Einteilung von partiellen Differentialgleichungen - Lehrstuhl ...

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Prof. Dr. Barbara Wohlmuth <strong>Lehrstuhl</strong> für Numerische Mathematik Typeinteilung • elliptisch in x: Alle n Eigenwerte der Matrix A(x) haben dasselbe Vorzeichen • parabolisch in x: Ein Eigenwert ist gleich 0. Die übrigen n−1 Eigenwerte besitzen dasselbe Vorzeichen. Es gilt zusätzlich: rang(A(x),a(x)) = n, wobei a(x) = (a 1 (x),...,a n (x)) T gilt • hyperbolisch in x: n−1 Eigenwerte besitzen dasselbe Vorzeichen, der restliche Eigenwert hat das entgegengesetzte Vorzeichen. • Die lineare PDE zweiter Ordnung ist elliptisch/parabolisch/hyperbolisch auf Ω ⊂ R n , (Ω offen), wenn sie in allen x ∈ Ω elliptisch/parabolisch/hyperbolisch ist. Kapitel II (einleitung02a) 12
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth <strong>Lehrstuhl</strong> für Numerische Mathematik Elliptische partielle Differenzialgleichungen Prototyp: Laplace Operator ∆ ∆ = d∑ i=1 ∂ 2 ∂x 2 i , A = ⎛ ⎝ 1 ... Zusätzlich müssen Randdaten auf dem Rand Γ := ∂Ω des Gebietes Ω ⊂ R d vorgegeben werden: ⎞ ⎠ 1 1. Dirichlet Randbedingungen: −∆u = f in Ω, u = g auf Γ 2. Neumann Randbedingungen: −∆u = f in Ω, ∂u ∂n = p auf Γ 3. Robin Randbedingungen: −∆u = f in Ω, ∂u ∂n +u = r auf Γ Kapitel II (einleitung03) 13
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