Musterlösung Kolloquium 04 - Institut für Baustatik und Konstruktion

Prof. Dr. Peter Marti 

Institut für Baustatik und Konstruktion 

D-BAUG, Studiengang Bauingenieurwissenschaften 

Frühjahrssemester 

BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 4, Lösung 

(101-0114) 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

Thema: Elastisch-plastische Systeme 

Aufgabe, Lösung 

Gegeben: 

Gesucht: 

System und Einwirkung 

a) Systemverhalten in Abhängigkeit des Parameters bei monoton wachsendem F bis zum 

Erreichen der Traglast F u . 

b) Für 5: 

- Diagramm F / F u in Funktion von Ni/ 

Af y 

- Diagramm w2/ w 2u 

in Funktion von Ni/ 

Af 

y 

- Pendelstäbe: Querschnittsfläche A 

- Materialverhalten der Stäbe: 

linear elastisch-ideal plastisch 

- keine Stabilitätsprobleme 

- F wächst monoton bis zum Kollaps 

- System initial eigenspannungsfrei 

- 0 

a) Systemverhalten bei monoton wachsendem Q 

Elastische Phase: 

System 1-fach statisch unbestimmt: 

→ Gleichgewicht und Verträglichkeit 

zur Ermittlung der 3 Unbekannten 

Gleichgewicht: 

Verträglichkeit: 

F 0 F 2F N N N 0 

v 

(2) 1 3 

 

1 3 

 

1 2 3 

3F N N N 0 (1) 

1 2 3 

M 0 N a N a 2F a 0 

N N 2F 

0 (2) 

EIBalken 

 

w1 w3 w1 

w 

w 

3 

2 w2 0 

2 2 2 

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

P M Kolloquium 4, Musterlösung Seite 1/15 

SSch/08.09.2011





Es gilt: w l , w l , w l 

1 1 2 2 3 3 

 

N2l 1 N1 l 

1 N3 

l 

0 

EA 2 EA 2 EA 

 

 

N2 N1 N3 

0 

2 2 

(3) 

Auflösung des Gleichungssystems: 

 

5 

 

 

2 

 

N1 

 

3 

 

N 

N2 

F 

2 

N 

 

3 1 

 

2 

 

Kontrolle: N1 N2 N3 3F 

i.O. 

Fliesslast: 

Welcher Stab erreicht zuerst die Fliessgrenze? 

grafische Betrachtung: 

 

 

0 5 / 2: Stab 1 massgebend 

5 / 2 : Stab 2 massgebend 

Analytische Betrachtung: 

Die Stäbe können auf Zug oder Druck fliessen Vergleich der Betragswerte 

 

 

F 

N1 N3 

 

5 1 

2 

 

0 0/ 0 

 

1 0 : 5 1 5 1 4 2 0 

1 0 : 5 1 5 1 6 

N1 N3 

für alle Stab1fliesst immer vor Stab 3 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


SSch/08.09.2011





 

 

F 

F 

N1 N2 

 

5 3 5 2 

2 2 

0 0 

 

5 2 0 

5 

: 

2 

N1 N2 

Stab 2 fliesst vor Stab1 

5 2 0 

5 

: 

2 

N1 N2 

Stab1fliesst vor Stab 2 

5 2 0 

5 

: 

2 

N1 N2 

Stab1 und Stab 2 fliessen gleichzeitig 

 

 

F 

N2 N3 

 

3 1 

2 

0 0/ 0 

 

1 0 : 3 1 3 1 4 1 0 

1 

für 

4 

3 1 3 1 4 1 0 

1 


4 

1 0 : 3 1 3 1 2 1 

0 

N 

N 

N 

1 


4 

Stab 2 fliesst vor Stab 3 

N 

1 


4 

Stab 3 fliesst vor Stab 2 

2 3 

2 3 

Da Stab 1 immer vor Stab 3 fliesst, hätte dieser Fall nicht weiter untersucht werden müssen. (Stab 3 ist 

nie massgebend; siehe auch grafische Betrachtung.) 

