SCARA: Inverses Kinematisches Problem - BA-Produktionstechnik.de

y
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 1
L 1
α 2
α 1
γ
L 1
C
L 2
β 2
L 2
β 1
P(x,y)
1. Schritt: Berechnen von C
2 2
C = x + y
Grenzwertbetrachtung
C > L1 + L2 : geometrisch nicht möglich (keine Lösung)
C < |L1 - L2| : geometrisch nicht möglich (keine Lösung)
C = 0 und L1 = L2 : Winkel beliebig
x
2. Schritt: Berechnung von γ
γ = arctan (s/c)
Problem: arctan ist mehrdeutig, gilt immer
nur in einem Quadranten
oft wird die erweiterte arctan-Funktion
verwendet: atan2
atan2(s,c) wird so ausgewertet:
α = π/2 bzw. 90° für c = 0, s > 0
α = -π/2 bzw -90° für c = 0, s < 0
α = arctan(s/c) für c > 0
α = arctan(s/c) + π für c < 0, s ≥ 0
α = arctan(s/c) - π für c < 0, s < 0
undefiniert für c = s = 0
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Robotertechnik
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Folie 65
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 2
3. Schritt: Betrachtung der Armlängen
L1 und L2
C = L1 + L2
mit α 1
= α 2
= γ;
β 1
, β 2
= 0
und
C = |L1 ± L2|
wird mit
L1 > L2 : α 1
= α 2
= γ
β 1
= +180°
β 2
= -180° (also zwei Lösungen)
L1 < L2: α 1
= α 2
= γ - 180°
β 1
= +180°
β 2
= -180° (also zwei Lösungen)
y
y
L 1 β 1 = +180°
L 2
L 1
L 2
P(x,y)
α
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β 2 = -180°
x
γ
P(x,y)
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x
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Folie 66
Nur für Lehrzwecke

SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 3
4. Schritt:
Der „Normalfall“: β 1
und β 2
berechnen
Es ist
C < L 1
+ L 2
(keine gestreckten Arme)
und
C > |L 1
–L 2
| (Arme nicht „gefaltet“)
womit gilt:
y
y p
L 1
α 2
α 1
γ
L 1
C
L 2
β 2
L 2
β 1
x p
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P(x,y)
x
Für das untere schiefwinklige Dreick gilt:
x p2
+ y p2
= C 2 = L 12
+ L 22
+ 2L 1
L 2
cos β 1
(Cosinussatz)
Für das obere schiefwinklige Dreieck gilt
x p2
+ y p2
= C 2 = L 12
+ L 22
+ 2L 1
L 2
cos β 2
(Cosinussatz)
und es ist auch
β1 > 0
β2 < 0
(aber beide haben den gleichen Betrag!)
und man kann die Gleichungen
gleichsetzen:
x p2
+ y p2
= C 2 = L 12
+ L 22
+ 2L 1
L 2
cos β 1
= L 12
+ L 22
+ 2L 1
L 2
cos β 2
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2 2
( L L )
⎛ 2 2
⎜ x + y − +
β = ±
1
1 arccos
⎜ 2 L
⎝
1L2
2
⎞
⎟
⎟
⎠
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Folie 67
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 4
y
5. Schritt: α 1
und α 2
berechnen
L 1
α 2
α 1
γ
C
δ
-δ
L 1
L 2
L 2
P(x,y)
α 1
= γ - δ
α 2
= γ + δ
Mit dem Cosinussatz wird
L 2 2 = L 1 2 + C 2 –2 CL 1
cos δ
⎛ 2 2 2 ⎞
⎜L
− L + C
δ = arccos 1 2 ⎟
⎜ 2 L C ⎟
⎝
1
⎠
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x
Fazit:
Der Weg der „traditionellen Geometrie“ führt
zum Ziel, ist aber
• Recht aufwändig abzuleiten
• Nicht übertragbar auf andere
Kinematiken
• Führt bei komplexen Kinematiken
zu umfangreichen „Kunstwerken“
Bei mehrdeutigen Lösungen besteht bei der
inversen Kinematik das Problem, welche der
Lösungen man in der Steuerung auswählt:
• Programmierer des Anwendungsproblems
wählt aus.
• Vorherige Stellung als Entscheidungskriterium,
z.B. die Winkel, die am
nächsten liegen nehmen.
• Hindernisse erkennen Den Fall der
Kollisionsvermeidung nehmen.
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Folie 68
Nur für Lehrzwecke

