Vergleich Gradientenverfahren und CG-Verfahren A = [4 0; 0 4] , b ...

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Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl für Numerische Mathematik Vergleich iterativer Lösungsverfahren Anzahl der Iterationen, bis Fehler < 10 −8 , gegen n 2 bzw. p Poisson-Matrix Lehmer-Matrix 1000 800 600 400 Jacobi GS SGS CG 2000 1500 1000 Jacobi GS SGS CG 200 500 0 0 50 100 150 200 0 0 20 40 60 80 100 Jacobi-Verfahren divergiert! Kapitel III.4 (linalg41) 6
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl für Numerische Mathematik SOR und konjungiertes Gradientenverfahren im Vergleich für die Poisson Matrix 300 250 sor cg pcg−sgs pcg−ssor1.8 pcg−ssoropt Anzahl der Iterationen Vergleich des optimalen SOR mit cg: rel. Fehler < 1e−6 1 0.9 0.8 numerische Konvergenzrate sor cg pcg−sgs pcg−ssor1.8 pcg−ssoropt Vergleich des optimalen SOR mit cg Anzahl der Iterationen 200 150 100 asymptotische Konvergenzraten 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 50 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Dimension der Matrix ist N 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Dimension der Matrix ist N 2 Rot: optimales SOR, Blau: konjugiertes Gradientenverfahren, Pink: vorkonditioniertes CG mit symmetrischen Gauß–Seidel, Grün: vorkonditioniertes CG mit SSOR, ω = 1.8, Gelb: vorkonditioniertes CG mit SSOR, ω = ω opt Kapitel III.4 (linalg46) 7
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