Untersuchung organischer Adsorbate auf ... - Markus Lackinger

Tersoff-Hamann-Modell 10
trapezförmig modelliert und ihre Transmissionswahrscheinlichkeit entsprechend Gl. (1.2)
berechnet worden. Für die notwendigen physikalischen Größen ist eine Barrierenbreite
d =6 Å und eine mittlere Barrierenhöhe ¯Φ=4.5 eV eingesetzt worden. Zum Vergleich sind
die Strom-Spannungs-Kennlinien für 300 K und 30 K simuliert worden, Abb. 1.1(a) zeigt
die I-V Kurven und (b) die zugehörigen Ableitungen.
In Abb. 1.1(a) läßt sich ein Einsetzen des Tunnelstroms beobachten, noch bevor durch
die anliegende Potentialdifferenz das Fermi-Niveau der Spitze die Zustände der Probe
erreicht. Die Ursache hierfür ist das Tunneln aus höheren, durch thermische Anregung
besetzten Niveaus. Erwartungsgemäß ist dieser Effekt umso ausgeprägter, je größer die
Temperatur ist, deutlicher zu sehen anhand der in Abb. 1.1(a) eingeschobenen Vergrößerung.
Im Grenzfall T=0 K kann erst ein Tunnelstrom fließen, wenn das Fermi-Niveau
der Spitze auf Höhe der unbesetzten Zustände kommt. Diese thermische Verbreiterung
manifestiert sich auch in den differenzierten Kurven, wie Abb. 1.1(b) bezeugt. Ein zweiter
mit diesem einfachen Modell erklärbarer Effekt ist in den I-V Kurven sichtbar. Übersteigt
das Fermi-Niveau der Spitze die unbesetzten Zustände der Probe, fällt der Tunnelstrom
wieder ab. Der Grund hierfür ist, daß sich die effektive Barriere für Tunnelübergänge
in diese Zustände mit wachsender Tunnelspannung erhöht und dadurch der Tunnelstrom
wieder sinkt. Ein vergleichbarer Effekt kann auch experimentell z.B. bei der Spektroskopie
eines zweidimensionalen Oberflächenzustands beobachtet werden. Trotz der konstanten
Zustandsdichte im Energieraum sinkt nach dem Erreichen der unteren Bandkante des
Oberflächenzustands das dI/dV-Signal wieder ab [Li97].
1.2 Tersoff-Hamann-Modell
Die erste, für das dreidimensionale Tunnelproblem im STM spezifische Theorie ist von
Tersoff und Hamann entwickelt worden und gilt nach wie vor als Standardmodell [Ter83,
Ter85]. Obwohl es aufgrund der gemachten Einschränkungen nicht für alle experimentellen
Bedingungen geeignet erscheint, lassen sich doch grundlegende Aussagen ableiten.
Der Tunnelstrom ist im Tersoff-Hamann-Modell durch folgenden Ausdruck gegeben:
I = 2πe
∑
µ,ν
[
]
f(E µ ) 1 − f(E ν + eV ) |M µν | 2 δ(E µ − E ν ) (1.4)
Die Indizierung läuft über die Zustände der Probe, respektive der Spitze, f(E) gibt
die Besetzungswahrscheinlichkeiten an. Durch die δ-Funktion werden ausschließlich elastische
Tunnelübergänge berücksichtigt, für die E ν = E µ gilt. Inelastische Tunnelübergänge
tragen nur zu einem kleinen Teil zum Gesamtstrom bei und können in den meisten Fällen
vernachlässigt werden, sind aber dennoch zur Spektroskopie z.B. molekularer Vibrationen
geeignet [Sti98].
Die Berechnung des Tunnelstroms erfolgt analog zu der aus zeitabhängiger Störungstheorie
erster Ordnung gewonnenen Fermi’schen ”
Goldenen Regel“. Das dabei auftretende
Matrixelement M µν enthält die Übergangswahrscheinlichkeiten für Übergänge zwischen
den Zuständen µ und ν. Es wurde von Bardeen als Oberflächenintegral über eine nahezu
beliebig liegende Separationsfläche zwischen Probe und Spitze abgeleitet [Bar61] und
kann wie folgt berechnet werden: