10.1. Ebene Kurven

Die Astroide
w( t)
⎡cos( t )
3 ⎤
= ⎢ ⎥
⎣sin( t)
3 ⎦
entsteht als Rollkurve durch Abrollen eines Rades vom Radius 1 4
im Inneren des Einheitskreises
x 2 + y 2 = 1. In der Tat ist
d.h.
bzw.
cos( 3 t)
+ i sin( 3 t ) = e ( 3 i t )
= ( cos( t ) + i sin( t ) )
3 =
cos( t)
3 − 3 cos( t ) sin( t)
2 + 3 i cos( t)
2 sin( t ) − i sin( t )
3 ,
cos( 3 t ) = 4 cos( t )
3 − 3 cos( t ) und sin( 3 t ) = 3 sin( t ) − 4 sin( t )
3 ,
cos( t)
3 3 cos( t )
= +
4
cos( 3 t)
4
und sin( t )
3 =
3 sin( t)
4
−
sin( 3 t)
4
.
Zum Schluß eine Schar von Astroiden in einem Zahnradgetriebe:
Clockwork Orange