Versuch B2/1: Spannungs- und Stromquellen, Messung von ...
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<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>,<br />
<strong>Messung</strong> <strong>von</strong> Spannungen <strong>und</strong> Stromstärken<br />
1.1 Quellen<br />
1.1.1 Der Begriff des Zweipols (Eintores)<br />
Ein Zweipol ist vollständig beschrieben durch zwei Größen: Die Klemmenspannung U <strong>und</strong> die elektrische<br />
Stromstärke I (Bild 1.1). Dabei ist U in diesem <strong>Versuch</strong> eine Gleichspannung <strong>und</strong> I eine<br />
Gleichstromstärke. Die Zuordnung der Bezugspfeile der Spannung <strong>und</strong> der Stromstärke erfolgt nach<br />
Bild 1.1. Prinzipschaltbild eines passiven Zweipols (a) <strong>und</strong> eines aktiven Zweipols (b): Verbraucher-<br />
Bezugspfeil-System.<br />
dem Verbraucher-Bezugspfeil-System. Bild 1.1a zeigt die Zuordnung für einen passiven Zweipol <strong>und</strong><br />
Bild 1.1b für einen aktiven Zweipol (Quelle). Ein Zweipol, bei dem zwischen Klemmenspannung U<br />
<strong>und</strong> der Klemmenstromstärke I eine lineare Abhängigkeit besteht, wird als linearer Zweipol bezeichnet.<br />
Z.B. ist der elektrische Widerstand R ein linearer passiver Zweipol, gekennzeichnet durch den<br />
Zusammenhang<br />
U = R I. (1.1)<br />
1.1.2 Ersatzquellen<br />
Ein realer aktiver Zweipol läßt sich bezüglich des elektrischen Verhaltens an seinen Ausgangsklemmen<br />
stets durch eine Ersatzspannungs- bzw. Ersatzstromquelle nach Bild 1.2 beschreiben, wenn der Einfluß<br />
<strong>von</strong> inneren Reaktanzen auf die Quelle nicht berücksichtigt wird bzw. nur Gleichspannungen oder<br />
Gleichstromstärken zugelassen werden. In der Schaltung der Ersatzspannungsquelle (Bild 1.2a) ist U 0<br />
die Urspannung <strong>und</strong> damit (für R a → ∞) die Leerlaufspanung U l an den Ausgangklemmen 1-1’ <strong>und</strong><br />
R i der Innenwiderstand. I 0 ist die Urstromstärke <strong>und</strong> damit (für G a → ∞) die Kurzschlußstromstärke<br />
I k , die durch die kurzgeschlossenen Ausgangsklemmen fließt <strong>und</strong> G i der Innenleitwert (Bild 1.2b).<br />
1.1.2.1 Äquivalente Ersatzquellen<br />
Für die Klemmenspannung U der Ersatzspannungsquelle gilt<br />
U = U 0 − I R i = U(I). (1.2)<br />
Für die Stromstärke I der Ersatzstromquelle gilt<br />
I = I 0 − U G i = I(U). (1.3)<br />
1
2 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
Bild 1.2. a) Ersatzspannungsquelle, b) Ersatzstromquelle.<br />
Sollen beide Ersatzquellen äquivalent sein, d.h. sich in dem elektrischen Verhalten an ihren Ausgangsklemmen<br />
1-1’ nicht unterscheiden, so muß für jeden Wert <strong>von</strong> I bzw. U die folgende Beziehung erfüllt<br />
sein:<br />
I = I 0 − G i U = U 0 − U<br />
R i<br />
= U 0<br />
R i<br />
− U R i<br />
. (1.4)<br />
Damit ergibt sich zu einer Ersatzspannungsquelle die äquivalente Ersatzstromquelle, wenn für die<br />
Urstromstärke I 0 bzw. den Innenleitwert G i gilt<br />
I 0 = U 0<br />
R i<br />
, G i = 1 R i<br />
, (1.5)<br />
oder zu einer Ersatzstromquelle die äquivalente Ersatzspannungsquelle aus<br />
U 0 = I 0<br />
G i<br />
, R i = 1 G i<br />
. (1.6)<br />