Zusammenfassung: 

1 

0 : 

4 

N 

N 

N 

 

N 

1 3 

 

N 

1 2 

 

N 

2 3 

 

Stab1fliesst zuerst 

1 5 

: 

4 2 

N 

N 

N 

 

N 

1 3 

 

N 

1 2 

 

N 

2 3 

 


5 

: N1 N2 

Stab1 und Stab 2 fliessen gleichzeitig 

2 

5 

: N1 N3 

2 

N N Stab 2 fliesst zuerst 

N 

2 1 

N 

2 3 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Fliesslast: 

5 3 

I 2 

: Stab 2 fliesst zuerst N2 

F Af y Fy Af y 

2 2 

3 

5 5 

II 2 

: Stab1fliesst zuerst N1 


2 2 

5 

5 

: Stab1 und Stab 2 fliessen gleichzeitig Fliesslast = Traglast Kollaps 

2 

! 

! 

! 

I II 3 

N1 N2 Af y Fy Fy 

Af y Fu 

5 

Im Folgenden werden die zwei Fälle 5/2 und 5/2 unterschieden: 

Fall 1: 5/2 

Fliesslast: 

Stab 2 fliesst zuerst 

3 

! 

I 2 

N2 


2 

3 

Stabkräfte beim Erreichen der Fliesslast: 

I 2 

F Fy Af y , N2y Af y 

3 

Ende der elastischen Phase: 

 

5 

 

5 

2 

 

N1y 

 

 

3 

 

3 

 

N N F 1 

Af 

2 

 

N 

1 

 

3y 

1 

3 

 

2 

 

y 2y y y 


I i.O. 

y y y y 

Durchbiegungen beim Erreichen der Fliesslast (Ende der elastischen Phase): 

 

N1y 

l 

5 

fy 

l 

 

3 E 5 

 

w1y 

EA 

l1y 

 

 

N 

3 

2y l f y l 

f y l 

wy 

w2y l2y 

1 

EA E E 

w 1 

3y 

l 

3y N3y 

l 1 f y l 

 

3 

EA 3 

E 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Elastisch-plastische Phase: 

Stab 2 fliesst: → N2 Af y 

System ist jetzt statisch bestimmt 

Gleichgewicht muss erfüllt sein → Die Gleichungen (1) und (2) aus der elastischen Phase 

sind auch jetzt gültig. 

F 0 F 2F N Af N 0 

v 

(1) y 3 

 

 

1 y 3 

3F N Af N 0 (1) 

1 y 3 

M 0 Af a N 2a F a 0 

Af 2N F 0 (2) 

Die Gleichung (3) aus der elastischen Phase ist nicht mehr gültig, da der Stab 2 fliesst und somit seine 

N 

Längenänderung nicht mehr der elastischen Verlängerung entspricht: 

2 l 

l2 

 

EA 

Dafür gilt jetzt: N2 Af y 

(3) 

y 

3 

 

 


 

5F 

Af 

y 

 

N1 

2 

 

N 

N2 

Af y 

 

N 

 

3 F Af y 

 

2 


i.O. 

Durchbiegungen für F > F y : 

 

Die Stäbe 1 und 3 verhalten sich immer noch elastisch: 

N1 

l 5F 

Af y l 

w1 l1 

 

EA 2 EA 

N F Af 

3 l y l 

w3 l3 

 

EA 2 EA 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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N 

Da Stab 2 fliesst → 

2 l 

w2 l2 

 

EA 

w 

Die Verträglichkeit 

1 

w 

w 

3 

2 muss aber wegen EIBalken 

immer erfüllt sein. 

2 

w1 w 5 3 

3 1 F Af y F Af y l F Af y l 

w2 

2 2 

 

2 2 

 

EA 2 EA 

 

5F 

Af 

1 y 

 

w1 

 

EA 

2 

1 l 

 

1 

3 

1 3 ( 1 3) 

F Af y 

2 2 

w 

 

w w N N l l 

w w l 

 

2 2EA 

2 EA 

w 

 

3 l 

 

 

w 3 3 

N3 l F Af y 

 

EA 

 

 

2 

N 

l 

 

Traglast: 

Kollaps tritt ein, sobald Stab 1 oder Stab 3 ebenfalls die Fliessgrenze (auf Zug oder Druck) erreicht 

(Mechanismus). Dabei ist zu beachten, dass es durchaus möglich ist, dass ein Stab in der elastischen 

Phase auf Druck (Zug), in der elastisch-plastischen Phase jedoch auf Zug (Druck) beansprucht wird. 

