Trigonometrie - hep verlag

MATHEMATIK BASICS
Rainer Hofer • Marc Peter
Trigonometrie
Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)
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Internet: Folienvorlagen und Lernkontrollen
www.hep-verlag.ch/mat/math.basics/
ISBN 3-03905-110-5
(Schülerbuch: ISBN 3-03905-109-1)
1. Auflage 2004
Alle Rechte vorbehalten © 2004 h.e.p. verlag ag h.e.p. verlag ag
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Brunngasse 36
www.hep-verlag.ch
CH-3011 Bern
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Zürich

Mathematik Basics
Rainer Hofer / Marc Peter
Trigonometrie
Materialien zu diesem Buch unter
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Die Deutsche Bibliothek – CIP-Einheitsaufnahme
Rainer Hofer, Marc Peter
Trigonometrie
ISBN 3-03905-109-1
1. Auflage 2004
Reihe: Mathematik Basics
Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)
ISBN 3-03905-110-5
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Vorwort
In allen technisch-konstruktiven Berufen sind die Kenntnisse der Dreieckslehre von
grosser Bedeutung.
Zu Beginn dieses Lehrmittels wird der Satz des Pythagoras behandelt, obwohl die
Theorie zur Planimetrie gehört. Für viele Lernende ist dies vielleicht eine Repetition,
aber unabdingbar, um im letzten Kapitel den Kosinussatz zu verstehen.
In rechtwinkligen Dreiecken können Winkel und Seiten mit Hilfe der drei
trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens ermittelt werden. Am
einfachen Beispiel einer Strasse mit Steigung wird die Grundlage der Trigonometrie
erarbeitet. Vom Seitenverhältnis über den Funktionswert bis zum Winkelwert werden
alle Teilschritte aufgezeigt. Mit diesem Grundlagenwissen und der selbst erarbeiteten
Formelsammlung werden nun viele unterschiedliche Beispiele berechnet. Ganz
besonderer Wert wird auf Skizzen gelegt, weil alle Seiten und Winkel zuerst einmal
bezeichnet werden müssen, bevor die eigentlichen Berechnungen vorgenommen
werden können. Eine Vielzahl praktischer Übungen ermöglicht eine Festigung des
neu Erlernten.
Aufbauend auf den Gesetzen der trigonometrischen Funktionen rechtwinkliger
Dreiecke werden nun Sinus- und Kosinussatz an nicht rechtwinkligen Dreiecken
aufgezeigt. Dabei beschränkt sich die Theorie bewusst auf den I. und II. Quadranten
des Einheitskreises, um wirklich bei den «Basics» zu bleiben, aber dennoch fundiert
aufzubauen. In Beispielen werden die beiden Sätze praktisch angewendet, und in
den letzten sechs Übungssequenzen wächst der Schwierigkeitsgrad kontinuierlich.
Rainer Hofer und Marc Peter, Berufsschullehrer
Trigonometrie Seite 3

Inhaltsverzeichnis
1 Rechtwinklige Dreiecke Seite 6
1.1 Satz des Pythagoras Seite 6
2 Winkelmessung und Einheitskreis Seite 13
2.1 Winkelmessung Seite 13
2.2 Einheitskreis Seite 14
3 Trigonometrie rechtwinkliger Dreiecke Seite 15
3.1 Grundlagen der Trigonometrie Seite 15
3.2 Betrachtungswinkel in rechtwinkligen Dreiecken Seite 15
3.3 Bespiel aus dem Alltag – Steigung m Seite 16
3.4 Überblick der vier trigonometrischen Funktionen Seite 18
3.5 Überblick Formeln Seite 19
3.6 Beispiele von Berechnungen rechtwinkliger Dreiecke Seite 20
3.7 Darstellung der Winkelfunktionen im I. Quadranten Seite 26
3.8 Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen Seite 29
4 Trigonometrische Funktionen von Winkeln über 90° Seite 30
4.1 Begriff der Winkelfunktionen über 90° Seite 30
4.2 Der Sinussatz Seite 33
4.3 Beispiele zum Sinussatz Seite 35
4.4 Der Kosinussatz Seite 37
4.5 Beispiele zum Kosinussatz Seite 38
4.6 Vermischte Aufgaben Seite 40
Lösungen zu den Übungen Seite 41
Trigonometrie Seite 5

