Folien-Einteilung - Lehrstuhl Numerische Mathematik - M2 ...

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth 

Lehrstuhl für Numerische Mathematik 

I.1 Modellierungsbeispiele 

I.2 Wohlgestelltheit 

I.3 Klassifizierung 

I.4 Lösungskonzepte 

I. Einführung in die PDGL 

Kapitel I (0) 1



Grundlegende Definitionen 

• Partielle Differentialgleichung: (PDGL, engl. PDE) 

Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung, welche eine oder mehrere 

partielle Ableitungen einer Funktion u beinhaltet. Die Funktion u kann dabei je 

nach Anwendungsfall von der Zeit t und/oder mehreren Ortsvariablen x ∈ R d 

abhängen. 

• Mit d bezeichnen wir die Raumdimension des Problems. 

• Ordnung einer PDGL: 

Als Ordnung einer PDGL bezeichnet man die Ordnung der höchsten partiellen 

Ableitung, welche in der PDGL auftritt. 

• u : R 2 → R, partielle Ableitung dritter Ordnung: ∂ 3 u 

∂x∂y 2 

• Als System von PDGL bezeichnet man eine Zusammenfassung mehrerer 

einzelner PDGL, welche untereinander gekoppelt sein können. 

Kapitel I (1) 2



Beispiele 

1) Transportgleichung, u : R×[0,∞) → R 

∂u 

∂t +a∂u 

∂x 

zeitabhängig, d = 1, Ordnung 1. 

2) Laplace-Gleichung, u : R 2 → R 

zeitunabhängig, d = 2, Ordnung 2. 

= 0, a > 0, a ∈ R. 

∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y 

3) Wellengleichung, u : R×[0,∞) → R 

zeitabhängig, d = 1, Ordnung 2. 

2 = 0. 

∂2u ∂t2 −c2∂2 u 

= 0, c ∈ R. 

∂x2 Kapitel I (2) 3



Homogene/Inhomogene PDGL 

• Eine PDGL heißthomogen, falls jederTerm entwedervon u oder einer partiellen 

Ableitung von u abhängt. Ansonsten heißt sie inhomogen. 

• Beispiele für homogene PDGL (siehe vorherige Folie): 

Transportgleichung, Laplace-Gleichung, Wellengleichung 

• Beispiel für eine inhomogene PDGL: 

Poisson-Gleichung, u : R 2 → R 

∂ 2 u 

∂x2 + ∂2u ∂y 

2 = f(x,y), 

zeitunabhängig, d = 2, Ordnung 2, f : R 2 → R ist ein geeignet vorgegebener 

Quellterm. 

Kapitel I (3) 4



Lineare/nichtlineare PDGL 

• Eine PDGL heißt linear, falls die gesuchte Funktion u nur bis zur ersten Potenz 

in ihr auftritt. Ansonsten heißt sie nichtlinear. 

• Alle bisherigen Beispiele sind lineare PDGL. 

• Beispiel für eine nichtlineare PDGL: 

Burgersgleichung, u : R×[0,∞) → R 

∂u 

∂t +u∂u = 0, 

∂x 

zeitabhängig, d = 1, Ordnung 1, homogen. Wegen 

ist diese PDGL nichtlinear. 

u ∂u 

∂x 

= ∂ 

∂x 

2 u 

Kapitel I (4) 5 

2



Beispiele von PDE in der mathematischen Modellierung 

• Lamé Gleichung 

→ Berechnung der Verformung von Körpern unter Krafteinwirkung. 

• Schrödinger Gleichung 

→ Berechnung von Wellenfunktionen quantenmechanischer Systeme. 

• Navier-Stokes Gleichungen 

→ Berechnung der Strömung von Flüssigkeiten und Gasen. 

• Maxwell-Gleichungen 

→ Berechnung von Phänomenen im Elektromagnetismus. 

