Normalengleichungen - imng
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<strong>Normalengleichungen</strong><br />
Für eine beliebige m × n Matrix A erfüllt jede Lösung x des<br />
Ausgleichsproblems<br />
|Ax − b| → min<br />
die <strong>Normalengleichungen</strong><br />
A t Ax = A t b ,<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 1-1
<strong>Normalengleichungen</strong><br />
Für eine beliebige m × n Matrix A erfüllt jede Lösung x des<br />
Ausgleichsproblems<br />
|Ax − b| → min<br />
die <strong>Normalengleichungen</strong><br />
A t Ax = A t b ,<br />
d.h. das Residuum r = Ax − b ist orthogonal zu dem von den Spalten von<br />
A aufgespannten Unterraum Bild A .<br />
Ax<br />
AR n<br />
0<br />
Ax − b<br />
b<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 1-2
Die Matrix A t A ist quadratisch und hat Dimension n. Sie ist genau dann<br />
invertierbar, wenn Rang A = n, d.h. wenn die Spalten von A linear<br />
unabhängig sind.<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 1-3
Die Matrix A t A ist quadratisch und hat Dimension n. Sie ist genau dann<br />
invertierbar, wenn Rang A = n, d.h. wenn die Spalten von A linear<br />
unabhängig sind.<br />
Die <strong>Normalengleichungen</strong> sind auch im singulären Fall lösbar; die Lösung<br />
ist dann jedoch nicht eindeutig.<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 1-4
Beweis:<br />
Minimalität von x =⇒<br />
|A(x + ty) − b| 2 ≥ |Ax − b| 2 , ∀t ∈ R, y ∈ R n<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 2-1
Beweis:<br />
Minimalität von x =⇒<br />
|A(x + ty) − b| 2 ≥ |Ax − b| 2 , ∀t ∈ R, y ∈ R n<br />
äquivalente Ungleichung<br />
2ty t A t r + t 2 y t A t Ay ≥ 0<br />
mit<br />
(Ax − b) t y = y t (Ax − b),<br />
r = Ax − b<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 2-2
Beweis:<br />
Minimalität von x =⇒<br />
|A(x + ty) − b| 2 ≥ |Ax − b| 2 , ∀t ∈ R, y ∈ R n<br />
äquivalente Ungleichung<br />
2ty t A t r + t 2 y t A t Ay ≥ 0<br />
mit<br />
(Ax − b) t y = y t (Ax − b),<br />
r = Ax − b<br />
nicht-negative Parabel in t y t (A t r) = 0<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 2-3
Beweis:<br />
Minimalität von x =⇒<br />
|A(x + ty) − b| 2 ≥ |Ax − b| 2 , ∀t ∈ R, y ∈ R n<br />
äquivalente Ungleichung<br />
2ty t A t r + t 2 y t A t Ay ≥ 0<br />
mit<br />
(Ax − b) t y = y t (Ax − b),<br />
r = Ax − b<br />
nicht-negative Parabel in t y t (A t r) = 0<br />
y beliebig ⇒ A t r = 0<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 2-4
Beispiel:<br />
(i)<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 0<br />
1 1<br />
0 2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , b = ⎝<br />
0<br />
3<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 3-1
Beispiel:<br />
(i)<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 0<br />
1 1<br />
0 2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , b = ⎝<br />
0<br />
3<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Normalengleichungen</strong><br />
( 5 1<br />
1 5<br />
) ( ) (<br />
x1 3<br />
=<br />
x 2 3<br />
)<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 3-2
Beispiel:<br />
(i)<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 0<br />
1 1<br />
0 2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , b = ⎝<br />
0<br />
3<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Normalengleichungen</strong><br />
( 5 1<br />
1 5<br />
) ( ) (<br />
x1 3<br />
=<br />
x 2 3<br />
)<br />
eindeutige Lösung x = ( 1/2 1/2 ) t mit Residuum r = ( 1 −2 1 )<br />
t<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 3-3
(ii)<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 4<br />
1 2<br />
0 0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , b = ⎝<br />
