optimierungsproblem wohldefiniert ist, d.h. der zulässige Bereich nicht leer ist und
eine Optimallösung existiert,
– das Optimierungsproblem ’’glatt’’ ist, d.h. die Problemfunktionen sind stetig differenzierbar,
– das Optimierungsproblem gut skaliert ist, d.h. Änderungen in den Variablen erzeugen Änderungen
in den Problemfunktionen in den gleichen Größenordnungen.
Bis auf die selbstverständliche erste Forderung sind das bereits schwerwiegende Einschränkungen,
die auf die eine oder andere Weise erfüllt werden müssen. Vor allem die Forderung nach ’’Glattheit’’
ist in Anwendungen oft nicht gegeben. Daher werden weiter unten auch einige Hinweise auf einen
Optimierungsalgorithmus gegeben, der keine Differenzierbarkeitsanforderungen stellt.
In den Abschnitten 3 bis 5 und 7 wurde deutlich gemacht, daß die Bestimmung des β−Punktes eine
zentrale, numerische Aufgabe der Strukturzuverlässigkeit darstellt. Es liegt auf der Hand, daß
diese Aufgabe im allgemeinen erst durch Anpassung an die spezielle Aufgabenstellung zuverlässig
und effizient gelöst werden kann. Die Kostenoptimierung in Abschnitt 9 ist numerisch noch
bedeutend schwieriger. Auch sie verlangt spezielle Lösungen.
G.2.
Unrestringierte, nichtlineare aber ’’glatte’’ Optimierungsaufgaben
Es sei f(x) eine zweimal differenzierbare Zielfunktion des n-dimensionalen n Vektors x, deren o Minimum
zu bestimmen ist. Im einem Minimumspunkt x ∗ ist ∇f(x ∗ )= ∂f(x ∗ )
∂x i
; i =1,...,n = 0.
Die Bedingung für ein (lokales) Minimum ist, daß die Matrix der zweiten Ableitungen, die Hesse-
276

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
n o
Matrix, ∇ 2 f(x ∗ )= ∂ 2 f (x ∗ )
∂x i ∂x j
; i, j =1,...,n positiv definit ist, d.h. y T ∇ 2 f(x ∗ )y > 0 mit y 6= 0
einem beliebigen Vektor. Wird f(x) in der Nähe von x k durch eine nach zweiten Glied abgebrochene
Taylorreihe genähert
f(x) ≈ f(x k )+∇f(x k ) T (x − x k )+ 1 2 (x − xk ) T ∇ 2 f(x k )(x − x k )
(G.2.1)
so findet man durch Ausführung von ∇f(x) =0 und Auflösung den nach Newton benannten
Algorithmus:
x k+1 = x k + d = x k − (∇ 2 f(x k )) −1 ∇f(x k ) T
(G.2.2)
In dieser Form ist der Algorithmus nur in der unmittelbaren Umgebung von x ∗ konvergent, dort
aber mit großer Geschwindigkeit. Die Invertierung von ∇ 2 f(x k ) ist schwierig und aufwendig.
Man wird daher immer vorziehen, das lineare Gleichungssytem ∇ 2 f(x k )d k = −∇f(x k ) nach d k
aufzulösen. Eine erste Modifikation besteht nun darin, daß man zwar die Fortschrittsrichtung
beibehält, aber nur solche Schrittweiten zugeläßt, die f(x k+1 ) gegenüber f(x k ) verkleinern. Der
Algorithmus wird geändert in:
x k+1 = x k − α k (∇ 2 f(x k )) −1 ∇f(x k ) T
(G.2.3)
α k wird mit einer geeigneten Liniensuche (eindimensionale Suche des Minimums von f(x k +αd k )
in der Richtung d k bestimmt (siehe unten).
Die sogenannten quasi-Newton-Verfahren vermeiden die explizite Berechnung von (∇ 2 f(x k )) −1
zumal durchaus nicht sicher ist, daß ∇ 2 f(x ∗ ) im Verlauf der Iteration auch positiv definit ist
bzw. bleibt. Man könnte beispielsweise (∇ 2 f(x k )) −1 =(∇ 2 f(x 0 )) −1 setzen, vorausgesetzt, daß
∇ 2 f(x 0 ) positiv definit ist oder sogar (∇ 2 f(x k )) −1 = I, denn I und ihre Inverse sind immer
positiv-definite Matrizen. Diese Variante ist unter dem Namen ’’modifiziertes Newton-Verfahren’’
bekannt. Eine der wichtigsten Erkenntnisse in der nichtlinearen Optimierung ist nun die Tatsache,
daß es gelingt, aus der Folge der Iterationspunkte und den dort ermittelten Gradienten eine verbesserte
Inverse der Hesse-Matrix zu konstruieren. Eine der Varianten, die sogenannte DFP-Formel,
ist mit (∇ 2 f(x k )) −1 = H k H k+1 = H k +
qk (q k ) T
(p k ) T q − Hk q k (H k q k ) T
(G.2.4)
k−1 (q k ) T H k q k
wobei
p k = α k d k
q k = ∇f(x k+1 ) −∇f(x k ) (G.2.5)
und H 0 = I. Wenn H k eine symmetrische, positiv-definite Matrix, so ist auch H k+1 eine symmetrische,
positiv-definite Matrix und H k konvergiert gegen (∇ 2 f(x k )) −1 . Damit ist schließlich:
x k+1 = x k − α k H k ∇f(x k ) T
(G.2.6)
Auf weitere technische Details kann nicht eingegangen werden.
277

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
G.3.
Allgemeines
Restringierte nichtlineare aber ’’glatte’’ Optimierungsaufgaben
Es sei f(x) eine zweimal differenzierbare Zielfunktion und g j (x) =0, j =1,...,`,` 0. x ∗ ist
ein regulärer Punkt, wenn die Gradienten aller aktiven Restriktionen linear unabhängig sind und
das heißt, daß ∇g(x)y = 0 nur für y = 0 gilt. Die erste Gleichung ist die Bedingung für ein Extremum
der Lagrangefunktion. Wenn die Hessematrix ∇ 2 L(x ∗ ) der Lagrangefunktion in x ∗ positiv
definit ist, d.h. y T ∇ 2 L(x ∗ )y > 0 mit y 6= 0 einem beliebigen Vektor gilt (oder alle Eigenwerte
von ∇ 2 L(x ∗ ) größer Null), ist x ∗ ein (lokales) Minimum. Die Lagrangemultiplikatoren fürGleichheitsrestriktionen
können größer, kleiner oder gleich Null werden, die der aktiven Ungleichheitsrestriktionen
müssen positiv sein und die der inaktiven Ungleichheitsrestriktionen gleich Null. Gl.
(G.5.3) bildet ein nichtlineares Gleichungssystem, welches zu lösen ist. Nach Newton-Raphson
278

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ist eine iterative Lösung für das Gleichungssystem F(x) =0 mit x k+1 = x k + ∆x k nach linearer
Entwicklung F(x) ≈ F(x k )+∇F(x k )∆x k = 0 im Punkt x k gegeben durch:
∇F(x k )∆x k = −F(x k ) bzw. ∆x k = −∇F(x k ) −1 F(x k )
(G.3.4)
worin ∇F(x k ) die Jacobimatrix von F(x) in x k .
Sequentielle quadratische Programmierung (SQP)*
Die Methode der sequentiellen quadratischen Programmierung hat sich für die Aufgaben, die bei
Zuverlässigkeitsbetrachtungen vorkommen, als gut geeignet erwiesen. Für den auf Wilson, Han
und Powell zurückgehenden Algorithmus wurde in [156] Konvergenz bewiesen sowie eine ganze
Reihe von Verbesserungen eingeführt. Wir betrachten den Fall m =0, bzw. beziehen zunächst
nur solche Ungleichungen in unsere Betrachtungen ein, die im Lösungspunkt aktiv sind, also für
die g j (x ∗ )=0. Zuerst sei bemerkt, daß für eine quadratische Zielfunktion 1 2 xT Gx + c T x, G
positiv definit, und lineare Restriktionen g(x) ≡ Ax + b = 0 (` < n und alle Restriktionen
linear unabhängig) eine geschlossene Lösung existiert. FürdieAufgabe
1
Minimiere :
2 xT Gx + c T x
unter der Bedingung : Ax + b =0 (G.3.5)
lauten die Kuhn-Tucker Bedingungen nach Gl. (G.5.3):
Gx + λ T A + c = 0
Ax + b = 0 (G.3.6)
Das ist ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten x und λ und daher unter den genannten
Bedingungen immer lösbar. Die Lösung kann man formal wie folgt angeben
· ¸µ µ
G A x −c
A T =
(G.3.7)
0 λ −b
oder explizit aus der ersten Gleichung
und Einsetzen in die zweite Gleichung
x = −G −1 Aλ − G −1 c
λ = −(A T G −1 A) −1 (A T G −1 c − b)
(G.3.8)
und somit:
x = G −1 A(A T G −1 A) −1 (A T G −1 c − b) − G −1 c
(G.3.9)
279

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Diese Lösung kann iterativ auf die Lagrangefunktion L(x, λ) =f(x)+λ T g(x) eines allgemeinen
nichtlinearen Optimierungsproblems angewandt werden, d.h. mit G k = ∇ 2 L(x k , λ k ), A k =
∇g(x k ), b k = g(x k ), c k = ∇L(x k , λ k )=∇f(x k )+(λ k ) T ∇g(x k ) und x k+1 = x k + d k ist:
Minimiere :
1
2 (dk ) T ∇ 2 L(x k , λ k )d k + ∇L(x k , λ k ) T d k
unter der Bedingung : ∇g(x k )d k + g(x k )=0 (G.3.10)
Die Kuhn-Tucker Bedingungen sind:
∇ 2 L(x k , λ k )d k + ∇L(x k , λ k ) = 0
∇g(x k )d k + g(x k ) = 0
Bei jeder iterativ zu lösenden Optimierungsaufgabe sind grundsätzlich zwei Aufgaben zu erledigen.
Ausgehend von einem zulässigen Punkt x k ist eine Suchrichtung d k bzw. die Änderung ∆λ k
und danach eine Schrittweite zu bestimmen. Nach Newton ist analog zu Gl. (G.5.4)
· ¸µ ∇2 L(x k , λ k ) ∇g(x k µ
) d
k −∇L(x k , λ k )
∇g(x k ) T 0 ∆λ k =
−g(x k )
wobei die Gleichung mit ∆λ k = λ k+1 − λ k und ∇L(x k , λ k )=∇f(x k )+(λ k ) T ∇g(x k ) noch
vereinfacht werden kann zu:
· ¸µ µ
∇2 L(x k , λ k ) ∇g(x k ) d
k −∇f(x k )
∇g(x k ) T 0 λ k+1 =
−g(x k (G.3.11)
)
Auf die formale Gleichartigkeit von Gl. (G.5.7) und Gl. (G.5.12) soll besonders hingewiesen werden.
Die Lösung des linearen Gleichungssystems in x k als Lösung des quadratischen Subproblems
ist also mit der Lösung eines Newtonschrittes identisch. Im Rahmen von quasi-Newton-Verfahren
wird, wie bei unrestringierten Problemen, ∇ 2 L(x k , λ k ) durch eine Approximation, die als Approximation
B k genannt sei, ersetzt. Der entscheidende Vorteil dieser Vorgehensweise ist, daß die Approximation
B k strikt positiv definit gewählt werden kann obwohl die Hessematrix von L(x k , λ k )
diese Eigenschaft nicht überall besitzen mag. Dann ist das quadratische Subproblem strikt konvex
und die Lösung von Gl. (G.5.12) ist ein Minimumspunkt. B k wird am besten schrittweise mit
dem Fortgang der Iteration verbessert. Man startet beispielsweise mit B 0 = I. Man kann aber jede
andere geeignete, positiv definite Matrix wählen oder sogar I für alle Iterationen im Sinne des
modifizierten Newtonverfahrens beibehalten. Aus Gl. (G.5.12) wird also
·
Bk ∇g(x k )
∇g(x k ) T 0
Der nächste Punkt wird gewonnen durch:
¸µ d
k
λ k+1
=
µ −∇f(x k )
−g(x k )
(G.3.12)
x k+1 = x k + α k d k
(G.3.13)
280

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Bei Gegenwart von Ungleichungsrestriktionen bildet man:
n
o
Jk ∗ = {1, ..., `} ∪ ` −²) ∧ (λ k j ≥ 0)
Kk ∗ = {1, ..., m}\J k (G.3.14)
J ∗ k
ist die Menge der aktiven Restriktionen und ² ≥ 0 eine kleine Zahl. ² ist vom Anwender
vorzugeben. d k und λ k beziehen sich nur auf die Menge Jk ∗ . Die nichtaktiven Ungleichheitsrestriktionen
werden ignoriert. Der quadratische Subalgorithmus kann aber trotzdem noch versagen.
Die Menge der aktiven Restriktionen kann leer werden oder es kann eine Lösung im unzulässigen
Bereich produziert werden. Auch können die linearisierten Restriktionen lokal linear abhängig
werden obwohl das Optimierungsproblem insgesamt eine Lösung hat. In diesem Fall wird versucht,
ein ’’erweitertes ’’ Problem zu lösen, d.h. anstelle Gl. (G.5.12) das um eine Dimension
erhöhte Optimierungsproblem [156]
Minimiere :
unter den Bedingungen :
1
2 (dk ) T B k d k + ∇f(x k )d k + 1 2 ρk δ 2
½ ¾
∇g j (x k )d k +(1− δ)g j (x k =
) ² für j ∈ J
≤
k
∇g j (x k )d k + g j (x k (G.3.15)
) ≤ 0 für j ∈ K k
0 ≤ δ ≤ 1
mit ²>0 (² 0 nach einem Vorschlag in [156] . A k−1 ist die Matrix der Gradienten der
(aktiven) Restriktionen. Die Lösung sei (d k , δ k , λ k ). Das quadratische Subproblem wird so fast
immer lösbar. Der Punkt (d, δ) =(0, 1) ist offensichtlich ein zulässiger Punkt. Es gibt noch
andere Möglichkeiten, ein degeneriertes, quadratisches Subproblem wenigstens näherungsweise
zu lösen.
Um festzustellen, ob der neue Punkt ’’besser’’ ist, führt man nach der Lösung des quadratischen
Subproblems Gl. (G.5.12) oder Gl. (G.5.15) eine eindimensionale Liniensuche in Richtung d mit
einer ’’Meritfunktion’’ durch, z.B. mit [156]
ψ(α) = f(x+αd)+ X µ
λ j g j (x+αd)+ 1
2 r jg j (x+αd) 2
j∈J ψ
+
mX
j∈K ψ
¡
λj g j (x+αd)+ 1r 2 jg j (x+αd) 2¢ wenn g j (x+αd)+ λ j
r j
≥ 0
(G.3.17)
sonst
1 λ 2 j
2 r j
wobei die Menge der aktiven Restriktionen erneut festzulegen ist durch:
(
)
J ψ = {1, ..., `} ∪ `

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
K ψ = {1, ..., m}\J ψ (G.3.18)
Die rj k ≥ 1 sind Strafparameter, die beispielsweise nach
rj k =max
½¯¯λk ¯
1 ¡
j , r
k−1
j
2
¯
+ ¯¯λk
¯
¯¢¾
j
(G.3.19)
mit rj
0 = ¯¯λ0 ¯
j bestimmt werden [156] [135] . Damit vermeidet man zu große Strafparameter.
Gl. (G.5.17) ist nichts anderes als die Lagrangefunktion aber erweitert mit einer (quadratischen)
Straffunktion. Man überzeugt sich leicht, daß Gl. (G.5.17) für wachsendes r das gleiche Minimum
wie Gl. (G.5.12) besitzt. Da eine grobe Liniensuche meist ausreicht, wählt man z. B. einen
quadratisch interpolierenden Minimierungsalgorithmus und es ist
α k =
ψ 0 (0)
2 ¡ ψ(0) + ψ 0 (0) − ψ(1) ¢ ≥ γ > 0 (G.3.20)
Durch die Begrenzung nach unten vermeidet man zu kleine Schrittweiten. ψ(0) und ψ 0 (0) sind
bereits bekannt, so daß nur ψ(1) zusätzlich berechnet werden muß. Insbesondere ist:
ψ 0 (0) = ∇f(x) T d+ X j∈J ψ
¡
λj ∇g j (x) T d + r j g j (x)∇g j (x) T d ¢
+
Pj∈K ψ
¡
λj ∇g j (x) T d + r j g j (x)∇g j (x) T d ¢ wenn g j (x)+ λ j
r j
≥ 0
0 sonst
Führt die Liniensuche, auch eine exakte Liniensuche, nicht zum Ziel, ist die gefundene Richtung
d k eine Aufstiegsrichtung. Dann muß der Algorithmus abgebrochen werden. Man kann versuchen
mit einem anderen Startwert neu zu beginnen.
Schließlich B k wird nach dem sogenannten BFGS-Schema (hier für die Matrix selbst und nicht
ihre Inverse) mit einer empirischen Modifikation nach [135]
mit
B k+1 = B k − Bk p k (p k ) T B k
(p k ) T B k p k + sk (s k ) T
(s k ) T p k (G.3.21)
p k = x k+1 − x k
q k = ∇L(x k+1 , λ k+1 ) −∇L(x k , λ k )
s k = θq k +(1− θ)B k p k
(
1 wenn (p k ) T q k ≥ 0.2(p k ) T B k p k
θ =
0.8(p k ) T B k p k
(p k ) T B k p k −(p k ) T q k sonst
)
(G.3.22)
verbessert. Mit dem Faktor θ in Gl. (G.5.22) wird versucht B k+1 positiv-definit zu halten. Man
darf sich von der allmählichen Verbesserung von B jedoch nicht zu viel erwarten. Die Anzahl der
Elemente von ∇ 2 L(x, λ) ist n(n+1)/2, die Anzahl der Iterationsschritte sei k. Nur wenn k & n, ist
282

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
die Annäherung von B k an ∇ 2 L(x k , λ k ) oft ausreichend gut. Der Algorithmus wird abgebrochen,
wenn die Schrittweite ° °α k d k° ° ≤ ² mit ² einer kleinen Zahl.
Das sieht kompliziert aus und ist es auch in der Implementierung. Der Algorithmus zeigt theoretisch
in der Nähe des Lösungspunktes sogenannte überlineare Konvergenz. Er kann im Hinblick
auf Effizienz und Zuverlässigkeit bei kleiner Anzahl der Variablen und Restriktionen kaum noch
verbessert werden und trotzdem kann man Probleme erfinden, bei denen er versagt. Bei starken
Nichtlinearitäten der Restriktionen kann es vorkommen, daß im quadratischen Subproblem eine
Aufstiegsrichtung bestimmt wird oder daß die Menge der aktiven Restriktionen nicht richtig bestimmt
wird. Bei hohen Dimensionen des Vektors x (n > 50) und hoher Anzahl der Restriktionen
(m > 50) konvergiert der Algorithmus wegen numerischer Rundungsfehler bei der Bestimmung
von B k (Singularität!) möglicherweise nicht mehr und die Anzahl der Rechenoperationen sowie
der Speicherbedarf steigen schnell mit n und m an.
Manche dieser Nachteile vermeidet man indem man auf die Verbesserung der Hessematrix der Lagrangefunktion
mithilfe des BFGS-Schemas verzichtet und durchgängig B k = I setzt, gleichzeitig
aber die gegebenenfalls notwendige Erweiterung des quadratischen Subproblems und eine wenigstens
näherungsweise Liniensuche beibehält. Bei kleinem n und m wird der Algorithmus dann,
wenn überhaupt, nur unwesentlich langsamer, bleibt aber auch fürgroße n und m stabil.
Die Liniensuche kann man durch eine Verzögerungsstrategie ersetzen. In Gl. (G.5.13) wird α k ,
ausgehend von α k =1, endlich oft solange halbiert bis [136]
©
f(x k +α k d k )+t k max 0,
¯¯gj (x k +α k d )¯¯ª
k
j∈Jk
∗
©
≤ f(x k )+t k max 0,
¯¯g j (x )¯¯ª k − δα ° k °d k° ° 2 (G.3.23)
j∈Jk
∗
mit 0 < δ < 1 (δ ≈ 0.25 empfohlen). Für den Strafparameter t k setzt man z.B. t k = P ¯
j∈Jk
∗ ¯λk+1 ¯
j .
Wenn t k < P ¯
j∈Jk
∗ ¯λk+1 ¯
j für eink>0, wird t k+1 ≥ κ P ¯
j∈Jk
∗ ¯λk+1 ¯
j mit 1 < κ ≤ 2 (κ ≈ 1.1
empfohlen) genommen. Jk ∗ ist die Menge der aktiven Restriktionen (vergl. Gl. (G.5.14)). Sie muß
mindestens eine Restriktion enthalten. Die Lagrangemultiplikatoren müssen ebenfalls berechnet
und gegebenenfalls die Erweiterung des quadratischen Subproblems vorgenommen werden damit
dieses lösbar ist. Die Konvergenz ist dann nur noch linear.
G.4.
Zeitinvariante Probleme im Standardraum
Angewandt auf die β−Punktsuche bei einer Restriktion findet man mit f(u) = 1 2 kuk2 und d k =
u − u k (Anmerkung: die Optima für kuk 2 und kuk liegen an der gleichen Stelle)
f(u) =f(u k )+∇ u f(u k ) T d+ 1 2 dT ∇ 2 u f(uk )d
(G.4.1)
wobei ∇ u f(u k ) = u k und ∇ 2 uf(u k ) = I. Außerdem sei ohne praktisch relevanten Verlust an
Allgemeinheit g(0) > 0. Die (linearisierte) Lagrangefunktion ist für Restriktionen g i (u k ) ≤ 0,i=
1,...,`
L(u k , λ k )= 1 2
° u
k ° ° 2 +(u k ) T d k + 1 2 (dk ) T d k +
`X
i=1
λ k i
¡
gi (u k )+∇ u g i (u k ) T d k¢ (G.4.2)
283

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und die dazugehörigen Kuhn-Tucker Bedingungen sind:
∇L(u k , λ k ) = u k + d k +
`X
λ k i ∇ u g i (u k )=0
i=1
g i (u) = g i (u k )+∇ u g i (u k ) T d k =0; i =1,...,` (G.4.3)
Genaugenommen wird hier also bereits die Erweiterung Gl. (G.5.15) standardmäßig benutzt, jedoch
ohne Strafparameter. Für ` =1erhält Gl. (G.5.12) die Form
· ¸µ µ
Bk ∇ u g(u k ) d
k −∇u f(u
∇ u g(u k ) T 0
λ k+1 =
k )
−g(u k (G.4.4)
)
mit der Lösung
λ k+1 = − ∇ ug(u k ) T (B k ) −1 ∇ u f(u k ) − g(u k )
∇ u g(u k ) T (B k ) −1 ∇ u g(u k )
d k = −(B k ) −1 ∇ u g(u k )λ k+1 − (B k ) −1 ∇ u f(u k )
In diesem Fall ist ein immer lösbares quadratisches Subproblem gegeben. Unter Ausnutzung der
speziellen Form der Zielfunktion sowie mit B k = I erhält man [1] :
·
I ∇u g(u k ¸µ µ
) d
k −u
k
∇ u g(u k ) T 0
λ k+1 =
−g(u k (G.4.5)
)
Damit wird bei Verzicht auf die Liniensuche und jeden Update der Hessematrix der Lagrangefunktion
genau der in Gl. (3.2.2.2) beschriebene Algorithmus gefunden. Man spricht auch von
der Methode des steilsten Abstiegs.
λ k+1 =
1
³
´
°
°∇ u g(u k ) ° 2 g(u k ) − (u k ) T ∇ u g(u k )
d k =
∇ u g(u k )
³
´
°
°∇ u g(u k ) ° 2 (u k ) T ∇ u g(u k )−g(u k ) − u k
(G.4.6)
Für mehrere Restriktionen `>1, deren Behandlung in Abschnitt 3.3 sowie 4, 5 und 9 erforderlich
ist, geht man ganz analog vor. λ k+1 und g(u k ) sind nunmehr Vektoren. Dann bestimmt man für
B k = I und ∇ u f(u k )=u k (Methode des steilsten Abstiegs) [1]
λ k+1 = ¡ ∇ u g T (u k )∇ u g(u k ) ¢ −1 ¡ g(u k ) −∇g T (u k )u k¢
d k = −∇ u g(u k )λ(u k ) − u k =∇ u g(u k ) ¡ ∇ u g T (u k )∇ u g(u k ) ¢ −1 ¡
∇u g T (u k )u k −g(u k ) ¢ − u k
mit ∇ u g(.) der Matrix der Gradienten der aktiven Restriktionen und dem Vektor g(.) mit der Werten
der aktiven Restriktionen in u k , d.h. jenen mit g j (u k )=0sowie g j (0) > 0 für wenigstens
(G.4.7)
284

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
½
ein j. Wenn man ∇ u g(u k )=A(u k )N(u k ) setzt, wobei A(u k )=
o
die Diagonalmatrix der Normierungskonstanten der Gra-
n°
und N(u k °°∇u
)= g j (u )°
k °
dienten, ermittelt man [1] :
° ; j ∈ J ∗ k
α j (u k )= −∇ug j (u k )
k∇ ug j (u k )k ;j ∈ J ∗ k
λ k+1 = N −1 (u k )R −1 (u k ) ¡ A T (u k )u k + N −1 (u k )g(u k ) ¢
u k+1 = A(u k )R −1 (u k ) ¡ A T (u k )u k + N −1 (u k )g(u k ) ¢ (G.4.8)
Dabei ist R(u k )=A T (u k )A(u k ) und das ist die ’’Korrelationskoeffizientenmatrix’’ der in u k
linearisierten Restriktionen. Absolut genommen große Werte in R(u k ) bedeuten nahezu Parallelität
der jeweiligen Restriktionen. Jk ∗ ist die Menge der aktiven Restriktionen. Für jedes k ist
Jk ∗ die Menge der Gleichheitsrestriktionen sowie der Ungleichheitsrestriktionen, für dieλk j ≥ 0
und g j (u k )=0sowie g j (u k ) > 0 und gleichzeitig λ k j =0. Wenn Jk ∗ leer werden sollte, wird
wenigstens jene Restriktion in Jk ∗ aufgenommen, die den größten Wert > 0 besitzt. Natürlich
muß auch hier das quadratische Subproblem, d.h. Gl. (G.4.8), lösbar sein. Andernfalls muß
man ein erweitertes Problem entsprechend Gl. (G.5.13) lösen. Konvergenz ist erzielt, wenn
¯
¯°°u k+1° ° − ° °u k° °¯¯ 0 am größten wird, oder wegzunehmen und zwar diejenige mit dem kleinsten
Lagrangemultiplikator λ k j < 0; und zwar solange bis die Menge Jk ∗ feststeht. Jede Änderung
von Jk ∗ erfordert die Lösung von Gl. (G.4.8) und damit auch eine neue Ermittlung der Gradienten.
Das ist eine sehr vorsichtige aber sicherere Strategie als die Strategie in Gl. (G.5.14). In der
Form Gl.(G.6.6) und Gl. (G.6.8) konvergiert der Algorithmus in der Regel sehr schnell - falls er
konvergiert. Eine wesentliche Verbesserung des Konvergenzverhaltens erreicht man durch eine
Liniensuche, die allerdings zusätzliche Funktionsauswertungen erfordert. Es ist daher meistens
besser, die Liniensuche, z.B. mit der Meritfunktion Gl. (G.5.17) durchzuführen oder die etwas
aufwendigere aber robustere Verzögerungsstrategie Gl. (G.5.23) zu verwenden.
Man kann bei nur einer Ungleichungsrestriktion die Matrix B k , d.h. die Approximation der Hessematrix
der Lagrangefunktion, verwenden um eine näherungsweise SORM-Korrektur vorzunehmen.
Die Hessematrix der Lagrangefunktion ist ∇ 2 L(u, λ) =∇ 2 f(u)+λ∇ 2 g(u) =I+λ∇ 2 g(u).
Somit ist ∇ 2 g(u k ) ≈ (B k − I)/λ k+1 . Diese Approximation ist nur ausreichend gut wenn die Dimension
n klein ist und relativ viele Iterationen anfallen.
Beispiel H.6.1: Vergleich verschiedener Algorithmen
In der Literatur wurden verschiedene Algorithmen an Hand von Testbeispielen auf ihre Effizienz
und Zuverlässigkeit hin untersucht. Wir geben hier einige der ’’schwierigen’’ Beispiele an. Die
verwendeten Algorithmen sind:
• HLRF: Gl. (2.2.2)
• RFLS: Gl. (G.6.6) mit Gl. (G.5.17)
¾
285

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
• NLPQL: [156]
• JOINT5: Gl. (G.6.6) mit Gl. (G.5.23)
NLPQL ist ein kommerzieller sequentieller quadratischer Optimierungsalgorithmus.
Zustandsfunktion
Bemerkung
1 (0.1(u 1 +0.5(u 3 1 + u 1 )) + 12)/(0.18u 2 +3)− 3 U i ∼ N(0, 1)
2 2(0.5u 1 +0.87u 2 +3)+5(0.5u 1 − 0.87u 2 − 1) 2 − 0.5 U i ∼ N(0, 1)
3 2(−u 1 +0.5u 2 +4)+exp[5(0.67u 1 − 0.67u 2 ) − 1] − 6 U i ∼ N(0, 1)
4 u 2 +2(1− 0.4u 1 (u 1 +0.8)) + exp [5(u 1 − u 2 ) − 2.5] U i ∼ N(0, 1)
5 x 3 1 + x 2 1x 2 + x 3 2 − 18 X 1 ∼ X 2 ∼ N(10, 5)
6 3 − u 1 u 2 U i ∼ N(0, 1)
7 x 1 +2x 2 +2x 3 + x 4 − 5x 5 − 5x 6 +0.001 P 6
i=1 sin(100x i) X 1 ÷ X 4 ∼ LN(120, 12),
X 5 ∼ LN(50, 15),
X 6 ∼ LN(40, 12)
8 1.5 − 0.00115x 1 x 2 +0.00157x 2 2 +0.00117x 2 1 +0.0135x 2 x 3 X 1 ∼ FR(7.897, 3.582)
−0.0705x 2 − 0.0053x 1 − 0.0149x 2 x 3 − 0.0611x 2 x 4 +0.0717x 1 x 4 X 2 ∼ N(25, 5),
−0.226x 3 +0.0333x 2 3 − 0.558x 3 x 4 +0.998x 4 − 1.339x 2 4 X 3 ∼ N(0.8, 0.2)
X 4 ∼ LN(0.0625, 0.0625)
9 20 − P 10 u 2 i
i=1
U
1+i/10 i ∼ N(0, 1)
10 ± P 10
11 x 0 − P 25
i=1
i=1 x i ∓ (n + a √ nσ i ) X i ∼ LN(1, 0.3)
x 2 i
i
X 0 ∼ N(0.5, 0.1);
X i ∼ N(0.2, 0.1)
Alle Algorithmen wurden mit Standardeinstellungen angewandt. Die Startwerte sind zufällig. Die
unten angegebenen Anzahlen der Funktionsaufrufe sind daher mittlere Werte aus den ersten 10
Läufen. Die Anzahlen streuen z.T. stark. Die ersten 6 Beispiele sind zweidimensional. Das 7.
Beispiel simuliert numerisches Rauschen. Das 8. Beispiel weist große Krümmungen auf. Das 9.
Beispiel ist ein Ellipsoid. Das 10. Beispiel soll die Wirkung ’’normaler’’ aber symmetrischer Nichtlinearitäten
zeigen. Das 11. Beispiel enthält schließlich 26 Variablen mit ganz unterschiedlichem
Einfluß.
Beispiel n β HLRF RFLS NLPQL JOINT4
1 2 3.54 23 20 28 19
2 2 2.76 - 56 20 233
3 2 3.32 - 1271 30 972
4 2 1.87 314 44 22 42
5 2 2.29 - 208 125 212
6 2 2.45 - 159 376 20
7 6 2.35 - 43 44 29
8 4 2.89 - 31* 50* 70*
9 10 4.69 938 743 863 588
10 10
3.14 46 47 45 46
3.16 46 47 45 46
11 26 2.92 236 236 250 236
*Nicht alle Läufe erfolgreich
286

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wenn in der Ergebnistabelle keine Lösung erreicht werden konnte, so muß das nicht bedeuten, daß
mit anderen algorithmischen Parametern nicht doch eine Lösung gefunden werden kann. Die Startwerte
können die Zuverlässigkeit und Effizienz der Lösung wesentlich beeinflussen. Die Beispiele
zeigen die Überlegenheit sequentiell quadratischer Algorithmen in niedrigen Dimensionen. Die
Liniensuche nach Gl. (G.5.21) erweist sich der näherungsweisen Liniensuche nach Gl. (G.5.24)
als etwa gleichwertig.
#
G.5.
Zeitinvariante Probleme im Originalraum
Die gleichen Konzepte können für die Aufgabe (5.6.1) verwendet werden. Dann wird von Gl.
(G.5.9) ausgegangen, also von:
· ¸µ µ
Bk ∇g(x k ) d
k −∇l(x k )
∇g(x k ) T 0 λ k+1 =
−g(x k (G.5.1)
)
mit l(x) =ln(f(x)). Hier ist f(x) die Dichte des Zufallsvektors X. Die Konvergenzbedingungen
sind abzuändern in ¯¯l(x k+1 ) − l(x k )¯¯

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Das führt für eindimensionales t auf das Gleichungssystem
⎡
⎣ I ∇g ⎤ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
u,t(u k ,t k )
I
⎦ ⎝ ∆uk
∆t k ⎠ = ⎝ −uk
0 ⎠
∇ u,t g(u k ,t k ) T 0
λ k+1 −g(u k ,t k )
(G.6.4)
Suchrichtung und Lagrangemultiplikator sind nunmehr
∆u k = −u k ∇ u g(u k ,t k )
¡
+
(u k
k∇ u g(u k ,t k ) T k 2 +2k∇ t g(u k ,t k ) T k 2 ) T ∇ u g(u k ,t k ) − g(u k ,t k ) ¢
∆t k =
∇ t g(u k ,t k )
¡
(u k
k∇ u g(u k ,t k ) T k 2 +2k∇ t g(u k ,t k ) T k 2 ) T ∇ u g(u k ,t k ) − g(u k ,t k ) ¢
λ k+1 =
1
¡
g(u k ,t k ) − (u k ) T ∇
k∇ u g(u k ,t k ) T k 2 +2k∇ t g(u k ,t k ) T k 2 u g(u k ,t k ) ¢
(G.6.5)
und der neue Punkt ist:
u k+1 = u k + α k ∆u
t k+1 = t k + α k ∆t (G.6.6)
Die Liniensuche folgt den gleichen Prinzipien wie Gl. (G.5.17) oder (G.5.23). Da man damit
rechnen muß, daß der optimale Punkt auch ein Randpunkt des betrachteten Zeitintervalls [t u ,t o ]
sein kann, ist sicherzustellen, daß generell t u − t k ≤ 0 und t k − t o ≤ 0. Formal am einfachsten
werden diese Bedingungen als zusätzliche Restriktionen dem Problem hinzugefügt.
G.7.
Schlußbemerkung
Die in den Abschnitten H.3 bis H.9 dargestellten Algorithmen beruhen im wesentlichen auf Konzepten
der sequentiellen quadratischen Optimierung. Andere, für die vorliegenden Zwecke ebenfalls
geeignete Varianten der Methode der sequentiellen quadratischen Optimierung werden in
[100] , [135] , [3] und [61] beschrieben. Direkte Verfahren, die nicht von der Lagrangefunktion
ausgehen, sind meist weniger effizient und zuverlässig. Gradientenfreie Algorithmen, die
also keine Anprüche an die Differenzierbarkeit der Zielfunktion und der Restriktionen stellen, können
aufwendig werden und konvergieren in der Praxis nicht immer zuverlässig. Ein stochastischer,
gradientenfreier Algorithmus fürdieLösung des Zuverlässigkeitsproblems, der ebenfalls sehr aufwendig
werden kann, wird in Anhang A.4 angedeutet. Darüberhinaus gibt es, allerdings selten,
nicht algorithmusbedingte Konvergenzprobleme und das Problem der multiplen β−Punkte, wozu
auf die Literatur verwiesen sei [161] [90] . Dieser Optimierungsverfahren gewidmete Anhang
wurde deswegen relativ ausführlich, weil die Suche nach dem β−Punkt eine zentrale Aufgabe
darstellt mit der eine effiziente Zuverlässigkeitsberechnung oder eine zuverlässigkeitsorientierte
Optimierung steht oder fällt. In der Regel führen die vorgestellten Verfahren zum Ziel, in besonders
schwierigen Fällen ist keines der Verfahren erfolgreich. Dann bleiben für die Zuverlässigkeitsaufgabe
nur numerische Integration von Gl. (2.1.1) oder die Verfahren in Anhang A, die aber im
Hinblick auf Effizienz ebenfalls von der Existenz eines β−Punktes oder eines ’’wahrscheinlichsten
Versagenspunktes’’ ausgehen.
288

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 10.
Wie sicher ist sicher genug?
10.1. Vorbemerkungen
Bauwerke und andere technische Installationen sowie unsere natürliche Umwelt bergen Risiken
für Leib und Leben. Diese sind mit allen zur Verfügung stehenden materiellen und intellektuellen
Ressourcen unter Kontrolle zu bringen. Das muß aber auf eine Weise geschehen, die mit allen
anderen Zielen unserer Gesellschaft verträglich ist. Auf die Probleme der Risikobewältigung bei
baulichen Anlagen sei hier auch auf die entsprechenden Erörterungen in Abschnitt 1 hingewiesen.
Es ist zunächst notwendig, die Art der Risiken zu klassifizieren. Man muß zunächst zwischen freiwillig
und unfreiwillig eingegangenen Risiken unterscheiden. Freiwillig eingegangene Risiken
wie beim Bergsteigen (siehe Tabelle 1.1) oder bei anderen Extremsportarten kann man kaum kontrollieren
ohne die individuelle Freiheit einzuschränken. Sie bleiben im folgenden außer Betracht.
Was aber freiwillig ist und was nicht, ist bereits dann fraglich, wenn es sich um die Ausübung einer
Berufstätigkeit mit erhöhtem Risiko handelt (siehe Hochseefischerei und Bauarbeit in Tabelle
1.1). Es hat sich aber durchgesetzt, daß erhöhtes berufliches Risiko durch monetäre Kompensation
oder/und mehr Freizeit entschädigt wird (siehe weiter unten). Desweiteren ist zu unterscheiden,
ob eine bekannte Gefährdung anonyme Personen oder klar identifizierte Individuen betrifft. Die
Erfahrung zeigt, daß die Bereitschaft und die Anstrengungen unserer Gesellschaft, aber auch des
einzelnen Individuums, eine Rettung im zweiten Fall vorzunehmen mindestens um den Faktor 5
höher sein kann als im ersten Fall - besonders wenn die Gefährdung bereits akut eingetreten ist.
Auch der zweite Fall sei hier von geringerem Interesse, wenngleich es außer Frage steht, daß Feuerwehr
und andere Rettungsdienste zum bekannten, institutionellen Instrumentarium der Risikokontrolle
und der Schadensbegrenzung gehören. Hier soll es in erster Linie um die Beherrschung
von unfreiwilligen, anonymen Risiken im Rahmen von optimalen Nutzen-Kosten-Rechnungen für
technische Anlagen zum Zeitpunkt des Entwurfs unter Beachtung der Tolerierbarkeit von Risiken
gehen.
Schließlich sei der Begriff ’’Risiko’’ noch etwas verallgemeinert. Nach üblicher Auffassung ist
nämlich Risiko allgemeiner als Möglichkeit einer ungünstigen (adversen) Auswirkung auf die
menschliche Gesundheit, die Lebensqualität oder auf die natürliche Umwelt zu definieren. Risiko
wird dann als Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenshöhe verstanden. Bei
lebensgefährdenden Risiken ist die Folge für den Einzelnen der Verlust des Lebens. Für dieöffentliche
Risikokontrolle ist die Anzahl ’’geretteter Leben’’ oder vermiedener Opfer jedoch kaum
ein geigneter Maßstab, da diese ins Verhältnis zur Größe der Gesellschaft gesetzt werden sollten.
Auch geht beispielsweise nicht ein in welchem Alter die ’’Rettung’’ erfolgt. Es sind vielmehr die
geretteten Lebensjahre, die größere Lebenserwartung oder die Reduktion der Sterblichkeit, die auf
gesellschaftlicher Ebene kontrolliert werden sollten.
Wie kann man aber den Menschen in eine Nutzen-Kosten-Rechnung für technische Projekte einbringen?
Neuere Überlegungen zu dieser Frage sprechen nicht direkt vom (monetären) Wert des
Menschen sondern von den Kosten Leben zu retten - oder genauer, von den Kosten das Lebensrisiko
zu vermindern, d.h. die Wahrscheinlichkeit eines vorzeitigen Todes durch bestimmte Maßnahmen
zu reduzieren, die das Verhalten und/oder die Technologie von Individuen, Institutionen oder
Organisationen verändern [168] . Dabei wollen wir die selbstverständliche Tatsache im Auge
behalten, daß jedes Leben nur von endlicher Dauer ist.
289

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Wir postulieren weiter, daß die einzige Autorität, die befugt ist, die angesprochenen Fragen zu
beantworten, die Öffentlichkeit einer demokratischen Gesellschaft selbst ist. Die Haltung der Öffentlichkeit
gegenüber Leben bedrohenden, unfreiwillig eingegangenen oder einzugehenden Risiken
und wie sie ihre Begrenzung vorzunehmen bereit ist, sei das Risiko medizinischer, technischer
oder umweltbedingter Art, bedarf im Lichte des entscheidungtheoretischen Ansatzes des vorigen
Abschnittes aber noch einer Bewertung. Medien und Politiker scheinen, zumindest kurzfristig,
bei der Wichtung und Bewältigung von Risiken eine große Rolle zu spielen oder spielen zu wollen.
Die Rolle politischer Entscheidungsträger bei der Risikobewältigung ist unbestritten. Es kann
aus der Sicht der statistischen Entscheidungstheorie aber gefährlich sein, wenn die Maßnahmen
und die damit verbundenen Kosten keine rationale Grundlage haben. Nur wenn die Gesellschaft
ein ’’faires’’ Spiel gegen das Risiko ’’spielt’’ bzw. ein Spiel spielt, bei dem sie ihre Einsätze nach
den zur Verfügung stehenden Mitteln effizient ausrichtet, kann sie auf lange Sicht an Lebensqualität
und Sicherheit gewinnen. Tatsächlich weisen einige Studien daraufhin, daß viele öffentliche
Programme zur Risikominderung, sei es in der medizinischen (präventiven) Versorgung, der Abwehr
von Naturgefahren oder im Transportwesen, nicht die dem eingesetzten Aufwand adäquate
Wirksamkeit haben [168] . Auch ohne Medien und Politiker ist die Risikowahrnehmung in der
Öffentlichkeit in hohen Graden irrational und von Emotionen geprägt. Kaum je ist eine Gruppe
bereit, unbekannte und anonyme, zusätzliche Risiken zu akzeptieren. Man spricht von Risikoaversion
und diese ist umso größer je größer die möglichen Schadensfolgen sind, unabhängig davon,
daß die dazugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit gewöhnlich verschwindend klein ist. Hier muß
eine demokratische Öffentlichkeit über neue Risiken aber auch alle anderen Risiken, insbesondere
über die bereits vorhandenen und unvermeidlichen Hintergrundrisiken, informiert werden und
im konkreten Fall über die Maßnahmen der Risikoverminderung aufgeklärt werden. Vor allem ist
es die Aufklärung über die Kosten, die von jedem auf die eine oder andere Weise zu tragen sind.
Und es muß betont werden, daß die monetären Mittel, auch die einer Gesellschaft, endlich sind.
Damit ist Risikokontrolle im wesentlichen die Bewältigung des Konfliktes zwischen Risikoaversion
und den Aufwendungen für Risikoverminderung. Für Sicherheitmuß durch Aufgabe einer
anderen Annehmlichkeit bezahlt werden.
Um zu einer rationalen Grundlage zu kommen, müssen wir zunächst die maßgebenden, allgemein
anerkannten, moralisch-ethischen Grundsätze zusammenstellen, die als Ausgangspunkt für alle
weiteren Erörterungen genommen werden dürfen. Sie definieren die Eckpunkte zwischen denen
argumentiert werden kann und darf. In Artikel 2 (2) des Grundgesetzes heißt es:’’Jeder hat das
Recht auf Leben und körperliche Unversehrtheit. ...’’. Andererseits sagt Artikel 2 (1): ’’Jeder hat
das Recht auf die freie Entfaltung seiner Persönlichkeit, ...’’ aus, natürlich ohne Beeinträchtigung
der Anderen. Hieraus kann bei der Bewältigung von Risiken durchaus ein Konflikt entstehen. Es
gilt weiter der demokratische Gleichheitsgrundsatz. Artikel 3 des Grundgesetzes lautet: ’’(1) Alle
Menschen sind vor dem Gesetz gleich. (2) Männer und Frauen sind gleichberechtigt. ... (3) Niemand
darf wegen seines Geschlechtes, seiner Abstammung, seiner Rasse, seiner Sprache, seiner
Heimat und Herkunft, seines Glaubens, seiner religiösen oder politischen Anschauungen benachteiligt
oder bevorzugt werden. Niemand darf wegen seiner Behinderung benachteiligt werden. ’’
Diese Grundsätze findet man in den Verfassungen aller modernen, demokratischen Gesellschaften
und in der Menschenrechtserklärung der Vereinigten Nationen wie sie am 10. Dezember 1948 von
der UN-Vollversammlung ohne Gegenstimme verabschiedet wurde. Der Gleichheitsgrundsatz sei
hier so verstanden, daß eine Risiken mindernde Maßnahme unabhängig davon sein muß, obdie
gegebenenfalls Betroffenen jung oder alt, reich oder arm, etc. sind.
290

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Sind diese verfassungsgemäßen Wertsetzungen in ingenieurmäßige oder planerische Kriterien übertragbar?
Wir gehen hierzu davon aus, daß Leben im allgemeinen erfreulich ist und daß der Mensch
bereit ist für langes Leben andere Vergnügungen, wie z.B. den Konsum, zu opfern. Tatsächlich finden
Cantril [27] und viele neuere empirische, soziologische Studien, daß langes Leben und persönlicher
Reichtum und/oder hohes Einkommen zu den vorrangigen Lebenszielen in modernen
Gesellschaften gehören. Wohlstand steht für die Qualität des Lebens.
10.2. Der Lebensqualitätsindex
10.2.1. Mathematische Herleitung
Die individuelle Lebenserwartung ist eine statistische Größe. Daher macht es Sinn, diese durch
ihren Mittelwert zu charakterisieren. Die Lebenserwartung e ist die Fläche unter der Überlebenskurve
(Überlebenswahrscheinlichkeit) `(a) (1 ≥ `(a) ≥ 0) als Funktion des Lebensalters a, also
e = e(0) =
Z au
0
`(a)da (10.2.1.1)
(a u = höchstes berücksichtigtes Alter, so daß `(a) =0für a>a u ). In Abb. 10.1 sind die Überlebenswahrscheinlichkeiten
für dreiLänder dargestellt. Solche Überlebenskurven sind in jedem
Land aus den Bevölkerungsstatistiken verfügbar oder aus Sterbetafeln errechenbar (siehe unten).
’’Qualitätvolle’’ Lebenserwartung e QALY heißt, daß Zeiten, die z.B. im Krankenhaus, in der Alterspflege
oder bei wesentlich eingeschränkter Gesundheit verbracht werden, von e abgezogen
werden. Das sind etwa 10% von e und zwar bei Frauen etwas mehr als bei Männern. Im folgendenwirddiesemögliche
Verfeinerung im allgemeinen jedoch nicht verfolgt, zumal ihre Berücksichtigung
gewisse methodische Probleme aufwirft.
1
l(a)
0.8
0.6
0.4
Japan (1996), e = 80.1
Frankreich (1997), e = 77.6
Polen (1999), e = 73.4
0.2
0
0 25 50 75 100 125
Alter a
Abb. 10.1.Altersabhängige Überlebenswahrscheinlichkeit
Es besteht nach den klassischen, volkswirtschaftlichen Ansätzen Übereinkunft, daß das reale, jährliche
Bruttosozialprodukt (BSP) oder, besser, Bruttoinlandsprodukt (BIP) pro Kopf die zur Verfügung
stehenden Mittel für qualitätvolles Leben am besten quantifizieren kann. Es wird durch
291

