Versuch 1: Fehlerfortpflanzung und Statistik von Meßunsicherheiten ...
Versuch 1: Fehlerfortpflanzung und Statistik von Meßunsicherheiten ...
Versuch 1: Fehlerfortpflanzung und Statistik von Meßunsicherheiten ...
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Medizinische Meßtechnik<br />
Fachbereich 06: Feinwerktechnik/Physikalische Technik<br />
4. Semester<br />
<strong>Versuch</strong> 1: <strong>Fehlerfortpflanzung</strong> <strong>und</strong> <strong>Statistik</strong> <strong>von</strong> <strong>Meßunsicherheiten</strong><br />
Aufgabenstellung:<br />
Durch die Messung der Dicke <strong>von</strong> einem Normkörpern auf einem<br />
professionellen Heidenhain-Meßplatz ist die Meßgenauigkeit zu<br />
ermitteln <strong>und</strong> mit dem Standard Heidenhain-Taster zu<br />
vergleichen. Der Unterschied zwischen physikalischer <strong>und</strong><br />
mathematischer Addition der Längen ist unter der gegebenen<br />
Meßunsicherheit zu diskutieren.<br />
Die Dicke <strong>von</strong> Beilagscheiben ist zu messen <strong>und</strong> statistisch<br />
auszuwerten.<br />
Meßeinrichtung: Längentaster (Heidenhain), 5 Normkörper, Beilagscheiben,<br />
Auswerterechner<br />
Allgemeines<br />
Der <strong>Versuch</strong> besteht aus zwei verschiedenen Teilen, die jeweils unterschiedliche Aspekte<br />
der Behandlung <strong>von</strong> zufallsbedingten <strong>Meßunsicherheiten</strong> beleuchten. Die Größe der<br />
Meßunsicherheit ist in der Regel nicht bekannt <strong>und</strong> muß daher (durch<br />
Wiederholungsmessungen) abgeschätzt werden. Systematische (also keine<br />
zufallsbedingten) Fehlereinflüsse lassen sich auf diese Weise nicht feststellen, da sich bei<br />
den Wiederholungen der gleiche Störeinfluß auswirkt. Systematische Fehler können nur<br />
durch Änderung der <strong>Versuch</strong>sbedingungen, durch Ringversuche an unterschiedlichen<br />
Meßorten oder durch Variation des Meßverfahrens erfaßt werden. In diesem <strong>Versuch</strong> wird<br />
nur die statistisch bedingte Meßunsicherheit in Betracht gezogen, die in einem Vorversuch<br />
durch Wiederholungsmessungen (5 mal) abzuschätzen ist. Die Kenntnis der<br />
Meßunsicherheit ist Voraussetzung für die Aussagefähigkeit <strong>von</strong> Meßergebnissen.<br />
Im ersten Teil des <strong>Versuch</strong>s soll geprüft werden, ob die Aufschichtung <strong>von</strong> Endmaßen mit<br />
einem systematischen Fehler behaftet ist, der unter den gegebenen Meßbedingungen<br />
signifikant ist. Dabei geht man <strong>von</strong> der Annahme aus, daß die in den Grenzschichten<br />
befindlichen Fettfilme <strong>und</strong> Staubpartikel einen erkennbaren Einfluß auf das Meßergebnis<br />
ausüben. Zur Prüfung dieser Vermutung kann das <strong>Fehlerfortpflanzung</strong>sgesetz<br />
herangezogen werden, das einen Vergleich zwischen der Meßunsicherheit der Summe<br />
der Messwerte <strong>von</strong> einzelnen Endmaßen <strong>und</strong> der Messung an einem Stapel ermöglicht.<br />
Der zweite Teil des <strong>Versuch</strong>s behandelt die statistische Analyse der Dicke <strong>von</strong><br />
Beilagscheiben, die äußeren zufallsbedingten Einflüssen (z. B. Produktionsbedingungen)<br />
unterworfen waren. Durch eine Abschätzung des Meßfehlers wird dabei sichergestellt, daß<br />
die statistischen Schwankungen nicht durch die eigentliche Messung verursacht werden.<br />
Aus den Meßdaten xi wird zunächst ein Histogramm f k (x) erstellt, das die (relative)<br />
Verteilung der Meßwerte um den Mittelwert xw wiedergibt. Aus der Verteilungsfunktion<br />
Längenmessung, <strong>Statistik</strong> 1
(Histogramm) wird die Summenverteilung F k (x) berechnet, die eine Aussage ermöglicht,<br />
ob es sich in einem vorgegebenen Fall um einen Prozeß handelt, der sich durch eine<br />
Normalverteilung f(x) beschreiben läßt.<br />
Histogramm<br />
Ein Histogramm f k (x) zeigt die statistische Verteilung <strong>von</strong> Meßwerten x i (mit i = 1 ... N) in<br />