Übung: K‘-transformation mit konventioneller Geometrie
z
Aufgabe mit einfach zur
rechnenden dimensionslosen
Zahlenwerten:
Gelenk 2
(Rotation)
P(x p , y p , z p )
y
Gelenk 1
(Translation)
z p
y p
α
d 3
Gelenk 3
(Translation)
a) Direktes Problem
Gegeben:
d 1 = 3, d 3 = 4, α = 30°
Gesucht: Position von P
Lösung:
x P = 3,464
y P = 2,0
z P = 3
b) Inverses Problem:
Gegeben:
x P , y P , z P , Werte wie a)
Gesucht: d 1 , d 3 , α
Lösung: siehe a)
d 1
x p
x
Festpunkt
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Folie 69
Nur für Lehrzwecke
Aus drucktechnischen Gründen leere Folie!
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Folie 70
Nur für Lehrzwecke

5. Koordinatentransformation
• Grundlagen
• Position und Orientierung eines Körpers im Raum
• Rotationen
• Homogene Koordinaten und Transformationen
• Denavit-Hartenberg-Verfahren (direktes kinemat. Problem)
• Beschreibung nach DH
• Bezeichnungen nach DH
• DH-Transformation für Translation und Rotation
• Bestimmung der DH-Parameter
• Anwendung von DH auf Industrieroboter
• DH am Beispiel eines SCARA-Roboters
• Übungsaufgaben
• Inverses kinematisches Problem
• Analytisches Verfahren von Paul
• Numerische Verfahren
• Beispiel: SCARA
• Übungsaufgaben
• Singularitäten
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Folie 71
Nur für Lehrzwecke
Position und Orientierung eines Körpers im Raum
e
p
e = Einheitsvektoren
e yK zK
K
e xK
d K Es wird unterschieden:
• Bezugskoordinatensystem (base frame);
fixiert, ortsfest,
z.B. am Boden festgeschraubter Roboter
• Körperkoordinatensystem (body base
e zB
frame); angesiedelt in einzelnen Körpern,
e yB
bei Robotern z.B. fixiert im Gelenk oder im
Schwerpunkt des Arms oder in „günstigen
e xB geometrischen Punkten“
B
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Nächster Schritt:
Position und Orientierung bezogen auf Frame B unter
zu Hilfenahme von Frame K des Körpers beschreiben
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P
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Folie 72
Nur für Lehrzwecke

Rotation in kartesischen Koordinaten
Generell gibt es drei Freiheitsgrade für die Orientierung im Raum und es
werden meist zwei Verfahren zur Beschreibung der Orientierung angewandt:
•Euler-Winkel
(Mechanik, …)
• Roll, Pitch, Yaw (Rollen, Gieren, Nicken)
(Schifffahrt, Luftfahrt)
Ausgangssituation:
z
Mit R = Rotationsmatrix oder Orientierungsmatrix
(u i , v i , w i = x-y-z - Koordinaten der Einheitsvektoren):
w
u
v
R
⎛ux
⎜
= ⎜uy
⎜
⎝uz
vx
vy
vz
wx
⎞
⎟
wy
⎟
w ⎟
z ⎠
(allgemein)
x
y
R
⎛ 1
⎜
= ⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
(Ausgangssituation /
Skizze)
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Folie 73
Nur für Lehrzwecke
Rotation um die x-, y- und z-Achse
Rotation um x:
z
α
w
u
v
α
y
x
z
w
u v
γ
y
x
R (x, α)
⎛ 1
⎜
= ⎜0
⎜
⎝0
0
cosα
sinα
0 ⎞
⎟
− sinα⎟
cosα
⎟
⎠
R (y, β)
⎛ cosβ
⎜
= ⎜ 0
⎜
⎝−
sinβ
0
1
0
sinβ
⎞
⎟
0 ⎟
cosβ⎟
⎠
γ
⎛cos
γ
⎜
= ⎜ sin γ
⎜
⎝ 0
− sin γ
cos γ
0
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
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Folie 74
Nur für Lehrzwecke

