Erzeugende Funktionen von ... - Markus Schieche

Erzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Formal kann auch noch die Variable t wieder mit t → 1 aus den erzeugenden
Funktionen entfernt werden.
lim
t → 1
µ ( t−1)
λ ( t−1)
( µ + λ )[ t−1]
µ (1−1)
λ (1−1)
( µ + λ )[ 1−1]
[ G( P * P ) = e ⋅ e = e ] = ( P * P ) = e ⋅ e =
µ λ
µ λ 123 123 e
= 1 = 1
14243
= 1
In diesem Fall resultiert aus dem Entfernen von t keine besonders wertvolle Aussage.
Die Aussage ist nur, dass die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse der gefalteten
Verteilung wieder 1 ist. Bei der Bestimmung des Erwartungswertes der
Poissonverteilung wird das entfernen von t jedoch eine größere Bedeutung haben.
Die Reproduktivität gilt jedoch nicht bei jeder Faltung. Insbesondere nicht bei
Faltungen unterschiedlicher Funktionen. Teilweise ist jedoch die entstehende dritte
Funktion bereits bekannt und der Zusammenhang lässt sich über die einzeugende
Funktion nachweisen. Ist all dies nicht möglich, kann aus der erzeugenden Funktion
noch versucht werden eine Rekursionsvorschrift abzuleiten, was später unter Punkt
4. erläutert wird.
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