Herleitung des Biot-Savartschen Gesetzes

Der Index r des Laplace-Operators in obigen Gleichungen soll dabei verdeutlichen, dass dieser nur
auf den Vektor ⃗r, nicht jedoch auf ⃗r ′ wirkt. Aus diesem Grund kann auch die Stromdichte ⃗ J(⃗r ′ ) mit in
den Klammerausdruck gezogen und können Integration und Differentiation vertauscht werden.
Nach Definition des Vektorpotentials (2) gelangt man durch Bilden der Rotation von (12) schließlich
zu einem Ausdruck für die magnetische Induktion, wobei die Vektordifferentialoperationen wiederum
nur auf ⃗r wirken und entsprechend indiziert sind.
∫∫∫
⃗B(⃗r) = rot r A(⃗r) ⃗
µ =
4π
rot r
( ⃗J(⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ |
)
dV ′ (15)
= µ ∫∫∫
4π
⃗J(⃗r ′ ) ×
⃗r − ⃗r′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 dV ′ (13)
Letzterer Rechenschritt beinhaltet die Anwendung der Produktregel 2 zur Auflösung des Klammerterms.
Im resultierenden Ausdruck entfällt dabei der erste Summand, da die Stromdichte nicht vom
Aufpunktvektor ⃗r abhängig ist.
( ) ⃗J(⃗r ′ )
rot r
|⃗r−⃗r ′ |
= rot r
⃗ J(⃗r ′ )
} {{ }
=⃗0
( )
)
1
|⃗r−⃗r ′ | − J(⃗r ⃗ 1
′ ) × grad r
|⃗r−⃗r ′ = −J(⃗r |
⃗ ′ ) ×
(− ⃗r−⃗r′
|⃗r−⃗r ′ | 3
Mit der Materialgleichung B(⃗r) ⃗ = µ H(⃗r) ⃗ erhält man letztlich das Biot-Savartsche Gesetz für die
magnetische Feldstärke in seiner allgemeinen Form
⃗H(⃗r) = 1 ∫∫∫
J(⃗r ⃗ ′ ⃗r − ⃗r′
) ×
4π
|⃗r − ⃗r ′ | 3 dV ′ (16)
V ′
Hieraus lassen sich weiterhin Formulierungen für die Spezialfälle einer Flächenstromdichte bzw. eines
stromdurchflossenen Linienleiters ableiten. In ersterem Fall kann die zweidimensional verteilte Stromdichte
J ⃗ F (⃗r ′ ) mithilfe der Delta-Distribution als Volumenstromdichte J(⃗r ⃗ ′ ) ausgedrückt werden, sodass
anstelle des Volumenintegrals lediglich die Integration über die Quellfläche A ′ verbleibt. Es ist dann
⃗H(⃗r) = 1
4π
∫∫
A ′ ⃗ JF (⃗r ′ ) ×
(15)
⃗r − ⃗r′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 dA′ (17)
Für einen dünnen Linienleiter mit konstantem Strom I = ∫∫ J(⃗r ⃗ ′ )dA ⃗ ergibt sich durch Integration
über die Querschnittsfläche A des Leiters dagegen der Ausdruck
⃗H(⃗r) = I ∮
d⃗r ′ × (⃗r − ⃗r ′ )
4π |⃗r − ⃗r ′ | 3 (18)
C
d.h. es ist das Kurvenintegral über den geschlossenen Leiterweg C zu lösen, welcher durch den Quellpunktvektor
⃗r ′ beschrieben wird.
2 Sei Φ ein Skalarfeld und F ⃗ ein Vektorfeld. Dann gilt die Beziehung
“
rot ΦF
⃗ ”
= Φ rot F ⃗ + grad Φ × F ⃗ = Φ rot F ⃗ − F ⃗ × grad Φ (14)
2