Versuch 1: Fehlerfortpflanzung und Statistik von Meßunsicherheiten ...

Medizinische Meßtechnik
Fachbereich 06: Feinwerktechnik/Physikalische Technik
4. Semester
Versuch 1: Fehlerfortpflanzung und Statistik von Meßunsicherheiten
Aufgabenstellung:
Durch die Messung der Dicke von einem Normkörpern auf einem
professionellen Heidenhain-Meßplatz ist die Meßgenauigkeit zu
ermitteln und mit dem Standard Heidenhain-Taster zu
vergleichen. Der Unterschied zwischen physikalischer und
mathematischer Addition der Längen ist unter der gegebenen
Meßunsicherheit zu diskutieren.
Die Dicke von Beilagscheiben ist zu messen und statistisch
auszuwerten.
Meßeinrichtung: Längentaster (Heidenhain), 5 Normkörper, Beilagscheiben,
Auswerterechner
Allgemeines
Der Versuch besteht aus zwei verschiedenen Teilen, die jeweils unterschiedliche Aspekte
der Behandlung von zufallsbedingten Meßunsicherheiten beleuchten. Die Größe der
Meßunsicherheit ist in der Regel nicht bekannt und muß daher (durch
Wiederholungsmessungen) abgeschätzt werden. Systematische (also keine
zufallsbedingten) Fehlereinflüsse lassen sich auf diese Weise nicht feststellen, da sich bei
den Wiederholungen der gleiche Störeinfluß auswirkt. Systematische Fehler können nur
durch Änderung der Versuchsbedingungen, durch Ringversuche an unterschiedlichen
Meßorten oder durch Variation des Meßverfahrens erfaßt werden. In diesem Versuch wird
nur die statistisch bedingte Meßunsicherheit in Betracht gezogen, die in einem Vorversuch
durch Wiederholungsmessungen (5 mal) abzuschätzen ist. Die Kenntnis der
Meßunsicherheit ist Voraussetzung für die Aussagefähigkeit von Meßergebnissen.
Im ersten Teil des Versuchs soll geprüft werden, ob die Aufschichtung von Endmaßen mit
einem systematischen Fehler behaftet ist, der unter den gegebenen Meßbedingungen
signifikant ist. Dabei geht man von der Annahme aus, daß die in den Grenzschichten
befindlichen Fettfilme und Staubpartikel einen erkennbaren Einfluß auf das Meßergebnis
ausüben. Zur Prüfung dieser Vermutung kann das Fehlerfortpflanzungsgesetz
herangezogen werden, das einen Vergleich zwischen der Meßunsicherheit der Summe
der Messwerte von einzelnen Endmaßen und der Messung an einem Stapel ermöglicht.
Der zweite Teil des Versuchs behandelt die statistische Analyse der Dicke von
Beilagscheiben, die äußeren zufallsbedingten Einflüssen (z. B. Produktionsbedingungen)
unterworfen waren. Durch eine Abschätzung des Meßfehlers wird dabei sichergestellt, daß
die statistischen Schwankungen nicht durch die eigentliche Messung verursacht werden.
Aus den Meßdaten xi wird zunächst ein Histogramm f k (x) erstellt, das die (relative)
Verteilung der Meßwerte um den Mittelwert xw wiedergibt. Aus der Verteilungsfunktion
Längenmessung, Statistik 1