1 Rechtwinklige Dreiecke
Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen, spielen in der Geometrie eine besondere
Rolle. Einmal wegen ihrer leichten Konstruierbarkeit (Thaleskreis), zum anderen
weil ihre Seiten in einer rechnerischen Beziehung zueinander stehen, was insbesondere
im Lehrsatz des Pythagoras zur Geltung kommt. Dieses Wissen wurde für
Konstruktionen und Berechnungen verwendet, beispielsweise beim Bau der Pyramiden.
1.1 Satz des Pythagoras
Der Grieche Pythagoras lebte von ca. 570 v.Chr. bis 500 v.Chr. Er gründete in Kroton
(Unteritalien) einen Bund mit religiösen, wissenschaftlichen, politischen und
ethischen Zielen (Pythagoreer). Man geht jedoch davon aus, dass der berühmte
„Satz des Pythagoras“ schon 1700 v.Chr. von den Babyloniern angewandt wurde.
Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen,
wenn die beiden anderen Seiten bekannt sind.
Die Addition aller Winkel in einem Dreieck ergibt bekanntlich 180°. Da bei rechtwinkligen
Dreiecken der rechte Winkel 90° beträgt, ist die Summe der beiden anderen
Winkel immer 180° − 90° = 90°. Mit Ausnahme des rechten Winkels müssen beim
Satz des Pythagoras keine anderen Winkel bekannt sein.
Bei der Bezeichnung rechtwinkliger Dreiecke gilt:
• Wie bei allen Dreiecken werden die drei Seiten a , b und c im Gegenuhrzeigersinn
angeschrieben.
• Die längste Seite wird als Hypotenuse bezeichnet. Sie liegt immer dem rechten
Winkel gegenüber. Üblicherweise wird sie als die Seite c angegeben.
• Die beiden anderen Seiten a und b werden als Katheten bezeichnet. Sie bilden
zusammen den rechten Winkel.
Trigonometrie Seite 6

Der Satz von Pythagoras besagt, dass die Flächen über den beiden Katheten zusammen
gleich gross sind wie die Fläche über der Hypotenuse:
..............................................................
..............................................................
_____________________
..............................................................
..............................................................
Satz des Pythagoras: .......................................................
Trigonometrie Seite 7

Formeln Pythagoras
Wichtig:
Alle Seiten müssen mit derselben
Längeneinheit berechnet werden.
Übung 1 Berechnen Sie die fehlenden Grössen. Die Hypotenuse ist c.
Die Lösungen sind mit drei Ziffern anzugeben.
(Darstellung: Formel, Zahlen und Einheiten, Resultat)
a) a = 13 m, b = 10,5 m, c = ? m
Taschenrechner: ……………………………………………………………………………………………………………………
b) a = 14,38 mm, b = ? mm, c = 4,27 cm
Trigonometrie Seite 8

Übung 2 Textaufgaben Pythagoras
(Darstellung: Skizze, Gegeben, Gesucht und Lösung)
a) Ein rechteckiges DIN A3-Blatt hat eine Länge von 4,2 dm und eine Breite von
297 mm. Berechnen Sie die Diagonale durch das Blatt in cm.
Geg:
Ges:
Trigonometrie Seite 9

) Berechnen Sie die Hypotenuse.
c) Wie viele cm beträgt die Länge der unbekannten Kathete?
d) Berechnen Sie die gesuchte Länge des Ziegeldachs.
e) Welche Länge hat die schräge Leitung?
Trigonometrie Seite 10

f) Welche resultierende Kraft wirkt in diesem Kräfteplan?
g) Berechnen Sie alle unbekannten Seiten der beiden Teildreiecke.
h) Wie viel beträgt die Länge der abgewickelten Leitung in m?
Trigonometrie Seite 11

i) Berechnen Sie den Umfang dieses Drachens in cm.
k) Berechnen Sie alle Seiten dieser drei Dreiecke in m?
l) Stellen Sie sich eine Kartonschachtel für Briefpapier vor. Sie hat die Form eines
Quaders. Das Papier in der Schachtel hat das Format A4. Darin befinden sich
500 Blatt Papier.
Errechnen Sie die Diagonale (in cm) durch den Quader. Die Länge beträgt
0,301 m, die Breite 2,14 dm und die Höhe 46 mm.
Erstellen Sie eine Skizze oder nehmen Sie eine Schachtel zur Hand und werden
Sie sich bewusst, dass die nachfolgenden Berechnungen aus zwei
rechtwinkligen Dreiecken bestehen. Berechnen Sie zuerst die Diagonale im
Grundriss und anschliessend im Quader.
Trigonometrie Seite 12