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Folie 75

Homogene Koordinaten in der Robotertechnik
d 1
1
p 1P
P
2
p 2P
P
p 1P
0
p 0P
Orte im Raum können vollständig
beschrieben werden durch:
d, p = Positionsvektor
R = Rotationsmatrix
d 2
p 0P d 1
1
0 0 0
p0P
= d1+
p1P
0 0 1
= d1+
R1
p1P
In homogenen Koordinaten:
0 0 1
0 ⎛ R1
d ⎞⎛
1 p ⎞
p
1P
0P = ⎜ ⎟⎜
⎟
0 1
1
⎝ ⎠⎝
⎠
0
0 1
r0P
= T1
r1P
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Hinweis:
0R1 = Rotationsmatrix
für Frame 1 bezogen
auf Frame 0
0
In Vektorschreibweise:
0 0 0 0
p0P
= d1+
d2+
p2P
0 0 1 0 1 2
= d1+
R1
d2+
R1
R 2 p2P
In homogenen Koordinaten:
0
r 0P =
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0 1
T1
T2
2
r2P
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Folie 77
Nur für Lehrzwecke
Homogene Transformationen
Trans(x,y,z) = Verschiebung eines
Punktes um x,y,z entlang der
jeweiligen Achse:
Rotation um die y-Achse:
Trans
( x,y,z)
⎛ 1
⎜
⎜0
=
⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
0
0
0
1
0
x⎞
⎟
y⎟
z⎟
⎟
1⎠
R ,
( y β)
⎛ cosβ
⎜
⎜ 0
=
⎜−
sinβ
⎜
⎝ 0
0
1
0
0
sinβ
0
cosβ
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎠
Rotation um die x-Achse:
Rotation um die z-Achse:
R ,
( x α)
⎛ 1
⎜
⎜0
=
⎜0
⎜
⎝0
0
cosα
sinα
0
0
− sinα
cosα
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎠
R ,
( z γ)
⎛cos
γ
⎜
⎜ sin γ
=
⎜ 0
⎜
⎝ 0
− sin γ
cos γ
0
0
0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎠
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Folie 78
Nur für Lehrzwecke

Beschreibung nach Denavit - Hartenberg
Begründung:
• Bisher wurden die Koordinatensysteme intuitiv
gewählt
• Es ist aber zweckmäßig, nach einem einheitlichen
Schema beziehungsweise Verfahren vorzugehen
• Vorteil: Verschiedene Anwender kommen zu einer
gleichen oder zumindest vergleichbaren
Beschreibung der Aufgabe
Prinzip:
• Es geht darum, von einem i-ten
Koordinatensystem zu einem (i+1)-ten
Koordinatensystem zu kommen
• Man beschränkt die Freiheitsgrade der
Koordinatensysteme:
- eine Drehachse
- eine Linearachse
(oft prismatische Achse genannt)
Denavit, J., Hartenberg, R. S.: A kinematic notation for lower pair mechanisms
based on Matrices. Journal of Applied Mechanics, vol. 77, pp. 215–221, June 1955.
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Bei einem Roboter
bestehen im Normalfall
folgende Möglichkeiten für
zwei so genannte
kinematische Paare:
Gelenk i
Gelenk i
Glied i
Drehachse
Drehachse
Linearachse
Linearachse
Gelenk i+1
Form und Masse
der Glieder werden
abstrahiert
Gelenk i+1
Drehachse
Linearachse
Drehachse
Linearachse
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Folie 79
Nur für Lehrzwecke
Bezeichnungen nach Denavit-Hartenberg
Die Gelenkachsen von Gelenk (i) und Gelenk (i+1) fallen mit den z-Achsen der
Koordinatensysteme (i-1) und (i) zusammen.
Beispiel für Drehgelenke:
Gelenk i
q i Gelenk i+1
q i+1
Glied i
z i-1
K
x i
i
α i
a i
z i
y i-1
a d
i-1
i
q i
K i-1
x i-1
y i
Man erkennt:
• a i und α i sind durch die
Gelenkkonstruktionen festgelegt.
• a i ist die gemeinsame Normale der
Drehachsen (z-Achsen), also der
kürzeste Abstand der Achsen.
• a i ist ein Abstand, und daher > 0
• α i ist der Winkel, um den man die erste
Achse z i drehen muss, damit sie parallel
zur zweiten Achse z i+1 wird.
• α i wird in der Ebene senkrecht zur
gemeinsamen Normalen a i gemessen.
• Schaut man von der Pfeilspitze von x i auf
diese Ebene, erkennt man die positive
Richtung von α i .
• x i läuft kolinear zu a i , und seine Richtung
geht von K i-1 weg nach K i .
• Die y-Achsen ergänzen die
Koordinatensysteme zum Rechtssystem.
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Folie 80
Nur für Lehrzwecke