Kapitel I (9) 6



Augustin Cauchy 

(1789 – 1857) 

Quelle: Wikimedia Commons 

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Lineare Elastizität 

Historisches 

• Cauchy leistete mehrere Beiträge zur Elastizitätstheorie. 

Zum einen entwickelte er den Cauchy– 

Spannungstensor eines Würfels, mit welchem die 

Spannung in einem Punkt eines elastischen Körpers 

vollständig beschrieben werden kann. 

• Mit Hilfe der Cauchy–Zahl kann man Aussagen 

über die Ähnlichkeit im Elastizitätsverhalten zweier 

Körper machen. Die Cauchy–Zahl ist das Verhältnis 

der Trägheitskräfte zu den elastischen Kräften bei 

Schwingungen des Schalls in einem Körper. 

Kapitel I (einleitung39) 7



Lineare Elastizität 

Gesucht ist das Verschiebungsfeld u ∈ R d , das den Lamé–Gleichungen 

−divσ(u(x)) = f(x), für x ∈ Ω ⊂ R d 

und zusätzlichen Randbedingungen auf Γ := ∂Ω genügt. 

• f(x) ∈ R d : Volumenkraftdichte 

• σ(u) ∈ R d×d : Spannungstensor σ(u) := λtr(ε(u))Id+2µε(u) 

• ε(u) ∈ R d×d : Verzerrungstensor ε(u) := 1 

2 

∇u+(∇u) ⊤ 

• λ,µ ∈ R Lamé-Parameter, werden berechnet aus dem Elastizitätsmodul E und 

der Querkontraktionszahl (Poissonzahl) ν des Materials 




Lamé Parameter 

Plane Strain / Plane Stress 

Eν E 

• In 3 Dimensionen (d=3): λ = (1+ν)(1−2ν) , µ = 2(1+ν) 

• In 2 Dimensionen (d=2): 

Eν E 

• Ebener Verzerrungszustand (Plane Strain): λ = (1+ν)(1−2ν) , µ = 2(1+ν) 

• Ebener Spannungszustand (Plane Stress): λ = Eν 

(1−ν 2 ) 

, µ = E 

2(1+ν) 

Der ebene Spannungszustand liegt bei Bauteilen vor, deren Dicke in einer 

Koordinatenrichtung konstant ist und die wesentlich kleiner als die übrigen 

Abmessungen ist. Dagegen liegt der ebene Verzerrungszustand bei Bauteilen 

vor, deren Dicke in einer Koordinatenrichtung konstant ist und die wesentlich 

größer ist als die übrigen Abmessungen. 




• Profilträger 

Beispiel: Lineare Elastizität 

Ebener Verzerrungszustand (Plane Strain) 

• Kraft F auf Oberseite 

(Neumann-Daten) 

• verankert am Boden 

(Dirichlet-Daten) 

• gesucht: Deformation 

F 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0 0.1 0.2 




Schrödinger Gleichung 

Historisches 

• Schrödinger gilt als einer der Begründer der 

Erwin Schrödinger 

Quantenmechanik und erhielt mit Paul Dirac 1933 den 

(1887-1961) 

Nobelpreis für Physik. 





• Österreichischer Physiker und Wissenschaftstheoretiker. 

Kapitel I (MSEEinf10) 11




• Sie ist die grundlegende Gleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik 

und beschreibt die Dynamik der quantenmechanischen Zustände eines Systems. 

• Sie ist eine zeitabhängige, homogene, lineare PDGL zweiter Ordnung. 

i∂tψ(x,t) = − 2 

2m ∆ψ(x,t)+V(x,t)ψ(x,t) 

mit der gesuchten Größe ψ, der Planckschen Konstante , der Masse m und 

dem Potential V. |ψ| 2 gibt dabei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines 

Teilchens an. Mögliche Potentiale sind u.a.: 

– harmonische Potential 

– Potentialtopf 





Figure 1: Orbitale (Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ| 2 eines einzelnen Elektrons 

in einem stationären Zustand) des H-Atoms, für verschiedene Energielevel Quelle: 