Aus den Gleichungen (1.2) bis (1.6) ist ersichtlich, daß die Quellen durch die Leerlaufspannung U l = U 0<br />
(Urspannung) oder die Kurzschlußstromstärke I k = I 0 (Urstromstärke) <strong>und</strong> den Innenwiderstand bzw.<br />
-leitwert vollständig beschrieben sind.<br />
1.1.3 Die Quellenkennlinie<br />
Die Quellenkennlinie der Ersatzspannungsquelle (Gl. (1.2)) bzw. der Ersatzstromquelle (Gl. (1.3)) gilt<br />
für den gesamten Belastungsbereich zwischen Leerlauf <strong>und</strong> Kurzschluß des aktiven Zweipols. Ist R i in<br />
Abhängigkeit <strong>von</strong> der Belastung konstant (bei technischen Quellen nicht unbedingt gewährleistet), so<br />
ergibt sich für U = U(I) ein Verlauf nach Bild 1.3 (linearer Zweipol, Gl. (1.2)). Die Quellenkennlinie<br />
ist durch die beiden Kennparameter: Leerlaufspannung U l <strong>und</strong> Kurzschlußstromstärke I k eindeutig<br />
festgelegt. Ist der Wert des Widerstandes R a unendlich groß (Bild 1.2a) - der aktive Zweipol also<br />
nicht belastet -, so ist die Klemmenspannung U gleich der Leerlaufspannung U l <strong>und</strong> damit gleich der<br />
Urspannung U 0 der Quelle. Ist dagegen R a = 0 - die Klemmen sind in diesem Fall kurzgeschlossen -,<br />
so ist die Klemmenspannung U gleich null <strong>und</strong> die im Kurzschluß meßbare Stromstärke ist gleich der<br />
Kurzschlußstromstärke<br />
I k = U 0<br />
R i<br />
. (1.7)
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 3<br />
Bild 1.3. Quellenkennlinie.<br />
Aus der Leerlaufspannung U l <strong>und</strong> der Kurzschlußstromstärke I k erhält man mit Gleichung (1.2) den<br />
Innenwiderstand<br />
R i = U l<br />
I k<br />
. (1.8)<br />
Da nicht immer die Leerlaufspannung <strong>und</strong> die Kurzschlußstromstärke direkt meßbar sind, lassen sich<br />
die Kenngrößen der Ersatzquellen unter der Voraussetzung, daß R i belastungsunabhängig <strong>und</strong> konstant<br />
ist, aus zwei <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> Strommessungen gemäß Bild 1.3 ermitteln. U l <strong>und</strong> I k ergeben sich<br />
aus den Schnittpunkten der Geraden durch die Meßpunkte mit den Achsen. R i folgt aus der Steigung<br />
dieser Geraden:<br />
tan α ∼ U l<br />
I k<br />
= R i , (1.9)<br />
R i = U 1 − U 2<br />
−(I 1 − I 2 ) = U 1 − U 2<br />
I 2 − I 1<br />
. (1.10)<br />
1.1.4 Zusammenhang zwischen dem Innenwiderstand einer <strong>Spannungs</strong>quelle <strong>und</strong> dem<br />
Verbraucherwiderstand bei Leistungsanpassung<br />
Unter Leistungsanpassung wird ein Zustand der Schaltung verstanden, bei dem die im Belastungswiderstand<br />
R a umgesetzte Leistung P a bei vorgegebener Quelle maximal wird (Bild 1.2a):<br />
P a = I 2 R a =<br />
U0<br />
2<br />
(R i + R a ) R !<br />
2 a = max. (1.11)<br />
Wird diese Gleichung so umgeformt, daß sich P a in Abhängigkeit <strong>von</strong> R a /R i ergibt, so kann die<br />
Leistung P a in Abhängigkeit vom Belastungswiderstand R a dargestellt werden:<br />
( )<br />
Ra<br />
P a = U 0<br />
2 4 R a<br />
(<br />
R i 4 R i<br />
1 + R ) 2<br />
. (1.12)<br />
a R i<br />
R i<br />
Mit den Abkürzungen<br />
P a,max = U 2 0<br />
4 R i<br />
, x = R a<br />
R i<br />
(1.13)
4 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
