Einteilung von partiellen Differentialgleichungen - Lehrstuhl ...

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Inhalt des Kapitels
II. Einteilung von partiellen Differentialgleichungen
II.1. Motivation und Beispiele
II.2. Typeinteilung partieller Differentialgleichungen
II.3. Wohlgestelltheit nach Hadamard
Kapitel II (UebersichtKapII) 1

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Crashtest: Realität → Simulation
www.arasvo.com/crown victoria/crown vic.htm
1997 Ford Crown Victoria Entfernung von Komponenten Oberflächendiskretisierung
Volumendiskretisierung fertiges Modell Simulationsergebnis
Kapitel II (motivation 01) 2

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Biomechanik
www.volpe.dot.gov/safety/biomodeling.html, www.eng.tau.ac.il/˜msbm/
• FE Crash Test Dummy
• Simulation von Verletzungen
nach Verkehrsunfällen
• Links: Rattengehirn
• Rechts: Simulierte Verteilung von
Deformationen der Hirnrinde augrund
einer traumatischen Hirnverletzung
Kapitel II (motivation 02) 3

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Strömungsmechanik: Der virtuelle Windkanal
www-isl.mach.uni-karlsruhe.de
Flügeloberfläche
Ausschnitt aus dem 3D-Gitter
Druckverteilungen
Querschnitt
Kapitel II (motivation 03) 4

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Erdbebensimulation
T. Furumura, Journal of the Earth Simulator 3, 2005
Kapitel II (motivation 04) 5

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Strukturmechanik: Stabilität von Bauwerken
www.dynardo.de
Kapitel II (motivation 05) 6

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Navier–Stokes Gleichungen
Die Navier–Stokes Gleichungen sind ein System partieller Differenzialgleichungen
zweiter Ordnung bestehend aus dem Impulssatz und der Kontinuitätsgleichung.
Hauptsächlichwerdensie in der Strömungsmechanikverwendetum die Strömungen
von Flüssigkeiten und Gasen zu beschreiben.
Gesucht ist das Geschwindigkeitsfeld u ∈ R d , d ∈ {2,3}, und der Druck p ∈ R, die
in Ω ⊂ R d dem System
−div(ν∇u)+̺(u·∇)u+∇p = f
div u = 0
und zusätzlichen Randbedingungen auf Γ := ∂Ω genügen.
• f(x) ∈ R d ,x ∈ Ω: Volumenkraft
• ν > 0: kinematische Viskosität
Kapitel II (einleitung36) 7

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Navier–Stokes Gleichungen
Historisches
Claude Navier (1785 – 1836)
• Der Impulssatz für newtonische Fluide, z.B. für
Wasser, wurde von Navier und Stokes unabhängig
im 19. Jahrhundert formuliert. Obwohl die
Gleichungen bereits zwei Jahre vor Stokes von
Saint–Venant hergeleitet wurden, setzte sich der
Name Navier–Stokes Gleichungen durch.
• Bis heute gibt es keine allgemeinen Resultate
über die theoretische Wohlgestelltheit der Navier–
Stokes Gleichungen.
George Stokes (1819 – 1903)
Kapitel II (einleitung38) 8

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Navier–Stokes Gleichungen
Beispiel
Simulation einer turbulenten Strömung mit Hilfe der Navier–Stokes Gleichungen
zum Zeitpunkt t = 0 und zum Endzeitpunkt.
Kapitel II (einleitung37) 9

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Lineare Elastizität
Historisches
• Cauchy leistete mehrere Beiträge zur
Elastizitätstheorie. Zum einen entwickelte er den
Cauchy–Spannungstensor eines Würfels, mit welchem
die Spannung in einem Punkt eines elastischen Körpers
vollständig beschrieben werden kann.
Augustin Cauchy
(1789 – 1857)
• Mit Hilfe der Cauchy–Zahl kann man Aussagen
über die Ähnlichkeit im Elastizitätsverhalten zweier
Körper machen. Die Cauchy–Zahl ist das Verhältnis
der Trägheitskräfte zu den elastischen Kräften bei
Schwingungen des Schalls in einem Körper.
Kapitel II (einleitung39) 10