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Arbeit in Produktion und Dienstleistung und durch Kapital (als bereits früher geleistete Arbeit) in
Form von Löhnen, Gehältern, Einkommen, Gewinnen, Renditen, u.a. geschaffen 27 .DasBIPwird
als Maß für das Wohlergehen einer Gesellschaft verstanden. Es ermöglicht die Befriedigung von
Bedürfnissen durch Konsum und schafft damit die Mittel das Leben individuell zu genießen, es
zu einem qualitätvollen Leben zu gestalten. Das BIP schafft desweiteren die Möglichkeiten für
die Infrastruktur eines Landes, seine Sozialstruktur, sein Kultur- und Ausbildungsangebot, sein
Spektrum an Freizeitangebot, sein ökologisches Umfeld, etc.. Und es schafft die Möglichkeit zusätzliche
Lebensjahre durch risikomindernde Maßnahmen ’’zu kaufen’’.60±5% des BIP stehen
für den privaten Verbrauch zur Verfügung, 20±5% werden vom Staat (äußere Sicherheit, Rechtsprechung,
Polizei, Verwaltung, Bildung, etc.) beansprucht und 20±5%werdenfür Investitionen
verwendet (vergl. die Zusammenstellungen in [174] sowie [179] ).
Risikoreduktion auf gesellschaftlicher Ebene und für den Einzelnen erfordert, wie erwähnt, daß
auf irgendeine Weise dafür bezahlt werden muß. Dabei spielt es für das Weitere keine Rolle ob
die Aufwendungen vom Staat über Steuern oder vom Einzelnen, freiwillig oder durch Gesetze
und Verordnungen auferlegt, getragen werden. Wenn man ausschließt, daß die Bruttoinvestitionen
(eine Gesellschaft muß ihre sich abnützenden und alternden Produktionsmittel erhalten bzw.
ersetzen) sowie der Staatsverbrauch ohne Transferzahlungen und Sozialleistungen (dieser Anteil
schafft die Voraussetzungen für ein’’qualtitäsvolles Leben) für Risikoverminderung verwendet
werden können, stehen also zwischen 60 und 70% für Risikoverminderung zur Verfügung (vergl.
Abb. 10.2).
Man könnte davon sogar noch die zum Leben mindestens notwendigen Mittel (für ein Minimum
an Nahrung, Bekleidung und Behausung = Existenzminimum, in europäischen Wohlfahrtsstaaten
im Jahr 2000 ungefähr 0.2 bis 0.3 BIP oder rund die Hälfte des privaten Verbrauchs) abziehen, denn
unterhalb dieser Grenze ist das Leben eines Jeden auch ohne technische oder natürliche Risiken
hochgradig gefährdet. In Sozialstaaten wird das Existenzminimum durch Steuern oder Abgaben
aufgebracht und entsprechend umverteilt. Daher ist dieser Aspekt im vorliegenden Zusammenhang
nicht von Belang.
Im Weiteren wird es noch von Bedeutung sein, wie denn nun das BIP entsteht. Es entsteht durch
Arbeit und Kapital und seine Höhe wird wesentlich durch die eingesetzte Technologie, die Effizienz
der Arbeit und den Kapitaleinsatz bestimmt. In der Volkswirtschaft wird dies durch eine
Produktionsfunktion, insbesondere mit der empirisch gut belegten Produktionsfunktion nach
Cobb-Douglas beschrieben.
Q = F (L, K) =AK α L β (10.2.1.2)
Hierin ist Q die Ausbringung, z.B. die produzierte Warenmenge einer Firma oder eben das BIP,
A eine Technologiekonstante, L die eingesetzte Arbeit und K das eingesetzte Kapital. Sowohl
der durch Arbeit wie auch der durch Kapital erzeugte Anteil von Q zeigen für 0 < α ≤ 1 einen
27
Das nominale Bruttoinlandsprodukt (BIP) ist die Summe der in einem Jahr hergestellten Endprodukte und Dienstleistungen
ohne Transferzahlungen wie Arbeitslosenunterstützung, Altersrenten und Subventionen und damit auch die
Summe des privaten Verbrauchs, des Staatsverbrauchs, der Investitionen und des Außenbeitrags (Exporte minus Importe).
Das reale BIP ist gleich dem nominalen BIP aber bereinigt von Preisveränderungen. Das Nettoinlandsprodukt
(NIP) ist das Bruttoinlandsprodukt minus Abschreibungen und Kapitalverbrauch und rund 15 % kleiner als das BIP. In
diesen Abschreibungen ist nicht die Erschöpfung oder Verschlechterung der Naturschätze und der Umwelt enthalten.
Das Volkseinkommen ergibt sich aus dem NIP nach Abzug der indirekten Steuern.
Das BIP entsteht in Industriestaaten zu weniger als 5% in der Landwirtschaft, zu rund 30% in der Industrie und zu
65% oder mehr durch Dienstleistungen. Hiervon kommen rund 70% aus unselbstständiger Arbeit und 30% aus Unternehmertätigkeit
und Vermögen. Zuwächse des BIP entstehen in der Landwirtschaft und vor allem in der Industrie.
292

[€ pro Kopf
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
30 000,00
Bruttoinvestitionen, Staatverbrauch, BIP (1995) (pro Ko
1970-2003
25 000,00
20 000,00
BIP
15 000,00
Staatsverbrauch
einschließlich aller
10 000,00
Staatsverbrauch ohne
Sozialausgaben
Transferzahlungen und
5 000,00
Sozialausgaben
Bruttoinvestitionen
0,00
1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Jahr
Privatverbrauch
Abb. 10.2.Bruttoinlandsprodukt, Privatverbrauch, Staatsverbrauch und Bruttoinvestitionen pro Kopf in
Preisen von 1995 [179]
konkaven Verlauf, d.h. der Einsatz beider Faktoren wird zunehmend ineffizienter. Gewöhnlich
setzt man β = 1 − α. Diese Funktion hat einige besondere Eigenschaften. Wenn z.B. sich L
und K um einen bestimmten Faktor vergrößern, so ändert sich die Ausbringung um den gleichen
Faktor. Die marginale Ausbringung der Arbeit ist MPL = dF(L, K)/dL =(1− α)AL −α K α =
(1 − α)Q/L und die des Kapitals MPK = dF(L, K)/dK = αAK α−1 L 1−α = αQ/K. Also
ist β =(1− α) der Anteil der Arbeit an der Gesamtausbringung. Die neueren Statistiken für
Deutschland [179] zeigen nun, daß sich β in den letzten Jahrzehnten ziemlich genau bei β ≈ 0.7
einpendelte. Der gleiche Wert wird auch für viele andere Länder, z.B. die USA, beobachtet.
Im Jahr 1998 wurden für die Gesundheitsfürsorge in der BRD 10.6% des BIP aufgewendet [192] .
Über alle anderen Aufwendungen für Risikokontrolle und -reduktion, also für Verkehrssicherheit,
Bauwerkssicherheit, Brandschutz, Sicherheit vor Naturgefahren, etc., gibt es kaum verläßliche
Daten. Es dürften aber noch einmal einige Prozent hinzukommen. Die Gesamtmortalität(proJahr)
in der BRD beträgt derzeit etwa 0.011, aber der Tod von nur 3 von 10000 geht nicht auf natürlichen
Ursachen zurück. Davon müssen in vorliegendem Zusammenhang noch alle Todesfälle, die auf
freiwillig eingegangene Gefahren (vor allem Sport- und Verkehrsunfälle) zurückgehen, abgezogen
werden (etwa 1 von 10000). Auch die Unfälle bei den notwendigen Tätigkeiten des täglichen
Lebens, z. B. Treppen oder auf Leitern steigen, wiederum rund 1 von 10000, müssen abgezogen
werden. Unter Beachtung der Endlichkeit jeden Lebens ist die ’’Restmortalität’’ von etwas über
0.0001 also der Hauptgegenstand unserer Betrachtungen, wobei nicht ausgeschlossen werden soll,
daß die zu erörternden Grundgedanken nicht auch auf als natürlich klassifizierte Todesursachen
anzuwenden sind.
Die Abwägung zwischen der Lebenserwartung und des für die Verhinderung ihrer Verminderung
aufgewendeten BIP ist aber genau das Problem der Sicherheit von baulichen und anderen technischen
Anlagen. Es ist prinzipiell nicht anders gelagert als das Problem der Sicherheit auf öffentlichen
Straßen oder der öffentlichen Gesundheitsfürsorge, bei dem die ’’Entfaltung der Persönlichkeit’’
einschränkender Aufwand für zusätzliche Lebensjahre aufzubringen ist. Da die Erzielung
von Bauwerkssicherheit im Sinne der Abwesenheit von Gefahr für Leib und Leben durch
Bauvorschriften eine risikomindernde Tätigkeit ist, kann, volkswirtschaftlich gesehen, nur ein be-
293

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
stimmter Aufwand für Bauwerkssicherheit getrieben werden. Ein bestimmter Aufwand ist jedoch
notwendig; zumal es sich bei der Benützung von Bauwerken um eine unerläßliche und unfreiwillige
Tätigkeit handelt. Andererseits müssen Investitionen in Bauwerkssicherheit im Hinblick
auf die Verhinderung der Verminderung der Lebenserwartung effizient sein. Sonst sollte man sie
besser anderswo einsetzen. Benötigt wird also ein Kriterium welches die notwendigen und leistbaren
Aufwendungen für Risikoverminderung quantifizieren läßt. Das Kriterium sollte angewandt
werden können bei Investitionen der Öffentlichkeit in die Gesundheitsfürsorge, bei Maßnahmen,
die die Verkehrssicherheit auf Straßen, Schienen, zu Wasser und in der Luft verbessern und bei
technischen Projekten, die dem allgemeinen Wohlstand dienen, die aber auch Risiken bergen.
Nach einem Vorschlag von Lind (1994) [94] geht man von einem zusammengesetzten Sozialindikator
aus:
L = L(a, b, ..., r, ...) (10.2.1.3)
Sozialindikatoren einer Gesellschaft sind Größen wie die Lebenserwartung, das BIP, die Anzahl
von Analphabeten, der Stand der Gleichberechtigung zwischen Mann und Frau, etc.. L sei ein
Indikator für die Lebensqualität. Der zusammengestzte Sozialindikator sei differenzierbar. In differentieller
Schreibweise ist dann:
dL = ∂L
∂a
da +
∂L
∂b
∂L
db + ... + dr + ... (10.2.1.4)
∂r
Wenn nur die genannten zwei Einflußfaktoren, also das verfügbare BIP g ≈ 0.6 ÷ 0.7BIP, und
die Lebenserwartung e, in Betracht gezogen werden, verschwindet dL für
dL = ∂L
∂e
∂L dg
de + dg =0⇒
∂g
∂L
de = − ∂e
∂L
∂g
(10.2.1.5)
Dieses Prinzip, zwei der wichtigen Lebensqualitätsindikatoren gegeneinander aufzuwiegen, findet
sich bereits bei [84] . Nathwani et al. [121] machen den einfachen Produktansatz:
L = f(g)h(t) (10.2.1.6)
Die der ökonomischen Tätigkeit (Erwerb) gewidmete Zeit ist we > 0, die dem ’’Vergnügen’’ gewidmete
Zeit ist:
t =(1− w)e >0 (10.2.1.7)
Dieser sogenannte ’’Life Quality Index’’ (Lebensqualitätsindex = LQI) ist also eine Funktion der
Lebenserwartung e abzüglich der Zeit w, die dem Erwerb gewidmet werden muß, gewichtet mit
einem Maß fürdieHöhe der Lebensqualität, welches vom Anteil des verfügbaren BIP g abhängt.
f(g) und h(t) sind jeweils in den Argumenten monoton wachsende, positive Funktionen. Es folgt
zunächst, daß
dL =
df (g)
dg
h(t)dg + f(g)dh(t) dt (10.2.1.8)
dt
294

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
und für das relative Inkrement:
dL
L =
g
f(g)
df (g) dg
dg g +
t
h(t)
dh(t) dt
dt t = k dg
g
g + k dt
t
t
(10.2.1.9)
Nathwani et al. [121] verlangen nun, daß die relative Änderung von L nicht von den Absolutwerten
von g und e abhängen soll (= Unabhängigkeit von der Jahreszahl, vom Entwicklungsstand
einer Region,...) und das bedeutet, daß k g und k t Konstante sind, genauer daß k g /k t = konst.
Damit gelten mit c 1 und c 2 gewissen festen Werten die beiden Differentialgleichungen 1. Ordnung
k g
k t
≡
≡
g df (g)
= c 1
f(g) dg
(10.2.1.10)
t dh(t)
= c 2
h(t) dt
(10.2.1.11)
mit den durch Separierung und Delogarithmieren gewonnenen Lösungen:
Mit Gl. (10.2.1.10) und (10.2.1.11) wird dann aus Gl. (10.2.1.6):
f(g) = g c1 (10.2.1.12)
h(t) = t c 2
(10.2.1.13)
L = g c 1
((1 − w)e) c 2
(10.2.1.14)
Es sei weiterhin angenommen, daß g nach Gl. (10.2.1.2) nach einer Potenzfunktion von der Erwerbszeit
w abhängt (gemeint ist hier bezahlte Arbeit), womit L als
L =(cw β ) c1 ((1 − w)e) c2 (10.2.1.15)
geschrieben werden kann. c ist ein Proportionalitätsfaktor, den man als mittlere Produktivität aller
Wirtschaftsleistungen einer Gesellschaft oder als Arbeitsproduktivität deuten kann, da auf die
Person bezogen Q = A( K N N )α (w) β gilt und daher c = A( K N )α mit N der Bevölkerungsanzahl
der betrachteten Volkswirtschaft. Als Funktion von w hat L ein Maximum und wächst in c und
e für 0

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
auf über 20000 PPPUS$ infolge besserer Produktivität durch technischen Fortschritt und Nutzung
neuer Resourcen[103] . Lebensqualität wurde also nicht nur durch längeres Leben und größeren
Konsum, sondern auch maßgeblich durch mehr Freizeit gewonnen. In der Volkswirtschaft wurde
daher auch die Hypothese aufgestellt, daß für die Lebensqualitätganzmaßgeblich die Zeit ist, die
der freien Entfaltung seiner Persönlichkeit gewidmet werden kann [195] . Am Maximum gilt die
Bedingung
dL
dw = d
dw ((cwβ ) c 1
((1 − w)e) c 2
=0 (10.2.1.16)
Ohne Verlust an Allgemeinheit kann man c 1 + c 2 =1setzen, woraus nach Ausführung der Differentiation
nach w und Auflösen nach c 1
c 1 =
w
β − βw + w)
(10.2.1.17)
folgt. Der Proportionalitätsfaktor c fällt heraus und muß auch nicht in L berücksichtigt werden, da
sich konstante Faktoren in dL/L herauskürzen. Das führt auf:
L w = g
w
β−βw+w e
1−
w
w
w
β−βw+w (1 − w)
1− β−βw+w ≈ g
β−βw+w e
1−
w
β−βw+w
(10.2.1.18)
Der Parameter w, also der beobachtete Anteil für bezahlte Arbeit, schwankt nicht stark. Er beträgt
im Jahre 1998 in den Industrieländern 10 bis 20% von e, bezogen auf die arbeitende Bevölkerung
(etwa 50% der Gesamtbevölkerung), mit einer Tendenz zu kleineren Werten. Nathwani et al. [121]
schätzen w =1/8 ab. Sie berücksichtigen dabei eine Stunde Fahrzeit pro Arbeitstag und eine
w
β−βw+w
Lebensarbeitszeit von 45 Jahren. Der Faktor (1 − w) 1− ändert sich nur wenig mit w und
kann daher weggelassen werden. Man sieht, daß der Index in der Tat drei wesentliche Lebensziele
in Beziehung setzt: Reichtum oder Einkommen g und damit Konsum, Lebenserwartung e und die
Zeit, das Leben zu genießen (1 − w)e. Der Index erfüllt die Randbedingungen L =0für g =0
und e =0. Der LQI kann und sollte als Nutzenfunktion L = u(g, e,w) einer anonymen Person
interpretiert werden. Einkommen bzw. Konsum und Lebenserwartung sind darin unterschiedlich
gewichtet.
Es erweist sich als zweckmäßig in Gl. (10.2.1.18) noch die 1 −
w −te Wurzel zu ziehen. Im
β−βw+w
w
Folgenden verwenden wir die Bezeichnung q = /(1− w )= 1 w
. Für w =1/8 und
β−βw+w β−βw+w β 1−w
β =0.7 wird q =0.17. Für zwei Gruppen mit identischem g und e würde diejenige mit größerem
w einen höheren LQI haben. Das widerspricht der Anschauung. Diese kleine Inkonsistenz kann
man jedoch für alle praktischen Zwecke ausreichend gut beseitigen, indem man anstelle von g q im
ersten Term z.B. g q /q, nimmt. Somit ist:
L q = gq
gq
e(1 − w) ≈
q q e (10.2.1.19)
In dieser Form wächst der LQI im relevanten Bereich von g, e und w mit g und e und nimmt mit w
ab, wie es vernünftigerweise zu fordern ist. Weiter unten wird für die spezielle Form (10.2.1.19)
noch eine theoretische Begründung nachgeliefert.
296

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Eine mit dem Indikator Gl. (10.2.1.19) bewertete Tätigkeit ist also unter Verwendung von Gl.
(10.2.1.5) sinnvoll, wenn:
∂L
dg
de = − ∂e
≥− g e
∂L
∂g
1
q
(10.2.1.20)
oder
de
e + q dg
g = dg
g + 1 de
q e ≥ 0 (10.2.1.21)
Das Kriterium gilt für alle lebensverlängernden bzw. lebensrettenden Maßnahmen (positives de)
bei denen dg im allgemeinen negativ ist, aber auch für alle anderen Tätigkeiten, also auch solchen
bei denen dg positiv ist und gleichzeitig de negativ. Der Wert von dL/L ist immer positiv,
wenn de > 0 und dg > 0 und er ist immer negativ, wenn de < 0 und dg < 0. Das Kriterium
berücksichtigt, wie erwähnt, relative, kleine Änderungen in e und g und keine absoluten Größen.
BeiGleichheitdrückt die Bedingung die optimale Beziehung zwischen dg und de aus. Eine Maßnahme
mit den (jährlichen) Kosten dC = −dg, die die Lebenserwartung um de vergößert, ist
bezahlbar und notwendig. ’’>’’ bedeutet, daß Investitionen in lebensverlängernde Maßnahmen
ineffizient sind. ’’

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
10.2.2. Demographische Aspekte
Die Anwendung von Gl. (10.2.1.19) ist leider nicht ganz einfach. Während sich die Kosten einer
Maßnahme, d.h. die Verminderung von g um dg, meistens gut quantifizieren lassen, ist die Wirkung
der Maßnahme, d.h. e um de, kaum direkt abschätzbar. Man kann aber die (differentiellen)
Änderungen der Lebenserwartung mit den (differentiellen) Änderungen der Sterblichkeit in Beziehung
setzen. Hierfüristzunächst notwendig, einige Begriffe der Bevölkerungsstatistik zu erläutern
[48] [87] . Es sei m(a) die (stetige) altersabhängige Sterblichkeit (= Anzahl der Gestorbenen in
[a, a+da]/Anzahl der Lebenden im Alter a in einem bestimmten Jahr) in einer ’’Referenzkohorte’’
(meistens 100000) aus einer Periodensterbetafel bekannt. Die Wahrscheinlichkeit im Alter a zu
sterben kann durch q(a) ≈ 1 − exp [−m(a)] , (q(a u )=1,a u = höchstes berücksichtigtes Alter),
genähert werden womit q(a) ≤ m(a). Abb. 10.3 zeigt drei typische Beispiele. Man beachte besonders
die verschiedene Kindersterblichkeit und die kleine Auswölbung nach oben bei etwa 20
Jahren, die auf die durch Sport- und Verkehrsunfälle verursachte erhöhte Sterblichkeit zurückzuführen
ist. `(a + da) =`(a)(1 − q(a)) ist die Anzahl der Überlebenden im Alter a + da und
`(0) = 100000. Die Anzahl der Sterbenden in [a, a + da] ist demnach d(a) =q(a)`(a). Die Anzahl
aller Sterbenden in allen Altersintervallen summiert sich zur Kohortengröße. Das bedeutet,
daß q(a) als Risikofunktion µ(a) interpretiert werden kann wenn man `(0) = 1 setzt 29 . Das erlaubt
alle maßgebenden Verteilungscharakteristika zu berechnen, z.B. die Überlebenswahrscheinlichkeit
· Z a
¸
`(a) =exp − µ(τ)dτ
(10.2.2.1)
oder die Lebenserwartung im Alter a unter der Bedingung bis a überlebt zu haben, d.h.:
Z au
Z au
· Z t
¸ Z au
· Z t
e(a) =
exp − µ(τ)dτ dt = exp − µ(τ)dτ
a
`(t)
`(a) dt = 1
`(a)
a
0
(10.2.2.2)
Beispielsweise gehören die Lebenserwartungen e Haiti (0) = 52.7,e Kolumbien (0) = 69.3 und e BRD (0) =
76.9 zu den Kurven in Abb. 10.3. Für eine stationäre Bevölkerung (Geburtsrate b gleich roher Sterberate
m, keine Bevölkerungswanderungen) ist die Dichte der Altersverteilung proportional zur
Überlebenswahrscheinlichkeit
`(a)
h(a) = R au
(10.2.2.3)
`(a)da
0
Da m =1/e, ist h(a) =`(a)/e. Für den wichtigen Fall einer stabilen Bevölkerung (altersabhängige
Mortalität und Altersverteilung unabhängig von der Zeit) mit konstanter Zuwachsrate n = b−m
ist die Altersverteilung (Dichte der Altersverteilung) [48]
h(a, n) =
0
exp [−na] `(a)
R au
0
exp [−na] `(a)da
a
a
¸
dt
(10.2.2.4)
29
Für die altersabhängige Mortalitätkannmanimhauptsächlich interessierenden Bereich (a >5)häufig den Gompertzschen
Ansatz µ(a) =α exp(βa) mit α ≈ 0.00008 und β ≈ 0.085 in erster Näherung verwenden.
298

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Der Einfluß von n auf die Altersverteilung ist bemerkenswert (vergl. Abb. 10.4). Schließlich
kann die rohe Sterberate abgeschätzt werden zu
m =
Z au
0
h(a, n)µ(a)da (10.2.2.5)
und die Geburtsrate ist:
1
b = h(0,n)= R au
(10.2.2.6)
exp [−na] `(a)da
0
War µ 1 (a) die altersspezifische Sterberate vor einer lebensrettenden Maßnahme und µ 2 (a) jene
nach dieser, so ist, de ≈ ∆e = e 2 − e 1 . Es ist klar, daß eine Quantifizierung der Änderungen von
µ 1 (a) nach µ 2 (a) im allgemeinen schwierig und aufwendig ist.
0.2
0.15
q(a)
0.1
0.05
Haiti (1995-2000)
Kolumbien (1996)
BRD (1996/97)
0
0 25 50 75 100
Alter a
Abb. 10.3.Altersabhängige Sterberate
Wenn eine lebensrettende Maßnahme die Sterblichkeit proportional für alle Altersklassen reduziert,
und das ist bei den hier zur Diskussion stehenden Anwendungen wohl nur manchmal der
Fall, kann man etwas einfacher vorgehen. Die Reduktion sei δ = dm wobei m die sogenannte rohe
Sterberate (Anzahl der Verstorbenen pro Jahr/Anzahl der Lebenden zur Mitte des Jahres). Dann
m
ist µ 2 (a) =µ 1 (a)(1+δ) und es folgt `2(a) =exp £ − R a
µ 0 1(τ)(1 + δ)dτ ¤ = `1(a) 1+δ und somit
e 2 (0) = R a u
`1(t) 1+δ dt. Damit ist [87]
0
de
e ≈ R a u
0 `(a) 1+δ da− R au
0 `(a)da
R
dδ
au
0
`(a)da
≈
R
d au
dδ
`(a) 1+δ da |
0
R δ=0
au
δ =
`(a)da
0
R au
ln(`(a))`(a)da
0
R au δ = −c δ δ
`(a)da
0
(10.2.2.7)
wobei c δ ≈ 0.10 bis mehr als 0.45 abhängig von der Altersstruktur und der Lebenserwartung
(c δ ≈ 0.13 bis 0.20 für hochentwickelte Länder, c δ ≈ 0.20 bis 0.30 für Länder mit mittlerem Entwicklungsstand
und c δ ≈ 0.50 für einige Länder mit sehr niedrigem Entwicklungsstand). Die
Konstante 0 ≤ c δ ≤ 1 ist ein Maß für die KonvexitätderKurve`(a). c δ =0entspricht dem Fall,
daß alle Personen exakt im gleichen Alter sterben. c δ =0.5 entspricht einer linear abfallenden
299