lautet Gl. (1.12)<br />
P a<br />
P a,max<br />
=<br />
4 x<br />
(1 + x) 2 . (1.14)<br />
Die im Innenwiderstand der <strong>Spannungs</strong>quelle in Wärme umgesetzte Leistung ergibt sich zu<br />
bzw. mit den angegebenen Abkürzungen<br />
P i = I 2 R i =<br />
U 2 0<br />
(R i + R a ) 2 R i, (1.15)<br />
P i<br />
P a , max = 4<br />
(1 + x) . (1.16)<br />
2<br />
In Bild 1.4 sind P a /P a,max <strong>und</strong> P i /P a,max unter der Bedingung R i = const. als Funktion <strong>von</strong> x = R a /R i<br />
skizziert. Aus Bild 1.4 kann folgendes abgelesen werden:<br />
Bild 1.4. P/P a,max in Abhängigkeit <strong>von</strong> x.<br />
Bei x = R a /R i = 1 nimmt das Verhältnis P a /P a,max seinen größten Wert an, nämlich den Wert 1.<br />
Wird der Wert des Abschlußwiderstandes R a gleich dem Wert des Innenwiderstandes R i , so ist die in<br />
R a umgesetzte Leistung P a maximal, man spricht <strong>von</strong> Leistungsanpassung:<br />
R a = R i . (1.17)<br />
Mit Gl. (1.17) ergibt sich aus Gl. (1.12) die unter dieser Bedingung an der Last maximal verfügbare<br />
Leistung<br />
P a,max = U 2 0<br />
4 R i<br />
. (1.18)<br />
Auch über die am Belastungswiderstand gemessene verfügbare Leistung läßt sich der Innenwiderstand<br />
ermitteln. Aus Gl. (1.18) folgt<br />
R i = U 2 0<br />
4 P a,max<br />
. (1.19)
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 5<br />
Für den Fall der Leistungsanpassung (R a = R i ) gilt dann<br />
<strong>und</strong><br />
I =<br />
Aus Gl. (1.2) erhält man für die Spannung in diesem Fall<br />
P i = P a,max (1.20)<br />
U 0<br />
R a + R i<br />
= U 0<br />
2 R i<br />
= I ′ . (1.21)<br />
U ′ = U 0 − R i I ′ = U 0 − R i<br />
U 0<br />
2 R i<br />
= U 0<br />
2 . (1.22)<br />
Bei linearer Quellenkennlinie U = U(I) kann aus dieser Beziehung der Innenwiderstand der <strong>Spannungs</strong>quelle<br />
(Bild 1.5) errechnet werden, denn<br />
R i = U ′<br />
I ′ = U 0<br />
2 I ′ = U l<br />
2 I ′ . (1.23)<br />
1.2 Strom- <strong>und</strong> <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung, <strong>Messung</strong> <strong>von</strong> Spannungen <strong>und</strong> Stromstärken<br />
<strong>und</strong> Meßbereichserweiterung<br />
1.2.1 Die Knotenpunktregel <strong>und</strong> die Maschenregel <strong>von</strong> Kirchhoff als Gr<strong>und</strong>lage zur<br />
Berechnung der Strom- <strong>und</strong> <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung<br />
Knotenpunktregel:<br />
In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes, an dem mehrere Leiter zusammenlaufen, ist in<br />
jedem Zeitpunkt die Summe aller zu- <strong>und</strong> ablaufenden elektrischen Stromstärken gleich null.<br />
Eine Parallelschaltung <strong>von</strong> Widerständen heißt Stromteilerschaltung. Nach Bild 1.6 ergibt sich am<br />
Knotenpunkt für I 2<br />
I 2 = I ges − I 1 = I ges<br />
I ges − I 1<br />
I ges<br />
. (1.24)<br />
Wird in Gl. (1.24) das Ohmsche Gesetz in der Form I ges = U (G 1 + G 2 ) <strong>und</strong> I 1 = U G 1 eingesetzt, so<br />
gilt<br />
I 2 = I ges<br />
U (G 1 + G 2 ) − U G 1<br />
U (G 1 + G 2 )<br />
= I ges<br />
G 2<br />
G 1 + G 2<br />
. (1.25)<br />
Bild 1.5. Zur Bestimmung des Innenwiderstandes.