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Typeinteilung
Die allgemeine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Variablen
x = (x 1 ,...,x n ) lautet:
n∑
i,j=1
a ij (x) ∂2 u
∂x i x j
+
n∑
i=1
a i (x) ∂u
∂x i
+a(x) = f(x).
A := (a ij ) 1≤i,j≤n ; A = A T
d.h. die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix sind reell.
Kapitel II (einleitung02) 11

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Typeinteilung
• elliptisch in x: Alle n Eigenwerte der Matrix A(x) haben dasselbe Vorzeichen
• parabolisch in x: Ein Eigenwert ist gleich 0. Die übrigen n−1 Eigenwerte
besitzen dasselbe Vorzeichen. Es gilt zusätzlich: rang(A(x),a(x)) = n, wobei
a(x) = (a 1 (x),...,a n (x)) T gilt
• hyperbolisch in x: n−1 Eigenwerte besitzen dasselbe Vorzeichen, der restliche
Eigenwert hat das entgegengesetzte Vorzeichen.
• Die lineare PDE zweiter Ordnung ist elliptisch/parabolisch/hyperbolisch auf
Ω ⊂ R n , (Ω offen), wenn sie in allen x ∈ Ω elliptisch/parabolisch/hyperbolisch
ist.
Kapitel II (einleitung02a) 12

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Elliptische partielle Differenzialgleichungen
Prototyp: Laplace Operator ∆
∆ =
d∑
i=1
∂ 2
∂x 2 i
, A =
⎛
⎝ 1 ...
Zusätzlich müssen Randdaten auf dem Rand Γ := ∂Ω des Gebietes Ω ⊂ R d
vorgegeben werden:
⎞
⎠
1
1. Dirichlet Randbedingungen: −∆u = f in Ω, u = g auf Γ
2. Neumann Randbedingungen: −∆u = f in Ω,
∂u
∂n = p auf Γ
3. Robin Randbedingungen: −∆u = f in Ω,
∂u
∂n
+u = r auf Γ
Kapitel II (einleitung03) 13

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Elliptische partielle Differentialgleichungen
Dirichlet Randbedingungen
Dirichlet Randwertproblem:
−∆u= f in Ω
u= g auf Γ := ∂Ω
• Ω Einheitsquadrat (0,1)×(0,1)
• f(x,y) = 20π 2 sin(2πx)sin(4πy)
• g(x,y) = 0
• exakte Lösung u(x,y) = sin(2πx)sin(4πy)
Kapitel II (einleitung15) 14

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Dirichlet Randbedingungen - Beispiel
Color: u Height: u
0.8
1
0.6
0.5
0.4
0.2
0
0
−0.5
−0.2
−1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.4
−0.6
−0.8
Kapitel II (einleitung16) 15

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Elliptische partielle Differentialgleichungen
Neumann Randbedingungen
Neumann Randwertproblem:
• Ω Einheitsquadrat (0,1)×(0,1)
−∆u= f in Ω
∂u
= g auf Γ := ∂Ω
∂n
• f(x,y) = (1−2x)y 2 (2y −3)+(1−2y)x 2 (2x−3)
• g(x,y) = 0
• exakte Lösung u(x,y) = 1 6 x2 (2x−3)y 2 (2y −3)
Kapitel II (einleitung18) 16

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Neumann Randbedingungen - Beispiel
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
1
0.8
0.6
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.02
0
∫
∫
Kompatibilitätsbedingung
Ω
f dx = −
∂Ω
gds
Kapitel II (einleitung19) 17

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Elliptische partielle Differentialgleichungen
Gemischte Randbedingungen
Beispiel
−∆u = 1 in Ω
∂u
= 0 auf —–
∂n
⎧
1 auf —–
⎪⎨
2 auf —–
u =
3 auf —–
⎪⎩ 4 auf —–
1
4
2
3
Kapitel II (einleitung20) 18

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Gemischte Randbedingungen - Beispiel
2
4
3.5
3
2.5
1.5
1
0.5
2
1.5
2
1
0
−0.5
1
−1
0
−1
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Kapitel II (einleitung21) 19