2 Winkelmessung und Einheitskreis
2.1 Winkelmessung
Bereits vor über 5000 Jahren haben die Sumerer Winkelmessungen angewandt.
Damit wurden der Lauf der Sonne, des Mondes und der Gestirne gemessen. Die
Sonne erreicht mit einer Periode von etwa 365 Tagen ihren höchsten bzw. tiefsten
Stand. Wahrscheinlich führte diese Erkenntnis zur Einteilung des Vollwinkels in 360
Altgrade, denn 360 ist diejenige Zahl, die 365 am nächsten kommt.
a) Messung des Winkels in Altgrad
Der Kreisbogen wird bei dieser Messungsart in 360 gleiche Teile eingeteilt, die man
«ein Grad» nennt.
Umrechnung von Grad, Minuten und Sekunden in Grad mit Dezimalteilung:
23° 30’ =
12,454° =
b) Neue Teilung - Neugrad
Diese Winkelmessung, die in der Vermessung benutzt wird, unterteilt den Vollwinkel
in 400 Teile, die man Gon nennt. Das Gon wird dezimalgeteilt. Viele Winkelmessgeräte
sind heute in Neugrad geeicht.
Trigonometrie Seite 13

2.2 Einheitskreis
Von einem Einheitskreis spricht man dann, wenn der Radius 1 beträgt. Um sich das
besser vorstellen zu können, denkt man sich zum Beispiel 1 m, 1 dm, 1 km...
Tabelle der Winkelmasse in Altgrad und Neugrad
Altgrad
DEG in °
Neugrad
GRAD in Gon
Vollkreis
1/2 Kreis
1/4 Kreis
1/8 Kreis
1/12 Kreis
Trigonometrie Seite 14

3 Trigonometrie rechtwinkliger Dreiecke
3.1 Grundlagen der Trigonometrie
Wie wir gesehen haben, ist es möglich, mit dem Lehrsatz des Pythagoras aus zwei
gegebenen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte Seite zu berechnen. Das
rechtwinklige Dreieck ist durch die Angabe von zwei Seiten bestimmt, aber mit Hilfe
des Pythagoras können wir keine Angaben über die Winkel α und β machen. Die
Trigonometrie hat die Aufgabe, die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln im
Dreieck herzustellen. Sie lehrt, aus Winkeln und Seiten die übrigen Stücke eines
Dreiecks zu berechnen.
3.2 Betrachtungswinkel in rechtwinkligen Dreiecken
In der Trigonometrie kommt es immer auf den Blickwinkel an.
Fazit: Bei jeder trigonometrischen Berechnung muss zuerst der Betrachtungswinkel -
α oder β - festgelegt werden, bevor An- und Gegenkathete definiert werden.
Trigonometrie Seite 15

3.3 Beispiel aus dem Alltag - Steigung m
Ein Strassenstück hat eine Steigung von 7,5%. Dies wird den Verkehrsteilnehmern
mit einem Hinweisschild signalisiert.
Streckenverhältnis
Betrachten Sie die Verhältnisse zwischen Horizontaldistanz und Vertikaldistanz für
Das Verhältnis Vertikaldistanz zu Horizontaldistanz ist vom Winkel α abhängig, d.h.
das Verhältnis ist eine Funktion des Winkels α : Ändert sich der Winkel, so ändert
sich auch das Verhältnis der beiden Distanzen.
Trigonometrie Seite 16

Funktionswert
Rechnen wir dieses Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete aus, bekommen
wir den so genannten Funktionswert:
…………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………
Winkel aus dem Funktionswert bestimmen
Mit Hilfe des Taschenrechners lässt sich nun aus dem Funktionswert der Winkel α
bestimmen. Beachten Sie, dass sich der Taschenrechner in der Stellung Altgrad
(DEG) befinden muss.
Der Winkel α beträgt:
Taschenrechner:
Allgemein gilt für die Steigung: ......................................
Übung 3 Bestimmen Sie den Neigungswinkel, wenn die Steigung m einer Strecke
gegeben ist:
a) m = 4,8% b) m = 6‰ c) m = 0,45
d) m = 267% e) m = 0,023 f) m = 4
Trigonometrie Seite 17