6 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
Bild 1.6. Stromteilerschaltung.<br />
Entsprechend für die Stromstärke I 1<br />
I 1 = I ges<br />
G 1<br />
G 1 + G 2<br />
. (1.26)<br />
Damit gilt für das Verhältnis der beiden Stromstärken I 1 <strong>und</strong> I 2<br />
I 1<br />
I 2<br />
= G 1<br />
G 2<br />
, (1.27)<br />
das heißt, die Stromstärken I 1 <strong>und</strong> I 2 der Stromteilerschaltung verhalten sich wie die Leitwerte G 1<br />
<strong>und</strong> G 2 zueinander.<br />
Oft sind statt der Leitwerte die Widerstände gegeben (G = 1/R). Damit berechnen sich die Stromstärken<br />
aus<br />
I 1 = I ges<br />
1<br />
R 1<br />
1<br />
R 1<br />
+ 1 R 2<br />
= I ges<br />
R 2<br />
R 1 + R 2<br />
, (1.28)<br />
I 2 = I ges<br />
1<br />
R 2<br />
1<br />
R 1<br />
+ 1 R 2<br />
= I ges<br />
R 1<br />
R 1 + R 2<br />
. (1.29)<br />
Maschenregel:<br />
Die Summe aller Teilspannungen (Quellenspannungen <strong>und</strong> Spannungen an den Widerständen) entlang<br />
eines geschlossenen Weges in einem Netzwerk (Masche) ist zu jedem Zeitpunkt gleich null.<br />
Die <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung besteht aus zwei in Reihe geschalteten elektrischen Widerständen. Eine<br />
Spezialform der <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung ist die in Bild 1.7 gezeigte Potentiometerschaltung, die<br />
aus einem Widerstand mit stellbarem Abgriff besteht <strong>und</strong> die die Gesamtspannung U in zwei Teilspannungen<br />
U 1 <strong>und</strong> U 2 zerlegt. Ist an den Klemmen 2-2’ kein weiterer Widerstand (Lastwiderstand)<br />
angeschlossen, so wird die Potentiometerschaltung als leerlaufend bezeichnet. So ist es - z.B. zu meßtechnischen<br />
Zwecken - möglich, aus der Spannung U einer <strong>Spannungs</strong>quelle eine Spannung zwischen<br />
dem maximalen Wert U <strong>und</strong> null abzuleiten. Die Anwendung der Maschenregel auf die in Bild 1.7<br />
eingezeichnete Masche 1 ergibt<br />
−U + U 1 + U 2 = 0, (1.30)<br />
damit gilt für die Teilspannung U 2<br />
U 2 = U − U 1 = U − U 1<br />
U<br />
U. (1.31)
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 7<br />
Bild 1.7. Potentiometerschaltung.<br />
Wird in Gl. (1.31) das Ohmsche Gesetz in der Form U = I R = I (R 1 + R 2 ) <strong>und</strong> U 1 = I R 1 eingesetzt,<br />
so folgt<br />
U 2 = U I (R 1 + R 2 ) − I R 1<br />
I (R 1 + R 2 )<br />
= U<br />
R 2<br />
R 1 + R 2<br />
, (1.32)<br />
U 2 = U R 2<br />
R . (1.33)<br />
Das heißt, die an den Klemmen des leerlaufenden <strong>Spannungs</strong>teilers abgreifbare Spannung U 2 ist wegen<br />
R 1 + R 2 = R = const. <strong>von</strong> der Größe des Widerstandes R 2 linear abhängig.<br />
1.2.2 Die belastete <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung<br />
Wird die leerlaufende <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung (Potentiometerschaltung) nach Bild 1.7 an den Klemmen<br />
mit einem Lastwiderstand beschaltet (Bild 1.8), so ändert sich das Verhalten der Schaltung erheblich.<br />
Es interessiert der Wert der Klemmenspannung U 3 am Lastwiderstand. Aus der Anwendung<br />
Bild 1.8. Belastete <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung.<br />
der Knotenpunkt- <strong>und</strong> der Maschenregel ergibt sich<br />
Knotenregel Knoten K: −I + I 2 + I 3 = 0, (1.34)<br />
Maschenregel Masche 1: −U + I R 1 + I 2 R 2 = 0, (1.35)<br />
Maschenregel Masche 2: −I 2 R 2 + I 3 R 3 = 0. (1.36)<br />
Durch Elimination <strong>von</strong> I <strong>und</strong> I 2 aus Gl. (1.34-1.36) folgt für die Stromstärke im Lastwiderstand R 3<br />
I 3 = U<br />
R 2<br />
R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3<br />
(1.37)
8 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
<strong>und</strong> für die Spannung am Lastwiderstand<br />
Mit den Abkürzungen<br />
U 3 = I 3 R 3 = U<br />
R 2 R 3<br />
R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3<br />
. (1.38)<br />
lautet Gl. (1.38)<br />
A = U 3<br />
U , x = R 2<br />
R = R 2<br />