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Elliptische partielle Differentialgleichungen
Robin Randbedingungen
Robin Randwertproblem:
∂u
∂n
• Ω Einheitsquadrat (0,1)×(0,1)
• f(x,y) = 1
• g(x,y) = sin(2πx)cos(4πy)
−∆u= f in Ω
+u= g auf Γ := ∂Ω
Kapitel II (einleitung22) 20

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Robin Randbedingungen - Beispiel
1
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
1
0.8
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.6
0.2
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Kapitel II (einleitung23) 21

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Parabolische Differenzialgleichungen
Prototyp: Wärmeleitungsgleichung
L = ∂ ∂t −∆,
⎛
0
A = ⎜
⎝
−1
...
⎞
⎟
⎠
−1
Für die Lösung u(t,x) mit t ≥ t 0 und x ∈ Ω ⊂ R d muss zusätzlich zu der
Randbedingung eine Anfangsbedingung vorgegeben werden:
∂
∂t u−∆u =f für x ∈ Ω, t ≥ t 0,
z.B. Dirichlet RB: u(t,x) = g(t) für x ∈ Γ D , t ≥ t 0 ,
oder Neumann RB:
∂u
∂n (t,x) = p(t) für x ∈ Γ N, t ≥ t 0 ,
u(t 0 ,x) :=u 0 (x) für x ∈ Ω
Kapitel II (einleitung04) 22

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Parabolische Differentialgleichungen
Prototyp: Wärmeleitungsgleichung
Beispiel
∂ t u−∆u = f für x ∈ Ω, t ≥ t 0 = 0
• Ω Quadrat (−1,1)×(−1,1)
• f = 1
• u = 0 auf ∂Ω
• Anfangswertbedingung
u(t 0 ,x) = u 0 (x) =
{
1 falls x ∈ B 0.4 (0)
0 sonst
Kapitel II (einleitung24) 23

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Wärmeleitungsgleichung - Beispiel
1
0.8
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
t = 0
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
t = 0.025
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
t = 0.05
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
t = 0.075
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Kapitel II (einleitung25) 24

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Hyperbolische Differenzialgleichungen
Prototyp: Wellengleichung
L = ∂2
∂t 2 −∆,
⎛
1
A = ⎜
⎝
−1
...
⎞
⎟
⎠
−1
Für die Lösung u(t,x) mit t ≥ t 0 und x ∈ Ω ⊂ R d müssen zusätzlich
Randbedingungen und Anfangsbedingung vorgegeben werden:
• Randbedingungen: Γ := ∂Ω = Γ D ∪Γ N mit Γ N ∩Γ D = ∅
u = g auf Γ D ,
∂u
∂n = p auf Γ N für t ≥ t 0
• Anfangsbedingungen: u(t 0 ,x) = u 0 (x) und ∂ ∂t u(t 0,x) = u 1 (x) für x ∈ Ω
Kapitel II (einleitung05) 25

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• Ω Quadrat (−1,1)×(−1,1)
Hyperbolische Differentialgleichungen
Prototyp: Wellengleichung
∂ tt u−∆u = 0 für x ∈ Ω, t ≥ t 0 = 0
• u = 0 auf dem linken und rechten Rand
• ∂u
∂n
= 0 auf dem oberen und unteren Rand
• Anfangswertbedingungen
u(t 0 ,x) = u 0 (x) = arctan(cos( π 2 x 1))
∂ t u 0 (x) = u 1 (x) = 3sin(πx)exp(sin( π 2 x 2))
Kapitel II (einleitung26) 26

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Wellengleichung - Beispiel
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
1
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
1
t = 0
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
t = 0.5
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
1
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
1
t = 0.83
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
t = 1.17
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Kapitel II (einleitung27) 27

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Korrekt gestellte Probleme
1. Existenz einer Lösung
2. Eindeutigkeit der Lösung
3. stetige Abhängigkeit der Lösung von
den Problemdaten
J. Hadamard (1865 -1963)
Kapitel II (general05) 28