Kapitel II.1 - Lehrstuhl Numerische Mathematik

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Teil IV Eigenwertprobleme
II.1 Aufgabenstellung
II.2 Direkte Vektoriteration
II.3 Inverse Vektoriteration
II.4 QR-Iteration
Kapitel II.1-II.3 (eigeninhalt) 1

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Beispiel 1: Eigenschwingung - Problembeschreibung
Zweidimensionales Tragwerk modelliert mit 18 elastischen Stäben und 8 Gelenken:
4
14
5
z_1 z_2 z_3 z_4
1 2 3
6
z_5 15
7
9
8
z_6 16
10
z_7
11
12
17 z_8 18
Hierbei sind die Gelenke mit den Knoten zi ∈ R 2 ,i = 1,...,8 assoziiert.
Ein Stab k verbindet die Knoten zi und zj miteinander, wobei lk := �zi − zj�,k =
1,...,18, die Länge des Stabs k, fk,k = 1,...,18 die Kraftbeträge in den jeweiligen
Stäben sind und pi,i = 1,...,8, die äußere Kraft am Gelenk beschreibt.
M.Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des
Wissenschaftlichen Rechnens, 3.Auflage, Teubner 2009, S.41ff
Kapitel II.1-II.3 (linalg57) 2
13

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Beispiel 1: Eigenschwingung - Gleichgewichtsgleichung
Es seien p = � pT 1,...,p T �T, 8 mit pi ∈ R2 , und f = (fk)1≤k≤18. Weiter seien
c := cos(θ) und s := sin(θ).
Dann liefert das statische Gleichgewicht an z1
0 = p1+f1
� �
1
0
+f4
� �
−c
−s
+f5
� �
0
.
−1
Betrachtet man alle Gleichgewichtsbedingungen an den acht Gelenken zusammen, so
ergibt sich
p = Ef,
wobei E ∈ R 16×18 die Gleichgewichtsmatrix beschreibt.
Kapitel II.1-II.3 (linalg58) 3

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
E =
Beispiel 1: Eigenschwingung - Gleichgewichtsmatrix E
Die Gleichgewichtsmatrix ist gegeben durch
⎛
⎜
⎝
−1 c
s 1
1 −1 c −c
s 1 s
1 −1 c −c
s 1 s
1 −c
1 s
−c 1 −1
−1 −s
−c 1 −1
−1 −s
c 1 −1
−s −1
c 1 −1
−s −1
Kapitel II.1-II.3 (linalg61) 4
⎞
⎟
⎠

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Beispiel 1: Eigenschwingung - Eigenwertproblem I
Annahme: Die Länge der Stäbe ändert sich unter Deformation.
Seien x ∈ R 16 der Verschiebungsvektor und d ∈ R 18 der Verzerrungsvektor. Dann
befinden sich die Gelenke nach Deformation an den Knoten zi +xi ∈ R 2 ,i = 1,...,8.
Die neue Stablänge beträgt dann lk +dk,k = 1,...,18, und berechnet sich aus
(lk +dk) 2 = �zi −zj� 2 +2(zi−zj) T (xi−xj)+�xi −xj� 2 .
Mit Vernachlässigung der d2 k-Terme folgt
Hierbei beschreibt (zi−zj)
�zi−zj�
dk ≈
� �T (zi−zj)
�zi−zj�
(xi−xj).
wie zuvor den Richtungsvektor des k-ten Stabes mit
entsprechendem Vorzeichen. Also folgt
d = E T x.
Kapitel II.1-II.3 (linalg59) 5

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Beispiel 1: Eigenschwingung - Eigenwertproblem II
Sei L = diag(lk). Dann folgt mit dem Hookeschen Gesetz
fk = η dk
, also f = ηL −1 D,
wobei η der Youngsche Elastizitätsmodul ist. Damit folgt
lk
p = Ax, mit A = ηEL −1 E T ∈ R 16×16 .
Man betrachtet nun das dynamische System
mx ′′ (t) = −Ax(t),
wobei m die Masse eines Glenkes beschreibt.
Sie m = 1 an jedem Gelenk und λ der Eigenwert der Matrix A zum Eigenvektor v.
Dann ist
x(t) = cos( � (λ)t)v
eine Lösung des dynamischen Systems.
Kapitel II.1-II.3 (linalg62) 6

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Beispiel 1: Eigenschwingung - Eigenschwingungen
1. Eigenschwingung: λ=0.35986
6. Eigenschwingung: λ=9.2956
3. Eigenschwingung: λ=2.8027
8. Eigenschwingung: λ=15.4855
Kapitel II.1-II.3 (linalg60) 7