R 1 + R 2<br />
, p = R R 3<br />
= R 1 + R 2<br />
R 3<br />
(1.39)<br />
A(x) = U 3<br />
U =<br />
x<br />
1 + x (1 − x) p . (1.40)<br />
A = U 3 /U ist das Verhältnis der Ausgangsspannung der Schaltung zur Quellenspannung in Abhängigkeit<br />
<strong>von</strong> der Abgriffstellung x = R 2 /R (0 ≤ x ≤ 1) des beweglichen Kontaktes. Der Wert des Verhältnisses<br />
p = R/R 3 ist ein Maß für die Größe des Lastwiderstandes <strong>und</strong> somit ein zusätzlich einstellbarer<br />
Parameter <strong>von</strong> dem das <strong>Spannungs</strong>verhältnis abhängt.<br />
Bild 1.9 zeigt die Kennlinien A(x) = U 3 /U der belasteten (P > 0) <strong>und</strong> unbelasteten (P = 0) <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung<br />
für verschiedene Werte des Parameters P = R/R 3 . Aus dem Diagramm (Bild 1.9)<br />
Bild 1.9. Kennlinien des <strong>Spannungs</strong>teilers.<br />
ist ersichtlich, daß der Zusammenhang zwischen der Spannung U 3 <strong>und</strong> dem Widerstand R 2 = x R nur<br />
dann linear ist, wenn das Verhältnis P = R/R 3 den Wert null annimmt, d.h. der Lastwiderstand<br />
unendlich groß wird (leerlaufende <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung). Für endliche Werte <strong>von</strong> R 3 ergeben sich<br />
Spannungen am Lastwiderstand, die mit kleiner werdendem Widerstand R 3 erheblich unterhalb der<br />
Spannung der leerlaufenden <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung liegen können.<br />
1.2.3 Die <strong>Messung</strong> <strong>von</strong> elektrischen Spannungen <strong>und</strong> elektrischen Stromstärken<br />
1.2.3.1 Einfluß des Innenwiderstandes<br />
Bei der <strong>Messung</strong> <strong>von</strong> Spannungen bzw. Stromstärken muß stets der Einfluß des Innenwiderstandes<br />
des verwendeten Meßgerätes auf die <strong>Messung</strong> beachtet werden. Ein <strong>Spannungs</strong>meßgerät sollte einen<br />
möglichst großen Innenwiderstand haben (R i ≈ 1MΩ − 10MΩ), damit beim Meßprozeß keine oder nur<br />
eine sehr kleine elektrische Stromstärke fließt <strong>und</strong> somit das Meßgerät nur eine sehr kleine Leistung<br />
absorbiert. Umgekehrt soll der Innenwiderstand eines Stromstärkemeßgerätes aus einer äquivalenten<br />
Überlegung sehr klein sein (R i < 1Ω).<br />
Als Beispiel wird die Schaltung in Bild 1.10a betrachtet. Die Spannung U 2 am Widerstand R 2 in dieser<br />
dargestellten Schaltung ist durch die Beziehung<br />
U 2 = U<br />
R 2<br />
R 1 + R 2<br />
(1.41)
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 9<br />
Bild 1.10. <strong>Messung</strong> einer elektrischen Spannung.<br />
gegeben. Soll diese Spannung mit einem <strong>Spannungs</strong>meßgerät gemessen werden, so wird die zu messende<br />
Spannung durch den endlichen Innenwiderstand R mV des Meßgerätes beeinflußt. Für die Spannung<br />
gilt nach der Schaltung in Bild 1.10b<br />
U ′ 2<br />
U ′ 2 = U<br />
R 2<br />
R 1 + R 2 + R 1 R 2<br />
R mV<br />
(1.42)<br />
Aus dieser Beziehung ist leicht zu erkennen, daß die zu ermittelnde Spannung U 2 umso genauer gemessen<br />
wird, je größer der Innenwiderstand R mV des Meßgerätes gewählt wird. Für R mV → ∞ gilt:<br />
U 2 ′ = U 2 .<br />
Entsprechend kann festgestellt werden, daß eine Stromstärke umso genauer gemessen wird, je kleiner<br />
der Innenwiderstand des Meßgerätes ist. Als Beispiel wird die Schaltung in Bild 1.11a betrachtet.<br />
Bild 1.11. <strong>Messung</strong> einer elektrischen Stromstärke.<br />
Die Stromstärke, die durch den Widerstand R 2 fließt, berechnet sich nach<br />
I 2 = I<br />
R 1<br />
R 1 + R 2<br />
. (1.43)<br />
Soll diese Stromstärke mit einem Strommeßgerät gemessen werden, so wird sie durch den Innenwiderstand<br />
des Meßgerätes R mA beeinflußt. Nach der Schaltung in Bild 1.11b gilt<br />
I ′ 2 = I<br />
R 1<br />
R 1 + R 2 + R mA<br />
, (1.44)<br />
d.h. die zu ermittelnde Stromstärke wird umso genauer gemessen, je kleiner der Innenwiderstand R mA<br />
gewählt wird. Für R mA = 0 gilt: I ′ 2 = I 2.