Form <strong>von</strong> „relativen Häufigkeitswerten". Dazu zählt man zunächst die Anzahl der Werten k<br />
(= absolute Häufigkeitswerte), die innerhalb eines Werteintervalls ∆X („Klasse") fallen. Die<br />
Breite ∆X der Klassen sollte einerseits nicht zugroß sein, da das Histogramm sonst zu<br />
stufig wird. Ist sie zu klein, so fallen zu wenig Werte in diesen Bereich, um statistische<br />
Aussagen zu ermöglichen. Ein Kompromiß zwischen diesen Forderungen liegt bei L =<br />
N 1/2 Klassen. Es sind auch mindestens 7 Klassen erforderlich, um die Form eines<br />
Histogramms bewerten zu können. Daraus folgt, daß statistische Aussagen erst ab etwa N<br />
> 50 Werten einigermaßen sinnvoll sind. Ist die Zahl der Klassen festgelegt, so bildet man<br />
über die gesamte Spanne der Meßwerte L Klassen der Breite<br />
!X = x max - x min<br />
L .<br />
Über sämtliche Klassen werden nun „Säulen" in Form <strong>von</strong> Rechtecken aufgetragen, deren<br />
Höhe f k so gewählt wird, daß die Summe der Fläche sämtlicher Säulen gleich eins wird<br />
(Abb. 1):<br />
f k =<br />
n i<br />
N • !X<br />
f k (x) besitzt daher die Bedeutung einer „Wahrscheinlichkeitsdichte"<br />
Normalverteilung <strong>und</strong> Summenverteilung<br />
Die Normalverteilung f(x) ist eine symmetrische glockenförmige Funktion (Abb. 2), die sich<br />
für die Beschreibung <strong>von</strong> Zufallsprozessen eignet:<br />
f(x) = 1<br />
! 2! exp - 1 x - x 2 • w 2<br />
!<br />
Der Faktor vor der Exponentialfunktion dient der Normierung der Normalverteilung, so daß<br />
die Fläche unter der Funktion gleich eins wird. Die Funktion f(x) ist symmetrisch um den<br />
Mittelwert x w <strong>und</strong> enthält den Parameter σ, der als „Standardabweichung" bezeichnet<br />
wird. Die Summenverteilung F(x) (Abb. 2) ergibt sich durch Integration <strong>von</strong> f(x):<br />
F(x) =<br />
x<br />
-!<br />
f(z) dz<br />
!<br />
bzw. F k = f i !X<br />
k<br />
i = 1<br />
Die Summenfunktion F(x) bzw. F k ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, daß ein<br />
beliebiger Meßwert x i kleiner oder gleich dem vorgegebenen Wert x ist.<br />
Längenmessung, <strong>Statistik</strong> 2
Abb. 1: Bildung <strong>von</strong> Histogrammen aus Meßwerten xi mit unterschiedlicher Anzahl der Klassen<br />
Längenmessung, <strong>Statistik</strong> 3
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Abb. 2: Normalverteilung (oben) <strong>und</strong> Summenfunktion (unten) für xw=5, σ=2<br />
Längenmessung, <strong>Statistik</strong> 4
Durchführung des ersten Teils<br />
• Vor der Messung muß der Nullpunkt des Geräts eingestellt werden.<br />
• Fünf Normkörper ist am Heidenhain-Meßplatz 5-mal zu vermessen (25 Messungen).<br />
Aus den Ergebnissen ist der wahrscheinlichste Wert (= Mittelwert) <strong>und</strong> die<br />
Meßunsicherheit (Methode Auge * π ) zu ermitteln.<br />
• Aus den 5 Normkörpern sind nun Stapel mit wachsender Anzahl der Grenzflächen<br />
(1x, 2x, 3x, 4x) zu bilden <strong>und</strong> zu vermessen (denken Sie vor der Auswahl der<br />
Normkörper an die maximale Meßentfernung des Systems) d.h. keine zu dicken<br />
Normkörper wählen.<br />
Messung mit dem Heidenhain-Meßplatz<br />
Nach dem Einschalten der Geräte (Digitalanzeige <strong>und</strong> Vakuumpumpe) muß der Nullpunkt<br />
eingestellt werden. Der Taster wird dazu erst ganz nach oben gefahren <strong>und</strong> anschließend<br />
auf die Ansaugvorrichtung (weiße Teflonplatte) herabgelassen. Ein Probekörper<br />
(passendes Endmaß) wird so auf die Ansaugvorrichtung gelegt, daß die Ansaugkanäle<br />
abgedeckt sind. Der Taster wird nun neben dem Probekörper aber auf der<br />
Ansaugvorrichtung herabgelassen <strong>und</strong> die Digitalanzeige auf Null zurückgesetzt (Clear-<br />
Taste).<br />
Bei den folgenden Messungen ist immer darauf zu achten, daß die Ansaugkanäle der<br />
Vakuumplatte vollständig <strong>von</strong> den Probekörpern abgedeckt sind. Das Geräusch der<br />
Vakuumpumpe unter Last dient dabei als Hilfestellung. Die Ablesung kann auf 3-4<br />