Welcher Stab erreicht als nächster die Fliessgrenze? 

Stab 3: 

1 

elastisch: N3 

F 0 

2 

Druck für 5/ 2 

elastisch-plastisch: 

F Af y 

N3 

 

2 

Zug aus Zuwachs von F 

Erreichen der Fliessgrenze auf Zug 

Mit: 

N3 

F Af y 

! 

Af y Stab 3 beginnt zu fliessen 

2 

folgt: F( N3 

Af y) 3Af 

y 

Stab 1: 

5 

elastisch: N1 

F 

2 

Zug für 5/ 2 

elastisch-plastisch: 

5F Af y 

N1 

 

2 



________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Mit: 

5F 

Af y 

! 

N1 

Af y 

2 

Stab 1 beginnt zu fliessen 

folgt: 

3 

F( N1 

Af y) 

Af y 

5 

Traglast 





F( N Af ) F( N Af ) 

1 y 3 

y 

F 

I 

u 

3 

Af 

5 

y 

Die Traglast ist unabhängig von ! 

Kontrolle: 

I 2 

3 I 

Fy Af y Af y Fu 

3 

5 

i.O. 

Stabkräfte beim Erreichen der Traglast (unabhängig von ζ !): 

3 

F Fu 

Af y 

5 

N N Af 

1u 2u y 


 

 

Fv 0 3Fu Af y Af y N3u 

0 

1 

N1u 

 

 

Nu 

N2u 1 

Af y 

 

N 

 

3u 

1 

 

 

5 

9 

Kontrolle: N1u N2u N3u 3Fu Af y i.O. 

5 

 

Durchbiegungen beim Erreichen der Traglast: 

Stab 1 ist gerade am Ende des elastischen Verhaltens, Stab 2 fliesst, Stab 3 verhält sich immer noch elastisch. 

 

N1u 

l 

 

w1 

u 

EA 

 

w1u 

l1u 

w1 u w3u ( N1u N3u 

) l 

2 

fy 

l 

wu w2u l2u 

 

2 2EA 

5 E 

w 

 

3u 

l 

 

 

w 3u 3u 

 

 

N3u 

l 

 

 

EA 

 

5 

 

 

 

Die Verformungen beim Kollaps sind abhängig von ! 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Verhältnis: 

w2 

y f y l 5 

E 5 

 

 

w2u 

E 2 l f y 2 

5 w2 

y 

1 

2 w2u 

keine elastisch-plastische Phase 

sprödes Verhalten 

5 w2 

y 

1 

2 w2u 

Übergang in elastisch-plastische Phase 

duktiles Verhalten 

Fall 2: 5/2 

Fliesslast: 


5 ! 

II 2 

N1 


2 

5 

Stabkräfte beim Erreichen der Fliesslast: 

II 2 

F Fy Af y , N1y Af y 

5 

Ende der elastischen Phase: 

 

5 1 

 

2 

 

N1y 

 

 

 

 

3 

3 

 

N N F 

Af 

2 5 

N3y 

1 1 

 

2 5 

y 2y y y 


II i.O. 

y y y y 

Durchbiegungen beim Erreichen der Fliesslast (Ende der elastischen Phase): 

 

N1y 

l f y l 

 

 

 

EA 

E 

 

w1y 

l1y 

 

 

N2y l 3 f y l 

3 f y l 

wy 

w2y l2y 

 

EA 5 E 5 E 

w3y l3y N3y 

l (1 ) 

fy 

l 

(1 ) 

 

 

EA 5 E 

5 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Stab 1 fliesst: → N1 Af y 

System ist jetzt statisch bestimmt 

Gleichgewicht muss erfüllt sein → Die Gleichungen (1) und (2) aus der elastischen Phase 

sind auch jetzt gültig. 

