Versuch 3: Interferometrische Distanzmessung
Versuch 3: Interferometrische Distanzmessung
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Medizinische Meßtechnik<br />
Fachbereich 06: Feinwerktechnik/Physikalische Technik<br />
4. Semester<br />
<strong>Versuch</strong> 3: <strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong><br />
Michelson-Interferometer<br />
Der Aufbau des Interferometers ist aus Abbildung 1 zu ersehen. Der linear polarisierte<br />
Laserstrahl wird durch das Teleskop auf ca. 10 mm aufgeweitet. Die λ/4<br />
Verzögerungsplatte erzeugt eine zirkulare Polarisation. Der Strahlteilerwürfel spaltet den<br />
einfallenden Strahl in die Arme 1 und 2 auf. Die beiden Teilstrahlen werden von den<br />
Spiegeln 1 und 2 in sich selbst zurückreflektiert und am Strahlteiler wieder vereinigt. Ein<br />
Teil der Überlagerten Strahlen wird auf den Detektor B fokussiert, der andere Teil wird<br />
durch die λ/4 Verzögerungsplatte in linear polarisiertes Licht umgewandelt. Dessen<br />
Polarisationsebene steht allerdings senkrecht zu der des He-Ne-Lasers so daß es von<br />
dem Polarisationsabhängigen Spiegel transmittiert wird und auf dem Detektor A registriert<br />
werden kann. Mit diesem relativ einfachen Aufbau wird die Interferenzfigur von den<br />
Detektoren A und B elektrisch erfaßt und kann auch am Beobachtungsschirm visuell<br />
verfolgt werden.<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 1
Abb.1 : <strong>Versuch</strong>saufbau FH-Interfrometer<br />
Im folgenden soll das Zustandekommen der Interferenzfiguren etwas genauer untersucht<br />
werden. Hierbei wird ein verlustloser Strahlteilerwürfel mit der Reflexion R und der<br />
Transmission T angenommen (R + T = 1). Der vom Laser auf den Strahlteiler auftreffende<br />
Laserstrahl hat die Leistung P 0 . Betrachtet wird die Interferenzfigur auf Detektor B (Der<br />
zweite Strahlteiler für den Beobachtungsschirm wird vernachlässigt). Unabhängig davon,<br />
welchen Arm (1/2) das Laserlicht durchlaufen hat, hätte am Detektor jeder der beiden<br />
Teilstrahlen die Intensität<br />
I 1/2 = R T I 0<br />
(1)<br />
Beide Strahlen werden an dem Spiegel S 1 oder S 2 in sich selbst zurückgeworfen und<br />
treffen auf dem Rückweg wieder auf den Strahlteiler, wo die Asymmetrie der beiden<br />
Strahlen E 1 + E 2 aufgehoben wird, so daß sie nun vollkommen gleichwertig sind.Da es<br />
sich aber um eine kohärente Überlagerung handelt, müssen die Amplituden und nicht die<br />
Leistung der beiden Teilstrahlen addiert werden. Für die Feldstärken der beiden Wellen gilt<br />
dann :<br />
mit dem Wellenvektor:<br />
E 1<br />
= A 1<br />
cos (!t - kx 1 - " 1<br />
)<br />
E 2<br />
= A 2<br />
cos (!t - kx 2 - " 2<br />
)<br />
k = 2 !<br />
"<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
Dabei bedeuten A 1 und A 2 die beiden Amplituden, f = c/λ die Frequenz des Laserlichtes,<br />
x 1/2 die Wege, die die beiden Wellen von ihrem Ausgangspunkt zurückgelegt haben und<br />
ϕ 1/2 eine konstante Phasenverschiebung der beiden Teilstrahlen. Die Überlagerung der<br />
beiden Teilwellen im Strahlteiler entspricht der Zeigeraddition von E 1 + E 2 . Die<br />
Gesamtintensität I, proportional zum Strom in der Photodiode, ergibt sich damit mit dem<br />
Wellenwiderstand Z :<br />
I = (E 1+E 2 ) 2<br />
Z<br />
(5)<br />
Unter Anwendung der Additionstheoreme für die cos-Funktionen und den Intensitäten I 1<br />
und I 2 wird die Gesamtintensität:<br />
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos k x 1 – x 2 + ! 1 - ! 2<br />
(6)<br />
Das Argument in der Kosinusinusfunktion beschreibt die Phasendifferenz zwischen<br />
