Erzeugende Funktionen von ... - Markus Schieche

Erzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.1 Grundlagen der Rechenvorschrift Faltung
Die Faltung beschreibt einen mathematischen Operator, der für zwei (oder mehrere)
Funktionen f und g eine hieraus resultierende neue Funktion liefert, die die
Überlappung von f und einer gespiegelten und verschobenen Variante von g angibt.
Für die konkrete Anwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bedeutet die
Faltung beispielsweise folgendes:
Die beiden Funktionen f und g sind Zweipunktverteilungen eines Münzwurfs. Fällt
Kopf (0) erhält der Spieler keinen Gewinn – fällt hingegen Zahl (1) wird ein Gewinn
von einer Geldeinheit ausgezahlt. Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ereignisse
beträgt p = 0,5.
⎧0
= 0,5
⎨
⎩1
= 0,5
f ( x)
= und g ( x)
⎧0
= 0,5
= ⎨
⎩1
= 0,5
Die Faltung von f und g geschrieben – f*g(x) bedeutet nun, dass die resultierende
Funktion einen zweifachen Münzwurf beschreibt und Wahrscheinlichkeiten für den
Gewinn von 0, 1 oder 2 Geldeinheiten angibt. Bei diesem einfachen Beispiel ist die
Wertetabelle noch manuell ermittelbar.
f
( )
* g x
⎧0
= 0,25
⎪
= ⎨1
= 0,75
⎪
⎩2
= 0,25
Will man hingegen zwei Poissonverteilungen miteinander falten, gestaltet sich dies
schon deutlich aufwendiger. Auch wäre die Faltung aufgrund der unendlichen
Definitionsmenge der Poissonverteilung ohnehin manuell nicht vollständig
durchführbar. Das Ergebnis der Faltung sollte Idealerweise eine neue Formel in Form
einer Summenfunktion sein. Möglich wäre als Ergebnis auch das Ermitteln eines
Zusammenhangs für eine rekursive Berechnung. In der nachfolgenden Tabelle
wurden einmal exemplarisch zwei Poissonverteilungen gefaltet.
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