Funktionen - arthur

Funktionen
In der nebenstehenden Abbildung sind einige lineare
Funktionen f mit f(x) = k ˜ x dargestellt, wobei für den
Proportionalitätsfaktor die folgenden Werte eingesetzt
wurden:
k = 1_
2 ; 1; 2; –0,7; – 10 __
3
-9 -6
-3
10
8
6
4
2
-2
y
3
y = 2x
6 9
y = x
1
y = 2 x
x
-4
-6
-8
-10
y = -0,7x
y = - 10
3 x
Der Wert des Faktors k entscheidet über die Steigung einer Geraden.
Ist k > 0, dann steigt die Gerade, ist k < 0, dann fällt die Gerade.
Für k = 0 ist die Gerade parallel zur x-Achse.
Je größer der Betrag |k | ist, desto stärker steigt oder fällt die Gerade.
Wir untersuchen genauer, in welchem Ausmaß sich die y-Koordinate der Geradenpunkte
verändert, wenn sich die x-Koordinate ändert.
y = 2 · x
Jede Änderung des x-Werts
um 1 führt zu einer Änderung
des y-Werts um 2.
y = 5 · x
Jede Änderung des x-Werts
um 1 führt zu einer Änderung
des y-Werts um 5.
Die eingezeichneten Dreiecke nennt man Steigungsdreiecke. k ist auf der vertikalen Kathete
des rechtwinkligen Dreiecks ablesbar, wenn die horizontale Kathete 1 beträgt.
Den Winkel α, den die Gerade mit der x-Achse einschließt, nennt man den Steigungswinkel.
x
y
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
x
y
0 0
1 5
2 10
3 15
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
y
y = 5x
5
y = 2x
1
x
-2 -1 1 1 2 3 4
-1
1
2
4.14 Stelle in R + die lineare Funktion f(x) = 1,5x mithilfe der Steigung grafisch dar.
Miss den Steigungswinkel ab. Dokumentiere die einzelnen Arbeitsschritte.
Lösung:
12
10
8
6
4
2
0
f(x)
56,3°
f
1 2 3 4 5 6 7 8
x
Der Graph ist eine Gerade durch den
Ursprung. Auf der x-Achse wird eine Einheit
nach rechts, von dort 1,5 Einheiten nach
oben aufgetragen. Der erhaltene Punkt
wird mit dem Ursprung über eine Gerade
verbunden. Dies ergibt den Graphen der
Funktion f. Den Winkel so genau wie möglich
ablesen: α ≈ 56,3°
BC
Funktionale Zusammenhänge
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