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
n = 0.02
h(a)
0.015
0.01
0.005
n = 0.01
n = 0.00
n = - 0.01
0
0 20 40 60 80 100
Alter a
Abb. 10.4.Altersaufbau einer Bevölkerung für verschiedene Zuwachsrate n
Kurve `(a) und c δ =1der Kurve `(a) =exp[−µa] (= gleiche Mortalitätfür alle Altersgruppen).
Je mehr sich die Sterblichkeit auf das Alter zwischen 60 und 80 Lebensjahren konzentriert, umso
kleiner sind die Auswirkungen auf die Lebenserwartung (vergl. auch Abb. 10.3). Eine Änderung
der Mortalitätum1%ändert die Lebenserwartung also nur um 0.15% für c δ ≈ 0.15. DieNäherung
im zweiten und dritten Ausdruck auf der rechten Seite entsteht durch eine lineare Taylorentwicklung
um δ =0.
Man kann auch annehmen, daß eine (kleine) Änderung dm = ∆ der rohen Mortalität alle Altersgruppen
gleichmäßig betrifft. Dann ändert sich µ(a) in µ ∆ (a) =µ(a)+∆ und daher
de
e
≈
d
d∆
= −
R au
exp £ − R a
(µ(τ)+∆)dτ¤ da |
0
R0 ∆=0
au
∆
`(a)da
0
R au
a`(a)da
R0 au
`(a)da ∆ = −C dm
∆dm = −c ∆
m
0
(10.2.2.8)
mit c ∆ = C ∆ m. In diesem Fall ergeben sich die demographischen Konstanten in der Größe von
c ∆ ≈ 0.35 (C ∆ ≈ 35) für entwickelte Länder. Für gegebenes dm sind die Änderungen in de also
etwa zweimal so groß wie in Gl. (10.2.2.7). Das ist auch zu erwarten, da ein Änderung von
e
µ(a) in jungen Jahren sich viel stärker auf die Lebenserwartung auswirkt als in höherem Alter.
Für technische Anwendungen, also in der Bauwerkssicherheit, bei der Risikokontrolle von gefährlichen
Industrieanlagen, der Vorbeugung von Überschwemmungen, usw. ist diese Annahme
die wahrscheinlich wirklichkeitsnächste und auch fairste Vorgehensweise. Natürlich können sich
Mortalitätsänderungen nur auf gewisse Altersgruppen, z.B. nur die Gruppe der Älteren a>60,
erstrecken, was entsprechend zu berücksichtigen ist. Wichtig ist noch die Berücksichtigung von
Latenzzeiten bei toxischen Stoffen im Boden, dem Wasser und der Luft oder auch in Nahrungsmitteln.
Es sei T eine deterministische Latenzzeit. Dann ist z.B.
de
e
≈
d
d∆
R au
T
exp £ − R a
(µ(τ)+∆)dτ¤ da |
R0 ∆=0
au
∆
`(a)da
0
300

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
= −
R au
RT
au
a`(a)da
0
`(a)da ∆ = −C ∆T dm (10.2.2.9)
Die folgende instruktive Abb. 10.5 zeigt die Entwicklung der Konstanten c δ und der Lebenserwartung
e für Schweden zwischen den Jahren 1860 und 2000. Der Einbruch 1918/19 ist auf die
europaweite Grippepandemie in diesen Jahren zurückzuführen. Abb.10.5 weist daraufhin, daß es
auch einen zeitlichen Aspekt zu beachten gilt.
0.8
CF
0.6
0.4
0.2
0
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
Jahr
80
70
Leberserwartung
bei Geburt
60
50
40
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
Jahr
Abb. 10.5.Konstante C δ und Lebenserwartung für Schweden von 1860 bis 2000 [18]
Periodensterbetafeln für ein bestimmtes Jahr entstehen, wie erwähnt, durch empirische Bestimmung
der altersabhängigen Mortalität, d.h. Division der in einem Jahr Verstorbenen durch die
Anzahl der Lebenden, jeweils für ein bestimmtes Alter. Daraus können alle interessierenden, demographischen
Kennzahlen abgeleitet werden. Periodensterbetafeln können demnach Fortschritte
in der Medizin und andere langfristige Einflüsse nicht berücksichtigen. Das wäre mit sogenannten
Generationensterbtafeln, die die Mortalität einer z.B. im Jahre 1895 geborenen Kohorte solange
verfolgt, bis diese Kohorte ganz ausgestorben ist. Solche Generationentafeln (oder Kohorten tafeln)
sind aber praktisch nicht zu beschaffen. Man kann sie jedoch in guter Näherung konstruieren
indem man die Folge von Periodentafeln nimmt und aus diesen durch Interpolation die Zeitabhängigkeit
der Mortalitäten bestimmt. Dabei erweist sich folgender Ansatz als zweckmäßig.
µ ϑ,y (a) =µ y (a)b(a) ϑ+a−y (10.2.2.10)
worin y das Referenzjahr und ϑ ≶ y das Geburtsjahr, dessen Koeffizienten durch lineare Regression
für ln(µ ϑ,y (a)) = a y + b y (ϑ + a − y) mit a y =ln(µ y (a) und b y =ln(b(a)) bestimmt werden.
301

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Damit ist sogar möglich, die Mortalitäten in die Zukunft zu extrapolieren, wobei man natürlich unterstellen
muß,daß die in der Vergangenheit beobachteten Tendenzen auch in der Zukunft anhalten.
Ausreichend lange Folgen von Periodentafeln wurden z.B. durch Bomsdorf [16] berücksichtigt.
Für Deutschland und viele andere Länder sind solche auch in [18] enthalten. Kohortentafeln
ergeben derzeit z.B. rund 7% größere Lebenserwartungen. Von der Möglichkeit prädiktive Generationentafeln
zu erzeugen und zu verwenden wird weiter unten noch Gebrauch gemacht.
10.2.3. Der Lebensqualitätsindex als Indikator für den Entwicklungsstand
eines Landes
Der LQI ist ein zusammengesetzter Sozialindikator und wurde als solcher von Nathwani et al.
[121] verwendet um den Entwicklungsstand und seine Veränderungen in verschiedenen Ländern
ähnlich wie der ’’Human Development Index (HDI)’’ durch eine Vergleichszahl zu messen. Solche
Indizes sollen wiedergeben ’’wie gut eine Nation dem Wohlbefinden seiner Bürger dient’’ (’’how
well a nation serves the well-being of its citizens’’) [174] . Nathwani et al. [121] betonen, daß der
Term g q in GL. (10.2.1.19) eine wohlstands- bzw. konsumbezogene Größeist,während e gesundheitsbezogen
ist. Man beachte, daß beide Größen maßgeblich von einer zuverlässigen Schätzung
von w abhängen. Für Vergleiche wird L w am besten noch geeignet normiert. In Tabelle 10.5.1 sind
nur Länder aufgenommen für die halbwegs zuverlässige Daten vorliegen. Wenn der LQI in Gl.
(10.2.1.19) als Alternative für den HDI verwendet wird, ist natürlich der volle Betrag des BIP zu
verwenden.
In Tabelle 10.2.1 sind für einige Länder, für die neuere Periodensterbetafeln beschafft werden konnten,
die entsprechenden Kennzahlen zusammengestellt. Im Hinblick auf internationale Vergleichbarkeit
sind alle monetären Größen in internationalen PPP US$ angegeben. Sie enthält auch einige
Extreme bezüglich des wirtschaftlichen und demographischen Entwicklungsstandes von Ländern.
Die verwendeten Daten müssen als Schätzungen aufgefaßt werden, da gewisse Diskrepanzen zwischen
verschiedenen Quellen nicht aufgeklärt werden konnten. Außerdem sind alle Daten mit
gewissen statistischen Unsicherheiten verbunden und ändern sich in der Zeit. Es mag aber nur
sehr wenige Anwendungen geben für die genauere Daten notwendig sind. Die qualitätvolle Lebenserwartung
e QALY nach [192] ist z.T. zum Vergleich angegeben. Der Lebensarbeitsanteil w
ist besonders schwierig abzuschätzen. Hierzu ist notwendig die wöchentliche Arbeitszeit für die
Vollzeit- und Teilzeitbeschäftigten, getrennt nach Wirtschaftszweig, zu kennen, die Anteile der
Wirtschaftszweige am BIP, die Anzahl der gesetzlichen Feiertage und der gesetzlichen Urlaubstage
und die Lebensarbeitszeit, beginnend mit dem Eintritt in die Erwerbstätigkeit und endend
mit dem Eintritt in den Ruhestand. Außerdem erscheint es fair, die Fahrzeiten vom Wohnort zur
und von der Arbeitsstelle angemessen zu berücksichtigen. Ob Krankentage, Unterbeschäftigung
oder Arbeitslosigkeit ein Rolle spielen, hängt vom Sozialsystem des betreffenden Landes ab. Der
Lebensarbeitsanteil w von e ist auf die arbeitende Bevölkerung bezogen, da nur diese den in Gl.
(10.2.1.16) ausgedrückten Optimierungsgedanken, meist in Absprache mit den Familienangehörigen,
vollziehen. Die arbeitende Bevölkerung macht etwa die Hälfte der Gesamtbevölkerung aus.
Im Einzelnen wurde w nach
w =
Arbeitsfähige Bevölkerung
Bevölkerung
Jährliche Arbeitstunden 9
24 · 365 8
berechnet, wobei die Daten in [103] und [46] verwendet wurden. Der Faktor 9/8 berücksichtigt
die Fahrzeiten pro Arbeitstag. In Abb. 10.6 sind die Logarithmen von e über den Logarithmen
302

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
von g aufgetragen. Es zeigt sich relativ straffe Korrelation. Hieraus mag man zunächst schließen,
daß Reichtum auch gesünder macht. Innerhalb eines entwickelten Landes besteht jedoch nur sehr
schwache (positive) Korrelation zwischen Lebenserwartung und Einkommen. Aus Abb. 10.7 läßt
sich allenfalls ein schwacher Trend von w mit dem BIP erkennen. In Tabelle 10.2.1 mag man aus
denWertenfür w in Verbindung mit dem BIP auch ablesen, daß die Menschen in manchen Ländern
bei gleichem BIP eher konsumorientiert und in anderen Ländern eher freizeitorientiert sind.
Land BIP 1) m 2) n 3) e,e 4)
QALY w 5) β L w
Brasilien 7320 0.934 0.91 67,- 0.11 0.8 1660
Kanada 27330 0.730 0.99 79, 72 0.12 0.7 2967
Kolumbien 5890 0.569 1.64 70,- 0.11 0.8 1732
USA 34260 0.870 0.90 77, 70 0.13 0.7 3351
Bulgarien 6200 1.450 -1.14 70, 65 0.12 0.8 1819
Dänemark 25500 1.090 0.30 77, 72 0.10 0.7 2421
Deutschland 25010 1.042 0.27 77, 71 0.10 0.7 2421
Finnland 22900 0.980 0.16 75, 69 0.11 0.7 2500
Frankreich 24470 0.909 0.37 78, 73 0.09 0.7 2302
Italien 23400 1.007 0.07 79, 73 0.09 0.7 2317
Niederlande 26170 0.869 0.55 78, 72 0.08 0.7 2222
Norwegen 29760 0.983 0.49 78, 72 0.10 0.7 2521
Österreich 26310 0.980 0.24 77, 72 0.10 0.7 2440
Polen 9030 0.998 -0.03 73, 66 0.10 0.8 1862
Rußland 8377 1.340 0.21 66, 60 0.11 0.8 1725
Schweden 23770 1.061 0.02 79, 73 0.10 0.7 2464
Schweiz 29000 0.877 0.27 79, 72 0.11 0.7 2746
Tschechien 12900 1.081 -0.07 73, 68 0.14 0.8 2462
Ungarn 19180 0.913 0.10 78, 73 0.10 0.8 2209
UK 23500 1.072 0.23 78, 72 0.11 0.7 2612
Ägypten 3690 0.770 1.69 66,- 0.08 0.8 1483
Nigeria 790 1.391 2.61 47,- 0.13 0.85 864
Südafrika 9180 1.677 0.26 55,- 0.08 0.7 1375
China 3940 0.674 0.88 70,- 0.16 0.85 1997
Japan 26460 0.834 0.17 80, 74 0.13 0.7 2726
Australien 25370 0.718 0.99 78, 73 0.12 0.7 2887
Tabelle 10.2.1: Sozialindikatoren für einige Länder ( 1) in PPPUS$ [191] , 2) rohe Sterberate in % [29] , 3) Zuwachsrateder
Bevölkerungin%[29] , 4) qualitätvolle Lebenserwartung [192] , 7) Nach [78] [103] [46] [125] einschließlich 1 Stunde
Reisezeit)
Der Ableitung des LQI lag als wesentliches Prinzip die Optimierung von Einkommen und Freizeit
zugrunde. Daß dieses Prinzip indirekt bestätigt werden kann, zeigen neuere sozialwissenschaftliche
Untersuchungen [15] . So fand Bielenski et al. [15] für europäische Länder durch eine
Befragung von bis zu 3000 Personen in jedem Land, daß in Ländern mit hohem BIP eher weniger
Arbeitszeit bevorzugt wird und in Ländern mit geringerem BIP eher durch Mehrarbeit ein höheres
Einkommen angestrebt wird. Auch die Neigung zu mehr Beschäftigung und, damit verbunden, ein
größeres Angebot von Arbeit wird erwünscht. Abhängige Arbeitnehmer in Ländern mit hohem
BIP würden ihre Wochenarbeitszeit gern von rund 38.5 Stunden auf 34 bis 36 Stunden vermindern,
303

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
natürlich ohne Einkommensverminderung. In [45] wird sogar berichtet, daß in einigen Ländern
bei Befragungen durch Gewerkschaften noch kleinere Arbeitszeiten als 35 Wochenarbeitsstunden
als nicht wünschenswert erachtet werden. Selbstständige würden ihre Wochenarbeitszeit gerne von
48 auf 38 Stunden vermindern. Die Abhängigkeit der gewünschten Arbeitszeit vom Einkommen
zeigt sich auch auf dem Niveau von Haushalten, wie nachfolgende Tabelle ausweist.
Finanzielle Situation Geleistete wöchentliche Gewünschte wöchentliche
von Haushalten Arbeitsstunden Arbeitsstunden
gut 66 61
adäquat 59 61
schwierig 53 64
Tabelle 10.2.2: Geleistete und gewünschte wöchentliche Arbeitsstunden nach [15]
Auf Länderebene zeigt sich die gleiche Tendenz. In Spanien, Portugal und Griechenland, also
Ländern mit vergleichsweise niedrigem BIP und vergleichsweise wenig entwickelten Sozialsystem,
würde man gerne zwischen 2 und 10 Stunden pro Haushalt mehr arbeiten. In allen anderen
Ländern würde man gerne zwischen 1 und 7 Stunden weniger arbeiten. Diese Tendenzen zeigen
sich auch in offiziellen Statistiken [78] [125] .
Tatsächlich geleistete und gewünschte Arbeitszeiten, sowohl für Individuen wie auch für Haushalte,
hängen, wie erwähnt, von einer Vielzahl von Faktoren wie Traditionen, kulturelle Aspekte, das
soziale Umfeld, Stärke und Rolle der Gewerkschaften, Anteil der Selbstständigen und der Nichtselbstständigen,
Beteilung von Frauen und schließlich von den gesetzlichen und wirtschaftlichen
Rahmenbedingungen ab. Die allgemeinen Trends sind jedoch ziemlich klar. Und es gibt gute
Gründe zu vermuten, daß in den meisten entwickelten Ländern Arbeitszeit und Einkommen in
Bezug auf die Lebensqualität schon nahe am Optimum sind.
2.2
2.1
2
1.9
Entwicklungsländer
log(e)
1.8
1.7
1.6
1.5
Industrieländer
1.4
2.5 3 3.5 4 4.5 5
log(g)
Abb. 10.6.Lebenserwartung über Bruttosozialprodukt der Länder in Tabelle 9.5.1 (e nach[192] , g nach
[191] )
304

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
0.2
0.15
w
Mittel = 0.104
0.1
0.05
0 5000 1.10 4 1.5 .10 4 2 .10 4 2.5 .10 4 3 .10 4 3.5 .10 4
BIP
Abb. 10.7.Lebensarbeitsanteil über Bruttosozialprodukt für dieLänder in Tabelle 9.5.1 (g nach [191] ,w
nach [103] ,[125] ,[46] ,)[103]
10.2.4. Einfache Anwendungen von Gl. (10.2.1.21)
Man kann nun Gl. (10.2.1.21) zusammen mit den Gl. (10.2.2.7) bis (10.2.2.9) auf einfache Probleme
anwenden. Das ergibt die notwendigen und bezahlbaren Kosten dC Y pro Kopf und Jahr
für eineMaßnahme, die die (jährliche) Mortalität z.B.umdm für eine Strategie x bei der Mortalitäsreduktion
ändert, zu:
dC = −dg = g q
de
e ≈ g q c dm
x
m = g q C xdm = G x dm (10.2.4.1)
In der auf die Gesundheitsvorsorge bezogenen volkswirtschaftlichen Literatur wird diese Größe
auch ’’Zahlungsbereitschaft (willingnes-to-pay = WTP)’’ genannt.
Beispiel 10.2.1: Öffentliche Gesundheitsförderung
Eine bestimmte Krankheit führt zu einer jährlichen Anzahl von N F = 100 Todesopfern in einer
Bevölkerung von N =6· 10 7 . Durch gewisse öffentlich verordnete Maßnahmen kann sie aber
praktisch vollständig eingedämmt werden. Die sozialen Daten seien wie folgt: m =0.01,q =
0.13,g = 20000 EUR. Die relative Reduktion des BIP ist ∂g/g = −(∂cN)/(gN) =−C Y /(gN)
mit C Y den jährlichen Gesamtkosten fürdieÖffentlichkeit. Die Änderung der rohen Mortalitätist
dm = N F /N und Gl..(10.2.2.9) kann verwendet werden um de/e abzuschätzen. Einsetzen in Gl.
(10.2.1.21) und Auflösung nach C Y mit C ∆ =40ergibt:
C Y = g 1 q C ∆N F =6.2 · 10 8 EUR (1)
Das ist die von der Gesellschaft jährlich aufzubringende Summe um die Krankheit unter Kontrolle
zu bringen. Sie ist mit den wirtschaftlichen Verhältnissen der betrachteten Gesellschaft verträglich.
Auf den Einzelnen entfallen rund 10 EURO pro Jahr.
#
305

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 10.2.2: Kompensation bei Berufsausübungen mit erhöhtem Risiko [121]
DasRisikoinderAusübung von Berufen variiert extrem stark (siehe auch Tabelle 1.1). Eine englische
Untersuchung bestimmt ein mittleres Lebensrisiko von 1.8·10 −5 /Jahr für alle Berufe. In der
Landwirtschaft ist es jedoch rund 8·10 −5 /Jahr, am Bau ≈ 10 −4 /Jahr, in Steinbrüchen 2·10 −4 /Jahr,
in der Öl- und Gasförderung im Meer ≈ 10 −3 und in der Seefischerei sogar 1.7·10 −3 /Jahr. Der
LQI eignet sich gut, die ’’gerechte’’ Kompensation durch Gleichsetzen des allgemeinen und des
speziellen LQI zu ermitteln. Es seien also g, e und w die entsprechenden Sozialindikatoren einer
Gesellschaft, g ∗ ,e ∗ und w ∗ = w =1/8 die des Berufsstandes mit erhöhtem Risiko und L = g w e
bzw. L ∗ = g w ∗ e ∗ die dazugehörigen LQI. In diesem Zusammenhang sollte g bzw. g ∗ als jährliches
Gehalt verstanden werden. Gleichsetzen von L und L ∗ ergibt:
µ 1
g ∗ e
g = w
e ∗
(1)
Es sei nun g = 50000 PPPUS$, m =0.01,e =75.5 und ein Beruf sei mit der erhöhten, im
Alter von 20 bis 60 Jahren gleichmäßig verteilten Mortalität m ∗ = m + dm verbunden. Dann
berechnet man für eine mitteleuropäische Sterbetafel die notwendige monetäre Kompensation ∆g
(nach Steuern):
dm 0.00001 0.0001 0.001 0.01
∆e[Tage] 5 51 503 4389
∆g[$/a] 46 464 4820 69000
∆w[Tage/a] 0 2.2 23 325
Eine Kompensation kann alternativ auch als zusätzliche Freizeit (bei voller Bezahlung) erfolgen.
Es wird von 1700 Jahresarbeitsstunden ausgegangen, d.h. w =1/8. Man bestimmt:
w ∗ = ln(e ∗/L)
ln(e ∗ /g)
(2)
Die Lebensarbeitszeit verkürzt sich um ∆w. Solche Zahlen können zumindest die rationale Grundlage
für entsprechende Festsetzungen oder auch von Verhandlungen abgeben.
#
10.2.5. Berücksichtigung der Zeitpräferenz des Konsums und des
Altersaufbaus einer Bevölkerung
In der dem Gesundheitswesen gewidmeten Volkswirtschaftslehre wurden ähnliche Konzepte schon
früher entwickelt [193] , [5] , [157] , [150] , [34] , worauf Pandey/Nathwani [130] hingewiesen haben.
In der genannten Literatur finden sich eine ganze Reihe weiterer interessanter Varianten. Hier
folgen wir im wesentlichen [157] . Es sei c(τ) > 0 die Rate des Konsums im Alter τ und u(c(τ))
der verallgemeinerte Nutzen (utility), der aus dem Konsum gezogen wird. Dann ist der Gesamtnutzen
einer Person im Alter a, die im Alter t>asterben wird, gleich U(a, t) = R t
u [c(τ)] dτ.
a
Das Individuum tendiert dazu die Aussicht zukünftigen Konsums gegenüber dem sofortigen oder
in naher Zukunft liegenden Konsum unterzubewerten. Das wird als menschliche Kurzsichtigkeit,
Egoismus, mangelnde Voraussicht interpretiert, aber auch mit den Unsicherheiten über die
verbleibende Lebenszeit begründet. Man kann das durch eine Art Verzinsung mit der Rate γ be-
306

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
rücksichtigt. Der Nutzen einer Person im Alter a, die im Alter t>asterben wird, ist also:
Z t
· Z τ
¸
U(a, t) = u [c(τ)] exp − γ(θ)dθ dτ (10.2.5.1)
a
Wir gehen wie in Gl. (9.7.3.8) von einer zeitabhängigen Zinsrate aus, die sich aus einem zeitabhängigen
Anteil ρ(t) und einem zeitunabhängigen Anteil γ 0 zusammensetzt, d.h. γ(t) =ρ(t)+γ 0 .
ρ wird auch als Rate der Zeitpräferenz des Konsums oder als ’’subjektive Zinsrate’’ bezeichnet und
wird in der volkswirtschaftlichen Literatur mit 1 bis 4% angegeben - mit Tendenz zu kleineren
Werten [182] . Die Größe vonρ ist schon in Abschnitt 9.7.3 diskutiert. ρ ist konzeptionell von
einer finanziellen Zinsrate verschieden. Man beachte auch, daß nicht der Konsum sondern der
Nutzen daraus verzinst wird. Nach Malthus (1766-1834) [111] wächst die Bevölkerung (oder die
Familie) näherungsweise wie exp[nt] . Das kann auch empirisch mit den Daten in [103] belegt
werden. Damit der Nutzen aus dem Pro-Kopf-Konsum in der Zukunft gleich bleibt, muß er also
wie exp[nt] wachsen.
Z t
· Z τ
¸
U(a, t) = u [c(τ)] exp [nτ]exp − γ(θ)dθ dτ (10.2.5.2)
a
a
Bei Wirtschaftswachstum wird ohne Verzinsung durch ρ dem Wohlstand zukünftiger Generationen
mehr Gewicht eingeräumt als dem Wohlstand der heute Lebenden, weil zukünftige Generationen
unter der Annahme von n =0mehr für den Pro-Kopf-Konsum ausgeben können - Wirtschaftswachstum
mit einer Rate ζ vorausgesetzt. Die Rate ρ, bezogen auf den Nutzen aus dem Konsum,
darf bei Wirtschaftswachstum also mindestens so groß sein wie die auf den Einzelnen bezogene
Wachstumsrate δ (Wachstumsrate pro Kopf). Es wird weiter unten noch klar, daß γ 0 ≈ δ wobei
δ = ζ − n. Damit sollte man aber
Z t
· Z τ
¸
U(a, t) = u [c(τ)] exp −( ρ(θ)dθ + γ 0 (τ − a)) dτ (10.2.5.3)
a
a
verwenden, da auch das Wirtschaftswachstum zumindest im Mittel über die letzten 100 Jahre exponentiell
war (siehe hierzu [103] ). Der auf die unsichere Restlebenszeit bezogene erwartete Nutzen
aus dem Konsum im Alter a, unter der Bedingung bis a überlebt zu haben, ist damit:
L(a) = E [U(a)] =
Z au
f(t)
`(a)
wobei f(t)dt = ¡ − d dt`(t)¢ dt =
Z au
a
Z t
f(t)
`(a)
U(a, t)dt
a
· Z τ
−(
¸
ρ(θ)dθ + δ(τ − a))
¸
=
u [c(τ)] exp
dτdt
=
a
a
a
Z au
· Z t
u [c(t)] exp −( ρ(θ)dθ + δ(t − a))
`(a) a
a
`(t)dt
= u [c] e d (a, ρ, δ) (10.2.5.4)
³
µ(τ)exp
h
− R t
0 µ(τ)dτ i´
dt die Wahrscheinlichkeit zwischen t
und t+dt zu sterben. Der dritte Ausdruck wird durch partielle Integration gewonnen. Der Einfachheit
halber wurde in der letzten Zeile eine von der Zeit unabhängige Konsumrate u [c(t)] = u [c]
verwendet, was weiter unten noch begründet wird. Damit kann die Größe u [c] vor die altersab-
307