10 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
1.2.3.2 Meßschaltungen<br />
Soll ein elektrischer Widerstand durch <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> Stromstärkemessung bestimmt werden, so<br />
können hierzu die in Bild 1.12 <strong>und</strong> 1.13 dargestellten Schaltungen verwendet werden. Mit der Schal-<br />
Bild 1.12. Widerstandsmessung.<br />
tung in Bild 1.12 wird der <strong>Spannungs</strong>abfall am Widerstand R richtig gemessen. Die durch das Strommeßgerät<br />
fließende <strong>und</strong> somit vom Meßgerät angezeigte Stromstärke ist jedoch um die Stromstärke<br />
I RV durch das <strong>Spannungs</strong>meßgerät parallel zum Widerstand R größer als die zu messende Stromstärke<br />
I R .<br />
Wird der Innenwiderstand des <strong>Spannungs</strong>messers mit R mV bezeichnet, so gilt für den Widerstand R<br />
der Schaltung in Bild 1.12<br />
Der gemessene Wert des Widerstandes R<br />
R = U R<br />
I R<br />
= U R<br />
I − I RV<br />
=<br />
U R<br />
I − U R<br />
R mV<br />
. (1.45)<br />
R gem = U R<br />
I<br />
(1.46)<br />
ist in diesem Fall kleiner als sein tatsächlicher Wert. Je kleiner der Innenwiderstand R mV des <strong>Spannungs</strong>meßgerätes<br />
ist, umso größer wird der Meßfehler.<br />
Werden die Spannung <strong>und</strong> die Stromstärke entsprechend der Schaltung in Bild 1.13 ermittelt, so gilt<br />
Bild 1.13. Widerstandsmessung.<br />
für den Widerstand R entsprechend der angegebenen Schaltung<br />
R = U R<br />
I R<br />
= U − U RA<br />
I R<br />
= U − I R R mA<br />
I R<br />
. (1.47)
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 11<br />
Der gemessene Wert des Widerstandes<br />
R gem = U I R<br />
(1.48)<br />
ist somit in diesem Fall größer als der wirkliche Wert; der Meßfehler wächst mit wachsendem Wert des<br />
Innenwiderstandes R mA des Stromstärkenmeßgerätes. <strong>Spannungs</strong>messer werden, wie bereits erwähnt,<br />
mit einem großen <strong>und</strong> Strommesser mit einem kleinen Wert des Innenwiderstandes gebaut. Daher eignet<br />
sich die Schaltung nach Bild 1.12 besser zur <strong>Messung</strong> <strong>von</strong> kleinen Widerständen <strong>und</strong> die Schaltung<br />
nach Bild 1.13 besser zur <strong>Messung</strong> <strong>von</strong> großen Widerständen. Ob der Wert des Innenwiderstandes als<br />
” groß “oder klein “anzusehen ist, ist eine Frage seines Einflusses auf den Meßvorgang <strong>und</strong> des dadurch<br />
”<br />
hervorgerufenen Meßfehlers, sowie der Entscheidung, ob dieser je nach Anwendung noch zu tolerieren<br />
ist.<br />
1.2.4 Meßbereichserweiterung<br />
1.2.4.1 Erweiterung des Meßbereichs eines Stromstärkemeßgerätes<br />
Der Meßbereich eines Stromstärkemeßgerätes wird durch einen maximalen Wert I m der meßbaren<br />
Stromstärke I begrenzt. Soll jedoch mit dem Meßgerät eine größere Stromstärke I > I m gemessen<br />
werden, so muß parallel zum Meßwerk des Meßgerätes ein Nebenwiderstand vorgesehen werden, durch<br />
den ein Teil I n der Stromstärke abgeleitet wird. Wird der Widerstand des Meßwerkes mit R m <strong>und</strong> der<br />
Wert des Nebenwiderstandes mit R n bezeichnet, so folgt unter Anwendung der Kirchhoffschen Sätze<br />
auf die Schaltung in Bild 1.14<br />
R n =<br />
R m<br />
n − 1<br />
mit<br />
n = I<br />
I m<br />
. (1.49)<br />
Bild 1.14. Meßbereichserweiterung eines Stromstärkemeßgerätes.<br />