3.4 Überblick der vier trigonometrischen Funktionen
Alle trigonometrischen Funktionen sind Verhältnisse zwischen Seiten.
Sinusfunktion sin ∠ =
Gegenkathete
Hypotenuse
Kosinusfunktion cos ∠ =
Ankathete
Hypotenuse
Tangensfunktion tan ∠ =
Gegenkathete
Ankathete
Kotangensfunktion cot ∠ =
Ankathete
Gegenkathete
Hinweis: Auf dem Taschenrechner fehlt der cot, weil dieser der reziproke Wert des tan ist.
Einen Funktionswert, beispielsweise den Sinus von 56°, berechnen Sie wie folgt:
Taschenrechner:
Den Winkel von cos 0,8 können Sie wie folgt berechnen:
Taschenrechner:
Trigonometrie Seite 18

Übung 4 Ergänzen Sie die Tabelle
17°30’
° sin cos tan
34°19’
62°35’29’’
Übung 5 Bestimmen Sie die Winkel der entsprechenden Funktionswerte.
a) sin α = 0,387 b) cos α = 0,135 c) tan α = 4,18
d) cos α = 0,64 e) cot α = 4,35 f) sin α = 0,89
3.5 Überblick Formeln
Stellen Sie die Grundformeln nach den gesuchten Grössen um.
Seite /
Winkel
Funktion
Ankathete = Gegenkathete = Hypotenuse = ∠ =
sin
cos
tan
Trigonometrie Seite 19

3.6 Beispiele von Berechnungen rechtwinkliger Dreiecke
a) Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die beiden Katheten a = 2,5 cm
und b = 10,9 cm. Gesucht sind: α , β und c .
Trigonometrie Seite 20

) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α = 48° und die Hypotenuse
misst c = 9 cm .
Skizzieren Sie das Dreieck und berechnen Sie β , a und b .
Trigonometrie Seite 21

c) Ein Kraftvektor F = 7 700 N kann in zwei Komponenten F 1 und F 2 zerlegt
werden, die zusammen einen rechten Winkel bilden. F 1 wirkt zur resultieren
Kraft in einem Winkel von 64,4°. Berechnen Sie F 1 und F 2 .
Übung 6 Im Dreieck ABC ist γ = 90°. Berechnen Sie α .
a) a = 7,1 dm b) b = 4 cm c) c = 3 m
c = 12,7 dm a = 12,4 cm b = 1 m
Trigonometrie Seite 22

Übung 7 Im Dreieck ABC ist γ = 90°. Berechnen Sie die unbekannten Seiten.
a) c = 1,25 m b) a = 3,8 cm c) b = 24 km
β = 67° α = 30° α = 60° 20'
d) c = 800 m e) β = 27° 40' f) a = 19 m
α = 38° a = 4,4 dm α = 49° 37' 25"
g) a = 9 h) c = 4
1
sin β =
tan α = 3
3
Übung 8 Bestimmen Sie die Steigung m in % und ° folgender Strecken.
(h = Höhenunterschied, a = Horizontaldistanz, d = wirkliche Distanz).
Skizze:
a) h = 25 m b) a = 88,4 m c) h = 40,2 m
d = 72 m d = 103 m a = 1,6 km
Trigonometrie Seite 23

Übung 9
a) Berechnen Sie die Höhe des Kirchturms. Die Augen sind auf einer Höhe von
1,6 m über Boden.
b) Schiefe Ebene: Wie viel betragen die Längen l 1 und l 2 ?
Trigonometrie Seite 24

c) Berechnen Sie die Höhe in diesem gleichseitigen Dreieck.
d) Wie viele Newton betragen die beiden Kräfte F 1 und F 2 ?
Trigonometrie Seite 25