F 0 F 2F Af N N 0 

v 

(2) y 3 

 

3 

 

2 3 

2 3 

3F Af N N 0 (1) 

M 0 Af a N a 2F a 0 

y 

y 

Af N 2F 

0 (2) 

y 

 

 

Die Gleichung (3) aus der elastischen Phase ist nicht mehr gültig, da der Stab 1 fliesst und somit seine 

N 

Längenänderung nicht mehr der elastischen Verlängerung entspricht: 

1 l 

l1 

 

EA 

Dafür gilt jetzt: N1 Af y (3) 


 

N1 

Af y 

 

N 

N2 

5F 2Af 

 

 

N 

 

3 Af y 2F 

 

 


i.O. 

Durchbiegungen für F > F y : 

Die Stäbe 2 und 3 verhalten sich immer noch elastisch: 

N2 

l l 

w2 l2 

5F 2Af 

y 

EA 

EA 

N3 

l l 

w3 l3 

Af y 2F 

 

EA 

EA 

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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N 

Da Stab 1 fliesst → 

1 l 

w1 l1 

EA 

Die Verträglichkeit muss aber wegen 

EIBalken 

l 

w1 2w2 w3 

2F 5 Af y 4 

 

 

 

 

 

EA 

 

immer erfüllt sein: 

2N2l N3 l 

 

 

1 2 

EA 

 

2F 2 3 1 

5 Af y 4 

 

w 

w w l 

 

N2 

l l 

w w2 w2 l2 

5F 2Af 

y 

EA 

EA 

w 

 

3 w 

 

3 l 

 

 

3 N3 

l 

Af y 2F 

 

 

 

 

EA 

 

 

 

Traglast: 

Kollaps tritt ein, sobald Stab 2 oder Stab 3 ebenfalls die Fliessgrenze (auf Zug oder Druck) erreicht 

(Mechanismus). Dabei ist zu beachten, dass es durchaus möglich ist, dass ein Stab in der elastischen Phase 

auf Druck (Zug), in der elastisch-plastischen Phase jedoch auf Zug (Druck) beansprucht wird. 

Welcher Stab erreicht als nächster die Fliessgrenze? 

Stab 3: 

1 

elastisch: N3 

F 

2 

Druck für 1 5/ 2 

elastisch-plastisch: N3 Af 2F 

Druck aus Zuwachs von F 

y 

Erreichen der Fliessgrenze auf Druck 

Mit 

! 

3 y 2 y Stab 3 beginnt zu fliessen 

N Af F Af 

folgt: F( N3 

Af y) 

Af 

y 

Stab 2: 

3 

elastisch: N2 

F 

2 

 


elastisch-plastisch: N2 5F 2Af 

y Zug aus Zuwachs von F 


________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Mit: 

N2 5F 2Af y Af y Stab 2 beginnt zu fliessen 

folgt: 

3Af 

y 

F( N2 

Af y ) 

5 

! 

Traglast: 

F( N Af ) F( N Af ) 

2 y 3 

y 

II 

3Af 

Fu 

 

5 

y 

Die Traglast ist unabhängig von ! 

Kontrolle: 

II 2 

3 II 

Fy Af y Af y Fu 

5 

5 

i.O. 

Stabkräfte beim Erreichen der Traglast (unabhängig von ζ !): 

3 

F Fu 

Af y 

5 

N1u N2u Af y 


 

 

Fv 0 3Fu Af y Af y N3u 

0 

1 

N1u 

 

 

Nu 

N2u 1 

Af y 

 

N 

 

3u 

1 

 

 

5 

9 

Kontrolle: N1u N2u N3u 3Fu Af y i.O. 

5 

 

Durchbiegungen beim Erreichen der Traglast: 

Stab 1 fliesst, Stab 2 ist gerade am Ende des elastischen Verhaltens, Stab 3 verhält sich immer noch elastisch. 

 

2N2u 

l N3u 

l 

 

2 

1 2 EA 

 

 

w u w2u w3u l1 

u 

 

5 

 

 

N 

f 

2u 

l 

 

y l 

wu w2u w2u l2u 

1 

EA 

E 

w 

 

3u w 

 

3u l 

 

 

3u 

 

N3u 

l 

 

5 

EA 

 

 

 

Die Verformungen beim Kollaps sind abhängig von ! 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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Verhältnis: 

w1 

y f y l E 

 

w1 

u 

2 

E f y l 

5 

5 

 

10 

5 w1 

y 

1 

2 w 

1u 

keine elastisch-plastische Phase 

sprödes Verhalten 

Zusammenfassung: 

5 w1 

y 

1 

2 w1 

u 

Übergang in elastisch-plastische Phase 

duktiles Verhalten 

I II 3 

Fu Fu Fu Af y 

5 

Die Traglast Fu 

ist unabhängig von und damit unabhängig von der Reihenfolge, mit welcher die Stäbe 

ins Fliessen kommen. 