(Histogramm) wird die Summenverteilung F k (x) berechnet, die eine Aussage ermöglicht,
ob es sich in einem vorgegebenen Fall um einen Prozeß handelt, der sich durch eine
Normalverteilung f(x) beschreiben läßt.
Histogramm
Ein Histogramm f k (x) zeigt die statistische Verteilung von Meßwerten x i (mit i = 1 ... N) in
Form von „relativen Häufigkeitswerten". Dazu zählt man zunächst die Anzahl der Werten k
(= absolute Häufigkeitswerte), die innerhalb eines Werteintervalls ∆X („Klasse") fallen. Die
Breite ∆X der Klassen sollte einerseits nicht zugroß sein, da das Histogramm sonst zu
stufig wird. Ist sie zu klein, so fallen zu wenig Werte in diesen Bereich, um statistische
Aussagen zu ermöglichen. Ein Kompromiß zwischen diesen Forderungen liegt bei L =
N 1/2 Klassen. Es sind auch mindestens 7 Klassen erforderlich, um die Form eines
Histogramms bewerten zu können. Daraus folgt, daß statistische Aussagen erst ab etwa N
> 50 Werten einigermaßen sinnvoll sind. Ist die Zahl der Klassen festgelegt, so bildet man
über die gesamte Spanne der Meßwerte L Klassen der Breite
!X = x max - x min
L .
Über sämtliche Klassen werden nun „Säulen" in Form von Rechtecken aufgetragen, deren
Höhe f k so gewählt wird, daß die Summe der Fläche sämtlicher Säulen gleich eins wird
(Abb. 1):
f k =
n i
N • !X
f k (x) besitzt daher die Bedeutung einer „Wahrscheinlichkeitsdichte"
Normalverteilung und Summenverteilung
Die Normalverteilung f(x) ist eine symmetrische glockenförmige Funktion (Abb. 2), die sich
für die Beschreibung von Zufallsprozessen eignet:
f(x) = 1
! 2! exp - 1 x - x 2 • w 2
!
Der Faktor vor der Exponentialfunktion dient der Normierung der Normalverteilung, so daß
die Fläche unter der Funktion gleich eins wird. Die Funktion f(x) ist symmetrisch um den
Mittelwert x w und enthält den Parameter σ, der als „Standardabweichung" bezeichnet
wird. Die Summenverteilung F(x) (Abb. 2) ergibt sich durch Integration von f(x):
F(x) =
x
-!
f(z) dz
!
bzw. F k = f i !X
k
i = 1
Die Summenfunktion F(x) bzw. F k ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, daß ein
beliebiger Meßwert x i kleiner oder gleich dem vorgegebenen Wert x ist.
Längenmessung, Statistik 2

Abb. 1: Bildung von Histogrammen aus Meßwerten xi mit unterschiedlicher Anzahl der Klassen
Längenmessung, Statistik 3

0.2
0.15
0.1
0.05
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Abb. 2: Normalverteilung (oben) und Summenfunktion (unten) für xw=5, σ=2
Längenmessung, Statistik 4

Durchführung des ersten Teils
• Vor der Messung muß der Nullpunkt des Geräts eingestellt werden.
• Fünf Normkörper ist am Heidenhain-Meßplatz 5-mal zu vermessen (25 Messungen).
Aus den Ergebnissen ist der wahrscheinlichste Wert (= Mittelwert) und die
Meßunsicherheit (Methode Auge * π ) zu ermitteln.
• Aus den 5 Normkörpern sind nun Stapel mit wachsender Anzahl der Grenzflächen
(1x, 2x, 3x, 4x) zu bilden und zu vermessen (denken Sie vor der Auswahl der
Normkörper an die maximale Meßentfernung des Systems) d.h. keine zu dicken
Normkörper wählen.
Messung mit dem Heidenhain-Meßplatz
Nach dem Einschalten der Geräte (Digitalanzeige und Vakuumpumpe) muß der Nullpunkt
eingestellt werden. Der Taster wird dazu erst ganz nach oben gefahren und anschließend
auf die Ansaugvorrichtung (weiße Teflonplatte) herabgelassen. Ein Probekörper
(passendes Endmaß) wird so auf die Ansaugvorrichtung gelegt, daß die Ansaugkanäle
abgedeckt sind. Der Taster wird nun neben dem Probekörper aber auf der
Ansaugvorrichtung herabgelassen und die Digitalanzeige auf Null zurückgesetzt (Clear-
Taste).
Bei den folgenden Messungen ist immer darauf zu achten, daß die Ansaugkanäle der
Vakuumplatte vollständig von den Probekörpern abgedeckt sind. Das Geräusch der
Vakuumpumpe unter Last dient dabei als Hilfestellung. Die Ablesung kann auf 3-4
Nachkommastellen an der Digitalanzeige erfolgen (was ist eigentlich noch sinnvoll ?),
ganze Zahlen entsprechen Millimeter.
Diskussion des erstenTeils
Die Ergebnisse der Stapelmessungen sollen mit der mathematischen Addition der
Einzelmessungen unter Berücksichtigung der entsprechenden Meßunsicherheiten (siehe
Infokasten S. 1) verglichen werden. Es ist eine Darstellung der Meßergebnisse zu finden,
die eine Bewertung des Einflusses der Grenzschichten anhand der entsprechenden
Meßunsicherheiten erlaubt.
Durchführung des zweiten Teils
• Die Dicke von 100 Beilagscheiben ist mittels dem Standard Heidenhain-Tasters
(kleiner Meßplatz) zu ermitteln. Die Meßwerte werden in einen Rechner eingetragen.
(Programm „Versuch 1“ starten)
Programmbeschreibung für das LabView Programm zur Klasseneinteilung von
Meßwerten.
Eingabe der Meßwerte
Die Eingabe erfolgt von Hand in der Tabelle oben links des Panels, indem man mit der
Maus das erste Feld anklickt und dann den Wert über die Tastatur eingibt (Wichtig: erst
nur drei Werte eingeben und mit einem Programmlauf ausprobieren ob Punkt oder Komma
Längenmessung, Statistik 5