3.7 Darstellung der Winkelfunktionen im I. Quadranten des Einheitskreises
a) Die Sinusfunktion im I. Quadranten
Zeichnet man in einem Einheitskreis (Kreis mit Radius r = 1 ) einen Winkel ein, so
hat die Hypotenuse den Wert 1 und man kann den Sinus des Winkels als Länge ablesen.
So lassen sich die einzelnen Sinuswerte für die verschiedenen Winkel α
zeichnerisch bestimmen.
Daraus wird ersichtlich:
− Nimmt der Winkel α von 0° bis 90° zu, so wächst auch der Sinus und zwar von 0
bis 1.
− In der Nähe von 0° ist die Zunahme des Sinuswertes grösser als in der Nähe von
90°. Der Sinuswert und der Winkel sind demnach nicht proportional:
Trigonometrie Seite 26

) Die Kosinusfunktion im I. Quadranten
Auch die Kosinusfunktion kann mit Hilfe des Einheitskreises dargestellt werden.
− Nimmt der Winkel α von 0° bis 90° zu, so nimmt der Kosinus ab und zwar von 1
bis 0.
− In der Nähe von 0° ist die Abnahme des Kosinus geringer als in der Nähe von 90°.
Somit ist auch hier ersichtlich, dass Kosinuswert und Winkel nicht proportional
sind:
Trigonometrie Seite 27

c) Die Tangensfunktion im I. Quadranten
Die Ankathete eines Winkels kann am Einheitskreis so eingezeichnet werden, dass
sie immer den Wert 1 hat, die Gegenkathete des Winkels entspricht dann in ihrer
Länge dem Tangens des Winkels.
− Nimmt der Winkel α von 0° bis 90° zu, so nimmt der Tangens zu und zwar von 0
bis +∞. Bei einem Winkel von 45° beträgt der Funktionswert des Tangens genau
1.
− Für die Winkel bis 45° ist die Zunahme geringer als für die Winkel über 45°.
Trigonometrie Seite 28

3.8 Zusammenfassung der trigonometrischen Funktionen im I. Quadranten
Trigonometrie Seite 29

4 Trigonometrische Funktionen von Winkeln über 90°
4.1 Verallgemeinerung des Winkelfunktionsbegriffes
Die Winkelfunktionen haben wir bis jetzt nur für spitze Winkel erklärt. In schiefwinkligen
Dreiecken können auch Winkel vorkommen, die grösser als 90° sind. Will man
mit solchen Winkeln rechnen, so muss man versuchen, deren Funktionswerte auf
Funktionswerte spitzer Winkel zurückzuführen. Der Begriff der Winkelfunktionen wird
über den bisherigen Bereich (0° − 90°) ausgedehnt. Dazu benutzt man wiederum den
Einheitskreis, und zwar im rechtwinkligen Koordinatensystem. Hier beschränken wir
uns auf die ersten beiden Quadranten:
Die Winkelfunktionen definieren sich wie folgt:
…………………………...............................
…………………………...............................
Im Einheitskreis ist somit der Sinuswert eines Winkels die Masszahl der y − Achse.
Der Kosinuswert eines Winkels entspricht der Masszahl der x − Achse. Zu berücksichtigen
ist dabei das Vorzeichen von x .
Trigonometrie Seite 30

Am Einheitskreis können wir feststellen, dass wir den Sinuswert eines stumpfen Winkels
durch einen spitzen Winkel mit gleichem Sinuswert ausdrücken können.
− Für α = 90 ° ist sin α = 1 ; wird der Winkel α grösser, so wird der Sinus kleiner
und erreicht bei α = 180 ° den Wert 0.
− Der Sinus von 135° beträgt gleich viel wie der Sinus von 45°. Der Sinus eines
stumpfen Winkels wird also durch den Sinus eines spitzen Winkels ausgedrückt,
den man bekommt, wenn man den stumpfen Winkel von 180° subtrahiert:
…………………………………………………………………………….
Trigonometrie Seite 31

Mit der gleichen Vorgehensweise kann man die Kosinuswerte von stumpfen Winkeln
erklären.
− Für α = 90 ° ist cos α = 0 ; wird der Winkel α grösser, so wird der Kosinus
negativ und erreicht bei α = 180 ° den Wert −1.
− Zum Beispiel ist der Kosinus von 145° zahlenmässig gleich gross wie der Kosinus
von 35°. Folglich ist:
Übung 10
Zeichnen Sie einen Halbkreis mit r = 10 cm (Blatt A4 quer) und beantworten Sie mit
Hilfe der graphischen Darstellung folgende Fragen:
a) Der Winkel α hat den Kosinuswert von −0,8. Wie gross ist α ?
b) β ist 115°. Wie gross ist der Sinuswert von β ?
Trigonometrie Seite 32