Beschreibung der Drehungen und der Translationen - 1
z i-1
y i-1
a i-1
q i
K i-1
x i-1
y i
K i
α i
d i
a i
z i
x i
Es sind drei Schritte
abzuarbeiten:
1. Drehung um die Achse
z i-1 um den Winkel q i
2. Translation K i-1 K i
3. Drehung um die Achse x i
um den Winkel α i
1.Drehung
um qi
2. Translation
3. Drehung um
αi
⎛cos qi
⎜
⎜ sinqi
⎜ 0
⎜
⎝ 0
− sinqi
cos qi
0
0
0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎠
,
⎛ 1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
0
0
0
1
0
ai
⎞
⎟
0 ⎟
d ⎟
i
⎟
1 ⎠
und
⎛ 1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎝0
0
cos αi
sinαi
0
0
− sinαi
cos αi
0
0⎞
0
0
1
⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠
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Folie 81
Nur für Lehrzwecke
Beschreibung der Drehungen und der Translationen - 2
Die Koordinatentransformation von (i-1) zu (i) ist dann das Produkt der Matrizen:
i−1
Ti
⎛cos qi
⎜
⎜ sinqi
=
⎜ 0
⎜
⎝ 0
− sinqi
cos qi
0
0
0
0
1
0
0⎞
⎛ 1
⎟ ⎜
0⎟
⎜0
⎟
•
0 ⎜0
⎟
⎜
1⎠
⎝0
0
1
0
0
0
0
1
0
ai
⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜0
⎟
•
d ⎜
i 0
⎟
⎜
1 ⎠ ⎝0
0
cos αi
sinαi
0
0
− sinαi
cos αi
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1⎠
⎛cos qi
⎜
⎜ sinqi
=
⎜ 0
⎜
⎝ 0
− sinqi
cos qi
0
0
0
0
1
0
0⎞
⎛ 1
⎟ ⎜
0⎟
⎜0
⎟
•
0 ⎜0
⎟
⎜
1⎠
⎝0
0
cos αi
sinαi
0
0
− sinαi
cos αi
0
ai
⎞
⎟
0 ⎟
d ⎟
i
⎟
1 ⎠
⎛cos qi
⎜
⎜ sinqi
=
⎜
0
⎜
⎝ 0
− sinqi
cos αi
cos qi
cos αi
sinαi
0
sinqi
sinαi
− cos qi
sinαi
cos α
i
0
ai
cos qi
⎞
⎟
ai
sinqi
⎟
d
⎟
i ⎟
1
⎠
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Folie 82
Nur für Lehrzwecke

Beschreibung der Drehungen und der Translationen - 3
Anmerkungen:
• Die Koordinatentransformation hängt von vier Parametern ab: a i , α i , d i , q i
• Diese Parameter werden auch „link parameter“ genannt
• a i und α i sind durch die maschinenbauliche Konstruktion des (i)-ten Gliedes gegeben
• q i und d i sind abhängig von der Verbindung der Glieder (i-1) und (i) über das Gelenk (i)
Fallunterscheidungen: (Deutung von q i )
Gelenk (i) ist eine Drehachse:
d i ist konstruktiv vorgegeben und konstant
q i ist eine Gelenkkoordinate, d.h. im Beispiel der Winkel zwischen den
Gliedern (i-1) und (i)
Gelenk ist eine Linearachse (Translation):
d i ist variabel und wird dann als qi bezeichnet
Der Winkel zwischen den Gliedern ist konstruktiv festgelegt, also konstant.
Er wird dann ϑ i genannt.
Damit folgt die Schreibweise der vorherigen Koordinatentransformation
für die Linearachse:
⎛cos
ϑi
− sin ϑi
cos αi
sin ϑi
sin αi
ai
cos ϑi
⎞
i−1
Ti
⎜
⎜ sin ϑi
=
⎜ 0
⎜
⎝ 0
cos ϑi
cos αi
sin αi
0
− cos ϑi
sin αi
cos αi
0
⎟
ai
sin ϑi
⎟
q ⎟
i
⎟
1 ⎠
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Folie 83
Nur für Lehrzwecke
Verallgemeinerung der Beschreibung
Die zuvor im Beispiel aufgestellten Koordinatentransformationen für die
Drehungen und die Translationen kann man auch zusammenfassen (es
handelt sich dabei nur um eine andere Sichtweise!):
i−1
Ti
⎛cos
ϑi
⎜
⎜ sinϑi
=
⎜ 0
⎜
⎝ 0
− sinϑi
cos αi
cos ϑi
cos αi
sinαi
0
sinϑi
sinαi
− cos ϑi
sinαi
cos αi
0
ai
cos ϑi
⎞
⎟
ai
sinϑi
⎟
d ⎟
i
⎟
1 ⎠
Und nun setzt man als Variable q i
Für die Drehachse: ϑ i = q i
Für die Linearachse: d i = q i
Damit lassen sich dann alle vier möglichen
beziehungsweise zulässigen Fälle betrachten:
Gelenk i
Drehachse
Drehachse
Linearachse
Linearachse
Gelenk i+1
Drehachse
Linearachse
Drehachse
Linearachse
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