10.1. Ebene Kurven

Tangenten und Geschwindigkeit
Die (komponentenweise gebildete) Ableitung w´ ( t ) beschreibt geometrisch einen
Tangentenvekor. Im Falle w´ ( t 0
) ≠ 0 ist
w( t 0
) + t w´ ( t 0
) x´ ( t ) = 2 r cos( t)
− 2 r cos( 2 t )
eine Parameterdarstellung der Tangente zu einem festen Zeitpunkt t 0
. Faßt man w( t ) als
dynamischen Durchlauf der Kurve auf, so ist w´ ( t ) der jeweilige Geschwindigkeitsvektor, und
sein Betrag
v( t ) = w´ ( t )
ist die (skalare) Bahngeschwindigkeit.
Wir betrachten zunächst solche Kurven, die in der x-y-Ebene liegen, bei denen also die dritte
Koordinatenfunktion verschwindet. Im Prinzip läßt sich jede in einer Ebene gelegene Raumkurve
durch eine geeignete Raumdrehung in diese Situation "transformieren". Die mathematische
Beschreibung von Raumdrehungen kann allerdings recht kompliziert werden (lineare Algebra).
Polarkoordinaten
Wir bezeichnen wie üblich mit
r den Radius, d.h. den Abstand eines Punktes vom Ursprung
φ den Drehwinkel des Ortsvektors zur x-Achse.
Darstellungen ebener Kurven
Implizite Darstellung kartesisch polar
Lösungsmenge einer Gleichung Lösungsmenge einer Gleichung
G ( x,
y ) = 0 H ( r,
φ)
= 0
Explizite Darstellung kartesisch polar
y-Koordinate als Funktion Radius als Funktion
der x-Koordinate: y = f( x ) vom Drehwinkel r = ρ( φ )
Parameterdarstellung kartesisch polar
Beide Koordinaten als
Radius und Drehwinkel als
Funktionen eines Parameters Funktionen eines Parameters
x = x( t ),
y = y( t )
r = r( t ),
φ = φ( t )
Die expliziten Darstellungen können sowohl als Spezialfall der impliziten als auch der allgemeinen
Parameterdarstellungen aufgefaßt werden: