Isoparametrische FEM

Vortrag:
Marko Riedlbeck
27. Mai 2010

• Vorüberlegungen und Wiederholung
• Beispielelement
• Einführung in isoparametrische Elemente
• Numerische Integration

Wiederholung: Finite Elemente
Variationsformulierung einer elliptischen Gleichung
u ∈ V a ( u,
v)
= f ( v)
∀ v ∈V
Schwache Formulierung der Poisson-Gleichung
u ∈ V ( ∇ u , ∇v)
= ( f , v)
∀ v ∈V
Galerkin Ansatz: Diskretisierung auf endl. Teilraum h V
V u ∈ a ( uh
, vh
) = f ( vh
) h h
h
h
V v ∈ ∀
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Berechnung von u h :
führt zu
mit
u
AU =
h
F
= h N
∑
j = 1
u
j
Φ
Aij = a(
Φ j , Φ i ) und Fi = f ( Φi
)
j
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Vorüberlegungen:
Wunsch: Galerkin Lösung konvertiert gegen exakte Lösung
Welche Bedingungen müssen die Formfunktionen erfüllen?
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

3 Konvergenzanforderungen für Formfunktionen:
(C1) Glattheit (mind.
1
C auf jedem inneren Element)
(C2) Kontinuität auf jedem Randelement
(C3) Vollständigkeit: aus
e
a = c0
+ c1x
folgt u x c c x c y c z
h
( ) =
0 + 1 + 2 + 3
e e
d a + c2
ya
+ c3
z
e
a
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Folgerungen:
1. Ableitung besitzt maximal endliche Sprünge
Integrale sind wohl definiert
Vollständigkeit bedeutet, dass die Formfunktion
jedes lineare Polynom abbilden kann, wenn die
Knotenfreiheitsgrade übereinstimmen.
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Beispielelement:
Bilineares Viereckselement
Mit der Abbildung
r
r r
x( ξ ) = N ( ξ ) x
4
∑
a=
1
a
e
a
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Frage: Woher bekomme ich die Formfunktionen?
Aus
ξη
α
η
α
ξ
α
α
ξ 3
2
1
0
)
(
r
r
r
r
r
r
+
+
+
=
x mit ⎭ ⎬⎫
⎩
⎨
⎧
=
i
i
i
β
α
α r
für in = 0,…,3,
e
a
a
a
x
x =
)
,
( η
ξ und
e
a
a
a
y
y =
)
,
( η
ξ
folgt
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
α
α
α
α
e
a
e
a
e
a
e
a
x
x
x
x
und
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
β
β
β
β
e
a
e
a
e
a
e
a
y
y
y
y
und damit die Formfunktionen
)
1
)(
1
(
4
1
)
( η
η
ξ
ξ
ξ a
a
a
N +
+
=
r
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Es kann gezeigt werden, dass die Formfunktionen
(C1) bis (C3) erfüllen
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Isoparametrische Elemente
• Definition
• Degeneration
• Das trilineare Hexaederelement
• Elemente höherer Ordnung
• Standardfamilien von Elementen
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Definition:
Ein Element heißt isoparametrisch, wenn sich u h als
= en r n r
h
e
u ( ξ ) N ( ξ ) d
∑
a=
1
schreiben lässt mit der Abbildung x :
= en n
r r r
e
x(
ξ ) N ( ξ ) x
∑
a=
1
a
a
a
a
→
e
Ω
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Wichtig:
Für isoparametrische Elemente sind (C1) – (C3)
so gut wie automatisch erfüllt.
Beispiel: Kriterium (C1) erfüllt falls:
die inverse Abbildung
e
= Ω →
−1
ξ x : ex. und
ξ existiert falls: - die Abbildung x bijektiv ist
-
k
C ist.
j ( ξ)
> 0 für alle ξ ∈ j = det⎜
⎟
und
⎛
∂x
⎞
⎝ ∂ξ
⎠
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Degeneration:
Begriffsklärung anhand eines Beispiels:
Lineares Dreieckselement:
Konstruktion aus dem Viereckselement durch Setzen von
e e
x4 x3
=
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