Verallgemeinerung: 

Die Traglast ist nur abhängig von den plastischen Widerständen, nicht aber von den Stabsteifigkeiten EA/l. 

Die Annahme eines starr – ideal plastischen Materialverhaltens der Stäbe reicht zur Traglastermittlung aus. 

b) Diagramme für = 5 

Elastische Phase: 

10 

 

7 

 

15 

N 

F 

7 

4 

 

7 

 

 

Fliesslast: 

7 

Fy 

Af y 

15 

Stabkräfte bei Fliessbeginn: N F 

10 10 2 

7 

 

7 

 

3 

15 7 15 

 

Af 1 

Af 

7 15 7 4 

4 4 

 

15 

7 

 

7 

 

 

y y y y 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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10 

3 

 

Durchbiegungen bei Fliessbeginn: wy 

 

1 

4 

 

 

3 


Traglast: 

5F 

Af y 

 

2 

 

N 

Af y 

 

F 

Af y 

 

2 

3 

Fu 

Af y 

5 

Stabkräfte bei Traglast: 

1 

 

 

Nu 

 

1 Af 

y 

1 

 

 

5 

Durchbiegungen bei Traglast: 

5 

 

fy 

l 

wu 

 

2 

E 

1 

 





fy 

l 

E 

Entlastung: 

Bei einer Entlastung nach Erreichen der Traglast F u verformen sich die Stäbe wieder parallel zur elastischen 

Verformung. Die Stäbe 1 und 3 sind noch nicht geflossen, haben also auch keine plastische Verformung 

erfahren. Stab 2 hat sich hingegen plastisch verlängert. 

Bei F 0 verbleibt somit ein Eigenspannungszustand (Index „r“ für „residual“). N1r , N2r , N3r 

sowie w 2r 

können aus den Diagrammen gelesen oder mittels geometrischen Betrachtungen ermittelt werden. 

Die genaue Berechnung des Eigenspannungszustandes ist Gegenstand von Kolloquium 5. 

Verformungen: 

Da die Stäbe 1 und 3 noch nicht geflossen sind und auch 

nach der Entlastung Gleichgewicht erfüllt sein muss, 

gilt mit w2r 

5/14 w2u(aus dem Diagramm w2/ w 2u 

gelesen): 

M(2) 0 N1r N3r w1 r w3r 

EIBalken 

5 

w1 r w3r w2r w2u 

14 

5 f y l 10 f y l 

w1 

r 2 

14 E 14 E 

Stab 1 ist noch nicht geflossen: 

N1 1 5 

1( 1 ) 1( 1 ) r l N r l 

w N r l N r 

EA EA 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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! N ! 

1 5 10 

1 1( 1 ) r l 

fy 

l 

w r w N r 

EA 14 E 

EA10 f y l 

1 

N1r N3r Af y 

5l14 

E 7 

Verbleibende Stabkräfte nach der Entlastung aus F u : 

 

1 

 

7 

 

N1r 

2 

Nr 

N2r 

Af y 

7 

N 

 

3r 

1 

 

7 

 

 

Fv 0 N1r N2r N3r 

0 

 

2 

N2r 2N1r Af y 

7 

Bezogene Werte für Diagramme: 

7 

F Af 

y 

y 

15 7 

 

Fu 

3 

Af 

9 

y 

5 

fy 

l 

w2 

y 

1 

E 

w2u 

2 fy 

l 

2 

E 

N1y 

2 

 

Af y 3 

N2 

y 

Af y 

N3y 

Af y 

N1u 

N 

2u 

Af y Af y 

N3u 

Af y 

N1r 

Af y 

1 

4 

 

15 

1 

 

5 

N2r 

2 

 

Af y 7 

1 

N 

3r 

 

Af y 

1 

7 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


SSch/08.09.2011





N 

Af 

i 

y 

: 

w2 

: 

w2u 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 


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