Was sind und was sollen die Zahlen?

— 33 —
§ io.
Die Klasse der einfach unendlichen Systeme.
132. Satz. Alle einfach unendlichen Systeme sind der Zahlenreihe
N und folglich (nach 33) auch einander ähnlich.
Beweis. Es sei das einfach unendliche System ß durch die Abbildung
6 geordnet (71), und es sei co das hierbei auftretende Grandelement
von 52; bezeichnen wir mit ß 0 wieder die der Abbildung 6
entsprechenden Ketten (44), so gilt nach 71 folgendes:
y. co ist nicht in d(£i) enthalten.
ö. Die Abbildung 0 ist eine ähnliche.
Bedeutet nun ijj die in 126 definierte Abbildung der Zahlenreihe N,
so folgt aus ß und 128 zunächst
und wir haben daher nach 32 nur noch zu zeigen, daß t\> eine ähnliche
Abbildung ist, d. h. (26) daß verschiedenen Zahlen m, n auch
verschiedene Bilder n) entsprechen. Der Symmetrie wegen
dürfen wir nach 90 annehmen, es sei m >» n, also m 9 n' 0 , und der
zu beweisende Satz kommt darauf hinaus, daß ip (n) nicht in ^ (wj,),
also (nach 127) nicht in 6(n 0 ) enthalten ist. Dies beweisen wir
für jede Zahl n durch vollständige Induktion (80). In der Tat,
q. dieser Satz gilt nach y für n = 1, weil xp (1) = o und xfr (1 0 )
= (jV) = £1 ist.
6. Ist der Satz wahr für eine Zahl n, so gilt er auch für die
folgende Zahl n'\ denn wäre ip (%'), d. h. ß ip (n) in 6 ty (nö) enthalten,
so müßte (nach d und 27) auch ^ (n) in ip (nö) enthalten sein,
während unsere Annahme gerade das Gegenteil besagt, w. z. b. w.
133. Satz. Jedes System, welches einem einfach unendlichen
System und folglich (nach 132, 33) auch der Zahlenreihe N ähnlich
ist, ist einfach unendlich.
Beweis. Ist ß ein der Zahlenreihe N ähnliches System, so
gibt es nach 32 eine solche ähnliche Abbildung ty von 2V, daß
wird; dann setzen wir
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