10.1. Ebene Kurven

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Beispiel 4: Zykloiden Besonders schön lassen sich Kurvenverlauf, Tangenten und Normalen bei Zykloiden verfolgen. Das sind Kurven, die ein mit einem Rad verbundener Punkt beschreibt, wenn dieses auf einer vorgegebenen Bahnkurve entlang rollt. Wir lassen die Räder zunächst auf einer ebenen Bahn (etwa der x-Achse) abrollen. Nehmen wir den Rollwinkel t als Parameter, so hat der Mittelpunkt des Rades (mit Radius r) die Koordinaten r t und r. Ein mit dem Rad fest verbundener Punkt (Seitenstrahler) im Abstand a vom Mittelpunkt hat daher die kartesische Parameterdarstellung x( t ) = r t − a sin( t ) , y( t ) = r − a cos( t ) . Die Ableitungen lauten x´ ( t ) = r − a cos( t ) , y´ ( t ) = a sin( t ) , und daraus resultiert (bei konstanter Winkelgeschwindigkeit 1) die skalare Geschwindigkeit v( t ) = r 2 + a 2 − 2 r a cos( t ). Durch Veränderung des Maßstabes kann man r = 1 annehmen. Mathe und Inge auf der Tour (völlig ungedopt) Bei Variation der Geschwindigkeit gibt es Stehversuche und Überholmanöver.
Beispiel 5: Epi- und Hypozykloiden Rollt ein Kreis k mit Radius r auf einem anderen Kreis K mit Radius R ab, so bewegt sich ein Punkt, der mit dem abrollenden Kreis k im Abstand a von dessen Mittelpunkt fest verbunden ist, auf einer Epizykloide (falls der Kreis außen abrollt) bzw. auf einer Hypozykloide (falls er innen abrollt). Parameterdarstellungen dieser Zykloiden sind gegeben durch Dabei ist w( t) ⎡ω r cos( t) − σ a cos( ω t ) ⎤ = ⎢ ⎥ . ⎣ ω r sin( t ) − a sin( ω t) ⎦ t der Drehwinkel des Berührpunktes der Kreise, σ = 1 das Signum für "außen" und σ = −1 das Signum für "innen", R + σ r R ω = = + σ das Verhältnis zwischen Mittelpunktabstand und Radius r. r r Der jeweilige Geschwindigkeitsvektor entlang der Zykloide ist w´ ( t) ⎡ω ( − r sin( t ) + σ a sin( ω t )) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ω ( r cos( t ) − a cos( ω t) ) ⎦ und einer der beiden darauf senkrecht stehenden Normalenvektoren gleicher Länge ist w´n ( t) ⎡ ω ( − r cos( t) + a cos( ω t )) ⎤ = ⎢ ⎥ . ⎣ω ( − r sin( t ) + σ a sin( ω t) ) ⎦ Die Verbindungsstrecke zwischen Berührpunkt und Kurvenpunkt steht also stets senkrecht auf der Kurve, und ihre Länge ist proportional zur skalaren Geschwindigkeit v( t ) = w´ ( t ) . Diese ist gleich ( − ω r sin( t) + a sin( ω t) ω σ ) 2 + ( ω r cos( t) − a cos( ω t) ω) 2 , was sich mittels der trigonometrischen Umformung ⎛ ⎞ cos( t ) cos( ω t ) + σ sin( t ) sin( ω t ) = cos ( ω t − σ t ) = cos⎜ R t ⎟ ⎝ r ⎠ vereinfacht zu v( t) = ω r 2 + a 2 ⎛ ⎞ − 2 r a cos⎜ R t ⎟ . ⎝ r ⎠
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