Teilstrahl 1 und Teilstrahl 2. Wird die Differenz !" = " 1 - " 2 als konstant angenommen so<br />
berechnet sich die Phasendifferenz zwischen den beiden Teilstrahlen zu<br />
! = k x 1 – x 2 +"#<br />
(7)<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 2
Ist ! ein Vielfaches von 2π, dann treffen die beiden Strahlen ohne Gangunterschied auf<br />
der Beobachtungsebene auf und verstärken sich. Ist dagegen das Argument in der<br />
Kosinusinusfunktion ein ungeradzahliges Vielfaches von π, dann verlaufen die beiden<br />
Teilstrahlen gegenphasig und löschen sich aus. Bei einer Messung mit dem Interferometer<br />
soll nicht x 1 – x 2<br />
vermessen werden, sondern eine Ortsänderung !x von einen der beiden<br />
Spiegel z.B. von Spiegel 1 detektiert werden. In diesen Fall wird x 1<br />
in Gleichung 7 ersetzt<br />
durch x 1 + 2 !x . Die Änderung der Phasendifferenz !" verursacht durch !x wird<br />
beschrieben durch:<br />
!" = 2 k !x = 4#<br />
$ !x (8)<br />
Berücksichtigt man diese Änderung in Gleichung 6, so erhält man für den<br />
Photodiodenstrom<br />
i = i 0<br />
1 + cos ! + "!<br />
(9)<br />
Zu beachten ist jetzt die Mehrdeutigkeit des Stromes i in Abhängigkeit der<br />
Phasenverschiebung. Das heißt, daß bei einer kontinuierlichen Erhöhung von !x und<br />
damit von !" ändert sich der Strom entsprechend Gleichung 9 gemäß einer Cosinus<br />
Funktion. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima oder Minima des Stromes i<br />
entspricht einer Phasenänderung !" = 2 # , und damit einer Verschiebung<br />
!x des<br />
Spiegels um !x = " 2 .<br />
Frage: Wenn ein Spiegel um eine ganze Wellenlänge verschoben wird, wie groß ist<br />
dann die Änderung der Phasendifferenz und damit des Stromes i?<br />
Die entstehenden Interferenzbilder sind auch noch vom Winkel unter dem sich die<br />
Wellenzüge überlagern, abhängig. D.h. die Verkippung / Iustage der Spiegel hat einen<br />
großen Einfluß auf Die Interferenzfigur und damit auf den Strom der Photodiode. Man<br />
kann das am <strong>Versuch</strong>saufbau beobachten. Wenn man die Spannung am Piezoelement<br />
erhöht, ändert sich abgesehen von den Hell- Dunkel-Übergängen auch das Aussehen der<br />
Interferenzfigur. Dieser Effekt wird verursacht durch eine minimale Verkippung des<br />
Spiegels aufgrund einer Verbiegung des Piezoelements (unerwünschter Effekt).<br />
Der Aufbau des Interferometers ist aus Abbildung 2 zu ersehen. Der linear polarisierte<br />
Laserstrahl wird durch das Teleskop auf ca. 10 mm aufgeweitet. Die λ/4<br />
Verzögerungsplatte erzeugt eine zirkulare Polarisation. Der Strahlteilerwürfel spaltet den<br />
einfallenden Strahl in die Arme 1 und 2 auf. Die Beiden Teilstrahlen werden von den<br />
Spiegeln 1 und 2 in sich selbst zurückreflektiert und am Strahlteiler wieder vereinigt. Mit<br />
diesem relativ einfachen Aufbau wird die Interferenzfigur von den Detektoren A und B<br />
elektrisch erfaßt und kann auch am Beobachtungsschirm visuell verfolgt werden.<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 3
Durchführung<br />
Es wird ein He-Ne-Laser mit einer Wellenlänge von λ = 632,8nm verwendet.<br />
Da zwischen den beiden Wellen ein Gangunterschied erzeugt wird, entsteht eine Folge<br />
von beobachtbaren Hell-Dunkelstreifen. Jedesmal wenn ein Übergang zwischen hell nach<br />
dunkel erfolgt, wurde die Meßwelle gegenüber der Referenzwelle gerade um λ/2, also um<br />
316,4nm verschoben. Die Auswertung einer Meßstrecke(S) bedeutet daher das<br />
“Abzählen”(N) der Hell-Dunkelringe bzw:<br />
Das “Abzählen”wird in diesem Fall vom Detektor übernommen (dunkel ⇒ Signal: low; hell<br />