Nachkommastellen an der Digitalanzeige erfolgen (was ist eigentlich noch sinnvoll ?),<br />
ganze Zahlen entsprechen Millimeter.<br />
Diskussion des erstenTeils<br />
Die Ergebnisse der Stapelmessungen sollen mit der mathematischen Addition der<br />
Einzelmessungen unter Berücksichtigung der entsprechenden <strong>Meßunsicherheiten</strong> (siehe<br />
Infokasten S. 1) verglichen werden. Es ist eine Darstellung der Meßergebnisse zu finden,<br />
die eine Bewertung des Einflusses der Grenzschichten anhand der entsprechenden<br />
<strong>Meßunsicherheiten</strong> erlaubt.<br />
Durchführung des zweiten Teils<br />
• Die Dicke <strong>von</strong> 100 Beilagscheiben ist mittels dem Standard Heidenhain-Tasters<br />
(kleiner Meßplatz) zu ermitteln. Die Meßwerte werden in einen Rechner eingetragen.<br />
(Programm „<strong>Versuch</strong> 1“ starten)<br />
Programmbeschreibung für das LabView Programm zur Klasseneinteilung <strong>von</strong><br />
Meßwerten.<br />
Eingabe der Meßwerte<br />
Die Eingabe erfolgt <strong>von</strong> Hand in der Tabelle oben links des Panels, indem man mit der<br />
Maus das erste Feld anklickt <strong>und</strong> dann den Wert über die Tastatur eingibt (Wichtig: erst<br />
nur drei Werte eingeben <strong>und</strong> mit einem Programmlauf ausprobieren ob Punkt oder Komma<br />
Längenmessung, <strong>Statistik</strong> 5
als Dezimaltrennung eingestellt ist !!!). Jedes Feld wird mit der Returntaste<br />
abgeschlossen. Dabei hüpft der Cursor in das darunterliegende Feld. Die eigegebene<br />
Anzahl der Parameter ist frei wählbar <strong>und</strong> die Berechnung konfiguriert sich selbst.<br />
Zur Korrektur des Wertes wird das Feld mit der Maus angeklickt, mit der Löschtaste<br />
gelöscht <strong>und</strong> der Wert neu eingegeben. Danach Programm erneut ausführen.<br />
Achtung!! Jedes Feld, das mit der Returntaste abgeschlossen wird oder indem der Cursor<br />
einmal war, wird mitberechnet, auch wenndieses leer ist. Leere Felder bekommen den<br />
Wert 0. Das letzte Feld braucht nicht mit der Returntaste abgeschlossen werden. Man<br />
braucht nur das Programm zu starten (-> Symbol oben links anklicken).<br />
Die Anzahl der Klassen ist auf drei verschiedene Werte voreingestellt <strong>und</strong> kann auf jeden<br />
beliebigen Wert, wie die Parameter, verändert werden.<br />
Die Häufigkeit kann entweder als absoluter Wert dargestellt werden, oder in relativer<br />
Darstellung erfolgen. Die Auswahl wird durch das Anklicken des Schalters mit der Maus<br />
getroffen.<br />
Darstellung<br />
In dem oberen Graphen wird die berechnete Klasseneinteilung mit der gewählten<br />
Häufigkeitsart <strong>und</strong> die dazu passende Gaußsche Normalverteilung dargestellt. Die<br />
Skalierung braucht nicht verändert werden, da sie sich selbst an die eingegebenen <strong>und</strong><br />
berechneten Werte anpaßt.<br />
Im mittleren Graphen wird die Summenverteilung aus dem Histogramm <strong>und</strong> die Gaußsche<br />
Approximation angezeigt. Die Skallierung erfolgt automatisch.<br />
Darunter wird die berechnete Standardabweichung <strong>und</strong> der Mittelwert der eingegebenen<br />
Werte angezeigt.<br />
Im unteren Graph wird die Streuung der eingegebenen Parameter angezeigt. Die<br />
Meßwerte werden in der eingebenen Reihenfolge in x-Richtung aufgetragen <strong>und</strong> nicht<br />
sortiert. Ganz unten werden die eingegebenen Werte noch einmal angezeigt. Es können<br />
bis zu 100 Werte angezeigt werden. Werden mehr Werte eingegeben so werden die<br />
letzten Werte nicht mehr angezeigt jedoch mitberechnet.<br />
Diskussion des zweiten Teils<br />
Aus den Meßdaten ist auf mathematischem <strong>und</strong> auf graphischem Wege der Mittelwert x w<br />
<strong>und</strong> die Standardabweichung σ zu ermitteln <strong>und</strong> miteinander zu vergleichen. Es ist<br />
weiterhin anhand des Werteverlaufs zu diskutieren, ob die Verteilung der Dicke der<br />
Beilagscheiben einer Normalverteilung folgt.<br />
Längenmessung, <strong>Statistik</strong> 6