Wikimedia Commons/CK-12 Foundation/cc-by-sa-3.0 

Kapitel I (1) 13



Claude Navier (1785 – 1836) 


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George Stokes (1819 – 1903) 





Navier–Stokes Gleichungen 

Historisches 

• Der Impulssatz für newtonische Fluide, z.B. für 

Wasser, wurde von Navier und Stokes unabhängig 

im 19. Jahrhundert formuliert. Obwohl die 

Gleichungen bereits zwei Jahre vor Stokes von 

Saint–Venant hergeleitet wurden, setzte sich der 

Name Navier–Stokes Gleichungen durch. 

• Bis heute gibt es keine allgemeinen Resultate 

über die theoretische Wohlgestelltheit der Navier– 

Stokes Gleichungen. 





Die Navier–Stokes Gleichungen sind ein System partieller Differentialgleichungen 

zweiter Ordnung bestehend aus dem Impulssatz und der Kontinuitätsgleichung. 

Hauptsächlichwerdensie in der Strömungsmechanikverwendetum die Strömungen 

von Flüssigkeiten und Gasen zu beschreiben. 

Gesucht ist das Geschwindigkeitsfeld u ∈ R d , d ∈ {2,3}, der Druck p ∈ R und die 

Dichte ρ ∈ R, die in Ω ⊂ R d dem System 

ρ∂tu−div(ν∇u)+ρ(u·∇)u+∇p = f 

∂tρ+div (ρu) = 0 

und zusätzlichen Randbedingungen auf Γ := ∂Ω genügen. 

• f(x) ∈ R d ,x ∈ Ω: Volumenkraft 

• ν > 0: kinematische Viskosität 

• Die Gleichungen ohne den rotmarkierten Anteil sind die Stokes-Gleichungen 





Beispiel 

Simulation einer turbulenten Strömung mit Hilfe der Navier–Stokes Gleichungen 

zum Zeitpunkt t = 0 und zum Endzeitpunkt. 





Beispiel 

Simulation einer turbulenten Strömung gekoppelt mit einer porösen Medien 

Strömung. Zu sehen ist die freie Strömung und die Reaktionen auf 

unterschiedliche Kopplungsbedingungen am unteren Rand. (glatt, rau, porös) 




James Clerk Maxwell 

(1831-1879) 





Maxwell Gleichungen 

Historisches 

• Maxwell war ein schottischer Physiker. 

• Er entwickelte die nach ihm benannten Gleichungen, 

welche die Grundlagen der Elektrizitätslehre und des 

Magnetismus bilden. 




Maxwell Gleichungen 

• Die Maxwell Gleichungen beschreiben die Phänomene des Elektromagnetismus. 

• Zusammen mit der Lorentzkraft erklären sie alle Phänomene der klassischen 

Elektrodynamik. 

• Die Gleichungen sind ein zeitabhängiges System von partiellen 

Differentialgleichungen 1. Ordnung. 

∇·E = ρ 

ǫ 

∇·H = 0 

∇×E = −µ∂tH 

∇×H = j +ǫ∂tE 

mit der magnetischen Feldstärke H, elektrischen Feldstärke E, Ladungsdichte ρ 

und Stromdichte j. µ und ǫ stellen physikalische Konstanten dar. 




Maxwell Gleichungen - Skin Effekt 

Stromdichte Eisen (links) und Kupfer (rechts) 

Stromdichten für verschiedene Materialien mit daraus resultierendem Skin-Effekt. 

Dies ist ein Effekt, durch den bei Wechselspannung die Stromdichte im Inneren 

eines Leiters niedriger ist als an der Oberfläche. 




• Die PDGL: 

Randbedingungen 

∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y 

2 = 0 

besitzt auf einem geeigneten Gebiet Ω ⊂ R 2 völlig unterschiedliche Lösungen 

u : Ω → R z.B.: 

u(x,y) = x 2 −y 2 , u(x,y) = exp(x)cosy, u(x,y) = sinxcoshy, 

u(x,y) = ln x 2 +y 2 . 