⇒ Signal: high).<br />
Ein Spiegel ist auf einem Piezoelement befestigt, das auf das Anlegen einer Spannung mit<br />
einer Längenänderung reagiert.<br />
Die Spannungsversorgung des Piezoelements erfolgt über einen<br />
Hochspannungsverstärker mit einer Nennspannung von 0 – -1000V. Wird die anliegende<br />
Spannung erhöht, kann beobachtet werden wie sich die Interferenzfigur bewegt. Ab etwa<br />
200V ist die Auslenkung des Piezoelements nicht mehr rein transversal linear, sondern<br />
zeigt zusätzlich eine Rotationskomponente (vgl. Korkenzieher), die den Spiegel verkippt.<br />
Um diesen Effekt zu vermeiden sollen nur Meßkurven nur in einem Bereich von 0 – -150V<br />
aufgenommen werden.<br />
In einer ersten Meßreihe wurde die Wegänderung des Piezos bei manueller<br />
Spannungsänderung ermittelt.<br />
Da im Spannungsbereich von 0 – -121V 10 Minima registriert wurden, ergibt sich daraus<br />
eine Wegänderung von S = 3,164µm. Der Spannungswert -100V entspricht somit einer<br />
Verschiebung von 2,615µm. Bei einer Spannungsänderung von ∆Umax -1000V würde der<br />
Gesamtstellweg 26,15µm betragen.<br />
Die Wegänderung eines Piezos ist nicht auf jeden Fall linear zur Spannungsänderung. Bei<br />
einer Richtungsumkehr tritt meist der Effekt der Hysterese auf. Dieser Effekt soll im<br />
folgenden näher untersucht werden.<br />
Dazu wurde der Piezo linear ansteigend in einem Spannungsbereich von 0 bis -114Volt<br />
verstellt, und dann wieder auf 0 Volt zurückgefahren. Der Voltbetrag bei den jeweiligen<br />
Minima wurde notiert und in die Kurve Abb.2 eingetragen. Dabei zeigt die mit den hellen<br />
Kreisen den Vorlauf des Piezos, während die Kurve mit den dunklen Kreisen den Rücklauf<br />
darstellt. Die Ausdehnung des Piezo ist nicht proportional zur elektrischen Feldstärke.<br />
Welche Ausdehnung der Translator bei einer bestimmten Spannung einnimmt, hängt<br />
davon ab, ob er vorher bei einer höheren oder niederen Spannung betrieben wurde.<br />
Dieses nichtlineare Verhalten läßt sich in einem Spannungs/Ausdehnungsdiagramm<br />
zeigen.<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 4
Vorlauf<br />
Rücklauf<br />
Minima<br />
10<br />
3<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
2<br />
5<br />
4<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0 0<br />
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120<br />
Volt<br />
Weg [µm]<br />
Abb. 2: Hysteresekurve<br />
In der Grafik erkennt man am siebten Minima eine Spannungsdifferenz von 14V. Da<br />
durchschnittlich alle 13 Volt ein Minima zu erwarten ist, beträgt die maximale<br />
Positionsabweichung 0,340µm.<br />
<strong>Versuch</strong>: Führen Sie die oben beschriebene Messung durch und bestimmen Sie die<br />
Wegänderung bei einer Spannungserhöhung, die Wegänderung beim Rückweg sowie<br />
mittlere und maximale Hysterese (= Wegunterschied bei gleicher Spannung).<br />
Zusätzlich ist eine Darstellung über den Rechner vorbereitet. Ein Rampengenerator<br />
steuert einen Verstärker, der Output am Rampengenerator geht einmal zum Verstärker<br />
(High Voltage Amplifier) und zum anderen ( rechts) zum Oszillographen. Der High Voltage<br />
Generator ist mit dem Piezo verbunden. Zur Einstellung am Oszillografen sollte 2.5s/<br />
Intervall ausgewählt werden. Abbildung 3 zeigt das Bild am Oszillographen und am<br />
Rechner (über Labview).<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 5
prog<br />
Amplitude [V] vs. sample [s]<br />
80.0<br />
60.0<br />
ch1<br />
ch2<br />
40.0<br />
20.0<br />
0.0<br />
-20.0<br />
-40.0<br />
-60.0<br />