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
11. Eigenschwingung: λ=23.8678 13. Eigenschwingung: λ=31.3916
15. Eigenschwingung: λ=35.9723
16. Eigenschwingung: λ=46.1454
Kapitel II.1-II.3 (linalg60) 8

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Vektoriteration (Bsp. 1): symmetrische Matrix
⎛ ⎞⎛
⎞
0 2 2 1
⎛ ⎞
10
⎝2
6 2⎠⎝2⎠
= ⎝20⎠
2 2 8 3 30
λ1 = 10, λ2 ≈ 4.83
�
�
�
�
λ2
λ1
�
�
�
� ≈ 0.483
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
C*(λ 2 /λ 1 ) 2k
C*(λ 2 /λ 1 ) k
error of eigenvalue
error eigenvector
1 5 10 15 20 30
Step k
Kapitel II.1-II.3 (linalg48) 9

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Vektoriteration (Bsp. 2): symmetrische Matrix
⎛ ⎞⎛
⎞
1 3 1 1
⎛ ⎞
10
⎝3
−2 7⎠⎝2⎠
= ⎝20⎠
1 7 5 3 30
λ1 = 10, λ2 ≈ −6.87
�
�
�
�
λ2
λ1
�
�
�
� ≈ 0.687
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
C*(λ 2 /λ 1 ) 2k
C*(λ 2 /λ 1 ) k
error of eigenvalue
error eigenvector
1 5 10 15 20 30
Step k
Kapitel II.1-II.3 (linalg49) 10

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
�
�
�
�
A =
Vektoriteration (Bsp. 3): symmetrische Matrix
⎛ ⎞
−7 13 −16
⎝ 13 −10 13 ⎠,
−16 13 7
λ1 ≈ −32,22 λ2 ≈ 18,21,
�
�
�
� ≈ 0,5652,
⎛
x1 = ⎝ 0.62
⎞
−0.63⎠,
x
0.46
(0) ⎛
= ⎝ 1
⎞
0⎠
0
λ2
λ1
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −8
10 −10
10 −12
10 −14
10 −16
C*(λ 2 /λ 1 ) 2k
C*(λ 2 /λ 1 ) k
Fehler Eigenwert
Fehler Eigenvektor
1 5 10 15 20
k−ter Schritt
Kapitel II.1-II.3 (linalg49b) 11

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Vektoriteration (Bsp. 4): unsymmetrische Matrix
⎛ ⎞
5 4 4 5 6
⎜
⎜0
8 5 6 7 ⎟
A = ⎜
⎜0
0 6 7 8 ⎟
⎝0
0 0 −4 9 ⎠
0 0 0 0 −2
,
� �
�λ2�
λ1 = 8, λ2 = 6, � �
3
�λ1
� =
4 ,
x1 = 1
⎛ ⎞
4
⎜
⎜3
⎟
⎜
5⎜0
⎟
⎝0⎠
0
, x(0) = 1 ⎛ ⎞
1
⎜
⎜1
⎟
√ ⎜
5
⎜1
⎟
⎝1⎠
1
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
C*(λ 2 /λ 1 ) k
Fehler Eigenwert
Fehler Eigenvektor
1 5 10 15 20 25 30
k−ter Schritt
Kapitel II.1-II.3 (linalg48b) 12

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Inverse Vektoriteration: A symmetrisch
Als Beispiel betrachten wir die Matrix
mit den Eigenwerten
A =
⎛
−7
⎞
13 −16
⎝ 13 −10 13 ⎠
−16 13 7
λ1 = −32.2245, λ2 = 18.2051, λ3 = 4.0194.
Ausgehend von verschiedenen Werten für λ führen wir 15 Schritte der inversen
Vektoriteration mit dem Startvektor x (0) = (1, 0, 0) ⊤ aus.
Kapitel II.1-II.3 (linalg50b) 13

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
20
0
−20
Inverse Vektoriteration: symmetrische Matrix
λ = 11.7
−40
0 5 10 15
20
0
−20
λ = −12.5
−40
0 5 10 15
20
0
−20
λ = 10.7
−40
0 5 10 15
20
0
−20
λ = −15.5
−40
0 5 10 15
20
0
−20
λ = 6
−40
0 5 10 15
20
0
−20
λ = −25
−40
0 5 10 15
Kapitel II.1-II.3 (linalg51b) 14