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
hängigen Terme gezogen werden. Desweiteren wurde die ’’verzinste’’ Lebenserwartung e d (a, ρ, δ)
im Alter a eingeführt.
e d (a, ρ, δ) = 1 Z au
· Z t Z t
¸
exp −( µ(τ)dτ + ρ(τ)dτ + δ(t − a)) dt (10.2.5.5)
`(a)
a
0
Die Integrale in Gl. (10.2.5.5) konvergieren immer, da `(t) =0für t>a u . Man sieht, daß das
’’Verzinse n’’ die Größe e d (a, ρ, δ) vor allem dann stark beeinflußt, wenn µ(τ) klein ist (d.h. in
jungem Alter) während es nur wenig Auswirkungen in höherem Alter bei größerem µ(τ) hat. Die
Kurven e d (a, ρ, δ) werden kompakter mit größer werdendem ρ (vergl. Abb. 10.8). Es ist wichtig
anzumerken, daß das ’’Verzinsen’’ ursprünglich in Bezug auf u [c(τ)] angesetzt wurde, nunmehr
jedoch formal in den Lebenserwartungsterm aufgenommen wurde. ρ, δ und µ(τ) sind additiv.
Außerdem ist e d (0, ρ, 0) ≤ e für ρ + δ > 0. Abhängig vom Wert von ρ kann sich die ’’verzinste’’
Lebenserwartung e d (a, ρ, δ) gegenüber der natürlichen Lebenserwartung merklich reduzieren. Für
ρ =0.01 ist beispielsweise e d (0, 0.01, 0) ≈ 0.66e und für ρ =0.02,e d (0, 0.02, 0) ≈ 0.5e.
a
80
60
ρ = 0.00
ed(a)
40
20
ρ = 0.01
ρ = 0.02
ρ = 0.03
ρ = 0.04
0
0 20 40 60 80 100
Alter a
Abb. 10.8.Bedingte Lebenserwartung bei unterschiedlicher Rate ρ der Zeitpräferenz des Konsums(n =0)
Die Annahme einer über das Alter konstanten Konsumrate c mag fraglich erscheinen. Würde man
doch vermuten, daß das Einkommen in jüngerem Alter unterdurchschnittlich ist, deutlich über dem
Durchschnitt für ein Alter von 25 bis etwa 65 Jahren liegt und dann wieder unter den Durchschnitt
sinkt. Die Details solcher Veränderungen sind jedoch schwierig festzulegen (siehe auch [157] und
[150] ). Man muß Annahmen über die Präferenzen des ’’statistischen’’ Menschen machen und
vernünftiges Verhalten unterstellen. Shepard/Zeckhauser [157] haben jedoch gezeigt, daß eine
konstante Rate unter den Bedingungen eines perfekten, fairen Marktes auch die für denVerbraucher
optimale Rate ist. Die öffentlichen Sozialeinrichtungen moderner Wohlfahrtsstaaten tragen zu
diesem zeitlichen Ausgleich von Einkommen und Konsum z.B. durch Familienförderung und kostenlose
Ausbildung in jungem Alter und Renten oder Pensionen in höherem Alter maßgeblich bei.
Mit zusätzlichem Aufwand kann man jedoch auch von zeitabhängigem Einkommen und Konsum
c(τ) ausgehen. Die Schwierigkeit ist dabei nicht die Behandlung von Gl. (10.2.5.4) sondern die
308

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Bestimmung des Verlaufs von c(τ) unter geeigneten Ziel- und Nebenbedingungen mithilfe der Variationsrechnung
oder der dynamischen Optimierung. Shepard/Zeckhauser [157] betrachten noch
einen anderen Extremfall bei dem der Verbaucher keinerlei Möglichkeit hat, Zeiten der Knappheit
durch faire Kredite (oder Umverteilung) zu überbrücken und in Zeiten hohen Einkommens durch
Versicherungen für das Alter vorzusorgen (der sogenannte ’’Robinson Crusoe’’ Fall). In diesem
Fall folgt der Konsum dem Einkommen bis oberhalb des mindestens notwendigen Konsums zusätzliches
Einkommen die Anhäufung von Reserven für das Alter erlaubt. Der Einfachheit halber
wird auch angenommen, daß Hinterlassenschaften und Vererbung keine wesentliche Rolle fürden
Konsum c(τ) spielen. Sie würden die Nebenbedingungen für die dynamische Optimierung verändern.
In der Summe erscheint die Annahme konstanten Konsums als sehr gute Näherung für die
Wirklichkeit.
Für u [c] wählen wir eine in der Volkswirtschaft übliche Potenzfunktion:
u [c] = cq − 1
q
(10.2.5.6)
mit 0 0 und d2 u[c]
=(q−1)c q−2 < 0 für q0) und andererseits, daß eine Person finanziell
dem Risiko abgeneigt ist (q 1 bedeutet riskantes Verhalten, was als irrational angesehen
werden muß. Beiq =1sagt man, daß die Person risikoneutral ist. Für q → 0 entsteht u [c] =ln(c),
d.h. eine sehr flache, wenig gekrümmte Nutzenfunktion. Die Funktion u [c] hat konstante Elastizität
des Konsums, da du(c)
dc
du[c]
dc
c
= q 30 . Wenn q klein ist (nahe Null), hat eine Zunahme des Konsums
u(c)
nur wenig Wirkung und zusätzlicher Nutzen wird vorwiegend durch zusätzliche Lebensjahre gewonnen.
Wenn q groß ist, wird zusätzlicher Nutzen in erster Linie aus zusätzlichem Konsum und
kaum durch zusätzliche Lebensjahre errungen, da diese durch die Bürde entsprechenden Unterhalts,
nämlich Konsumverzicht, zu sichern wären. q

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Übereinstimmung mit den aus w in Tabelle 10.1.1 abgeleiteten Werten für q ist. In [34] werden
für dieseGrößenordnung auch empirische Belege angeführt (siehe auch [102] ).
Pandey/Nathwani [130] [131] definieren den gesellschaflichen Lebensqualitätsindex (societal
life quality index) durch
mit
SLQI(g,q,ē) = gq
q
ē(ρ, δ) =
Z au
0
Z au
0
e d (a, ρ, δ)h(a, n)da = gq
ē(ρ, δ) (10.2.5.8)
q
e d (a, ρ, δ)h(a, n)da
wobei ē(ρ, δ) die über die Altersverteilung gemittelte verzinste Lebenserwartung. Der gesellschaflichen
Lebensqualitätsindex kann nunmehr auch als altersgemittelter, erwarteter, verzinster, lebenslanger
Nutzen interpretiert werden.
In der gesundheitsorientierten ökonomischen Literatur wird der monetäre Wert eines statistischen
Lebens (value of a statistical life (VSL)) definiert durch die Zahlungsbereitschaft (willingnessto-pay
(WTP)) für eine Risikoreduktion:
WTP(a) = g q
de d (a, ρ, δ)
e d (a, ρ, δ)
(10.2.5.9)
Dieser Ansatz wurde ausführlich in [85] diskutiert, insbesondere die Bedingungen unter denen
Gl. () gültig ist. Für konstanten Konsum über die Lebenszeit und konstanter Mortalitätsreduktion,
d.h. dm = ∆, Gl. () ist in der Tat eine korrekte Definition. VSL(a) bzw. der gesellschaftliche
Wert (SV SL) kann dann aus dem (gesellschaftlichen) Lebensqualitätsindex durch Division durch
den marginalen Nutzen u 0 (g) =g q−1 hergeleitet werden:
SV SL = g ē(ρ, δ) (10.2.5.10)
q
Entsprechend erhält man die gesellschaftliche Zahlungsbereitschaft:
SWTP = g ¸
·ded
q E (A, ρ, δ)
A
≈ g e d (A, ρ, δ) q C xēdm (10.2.5.11)
Es ist möglich wiederum ein auf Gl. (10.2.1.21) beruhendes Akzeptanzkriterium abzuleiten. Der
entstehende Aufwand für Risikoreduktion wird ebenfalls ’’gesellschaftliche Bereitschaft zu zahlen’’
(societal willingness-to-pay = SWTP) genannt.
dg
g + 1 q E A
·ded (A, ρ, δ)
e d (A, ρ, δ)
¸
≥ 0 oder dg ≥− g q E A
durch McLau-
Und es ist möglich und meistens sehr nützlich, Größen wie de,
dē(ρ,δ)
e ē(ρ,δ)
rinentwicklungen erster Ordnung zu nähern
¸
·ded (A, ρ, δ)
e d (A, ρ, δ)
oder de d(a,ρ,δ)
e d (a,ρ,δ)
(10.2.5.12)
" ed (A,ρ,δ,y)−e d
# "
(A,ρ,δ,0)
x
d
y
E A ≈ E e #
dx d(A, ρ, δ,x) | x=0 x
A ≈−C x (ρ, δ)x (10.2.5.13)
`d(A, ρ, δ)
e d (A, ρ, δ)
310

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Für eine kleine konstante Mortalitätsreduktion um ∆, i.e.µ ∆ (a) =µ(a)+∆ findet man
Z
R h
au
au (t − a)exp −( R t
µ(τ)dτ + R i
t
ρ(τ)dτ + δ(t − a))) dt
a
a a
C ∆ē (ρ, δ) =− R h
au
0 exp −( R t
µ(τ)dτ + R i h(a, n)da
t
ρ(τ)dτ + δ(t − a))) dt
a
0 a
(10.2.5.14)
Einsetzen von Gl. (10.2.5.14) in Gl. (10.2.5.12) führt auf:
dg
g + 1 dē
q ē ≈ dg
g − 1 q C xē(ρ, δ)dm ≥ 0 (10.2.5.15)
Das ergibt die notwendigen und bezahlbaren Kosten dC Y pro Jahr für eineMaßnahme, die die
(jährliche) Mortalitätumdm ändert, zu
mit
dC Y = −dg = 1 q g dē ē ≈−C xē(ρ, δ)g 1 q dm = −G xē(ρ, δ) dm (10.2.5.16)
G xē (ρ,n)=C xē (ρ, δ) g q
(10.2.5.17)
Die Größe G xē (ρ,n) kann ebenfalls als ’’Wert des statistischen Lebens’’ (value of statistical life=VSL
) gedeutet werden. Eine solche Deutung soll hier aber nur im Hinblick auf eine monetäre
Rechengröße verstanden werden, denn der Wert des Menschen ist unendlich und jenseits jeder
Meßbarkeit [82] . Die Abhängigkeiten von G xē (ρ,n) von ρ und δ sind wie für C xē (ρ,n). Die
Größe G xē (ρ,n) hängt linear von g/q ab. G xē (ρ,n) ist umgekehrt proportional zur rohen Sterberate
m, d.h. dem allgemeinen Hintergrundrisiko. Niedriges Hintergrundrisiko macht G xē (ρ,n)
groß und umgekehrt. Man kann sogar altersabhängiges Hintergrundrisiko berücksichtigen, indem
man dm, m und G xē (ρ,n) nur auf bestimmte Altersgruppen bezieht. Man beachte weiter, daß die
Form von Gl. (10.2.5.16) nicht von der speziellen Form des SLQI abhängt.
10.2.6. Zusammenstellung von Daten für verschiedene Länder
In Tabelle 10.2.5.1 sind wichtige ökonomische und demographische Daten für einige Länder zusammengestellt.
Es wurden nur solche Länder ausgewählt, die ökonomisch und demographisch
ähnlich und damit vergleichbar sind und für die alle Daten vorhanden waren. Auch die sorgfältige
Auswahl der Daten, z.T. aus verschiedenen Quellen konnte einige kleinere Inkonsistenzen
jedoch nicht beseitigen. Alle monetären Angaben sind in PPPUS$, d.h. kaufkraftbereinigt. Die
verwendeten Sterbetafeln beruhen durchwegs auf Daten in [18] . Aus den dort zur Verfügung stehenden
Periodensterbetafeln wurden nach Gl. (10.2.2.10) prädiktive Kohortentafeln fürdienächsten
110 Jahre erstellt. Die Wachstumsraten für dieBevölkerung n wurden [29] entnommen und
entsprechen ziemlich gut den für die Jahre 1985-2015 geltenden Werten [174] . Die wirtschaflichen
Wachstumsraten δ sind [103] entnommen. Dabei wurden die vorhandenen Fluktuationen
über die letzten 120 Jahre gemittelt. Trends in w wurden nicht berücksichtigt. Wenn nämlich der
Anteil w von t abhängig gemacht würde, beispielsweise durch eine Funktion, die die Beobachtungen
in [103] und [125] ausreichend gut erfaßt, würde die Nutzenfunktion zu u(c ∗ (t),t) und
die vorgestellte Theorie müßte ganz wesentlich erweitert werden. Dabei würden Faktoren wie die
Zeitabhängigkeit des Konsums über das Lebensalter berücksichtigt werden müssen. Das birgt aber
311

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
neue Unwägbarkeiten und Unsicherheiten. Zudem kann abgeschätzt werden, daß der Einfluß eines
zeitabhängigen w(t) relativ klein bleibt. Die zukünftige Entwicklung von w(t) ist zudem sehr
schwierig wenn überhaupt einigermaßen zutreffend abzuschätzen. Deshalb wurde von einem stationären
w(t) =w mit w nach den in [125] gesammelten Daten für 2001 ausgegangen. Die Werte
in Tabelle 10.2.5.1 enthalten eine Stunde Fahrzeit pro Arbeitstag. Der Nichtlinearitätsparameter in
der Beziehung zwischen BIP und w wurde generell zu β =0.7 gesetzt. Für alle Länder wurde von
ρ =0.03 ausgegangen und eine Zinsrate nach Gl. (9.7.3.8) gewählt. Kleine Änderungen ändern
die Ergebnisse nur sehr wenig. Die Resultate für die demographischen Konstanten sind erstaunlich
homogen. Auch die Werte für SLSC und G ∆ē gleichen sich sehr. Unterschiede sind jeweils auf
einen ganz bestimmten Grund zurückzuführen, z.B. abweichende Lebensarbeitszeiten oder den für
den Privatverbrauch angegebene Anteil des BIP. Da der für den Privatverbrauch angegebene Anteil
des BIP eine untere Schranke fürdenfür Risikoreduktion verfügbaren Anteil darstellt, wurde
vom Mittel aus Privatverbrauch und Staatsverbrauch ausgegangen. Andere Werte für G x bei anderen
Strategien für die Mortalitätsreduktion können mit den Werten C x durch Multiplikation mit
g/q erhalten werden. Die angegebenen Zahlen gelten nur für Länder mit nicht merklich anderen
ökonomischen und demographischen Verhältnissen.
Land GDP 1) ,g 2)
u ,go 3) δ 4) n 5) e 6) ,e 7) w 8) SLSC 9) C 10)
δ
,C 10)
∆ ,C11) δē ,C11) ∆ē G 12)
∆ē
Kanada 27330,16040,21560 2.0 0.99 78,84 0.12 7.6·10 5 18,43,21,17 1.7
USA 34260,22030,27240 1.8 0.90 77,86 0.13 1.0·10 6 16,44,18,18 2.1
Dänemark 25500,12930,19380 2.1 0.3 77,82 0.09 5.6·10 5 13,42,17,16 1.9
Deutschland 25010,14460,19310 1.9 0.27 78,87 0.10 6.5·10 5 12,44,16,17 1.8
Frankreich 24470,14660,19380 1.9 0.37 78,84 0.09 6.6·10 5 13,43,18,16 2.0
Italien 23400,14460,18280 2.0 0.07 79,82 0.09 5.9·10 5 11,42,17,15 1.8
Niederlande 26170,15470,19050 2.1 0.55 78,84 0.07 7.1·10 5 16,43,19,16 2.6
Spanien 19180,11890,15000 1.8 0.10 78,85 0.10 5.1·10 5 10,43,17,16 1.3
Schweden 23770,12620,18750 1.9 0.02 79,82 0.10 5.1·10 5 13,42,15,16 1.4
Schweiz 29000,17700,21840 1.9 0.27 79,85 0.11 7.7·10 5 13,43,19,16 1.8
Tschechien 12900,6730,9225 1.4 -0.07 73,77 0.14 2.5·10 5 14,40,21,16 0.5
UK 23500,15140,19920 1.3 0.23 78,79 0.11 6.0·10 5 13,40,19,17 1.6
Japan 26460,15960,18520 2.7 0.17 80,92 0.13 7.2·10 5 10,46,15,16 1.3
Table 10.2.5.1: Sozialindikatoren für einige Länder: 1) in PPPUS$ in 1999[?] , 2) Privatkonsum in PPPUS$[174] , 3) Privat- plus
Staatskonsum in PPPUS$ [174] , 4) durchschnittliche Wachstumsrate pro Kopf in in % für 1870-1992 nach [103] , 5) Bevölkerungswachstumsrate
(2000) in % [29] , 6) Lebenserwartung in 2000, 7) Lebenserwartung für in 2000 Geborene, 8) Schätzungen
nach [125] einschließlich 1 Stunde Fahrzeit, 9) SLSC mit BIP und altersgemittelter Lebenserwartung, 10) berechnet aus pädiktiven
Kohortentafeln ohne Verzinsung und Altersmittelung, δ gilt für proportionale Mortalitätsänderung, ∆ weist auf konstante,
additive Mortalitätsänderung hin, 11) mit zeitabhängier Verzinsung mit ρ =0.03 und ² =1− q und Altersmittelung, 12) in
10 6 PPPUS$
10.2.7. Vergleich mit empirischen Angaben in der Literatur ∗
In der Literatur finden sich einige statistisch ermittelte Angaben über die ’’Rettungskosten’’,den
’’Wert eines statistischen Lebens’’ oder die ’’Zahlungsbereitschaft’’, auch wenn solche Angaben
meist nur indirekt und relativ grob ermittelt werden können. So gibt Schneider [158] ein breites
Spektrum von Kosten für die Rettung eines Lebens an, z.B. 100 PPPUS$ bei Vorsorgeimpfun-
312

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
geninderdrittenWeltüber 5000 PPPUS$ bei Vorschriften zum Tragen von Motorradhelmen und
100000 PPPUS$ zum Tragen von Sicherheitsgurten in Fahrzeugen bis mehr als 10 8 PPPUS$ für
die Asbestsanierung in Schweizer Schulen. 3500000 PPPUS$ pro gerettetes Leben sollen fürdie
Sicherheitseinrichtungen in den großen Alpentunneln vorgesehen sein. Viscusi [180] [181] und
andere (siehe z.B. [168] [101] [89] [165] [6] ) kommen für den’’Wert eines statistischen Lebens’’
auf Zahlen zwischen 1000000 bis 20000000 PPPUS$ mit einer Häufung bei etwas unter
5000000 PPPUS$ in den verschiedensten Anwendungsgebieten und mit unterschiedlichen Methoden,
z.B. in der Gesundheitsfürsorge, dem Straßenverkehr, bei der monetären Kompensation
in risikoreichen Berufen, etc.. Viscusi/Aldy [183] haben viele dieser Studien in einer Metastudie
zusammengefaßt. Ihre Ergebnisse sind in Abb. 10.9 dargestellt. Diese Schätzungen sind mit den
theoretisch ermittelten Werten gut vereinbar, wenngleich man noch nicht von einer empirischen
Verifizierung sprechen kann. Die große Streuung ist ein Hinweis darauf, daß eine einheitliche,
rationale Grundlage für alle risikomindernden Investitionen dringend vonnöten ist.
25
20
Viscusi/Aldy: All Data without India
Mean(VSL) = 7.2 1E6
ρ(VSL,GDP) = 0.22
VSL
15
10
5
0
0 1.10 4 2.10 4 3.10 4 4 .10 4 5.10 4
GDP
25
20
15
Viscusi/Aldy: Only US-Data
Mean(VSL) = 8.0 1E6
ρ(VSL,GDP) = -0.19
VSL
10
5
0
0 1.10 4 2.10 4 3.10 4 4 .10 4 5.10 4
GDP
25
20
Viscus/Aldy: Only International Data
Mean(VSL) = 6.0 1E6
ρ(VSL,GDP) = 0.38
VSL
15
10
5
0
0 1 . 10 4 2 . 10 4 3 . 10 4 4 . 10 4 5 . 10 4
GDP
Abb. 10.9.Wert des statistischen Lebens (VSL) (in 2000 US$) nach [183]
313

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
10.3. Anwendungen
10.3.1. Kompensationskosten in Kosten-Nutzenüberlegungen
Das Differential Gl. (10.2.1.21) kann nach Separierung von g nach g + ∆g und von e nach e + ∆e
integriert werden. Danach sind die Kosten ∆C = −∆g pro Jahr, die zur Verlängerung des Lebens
einer Person um ∆e aufzuwenden sind, gleich
" µ
∆C = −∆g = g 1 −
1+ ∆e
e
−
1
#
q
und die Gesamtkosten füreineVerlängerung um ∆e Jahre
" µ
LSC = g∆e 1 − 1+ ∆e # − 1
q
e
(10.3.1.1)
Welche Werte für ∆e und g zu nehmen sind, wird noch ausführlich diskutiert. Man sieht, daß die
Werte der LSC wesentlich vom sozio-ökonomischen Niveau einer Gesellschaft abhängen. LSC
geht in die Nutzen-Kosten-Analyse als fiktiver Wert zu Zeitpunkt t =0ein. LSC ist, multipliziert
mit der Eintrittswahrscheinlichkeit des lebensbedrohenden Ereignisses, der Betrag den eine Gesellschaft
willens sein sollte um ein (anonymes) Leben zu retten. LSC ist unabhängig von Nutzenund
Zinsraten.
Hervorgehoben sei noch einmal, daß es sich dabei nicht um die Kosten handelt, die bei einem
Schadensfall anfallen, sondern um jene Kosten, die zur Risikoverhinderung über eine Kosten-
Nutzen-Analyse zum Entscheidungszeitpunkt aufgebracht werden müssen. Im folgenden wird die
Größe LSC auch mit Lebensrettungskosten bezeichnet, obwohl es sich strenggenommen um die
Kompensationskosten handelt. Der Wert von LSC darf nicht als der monetäre Wert des Menschen
interpretiert werden.
In Übereinstimmung mit [126] müssen etwaige Kompensationen der (erwerbstätigen oder nichterwerbstätigen)
Verwandten von Opfern durch Versicherungen gedeckt sein. Die Versicherungsprämie
ist aus dem Nutzen des Projektes zu begleichen. Die Größe LSC mag in Übereinstimmung
mit dem entscheidungstheoretischen Konzept auch einen Anhalt über die Größe einermöglichen
Kompensation hergeben. Man sollte die monetäre Kompensation noch abhängig machen von der
Anzahl der im Versagensfall ’’verlorenen’’ Lebensjahre e r , d.h.
LSC(e r )=g
· ³
1 −
1+ e r
e
´−
1
w
¸
e r ≈ ge r
Der Wert LSC(e r ) wächst ungefähr linear mit e r . Bei einem Versagen ist e r zwischen 0.67e (für
junge Gruppen mit einer dreieckförmigen Altersstruktur) und näherungsweise 0.5e (für alternde
Gruppen). Die bedingte (verbleibende) Lebenserwartung unter der Bedingung bis zum Alter a
überlebt zu haben ist:
e(a) =
Z au
a
`(t)
dt (10.3.1.2)
`(a)
314