N
'
a
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
N
a
=
N
1
4
3
[ 1
+
+
N
( − 1)
4
=
a
1
2
ξ ]( 1
( 1
+
−
η ),
η ),
a
a
=
=
3
1,
2
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Trilineares Hexaederelement
Verallgemeinerung des bilinearen Elements mit
ξηζ
α
ξζ
α
ηζ
α
ξη
α
ζ
α
η
α
ξ
α
α
ξ 7
6
5
4
3
2
1
0
)
( +
+
+
+
+
+
+
=
x
und entsprechenden Ausdrücken für
)
(ξ
y und )
(ξ
z
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
8
7
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
α
α
α
α
α
α
α
α
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Kommt man auf die Formfunktionen für a = 1,..,8
1
N a ( ξ, η,
ζ ) = ( 1+
ξ aξ
)( 1+
ηaη
)( 1+
ζ aζ
)
8
und somit auf
r 8 r
h
e
u ( ξ ) = N ( ξ ) d
∑
a=
1
a
a
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Konstruktion weiterer Elemente mit Hilfe von Degeneration
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Elemente höherer Ordnung
Bisher: lineare eindimensionale Elemente
Genauere (und teurere) Approximation mit Elementen
höherer Ordnung
systematische Herleitung mit Hilfe der Lagrange Polynome
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Erinnerung: Lagrange Polynome:
n
la
en
−1
( ξ ) =
und damit
en
∏ ( ξ − ξ )
b=
1
b≠
a
n
n
en
∏
b=
1
b≠
a
N
( ξ
a
a
= en n
l
b
− ξ )
oder im 2-dimensionalen z.B.
a
b
−1
( ξ − ξ1)
⋅ ⋅ ⋅ ( ξ − ξ
=
( ξ − ξ ) ⋅ ⋅ ⋅ ( ξ − ξ
a
1
a
a −1
a −1
)( ξ − ξ
)( ξ
a
− ξ
a + 1
2 2
N a ( ξ , η)
= lb
( ξ ) lc
( η)
a + 1
) ⋅ ⋅ ⋅ ( ξ − ξ
a
n
en
) ⋅ ⋅ ⋅ ( ξ − ξ
n
)
en
)
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Entwicklung von Elementen mit variabler Knotenanzahl
Beginn mit der bilinearen Formfunktion:
r 1
N a ( ξ ) = ( 1 + ξ aξ
)( 1 + η aη
)
4
Erweiterung um den 5ten Knoten
2 1 1 2
N5(
ξ, η)
= l2
( ξ ) l1
( η)
= ( 1−
ξ )( 1−
η)
2
Modifizierung der benachbarten Formfunktionen
1
N a − N5
2 für a = 1,2
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Erweiterung um den 9ten Knoten
2 2
N ( ξ, η)
= ( 1−
ξ )( 1−
η )
9
Modifizierung der anderen Formfunktionen
1 1
N a − N9
Na − N
4 für a = 1,..,4 und
9
2
Daraus folgt:
N
5
1 2
2 2
( ξ, η)
= [( 1−
ξ )( 1−η
) − ( 1−
ξ )( 1−η
)]
2
1
N 1(
ξ,
η)
= [( 1 − ξ )( 1 −η
) − N9
− 2(
N5
+ N8)]
4
für a = 5,..,8
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Standard Element Familien
Serendipity Familie der Viereckselemente
Lagrange Familie der Viereckselemente
Standard Dreieckselemente
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
- Definition
- Degeneration
- Trilin. Element
- Elemente
höherer Ordnung
- Standardfamilien
Num. Integration

Numerische Integration
• Gauss Quadratur
• Ableitungen der Formfunktionen
• Element Steifigkeitsformulierung
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Ziel: Berechung von
∫ Ω
e
f ( x)
dΩ
Rückführung dieses Integrals auf den Referenzraum
z.B. in n = 2
∫
Ω
e
f ( x)
dΩ
=
1
1
∫ ∫
−1−1 f ( x(
ξ, η),
y(
ξ,
η))
j(
ξ,
η)
dξdη
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration

Gauss Quadratur
Berechnung von
mit
1
∫
−1
g(
ξ) dξ
1
∫
nint
~
( ξ ) dξ
= ∑ g(
ξl
) Wl
n
+ R ≅
−1
l = 1
l = 1
~
g g(
ξ ) W
Beispiel: Simpson’s Rule
int
∑
3 n ~ ~
ξ = −1,
ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1
int =
~ 1
1 4
W 1 = W3
= 2
3 3
= W 4)
g (
R
90
−
=
(
ξ )
l
l
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

