Was sind und was sollen die Zahlen?

— 10 —
44. Erklärung. Ist A irgendein Teil von S, so wollen wir
mit A 0 die Gemeinheit aller derjenigen Ketten (z. B. S) bezeichnen,
von welchen A Teil ist; diese Gemeinheit A 0 existiert (vgl. 17), weil
ja A selbst Gemeinteil aller dieser Ketten ist. Da ferner A 0 nach
43 eine Kette ist, so wollen wir A 0 die Kette des Systems A oder
kurz die Kette von A nennen. Auch diese Erklärung bezieht sich
durchaus auf die zugrunde liegende bestimmte Abbildung cp des
Systems S in sich selbst, und wenn es später der Deutlichkeit wegen
nötig wird, so wollen wir statt A 0 lieber das Zeichen qp 0 (A) setzen,
und ebenso werden wir die einer anderen Abbildung a entsprechende
Kette von A mit «„(-4) bezeichnen. Es gelten nun für diesen sehr
wichtigen Begriff die folgenden Sätze.
45. Satz. Es ist A3A 0 .
»Beweis. Denn A ist Gemeinteil aller derjenigen Ketten, deren
Gemeinheit A 0 ist, woraus der Satz nach 18 folgt.
46. Satz. Es ist (A 0 )'1A 0 .
Beweis. Denn nach 44 ist A 0 eine Kette (37).
47. Satz. Ist A Teil einer Kette X, so ist auch A 0 3K.
Beweis. Denn A 0 ist die Gemeinheit und folglich auch ein
Gemeinteil aller der Ketten K, von denen A Teil ist.
48. Bemerkung. Man überzeugt sich leicht, daß der in 44
erklärte Begriff der Kette A 0 durch die vorstehenden Sätze 45, 46,
47 vollständig charakterisiert ist.
49. Satz. Es ist A'i(A 0 )'.
Der Beweis folgt aus 45, 22.
50. Satz. Es ist A' 1A 0 .
Der Beweis folgt aus 49, 46, 7.
51. Satz. Ist A eine Kette, so ist A 0 = A.
Beweis. Da A Teil der Kette A ist, so ist nach 47 auch
A 0 1A, woraus nach 45, 5 der Satz folgt.
52. Satz. Ist B1A, so ist B1A 0 .
Der Beweis folgt aus 45, 7.
53. Satz. Ist B$A W so ist und umgekehrt.
Beweis. Weil A 0 eine Kette ist, so folgt nach 47 aus B3A 0
auch B 0 3A 0 ; umgekehrt, wenn B 0 i A 0 , so folgt nach 7 auch B1A 0 ,
weil (nach 45) B1B 0 ist.
54. Satz. Ist B1A, so ist B 0 1A 0 .
Der Beweis folgt aus 52, 53.
http://rcin.org.pl