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Bei einem Versagensereignis kann man unterstellen, daß die Betroffenen die Bevölkerungsstruktur
repräsentieren. Die Mittelung über die Altersverteilung ergibt dann die sogenannten gesellschaftlichen
Lebensrettungskosten (SLSC)
SLSC =
Z au
0
LSC(e(a))h(a, n)da ≈ LSC( e 2 ) (10.3.1.3)
mit h(a, n) der Dichte der Altersverteilung und n der Rate des Bevölkerungswachstums. In einem
Sozialstaat ist die so berechnete Größe SLSC bei öffentlichen Einrichtungen ungefähr der
Betrag, der vom Staat für die (nichterwerbstätigen) Hinterbliebenen durch Umverteilung aufzubringen
ist. Bei privatwirtschaftlichen Einrichtungen sind die entsprechenden Kompensationskosten
in der Regel durch Versicherungen abzudecken. Der Gleichheitsgrundsatz verbietet es auch
hier nach dem Alter, dem Geschlecht oder dem Einkommen einer bestimmten, betroffenen Gruppe
zu differenzieren. Die Gesetzeslage und die Praxis der Rechtsprechung weisen jedoch darauf hin,
daß in gewisser Weise darauf Rücksicht genommen wird 31 . Schließlich sei noch angemerkt, daß
die beiden Möglichkeiten, d.h. Kompensation durch Versicherungen oder durch den Sozialstaat
nicht ganz identisch sind, da im ersten Fall der Erbauer oder Betreiber der technischen Anlage die
Kosten trägt, im zweiten Fall die gesamte Gesellschaft. Hier spielen auch Fragen der juristischen
Haftung eine Rolle. Details einer fairen Regelung können hier jedoch nicht diskutiert werden.
Damit wird die Zielfunktion für die Kosten-Nutzungsoptimierung also z. B. zu
Maximiere:
Z(p) = b − C(p) − (C(p)+L γ M + L F ) · ν+ (p)
γ
Unter den Bedingungen:
g(u, p) =0
u i k∇ u g(u, p)k + ∇ u g(u, p) i kuk =0; i =1, ..., n − 1
h k (p) ≤ 0,k =1,...,q
(10.3.1.4)
wobei nunmehr explizit zwischen materiellen Schadensfolgen L M und den Kompensationskosten
L F unterschieden wird.
10.3.2. Anwendung auf Anlagen bei durch die technische oder die natürliche
Umwelt ausgelöstemVersagen
Die zusätzlichen Gesamtkosten einer Maßnahme (bauaufsichtliche Regelung, Norm, u.s.w.) pro
Mitglied einer Gruppe und Jahr sind
dg = −dC Y (p) =− 1 N
nX
dC Y,i (p) (10.3.2.1)
worin n die Anzahl der betroffenen Objekte, jedes mit Zusatzkosten dC Y,i (p) und N die Gruppengröße.
Es sei weiter N F die Gesamtzahl der durch die Maßnahme verhinderten Opfer und
i=1
31
Man kann fragen, ob Aspekte der Einkommensverteilung eine Rolle spielen können und dürfen. In den OECD-
Ländern ist die Einkommensverteilung rechtsschief, das Mittel liegt 10 - 15% über dem Median und der Variationskoeffizient
ist rund 2/3. Häufig erfaßt eine um das Mindesteinkommen verschobene Gammaverteilung die Verhältnisse
recht gut. Ähnlich hoch und ähnlich verteilt werden auch die Ansprüche der (nichterwerbstätigen) Hinterbliebenen
einzuschätzen sein.
315

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
dm = N F
N
. Einsetzen in Gl. (10.2.5.16) ergibt:
−dC Y (p)
g
+ 1 q (−C ∆dm) ≥ 0
Ersatz von dm durch die Änderung in der Versagensrate dh(p) (t →∞) liefert:
dC Y (p)
dh(p) ≥−kC g
∆
q = −kG x (10.3.2.2)
wobei dm = kdh(p) mit k ≤ 1 einer weiteren Konstanten, die die Änderungen in der Mortalität
mit der Änderung dh(p) in der Versagensrate in Beziehung setzt. k ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit
bei einem Versagen des technischen Objektes auch das Leben zu verlieren.
Es bleibt die Frage zu beantworten, ob ein solches Kriterium, welches für eine Gruppe der Gesellschaft
oder die ganze Gesellschaft abgeleitet wurde, auch für einzelne technische Projekte angewendet
werden kann. Die Konstante G x wurde aus allgemeinen Überlegungen zur Veränderung der
Sterblichkeit entwickelt. Das Errichten von sicheren baulichen Anlagen ist aber traditionsgemäß in
öffentlichem Interesse. Deshalb kann eine solche Konstante auch in Kosten-Nutzen-Überlegungen
für einzelne bauliche Anlagen verwendet werden. Die Konstante G x wie der SLSC waren auf eine
anonyme Person bezogen. Für eine bestimmte Anlage macht es Sinn das Kriterium auf die
gesamte der Gefahr ausgesetzte Gruppe anzuwenden. Man denke sich eine Anzahl gleichartiger
Anlagen, jede mit N PE potentiellen Opfern. Also ändert sich Gl. (10.2.9.2) noch in 32 :
dC Y (p)
dh(p) ≥−kN PEC ∆ g 1 q = −k N PEG x (10.3.2.3)
Entsprechend ändern sich die unverzinsten Kompensationskosten in Optimierungsansätzen zu:
Rein technisch wird man Gl. (10.2.9.3) als Optimierungsaufgabe
L F = kN PE SLSC (10.3.2.4)
Minimiere: S(p) =C(p)+G x kN PE h(p) (10.3.2.5)
lösen, da (10.2.9.3) die Optimalitätsbedingung erster Ordnung von (10.2.9.5) ist. Es kommt vor,
daß eine der Risikoverminderung dienende Maßnahme zu diskreten Kostensteigerungen und entsprechend
zu diskreten Änderungen der Versagensrate führt. Daneben gibt es gegebenenfalls auch
die Änderungen durch Variation kontinuierlicher Parameter. Dann gilt:
5 p (∆C(p)) ≥−G x kN PE 5 p (∆h(p)) (10.3.2.6)
Die formale technische Lösung von (10.2.9.3) durch das dazugehörige Optimierungsproblem kann
numerische Schwierigkeiten bereiten.
Hervorhebenswert ist, daß in den Kriterien kein Nutzenterm wie in Kosten-Nutzen-Optimierungsansätzen
vorkommt. Daraus abgeleitete Sicherheitsanforderungen sind also unabhängig vom gegebenen-
32
dC Y (p) sind jährliche Kosten. Ein Investor mag auch die Finanzierungskosten nach den in Fußnote 17 dargelegten
Konzepten auf die Finanzierungsperiode hochrechnen. Dann sollte auch berücksichtigt werden, daß innerhalb dieser
Periode die Größe g in G x wächst.
316

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
falls erzielbaren Nutzen einer technischen Anlage. Desweiteren ist hervorzuheben, daß es sich in
Gl. (10.2.9.3) um ein differentielles Kriterium handelt, d.h. es geht um die Änderungen in h(p)
wenn sich C(p) risikovermindernd vergrößert.
Es verbleibt noch die Frage nach der Konstanten k in Gl. (10.2.9.6). Im konkreten Fall ist ihre
Abschätzung Aufgabe einer sorgfältigen Risikoanalyse. Diese Konstante muß von der Art des
Versagens und seiner Ursachen abhängen. Es kommt weiter entscheidend darauf an wie plötzlich
Versagen auftritt und in welcher Schwere und ob gegebenenfalls Rettungssysteme (Fluchtwege in
Tunneln, Leitern in Bauwerken bei Feuer, etc.) vorhanden sind. Die nachfolgende Tabelle 10.2.3
mag Anhaltswerte aufgrund von Auswertungen statistischer Daten für einige Versagensarten und
-ursachen geben (vergl. auch Abschnitt 5).
Art und Ursache des Versagens
k
Erdbeben [31] 0.01-1.0
Lawinen, Felsstürze, Explosionen, Anprallstoß, etc 0.01-1.0
Überschwemmungen, Stürme 0.0001-0.01
Plötzliches strukturelles Versagen in Vergnügungstätten 0.1-0.5
Feuer in Bauwerken [51] 0.0005-0.002
Feuer in Straßentunneln [124] 0.01-1.0
Tabelle 10.2.3: Anhaltswerte für k
Die Formulierungen Gl. (9.6.2.4) und (9.6.3.2) enthalten nicht das Kriterium Gl. (10.2.5.12) und
das mit gutem Grund. Am Optimum muß ∇ p Z(p) =0 gelten. Das wird für Gl. (9.6.3.2) ausgeschrieben
µ
∇ p1 Z(p 1 )=∇ p1 C(p 1 )
1+ ν+ (p 1 )
γ
·(C(p1 )+L M + L F )
+
γ
¸
∇ p1 ν + (p 1 ) =0 (10.3.2.7)
und mit dem Kriterium Gl. (10.2.5.12), verallgmeinert auf einzelne Projekte, mit vektoriellem
Parameter verglichen.
∇ p C(p 2 )+kN F G F Ē ∇ p2 ν + (p 2 ) ≥ 0 (10.3.2.8)
Wenn man den Term ν+ (p)
γ
in Gl. (10.2.9.7) vernachlässigt, sieht man, daß sehr oft (C(p 1 )+L M +
L F )/γ ≥ kN F G F Ē und somit kp 1 k ≥ kp 2 k sowie ν + (p 1 ) ≤ν + (p 2 ). Am Optimum ist das Kriterium
also fast immer erfüllt, wenn in Gl. (9.6.3.2) die Kompensationskosten berücksichtigt werden.
Wenn man Kompensationskosten, also L F = SlSCkN PE nicht berücksichtigt, ist das vile weniger
der Fall. Man hat sogar eine neue Interpretation des LQI-Kriteriums, da es bei Gleichheit die
Kuhn-Tucker-Bedingung des Problems min{S(p)} =min{C(p)+kN F G F Ē ν + (p)} darstellt.
Das vollständige Optimierungsproblem lautet damit
Maximiere:
Unter den Bedingungen:
Z(p) = b γ − C(p) − (C(p)+L M + L F ) · ν+ (p)
γ
g(u, p) =0
u i k∇ u g(u, p)k + ∇ u g(u, p) i kuk =0; i =1, ..., n − 1
h k (p) ≤ 0,k =1,...,q
∇ p C(p) ≥−kN F G F Ē ∇ p ν + (p)
(10.3.2.9)
317

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 10.2.9.1: Stationäre, extreme Beaufschlagung eines Systems durch einen markierten Poissonprozeß
Die Zielfunktion sei
Z(p)
C 0
= b γ − µ
1+ C 1
C 0
p a
−
µ
1+ C 1
C 0
p a + L M
C 0
+ L
F λ(p)
C 0 γ
mit λ(p) in Gl. (2) von Beispiel 9.4.1.1. Im einzelnen gelten die folgenden Parameter: C 0 =10 6 ,
C 1 =10 4 ,a=1.25,L M =3· C 0 ,V R =0.2,V S =0.3 und λ =1[1/Jahr] . Die LQI-Daten sind:
e =77,BIP = 25000, g = 15000, m=0.01, C δ =0.15, w=0.16,N F =1,k =0.1 so daß
L F =5.1 · 10 5 und kN P G F Ē =1.97 · 10 6 . Damit ist das Kriterium z.B. in Gl. (10.2.9.3)
d
dp (C 0 + C 1 p a d
)+kN P G ∆ē
dp (λP f(p)) = 0 (2)
(Man beachte, daß dF(x) =f(x)dx wenn F (x) differenzierbar).
Die Optimierung erfolgt getrennt für dieÖffentlichkeit und den Bauherrn. Für dieÖffentlichkeit
wird b =0.02 · C 0 und γ S =0.018 gewählt. Die Optimierung unter Einschluß der Kosten L F ergibt
p ∗ =4.11 dem eine Versagensrate von 2.5 · 10 −5 entspricht. Es ist Z S (p ∗ )/C 0 ≈ 0 und Z S (p)
ist positiv im Intervall p ∗ =[4.01, 4.28]. Kriterium (10.2.9.3) ist bereits für p lim =2.65 bei einer
Versagensrate von 2.4 ·10 −3 erfüllt. Z S (p lim ) ist negativ. Die Lösung von Gl. (9.7.2.2) weist einen
maximalen Zinssatz von γ max =0.019 bei p ∗ =4.08 aus. Der private Bauherr verwende fürseine
Nutzen-Kosten-Rechnung b =0.07 · C 0 und γ 0 =0.05 und setzt keine Lebensrettungskosten ein.
Die Berechnungen ergeben p ∗ =3.76 und eine Versagensrate von 7.1 · 10 −5 .Z O (p ∗ )/C 0 =0.339
und Z O (p)/C 0 ist positiv im Intervall p ∗ =[2.43, 19.13]. Der Vergleich der Errichtungskosten aus
gesellschaftlicher und privater Sicht bezeugt, daß die Gesellschaft nur 0.5% mehr Investitionskosten
fordert (vergl. im Einzelnen Abb. 10.10). Es ist aber zu berücksichtigen, daß eine Optimierung
fürdieÖffentlichkeit aus organisatorischen Gründen wohl kaum je durchgeführt wird.
(1)
Z(p)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
plim
Zielfunktion
des Bauherrn
Zielfunktion der
Öffentlichkeit
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p
Abb. 10.10.Zielfunktion für Bauherrn und Öffentlichkeit
#
318

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Beispiel 10.2.9.2: Definition einer ALARP-REGION
Das vorige Beispiel erlaubt auch sogenannte Risiko-Folgenkurven durch Variation der Anzahl der
Opfer bei einem Ereignis zu berechnen. Mit den gleichen Daten aber SLSC = 7 · 10 5 und
G x Ē(ρ,n)=4· 10 6 für N F =1wird zuerst zusätzlich die Kosteneffizienz, d.h. C 1 /C 0 , variiert.
Die oberen Kurven in Abb. 10.11 entsprechen dem Akzeptanzkriterium Gl. (2) in Beispiel
10.2.9.1. Die unteren Kurven entsprechen dem Optimum von Gl. (1) in Beispiel 10.2.9.1 mit
b S =0.02C 0 und γ S =0.0185.
0.1
0.01
1.10 3
h
1.10 4
1.10 5
C1/C0 = 0.1
C1/C0 = 0.01
1.10 6
1.10 7
C1/C0 = 0.001
1 .10 8
1 10 100 1.10 3
NF
Abb. 10.11.Akzeptable Versagensrate über der Anzahl der Opfer für verschiedene Effizienzparameter
C 1 /C 0 . Gestrichelte Linien entsprechen der optimalen Lösung.
Am realistischsten ist wahrscheinlich das Verhältnis C 1 /C 0 =0.001. In Abb. 10.12 sind die demographischen
Konstanten variiert. Ihr Einfluß ist offensichtlich gering. In beiden Abbildungen kann
man den Bereich zwischen oberer und unterer Kurve als ALARP-Bereich interpretieren (ALARP
= As Low As Reasonably Practicable).
Man beachte, daß die Versagensrate als λP f und die Anzahl der Opfer durch N F = kN PE gegeben
sind. Deshalb decken die Abbildungen den ganzen Bereich von λ und P f sowie von k und
N PE ab. Beide Kurven hängen jeweils explizit von der Nutzen- und der Zinsrate sowie von dem
speziellen physikalischen und stochastischen Sachverhalt ab. Die obere Kurve hat durchwegs
negative Gesamtkosten. Obwohl die Abbildung die Sachverhalte gut veranschaulicht, ist man geneigt
festzustellen, daß sie infolge der genannten Abhängigkeiten eher der Deutung in bestimmten
Anwendungen dienen kann als daß sie als Grundlage für Risikoakzeptanz durch die Öffentlichkeit
verwendet werden könnte.
#
319

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
1 . 10 3 NF
1.10 4
Not acceptable
1 . 10 5
h
ALARP
1.10 6
1.10 7
Acceptable
but suboptimal
c ∆E = 0.25
c ∆E = 0.50
c ∆E = 0.75
1.10 8
1 10 100 1.10 3
Abb. 10.12.Acceptable risk for different mortality regimes.
Beispiel 10.2.9.3: Optimierung der Bemessungnormen in einem erdbebengefährdeten Gebiet
In einem erdbebengefährdeten Gebiet treten Poissonsche Schadenerdbeben mit einer Rate von
λ =2.9 [1/Jahr] auf. Es seien nur Magnituden von m u =4.0 bis m o =7.5 mit einer bei m u
gestutzten Verteilung (Weibullverteilung für Maxima) von
F M (m) =
·
exp −
³
m o−m
m o−w
1 − exp
´k¸
· ³
− exp −
· ³
−
m o−m u
m o−w
´k¸
m o−m u
m o−w
´k¸ (1)
mit w =4.35 und k =8.11 betrachtet. Das entspricht einem Gebiet mittlerer bis hoher Seismizität.
Mit
a = h(m, r) =b 1 exp(b 2 m)(r 2 +7.3 2 ) −1/2 exp(−b 3 r)ε =exp(b 2 m)b(r)ε (2)
320

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
wobei b 1 =0.0955g, b 2 =0.573,b 3 =0.00587, fürdieEinhängebeschleunigung A des elastischen
Antwortspektrums ist
· ³ ´k¸
k (mo−h−1 (a,r)) k−1
(m o−w)
exp − (mo−h −1 (a,r)) dh −1 (a,r)
k m o−w
da
f A (a, r) =
1 − exp
· ³
−
m o −m u
m o−w
´k¸ (3)
mit m u ≤ h −1 (a, r) = 1 b 2
ln( a ) ≤ m b(r) o. ε ist der log-normalverteilte Fehler der Beziehung
in Gl.(2) mit Mittelwert 1 und Variationskoeffizient V ε ≈ 0.6. Die möglichen Epizentren der
Erdbeben seien in einem Gebiet mit Radius r max =200km um den Standort herum gleichverteilt.
Also ist die Dichte der Einhängebeschleunigung:
f A (a) =
Z rmax
0
f A (a, r) 2r dr (4)
rmax
2
Hierbei entspricht m o =7.5 bei r =0einer Beschleunigung von 9.44 [m/s 2 ]. Beschleunigungen
höher als 10 [m/s 2 ]muß man akzeptieren, da man sich gegen sie kaum durch bauliche Maßnahmen
schützen kann (Gebäude wie Anlagen der Infrastruktur). Bekanntlich streuen die maximalen Tragwerksantworten
bei gegebener Einhängebeschleunigung mit einem Variationskoeffizienten von
rund V S =60%und sind lognormal verteilt. Damit kann eine vereinfachte Grenzzustandsfunktion
in der Form
g(X) =R − KSAε ≤ 0 (5)
für die Schubbeanspruchung aufgestellt werden. Darin sei R der lognormalverteilt angenommene
Tragwerkswiderstand, K =1.0 eine Konstante, die alle systemspezifischen Eigenschaften enthält,
S eine Größe mit Mittelwert 1, die die Streungen der Tragwerksantworten erfaßt, und A die
Einhängebeschleunigung. Also ist die bedingte Versagenswahrscheinlichkeit gleich
⎛ n q o ⎞
p (1+V 2
⎜
ln
S )(1+VE 2)
K·m S·a·m E 1+VR
P f (p | a) =Φ ⎝−p 2 ⎟
ln ((1 + V
2
R
)(1 + VS 2)(1
+ V E 2)) ⎠ (6)
wenn p = m R der Bemessungsparameter wegen m S m E =1.0. with p = m R the design parameter
because m S m E =1.0. Die Zielfunktion (ohne Nutzenterm) ist
Z(p) = C(p)f(N PE )+ (7)
"
(C R (p, a)(1 − P f (p | a))f(N PE )) λ
+E +
#
γ
A
+((C(p)+L 0 + L M (a))f(N PE )+L F (a)) λP f (p|a)
γ
Das Aktzeptanzkriterium ist entsprechend:
·
d ¡
C0 + C 1 p δ¢ ≥−E A G
dp
∆ Ē(ρ,n) 1 ¸
2 (1 − exp(−0.25a))N d
PE
dp (λP f(p, a))
(8)
321

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Es wird die folgende, mehrfach verifizierte Beziehung zwischen maximaler Bodenbeschleunigung
und MSK-Intensität verwendet: log(a) =0.31MSK − 2.5. Wir unterscheiden zwischen Schäden
an Bauwerken nach einem Erdbeben und Bauwerkskollaps. Errichtung, Reparatur, Geschäftsverlust
und physischer Schaden sind leicht unterproportional zur Belegungsrate von Wohnhauseinheit
so daß f(N PE )=(N PE /3) 0.8 .C(p) = ¡ C 0 + C 1 p δ¢ sind die Erst- oder Wiedererrichtungskosten,
C R (p, a) =C(p)(1 − exp(−0.25a)) sind die Reparaturkosten unter Berücksichtigung,
daß die Reparaturkosten sich bei größerem a den Kosten der Wiedererrichtung annähern
und H M (a) =H M a 0.4 sind die physischen Schadenskosten. Letztere enthalten auch Infrastrukturkosten
fürgrößere a. Indirekte Kosten wie Geschäftsverluste werden durch H 0 = `C 0 genähert.
Die Bestimmung der Verluste an Menschenleben ist schwierig. Sie hängen ebenfalls von a ab, da
die Menschen einem Kollaps zunehmend nicht entgehen können, z.B. durch Flucht. Sofortiger Tod
hat dann eine Wahrscheinlichkeit von 0.3 bis 0.5 oder mehr aber manche sterben später nach Rettung
noch in den Krankenhäusern. Das führt auf L F (a) =SLSC 1(1−exp(−0.25a))N 2 PE fürdie
Kompensation des Verlusts an Menschenleben. Man beachte, daß der Faktor 1 (1 − exp(−0.25a))
2
hier die Konstante k in Gl. (10.2.9.3) ersetzt. Die Größe 0.25indiesenBeziehungenvariiertmit
dem Gebäudetyp und dem Baumaterial. Die Konkavität der Funktion in Bezug auf a bedeutet
Konvexität in Bezug auf MSK in Übereinstimmung mit der einschlägigen Literatur. Weiterhin
setzen wir an: C 0 =10 6 ,C 1 =3· 10 4 , δ =1.1,L M =5· 10 5 , γ =0.02,N PE =3. Die vorstehenden
Annahmen stimmen mit den Angaben in [31] und anderen Quellen im wesentlichen überein.
Der Schadensterm ist bedingt auf a. Die Erwartungswertoperation beseitigt die Bedingung. Die
nachstehende Tabelle enthält drei verschieden sozio-ökonomische Stufen.
Sozio-ökonomisches Klima Hoch Mittel Niedrig
g 23500 6500 1500
w 0.15 0.17 0.20
e 75 65 50
C δ 35 50 65
M 0.010 0.0075 0.02
L 0 3.62 C 0 1.0 C 0 0.23 C 0
(nach: Human Development Report 2001 [174] in US$ (1999))
Eine zusätzlich FORM/SORM-Analyse kann auch die Bemessungswerte a ∗ , die p ∗ entsprechen
sowie einige andere Resultate erbringen.
Sozio-ökonomisches Klima Hoch Mittel Niedrig
p ∗ 4.80 4.00 3.54
h(p ∗ )=λP f (p ∗ ) (FORM) 3.7·10 −4 6.3·10 −4 8.8·10 −4
1
Wiederkehrperiode
h(p ∗ )
2700 1600 1100
a ∗ 1.03 0.97 0.84
a ∗ s ∗ ε ∗ 3.11 2.76 2.43
C(p ∗ )/C 0 1.17 1.14 1.12
Die Bemessungswerte der Beschleunigungen a ∗ haben eine Wiederkehrperiode von ungefähr 120
Jahren. Daß sich diese Werte nicht stark mit dem sozio-ökonomischen Klima ändern zeigt, daß
E A [λP f (p | a)] sehr langsam mit a abnimmt. Die Werte a ∗ s ∗ ε ∗ < p ∗ sind ebenfalls angegeben.
Überraschenderweise ist das Akzeptanzkriterium Gl. (10.2.9.3) nicht aktiv und würde nur
Werte p lim von 1.5, 1.0 und 0.5 ergeben. Das Beispiel ist in gewisser Weise extrem, weil die Last-
322

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
seite ausgesprochen stark streut. Deswegen sind die Unterschiede für die verschiedenen sozioökonomischen
Klimata gering.
#
Beispiel 10.2.9.4: Variabler Zinssatz und endliche Anzahl von Wiedererrichtungen
Es gelte wie in Beispiel 9.4.1.1 ein Poissonprozess mit Intensität λ für das Auftreten von extremen
Belastungen und
⎛ n o ⎞
1+V 2
⎜
ln pq
S
1+VR
P f (p) =Φ ⎝−p 2 ⎟
ln ((1 + V
2
R )(1 + VS 2))
⎠ (10.3.2.10)
für die Versagenswahrscheinlichkeit bei einem Ereignis. Bei variablem Zinssatz und konstanter
Nutzenrate ist
Z(p) = b Z ∞
µ
e − R t
0 γ(τ)dτ dt − 1+ C
1
p a
C 0 C 0
eine geeignete Zielfunktion mit
µ
− 1+ C 1
p a + L M
C 0 C 0
0
g(t, p) =
+ L F
C 0
Z ∞
0
e − R t
0 γ(τ )dτ g(t, p)dt (10.3.2.11)
∞X
P f (p)f m (t)(1 − P f (p)) m−1 (10.3.2.12)
m=1
und da die Verteilung der Summe von exponentialverteilten Zeiten die Gammaverteilung ist
sowie
f m (t) = λ(λt)m−1
Γ(m)
exp [−λt] (10.3.2.13)
γ(t) =²δ + ρ max exp(−at); ²δ =0.02,a=0.013 (10.3.2.14)
In Gl. (1) stellt der erste Term den Nutzen bei Existenz der technischen Anlage dar, der zweite
Term sind die vom Parameter p abhängigen Ersterrichtungskosten und der dritte Term umfaßtdie
Wiedererrichtungskosten und die Schadenskosten.
Das Akzeptanzkriterium hat die Form:
d
dp (C 0 + C 1 p a d
) ≥−G ∆¯`kN PE
dp (λP f(p)) (10.3.2.15)
Weitere Parameter sind: C 0 =10 6 ,C 1 =10 4 ,a=1.25,H M =3· C 0 ,V R =0.2, V S =0.3, b=
0.05C 0 und λ =1[1/year] . Die LQI-Daten sind e =77,GDP = 25000, g= 17500, q =0.15.
Weiter ist N PE =100,k =0.1 so daß L F = SLSC kN PE =5.4 · 10 6 und G ∆ kN PE =5.0 · 10 7 .
Der Wert von N PE wurde für Demonstationszwecke relativ groß gewählt.
323