-80.0<br />
-100.0<br />
-120.0<br />
-140.0<br />
0E+0 2E+0 4E+0 6E+0 8E+0 1E+1 1E+1 1E+1 2E+1 2E+1 2E+1 2E+1<br />
2E+1<br />
Cursor 0 12.19 -9.0E+0<br />
Abbildung 3: LabVIEW bild der Darstellung einer Rampe und der gleichzeitig erfassten<br />
Bewegung des Spiegels. Man erkennt schon grob eine unterschiedliche Zeitkonstante der<br />
Schwingung .<br />
Mittels des Cursors kann bei Einstellung auf das Maximum die Amplitude der Rampe<br />
abgelesen werden ( im Beispiel -9.00 Volt im Kasten unten). Trägt man diese Werte über<br />
einen Vor-und Rücklauf auf, erhält man eine Darstellung wie sie in Abbildung 2 zu sehen<br />
ist.<br />
<strong>Versuch</strong>: Auch die thermische Ausdehnung eines Aluminiumblockes lässt sich mit dem<br />
Interferometer vermessen. Hierzu wird der Aluminiumblock durch ein Peltierelement<br />
abgekühlt.<br />
Das Peltierelement besitzt die Funktion einer elektrischen Wärmepumpe - das<br />
Funktionsprinzip beruht auf einer Umkehrung des thermoelektrischen Effekts. Fließt ein<br />
Strom durch eine Grenzschicht zwischen zwei unterschiedlichen Metallen, so entsteht an<br />
der Kontaktstelle eine Temperaturdifferenz. Durch Umkehrung der Stromrichtung ergibt<br />
sich auch eine Temperaturdifferenz mit umgekehrtem Vorzeichen. Peltierelemente werden<br />
beispielsweise dazu genutzt, Infrarotdetektoren zu kühlen um deren Rauschen zu<br />
verringern. (siehe Anhang)<br />
Die folgende Messung ist im Team durchzuführen (einer mißt zwei schreiben). Durch das<br />
Anlegen eines Stromes von 1 A an das Peltierelement wird der Aluminiumblock und die<br />
dahinterliegende Platte abgekühlt, und zieht sich daher zusammen. Es ist jetzt bei jedem<br />
Maximum und Minimum die Zeit und die Temperatur zu notieren, bis innerhalb von 30 s<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 6
keine nennenswerte Änderung mehr auftritt. Die Ergebnisse sind in ein Zeit-Weg- bzw. in<br />
ein Zeit-Temperaturdiagramm einzutragen (zur Hilfe Abbildung 6-Anhang). Wie groß ist die<br />
Zeitkonstante des Systems Alublock - Peltierelement - Kühkörper?<br />
Der gemessene Temperatur-Zeitverlauf entspricht der Sprungantwort des Systems.<br />
Berechnen Sie daraus die Implsantwort unter der Annahme eines linearen Systems.<br />
Die Aufnahme der Messwerte in den ersten 50 Sekunden geschieht folgendermaßen:<br />
Das Temperaturmessgerät ALMEMO (Meßfühler ist ein PT 100) ist mit dem Oszillografen<br />
verbunden (statt der Rampe im vorherigen <strong>Versuch</strong>). Zeitachse ist 5s pro Intervall, die<br />
Empfindlichkeit sollte mit 20mV bei Kanal 1 gewählt werden.<br />
Nach dem Einschalten des Stromes (möglichst zu der Zeit, wo der Oszillograf auf der x-<br />
Achse neu beginnt) und dem Betätigen der Stoppuhr können die ersten 45 Sekunden<br />
aufgezeichnet werden. Es erfordert ein Stop am Oszillografen vor Erreichen des<br />
Bildschirmendes. Die Messung sollte dann tabellarisch weitergeführt werden (Zeit,<br />
Temperatur bei jedem Maximum. Durch das Auslesen des Oszillografen gleich nach dem<br />
ersten vollen Bildschirm dürfte nur ein Maximum verloren gehen.<br />
Die Auswertung des Anfangsbereichs läßt sich mit dem Cursor bewerkstelligen (Abbildung<br />
4).<br />
prog<br />
Amplitude [V] vs. sample [s]<br />
100.0<br />
80.0<br />
ch1<br />
ch2<br />
60.0<br />
40.0<br />
20.0<br />
0.0<br />
-20.0<br />
-40.0<br />
-60.0<br />
-80.0<br />
-100.0<br />
-120.0<br />
-140.0<br />
0E+0 5E+0 1E+1 2E+1 2E+1 2E+1 3E+1 4E+1 4E+1 4E+1<br />
5E+1<br />
Cursor 0 45.68 3.1E+1<br />
Abbildung 4: Beispiel für die Abkühlung des Aluminium-Blocks und seine Wirkung auf die<br />