• Wie kann man aus einer Menge von Lösungen eine bestimmte Lösung 

auswählen? 

• Antwort: Auf dem Rand von Ω (∂Ω) müssen geeignete Randbedingungen 

gesetzt werden. 

• Für zeitabhängige PDGL müssen zudem noch geeignete Anfangsbedingungen 

definiert werden (vgl. Vorlesung zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen). 

Kapitel I (2) 21



J. Hadamard (1865 -1963), 


Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre 

urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist 

Wohlgestelltheit nach Hadamard 

1. Existenz einer Lösung 

2. Eindeutigkeit der Lösung 

3. stetige Abhängigkeit der Lösung von 

den Problemdaten 

Ob ein Problem wohlgestellt ist, hängt sehr stark von dem Typ der PDGL 

und den jeweiligen Randbedingungen ab. 

Kapitel I (1) 22



Beispiel für Nicht-Existenz (Punkt 1 Hadamard) 

Seien g ∈ C(∂Ω),f ∈ C(Ω) und u ∈ C 2 (Ω)∩C 1 (Ω) eine Lösung zum Neumann 

Randwertproblem 

∆u = f in Ω, n◦∇u = g auf ∂Ω. 

Direktes Einsetzen zeigt, dass v = u+const ebenfalls eine Lösung ist. Mit dem 

Gaußschen Integralsatz erkennen wir, dass die Daten die Kompatibilitätsbedingung 

 

gds = fdx 

erfüllen. 

∂Ω 

Eine Lösung zum Neumannschen Randwertproblem kann nicht existieren, 

wenn die Kompatibilitätsbedingung nicht erfüllt ist. 

Selbst dann gilt keine Eindeutigkeit! 

Kapitel I (NeummannBoundary) 23 

Ω



Beispiel für Eindeutigkeit (Punkt 2 Hadamard) 

Sei Ω ⊂ R d beschränkt, 

u ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω), sodass 

so folgt 

∆u ≥ 0 in Ω, 

max 

Ω 

u = max 

∂Ω u. 

Figure 2: Eine elastische Membran 

unter dem Einfluss der Schwerkraft 

erfüllt ∆u ≥ 0 

Analoges gilt für das Minimum im Fall ∆u ≤ 0. Ein Beispiel für die 

weitreichenden Konsequenzen ist die Eindeutigkeit des Dirichlet 

Randwertproblems: 

Seien u1,u2 ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω), sodass ∆u1 = ∆u2 in Ω und u1 = u2 auf ∂Ω. 

Dann folgt u1 = u2. 

Hinweis: Betrachte v := u1−u2 und das Maximumsprinzip. 

Kapitel I (Maximumsprinzip) 24



Beispiel für nicht stetige Abhängigkeit (Punkt 3 Hadamard) 

aus Deuflhard, Weiser: Numerische Mathematik 3, 2013, Seite 10ff, nach Hadamard 

Üblich für elliptische Probleme sind Randwertvorgaben. 

Dennoch hat folgendes Anfangswertproblem im R 2 eine eindeutige Lösung 

∆u = ∂ 2 xu+∂ 2 tu = 0, u(x,0) = Φ(x), ∂tu(x,0) = Ψ(x) 

Allerdings können kleine Störungen der Anfangswerte 

δΦ = ε ε 

cos(nx),δΨ = 

n2 n cos(nx) 

große Störungen der Lösung verursachen: 

|δu(x,t)| ∼ ε 

n exp(nt). 

Das Anfangswertproblem hängt unstetig von den Daten ab. Es ist also nicht 

wohlgestellt nach der Definition von Hadamard. Dennoch ist das Problem im 

gewissen Sinn sinnvoll, wie wir in den Übungen sehen werden. 

Kapitel I (ElliptischesAnfangswertproblem) 25

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