1.2.4.2 Erweiterung des Meßbereichs eines <strong>Spannungs</strong>meßgerätes<br />
Der Meßbereich eines <strong>Spannungs</strong>meßgerätes kann erweitert werden, wenn dem Meßwerk ein Widerstand<br />
R v vorgeschaltet wird (Bild 1.15). Soll ein n-mal größerer Wert der Spanung U als die Höchstspannung<br />
U m , die mit dem Meßwerk gemessen werden kann, bestimmt werden, so folgt unter Anwendung<br />
der Kirchhoffschen Sätze für den Vorwiderstand R v<br />
R v = (n − 1) R m mit n = U U m<br />
. (1.50)
12 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
Bild 1.15. Meßbereichserweiterung eines <strong>Spannungs</strong>meßgerätes.<br />
1.3 <strong>Versuch</strong>sablauf<br />
Vor jeder <strong>Messung</strong> sind die Meßgeräte auf den höchsten Meßbereich einzustellen.<br />
1. Bestimmen Sie die Quellenkennlinie U = f(I) für eine gegebene Quelle.<br />
(a) Im Bereich I =10mA bis I =30mA sind dazu in Schritten <strong>von</strong> 4mA die entsprechenden<br />
Lastspannungen U(I) mit Hilfe der Schaltung in Bild 1.16 aufzunehmen. Tragen Sie die<br />
Meßergebnisse in die Tabelle 1.1 ein.<br />
Bild 1.16. <strong>Messung</strong> der Funktion U = f(I) der angegebenen Quelle.<br />
(b) Ermitteln Sie aus der nach (1a) gemessenen Quellenkennlinie die Leerlaufspannung U l , die<br />
Kurzschlußstromstärke I k <strong>und</strong> den Innenwiderstand R i der Quelle gemäß Bild 1.3.<br />
U l = ; I k = ; R i =<br />
(c) Bestimmen Sie den Innenwiderstand R i nach Gl. (1.23), d.h. mit Hilfe der Stromstärke I ′<br />
bei der halben Leerlaufspannung U l /2:<br />
R i = U ′<br />
I ′<br />
= U l<br />
2 I ′ =
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 13<br />
U<br />
V<br />
I<br />
mA<br />
R a = U I<br />
Ω<br />
P a = U I<br />
mW<br />
U Ri<br />
= U 0 − U<br />
V<br />
P i = U Ri I<br />
mW<br />
Tabelle 1.1.<br />
Bild 1.17. Quellenkennlinie der <strong>Spannungs</strong>quelle.
14 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
(d) Bestimmen Sie aus den unter (1a) <strong>und</strong> (1b) ermittelten Werten den Verlauf der Leistung<br />
am Last- <strong>und</strong> Innenwiderstand als Funktion des Lastwiderstandes <strong>und</strong> ermitteln Sie den<br />
Wert <strong>von</strong> R a aus dem Schnittpunkt beider Kurven (Bild 1.18).<br />
Bild 1.18. Verlauf der Leistungen am Lastwiderstand P a = f(R a ) <strong>und</strong> am Innenwiderstand P i =<br />
f(R a ) als Funktion des Lastwiderstandes.<br />
(e) Bestimmen Sie aus den Werten unter (1b) die Elemente der Ersatzspannungs- bzw. Ersatzstromquelle<br />
dieser realen <strong>Spannungs</strong>quelle (Bild 1.19).<br />
Bild 1.19. Ersatzspannungs- bzw. Ersatzstromquelle.<br />
2. Nehmen Sie die Kennlinie A(R 2 /R) eines belasteten <strong>Spannungs</strong>teilers auf.<br />
(a) Ermitteln Sie den tatsächlichen Wert (Ist-Wert) des Widerstandes R (nomineller Wert:<br />
R =1kΩ) aus einer Stromstärke- <strong>und</strong> einer <strong>Spannungs</strong>messung am unbelasteten <strong>Spannungs</strong>teiler<br />
(R 3 → ∞).<br />
I 2 = ; U 3 = ; R =<br />
(b) Bestimmen Sie das <strong>Spannungs</strong>verhältnis A = U 3 /U der in Bild 1.20 gezeichneten Schaltung<br />
für den Wert des Lastwiderstandes R 3 =100Ω als Funktion <strong>von</strong> x = R 2 /R.<br />
(c) Tragen Sie die Ergebnisse unter (2a) <strong>und</strong> (2b) in das Bild 1.21 ein.
