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Wenn der tatsächliche Interessenhorizont eines Individuums nur kurzfristig orientiert
ist, kann eine langfristige Portfolioauswahl auf ein Modell zur kurzfristig optimalen
Portfolioauswahl zurückgeführt werden. In diesem Modell hat ein Investor ein bestimmtes
Vermögen und die Möglichkeit daraus Kapitaleinkünfte zu erzielen. Er hat aber kein
Arbeitseinkommen. Die Kapitaleinkünfte ergeben sich aus der auf das Portfolio bezogenen
Rendite Rp, die auf der sicheren Rendite, einer konstanten Risikorendite und dem
Anteil des riskant angelegten Vermögens beruht. Der Zusammenhang zwischen dem
heutigen und morgigen Vermögen wird dann wie folgt formuliert.
W t1
=1R p ,t 1 ⋅W t
−C t (3.3.1)
Die Zeitindizes bezeichnen dabei Werte, die zu heute verfügbarem Geld gehören mit t,
und Werte die morgen verfügbar sind mit t+1. Die Portfoliorendite ist aufgrund der in
ihr enthaltenen unsicheren Rendite nur ein Erwartungswert. Ihre Indizierung mit t+1
soll anzeigen, dass die Kapitaleinkünfte erst in der nächsten Periode verfügbar sind.
Ferner ergeben sich die Einkünfte ausschließlich aus dem Nettovermögen nach Abzug
des aktuellen Konsums (vgl. Campell/Viceira 2002, S. 37).
Da in der vorangegangen Budgetbeschränkung nur das wieder neu angelegte Vermögen
Kapitaleinkünfte erwirtschaftet, also vor der Geldanlage am Kapitalmarkt der Konsum
vom aktuellen Periodenvermögen abgezogen wird, ist diese Beschränkung eine nichtlineare
Formulierung. Um eine lineare Beziehung zu erreichen, setzen Campbell und Viceira
die vorherige Budgetbeschränkung relativ zum Vermögen am Periodenbeginn Wt,
logarithmieren den gesamten Ausdruck und nähern den dann noch nichtlinearen Term
durch eine Taylorreihenentwicklung erster Ordnung an. Daraus ergibt sich eine lineare
Beziehung zwischen der Wachstumsrate des Vermögens und dem aktuellen Vermögen
und Konsum und der geschätzten Portfoliorendite.
w t1 =k r p ,t 1
1− 1 ⋅ c t −w t (3.3.2)
Aus einer langfristigen Betrachtung, die aus dieser Beschränkung hervorgeht, haben
Campbell und Viceira ohne eine explizite Optimierung ableiten können, dass ein hoher
heutiger Konsum mit einer hohen erwarteten Kapitalrendite oder einem geringen Konsumwachstum
in der Zukunft verbunden ist (vgl. Campell/Viceira 2002, S. 50-52).
Hierzu kann angemerkt werden, dass die langfristige Betrachtung für einen unendlichen
Zeithorizont durchgeführt wurde, weshalb ein Term durch seinen Grenzwert von Null
entfallen ist. Ferner wird in dieser Modellierung wie in der vorherigen kein Arbeitseinkommen
berücksichtigt.