Herleitung des Biot-Savartschen Gesetzes

Herleitung des Biot-Savartschen Gesetzes
Zur Herleitung des Gesetzes von Biot und Savart, mit welchem sich das von einer Stromdichte
⃗J(⃗r ′ ) hervorgerufene Magnetfeld H(⃗r) ⃗ berechnen lässt, wird vom magnetostatischen Fall ausgegangen.
Der Quellpunktvektor ⃗r ′ beschreibt hierbei den Ort des Stromes, während der Aufpunktvektor ⃗r den
Beobachtungspunkt kennzeichnet. Für einen in einem Medium fließenden Gleichstrom, d.h. bei zeitlich
konstanter Stromdichte, ist die Zeitableitung des elektrischen Verschiebungsfeldes folglich Null und das
Durchflutungsgesetz der Maxwell-Gleichungen vereinfacht sich somit zu
(
rot H ⃗ = J ⃗ + ∂ D ⃗ )
∂t = 0 (1)
Für die magnetische Induktion ⃗ B = µ ⃗ H führt man nun ein Vektorpotential ⃗ A ein, für das gelten soll
⃗B = rot ⃗ A (2)
div ⃗ A = 0 (3)
Die zweite Bedingung (3) wird dabei als sogenannte Coulomb-Eichung bezeichnet und ist notwendig,
da das Vektorpotential durch (2) nicht eindeutig bestimmt ist und man beispielsweise schreiben kann
mit A ⃗′ = A ⃗ + grad χ ⇒ rot A ⃗′ = rot A ⃗ + rot (grad χ) = rot A
} {{ }
(4)
=0
Im Falle eines homogenen, linearen und isotropen Mediums (also mit µ ≠ µ(⃗r), µ ≠ µ( E, ⃗ H) ⃗ und
der Permeabilität µ als skalarer Materialgröße) leitet sich die Poisson-Gleichung des magnetischen
Vektorpotentials aus (1) wie folgt ab
[
]
rot H(⃗r) ⃗ = 1 (rot
µ rot A(⃗r) ⃗ )
= 1 (
grad div A(⃗r)
µ
)
− △ A(⃗r) ⃗
} {{ }
= J(⃗r ⃗ ′ ) (5)
=0
△ ⃗ A(⃗r) = −µ ⃗ J(⃗r ′ ) (6)
Formulierung der Stromdichte mithilfe der Delta-Distribution und Nutzung des vom elektrostatischen
Potential bekannten Zusammenhangs (9) 1 führt zur Lösung der Poisson-Gleichung
∫∫∫
△ r A(⃗r) ⃗ = −µ J(⃗r ⃗ ′ ) = − µ J(⃗r ⃗ ′ )δ(⃗r − ⃗r ′ )dV ′ (10)
∫∫∫ ( ) ( ∫∫∫ )
µ ⃗J(⃗r ′ )
µ ⃗J(⃗r
= △ r
4π |⃗r − ⃗r ′ dV ′ ′ )
= △
|
r
4π |⃗r − ⃗r ′ | dV ′ (11)
∫∫∫
⇒ A(⃗r) ⃗
µ ⃗J(⃗r ′ )
=
4π |⃗r − ⃗r ′ | dV ′ (12)
1 Aus dem Coulomb-Integral zur Berechnung des Potentials einer Punktladung mit ϱ V (⃗r ′ ) = Q(⃗r ′ )δ(⃗r − ⃗r ′ )
Φ(⃗r) = 1 ZZZ
ϱV (⃗r ′ ZZZ
)
4πε |⃗r − ⃗r ′ | dV ′ = Q(⃗r′ ) δ(⃗r − ⃗r ′ )
4πε |⃗r − ⃗r ′ | dV ′ = Q(⃗r′ )
4πε
1
|⃗r − ⃗r ′ |
und der Poisson-Gleichung des elektrostatischen Potentials folgt die Beziehung
„ «
Q(⃗r ′ ) 1
△ r Φ(⃗r) = △ r = − ϱV (⃗r′ )
= − Q(⃗r′ )
δ(⃗r − ⃗r ′ ) (8)
4πε |⃗r − ⃗r ′ |
ε ε
„ «
1 1
△ r = −δ(⃗r − ⃗r ′ ) (9)
4π |⃗r − ⃗r ′ |
(7)
1

Der Index r des Laplace-Operators in obigen Gleichungen soll dabei verdeutlichen, dass dieser nur
auf den Vektor ⃗r, nicht jedoch auf ⃗r ′ wirkt. Aus diesem Grund kann auch die Stromdichte ⃗ J(⃗r ′ ) mit in
den Klammerausdruck gezogen und können Integration und Differentiation vertauscht werden.