als Dezimaltrennung eingestellt ist !!!). Jedes Feld wird mit der Returntaste
abgeschlossen. Dabei hüpft der Cursor in das darunterliegende Feld. Die eigegebene
Anzahl der Parameter ist frei wählbar und die Berechnung konfiguriert sich selbst.
Zur Korrektur des Wertes wird das Feld mit der Maus angeklickt, mit der Löschtaste
gelöscht und der Wert neu eingegeben. Danach Programm erneut ausführen.
Achtung!! Jedes Feld, das mit der Returntaste abgeschlossen wird oder indem der Cursor
einmal war, wird mitberechnet, auch wenndieses leer ist. Leere Felder bekommen den
Wert 0. Das letzte Feld braucht nicht mit der Returntaste abgeschlossen werden. Man
braucht nur das Programm zu starten (-> Symbol oben links anklicken).
Die Anzahl der Klassen ist auf drei verschiedene Werte voreingestellt und kann auf jeden
beliebigen Wert, wie die Parameter, verändert werden.
Die Häufigkeit kann entweder als absoluter Wert dargestellt werden, oder in relativer
Darstellung erfolgen. Die Auswahl wird durch das Anklicken des Schalters mit der Maus
getroffen.
Darstellung
In dem oberen Graphen wird die berechnete Klasseneinteilung mit der gewählten
Häufigkeitsart und die dazu passende Gaußsche Normalverteilung dargestellt. Die
Skalierung braucht nicht verändert werden, da sie sich selbst an die eingegebenen und
berechneten Werte anpaßt.
Im mittleren Graphen wird die Summenverteilung aus dem Histogramm und die Gaußsche
Approximation angezeigt. Die Skallierung erfolgt automatisch.
Darunter wird die berechnete Standardabweichung und der Mittelwert der eingegebenen
Werte angezeigt.
Im unteren Graph wird die Streuung der eingegebenen Parameter angezeigt. Die
Meßwerte werden in der eingebenen Reihenfolge in x-Richtung aufgetragen und nicht
sortiert. Ganz unten werden die eingegebenen Werte noch einmal angezeigt. Es können
bis zu 100 Werte angezeigt werden. Werden mehr Werte eingegeben so werden die
letzten Werte nicht mehr angezeigt jedoch mitberechnet.
Diskussion des zweiten Teils
Aus den Meßdaten ist auf mathematischem und auf graphischem Wege der Mittelwert x w
und die Standardabweichung σ zu ermitteln und miteinander zu vergleichen. Es ist
weiterhin anhand des Werteverlaufs zu diskutieren, ob die Verteilung der Dicke der
Beilagscheiben einer Normalverteilung folgt.
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