Anleitung zur Polynomdivision

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Beispiel 1: (x 5 + 3x 4 − 7x 3 + 4x 2 + 3x + 1) : (x 2 + 2x − 3) = x 3 + x 2 − 6x + 19 −(x 5 + 2x 4 − 3x 3 ) x 4 − 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1 −(x 4 + 2x 3 − 3x 2 ) −6x 3 + 7x 2 + 3x + 1 −(−6x 3 − 12x 2 + 18x) 19x 2 − 15x + 1 −(19x 2 + 38x − 57) − 53x + 58 (6) Der neue Rest ist von kleinerem Grad als q m . Er wird mit q m dividiert und der Quotient auf der rechten Seite addiert. (x 5 + 3x 4 − 7x 3 + 4x 2 + 3x + 1) : (x 2 + 2x − 3) = x 3 + x 2 − 6x + 19 + −(x 5 + 2x 4 − 3x 3 ) x 4 − 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1 −(x 4 + 2x 3 − 3x 2 ) −6x 3 + 7x 2 + 3x + 1 −(−6x 3 − 12x 2 + 18x) 19x 2 − 15x + 1 −(19x 2 + 38x − 57) − 53x + 58 −53x + 58 x 2 + 2x − 3 Das Ergebnis ist x 3 + x 2 − 6x + 19 + −53x + 58 x 2 + 2x − 3
Aufgaben: (a) Führen Sie die angegebenen Divisionen aus! (a) (x 3 + x 2 + x + 1) : (x − 1) (b) (x 3 + x 2 + x + 1) : (x + 1) (c) (x 3 − 3x 2 + 3x + 3) : (x − 1) (d) (7x 3 + 18x 2 + 8x + 1) : (4x + 8) (e) (2x 4 − 11x 3 + 25x 2 − 32x + 20) : (2x 2 − 7x + 6) (f) (x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 2x + 4) : (x 2 + 1) (b) (a) (q 5 − 1) : (q − 1), q ≠ 1 (b) (q n − 1) : (q − 1), q ≠ 1, n ∈ N (c) (x 4 − y 4 ) : (x − y), x ≠ y (c) Weitere Aufgaben können Sie selbst erzeugen, indem Sie zwei Polynome miteinander multiplizieren (ausmultiplizieren) und dann wieder dividieren. Beispiel: (x 2 + 3x − 7) · (x + 5) = x 3 + 8x 2 + 8x − 35 Die <strong>Polynomdivision</strong> muss dann x 2 + 3x − 7 ergeben. (x 3 + 8x 2 + 8x − 35) : (x + 5) Lösungen (a) (a) x 2 + 2x + 3 + 4 x − 1 (b) x 2 + 1 (c) x 2 − 2x + 1 + 4 x − 1 (d) 7 4 x2 + x + 1 4x + 8 (e) x 2 −2, 5x + 5 − 2x + 2, 5 + 2x 2 − 7x + 6 (f) x 2 + 2x + 4
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