4.2 Der Sinussatz
Beide Dreiecke haben die gleiche Höhe.
Im spitzwinkligen Dreieck gilt:
Im stumpfwinkligen Dreieck ist:
Da aber sin β = sin ( 180°
− β)
ist, wird auch hier die Höhe:
Trigonometrie Seite 33

Durch Gleichsetzung erhält man:
…………………..……………………………………………… und somit
……………………………….....
Zeichnet man noch die Höhe h b , so ergibt sich:
a ⋅ sin γ = c ⋅ sin α und somit
……………………………….....
Daraus folgt der Sinussatz:
Zwei Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.
a
: b : c
= sin α : sin β : sin
γ
Der Sinussatz findet Anwendung, wenn in einem beliebigen Dreieck gegeben sind:
Trigonometrie Seite 34

4.3 Beispiele zum Sinussatz
a) Berechnen Sie die fehlenden Seiten eines Dreiecks, von welchem gegeben
sind:
b = 6,25 cm , α = 80° und β = 50° .
Massstäbliche Zeichnung:
Berechnung:
Trigonometrie Seite 35

) Die Resultierende F Res zweier Kräfte F 1 und F 2 , die im gleichen Punkt angreifen,
beträgt 700 N. Sie bildet mit F 1 den Winkel α 1 = 30° und mit F 2 den
Winkel α 2 = 50°. Berechnen Sie die Beträge von F 1 und F 2 .
Massstäbliche Zeichnung (100 N entsprechen 1 cm):
Berechnung:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Trigonometrie Seite 36

4.4 Der Kosinussatz
Gemäss Pythagoras gilt:
Durch Gleichsetzung erhält man:
ist, folgt daraus der Kosinussatz:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2bc
cos α
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2ac
cos β
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2ab
cos
γ
Der Kosinussatz findet Anwendung, wenn in einem Dreieck gegeben sind:
Trigonometrie Seite 37

4.5 Beispiele zum Kosinussatz
a) Berechnen Sie die unbekannte Seite und den grössten Winkel des Dreiecks.
Gegeben sind die Seiten b = 4,3 cm und c = 7,6 cm und ihr eingeschlossener
Winkel von 60°.
Massstäbliche Zeichnung:
Berechnung:
Trigonometrie Seite 38

) Von einem Dreieck sind die drei Seiten a = 8 cm, b = 6,5 cm und c = 5 cm
bekannt. Berechnen Sie den grössten Winkel.
Massstäbliche Zeichnung:
Berechnung:
Trigonometrie Seite 39

4.6 Vermischte Aufgaben
Übung 11
Berechnen Sie die unbekannten Seiten und Winkel des Dreiecks.
a) a = 8 cm b) c = 51 m c) a = 7 dm
α = 37° α = 55° c = 134 cm
β = 74° γ = 100° γ = 110°
Übung 12
Berechnen Sie die unbekannte Seite des Dreiecks.
a) a = 77 m b) a = 68 m c) a = 28 m
b = 44 m c = 41 m b = 53 m
γ = 68° β = 110° γ = 120°
Übung 13
Berechnen Sie den grössten Winkel des Dreiecks.
a) a = 32 m b) a = 30 cm c) a = 46 dm
b = 25 m b = 1,9 dm b = 80 dm
c = 37 m c = 140 mm c = 57 dm
Übung 14
Berechnen Sie die unbekannten Seiten und Winkel des Dreiecks.
a) b = 64 cm b) a = 60 m c) a = 34 dm
c = 50 cm b = 43 m α = 64°
β = 58° c = 77 m γ = 47°
Übung 15
Von einem Parallelogramm ABCD sind die Seite a = 7 cm , der Winkel
α = 140° sowie die Diagonale AC = 5,5 cm gegeben.
Berechnen Sie die andere Diagonale.
Übung 16
Zwei Kräfte F 1 = 500 N und F 2 = 700 N greifen im gleichen Punkt an
und bilden zusammen einen Winkel von 55°.
Berechnen Sie die resultierende Kraft.
Trigonometrie Seite 40