Im Eindimensionalen:
( 4)
~
~ m 1
g ( ξ )
n = 2: ξ 1/
2 =
3 , W 1 = W2
= 1 R =
, 135
( 6)
~
~ 3 ~ 5 8 g ( ξ )
n = 3: ξ 1/
3 = m
5 , ξ 2 = 0 W
, 1 = W3
= W
9 , 2 = R =
9 , 15,
750
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

Quadraturregel im 2-dimensionalen:
1
1
∫ ∫
−1 −1
⎧
( 1)
1 nint
nint
nint
⎪ ~ ( 1)
( 1)
⎪
~ ( 1)
( 2)
( 1)
( 2
( ξ,
η)
dξdη
≅
~
∫ ⎨∑
g(
ξ ( 1)
, η)
W ( 1)
( ( 1)
, ( 2)
) ( 1)
( 2
l l ⎬dη
= g ξ η W W
l l l l
( 1)
( 1)
( 2)
− 1 l = 1
l = 1l = 1
g ∑ ∑
⎪⎩
Doch oft wird die Regel im Mehrdimensionalen ersetzt durch
mit
⎫
⎪⎭
n
l
d d g ∫ ∫ ≅ ∑
− −
=
int
1 1
ξ,
η)
ξ η
1 1
1
l
( 1)
W g
~
( ( ξ ,
~ η )
( 1)
( 2)
n int = nint
nint
und
W = W
l
l
( 2)
l
( 1)
( 1)
l
W
( 2)
( 2)
l
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

Ableitungen der Formfunktionen
werden benötigt, um die Element Steifigkeitsmatrizen zu
konstruieren. Hier im 2-dimensionalen Fall.
N = N η,
N a y = N a y + N a η,
y
a,
x
a,
ξ ξ , x + N a,
η
x
,
, ξ
, , η
Problem: ξ , x , ξ , y , η , x , η , y nicht direkt auswertbar,
Allerdings existieren explizite Ausdrücke für
x(
nen
ξ, η)
= ∑
a = 1
N
a
( ξ,
η)
x
e
a
y(
nen
ξ, η)
= ∑
a=
1
N
a
( ξ,
η)
y
e
a
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

Damit kann man nun
= en n
x,
N ξ
∑
e
⎡x,
ξ x,
η ⎤
ξ a, xa
x,
ξ =
und damit ⎢ ⎥
a = 1
⎣y,
ξ y,
η ⎦
berechnen und damit die gesuchten Ableitungen
ξ
⎢
⎣η,
ξ
⎡ , x , y
−1
= ( x,
ξ )
x η,
y
⎤
⎥
⎦
und die der Formfunktionen
N
a,
x
N
a,
y
=
N
a,
ξ
=
N
1 ⎡ y,
η
⎢
j ⎣−
y,
a,
η
⎡ξ
,
⎢
⎣η,
ξ
x
x
−
x,
x,
ξ,
η,
y
y
ξ
η
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

Element Steifigkeitsformulierung
1. Implementationsmethode
k
e
=
nint
∫
T
B DBjdK
≅
K
l=
1
Vereinfachung:
Und damit
∑
( B
T
DBj)
~
ξ
~ ~
D = j(
ξl
) Wl
D
k
e
∑ n
l=
1
≅ int
( B
T
l
W
~
DB)
l
l
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

2. Implementationsmethode
Vorteilhaft falls B und/oder D spezielle Struktur haben.
Im Gegensatz zur eher generellen Methode 1
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

3. Implementationsmethode
e
k = ∫ iajb N c N
e a,
k ikjl b,
l
Ω
dΩ
( ) δ N dΩ
+ N N dΩ
+ ∫
a,
k b,
k
a,
j b,
i λ
= µ
e
mit
∫ ij N N N
e
a,
i b,
j
Ω
Ω
N
N
∑
Ω ≅
int
d
( N
∫ ~
e a,
i b,
j
a,
i b,
j
Ω
ξl
l = 1
n
N
=
j)
W
l
dΩ
Vorüberlegungen
Beispielelement
Isoparametrische
Elemente
Num. Integration
- Gauss Quadratur
- Abl. der Formfkt.
- Element
Steifigkeitsform.

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!!