Längenänderung des Interferometer-Arms.<br />
Man erkennt, dass nach dem Einschalten der Abstand der Maxima immer größen wird.<br />
Durch die Cursorstellung kann man jedem Maximum eine Zeit- (x-Achse) und eine<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 7
Temperatur (y-Achse) zuordnen.(Beispiel Maximum 9 nach 45.68s (minus Startwert<br />
beachten) bei einer Spannung von 31 Volt (Umrechnung in Temperatur)).<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 8
Anhang:<br />
Die durch den eigentlichen Peltier-Effekt erzielte Temperaturänderung verläuft linear mit<br />
der angelegten Stromstärke I (Abb. 5). Zusätzlich jedoch führt der Strom I auch zu einer<br />
Erwärmung des gesamten Peltierelements, da dieses einen ohmschen Widerstand<br />
aufweist. Die Erwärmung der Metalle ist dabei proportional zur elektrischen Energie W, die<br />
ihrerseits eine quadratische Abhängigkeit gegenüber der Stromstärke I aufweist: W = R •<br />
I 2 (Abb. 5). Die Kennlinie eines Peltierelements ergibt sich somit aus der Addition der<br />
beiden Teileffekte und besitzt daher einen asymmetrischen Verlauf bezüglich der<br />
Ausgangstemperatur (Abb.5). Dieser Kennlinie ist zu entnehmen, daß ein Peltier-Element<br />
grundsätzlich nur eine gegebene Minimaltemperatur T min erreicht werden kann.. Die<br />
Minimaltemperatur T min wird nur im Leerlauf erreicht - bei Wärmetransport über das<br />
Peltierelement ist die maximal erreichbare Temperaturdifferenz deutlich geringer als T min .<br />
Aus der Kennlinie ist auch zu entnehmen, daß sich die Temperaturdifferenz bei<br />
Stomumkehr (Erwärmung) wesentlich vergrößert, da in diesem Fall der Peltier-Effekt und<br />
die ohmsche Erwärmung in die gleiche Richtung wirken.<br />
Abb. 5: Kennlinie eines Peltierelements<br />
Die charakteristische Zeit τ und die Totzeit t Tot<br />
In Abb. 6a ist die Systemantwort eines idealen Tiefpasses auf eine Stufenfunktion x e (t) =<br />
u(t) dargestellt. Das Ausgangssignal x a (t) des Systems enthält eine Exponentialfunktion,<br />
die sich mit der charakteristischen Zeit t nach unendlich langer Zeit an einen Endwert x ∞<br />
annähert:<br />
(10)<br />
x a (t) = x ! 1 - exp - t !<br />
Das reale thermische System zeigt einen etwas unterschiedlichen Verlauf, da das<br />
Thermometer erst nach einer bestimmten „Totzeit" nach dem Einschalten des Stromes<br />
eine Reaktion zeigt (Abb. 6b). Die Systemantwort besteht somit aus zwei<br />
unterschiedlichen Effekten, die in der folgenden Analyse voneinander zu separieren sind.<br />
Subtrahiert man den Grenzwert x ∞ von den einzelnen Meßwerten, so erhält man bei<br />
einem reinen Tiefpaßsystem eine reine Exponentialfunktion:<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 9
(11)<br />
x a (t) - x ! = x ! • exp - t !<br />
Das Realsystem zeigt auch in dieser Darstellung ein abweichendes Verhalten (Abb. 6c).<br />
Logarithmiert man nun die Funktion x a (t) - x ∞ , so liefert das ideale Tiefpaßsystem eine<br />
Gerade mit der Steigung - 1/τ:<br />
(12)<br />
ln x a (t) - x ! = ln x ! - t !<br />
Das reale thermische System zeigt dieses lineare Verhalten erst nach einer gewissen Zeit<br />
(Abb. 6d). Der lineare Teil der Funktion kann nun für die Ermittlung der charakteristischen<br />
Zeit τ verwendet werden. Die Totzeit t Tot läßt sich durch Parallelverschiebung des linearen<br />
Anteils feststellen (Abb. 6d).<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 10
Abb. 6: Ermittelung von Kenngrößen zur Beschreibung des Zeitverhaltens des<br />
thermischen Systems<br />
<strong>Interferometrische</strong> <strong>Distanzmessung</strong> 11