Lösungen zu den Übungen
Übung 1 a) 16,71 m b) 40,21 mm c) 22,14 dm
d) 9,99 mm e) 0,872 m
Übung 2 a) 51,44 cm b) 5,025 m c) 51,61 cm
d) 5,546 m e) 59,95 cm f) 49,09 N
g) 1) a = 25,28 m h) 1,487 m i) 136,0 cm
2) b = 7,52 m
c = 18,32 m
k) 1) a = 4,726 m l) 37,22 cm
c = 5,545 m
2) c = 3,265 m
3) a = 6,226 m
Übung 3 a) 2,75° b) 0,344° c) 24,23°
d) 69,47° e) 1,32° f) 75,96°
Übung 4
° sin cos tan
17°30’ 17,5° 0,301 0,954 0,315
34°19’ 34,32° 0,564 0,826 0,683
62°35’29’’ 62,59° 0,888 0,460 1,928
Trigonometrie Seite 41

Übung 5 a) 22,77° b) 82,24° c) 76,55°
d) 50,21° e) 12,95° f) 62,87°
Übung 6 a) α = 33,99° b) α = 72,12° c) α = 70,53°
Übung 7 a) a = 0,488 m b) b = 6,582 cm c) a = 42,13 km
b = 1,151 m c = 7,60 cm c = 48,49 km
d) a = 492,5 m e) b = 2,307 dm f) b = 16,16 m
b = 630,4 m c = 4,968 dm c = 24,94 m
g) b = 3,182 h) a = 3,464
c = 9,546 b = 2,00
Übung 8 a) 37,03% b) 59,8% c) 2,51%
20,32° 30,88° 1,44°
Übung 9 a) 51,85 m b) l 1 = 44,81 m c) h = 28,58 m
l 2 = 41,46 m
d) F 1 = 8354,6 N
F 2 = 5370,2 N
Übung 10
Graphische Lösung
Übung 11 a) b = 12,78 cm b) a = 42,42 m c) b = 92,8 cm
c = 12,41 cm b = 21,89 m β = 40,6°
γ = 69,0° β = 25,0° α = 29,4°
Trigonometrie Seite 42

Übung 12 a) c = 72,98 m b) b = 90,62 m c) c = 71,25 m
Übung 13 a) γ = 79,92° b) α = 130,15° c) β = 101,38°
Übung 14 a) a = 74,43 cm b) α = 50,88° c) b = 35,32 dm
α = 80,51° β = 33,78° c = 27,67 dm
γ = 41,49° γ = 95,34° β = 69,0°
Übung 15 14,6 cm oder 8,80 cm
Übung 16
1068,4 N
Trigonometrie Seite 43

Weitere Titel in der Reihe «Mathematik Basics»
Rainer Hofer
Grössen, Einheiten und
Figuren
1. Auflage 2001
40 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-32-9
Lösungen:
ISBN 3-905905-40-X
Marc Peter
Flächenberechnungen
1. Auflage 2003
52 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-54-X
Lösungen:
ISBN 3-905905-55-8
Rainer Hofer
Grundlagen der Mechanik
1. Auflage 2001
50 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-37-X
Lösungen: ISBN 3-905905-42-6
Marc Peter / Rainer Hofer
Potenzen, Wurzeln und
Logarithmen
1. Auflage 2003
56 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-51-5
Lösungen:
ISBN 3-905905-96-5
Marc Peter
Arithmetik und Algebra
1. Auflage 2002
48 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-38-8
Lösungen:
ISBN 3-905905-43-4
Marc Peter / Rainer Hofer
Algebra - rechnerische
und graphische Lösungen
von Gleichungen
1. Auflage 2003
52 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-26-4
Lösungen:
ISBN 3-905905-27-2
Marc Peter
Bruchrechnen
1. Auflage 2002
44 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-39-6
Lösungen:
ISBN 3-905905-44-2
Marc Peter
Prozente
1. Auflage 2001
40 Seiten, A4, broschiert
ISBN 3-905905-33-7
Lösungen:
ISBN 3-905905-41-8