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Aus Gl. (2) berechnet man einen maximalen Zinssatz (vergl. Abschnitt 9.7.2). Bei konstantem
²δ =0.02 ist die maximale Zeitpräferenzrate
ρ max = Lösung von (Z(p opt , ρ) =0) (10.3.2.16)
d.h. ρ max =0.035.
Optimierung von Gl. (2) mit dieser Rate ergibt p opt =4.04 (h(p opt )=3.0 · 10 −5 ) für Z(p opt )=0.
Das Kriterium (6) erfordert p lim =3.61 (h(p lim )=1.1 · 10 −4 ). Man sieht, daß es besser ist, die
optimale Lösung zu wählen als nur das Akzeptanzkriterium zu erfüllen.
0.4
p lim
ρ = 0.03
0.2
Z(p)
0
0.2
ρ = 0.035
0.4
2 4 6 8 10
p
Zielfunktion und Akzeptanzgrenze für zwei Zeitpräferenzraten (durchgezogene Linie mit und
gestrichelte Linie ohne Kompensationskosten)
Kleinere ρ ≤ ρ max (oder größere Nutzenrate) verschieben das Maximum der Zielfunktion nach
oben (gepunktelte Linie).
Das Beispiel erlaubt auch die Anzahl der Wiedererrichtungen zu variieren. Wie man sieht kann
die Anzahl auf Lage und Größe des Optimums von erheblicher Bedeutung sein.
0
m = 1 2 3 5 10 50 100
0.05
Z(p)
0.1
0.15
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
p
Optimale Lösungen für verschiedene Anzahlen von Wiedererrichtungen
324

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
10.3.3. Anwendung auf Risiken aus toxischen Substanzen ∗
Für ständig wirksame, ubiquitäre Schadstoffe in der Luft, dem Boden oder dem Wasser hängt
dm oder de d(A,ρ,δ)
e d
gewöhnlich von der Dosis ab der die exponierten Personen ausgesetzt sind.
(A,ρ,δ)
Risikireduktionsmaßnahmen zielen darauf ab, die Dosis zu begrenzen oder sie zu vermindern.
Normalerweise müssen z.T. aufwendige Betrachtungen zur Freisetzung, Verbreitung und zur Exposition
sowie zur Prädisposition durchgeführt werden. Es sei dm = ∆ = f(d) die Dosis-
Mortalitätsbeziehung. Es sei zunächst angenommen, daß die Wirkung des Schadstoffes nicht vom
Alter abhängt, d.h. µ ∆T (a) =µ(a)+∆. Dagegen sei eine Latenzzeit zu berücksichtigen. Tatsächlich
muß nur die Latenzzeit in der Beziehung zwischen demographischer Konstante und Mortalität
entsprechend modifiziert werden. Für eine (deterministische) Latenzzeit der Größe T ist dann
Z
R h
au
au−T (t − (a + T )) exp −( R t
µ(τ)dτ + R i
t
ρ(τ)dτ + δ(t − a))) dt
a+T a a
C ∆ē (ρ, δ,T)=−
R h
au
0
exp −( R t
µ(τ)dτ + R i h(a, n)da
t
ρ(τ)dτ + δ(t − a))) dt
a
a a
(10.3.3.1)
In der einschlägigen Toxikologie wird häufig jedoch auch eine proportionale Änderung der altersabhängigen
Mortalität angesetzt. Dann findet man mit µ πT (a) =µ(a)(1 + π)
Z
R au
R h
t
au−T µ(τ)dτ exp −( R t
µ(τ)dτ + R i
t
ρ(τ)dτ + δ(t − a))) dt
a+T a 0 a
C πē (ρ, δ,T)=−
R h
au
0
exp −( R t
µ(τ)dτ + R i h(a, n)da
t
ρ(τ)dτ + δ(t − a))) dt
a
a a
(10.3.3.2)
Eine deterministische Latenzzeit ist eine Näherung. Man wird aber kaum Daten finden, die ein
besseres Modell belegen können. Die demographische Konstante nimmt, wie erwartet, mit der
Latenzzeit ab (vergl. Abb. 10.13)
80
60
40
( )
C ∆ , T
20
C( δ , T)
0
0 20 40 60 80 100 120
Latenzzeit T [Jahre]
Abb. 10.13.Demographische Konstanten C ∆ē,δē (., ., T ) über Latenzzeit für deutsche Sterbetafel (∆ konstante
Mortalitätsänderung, δ proportionale Mortalitätsänderung)
325

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Man erkennt die kombinierte Wirkung der Verzinsung und dem kleiner werdenden Anteil der betroffenen
Bevölkerung. Also ist
dC Y = −dg ≥− g ¸
·ded
q E (A, ρ, δ)
A
≈− g e d (A, ρ, δ) q C ∆¯`(ρ, δ,T)dm = − g q C ∆ē(ρ, δ,T)f(d)
(10.3.3.3)
10.4. Nachhaltigkeitsaspekte*
1987 legte die sogenannte Brundtland-Kommission der Vereinten Nationen ihren Bericht ’’Unsere
gemeinsame Zukunft’’ vor. In diesem Bericht wurde hervorgehoben, daß die weitere Entwicklung
nur eine Nachaltige Entwicklung sein könne. ’’Nachhaltige Entwicklung ist eine Entwicklung,
die den Bedüfnissen der heutigen Generation entspricht, ohne die Möglichkeiten zukünftiger Generationen
zu gefährden, ihre eigenen Bedürfnisse zu befriedigen’. Das Wort Nachhaltigkeit wurde
im 16. Jahrhundert von einem Forstfachmann geprägt. Man sollte nicht mehr Bäume schlagen als
nachwachsen. Studien wie die des Club of Rome [110] [109] und viele andere sagen nämlich in
den nächsten Jahren einen rapiden Abbau der natürlichen, nicht erneuerbaren Ressourcen wie der
Bodenschätze und der fossilen Energieträger voraus, ein starkes Anwachsen der Weltbevölkerung
und damit der Industrieproduktion um die Nachfrage zu befriedigen und, wiederum damit verbunden,
eine starke Verschmutzung der Umwelt, von Boden, Luft und Wasser, sowie, z.T. durch letztere
verursacht, die Verknappung von landwirtschaftlich nutzbarem Land. Der Artenreichtum in Fauna
und Flora sinkt rapide ab. Unterbezahlung, technologische (strukturelle) Arbeitslosigkeit und
Armut werden zumindest regional zunehmen. Diese Entwicklungen werden, abgesehen vom anders
begründbaren Anstieg der Lebenserwartung und dem Zuwachs der Weltbevölkerung, fast ausschließlich
durch die den erhöhten Konsum befriedigende, industrielle Produktion verursacht. Die
Lebenserwartung wird zwar bald an eine biologische Grenze stoßen. Die Weltbevölkerung wird
sich nach den meisten Voraussagen aus verschiedenen Gründen bei rund 10 Milliarden einpendeln.
Die sozialen Unterschiede in den Industrieländern werden größer werden. Ob ein Ausgleich
zwischen reichen und armen Ländern möglich ist, ist offen. Auch ist offen, ob in den heute ärmeren
Ländern je ein Zustand der sozialen Absicherung wie in den Industrieländern erreicht wird.
Ein Kollaps unserer Gesellschaften in den nächsten 20 bis 50 Jahren ist in einer ganzen Reihe von
Szenarien nicht auszuschließen - aber auch nicht unbedingt notwendig. Nachdem die Grenzen des
Wachstums erreicht sind, mit oder ohne Kollaps, sinken Lebenserwartung, Nahrungsmittel- und
Industrieproduktion, die Bevölkerung nimmt ab, es kommt zu sozialen Instabilitäten, etc. (vergl.
Abb. 10.14). Die Existenz von ’Grenzen des Wachstums’ ist unbestritten. Der Ausweg kann nach
dem Brundtland - Bericht nur in einer nachhaltigen Entwicklung liegen. Es gibt viele Stimmen,
die bestreiten, daß überhaupt noch ein Wachstum möglich sein wird. Besonders im Hinblick auf
die nicht erneuerbaren Ressourcen besteht Übereinkunft, daß die Rate der Erschöpfung natürlicher
Ressourcen mindestens mit der Rate des Ersatzes durch Alternativen übereinstimmen muß.
Ebenfalls besteht Übereinkunft, daß die Umwelt nicht länger durch die Begleiterscheinungen der
industriellen Produktion belastet werden darf.
Nachhaltigkeit (sustainability) muß auch bei Sicherheitsüberlegungen eine Rolle spielen, denn
heute wird in Sicherheit für morgen, ja fürkünftige Generationen, investiert. Dabei sind demographische
und volkswirtschaftliche Aspekte getrennt zu berücksichtigen.
Der Grundsatz der Nachhaltigkeit ist vor allem beim Ansatz des BIP und seiner Zuwachsrate zu
beachten. Ausgangspunkt ist die in Abschnitt 10.2. getroffene Übereinkunft, daß das BIP und da-
326

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Abb. 10.14.Voraussagen der wichtigsten Indikatoren für die Entwicklung der Welt nach [109]
mit der Konsum ein Maß für die Lebensqualität ist. Dieser Zusammenhang zwischen Konsum
und Lebensqualität im eigentlichen Sinne wird zumindest in den Industrieländern immer ernsthafter
bestritten. Die zunehmende Industrialisierung, der damit verbundene Umweltverbrauch
und die Umweltverschmutzung steigern das BIP ohne die eigentliche Lebensqualität zuerhöhen.
Aufwendungen für die Verminderung von Erscheinungen, die gerade durch die Industrialisierung
(z.B. Luftverschmutzung, Ozonloch, erhöhte Temperatur durch CO 2 ) entstanden sind oder noch
entstehen, tragen zum BIP bei. Sie erhöhen aber keineswegs das Wohlergehen und den Wohlstand
sondern erhalten nur oder stellen gegebenenfalls schon verlorene Lebensqualität wieder her.
Müllbeseitigungsanlagen und Recyclinganlagen, notwendig geworden wegen erhöhter Produktion,
können die Lebensqualität nicht verbessern. Vor allem wird der Verbrauch nicht erneuerbarer,
natürlicher Ressourcen auf Kosten zukünftiger Generationen nicht angemessen berücksichtigt
[133] . Das widerspricht dem Prinzip der Nachhaltigkeit. Die Art wie das BIP berechnet wird
und wie es als Indikator für Wohlergehen und Wohlstand, d.h. wirklicher Lebensqualität, einer
Gesellschaft interpretiert wird, wird daher in neuerer Zeit heftig kritisiert [77] ,[30] .
Es besteht Übereinstimmung, daß es besser wäre einen Indikator zu haben, der ein ’’nachhaltiges’’
Wohlergehen und einen ’’nachhaltigen’’ Wohlstand quantifiziert. Dann müßte das klassische
BIP reduziert werden und es würde wohl, jedenfalls in den meisten Industrieländern, kaum noch
wachsen. Leider herrscht bislang noch keine Übereinstimmung wie groß eine solche Reduktion
sein müßte. Während die Zuwachsrate des (klassischen) BIP für die vergangenen 150 Jahre
also durchaus mit einem realen Anstieg der Lebensqualität verbunden war, kann man das für die
Zukunft kaum noch erwarten. Das klassische BIP müßte durch ein nachhaltiges Nationaleinkommen
ersetzt werden und nur dieses ist für die Risikominderung von technischen Anlagen verfügbar.
Aufwendungen für die Umwelt erhaltende oder wiederherstellende Maßnahmen, zur Verhinderung
von Landnutzung durch Verkehrswege und Bebauung oder zum Erhalt landwirtschaftlicher Nutzfläche
(bei Versteppung, Versalzung, etc.), für die sich erhöhenden Preise, oder besser Abschreibungen,
für nicht erneuerbare Naturschätze und/oder deren aufwendigen Ersatz durch Alternati-
327

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
ven, usw., sollten bei der Berechnung des nachhaltigen Nationaleinkommens von der Summe der
privaten Einkommen durch Arbeit und Kapital abgezogen werden. Es ist klar, daß hierzu eine
Vielzahl von z.T. sehr komplizierten Bewertungsfragen zu lösen sind. Außerdem existieren in diesem
Bereich noch erhebliche statistische Defizite. Erste Schätzungen besagen, daß das nachhaltige
Nationaleinkommen 33 in Industrieländern z.T. weniger als 50 % des klassischen BIP beträgt [36]
[178] . Damit wären die Prinzipien der Nachhaltigkeit schon vor 20 und mehr Jahren verletzt worden.
Es bleibt also weniger für den privaten Konsum (nach Abzug der Abschreibungen verbleiben
etwa 40%) und damit für Risikoverminderung übrig, wenn dem Prinzip der Nachhaltigkeit Vorrang
eingeräumt wird. Es sei hier noch einmal hervorgehoben, daß wir hier nicht primär an einem umfassend
gültigen ’’Ökosozialprodukt’’, wenn ein solches überhaupt Sinn macht, interessiert sind,
sondern an den Mitteln, die unter Beachtung des Nachhaltigkeitsprinzips für die Risikoverminderung
von technischen Anlagen zur Verfügung stehen bzw. stehen werden. Eine Zuwachsrate, wenn
es sie noch geben wird, wird wohl wesentlich kleiner als jene in Tabelle 10.2.3 ausfallen. Nimmt
man an, daß 1992 das nachhaltige Sozialprodukt auf die Hälfte, und zwar, nicht ganz realistisch,
bei allen Ländern in Tabelle 10.2.3 gleichmäßig, abgesenkt werden muß, während für 1870 keinerlei
Abzüge getätigt werden da damals noch nachhaltiges Wachstum herrschte, berechnet man
nur noch Zuwachsraten von 0.6 bis 1.9%, im Mittel 1.3 %. Dabei kann die ProduktivitätalsWirtschaftsleistung/Jahresarbeitsstunden
durch neue Technologien durchaus noch wachsen. Sie wird
aber durch eine kleinere Lebensarbeitszeit kompensiert werden müssen um im Hinblick auf Nachhaltigkeit
wachsenden Konsum mit den Folgen für die Umwelt auszuschließen [160] .
Auch mit einem verbesserten, nachhaltigen Sozialprodukt kann man natürlich das Bevölkerungswachstum
(auf Weltniveau) und die Tendenz zur ungleichen Einkommensverteilung zwischen und
innerhalb der Länder, zwei andere den drohenden Kollaps mitbestimmende Faktoren, nicht erfassen.
Für die hier interessierenden Betrachtungen zum optimalen Kosten-Nutzenoptimum und zur Sicherheit
technischer Anlagen bedeutet das, daß Ausgaben für Sicherheit ebenfalls nur vom nachhaltigen
Nationaleinkommen getätigt werden sollten, da sonst die heutigen Generationen mehr
Sicherheit erführen als zukünftige. Die Konstante G x müßte in etwa halbiert werden aber die erwarteten
Schadenskosten in Optimierungsansätzen mit einem geringeren Zinssatz verzinst werden.
Natürlich ist beim Ansatz von Zielfunktionen für eine Optimierung nur die Strategie mit systematischem
Wiederaufbau oder systematischer Unterhaltung nachhaltig. Kriterien der Art (10.2.4.16)
dürften wegen des kleineren Zinssatzes größere Sicherheit fordern. Andererseits würden die z.B.
mit ’’Nachhaltigkeitssteuern’’ belegten energie- und rohstoffintensiven Baustoffe und ihre umweltverträgliche
Beseitigung zu größeren Kosten C(p) führen und damit am Optimum zu weniger sicheren
Anlagen führen.
33
Ein Beispiel für die Berechnungsweise eines nachhaltigen, ökologisch orientierten Sozialproduktes ist
ÖSP = Nettosozialprodukt
- Abschreibung wegen Erschöpfung nicht regenerativer Ressourcen (Bodenschätze und biologische Ressoucen)
- Kosten durch Umweltverschmutzung an ökonomischen Gütern (Bauwerke, Forste, Böden)
- Kosten wegen Beeinträchtigung menschlicher Gesundheit durch Umweltverschmutzung
- Vermeidungskosten von Umweltverschmutzung (Abfallbeseitigung, CO 2 , Verlust der Ozonschicht)
Die Abzüge sind hierbei in monetären Einheiten zu bewerkstelligen. Deren Quantifizierung aus Statistiken der
physikalischen und biologischen Gegebenheiten sind das Hauptproblem.
328

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Kapitel 11.
Anwendung in Bauvorschriften
11.1. Teilsicherheitsfaktoren - Stand der Normung
11.1.1. Zeitinvarianter Fall
Es liegt nahe, die in der Bemessungspraxis verwendeten Sicherheitsbeiwerte auf den Bemessungswert
zu beziehen. Ist x c,i ein charakteristischer Wert der Größe i (vergl. Abschnitt 2.2.3), so gilt
generell
γ i = x∗ i
x c,i
(11.1.1.1)
für Widerstandsvariable (positive Ableitung der Grenzzustandsfunktion) und
γ i = x c,i
x ∗ i
(11.1.1.2)
für Lastvariable (negative Ableitung der Grenzzustandsfunktion). Dabei ist
x ∗ i = F i
−1 (Φ(u ∗ −1
i )) = Fi (Φ(−α i β)) (11.1.1.3)
Diese Definitionen sind gültig bei unabhängigen Variablen. α i entspricht exakt dem Richtungskosinus
des β−Punktes im Standardraum und β =+ku ∗ k. Bei abhängigen Variablen muß man ein
neues repräsentatives α r,i aus
α r,i = −Φ−1 (F i (x ∗ i ))
β
(11.1.1.4)
bilden, welches nur bei unabhängigen Variablen mit α i übereinstimmt. α r,i sollte dann in Gl.
(11.1.1.3) benutzt werden. Hierzu muß u ∗ in x ∗ zurücktransformiert werden. Damit kann festgestellt
werden, daß zwischen einer probabilistischen Betrachtung 1. Ordnung und einer deterministischen
Bemessung eindeutige Korrespondenz hergestellt werden kann. Bei genaueren probabilistischen
Verfahren definiert man
x ∗ i = F −1
i (Φ(−α r,i β E )) (11.1.1.5)
mit β E wie in Gl. (3.3.1). Diese Gleichung muß auch angewandt werden, wenn der Versagensbereich
der Durchschnitt von Versagensmengen ist. Bei Seriensystemen gilt Gl. (11.1.15) für jede
Systemkomponente.
Beispiel 11.1.1.1: Teilsicherheitsbeiwert einer normalverteilten Last
Die Last sei mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ normalverteilt. Bei gegebenem α S und
β sowie charakteristischem Wert als p S %-Quantil s c ist
Φ( s∗ − µ
) = Φ(u ∗
σ
S)=Φ(−α S β) (1)
s ∗ = −α S βσ + µ
329

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Man beachte, daß α S füreine’’Lastvariable’’ negativ ist. Also ist
γ S = s∗
s c
= −α Sβσ + µ
Φ −1 (p S )σ + µ
(2)
#
Beispiel 11.1.1.2: Teilsicherheitsbeiwert einer lognormalverteilten Widerstandsgröße
Wenn eine Widerstandsgröße unter sonst gleichen Umständen lognormalverteilt ist, berechnet man
γ R = r c
r ∗ =
r c
h
µ exp − 1 ln(1 + V 2 2 ) − α R β [ln(1 + V 2 )] 1/2i ≈
r c
µ exp [−α R βV ]
(1)
mit V = σ/µ.
#
Beispiel 11.1.1.3: Teilsicherheitsbeiwert einer weibullverteilten Widerstandsgröße
Die Widerstandsgröße R sei entsprechend
· ³ r
´k¸
F R (r) =1− exp −
w
verteilt. Bei gegebenem α R und β sowie charakteristischem Wert als p R %-Quantil ist
" µ #
r
∗ k
1 − exp − = Φ(−α R β) (1)
w
und somit
und
r ∗ = w [− ln(Φ(α R β))] 1/k (2)
γ R = r c
r = [− ln(Φ(Φ−1 (p R )))] 1/k
(3)
∗ [− ln(Φ(α R β))] 1/k
#
In neueren Vorschriften wird sogar folgende Näherung zugelassen, und zwar:
α R =0.8
α R ≈ 0.4
α S =0.7
α S ≈ 0.4
für die dominante Widerstandsvariable
für alle anderen Widerstandsvariablen
für die dominante Lastvariable
für alle anderen Lastvariablen
Damit ist die Bedingung P n
i=1 α2 i > 1 und daher mit Ausnahme des Falles, daß jeweils nur eine
Zufallsvariable gegenwärtig ist, übererfüllt. Die Näherungen für dieα gelten nur für unabhängig
Zufallsvariable. Die Teilsicherheitsbeiwerte können damit ohne genaue Rechnung und ohne
genaue Kenntnis des mechanischen Zusammenhangs für jedes Sicherheitsniveau, jede Verteilungsfunktion
und Parameterkombination berechnet werden - natürlich nur in grober Näherung. Wenn
nur eine Variable dominiert bzw. viel stärker streut als alle anderen, sollte man für diese Variable
α i =1setzen.
330

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
11.1.2. Definition von charakteristischen Werten
Wie schon in Abschnitt 2.2.3 erwähnt, ist man übereingekommen, charakteristische Werte fürFestigkeiten
als 5%-Quantilen, veränderliche Lasten als 98%-Quantilen (der jährlichen Extrema), Eigengewichte
und andere ständig wirkende Lasten durch ihre Mittelwerte und geometrische Kenngrößen
ebenfalls durch Mittelwerte zu definieren. Füraußergewöhnliche Einwirkungen wählt man
oft eine mittlere Wiederkehrdauer von 500 Jahren. Bei veränderlichen Lasten hat das 98%-Quantil
eine mittlere Wiederkehrdauer von 50 Jahren, eine alternative Definition.
Wenn der charakteristische Wert direkt aus Versuchen oder Beobachtungen gewonnen wird, ist er
als p%-Quantil in der prädiktiven Verteilung (oder Bayesschen Verteilung), d.h. in
F X (x) =
Z ∞
−∞
F X (x | θ)f Θ “ (θ)dθ (11.1.2.1)
definiert (vergl. Gl. (2.2.5.2)). Hierin ist nach Bayes die sogenannte a posteriori Dichte
f “ Θ(θ) =
`(x |θ)f 0 Θ (θ)
R ∞
−∞ `(x | θ)f 0 Θ (θ)dθ (11.1.2.2)
mit `(x |θ) der Likelihoodfunktion der Stichprobe x und f 0 Θ(θ) der a priori Dichte des Parametervektors
Θ. Für eine Normalverteilung und ohne jede Vorinformation (ν = n−1) ist beispielsweise
x c = x n + k n s n (11.1.2.3)
mit
k n = T −1 (p, ν)
q
Φ −1 (p)
q
n+1
n
Standardabweichung unbekannt
n+1
n Standardabweichung bekannt (11.1.2.4)
Hierin ist T −1 (p, ν) die Inverse der zentralen t-Verteilung mit Freiheitsgrad ν. Bei bekannter Standardabweichung
ist s n durch σ zu ersetzen. Bei einer Lognormalverteilung bildet man x n und s n
für die Logarithmen der Einzelwerte und der charakteristische Wert ist x c =exp[x n + k n s n ] . In
diesen Formeln ist nur die aktuelle Stichprobe, gekennzeichnet durch x n ,s n und n, berücksichtigt.
Wenn Vorinformationen vorliegen, also in Form von x 0 n,s 0 n und n 0
bzw. ν 0 , kann man sich
neue Werte x 00 ,s 00 und n 00
sowie ν 00 wie folgt errechnen.
n 00 = n + n 0
x 00 = xn+x0 n 0
n+n 0
n 00 = n + n 0
: Standardabweichung bekannt
x 00 = xn+x0 n 0
n+n h
0
s 00 2 ν 00 = ν 0 s 02 i
+ n 0 x 0 2
+[νs 2 + nx 2 ] − n 00 x 00 2
ν 00 = ν 0 + δ(n 0 )+ν + δ(n) − δ(n 00 )
: Standardabweichung unbekannt
(11.1.2.5)
331

