Erzeugende Funktionen von ... - Markus Schieche

Erzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
E
µ ( t −1)
( −1)
( −1)
( GPµ ) = ( µ ⋅ t) ⋅ e
es gilt: ( ) ′ µ t
µ
e = e
t
Nun ist der Erwartungswert von GP µ bekannt, was aber noch nicht die gesuchte
Lösung ist. Zum Schluss muss noch das t „entfernt“ werden. Dies geschieht wieder
indem man t gegen 1 gehen lässt.
lim
t →1
⎡
⎢E
⎢
⎣
µ ( −1)
( GP ) = ( ⋅t) ⋅ e ⎥ = E( P ) µ
µ µ µ =
123
→µ
⎤
t
12 3
0 ⎥
→e
= 1 ⎦
Damit ist über die erzeugende Funktion bewiesen, dass der Parameter µ der
Poissonverteilung gleichzeitig deren Erwartungswert ist.
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