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 15<br />
Bild 1.20. Meßschaltung zur Ermittlung des <strong>Spannungs</strong>verhältnisses A = U 3 /U.<br />
U 3<br />
V<br />
0 2 4 6 8 10 12,5 15 17,5 20<br />
I 2<br />
mA<br />
A 2 = U 3<br />
U<br />
1<br />
R 2 = U 3<br />
I 2<br />
Ω<br />
x = R 2<br />
R<br />
1<br />
Tabelle 1.2. Zur Meßschaltung nach Bild 1.20 mit R 3 = 100Ω (belastete <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung).<br />
Bild 1.21. Unbelastete <strong>und</strong> belastete <strong>Spannungs</strong>teilerschaltung.
16 Praktikum Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik <strong>B2</strong><br />
3. Der Wert des Widerstandes R in den in den Bildern 1.12 <strong>und</strong> 1.13 angegebenen<br />
Schaltungen beträgt 500Ω. Bestimmen Sie diesen Widerstand durch je eine<br />
<strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> eine Stromstärkemessung.<br />
Bei allen Schaltungen wird dasselbe Strommeßgerät mit kleinem Innenwiderstand verwendet.<br />
Die Spannung soll im Fall A mit einem Vielfachmeßgerät Multizet (R mV = 500Ω) <strong>und</strong> im Fall<br />
B mit einem elektronischen Meßgerät (R mV > 10MΩ) gemessen werden.<br />
(a) Bestimmen Sie den Wert des Widerstandes R durch die <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> Stromstärkemessung<br />
mit Hilfe der Schaltung in Bild 1.12.<br />
Fall A: R mV = 500Ω<br />
U R<br />
V<br />
R mV<br />
= 500Ω<br />
I<br />
mA<br />
R gem<br />
Ω<br />
Fall B: R mV<br />
> 10MΩ<br />
U R<br />
V<br />
R mV<br />
> 10MΩ<br />
I<br />
mA<br />
R gem<br />
Ω<br />
(b) Bestimmen Sie den Wert des Widerstandes R durch die <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> Stromstärkemessung<br />
mit Hilfe der Schaltung in Bild 1.13.<br />
Fall A: R mV = 500Ω<br />
U R<br />
V<br />
R mV<br />
= 500Ω<br />
I<br />
mA<br />
R gem<br />
Ω<br />
Fall B: R mV<br />
> 10MΩ<br />
U R<br />
V<br />
R mV<br />
> 10MΩ<br />
I<br />
mA<br />
R gem<br />
Ω<br />
(c) Interpretieren <strong>und</strong> vergleichen Sie die Ergebnisse der Punkte (3a) <strong>und</strong> (3b) (in Stichworten).
<strong>Versuch</strong> <strong>B2</strong>/1: <strong>Spannungs</strong>- <strong>und</strong> <strong>Stromquellen</strong>, 17<br />
4. Meßbereichserweiterung<br />
Hinweis: Dieser Aufgabenteil muß nur berechnet werden.<br />
(a) Der Meßbereich eines Stromstärkemeßgerätes ist <strong>von</strong> 0,3A auf 1,5A zu erweitern. Welcher<br />
Wert des Parallelwiderstandes ist hierzu erforderlich?<br />
I = 1, 5A<br />
Zeichnen Sie das Schaltbild.<br />
I m = 0, 3A<br />
n = I<br />
I m<br />
= R mA =<br />
R n = R mA<br />
n − 1 =<br />
(b) Der Meßbereich eines <strong>Spannungs</strong>meßgerätes ist <strong>von</strong> 6V auf 10V zu erweitern. Welcher Wert<br />
des Reihenwiderstandes ist hierzu erforderlich?<br />
U = 10V<br />
U m = 6V<br />
n = U = R mV =<br />
U m<br />
R v = (n − 1) R mV =<br />
Zeichnen Sie das Schaltbild.<br />
Schaltbild zu 4a: Schaltbild zu 4b:<br />
Literatur:<br />
Wolff, I. Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik 2, Verlagsbuchhandlung Nellissen-Wolff, Aachen<br />
Moeller, R. Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1971.<br />
Ameling, W. Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik I, Bertelsmann Universitätsverlag, Düsseldorf, 1974.