Erzeugende Funktionen von ... - Markus Schieche

Erzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Anschaulich bedeutet die vorherige Formel auf Basis der erzeugenden Funktion:
t 2 multipliziert mit der zweiten Ableitung
+ t multipliziert mit der ersten Ableitung
- Erwartungswert zum Quadrat was gleichzusetzen ist mit:
o t multipliziert mit der ersten Ableitung zum Quadrat
Das „addon“ (2-erzeugende Funktion) kann hier vernachlässigt werden, da es
bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen nach dem Entfernen von t (t→1) immer
gegen 1 konvergiert.
o Eventuell müsste eine Beachtung erfolgen, wenn eine Verteilung aus
mehreren Einzelfunktionen zusammengesetzt wäre, die dann nicht
gegen 1 konvergieren. Dies wurde jedoch hier nicht weiter untersucht.
Nun gilt es diese Erkenntnis wieder auf die Poissonverteilung zu übertragen.
Die Potenzreihe ( ) ∑ ∞ n
a
t
= t wird dazu durch
n=
0
GP
µ
∞ n
−µ
µ
= e ⋅∑
n=
0 n!
⋅t
n
= e
µ ( t−1)
ersetzt.
Die Varianz berechnet man daher mit der Funktion
V
∞
n
∞
2 µ −µ
n
( GPµ
) = ∑( n − E( GPµ
) ⋅ ⋅ e ⋅t
= ∑( n − E( GPµ
)
n=
0
n
! n=
0
2
⋅
( µ ⋅t)
n!
n
⋅ e
−µ
Das bereits mit der Potenzreihe durchgeführte Ausmultiplizieren der Klammer ergibt
hierbei folgende Schreibweise
V
V
( GP ) ( µ ⋅t)
µ
n−
( µ ⋅ t)
( n − )
( )
( )
∞
2
∞ n−1
∞
=
2
−
⋅
2 ⎛
−
⋅ ⎞
−
⋅ ⋅ + ( ⋅ ) ⋅ ⋅ − ( ) ⋅⎜2
⎟
2 2 !
1 ( 1 )!
123
− ∑
n
µ
µ t µ
µ t µ
∑ e µ t ∑ e E GPµ
⋅ e
= 2 !
n=
n=
n −
144
443
1442
443
( −1)
⎝ n n
µ t
( ⋅ ) ⋅ 1444
24443
⎠
µ t e
µ ( t−1)
″
µ ( t−1)
″
µ ( t−1)
= ( e )
= ( e )
= 2−e
2 µ ( t−1)
″
µ ( t−1)
′
µ ( t−1)
2 µ ( t−1)
( GP ) = ( µ ⋅ t) ⋅ ( e ) + ( µ ⋅t) ⋅ ( e ) − ( ⋅t)
⋅ e ) ⋅ ( 2 − e )
µ
µ
e
″ t
=
e
′
= e
E GPµ = µ ⋅ t
µ ( t −1)
µ ( t −1)
µ ( −1)
µ ( t −1)
es gilt: ( ) ( ) ; ( ) ( )
⋅ e
21/22