Nach Definition des Vektorpotentials (2) gelangt man durch Bilden der Rotation von (12) schließlich
zu einem Ausdruck für die magnetische Induktion, wobei die Vektordifferentialoperationen wiederum
nur auf ⃗r wirken und entsprechend indiziert sind.
∫∫∫
⃗B(⃗r) = rot r A(⃗r) ⃗
µ =
4π
rot r
( ⃗J(⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ |
)
dV ′ (15)
= µ ∫∫∫
4π
⃗J(⃗r ′ ) ×
⃗r − ⃗r′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 dV ′ (13)
Letzterer Rechenschritt beinhaltet die Anwendung der Produktregel 2 zur Auflösung des Klammerterms.
Im resultierenden Ausdruck entfällt dabei der erste Summand, da die Stromdichte nicht vom
Aufpunktvektor ⃗r abhängig ist.
( ) ⃗J(⃗r ′ )
rot r
|⃗r−⃗r ′ |
= rot r
⃗ J(⃗r ′ )
} {{ }
=⃗0
( )
)
1
|⃗r−⃗r ′ | − J(⃗r ⃗ 1
′ ) × grad r
|⃗r−⃗r ′ = −J(⃗r |
⃗ ′ ) ×
(− ⃗r−⃗r′
|⃗r−⃗r ′ | 3
Mit der Materialgleichung B(⃗r) ⃗ = µ H(⃗r) ⃗ erhält man letztlich das Biot-Savartsche Gesetz für die
magnetische Feldstärke in seiner allgemeinen Form
⃗H(⃗r) = 1 ∫∫∫
J(⃗r ⃗ ′ ⃗r − ⃗r′
) ×
4π
|⃗r − ⃗r ′ | 3 dV ′ (16)
V ′
Hieraus lassen sich weiterhin Formulierungen für die Spezialfälle einer Flächenstromdichte bzw. eines
stromdurchflossenen Linienleiters ableiten. In ersterem Fall kann die zweidimensional verteilte Stromdichte
J ⃗ F (⃗r ′ ) mithilfe der Delta-Distribution als Volumenstromdichte J(⃗r ⃗ ′ ) ausgedrückt werden, sodass
anstelle des Volumenintegrals lediglich die Integration über die Quellfläche A ′ verbleibt. Es ist dann
⃗H(⃗r) = 1
4π
∫∫
A ′ ⃗ JF (⃗r ′ ) ×
(15)
⃗r − ⃗r′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 dA′ (17)
Für einen dünnen Linienleiter mit konstantem Strom I = ∫∫ J(⃗r ⃗ ′ )dA ⃗ ergibt sich durch Integration
über die Querschnittsfläche A des Leiters dagegen der Ausdruck
⃗H(⃗r) = I ∮
d⃗r ′ × (⃗r − ⃗r ′ )
4π |⃗r − ⃗r ′ | 3 (18)
C
d.h. es ist das Kurvenintegral über den geschlossenen Leiterweg C zu lösen, welcher durch den Quellpunktvektor
⃗r ′ beschrieben wird.
2 Sei Φ ein Skalarfeld und F ⃗ ein Vektorfeld. Dann gilt die Beziehung
“
rot ΦF
⃗ ”
= Φ rot F ⃗ + grad Φ × F ⃗ = Φ rot F ⃗ − F ⃗ × grad Φ (14)
2