0<br />
3<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 3-4
(ii)<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 4<br />
1 2<br />
0 0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , b = ⎝<br />
0<br />
3<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
linear abhängige Spalten singuläre <strong>Normalengleichungen</strong><br />
( ) ( ) ( )<br />
5 10 x1 3<br />
=<br />
10 20 x 2 6<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 3-5
(ii)<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 4<br />
1 2<br />
0 0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , b = ⎝<br />
0<br />
3<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
linear abhängige Spalten singuläre <strong>Normalengleichungen</strong><br />
( ) ( ) ( )<br />
5 10 x1 3<br />
=<br />
10 20 x 2 6<br />
Lösung<br />
( 3/5 − 2t<br />
x =<br />
t<br />
)<br />
, t ∈ R<br />
nicht eindeutig, aber eindeutiges Residuum<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 4 ( ) 0 6/5<br />
r = ⎝1 2⎠<br />
3/5<br />
− ⎝3⎠ = ⎝−12/5⎠<br />
0<br />
0 0<br />
0 0<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 3-6
Beispiel:<br />
Computer-Tomographie<br />
Rekonstruktion einer Dichte x(u, v) aus dem Intensitätsverlust von<br />
Röntgenstrahlen entlang von k Bündeln aus l parallelen Geraden<br />
R i : (u i , v i ) + R(cos ϑ i , sin ϑ i ),<br />
i = 1, . . . , m = kl<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 4-1
Beispiel:<br />
Computer-Tomographie<br />
Rekonstruktion einer Dichte x(u, v) aus dem Intensitätsverlust von<br />
Röntgenstrahlen entlang von k Bündeln aus l parallelen Geraden<br />
R i : (u i , v i ) + R(cos ϑ i , sin ϑ i ),<br />
i = 1, . . . , m = kl<br />
Approximation von x durch stückweise konstante Funktion auf einem<br />
Raster von Quadraten Q j und Näherung für die Linienintegrale<br />
∫<br />
n∑<br />
b i = x(u i + t cos ϑ i , v i + t sin ϑ i ) dt ≈ a i,j x j<br />
R<br />
j=1<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 4-2
Beispiel:<br />
Computer-Tomographie<br />
Rekonstruktion einer Dichte x(u, v) aus dem Intensitätsverlust von<br />
Röntgenstrahlen entlang von k Bündeln aus l parallelen Geraden<br />
R i : (u i , v i ) + R(cos ϑ i , sin ϑ i ),<br />
i = 1, . . . , m = kl<br />
Approximation von x durch stückweise konstante Funktion auf einem<br />
Raster von Quadraten Q j und Näherung für die Linienintegrale<br />
∫<br />
n∑<br />
b i = x(u i + t cos ϑ i , v i + t sin ϑ i ) dt ≈ a i,j x j<br />
R<br />
mit x j einer Approximation von x(u, v) auf Q j und<br />
a i,j = |R i ∩ Q j |<br />
j=1<br />
der Länge des Durchschnitts der Geraden R i mit dem Quadrat Q j<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 4-3
Beispiel:<br />
Computer-Tomographie<br />
Rekonstruktion einer Dichte x(u, v) aus dem Intensitätsverlust von<br />
Röntgenstrahlen entlang von k Bündeln aus l parallelen Geraden<br />
R i : (u i , v i ) + R(cos ϑ i , sin ϑ i ),<br />
i = 1, . . . , m = kl<br />
Approximation von x durch stückweise konstante Funktion auf einem<br />
Raster von Quadraten Q j und Näherung für die Linienintegrale<br />
∫<br />
n∑<br />
b i = x(u i + t cos ϑ i , v i + t sin ϑ i ) dt ≈ a i,j x j<br />
R<br />
mit x j einer Approximation von x(u, v) auf Q j und<br />
a i,j = |R i ∩ Q j |<br />
j=1<br />
der Länge des Durchschnitts der Geraden R i mit dem Quadrat Q j<br />
m >> n Ausgleichsproblem zur Bestimmung von x aus den Daten b<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 4-4
ÙÚ℄<br />
<br />
11 × 11 Raster, Winkel<br />
ϑ = 0, π/16, π/8, . . .<br />
mit 11 parallelen Scan-Richtungen im Abstand der Rasterquadratbreite<br />
<strong>Normalengleichungen</strong> 4-5