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Man beachte, daß die Stichproben für x 00 und s 00 unterschiedlich groß sein können, nämlich n 00 bzw.ν 00 .
Ähnliche Formeln gibt es für eine Reihe von anderen Modellen.
Wie soll man die Qualitätskontrolle (Eigen- und Fremdüberwachung) einstellen? Wann sind die
Anforderungen erfüllt? Hier hat sich keine einheitliche Vorgehensweise durchgesetzt. Unter Berücksichtigung
der Tatsache, daß in der Eigenüberwachung im allgemeinen sehr viele Proben anfallen,
kann man aber für die Feststellung des langfristigen Qualitätsniveaus ebenfalls Gl. (11.1.2.3),
und nicht, wie häufig vorgeschlagen, eine Toleranzgrenze, nehmen. Die Fremdüberwachung hat
dann, statistisch gesehen, mittels eines Vergleichstests (z.B. t-Test) nur noch die Zugehörigkeit beider
Stichproben zur gleichen Grundgesamtheit festzustellen. Offen ist hier die Irrtumswahrscheinlichkeit
α des Tests. Sie mag zu α =0.05 oder α =0.1 gewählt werden. Die für die laufende
Kontrolle in der Eigenüberwachung maßgebende Abnahmevorschrift (vergl. Beispiel 4.5.4) ist
dann weitgehend Sache des Produzenten. Sie wird u.a. dadurch bestimmt, daß immer auch das
langfristige Qualitätsniveau eingehalten werden muß (vergl. auch Beispiel 4.5.4).
11.2. Zeitvarianter Fall - Lastkombination
Ein erster Vorschlag zur Ableitung von Teilsicherheitsfaktoren bei Gegenwart von stationären Lasten
stammt von Turkstra [170] . Turkstra nahm bekanntlich an, daß die Lasten unabhängig sind
und berechnete eine untere Schranke für die Versagenswahrscheinlichkeit, indem er unterstellt,
daß zu einem beliebigen Zeitpunkt jeweils eine Last ihr Extremum annimmt während alle anderen
Lasten einen Wert aus ihrer Augenblicksverteilung realisieren. Also ist
½
¾
P f ≥ max n i=1 P (g(R, Q, S 1 (τ),S 2 (τ),..., max {S i(τ)} ,...,S n (τ)) ≤ 0 (11.2.1)
0≤τ≤t
Das ist eine untere, in der Regel unter den genannten Voraussetzungen gar nicht so unkonservative
Schranke, weil die größte Wahrscheinlichkeit auch zu anderen Zeitpunkten erreicht werden kann.
Beispiel 11.2.1: Anwendung der Turkstraschen Regel
Wir betrachten ein einfaches Beispiel mit der Zustandsfunktion
M = R − S 1 + S 2 (1)
R sei normalverteilt, S 1 sei ein Sprungprozeß mit Rate λ und dessen Amplituden rayleighverteilt
sind und S 2 sei eine gumbelverteilte Zufallsfolge mit n =50’’Wiederholungen’’,d.h.
R ∼ Φ( r − m R
) (2)
σ R
"
S 1 ∼ 1 − exp − 1 µ # 2 s1
(3)
2 a 1
S 2 ∼ exp [− exp [−a 2 (s 2 − u 2 )]] (4)
Die zu S 1 und S 2 gehörigen Extremwertverteilungen im Zeitraum [0,t] sind (vergl. Gl. (7.3.2.2)
und 7.2.1.1)
" "
max {S 1} ∼ exp −λt exp − 1 µ ## 2 s1
(5)
0≤τ≤t 2 a 1
332

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
· µ
max {S 2} ∼ exp − exp
·−a 2 s 2 − u 2 − 1 ¸¸
ln(n)
0≤τ≤t a 2
(6)
Die Bemessungswerte x ∗ i lassen sich bei gegebenem α i und β analytisch bestimmen.
r ∗ s ∗ 1q
s ∗ 2
Komb. 1 m R − α R βσ R a 1 −2ln(− ln(Φ(−αs 1 β))
) − 1 λt a 2
ln(− ln(Φ(−α s2 β))) + u
p 2
Komb. 2 m R − α R βσ R a 1 −2ln(Φ(αs1 β)) − 1 a 2
ln(− ln(Φ(−α s2 β))) + u 2 + 1 a 2
ln(n)
Die Bemessungswerte der Lasten kann man nun durch den jeweiligen charakteristischen Wert teilen.
Für jede Kombination erhält man einen Teilsicherheitsbeiwert für das extremale Niveau und
aus der Augenblicksverteilung. Diese sind natürlich verschieden und man kann γ augenbl. = γ extr. ψ
setzen, also in diesem Beispiel (ohne die möglichen algebraischen Vereinfachungen):
Kombination 1 1 1
Kombination 2 1
ψ r ∗ ψ s ∗
1
ψ s ∗
2
a 1
√
−2ln(Φ(αs1 β))
a 1
q
−2ln(− ln(Φ(−αs 1 β))
λt )
− 1 ln(− ln(Φ(−α a s2 β)))+u 2
2
− 1 ln(− ln(Φ(−α a s2 β)))+u 2 + 1 ln(n)
2 a 2
ψ hängt im einzelnen von den stochastischen Charakteristiken der betreffenden Last ab. Einige
der modernen Bemessungsvorschriften gehen genau so vor. In den EUROCODES wird folgendes
Lastkombinationsschema bei linear superponierten Lasten (Lastwirkungen) vorgeschlagen.
γ D D k + γ i L ki + X γ j ψ ij L kj
j6=i
1
Darin ist D k der charakteristische Wert der (in der Zeit) unveränderlichen Lasten (Lastwirkungen)
und L ki der charakteristische Wert der zeitunveränderlichen Lasten (Lastwirkungen). ψ ij (≤ 1)
ist also nichts anderes als der Reduktionsfaktor für die charakteristische Last L kj , wenn L ki die
Leiteinwirkung ist. Diese Schema wird, durch ausführliche Untersuchungen belegt, anderen Alternativen
als überlegen erachtet.
#
Die Turkstrasche Regel ist an einschneidende Annahmen gebunden. Man kann mit ihr keine intermittierende
Lasten behandeln. Die Lasten müssen unabhängig sein. Außerdem liefert sie nur eine
untere Schranke für die Versagenswahrscheinlichkeit, die aber, wie man mit den Betrachtungen in
Abschnitt 7.3.6 zeigen kann, nahe an dem richtigen Wert liegt. Auch das einfache Modell in Abschnitt
7.2.1 belegt das. Es ist aber möglich aus den Grundlagen in Abschnitt 7 ein System zur
Ableitung von Teilsicherheitsbeiwerten und gegebenenfalls ψ-Beiwerten zu entwickeln, welches
die genannten Einschränkungen nicht besitzt. Hierauf kann nicht eingegangen werden.
11.3. Ermüdungsnachweise
Ermüdungsnachweise sind durchwegs etwas heikel, da die experimentelle Grundlage oft nicht sehr
gut ist. Man geht meist von Wöhlerlinien, d.h. von N = C∆Seq
−m mit N der ertragbaren Lastspielzahl
füreineäquivalente Einstufenbelastung ∆S eq , aus. C und m sind experimentell für jeden
Baustoff, jedes Bauteil und jedes Konstruktionsdetail ermittelte Materialkonstanten. Gelegentlich
muß der Einfluß der Mittelspannung mitberücksichtigt werden und es werden zwei Neigungen
333

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
der Wöhlerlinie, z.B. m =3für große ∆S eq und m =5für kleine ∆S eq angegeben. Für die
äquivalente Einstufenbelastung gilt die Definition Gl. (6.3.2.7). Darin ist n die Anzahl der ermüdungswirksamen
Lastspiele in der vorgesehenen Nutzungsdauer. ∆S enthält gegebenenfalls
Spannungskonzentrationsfaktoren (Kerbfaktoren) und ist aus der Kombination aller ermüdungswirksamen
Beanspruchungen zu bilden. Man unterstellt, daß jeder einzelne Beanspruchungszyklus
jeweils nur kleine Schädigungen hervorruft und man daher entsprechend Beispiel 7.7.1 vorgehen
kann. Eine Formulierung als Schwellenwertproblen wie in Beispiel 7.7.2 wird generell
vermieden. Wenn die Betriebsbelastung im wesentlichen deutlich unterhalb einer Dauerfestigkeit
liegt, kann man den Nachweis wie folgt führen:
γ ∆S max {∆S;[0,n s ]} ≤ ∆s D
γ ∆sD
(11.3.1)
Der Nachweis ist also bei Betriebsbelastung nicht unabhängig von der beabsichtigten Nutzungsdauer
n s .Bei beliebiger Betriebsbelastung muß man anders vorgehen. Um die Streuungen der
Lebensdauern bei gleicher vorgegebener Einstufenbelastung zu berücksichtigen, setzt man eine
Verteilung, z.B. die Weibullverteilung, an und man hat eine Nachweisgleichung der Form
" µ #
ns ν k
1
1 − exp −
≤ Φ (−β(n
K∆Seq
−m
s )) (11.3.2)
die auf verschiedene Weise noch umgeformt werden kann. n s ist die beabsichtigte Nutzungsdauer
in Jahren und ν 1 die Anzahl der Spannungszyklen pro Jahr. Anstelle der Weibullverteilung kann
auch eine Log-normalverteilung genommen werden. Hier machen Teilsicherheitsfaktoren wie in
Gl. (11.1.1.1) oder (11.1.1.2) keinen Sinn, da die wesentliche Unsicherheit in der Lebensdauer
bei gegebenem ∆S eq liegt. ∆S eq mag allenfalls mit einem Beiwert beaufschlagt werden, der die
nicht-ergodischen Unsicherheiten in ∆S abdeckt.
Bei Wöhlerlinien wird meist von den charakteristischen Werten ausgegangen. Bei Bayesscher
Betrachtungsweise sind die Werte dann mithilfe Bayesscher Regression zu berechnen. Wir geben
zunächst die Formeln für normalverteilte Residuen an. Nunmehr ist für einen vorgegebenen Wert
x 0
y c = a 0 + a 1 x 0 + k n s n (11.3.3)
Hierin ist:
a 0 = ȳ − a
P 1¯x
n
i=1
a 1 =
x iy i − n¯xȳ
P n
i=1 x2 i − n¯x 2
nX
¯x = 1 n
ȳ = 1 n
i=1
nX
i=1
x i
y i
334

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
s 2 =
1
n − 2
nX
(y i − a 0 − a 1 x i ) 2
i=1
k n = T −1 (p, ν)
µ1+ 1 n + (¯x − x 0) 2
P n
i=1 (x i − ¯x) 2 1/2
(11.3.4)
mit Freiheitsgrad ν = n − 2. Angewandt auf Wöhlerlinien bedeutet das, daß ln(N) =ln(C) −
m ln(∆S) und daher y =ln(N),x =ln(∆S),a 0 =ln(C),a 1 = −m. Der charakteristische Wert
von N ist bei gegebenem x 0 =ln(∆s eq ) gleich N c =exp[y c ]. Wird der Parameter m bzw. a 1
gesetzt, ist der Freiheitsgrad ν = n − 1 und der Nenner in der Formel für s 2 ist n − 1. Diese
Betrachtungsweise impliziert eine Lognormalverteilung für die Lebensdauern. Die charakteristischen
Wöhlerlinien entsprechen oft dem 2%-Quantil.
11.4. Vorgesehene Lebensdauern und Zielzuverlässigkeiten
Für die Erarbeitung von Vorschriften sind einige Vereinbarungen zu treffen. Es ist festzulegen, auf
welchen Zeitraum eine Zuverlässigkeitsvorgabe zu beziehen ist und ob sich die Zuverlässigkeitsvorgabe
auf Systemkomponenten oder auf das System selbst bezieht. Im Rahmen der Arbeiten für
die EUROCODES sind folgende Festlegungen getroffen worden.
Grenzzustand der Tragfähigkeit
Erwartete Versagensfolgen
Relativer Aufwand der Maßnahmen Unbedeutend Normal Groß
Hoch 2.8 3.3 3.8
Normal 3.3 3.8 4.3
Gering 3.8 4.3 4.8
Tabelle 11.4.1: Zuverlässigkeitsindizes β(n s =50Jahre) für den Grenzzustand der Tragfähigkeit
Relativer Aufwand der Maßnahmen Grenzzustand der Gebrauchsfähigkeit
Hoch 1.0
Normal 1.5
Niedrig 2.0
Tabelle 11.4.2: Zuverlässigkeitsindizes β(n s =50Jahre) für den Grenzzustand der Gebrauchsfähigkeit
Inspektions- und Reparaturmöglichkeit
Grenzzustand der Dauerhaftigkeit
Regelmäßige Inspektion vorgesehen, kleine Schadensfolgen 1.5
Inspektion eingeschränkt möglich, große Schadensfolgen 3.0
Tabelle 11.4.3: Zuverlässigkeitsindizes β(n s =50Jahre) für den Grenzzustand der Dauerhaftigkeit
(Ermüdung)
335

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
Klasse Beabsichtigte Nutzungs- Anwendungsbereich Bemerkung
dauer n s in Jahren
1

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
= −Φ −1 Φ(−β(n s )))
(
(1 − P (kein SSE-Erdbeben in n s ) )
⎡
⎤
= −Φ −1 ⎣
Φ(−4.8)
n1 − ( 1
10000 50)0
exp £ ⎦ =3.6 (1)
− 1 50¤o 0! 10000
wobei Gl. (7.1.3.2) verwendet wurde.
#
Die Zahlen für den Gebrauchszustand gelten für die Augenblickswahrscheinlichkeit Gl. (7.1.1.1)
bzw. für das Kriterium in Gl. (7.9.4).
Nicht sehr klar sind die Festlegungen über den Systembezug. Man sollte die Zahlen in Tabelle
11.4.1 und 11.4.2 aber so interpretieren, daß die jeweiligen Zuverlässigkeitsindizes sich auf den
einzelnen Versagensmodus beziehen. Diese sind in der Regel hochkorreliert, so daß das Vorgehen
bei einem einzigen dominanten Versagensmodus nicht über Gebühr unkonservativ ist. Immer
wenn Systeme viele verschiedene, im Hinblick auf die Zuverlässigkeit ausgewogene und wenig
korrelierte Versagensmodi besitzen, sollte man die erforderlichen Sicherheitindizes heraufsetzen.
Alle Zielvorgaben sind nur als Richtwerte zu verstehen. Abweichungen nach oben um 0.5 sind
nicht zu beanstanden. Die Werte sind entstanden aus einfachen Optimierungsrechnungen wie in
Abschnitt 1 und ähnlich in Abschnitt 9, aber vor allem durch Kalibration an bewährten Konstruktionen.
Man hat schließlich auch versucht, das Risiko für Leib und Leben zu beschränken. ISO 2394
schlägt beispielsweise fürdasjährliche Risiko
P Lebensrisiko <
10−6
P (D|F )
(11.4.4)
vor. P (D|F ) ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Bauwerksversagen getötet zu werden. Diese
Wahrscheinlichkeit hängt u.a. davon ab, wie häufig sich eine Person in oder in der unmittelbaren
Umgebung eines Bauwerks aufhält. Diese Grenze ist in guter Übereinstimmung mit Tabelle 1.1,
d.h. legt eine untere Grenze fest. Daneben gibt es noch eine Beschränkung des jährlichen Risikos
in Abhängigkeit von der mittleren Anzahl N der Toten bei einem Bauwerksversagen
P

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
nem differentiellen Kriterium. Dieses ist strikt einzuhalten. Es ähnelt den obengenannten Kriterien
allenfalls darin, daß die Anzahl der gefährdeten Menschenleben ebenfalls linear eingeht.
11.5. Größe der Teilsicherheitsfaktoren in Euronormen
Die neue, auf europäischer Ebene entwickelte Normung geht von dem sogenannten Teilsicherheitskonzept
aus. Es gilt die Nachweisgleichung
worin
r c,i :
γ i :
s c,j :
γ j :
ψ j :
g U,S,A (..., r c,i
γ i
,...,γ j ψ j s c,j ,...) ≤ 0 (11.5.1)
Charakteristischer Wert der Basisvariable der Widerstandsseite
Teilsicherheitsbeiwert für diese Basisvariable
Charakteristischer Wert der Basisvariable der Einwirkungsseite
Teilsicherheitsbeiwert für diese Basisvariable
Kombinationsbeiwert für diese Basisvariable
Die Indizes in der Grenzzustandsfunktion U, S und A beziehen sich jeweils auf Grenzzustände der
Tragfähigkeit bei normalen Bemessungssituation, auf Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit
und auf Grenzzustände der Tragfähigkeit bei Gegenwart außergewöhnlicher Einwirkungen.
Hierbei gelten folgende Vereinbarungen.
• Alle Teilsicherheitsbeiwerte sind größer Null. Sie werden durch äquivalente, additive Sicherheitselemente
ersetzt, wenn der charakteristische Wert gleich Null oder nahe Null
• Die Teilsicherheitsbeiwerte für den Gebrauchsfähigkeitsnachweis sind gleich Eins
• Variable, die Modellunsicherheiten erfassen, erhalten normalerweise keinen Sicherheitsbeiwert.
Diese Unsicherheiten sind durch die Teilsicherheitsbeiwerte der anderen Basisvariablen abzudecken.
• Charakteristische Werte der Basisvariablen der Widerstandsseite sind normalerweise als 5%-
Quantil der Verteilung definiert, die bei einer Schätzung mit Stichprobenumfang n →∞entstehen
würde.
• Charakteristische Werte der Vorspannung (P k ) sind als Mittelwerte definiert
• Charakteristische Werte geometrischer Größen sind normalerweise als Nominalwerte, d.h. als
Mittelwerte definiert.
• Charakteristische Werte von ständigen Lasten (G k ) sind als Mittelwerte definiert.
• Charakterische Werte von veränderlichen Lasten (Q k ) sind als Werte mit 50-jähriger mittlerer
Wiederkehrdauer definiert. Voraussetzung ist eine ausreichende statistische Grundlage.
• Charakteristische Werte von außergewöhnlichen Beanspruchungen (A k ) sind als Werte mit rund
500-jähriger mittlerer Wiederkehrdauer definiert. Voraussetzung ist eine ausreichende statistische
Grundlage.
• Die Teilsicherheitsbeiwerte bei außergewöhnlichen Situationen sind normalerweise gleich Eins.
• Für Kombinationsbeiwerte gilt grundsätzlich 0 ≤ ψ j ≤ 1. Der Kombinationsbeiwert der vorherrschenden
Einwirkung ist gleich Eins.
• Die Teilsicherheitsbeiwerte und Kombinationsbeiwerte auf der Einwirkungsseite sind nachstehender
Tabelle zu entnehmen. Sie sind für alle Bauweisen und Bauarten gleich.
• Wenn der Grenzzustand der Tragfähigkeit durch Traglastnachweise für redundante, ausreichend
338

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
duktile Strukturen geführt wird, dürfen die Teilsicherheitsbeiwerte auf der Widerstandsseite,
wenn sie direkt die rechnerische Bauteilsteifigkeit beeinflussen, abgemindert werden. Werte
zwischen den Bemessungswerten und den charakteristischen Werten sind angemessen.
Die nachfolgenden Tabellen geben Teilsicherheits- und Kombinationswerte für Einwirkungen nach
EN 1990 an.
Einwirkung ψ 0 ψ 1 ψ 2
Verkehrslasten in Hochbauten 0.7 0.5 0.3
Lasten infolge Lagergütern 1.0 0.9 0.8
Lasten auf Hofkellerdecken 0.7 0.5 0.3
Schnee 0.6 0.2 0
Wind 0.6 0.2 0
Temperatur (keine Brände) 0.6 0.5 0
Baugrundsetzungen 1.0 1.0 1.0
Tabelle 11.5.1: Kombinationsbeiwerte
Der Beiwert ψ 1 soll so festgelegt werden, daß seine Überschreitungshäufigkeit 5%, bezogen auf
die Referenzzeit, beträgt. Der Beiwert ψ 2 entspricht dem langfristigen Mittelwert.
Die Lastkombinationen werden wie bei Turkstra angesetzt, d.h. beispielsweise bei einem Vergleich
von (vektoriellen) Schnittgrößen symbolisch (’’⊕’’ als Operationszeichen für ’’in Kombination
mit’’)fürallej =1,...,n
à (
M
E γ G,i G k,i ⊕ γ P P k ⊕ γ Q,,j Q k,,j ⊕ M )!
ψ 0,i γ Q,i Q k,i ⊆ W
i≥1
i6=j
µ
..., r
k,i
,...
γ m,i
(11.5.2)
Hierin bedeutet E(.) die Lastwirkung, P (.) eine Vorspannung und W (.) der Widerstand. Bei
Traglastnachweisen ist
(
M
γ G,i G k,i ⊕ γ P P k ⊕ γ Q,,j Q k,,j ⊕ M )
ψ 0,i γ Q,i Q k,i
i≥1
i6=j
Ã
⊆ T ..., r k,i
,..., M γ
γ G,i G k,i ⊕ γ P P k ⊕ γ Q,,j Q k,,j ⊕ M !
ψ 0,i γ Q,i Q k,i (11.5.3)
T,i i≥1
i6=j
wobei T (.) die von der jeweiligen Kombination abhängige Traglast und γ T,i die für denTraglastnachweis
geltenden Teilsicherheitsbeiwerte für die Tragwerkseigenschaften. Man beachte, daß
damit immer auch ein Lastpfad vorgegeben ist, d.h. es werden die Längen von Vektoren in einer
bestimmten Richtung verglichen.
Die Teilsicherheitsbeiwerte auf der Widerstandsseite berücksichtigen die Streuungen sowie die mechanische
Bedeutung der jeweiligen Basisvariablen. Für Tragfähigkeitsnachweise auf der Ebene
der Schnittgrößen gelten beispielsweise die in Tabelle 11.5.3 angegebenen Teilsicherheitsbeiwerte.
Die angegebenen Teilsicherheitsbeiwerte gelten nicht für kumulative Vorgänge wie bei Materialermüdung.
Geometrische Unsicherheiten werden in der Regel durch gewisse Erhöhungen der Teilsicherheitsbeiwerte
auf der Widerstandseite berücksichtigt, bei großer Empfindlichkeit gegenüber
diesen Unsicherheiten, wie z.B. bei Stabilitätsaufgaben, durch gesonderte Angaben über Imper-
339

Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
fektionen. Sowohl Kombinationsbeiwerte wie auch Teilsicherheitsbeiwerte sind wenigstens z.T.
zuverlässigkeitstheoretisch begründbar.
Versagen Einwirkung Charakteristische Außergewöhnliche
Situation Situation
Verlust der Lagesicherheit ständig ungünstig
1.1
günstig
0.9
1.0
veränderlich vorherschend 1.5
begleitend 1.5ψ 0
ψ 2
ψ 2
außergewöhnlich - 1.0
Verlust der Tragfähigkeit ständig ungünstig
1.35
günstig
1.0
1.0
Vorspannung
ungünstig 1.1
günstig 0.9
1.0
Erdruhedruck 1.2 1.0
veränderlich vorherschend 1.5
begleitend 1.5ψ 0
ψ 2
ψ 2
außergewöhnlich - 1.0
Verlust der Gesamtstandsicherheit ständig 1.0 1.0
(Böschungs- oder Geländebruch) veränderlich vorherschend 1.3
begleitend 1.3ψ 0
ψ 2
ψ 2
außergewöhnlich - 1.0
Verlust der Gebrauchstauglichkeit ständig 1.0 0
veränderlich vorherrschend
begleitend
ψ 1
ψ 2
0
Tabelle 11.5.2: Teilsicherheitsbeiwerte für Einwirkungen (vereinfacht)
Bauweise Baustoff Charakteristische Außergewöhnliche
Situation Situation
Beton-Spannstahl 1.15
1.0
Stahl- und Spannbetonbau
Beton
1.5
1.3
EN 1992
unbewehrter Beton 1.8
1.56
Stahlbau
Baustahl
1.1
1.0
EN 1993
Holzbau
EN 1995
Verbundbau/Stahl-Beton
EN 1994
Mauerwerksbau
EN 1996
Aluminiumbau
EN 1999
Verbindungsmittel
Holz
Stahl, Verbindungsmittel
Baustahl
Beton
Betonstahl
Mauerwerk
Wandanker, Bänder
Stahl
Aluminium
Verbindungsmittel
1.25
1.3
1.1
1.1
1.5
1.15
1.7
2.5
1.15
1.1
1.25
1.0
1.0
1.0
1.0
1.3
1.0
1.2
2.5
1.0
Tabelle 11.5.3: Teilsicherheitsbeiwerte für Widerstände bei Nachweisen des Grenzzustandes der
Tragfähigkeit (vereinfacht)
1.0
1.0
340

Literatur
Rackwitz - Zuverlässigkeit und Lasten im konstruktiven Ingenieurbau
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